Hydrologie und Flussgebietsmanagement - iwhw.boku.ac.at · Wintersemester 2007/08 Institut für...

Wintersemester 2007/08

Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiven Wasserbau

Vorstand: o.Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. H.P. Nachtnebel

Studienblätter

H.P. Nachtnebel

Hydrologie und Flussgebietsmanagement

LVA-Nr. 816.101

Mit Beiträgen von: J. Fürst

C. Gamperling H. Habersack H. Holzmann

K. Leroch C. Neuhold G. Schuster

Inhaltsverzeichnis

Seite I

INHALTSVERZEICHNIS

1 STATISTISCHE GRUNDLAGEN

1.1 Einleitung ................................................................................................................................................ 1-4

1.1.1 Definitionen ...................................................................................................................................... 1-4

1.2 Einfache Datenauswertung .................................................................................................................... 1-7

1.2.1 Darstellung von Zeitreihen ............................................................................................................. 1-7

1.2.2 Häufigkeiten ..................................................................................................................................... 1-7

1.2.3 Summenlinie der Häufigkeit ......................................................................................................... 1-10

1.2.4 Summenlinie einer Zeitreihe ......................................................................................................... 1-11

1.2.5 Dauerlinie einer Zeitreihe ............................................................................................................. 1-12

1.3 Wahrscheinlichkeit ............................................................................................................................... 1-14

1.4 Wahrscheinlichkeitsdichte ................................................................................................................... 1-15

1.5 Statistische Parameter .......................................................................................................................... 1-17

1.5.1 Lageparameter ............................................................................................................................... 1-17

1.5.1.1 Arithmetisches Mittel ................................................................................................................ 1-17

1.5.1.2 Geometrisches Mittel ................................................................................................................ 1-18

1.5.1.3 Harmonisches Mittel ................................................................................................................. 1-18

1.5.1.4 Median ...................................................................................................................................... 1-18

1.5.1.5 Modus ....................................................................................................................................... 1-20

1.5.1.6 Quantile .................................................................................................................................... 1-20

1.5.2 Dispersionsparameter (Streumaße) ............................................................................................. 1-20

1.5.2.1 Spannweite und interquantile Differenz ................................................................................... 1-21

1.5.2.2 Varianz und Standardabweichung ............................................................................................ 1-21

1.5.3 Formparameter .............................................................................................................................. 1-21

1.5.3.1 Schiefe (skewness) .................................................................................................................... 1-21

1.5.3.2 Wölbung (kurtosis) ................................................................................................................... 1-22

1.6 Parameterschätzung ............................................................................................................................. 1-23

1.7 Diskrete Verteilungen und ihre Anwendung ..................................................................................... 1-24

1.7.1 Die Binominal-Verteilung ............................................................................................................. 1-24

1.8 Stetige Verteilungen in der Hydrologie .............................................................................................. 1-27

1.8.1 Normalverteilungen ....................................................................................................................... 1-27

1.8.1.1 Gauss’sche Normalverteilung .................................................................................................. 1-27

1.8.1.2 Die standardisierte Normalverteilung ...................................................................................... 1-28

1.8.2 Die Logarithmische Normalverteilung ........................................................................................ 1-31

1.8.3 Pearson III Verteilung .................................................................................................................. 1-32

1.8.4 Logarithmische Pearson III Verteilung ....................................................................................... 1-33

1.8.5 Weibull Verteilung oder Extremal Typ III Verteilung .............................................................. 1-34

1.8.6 Gumbelverteilung oder Extremal Typ I - Verteilung ................................................................ 1-35

1.9 Literatur ................................................................................................................................................ 1-36

Inhaltsverzeichnis

Seite II

2 EXTREMWERTSTATISTIK

2.1 EINLEITUNG .............................................................................................................................. 2-3 2.1.1 Extremwerte aus Zeitreihen ........................................................................................................... 2-3

2.2 Anwendung von stetigen Verteilungen ................................................................................................. 2-5

2.2.1 Hochwasserstatistik ......................................................................................................................... 2-5

2.2.1.1 Anwendung der Gumbel Verteilung............................................................................................ 2-6

2.2.1.2 Anwendung der Pearson-III-Verteilung ................................................................................... 2-11

2.2.2 Niederwasserstatistik..................................................................................................................... 2-14

2.2.2.1 Anwendung der Weibull-Verteilung ......................................................................................... 2-15

2.2.3 Niederschlagsstatistik .................................................................................................................... 2-17

2.2.3.1 Starkregenauswertung .............................................................................................................. 2-17

2.3 Literatur ................................................................................................................................................ 2-20

3 KORRELATION UND

REGRESSION

3.1 Einleitung ................................................................................................................................................ 3-3

3.2 Einfache lineare Korrelation und Regression ...................................................................................... 3-5

3.2.1 Schätzung der Regressionsgeraden ................................................................................................ 3-5

3.2.2 Die Kovarianz .................................................................................................................................. 3-7

3.2.3 Schätzung des Korrelationskoeffizienten ...................................................................................... 3-8

3.2.4 Rangkorrelation ............................................................................................................................... 3-9

3.2.5 Prüfverfahren und Vertrauensbereiche ...................................................................................... 3-10

3.2.5.1 Vertrauensbereich des Korrelationskoeffizienten ..................................................................... 3-10

3.2.5.2 Vertrauensbereiche für die Regressionsgerade ........................................................................ 3-11

3.3 Einfache nichtlineare Regression ........................................................................................................ 3-14

3.3.1 Normalgleichungen ........................................................................................................................ 3-14

3.3.2 Linearisierende Transformation .................................................................................................. 3-16

3.4 Mehrfache Korrelation und Regression ............................................................................................. 3-19

3.4.1 Mehrfache Regression ................................................................................................................... 3-19

