Die Vektorrechnung ist ein viel verwendetes Hilfsmittel in der Mathematik undhat vielfältige Anwendungen z.B. in Physik und Technik.
6.1 Der Begriff des Vektorsund Grundoperationen mit Vektoren
Während Größen, die allein durch Angabe eines Zahlenwertes charakterisiertsind (z.B. Masse, Temperatur, Energie, Wellenlänge), als Skalare bezeichnetwerden, sind Vektoren hingegen solche Größen, zu deren vollständiger Beschrei-bung neben dem zahlenmäßigen Wert (d.h. dem Betrag des Vektors) noch dieAngabe einer Richtung erforderlich ist. Beispiele für Vektoren sind: Geschwin-digkeit, Beschleunigung, Drehmoment.
Zum Begriff des Vektors
Im Folgenden betrachten wir Vektoren in der Ebene R2 oder im Raum R3.Ein Vektor lässt sich anschaulich durch einen Pfeil(d.h. eine gerichtete Strecke) darstellen. Im Folgen-den bezeichnen wir Vektoren durch kleine lateinischeBuchstaben mit einem darüber gesetzten Pfeil oderaber auch durch Angabe von Anfangs- und Endpunkteines den Vektor beschreibenden Pfeils, wobei überden Anfangs- und Endpunkt ebenfalls ein Pfeil ge-setzt wird.
���������
P
Q
�x = −−→PQ�
Bild eines Vektors
Unter einem Vektor verstehen wir die Menge aller Pfeile mit gleicher Längeund gleicher Richtung. Jeder Pfeil eines gegebenen Vektors ist ein Repräsentant
dieses Vektors.Die Länge eines den Vektor x beschreibenden Pfeils (d.h., eines Repräsen-
tanten von x) heißt Betrag von x und wird mit |x| bezeichnet. Zwei Vektorenx, y sind genau dann gleich, wenn sie in Betrag und Richtung übereinstimmen,d.h.,
x = y gilt genau dann, wenn
{1.) |x| = |y| und
2.) x und y sind gleichgerichtet
Es sind somit alle gleich lan-gen und gleichgerichteten Pfei-le gleichberechtigte Darstellungenein und desselben Vektors. SolcheVektoren werden als freie Vekto-ren bezeichnet, denn der sie dar-stellende Pfeil darf im Raum be-liebig parallel verschoben werden.
�����
������x
�y� ��x = �y
�����
����
�u
�v� ��u �= �v
�����
����
�a
�b� �
�a �= �b
Zur Gleichheit von Vektoren
Neben den freien Vektoren werden auch gebundene Vektoren, die auch alsOrtsvektoren bezeichnet werden, betrachtet. Bei einem Ortsvektor ist der An-griffspunkt nicht frei wählbar, sondern fest vorgegeben. So heißt der Vektor−→OP von einem Festpunkt O zum Punkt P Ortsvektor von P bezüglich O.
Spezielle Vektoren
1) Ein Vektor e mit dem Betrag |e| = 1 heißt Einheitsvektor.2) Der Nullvektor o hat den Betrag 0 (d.h. |o| = 0) und ist richtungslos.
3) Unter dem zu x entgegengesetzten Vektor −xverstehen wir den Vektor mit gleichem Betragwie x (d.h. | − x| = |x|), welcher aber entgegen-gesetzt zu x gerichtet ist. Wenn ein Vektor −→ABdurch Angabe von Anfangs- und Endpunkt ei-nes Repräsentanten dieses Vektors gegeben ist,so gilt: −→AB = −−→BA.
����������
�x−�x � �
Entgegengesetzte Vektoren
Zwei gegebene Vektoren x und y heißen kollinear, wenn sie parallel zu einund derselben Geraden g sind, d.h., x und y sind gleich- oder entgegengesetztgerichtet.
Bemerkung: Der Begriff „komplanar“ wird in Aufg. 6.13 erläutert.
6.1 Der Begriff des Vektors u. Grundoperationen mit Vektoren 139
Addition und Subtraktion von Vektoren
Zwei Vektoren x, y werden addiert, indemman durch Parallelverschiebung den An-fangspunkt des Vektors y in den Endpunktdes Vektors x bringt. Die Summe x + y istdann derjenige Vektor, der vom Anfangs-punkt von x zum Endpunkt des parallel ver-schobenen Vektors y zeigt.
