Mögliche Funktionenklassenfür die

Regressionsrechnung

Lineare FunktionenLineare Funktionen

Polynome

Exponentialfunktionen(Exponentielles Wachstum; x ist die Zeit)

Gompertz-Kurven

Logistische Funktionen

Approximation durch eine Gerade

Prinzip der kleinsten Quadrate(Kleinst-Quadrat-Schätzung)

Man sucht in der betrachteten Klasse diejenige Funktion f, so dass die Summe der Abweichungsquadrate minimiert wird:

Bestimme f, so dass

minimal !!

Aufgaben der Regressionsrechnung

Stellt man sich für den Moment x als die Zeit vor, so möchte man die beobachteten Werte auf die „Zukunft“extrapolieren. Man erstellt eine „Prognose“.Dazu bedient man sich der gefundenen Funktion f, um für eine „Zeit“ x der “Zukunft“ den Wert y = f(x)zu schätzen.

1. Extrapolation

2. Interpolation

Man interessiert sich für den Wert von y = f(x)für Zwischenwerte von x, d. h. für Werte x, die zwischen 2 beobachtetenWerten liegen:

Wieder bedient man sich der Funktion f, um eine Interpolation der Werte

durchzuführen.

Lineare RegressionFinde reelle Zahlen a und b,so dass der Wert von

minimal wird!

ihr Minimum annimmt!

Mit anderen Worten: Finde den „Punkt“ (a ,b), an dem die Funktion

Steigung der Regressionsgeraden

Schnitt der Regressionsgeraden mit der y-Achse bei

BestimmtheitsmaßMaß für die Güte der Anpassung der Daten an die Regressionsfunktion

Dabei ist

In einem Kaufhauskonzern mit 10 Filialen soll die Wirkung von Werbeausgaben auf die Umsatzsteigerung untersucht werden. Die Daten sind:

X: Werbeausgaben in 1000 EuroY: Umsatzsteigerung in 10 000 Euro

Demonstrationsbeispiel Lineare Regression

Mittelwerte Varianzen

Kovarianz

Steigung der Regressionsgeraden

Schnitt der Regressionsgeraden mit der y-Achse bei

Statistische Maßzahlen

Bisher:Lagemaße

MittelwertMedianQuantile (Quartile)

Streuungsmaße

VarianzStandardabweichungKovarianzKorrelation

Konzentrationsmaße Gini-Koeffizient

Verhältniszahlen

Beziehungs-zahlen

Gliederungs-zahlen

Index-zahlen

Warenkorb

N Güter (Mengen und Preise) in der

Basisperiode 0

Berichtsperiode t

Preise in der Basisperiode 0

Preise in der Berichtsperiode t

Mengen in der Basisperiode 0

Mengen in der Berichtsperiode t

Preisindex nach Laspeyres

Preisindex nach Paasche

Laspeyres: Bezug auf den alten Warenkorb

Paasche: Bezug auf den neuen Warenkorb

Formeln für die Preisindizesnach Laspeyres und nach Paasche

Aggregatform

Wegen der besseren Übersichtlichkeitdefinieren wir uns einen sehr kleinen Warenkorb bestehend aus:

In den Jahren 1950 bis 1953 werden für den Jahres-verbrauch pro Einwohner und für die Preise die folgendenDaten zu Grunde gelegt:

ZigarettenBier

Kaffee

Index 0Index 1Index 2

Index 3

19501951

19521953

Herr K. aus E. und Gattin gehen leidenschaftlich gern ins Kino.Die Ausgaben des Ehepaars sind von 1996 bis 1998 nominal um 40 % und real dagegen nur um 25 % gestiegen.Hier die Eintrittspreise der Kinos:

Es ist bekannt, dass sich die Ausgaben-anteile für Kinobesuche bei dem Ehe-paar 1996 wie folgt verhalten:

2 : 3 : 2 : 1(Aufteilung der Aus-gabenauf die 4 Kinos)

FILTER

Input:Empirische Zeitreihe

Output:GeglätteteZeitreihe

Monatliche Anlandungen der deutschenDampferhochseefischerei

in den Jahren 1954, 1955 und 1956(aus Bamberg/Baur)

Jährliche Instandhaltungskostenin einem Kernkraftwerk

von 1970 bis 1985 in TDM

Monatliche Anlandungen der deutschenDampferhochseefischerei

in den Jahren 1954, 1955 und 1956(aus Bamberg/Baur)

Hochseefischerei:Monatstypische Abweichung

Hochseefischerei:Saisonbereinigte Zeitreihe