3.4.2 Partieller und multipler Korrelationskoeffizient ........................................................................ 3-20

3.4.3 Auswahl der Einflussgrößen ......................................................................................................... 3-21

3.5 Anwendungen und Probleme in der Hydrologie ............................................................................... 3-22

3.5.1 Anwendung der Korrelations- und Regressionsrechnung ......................................................... 3-22

3.5.2 Anwendung für eine Abflussprognose ......................................................................................... 3-22

3.5.3 Probleme bei der Korrelations- und Regressionsrechnung ....................................................... 3-24

3.6 Literatur ................................................................................................................................................ 3-25

Inhaltsverzeichnis

Seite III

4 ZEITREIHENANALYSE UND

ANWENDUNG

4.1 Allgemeines ............................................................................................................................................. 4-3

4.1.1 Statistische Methoden...................................................................................................................... 4-3

4.1.2 Stochastische Methoden .................................................................................................................. 4-4

4.2 Zielsetzung............................................................................................................................................... 4-4

4.3 Methodik ................................................................................................................................................. 4-5

4.3.1 Trendanteil ....................................................................................................................................... 4-6

4.3.1.1 Gleitender Mittelwert ................................................................................................................. 4-7

4.3.1.2 Trendberechnung bei bekannter Periodenlänge ........................................................................ 4-7

4.3.1.3 Trendgerade (Regressionsgerade).............................................................................................. 4-7

4.3.1.4 Trendpolynom ............................................................................................................................. 4-8

4.3.1.5 Sprunghafter Trend..................................................................................................................... 4-9

4.3.1.6 Differenzenbildung ..................................................................................................................... 4-9

4.3.2 Periodenanteil ................................................................................................................................ 4-10

4.3.2.1 Autokorrelation ......................................................................................................................... 4-10

4.3.2.2 Periodenanteil bei unbekannter Periodenlänge ....................................................................... 4-11

4.3.2.3 Periodenanteil bei bekannter Periodenlänge ........................................................................... 4-12

4.3.3 Stochastischer Zeitreihenanteil .................................................................................................... 4-14

4.4 Kreuzkorrelation .................................................................................................................................. 4-15

4.5 Anwendung von Zeitreihenmodellen .................................................................................................. 4-16

4.5.1 Prognose ......................................................................................................................................... 4-16

4.5.2 Simulation ...................................................................................................................................... 4-17

4.5.3 Fiering Modell (1967) .................................................................................................................... 4-17

4.5.4 Speicherbemessung ........................................................................................................................ 4-17

4.6 Diskussion .............................................................................................................................................. 4-20

4.7 Literatur ................................................................................................................................................ 4-21

5 REGIONALISIERUNG &

RÄUMLICHE INTERPOLATION

5.1 Allgemeines ............................................................................................................................................. 5-3

5.2 Untersuchte Größen ............................................................................................................................... 5-4

5.2.1 Regionalisierte Modellparameter und Eingangsgrößen .............................................................. 5-4

5.2.2 Regionalisierte Randbedingungen und Koeffizienten .................................................................. 5-4

5.3 Skalenabhängige Haupttypen der Regionalisierung ........................................................................... 5-5

5.4 Darstellung von räumlichen Daten ....................................................................................................... 5-7

5.5 Schätzung von Werten - Interpolation ................................................................................................. 5-8

5.5.1 Grundlagen ...................................................................................................................................... 5-9

5.5.2 Globale Schätzung ........................................................................................................................... 5-9

5.5.2.1 Thiessen- Polygone ................................................................................................................... 5-10

5.5.2.2 Triangulierung .......................................................................................................................... 5-10

5.5.2.3 Rasterverfahren ........................................................................................................................ 5-10

5.5.2.4 Isolinienverfahren ..................................................................................................................... 5-10

5.5.3 Punktschätzung .............................................................................................................................. 5-12

Inhaltsverzeichnis

Seite IV

5.5.3.1 Thiessen-Polygone .................................................................................................................... 5-12

5.5.3.2 Triangulierung .......................................................................................................................... 5-13

5.5.3.3 Gewichtete Mittelung ................................................................................................................ 5-13

5.6 Kriging ................................................................................................................................................... 5-15

5.6.1 Variogramme ................................................................................................................................. 5-16

5.6.2 Experimentelles Variogramm ...................................................................................................... 5-16

5.6.3 Theoretische Variogramme .......................................................................................................... 5-19

5.6.4 Mögliche Anwendungen: .............................................................................................................. 5-22

5.7 Güte der Schätzung .............................................................................................................................. 5-25

5.8 Anwendung ........................................................................................................................................... 5-26

5.9 Literatur ................................................................................................................................................ 5-27

6 BODENWASSERHAUSHALT

6.1 Allgemeines ............................................................................................................................................. 6-3

6.1.1 Definition .......................................................................................................................................... 6-3

6.1.2 Funktionen im gesamten Wasserkreislauf .................................................................................... 6-3

6.2 Parameter ................................................................................................................................................ 6-4

6.3 Komponenten des Bodenwasserhaushaltes und deren Gesetzmäßigkeiten ...................................... 6-7

6.3.1 Interzeption ...................................................................................................................................... 6-7

6.3.2 Verdunstung ..................................................................................................................................... 6-8

6.3.2.1 Verdunstungsberechnung nach Thornthwaite ............................................................................ 6-9

6.3.2.2 Verdunstungsberechnung nach Penman..................................................................................... 6-9

6.3.2.3 Verdunstungsberechnung nach Haude ....................................................................................... 6-9

6.3.2.4 Verdunstungsberechnung nach Blaney-Criddle ....................................................................... 6-10

6.3.2.5 Aktuelle Verdunstung ................................................................................................................ 6-10

6.3.3 Oberflächenabfluss und Interflow ............................................................................................... 6-11