�����
���
����
�x
�y
�y
�x + �y�
Vektoraddition
Für die Vektoraddition gelten die folgenden Rechengesetze:
Kommutativgesetz x + y = y + x
Assoziativgesetz (x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z
Dreiecksungleichung |x + y| ≤ |x|+ |y|Die Subtraktion x − y zweier Vektoren x,y wird erklärt als die Addition von x unddem zu y entgegengesetzten Vektor −y,d.h., es gilt:
x− y = x + (−y) .�������
���
��
���
���
��
��
���
�x
�y
−�y
−�y�x− �y
�
Vektorsubtraktion
Multiplikation von Vektor und Skalar
Die Multiplikation eines Vektors x mit einem Skalar λ ∈ R ist wie folgt erklärt:
λx =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
der Vektor mit dem λ-fachen des Betrages von x,der gleichgerichtet mit x ist, falls λ > 0
der Vektor mit dem λ-fachen des Betrages von x,der zu x entgegengesetzt gerichtet ist, falls λ < 0
o falls λ = 0
Für gegebene Vektoren x, y und Skalare λ, μ ∈ R gelten die folgenden Rechen-gesetze bezüglich der Vektoraddition und Multiplikation mit Skalaren:
Es sei ein System von n Vektoren x1, x2, . . . , xn gegeben. Wenn es zu einemVektor a Skalare λi ∈ R (i = 1, 2, . . . , n) gibt, so dass a = λ1x1 + λ2x2 + . . . +λnxn gilt, dann ist a eine Linearkombination aus den Vektoren x1, x2, . . . , xn.Die Menge aller Linearkombinationen
L(x1, x2, . . . , xn) =
{a =
n∑i=1
λixi|λi ∈ R
}
bezeichnen wir als die lineare Hülle der Vektoren x1, x2, . . . , xn.Wir betrachten jetzt eine Nullrelation der Vektoren x1, x2, . . . , xn:
o = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λnxn , (6.1)
d.h., eine Linearkombination des Nullvektors o aus den Vektoren x1, x2, . . . , xn.Offensichtlich ist die Nullrelation (6.1) immer für λ1 = λ2 = . . . = λn = 0 er-füllt (denn es gilt ja 0x1 + 0x2 + . . . + 0xn = o + o + . . . + o = o). DieseNullrelation nennen wir die triviale Nullrelation. Eine Nullrelation wird hin-gegen als nichttrivial bezeichnet, wenn es λi �= 0 für Indizes i ∈ {1, 2, . . . , n}gibt, so dass die Nullrelation (6.1) erfüllt ist. Wir definieren dann:
Die Vektoren x1, x2, . . . , xn heißen linear unabhängig, wenn es nurdie triviale Nullrelation mit diesen Vektoren gibt. Wenn anderen-falls eine nichttriviale Nullrelation existiert, dann sind die Vektorenx1, x2, . . . , xn linear abhängig.
6.2 Die Komponentenzerlegung
Um geometrische Probleme analytisch (d.h. rechnerisch) lösen zu können, wer-den Koordinatensysteme eingeführt. Im Folgenden betrachten wir immer einrechtsorientiertes kartesisches Koordinatensystem, d.h.,1.) die Koordinatenachsen (die x1-, x2- und x3-Achse) stehen paarweise senk-recht aufeinander,2.) auf den Koordinatenachsen werden die gleichen Längeneinheiten gewählt,3.) die Koordinatenachsen sind nach der Rechte-Hand-Regel orientiert.
Die Rechte-Hand-Regel besagt: Wenn die x1-Achse dem Daumen unddie x2-Achse dem Zeigefinger der rechten Hand zugeordnet sind, soweist der Mittelfinger in Richtung der x3-Achse, wobei die beiden Fin-ger und der Daumen jeweils rechtwinklig zueinander stehen.
6.2 Die Komponentenzerlegung 141
Die Einheitsvektoren in Richtung der positiven xj-Achse heißen Basisvektorenund werden mit ej bezeichnet, j = 1, 2, 3.Für einen beliebig gegebenen Vek-tor a betrachten wir jetzt sei-ne Komponentenzerlegung, indemwir den Anfangspunkt des Vek-tors a in den Ursprung des Ko-ordinatensystems O parallel ver-schieben und dann seine senkrech-ten Projektionen aj auf die xj-Koordinatenachsen betrachten. aj
werden als Komponenten des Vek-tors a bezeichnet. Jede der Kom-ponenten aj können wir als Vielfa-ches des Basisvektors ej schreibenund erhalten damit aj = ajej, wo-bei die reelle Zahl aj als j-te Ko-ordinate des Vektors a bezeichnetwird, j = 1, 2, 3.
�
�
��
��
��
��
���
��
���
�
�
��
��
x2
x1
x3
O�e1 �e2
�e3
�a
P
P ′
P ′′
P ′′′
�a1
�a2
�a3
················ ············
···········
�···········
················
············�················
············
···········��
Komponentenzerlegung von �a = −−→OP
Komponenten und a = a1 + a2 + a3
Koordinaten eines Vektors = a1e1 + a2e2 + a3e3
Da der Vektor a eindeutig durch seine Koordinaten aj bestimmt ist, schreiben
wir a =
⎛⎝ a1
a2
a3
⎞⎠. Wir erhalten −a =
⎛⎝ −a1
−a2
−a3
⎞⎠ und o =
⎛⎝ 000
⎞⎠ für die in
Abschn. 6.1 betrachteten speziellen Vektoren.
Vektoraddition und Multiplikation mit Skalaren inKoordinatenschreibweise
Für Vektoren a,b, deren Koordinaten gegeben sind, und einen Skalar λ ∈ R
gilt:
a +b =
⎛⎝ a1
a2
a3
⎞⎠ +
⎛⎝ b1
b2
b3
⎞⎠ =
⎛⎝ a1 + b1
a2 + b2
a3 + b3
⎞⎠ λa = λ
⎛⎝ a1
a2
a3
⎞⎠ =
⎛⎝ λa1
λa2
λa3
⎞⎠
142 6 Vektorrechnung
Betrag und Richtungskosinus
Für einen gegebenen Vektor a =
⎛⎝ a1
a2
a3
⎞⎠ bezeichnen wir mit αj = ∠(ej,a)
den Winkel zwischen dem Basisvektor ej und a, j = 1, 2, 3. Es gilt dann:
Betrag des Vektors a |a| =√
a21 + a2
2 + a23
Richtungskosinus von a cos αj =aj
|a| , j = 1, 2, 3
Aufg. 6.1 Gegeben seien die Vektoren a =
(21
),b =
(13
)in der Ebene.
Bestimmen Sie 2a−b rechnerisch und zeichnerisch.
Aufg. 6.2 Untersuchen Sie die folgenden Vektorsysteme auf lineare Abhän-
gigkeit: a) x1 =
⎛⎝ 111
⎞⎠, x2 =
⎛⎝ 121
⎞⎠, x3 =
⎛⎝ 353
⎞⎠,
b) x1 =
⎛⎝ 101
⎞⎠, x2 =
⎛⎝ 120
⎞⎠, x3 =
⎛⎝ 053
⎞⎠,
c) x1 =
(11
), x2 =
(12
), x3 =
(35
), x4 =
( −1−2
).
6.3 Skalarprodukt, Vektorprodukt und Spatpro-dukt
Das Skalarprodukt
Für zwei Vektoren definieren wir das Skalarprodukt 〈a|b〉 als die reelle Zahl,welche das Produkt aus den Beträgen der Vektoren a,b und dem Kosinus desvon den Vektoren eingeschlossenen Winkels ist, d.h. als Formel:
〈a|b〉 = |a| · |b| · cos(∠(a,b)) , (6.2)
wobei ∠(a,b) den zwischen den Vektoren a und b eingeschlossenen Winkel, fürden 0◦ ≤ ∠(a,b) ≤ 180◦ gilt, bezeichnet. Wenn einer der Vektoren a oder b derNullvektor ist, so ist das Skalarprodukt 〈a|b〉 = 0.
6.3 Skalarprodukt, Vektorprodukt und Spatprodukt 143
Wir ziehen jetzt vier wichtige Folgerungen aus der Formel (6.2).1. Folgerung: Da cos(∠(a,b)) = 0 genau dann gilt, wenn ∠(a,b) = 90◦ erfülltist, erhalten wir aus (6.2) den wichtigen Satz: Für vom Nullvektor verschiedeneVektoren a,b ist das Skalarprodukt 〈a|b〉 genau dann gleich 0, wenn die beidenVektoren a und b orthogonal aufeinander stehen, d.h. formelmäßig:
Für a,b �= o gilt 〈a |b〉 = 0 genau dann, wenn a ⊥ b (6.3)
2. Folgerung: Wegen cos 0◦ = 1 liefert (6.2) sofort:
〈a|a〉 = |a|2 (6.4)
3. Folgerung: Da in der Formel (6.2) immer | cos(∠(a,b))| ≤ 1 gilt, erhaltenwir für beliebige Vektoren a, b die Schwarzsche Ungleichung :∣∣∣⟨a|b
⟩∣∣∣ ≤ |a| |b| (6.5)
4. Folgerung: Wenn wir mit a�b die Länge der ortho-gonalen Projektion vom Vektor a auf den Vektorb bezeichnen (wobei beide Vektoren im Koordina-tenursprung O angeheftet sind), so erhalten wir
Wenn wir die obige Gleichung auf der rechten Seite der Gleichung (6.2) ein-setzen, so erhalten wir:
〈a|b〉 = |b| · a�b (6.6)
d.h., das Skalarprodukt aus zwei Vektoren ist gleich dem Produkt aus derLänge eines der beiden Vektoren multipliziert mit der Länge der orthogonalenProjektion des anderen Vektors auf diesen.
Für das Skalarprodukt gelten die folgenden Rechengesetze:
(Hierbei sinda,b,c gegebeneVektoren undλ ∈ R ist einSkalar.)
144 6 Vektorrechnung
Bemerkung: Wegen der Symmetrie des Skalarproduktes gilt auch die Linearitätbezüglich des zweiten Faktors.
Aufg. 6.3 Gegeben seien Vektoren a,b mit den Eigenschaften |a| = 2, |b| = 4
und ∠(a,b) = 30◦. Bestimmen Sie |a +b| grafisch und rechnerisch!
Aufg. 6.4 Unter welcher Bedingungen ist das Skalarprodukt 〈a |b 〉 negativ?
Aufg. 6.5 Für die Vektoren a, b und c gelte 〈b |a 〉 = 〈c |a 〉. Was folgt für bund c ?
Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren inKoordinatendarstellung
Wenn die Koordinaten der Vektoren a =
⎛⎝ a1
a2
a3
⎞⎠, b =
⎛⎝ b1
b2
b3
⎞⎠ gegeben sind,
so berechnet sich das Skalarprodukt nach der Formel:
〈a|b〉 = a1b1 + a2b2 + a3b3 (6.7)
und für den Winkel ∠(a,b) folgt damit bei Anwendung von (6.2) und (6.4):
cos(∠(a,b)) =a1b1 + a2b2 + a3b3√
a21 + a2
2 + a23
√b21 + b2
2 + b23
(6.8)
Aufg. 6.6 Bestimmen Sie alle Vektoren vom Betrag 3, die auf dem Vektor
a =
( −43
)senkrecht stehen.
Aufg. 6.7 Der Vektor a =
⎛⎝ −32
−4
⎞⎠ wird auf den Vektor x =
⎛⎝ 111
⎞⎠ or-
thogonal projiziert. Wie lang ist seine Projektion a�x?
Aufg. 6.8 Gegeben seien a =
⎛⎝ 611
⎞⎠, b =
⎛⎝ 06
−2
⎞⎠, c =
⎛⎝ −235
⎞⎠. Zu dem
Vektor a soll ein Vielfaches des Vektors b addiert werden, so dass die Summea + λb auf dem Vektor c senkrecht steht. Wie ist λ zu wählen?
6.3 Skalarprodukt, Vektorprodukt und Spatprodukt 145
Aufg. 6.9 Gegeben seien a =
⎛⎝ 2yz
⎞⎠, b =
⎛⎝ −142
⎞⎠, c =
⎛⎝ 3−3−1
⎞⎠. Bestim-
men Sie y und z, so dass der Vektor a auf den Vektoren b und c senkrechtsteht. Welchen Betrag hat der Vektor a, und welchen Winkel bildet er mit denVektoren b + c und a +b + c ?
Das Vektorprodukt
Das Vektorprodukt a×b (gelesen: a Kreuz b) ist nur für Vektoren im dreidi-mensionalen Raum definiert und ergibt als Ergebnis einen Vektor.
Für Vektoren a,b im dreidimensionalen Raum wird a×b erklärt durch:
1.) Der Betrag |a×b| ist gleich der Maßzahlder Fläche des von a und b aufgespanntenParallelogramms; es gilt also:
|a×b| = |a| · |b| · sin(∠(a,b)) (6.9)
mit 0◦ ≤ ∠(a,b) ≤ 180◦,2.) der Vektor a ×b steht senkrecht auf dervon a und b aufgespannten Fläche.3.) a,b,a×b bilden in dieser Reihenfolge einRechtssystem, d.h., die Rechte-Hand-Regelgilt (siehe Abschn. 6.2).
Aus der obigen Definition des Vektorproduktes erhalten wir sofort die für dasVektorprodukt geltenden Eigenschaften:
Antikommutativität a×b = −b× a
Distributivität a× (b + c) = a×b + a× c
λ(a×b) = (λa)×b = a× (λb)
(Hierbei sind a,b,c gegebene Vektoren und λ ∈ R ist ein Skalar.)
Wir erhalten weiterhin: Für Vektoren a,b �= o gilt genau dann a × b = o,wenn a und b parallel sind (d.h., a,b sind entweder gleichgerichtet (↑↑) oderentgegengesetzt gerichtet (↑↓)).
Aufg. 6.10 Beweisen Sie, dass für beliebige Vektoren a, b des R3 die Formel
146 6 Vektorrechnung
tan(∠(a,b)) =|a×b|〈a |b 〉 gilt.
Das Spatprodukt
Drei Vektoren a,b,c bestimmen einen Spat (welcher auch als Parallelepipedbezeichnet wird).Für das vorzeichenlose Volumen desSpates gilt |V | = Gh, wobei h die Hö-he des Spates und G den Flächenin-halt der markierten Grundfläche, wel-che das von a undb aufgespannte Paral-lelogramm ist, bezeichnet. Wir erhaltensomit für das vorzeichenlose Volumen
V = Gh = |a×b| · c�a×�b
(∗)= |〈c |a×b〉|,
wobei c�a×�b die orthogonale Projektionvon c auf a ×b bezeichnet. (Wenn wirin der Gleichung (6.6) a ×b für b undc�a×�b für a�b einsetzen, so erhalten wir dieobige Gleichung (∗).)
Für drei Vektoren a,b,c erklären wir das Spatprodukt als den Skalar:[a,b,c
]= 〈c |a×b 〉
Wenn wir uns die Vektoren a,b,c in einem gemeinsamen Punkt angeheftetdenken, beschreibt somit das Spatprodukt
[a,b,c
]das Volumen V des von
a,b,c aufgespannten Spates, und bezüglich des Vorzeichens von V gilt:
V ist
⎧⎪⎨⎪⎩> 0 falls a,b,c ein Rechtssystem bilden= 0 falls a,b,c in einer Ebene liegen< 0 falls a,b,c ein Linksssystem bilden
Wir erinnern: a,b,c bilden ein Rechtssystem, falls die Rechte-Hand-Regel gilt,siehe Abschn. 6.2. Falls die Rechte-Hand-Regel für a,b,c nicht gilt, so bildendiese Vektoren ein Linkssystem.