6.3.4 Speicherung .................................................................................................................................... 6-11

6.3.5 Versickerung, Perkolation und kapillarer Aufstieg ................................................................... 6-11

6.3.6 Jahresgang der Bilanzgrößen ....................................................................................................... 6-14

6.4 Modelle zur Beschreibung des Bodenwasserhaushalts ..................................................................... 6-16

6.4.1 Analytische Modelle ...................................................................................................................... 6-16

6.4.2 Konzeptionelle Modelle ................................................................................................................. 6-16

6.4.3 Transfermodelle ............................................................................................................................. 6-17

6.4.4 Deterministische, numerische Simulationsmodelle .................................................................... 6-17

6.5 Messung von Modellparameter und Systemzustände ....................................................................... 6-20

6.6 Anwendungsbereich der Bodenwasserhaushalts-komponenten und Diskussion ........................... 6-21

6.7 Makroporen (BRAUN) ........................................................................................................................ 6-24

6.8 Literatur ................................................................................................................................................ 6-25

7 GRUNDWASSERHAUSHALT

7.1 Zielsetzung............................................................................................................................................... 7-3

7.2 Grundwasser Typen ............................................................................................................................... 7-4

7.3 Parameter ................................................................................................................................................ 7-7

7.3.1 Speicherkoeffizient .......................................................................................................................... 7-7

7.3.2 Durchlässigkeitsbeiwert .................................................................................................................. 7-8

7.4 Gesetze ..................................................................................................................................................... 7-9

Inhaltsverzeichnis

Seite V

7.4.1 Gesetz von Darcy ............................................................................................................................. 7-9

7.4.2 Bilanzgleichung .............................................................................................................................. 7-10

7.5 Bestimmung geohydraulischer Parameter ......................................................................................... 7-11

7.5.1 Pumpversuche ................................................................................................................................ 7-11

7.5.2 Theoretische Grundlagen zur Auswertung von Pumpversuchen ............................................. 7-11

7.6 Funktionen des Grundwassers ............................................................................................................ 7-14

7.6.1 Grundwasser als Speicher............................................................................................................. 7-15

7.6.2 Wechselwirkung zwischen Grundwasser und Oberflächengewässern ..................................... 7-16

7.6.2.1 Speicherung bei Hochwasser (bank storage) ........................................................................... 7-16

7.6.2.2 Speisung des Basisabflusses ..................................................................................................... 7-17

7.6.2.3 Grundwasserdynamik - Qualität .............................................................................................. 7-18

7.6.2.4 Ökologische Aspekte ................................................................................................................. 7-18

7.6.3 Funktionen von Grundwassersystemen ....................................................................................... 7-18

7.7 Grundwassermodelle ............................................................................................................................ 7-19

7.7.1 Zielsetzung ...................................................................................................................................... 7-19

7.7.2 Modellbildung ................................................................................................................................ 7-19

7.7.2.1 Modelltypen .............................................................................................................................. 7-19

7.7.3 Daten ............................................................................................................................................... 7-23

7.7.3.1 Parameter und Randbedingungen ............................................................................................ 7-23

7.7.4 Grundwassermodelle als Elemente eines Entscheidungshilfesystems ...................................... 7-24

7.7.5 Modellanwendung ......................................................................................................................... 7-24

7.7.5.1 Grundwasserentnahmen ........................................................................................................... 7-25

7.7.5.2 Auswirkung von Kraftwerksbauten ........................................................................................... 7-25

7.7.5.3 Modellierung des Schadstofftransports (siehe Kap.7.8) ........................................................... 7-25

7.8 Stofftransport ........................................................................................................................................ 7-26

7.8.1 Stoffeigenschaften .......................................................................................................................... 7-26

7.8.2 Transportmechanismen ................................................................................................................ 7-27

7.8.2.1 Advektiver Stofftransport .......................................................................................................... 7-27

7.8.2.2 Diffusiver Stofftransport ........................................................................................................... 7-27

7.8.2.3 Dispersiver Stofftransport ........................................................................................................ 7-27

7.8.2.4 Advektions-Dispersions-Gleichung (ADE) ............................................................................... 7-29

7.8.2.5 Transport reaktiver Stoffe ......................................................................................................... 7-30

7.8.3 Berechnung des Stofftransports im Grundwasser –Transportmodelle .................................... 7-30

7.8.3.1 Analytische Modelle (kontinuierliche Lösungsverfahren) ........................................................ 7-30

7.8.3.2 Numerische Modelle (diskrete Lösungsverfahren) ................................................................... 7-31

7.8.3.3 Stochastische Modelle .............................................................................................................. 7-32

7.8.4 Hydrologische Sanierungsmaßnahmen bei GW-Verschmutzung ...................................... 7-32

7.9 Literatur ................................................................................................................................................ 7-33

8 NIEDERSCHLAGS-ABFLUSS-

MODELLE –

EINHEITSGANGLINIE

8.1 Allgemeines ............................................................................................................................................. 8-3

8.1.1 Anforderungen ................................................................................................................................. 8-3

8.1.2 Entwicklung hydrologischer Einzugsgebietsmodelle ................................................................... 8-4

8.1.3 Typen von Einzugsgebietsmodellen ............................................................................................... 8-4

8.1.3.1 Modelltypen nach der Art der Prozessbeschreibung .................................................................. 8-4

Inhaltsverzeichnis

Seite VI

8.2 Das Einheitsganglinienverfahren .......................................................................................................... 8-6

8.2.1 Prinzipien des Einheitganglinienverfahrens ................................................................................. 8-6

8.3 Komponenten des Einheitsganglinienverfahrens .............................................................................. 8-10

8.3.1 Der Gebietsniederschlag ............................................................................................................... 8-10