Es gilt, dass das Spatprodukt bei zyklischer Vertauschung der Vektorena,b,c unverändert bleibt, und wir notieren somit:[
a,b,c]
=[c,a,b
]=
[b,c,a
](6.10)
6.3 Skalarprodukt, Vektorprodukt und Spatprodukt 147
Erläuterung: Da mit a,b,c auch die Systeme c,a,b und b,c,a Rechtssystemebilden und es außerdem gleichgültig ist, welche Fläche als Grundfläche des vona,b,c gebildeten Spates angesehen wird, gelten die Gleichungen in (6.10).
Vektor- und Spatprodukt in Koordinatendarstellung
Wenn die Koordinaten der Vektoren a,b,c gegeben sind, so gilt:
a×b =
∣∣∣∣∣∣e1 a1 b1
e2 a2 b2
e3 a3 b3
∣∣∣∣∣∣ =e1(a2b3 − a3b2)
−e2(a1b3 − a3b1)+e3(a1b2 − a2b1)
[a,b,c
]=
∣∣∣∣∣∣a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
∣∣∣∣∣∣ =a1(b2c3 − b3c2)
−a2(b1c3 − b3c1)+a3(b1c2 − b2c1)
Die mittleren Beschreibungen mit Hilfe der Determinanten dienen dazu, sichdie betreffenden Gleichungen besser merken zu können, und werden später imAbschn. 8.4, Aufg. 8.16, näher erläutert.
Aufg. 6.11 Berechnen Sie a×b für a) a = 3e1−2e2 +4e3, b = −e1 +3e2−3e3;b) a = 2e1 + 1
2e2 − e3, b = 1
2e1 − 2e2 + e3;
c) a = 3e1 + 212e2 − 1
2e3, b = −3e1 − 2e2 + 1
2e3.
Aufg. 6.12 Berechnen Sie a +b, a−b, b− a, −2a + 3b, 〈a|b〉, a×b, ∠(a,b)
für a =
⎛⎝ −32
−1
⎞⎠ und b =
⎛⎝ 5−3
2
⎞⎠ .
Aufg. 6.13 Drei Vektoren a,b,c im dreidimensionalen Raum heißen kompla-nar, wenn sie zu einer Ebene E parallel sind. Das bedeutet, dass wenn wir fürjeden dieser Vektoren einen solchen Repräsentanten betrachten, dessen An-fangspunkt sich in der Ebene E befindet, so liegen diese drei Repräsentantender Vektoren a,b,c in der Ebene E. Es gilt: Die Vektoren a,b,c sind genaudann komplanar, wenn für das Spatprodukt
[a,b,c
]= 0 gilt.
a) Zeigen Sie, dass die Vektoren a =
⎛⎝ −132
⎞⎠, b =
⎛⎝ −3126
⎞⎠, c =
⎛⎝ 2−3−4
⎞⎠komplanar sind.b) Stellen Sie b als Linearkombination der Vektoren a und c dar.
148 6 Vektorrechnung
Aufg. 6.14 a) Gesucht ist das Volumen des Spates, welcher von den Vektoren
a =
⎛⎝ 12−1
3
⎞⎠ , b =
⎛⎝ −9−2−2
⎞⎠, c =
⎛⎝ 210
⎞⎠ aufgespannt wird. b) d =
⎛⎝ 5−2
1
⎞⎠ist als Linearkombination der Vektoren a, b, c darzustellen.
Aufg. 6.15 Berechnen Sie das Volumen des Körpers mit den EckpunktenA(2; 2; 1), B(0; 2; 1), C(2; 0; 1) und D(2; 2; 0).Hinweis: Wir betrachten den Körper, welcher von den drei Vektoren a, b undc, die in einem gemeinsamen Punkt P angeheftet sind, aufgespannt wird. DasVolumen V dieses Körpers ist dann ein Sechstel des von diesen Vektoren aufge-spannten Spates, d.h., es gilt V = 1
6|[a,b,c]|. (Diese Aussage folgt sofort aus der
Formel für das Volumen einer Pyramide V Pyramide = 13Grundfläche ·Höhe.)
Mehrfache Produkte
Für Vektoren a,b,c, d gelten die folgenden Formeln:
Entwicklungssatz 1) a× (b× c) = 〈a|c〉 ·b− 〈a|b〉 · c2) (a×b)× c = 〈a|c〉 ·b− 〈b|c〉 · a
(Hierbei folgt die Gleichung (*) aus der Symmetrie des Skalarproduktes〈a|b〉 = 〈b|a〉.) Aus 〈−→AC|−−→BC〉 = 0 folgt −→AC ⊥ −−→BC nach Formel (6.3), d.h., fürden Peripheriewinkel gilt ∠(ACB) = 90◦. q.e.d. (was zu zeigen war)
Aufg. 6.17 Beweisen Sie den Kosi-nussatz der ebenen Trigonometrie: ImDreieck ΔABC mit den Seiten a, b, cgilt c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ, wobei γder Innenwinkel ist, welcher der SeiteAB = c gegenüberliegt. � �
Aufg. 6.18 Beweisen Sie: In einem beliebigen (nicht notwendigerweise ebe-nen) Viereck des Raumes bilden die Verbindungslinien der Mittelpunkte vonje zwei benachbarten Seiten ein Parallelogramm.
1Thales von Milet, 624 v. Chr. - 547 v. Chr., antiker griechischer Philosoph, Mathematikerund Astronom
150 6 Vektorrechnung
Mechanische Arbeit
Wenn ein Massepunkt im Raum verschoben wird, so wird mechanische ArbeitW verrichtet.Bei konstanter Kraft F und geradliniger,gleichförmiger Bewegung des Massepunk-tes gilt
W = 〈F |s 〉
wobei der Verschiebungsvektor s =−→PQ
den zurückgelegten Weg des Massepunk-tes beschreibt.
Massepunkt von P mit den Koordinaten (1 m,−5 m, 3 m) aus geradlinig inden Punkt Q mit den Koordinaten (0 m, 1 m, 4 m). Welche Arbeit wird dabeiverrichtet? Wie groß ist der Winkel α zwischen dem Kraftvektor F und demVerschiebungsvektor?
Das DrehmomentWir betrachten eine um den Punkt Odrehbar gelagerte Kreisscheibe K. Eine imPunkt P angreifende und in der Scheiben-ebene liegende Kraft F erzeugt ein Dreh-moment M , welches zur Rotation derScheibe um die durch O gehende undauf K senkrecht stehende Drehachse führt.Das Drehmoment ist durch
des Angriffspunktes der Kraft F bezüglich des Drehpunktes O bezeichnet. DerDrehmomentenvektor M liegt in der Drehachse und ist so orientiert, dass dieVektoren r, F , M in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden.Für den Betrag des Drehmomentes erhalten wir:
M = | M | = |r| · |F | · sin α ,
6.5 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 6 151
wobei α = ∠(r, F ) den Winkel zwischen dem Ortsvektor r und der angreifen-den Kraft F bezeichnet.Es seien n Kräfte F1, F2, . . . , Fn, die in den Punkten P1, P2, . . . , Pn der Kreis-scheibe K angreifen und in der Scheibenebene liegen, gegeben. Wir erhaltendann den Gesamtdrehimpuls:
wobei ri =−−→OPi die Ortsvektoren von Pi bezüglich des Drehpunktes O bezeich-
nen, i = 1, 2, . . . , n. Falls insbesondere M = o (d.h. M = 0) gilt, so folgt, dasssich die Kreisscheibe nicht dreht. Unser betrachtetes System ist in Ruhelage.
Aufg. 6.20 a) Eine 5 m lange Fahnen-stange mit einem Eigengewicht von 12 kpist im Anfangspunkt O an einer Haus-wand drehbar gelagert und im EndpunktA, welcher 3 m höher als O ist, wird ei-ne Last von 10 kp angehangen. Im Mit-telpunkt B der Fahnenstange ist ein Hal-teseil befestigt, welches an der Hauswandim Punkt C in einer Höhe von 2,5 m senk-recht über O verankert ist. Wie groß istder Betrag der Zugkraft F , die im Halte-seil BC wirkt?
(Hinweis: Das Eigengewicht der Fahnenstange können wir als ein im Schwer-punkt B der Fahnenstange angebrachtes Gewicht von 12 kp beschreiben.)
b) Wie groß ist der Betrag der Zugkraft im Halteseil, wenn dieses im Punkt Abefestigt wird?
6.5 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 6
6.1 2a−b = 2
(21
)−
(13
)=
(2 · 2− 12 · 1− 3
)=
(3
−1
).
6.2 a) Wir betrachten die Nullrelation λ1x1 + λ2x2 + λ3x3 = o, welche unterVerwendung der Formeln für die Vektoraddition und Multiplikation mit Ska-
laren in Koordinatendarstellung übergeht in
⎛⎝ λ1 + λ2 + 3λ3
λ1 + 2λ2 + 5λ3
λ1 + λ2 + 3λ3
⎞⎠ =
⎛⎝ 000
⎞⎠.
Die letzte Gleichung ist äquivalent zum homogenen linearen Gleichungssystem
152 6 Vektorrechnung
⎧⎨⎩λ1 + λ2 + 3λ3 = 0
λ1 + 2λ2 + 5λ3 = 0λ1 + λ2 + 3λ3 = 0
mit den Unbekannten λ1, λ2, λ3, welches wir mit-
tels Gaußschem Algorithmus lösen.