8.3.2 Der Effektivniederschlag .............................................................................................................. 8-10

8.3.3 Methoden zur Bestimmung des Effektivniederschlags .............................................................. 8-11

8.3.3.1 -Index-Verfahren ................................................................................................................... 8-11

8.3.3.2 Prozentwertmethode ................................................................................................................. 8-11

8.3.3.3 Verfahren KÖHLER ................................................................................................................. 8-12

8.3.3.4 Verfahren HORTON ................................................................................................................. 8-13

8.3.3.5 SCS-CN-Methode...................................................................................................................... 8-14

8.3.4 Der Basisabfluss ............................................................................................................................. 8-16

8.4 Anwendung ........................................................................................................................................... 8-17

8.5 Diskussion .............................................................................................................................................. 8-19

8.6 Literatur ................................................................................................................................................ 8-20

9 N-A-MODELLE: KOMBINIERTE

TRANSLATIONS- UND

SPEICHERMODELLE

9.1 Allgemeines ............................................................................................................................................. 9-3

9.2 Speichermodelle ...................................................................................................................................... 9-4

9.2.1 Einzellinearspeicher ........................................................................................................................ 9-4

9.2.2 Lineare Speicherkaskade ................................................................................................................ 9-5

9.2.2.1 NASH-Verfahren (NASH, 1970) ................................................................................................. 9-5

9.2.2.2 Verfahren nach DOOGE (DOOGE, 1950) ................................................................................. 9-5

9.3 Kombinierte Modelle .............................................................................................................................. 9-7

9.3.1 Translation ....................................................................................................................................... 9-7

9.3.1.1 Fließzeit (Konzentrationszeit) ..................................................................................................... 9-7

9.3.1.2 Zeitflächendiagramm .................................................................................................................. 9-9

9.3.2 Retention ........................................................................................................................................ 9-10

9.3.2.1 HYREUN-Verfahren ................................................................................................................. 9-10

9.4 Flussgebietsmodelle .............................................................................................................................. 9-11

9.4.1 Modellkomponenten ...................................................................................................................... 9-11

9.5 Diskussion .............................................................................................................................................. 9-12

9.6 Literatur ................................................................................................................................................ 9-13

Inhaltsverzeichnis

Seite VII

10 RETENTION UND

FLOOD ROUTING

10.1 Allgemeines ............................................................................................................................ 10-3

10.2 Stehende Retention (Seeretention) ...................................................................................... 10-4

10.2.1 Gesetzmäßigkeiten der stehenden Retention ............................................................................ 10-4

10.2.2 Berechnungsmethoden ................................................................................................................ 10-5

10.2.2.1 Iterationsverfahren ................................................................................................................. 10-6

10.2.2.2 Verfahren nach PULS (Ludwig, 1979) ................................................................................... 10-7

10.2.2.3 Graphisches Verfahren nach PULS........................................................................................ 10-8

10.2.3 Anwendung der stehenden Retention und Diskussion ............................................................. 10-9

10.3 Fließende Retention ............................................................................................................ 10-10

10.3.1 Hydraulische Verfahren............................................................................................................ 10-11

10.3.2 Hydrologische Verfahren .......................................................................................................... 10-12

10.3.2.1 Muskingum-Verfahren .......................................................................................................... 10-12

10.3.2.2 Kalinin-Miljukov-Verfahren (Rosemann, 1970) ................................................................... 10-14

10.3.3 Anwendung der fließenden Retention und Diskussion .......................................................... 10-17

10.4 Literatur ............................................................................................................................... 10-18

11 HYDROLOGISCHE

VORHERSAGEN

11.1 Zielsetzung ............................................................................................................................. 11-3

11.2 Einsatzbereich von Abflussprognosemodellen ................................................................... 11-4

11.3 Arten der Prognosemodelle .................................................................................................. 11-5 11.3.1 Prinzip der Abflussprognose ...................................................................................................... 11-5

11.3.2 Abflussprognose und Hochwasserschutz ................................................................................... 11-6

11.4 Komponenten eines Echtzeit-Vorhersagesystems .............................................................. 11-8 11.4.1 Daten ............................................................................................................................................. 11-9

11.4.2 Überblick über Modelle ............................................................................................................ 11-10

11.4.2.1 Rein deterministische Modelle .............................................................................................. 11-10

11.4.2.2 Hybride stochastisch-deterministische Modelle (Transfer Funktion) .................................. 11-10

11.5 Prinzip und mathematische Formulierung gebräuchlicher Modelle ............................. 11-11 11.5.1 Pegelkorrelationen ..................................................................................................................... 11-11

11.5.2 Transfer Funktionen ................................................................................................................. 11-12

11.6 Anwendungsbeispiel: Abflussprognosemodell Enns........................................................ 11-13 11.6.1 Implementation der Prognosekorrektur ................................................................................. 11-13

11.6.2 Ermittlung der Transferfunktion ............................................................................................. 11-13

11.6.3 Korrektur der Tagesprognose .................................................................................................. 11-14

11.7 Unsicherheiten in der Prognose - Ensemble Vorhersagen .............................................. 11-17

11.8 Literatur ............................................................................................................................... 11-18

Inhaltsverzeichnis

Seite VIII

12 KONTINUIERLICHE ABFLUSS-

UND FLUSSGEBIETS-

MODELLE

12.1 Allgemeines ............................................................................................................................ 12-4

12.1 Modelltypen ........................................................................................................................... 12-5 12.1.1 Modellhafte Beschreibung des Niederschlags- und Abflussprozesses .................................... 12-5

12.1.1.1 Deterministische Modelle ....................................................................................................... 12-5

12.1.1.2 Stochastische Modelle ............................................................................................................ 12-7

12.1.1.3 Hybride Modelle (stochastisch-deterministisch) .................................................................... 12-7