1. Schritt:λ1 λ2 λ3 bi
|1| 1 3 0 | · (−1) ↓ +| · (−1)
1 2 5 0 |⏐⏐-+
1 1 3 0 |0 |1| 2 0
0 0 0 0
2. Schritt: Das Verfahrendes 1. Schrittes brach ab,da nur noch eine Zeileim Schema vorhanden ist(die 2. Zeile des letztenSchemas wurde gestri-chen, da sie nur aus Nul-len besteht!). Aus demletzten Schema erhaltenwir λ2 + 2λ3 = 0,
woraus sich λ2 = −2λ3 = −2t für λ3 = t ergibt, wobei t ∈ R ein freier Parame-ter ist. Aus der Pivotzeile des Ausgangsschemas erhalten wir λ1 +λ2 +3λ3 = 0,woraus dann λ1 = −λ2− 3λ3 = 2t− 3t = −t folgt. Als Lösung des Gleichungs-systems erhalten wir die einparametrige Lösungsschar λ1 = −t, λ2 = −2t,λ3 = t mit dem freien Parameter t ∈ R.
Wenn wir z.B. t = 1 setzen, so erhalten wir die spezielle Lösung λ1 = −1,λ2 = −2, λ3 = 1, woraus wir dann die nichttriviale Nullrelation
−x1 − 2x2 + x3 = o
erhalten. Die gegebenen Vektoren x1, x2, x3 sind somit linear abhängig.
b) Wir betrachten die Nullrelation λ1x1 + λ2x2 + λ3x3 = o,
welche zum nebenstehenden homogenen li-nearen Gleichungssystem mit den Unbekann-ten λ1, λ2, λ3 äquivalent ist.
⎧⎨⎩λ1 +λ2 = 0
2λ2 +5λ3 = 0λ1 +3λ3 = 0
Dieses Gleichungssystem lösen wir mittels Gaußschem Algorithmus und erhal-ten die eindeutig bestimmte Lösung λ1 = λ2 = λ3 = 0 (nachrechnen!). Hierausfolgt, dass nur die triviale Nullrelation zwischen den Vektoren x1, x2, x3 be-steht. Somit sind die gegebenen Vektoren x1, x2, x3 linear unabhängig.
c) Die gegebenen Vektoren x1, x2, x3, x4 sind linear abhängig.
6.3 Wir berechnen zunächst 〈a|b〉 = |a| · |b| · cos(∠(a,b)) = 2 · 4 · 12
√3 = 4
√3.
Aus der Linearität und Symmetrie des Skalarproduktes erhalten wir
6.4 Aus Formel (6.2) ergibt sich cos(∠(a,b )) < 0, woraus 90◦ < ∠(a,b ) ≤ 180◦
folgt.
6.5 Nach Formel (6.6) folgt |a| b�a = |a| c�a, woraus sich ergibt, dass die ortho-gonalen Projektionen der Vektoren b und c auf den Vektor a zusammenfallen.
6.6 1. Schritt: Bestimmen der Vektoren, die orthogonal zu a sind.
Wir bestimmen zunächst alle Vektoren b =
(b1
b2
), für die a ⊥ b gilt. Diese
Orthogonalitätsrelation ist äquivalent zu 〈a|b〉 = 0. Hieraus folgt nun
0 = 〈a|b 〉 =
⟨( −43
) ∣∣∣∣( b1
b2
)⟩= −4b1 + 3b2
mit der Lösung b2 = 43b1. Wir setzen b1 = t mit einem freien Parameter t ∈ R
und erhalten damit b2 = 43t und schließlich
b =
(b1
b2
)=
(t43t
)= t
(143
). (6.11)
2. Schritt: Bestimmen der Vektoren, die orthogonal zu a sind und den Betrag3 haben.Wir bestimmen den Parameter t in (6.11) derart, dass b den Betrag 3 hat.Dazu berechnen wir
|b| =∣∣∣∣( t
43t
)∣∣∣∣ =
√t2 +
(4
3t
)2
=
√25
9t2 =
5
3|t|
und setzen das Ergebnis gleich 3, d.h., 53|t| = 3. Hieraus erhalten wir die
Lösungen t1 = 95
und t2 = −95.
Ergebnis: Die Menge aller Vektoren vom Betrag 3, die auf a senkrecht stehen,
besteht aus den beiden Vektoren b(1) = t1
(143
)= 9
5
(143
)= 3
5
(34
)und
b(2) = −95
(143
)= −3
5
(34
)= −b(1).
154 6 Vektorrechnung
6.7 Wenn wir b durch x in der Formel (6.6) ersetzten und diese nach a�x auf-lösen, so erhalten wir für |a�x| (da nach der Länge der Projektion gefragt ist,berechnen wir den Betrag von a�x):
|a�x| =∣∣∣∣〈a | x 〉|x|
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣−3 · 1 + 2 · 1− 4 · 1√12 + 12 + 12
∣∣∣∣ =5√3
=5
3
√3.
6.8 Es ist λ ∈ R zu berechnen, so dass 〈a + λb|c〉 = 0 gilt. Somit folgt aus
Lösung: Die in der Aufgabenstellung geforderten Orthogonalitätsrelationensind genau dann erfüllt, wenn 〈a|b 〉 = 0 und 〈a|c 〉 = 0 gelten. Hieraus erhalten
wir das lineare Gleichungssystem{
4y +2z = 2−3y −z = −6
, welches die eindeu-
tig bestimmte Lösung y = 5, z = −9 hat. Somit erhalten wir a =
⎛⎝ 25
−9
⎞⎠und |a| = √
22 + 52 + (−9)2 =√
110.