12.2 Kontinuierliche N-A Modelle ............................................................................................... 12-8 12.2.1 Kurzbeschreibung der zu erfassenden hydrologischen Prozesse (nach SARTOR, 1993) ..... 12-8

12.2.2 Räumliche Diskretisierung ....................................................................................................... 12-12

12.2.3 Zeitliche Diskretisierung ........................................................................................................... 12-13

12.3 Wasserwirtschaftlicher Rahmenplan ................................................................................ 12-14

12.4 Hydrologische Einzugsgebietsmodelle (COSERO) .......................................................... 12-15 12.4.1 Einleitung ................................................................................................................................... 12-15

12.4.2 Methodik .................................................................................................................................... 12-15

12.4.2.1 Zeitliche Diskretisierung ...................................................................................................... 12-15

12.4.2.2 Räumliche Diskretisierung ................................................................................................... 12-15

12.4.3 Datenanforderung ..................................................................................................................... 12-17

12.4.3.1 Zeitliche Daten ..................................................................................................................... 12-17

12.4.3.2 Räumliche Daten .................................................................................................................. 12-17

12.4.4 Visualisierung der Ergebnisse .................................................................................................. 12-18

12.5 Lisflood ................................................................................................................................. 12-19 12.5.1 Einleitung ................................................................................................................................... 12-19

12.5.2 Methodik .................................................................................................................................... 12-19






12.6 Qualitäts- und Quantitätsmodel (WEAP)......................................................................... 12-22 12.6.1 Einleitung ................................................................................................................................... 12-22

12.6.2 Methodik .................................................................................................................................... 12-22



12.6.3.2 Monetäre Bewertung ............................................................................................................ 12-23


12.7 Stofftransport (WEPP) ....................................................................................................... 12-26 12.7.1 Einleitung ................................................................................................................................... 12-26

12.7.2 Methodik .................................................................................................................................... 12-26

12.7.2.1 Hang ..................................................................................................................................... 12-26

12.7.2.2 Entwässerungsgebiet ............................................................................................................ 12-27


12.8 Watershed Modeling System (WMS) ................................................................................ 12-30 12.8.1 Einleitung ................................................................................................................................... 12-30

12.8.2 WMS Module ............................................................................................................................. 12-30

Inhaltsverzeichnis

Seite IX

12.9 Literaturverzeichnis............................................................................................................ 12-32

13 STOFFTRANSPORT

13.1 Allgemeines ............................................................................................................................ 13-3

13.2 Transport von Schadstoffen ................................................................................................. 13-4

13.3 Transport von Feststoffen .................................................................................................... 13-5 13.3.1 Messung ........................................................................................................................................ 13-6

13.3.1.1 Korngröße und Korngrößenverteilung ................................................................................... 13-6

13.3.1.2 Sohlschubspannung und Bewegungsbeginn ........................................................................... 13-8

13.3.2 Quantitative Beschreibung ....................................................................................................... 13-10

13.3.2.1 Geschiebeformel DU BOYS .................................................................................................. 13-11

13.3.2.2 Gleichung von SHIELDS (1936) (aus Zanke, 1982)............................................................. 13-12

13.3.2.3 Geschiebefunktion von EINSTEIN (1950) (aus Zanke, 1982) .............................................. 13-13

13.3.2.4 Geschiebeformel nach MEYER-PETER und MÜLLER [1949] ............................................ 13-15

13.3.2.5 Geschiebeformel GRAF ........................................................................................................ 13-16

13.3.3 Bettbildender Wasserstand ....................................................................................................... 13-17

13.3.4 Transportkörper ........................................................................................................................ 13-19

13.3.4.1 Riffel ..................................................................................................................................... 13-19

13.3.4.2 Dünen ................................................................................................................................... 13-19

13.3.4.3 Antidünen .............................................................................................................................. 13-19

13.4 Literaturverzeichnis............................................................................................................ 13-20

14 SEDIMENTTRANSPORT-

MODELLIERUNG

14.1 Allgemeines ............................................................................................................................ 14-4

14.2 Arten des Feststofftransportes ............................................................................................. 14-5

14.3 Messung von Sediment ......................................................................................................... 14-7

14.3.1 Volumenprobe .............................................................................................................................. 14-7

14.3.2 Linienzahlanalyse ........................................................................................................................ 14-8

14.3.3 Korngröße und Korngrößenverteilung ..................................................................................... 14-8

14.4 Hydraulisch-physikalische Grundlagen des Feststofftransportes .................................. 14-10

14.4.1 Sohlschubspannung ................................................................................................................... 14-10

14.4.2 Bewegungsbeginn ...................................................................................................................... 14-11

14.5 Quantitative Beschreibung des Feststofftransportes ....................................................... 14-13

14.5.1 Geschiebeformel DU BOYS ...................................................................................................... 14-14

14.5.2 Gleichung von SHIELDS (1936) (aus Zanke, 1982) ............................................................... 14-15

14.5.3 Geschiebefunktion von EINSTEIN (1950) (aus Zanke, 1982) ............................................... 14-16

14.5.4 Geschiebeformel nach MEYER-PETER und Müller ............................................................ 14-19

14.5.5 Geschiebeformel GRAF ............................................................................................................ 14-20

14.6 Bettbildender Wasserstand, Geschiebefracht und Transportkörper ............................ 14-21

14.6.1 Bettbildender Wasserstand ....................................................................................................... 14-21

14.6.2 Jahresgeschiebefracht ............................................................................................................... 14-21

14.6.3 Transportkörper ........................................................................................................................ 14-23

Inhaltsverzeichnis

Seite X

14.6.3.1 Riffel ..................................................................................................................................... 14-23

14.6.3.2 Dünen ................................................................................................................................... 14-23

14.6.3.3 Antidünen .............................................................................................................................. 14-23