Da 〈a|b + c 〉 = 〈a|b〉 + 〈a|c 〉 = 0 + 0 = 0 gilt, erhalten wir ∠(a,b + c) = 90◦.Weiterhin gilt:
cos(∠(a,a +b + c )) =〈a|a +b + c 〉|a| · |a +b + c | =
〈a|a〉+ 〈a|b〉+ 〈a|c 〉|a| · |a +b + c |
=|a|2 + 0 + 0
|a| · |a +b + c | =|a|
|a +b + c |(∗)=
√110√116
=
√55
58≈ 0, 9738.
6.5 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 6 155
In (*) haben wir a +b + c =
⎛⎝ 46
−8
⎞⎠ und |a +b + c | = √42 + 62 + (−8)2 =
√116 verwendet. Aus cos(∠(a,a+b+c )) ≈ 0, 9738 erhalten wir das Ergebnis:
∠(a,a +b + c ) ≈ 13, 15◦.
6.10 Aus sin(∠(a,b)) =|a×b||a| · |b| und cos(∠(a,b)) =
30−3 ·0+2 · (−15) = 0, woraus folgt, dass die Vektoren a,b,c komplanar sind.
b) Wir betrachten b = λ1a + λ2c und erhal-ten daraus das nebenstehende lineare Glei-chungssystem in den Unbekannten λ1, λ2.
⎧⎨⎩−λ1 + 2λ2 = −33λ1 − 3λ2 = 122λ1 − 4λ2 = 6
Dieses Gleichungssystem hat die eindeutig bestimmte Lösung λ1 = 5, λ2 = 1.Somit gilt b = 5a + c.6.14 a) V = [a,b,c] = 13. b) d = a +b + c.6.15 Wir betrachten die Vektoren
156 6 Vektorrechnung
a =−→AB =
⎛⎝ −200
⎞⎠ , b =−→AC =
⎛⎝ 0−2
0
⎞⎠, c =−−→AD =
⎛⎝ 00
−1
⎞⎠und erhalten
damit V = 16|[a,b,c]| = 1
6· 4 = 2
3.
6.16 Wir berechnen die 1. Komponente von a× (b× c).
Hierzu setzen wir die Koordinatendarstellung von b× c =
⎛⎝ b2c3 − b3c2
b3c1 − b1c3
b1c2 − b2c1
⎞⎠ in
die Koordinatenbeschreibung von a× (b×c) ein und erhalten damit für die 1.Komponente:
6.20 a) 1. Schritt: Berechnen der Koordinaten der interessierenden Vektoren.Wir berechnen zunächst die x1-Koordinaten der Punkte A,B. Nach dem Satzdes Pythagoras gilt im rechtwinkligen Dreieck ΔOA1A (A1 bezeichnet denFußpunkt des Lotes von A auf die x1-Achse): |OA1|2 + 32 = 52, woraus
158 6 Vektorrechnung
|OA1| = 4 folgt. Da B der Mittelpunkt von OA ist, folgt |OB1| = 2, wobeiB1 den Fußpunkt des Lotes von B auf die x1-Achse bezeichnet. Wir erhal-ten somit die Koordinaten der Punkte im dreidimensionalen Raum: A(4; 3; 0),
B(2; 1, 5; 0), C(0; 2, 5; 0), O = (0, 0, 0) und die Vektoren −→OA =
⎛⎝ 430
⎞⎠,
−−→OB =
⎛⎝ 21, 5
0
⎞⎠, −−→BC =−→OC −−−→OB =
⎛⎝ 02, 5
0
⎞⎠−⎛⎝ 2
1, 50
⎞⎠ =
⎛⎝ −210
⎞⎠.
Der gesuchte Kraftvektor F ist gleichgerichtet zum Vektor −−→BC, und wir setzendeshalb:
F = λ
⎛⎝ −210
⎞⎠ mit noch zu bestimmendem λ ∈ R. Die in A und B angrei-
fenden Kräfte sind gegeben durch FA =
⎛⎝ 0−10
0
⎞⎠ und FB =
⎛⎝ 0−12
0
⎞⎠.
2. Schritt: Berechnen des Gesamtdrehimpulses.Wir berechnen nun den Gesamtdrehimpuls unseres mechanischen Systems undsetzen diesen gleich 0, denn unser System soll sich in Ruhelage befinden. Somitfolgt: (
−−→OB × FB) + (
−→OA× FA) + (
−−→OB × F ) = o und dann mittels der Formel
für die Koordinatendarstellung des Vektorproduktes:⎛⎝ 00
−24
⎞⎠ +
⎛⎝ 00
−40
⎞⎠ +
⎛⎝ 00
5λ
⎞⎠ = o.
Für die x3-Koordinate folgt −24− 40 + 5λ = 0 und damit λ = 12, 8. Damiterhalten wir das Ergebnis |F | = √
(−2 · 12, 8)2 + 12, 82 ≈ 28, 62. Somit ist derBetrag der Zugkraft im Halteseil 28,62 kp.