14.7 Numerische Berechnung des Sedimenttransportes ......................................................... 14-25

14.7.1 Einleitung ................................................................................................................................... 14-25

14.7.2 Softwareprodukte ...................................................................................................................... 14-26

14.7.3 Datengrundlage für numerische Modelle ................................................................................ 14-27

14.7.4 Anwendung am Beispiel GSTAR-1D ....................................................................................... 14-27

14.7.4.1 Grenzen der Software ........................................................................................................... 14-28

14.7.5 Hydraulische Grundlagen ......................................................................................................... 14-28

14.7.5.1 Stationärer Abfluss ............................................................................................................... 14-28

14.7.5.2 Instationärer Abfluss ............................................................................................................ 14-29

14.7.5.3 Randbedingungen-Hydraulik ................................................................................................ 14-29

14.7.6 Sedimenttransport ..................................................................................................................... 14-29

14.7.6.1 Routing ................................................................................................................................. 14-30

14.7.6.2 Sinkgeschwindigkeit .............................................................................................................. 14-30

14.7.7 Sedimenttransportkapazität ..................................................................................................... 14-31

14.7.8 Sohlmaterial ............................................................................................................................... 14-32

14.7.8.1 Randbedingungen-Sedimenttransport .................................................................................. 14-32

14.8 Kalibrierung und Validierung ........................................................................................... 14-33

14.8.1 Kalibrierungsbeispiel ................................................................................................................ 14-33

14.8.2 Ergebnisse .................................................................................................................................. 14-35

Diskussion .................................................................................................................................... 14-36

14.9 Literatur ............................................................................................................................... 14-37

1 Statistische Grundlagen

Seite 1-1

1 STATISTISCHE GRUNDLAGEN 1.1 Einleitung ............................................................................................................1-4

1.1.1 Definitionen................................................................................................................................ 1-4 1.2 Einfache Datenauswertung.........................................................................1-7

1.2.1 Darstellung von Zeitreihen ......................................................................................................... 1-7 1.2.2 Häufigkeiten ............................................................................................................................... 1-7 1.2.3 Summenlinie der Häufigkeit..................................................................................................... 1-10 1.2.4 Summenlinie einer Zeitreihe .................................................................................................... 1-11 1.2.5 Dauerlinie einer Zeitreihe......................................................................................................... 1-12

1.3 Wahrscheinlichkeit....................................................................................1-14

1.4 Wahrscheinlichkeitsdichte........................................................................1-15

1.5 Statistische Parameter...............................................................................1-17

1.5.1 Lageparameter .......................................................................................................................... 1-17 1.5.1.1 Arithmetisches Mittel ........................................................................................................... 1-17 1.5.1.2 Geometrisches Mittel............................................................................................................ 1-18 1.5.1.3 Harmonisches Mittel............................................................................................................. 1-18 1.5.1.4 Median.................................................................................................................................. 1-18 1.5.1.5 Modus ................................................................................................................................... 1-20 1.5.1.6 Quantile ................................................................................................................................ 1-20

1.5.2 Dispersionsparameter (Streumaße)........................................................................................... 1-20 1.5.2.1 Spannweite und interquantile Differenz ............................................................................... 1-21 1.5.2.2 Varianz und Standardabweichung ........................................................................................ 1-21

1.5.3 Formparameter ......................................................................................................................... 1-21 1.5.3.1 Schiefe (skewness) ............................................................................................................... 1-21 1.5.3.2 Wölbung (kurtosis) ............................................................................................................... 1-22

1.6 Parameterschätzung..................................................................................1-23

1.7 Diskrete Verteilungen und ihre Anwendung..........................................1-24

1.7.1 Die Binominal-Verteilung ........................................................................................................ 1-24 1.8 Stetige Verteilungen in der Hydrologie...................................................1-27

1.8.1 Normalverteilungen.................................................................................................................. 1-27 1.8.1.1 Gauss’sche Normalverteilung............................................................................................... 1-27 1.8.1.2 Die standardisierte Normalverteilung................................................................................... 1-28

1.8.2 Die Logarithmische Normalverteilung..................................................................................... 1-31 1.8.3 Pearson III Verteilung .............................................................................................................. 1-32 1.8.4 Logarithmische Pearson III Verteilung .................................................................................... 1-33 1.8.5 Weibull Verteilung oder Extremal Typ III Verteilung ............................................................. 1-34 1.8.6 Gumbelverteilung oder Extremal Typ I - Verteilung ............................................................... 1-35

1.9 Literatur .....................................................................................................1-36


Seite 1-2

Abbildungsverzeichnis ABB 1.1: ABFLUSSGANGLINIE: DRAU 1981-1989, BESTEHEND AUS TAGESWERTEN................ 1-6

ABB 1.2: ABFLUSSGANGLINIE: DONAU 1976 – 1988, BESTEHEND AUS MONATSMITTELWERTEN........................................................................................................ 1-6

ABB 1.3: HISTOGRAMM – ABSOLUTE UND RELATIVE HÄUFIGKEIT ............................................ 1-8

ABB 1.4: ABSOLUTE HÄUFIGKEITEN DER MONATSABFLÜSSE (DONAU, KIENSTOCK, 1976-1999) .............................................................................................................................................. 1-8

ABB 1.5: EMPIRISCHE VERTEILUNGSFUNKTION DER ABFLUSSWERTE (DONAU, KIENSTOCK, 1976-1999) ................................................................................................................................... 1-10

ABB 1.6: UNTER- UND ÜBERSCHREITUNGSWAHRSCHEINLICHKEITEN (DONAU, KIENSTOCK, 1976-1999) ................................................................................................................................... 1-11

ABB 1.7: ABFLUSSGANGLINIE (A) UND DIE DAZUGEHÖRENDE SUMMENLINIE (B) MIT ANGEGEBENEM MITTELWERT. DIE STEIGUNG DER SUMMENLINIE IST IDENTISCH MIT DEM ABFLUSS (KLEINSCHROTH1998)........................................................................ 1-12

ABB 1.8: ABFLUSSGANGLINIE (A) UND DIE DAZUGEHÖRENDE DAUERLINIE (B) MIT ANGEGEBENEN MITTELWERT ............................................................................................. 1-12

ABB 1.9: MITTLERE ÜBERSCHREITUNGSDAUERLINIE (DONAU, KIENSTOCK, 1976-2001)..... 1-13

ABB 1.10: DICHTE- UND VERTEILUNGSFUNKTION (MANIAK, 1992) ........................................... 1-16

ABB 1.11: MEDIAN IN DICHTE- UND VERTEILUNGSFUNKTION DER MONATSMITTEL (DONAU, KIENSTOCK, 1976-1999)......................................................................................... 1-19

ABB 1.12: QUANTILE (5%, 25%, 50%, 75% UND 90%)......................................................................... 1-20

ABB 1.13: HISTOGRAMME UNTERSCHIEDLICHER DICHTEFUNKTIONEN.................................. 1-20

ABB 1.14: (A) POSITIVE SCHIEFE, (B) SYMMETRIE , (C) NEGATIVE SCHIEFE............................ 1-22

ABB 1.16: GAUSS’SCHE NORMALVERTEILUNG................................................................................ 1-28

ABB 1.17: STANDARDISIERTE NORMALVERTEILUNG (LINKS: DICHTEFUNKTION, RECHTS: VERTEILUNGSFUNKTION)..................................................................................................... 1-29

ABB 1.18: DICHTEFUNKTION DER GEGEBENEN JAHRESSUMMEN VON NIEDERSCHLÄGEN1-30

ABB 1.19: WAHRSCHEINLICHKEITS-DICHTE DER LOGNORMAL-VERTEILUNG....................... 1-32

ABB 1.20: GAMMAVERTEILUNG, TYP PEARSON III (P3) ................................................................. 1-33

ABB 1.21: DICHTEFUNKTION DER WEIBULLVERTEILUNG............................................................ 1-34

ABB 1.22: VERTEILUNGSFUNKTION DER WEIBULLVERTEILUNG............................................... 1-34

ABB 1.23: GUMBELVERTEILUNG.......................................................................................................... 1-35

Tabellenverzeichnis

TAB 1.1: MITTLERE MAI-MONATSABFLÜSSE (DONAU, KIENSTOCK, 1976-1999)........................ 1-9 TAB 1.2: ABSOLUTE UND RELATIVE HÄUFIGKEITEN DER ABFLUSSWERTE ............................. 1-9 TAB 1.3: TRANSFORMIERTE WERTE Z UND F(Z):.............................................................................. 1-29


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Definition des Begriffs Hydrologie

Die Hydrologie ist die Wissenschaft vom Wasser, von seinen Eigenschaften und seinen Erscheinungsformen auf und unter der Landoberfläche (DYCK, 1980). Sie beschäftigt sich mit dem Auftreten und der Verteilung des Wassers auf der Erde, inklusive seiner chemischen und physikalischen Eigenschaften. Die wesentlichen in dieser Vorlesung betrachteten Elemente des Wassereislaufs sind:

o Niederschlag

o Schnee bzw. Eis

o Wasser in Flüssen, Seen und Talsperren

o Abfluss und Speicherung

o Direkte und Pflanzenverdunstung

o Bodenwasser

o Grundwasser

Durch die Vorlesung sollen die wesentlichen Prinzipien des hydrologischen Kreislaufs verdeutlicht werden. Basierend auf den Grundlagen der Physik, der Mathematik und der Mechanik sollen die wesentlichen Speicher- und Transportprozesse des Wasserkreislaufs zu Lande erfasst werden. Es geht um das Verständnis der Prozesse, ansatzweise sollen aber auch mathematischnumerische Lösungsverfahren erläutert werden.

Teilprozesse der Hydrologie

o Niederschlag: Absetzen von Wasserpartikeln unterschiedliche Aggregatzustände auf Erde und Vegetation

o Interzeption: Rückhalt von Niederschlag durch Oberflächenbenetzung. Rückgabe durch Verdunstung

o Schneespeicherung: Rückhalt von Niederschlag in einer Schneedecke. Zunächst fester Aggregatzustand, später unterschiedliche.

o Infiltration: Eindringen von Niederschlag in die obere, durchwurzelte Zone. Begrenzung durch Aufnahmefähigkeit des Bodens.

o Interflow: Laterale Abflusskomponente, vorwiegend hangparallel in oberflächennahen Zonen

o Oberflächenabfluss: Abfluss auf der Erdoberfläche nach Überschreiten der Infiltrationskapazität.

o Evapotranspiration: Summe direkter Verdunstung und Pflanzenverdunstung, die aufgrund der klimatischen RB und der Wasserverfügbarkeit möglich ist.

o Perkolation: Aussickerung von Bodenwasser aus der durchwurzelten Zone o Basisabfluss: Austausch zwischen Grundwasser und Fliessgewässer aufgrund des

Druckgefälles.


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1.1 Einleitung Um hydrologische Prinzipien und Methoden verstehen und anwenden zu können, müssen, zum besseren Verständnis, zuerst die Grundlagen der Hydrologie erklärt und definiert werden.

Diese sind u.a. im Bereich der Statistik zu finden, da man in der Hydrologie meist mit Hilfe relativ weniger Informationen (Stichproben) Rückschlüsse auf das Ganze (die sogenannte Grundgesamtheit) ziehen muss.

1.1.1 Definitionen Der Wahrscheinlichkeitsbegriff Es gibt verschiedene Beschreibungen des Begriffes "Wahrscheinlichkeit". Sie umfassen gleichartige Wahrscheinlichkeiten (klassische Definition), relative Häufigkeiten in sehr langen Versuchsreihen (empirische Definition der Wahrscheinlichkeit), und einen über Axiome definierten Wahrscheinlichkeitsbegriff.

Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit nach Laplace Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit nach Laplace setzt die Gleichwahrscheinlichkeit aller Elementarereignisse voraus. Darüber hinaus muss die Anzahl der Elementarereignisse finit sein.

( )Fälle möglichen der AnzahlFälle günstigen der AnzahlEP =

Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu würfeln lässt sich nach Laplace angeben aus der Anzahl der günstigen Fällen (eben genau die Sechs zu würfeln) und der Anzahl aller möglichen Fälle (die Zahlen Eins, Zwei...oder Sechs zu würfeln) [1],[2]

Daten Grundlage für die quantitative Beschreibung von Zufallserscheinungen sind Beobachtungswerte oder Daten, Sie sind durch Betrag und Einheit definiert. Sie entstehen als Ergebnisse eines Experiments oder einer Messung. Spielt die Reihenfolge der Messung keine Rolle, so handelt es sich um probabilistische Zufallsdaten. Bestehen probabilistische Daten aus diskreten Zahlen, spricht man von diskreten Daten. Können ihre Werte innerhalb eines Bereichs auf der Zahlenachse an beliebiger Stelle liegen, dann handelt es sich um stetige Daten. Bei manchen Arten von Experimenten kann das Ergebnis auch eine über die Zeit stetige Funktion xi(t) sein, wie z.B. bei der Messung der turbulenten Strömungsgeschwindigkeit an einem Punkt in einer Gerinneströmung. Wiederholt man diesen Versuch, so erhält man eine zweite Funktion xi+1(t), deren Verlauf nicht mit dem der ersten Funktion übereinstimmt. Und nicht vorhersehbar ist. Zufallsdaten dieser Art heißen stochastische Zeitfunktionen (PLATE, 1993). Hydrologische Variable

• Grundgesamtheit und Stichprobe: In der Regel steht im Vergleich zur Gesamtheit aller denkbaren Ergebnisse einer Messung einer Größe, der sogenannten Grundgesamtheit, immer nur eine kleine Anzahl von Daten zur Verfügung. Diese ist eine Teilmenge der Grundgesamtheit, die sogenannte Stichprobe. Ziel der in der Hydrologie verwendeten statistischen Methoden ist es nun aus dieser Stichprobe Rückschlüsse auf die Grundgesamtheit zu ziehen. Die dabei gesuchten Parameter der Grundgesamtheit werden mit griechischen Buchstaben dargestellt (α , β , γ , ...), solche der Stichproben in lateinischen Buchstaben (a, b, c, ...). Es ist die wichtigste Aufgabe der beurteilenden Statistik, aus den


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Werten der Stichprobe auf die statistischen Eigenschaften der Grundgesamtheit zu schließen. Es liegt allerdings in der Natur der Stichprobe dass aus ihren Eigenschaften nur eine Schätzung für die Eigenschaften der Grundgesamtheit gewonnen werden kann (PLATE, 1993).

Grundgesamtheit Stichprobe

finit infinit immer finit

• Niederschlag: Tages-, Monats- und Jahressummen der Niederschlagshöhe; Intensitäten; Relation Dauer-Niederschlagshöhe-Auftretenswahrscheinlichkeit, Dauer-Niederschlagsspende-Auftretens-Wahrscheinlichkeit

• Abflüsse: Tages-, Monats-, Jahresmittel (Tab 1.1:); Niederwasser-, Hochwasserabflüsse, Auftretenswahrscheinlichkeit; Wasserstände;

• Andere hydrologische Variablen: Verdunstung, Bodenfeuchte, Luft-, Wassertemperatur, Windrichtung, Geschwindigkeit, Schwebstoff- und Geschiebetransport, Grundwasserstand und andere.

• Zeitreihe: Hydrologische Variablen sind fast immer Funktionen von Raum und Zeit. Als Ergebnis von Messungen einer Variable an einem Punkt im Raum, dem Standort des Messgerätes, erhält man eine Zeitreihe. Die Zeitreihe ist eine Folge von Messwerten in der Ordnung ihres zeitlichen Auftretens. Die Messwerte können stetig, (Abb 1.1:) wie etwa der Wasserstand bei einem Schreiber, oder diskret, zu bestimmten Zeitpunkten, wie etwa die Ablesung eines Lattenpegels einmal täglich, aufgezeichnet werden. In letzterem Fall ist die Variable selbst, also der Wasserstand stetig, die Daten liegen allerdings in Form einer diskreten, äquidistanten Zeitreihe vor. Von einer äquidistanten Zeitreihe spricht man, wenn der Zeitabstand zwischen den Messungen bzw. den dargestellten Werten immer gleich bleibt (im Gegensatz zu inäquidistanten Zeitreihen). Dies trifft für die Daten vieler hydrologischer Variablen zu. Aus einer vollständigen Zeitreihe von Tageswerten können etwa Zeitreihen der Jahreshöchstwerte, jährliche Reihen, gewonnen werden. Oder es werden alle Werte, die einen bestimmten Grenzwert über- oder unterschreiten zu einer partiellen Reihe zusammengefügt. Die Daten liegen dann nicht mehr in äquidistanter Form vor, sondern in Form einer diskreten, inäquidistanten Zeitreihe.

Von stationären Zeitreihen spricht man, wenn sich die Charakteristik ihrer statistischen Parameter nicht mit der Zeit ändert. Der sogenannte Trend (siehe Kap. 4.3.1) ist der Hinweis auf eine Änderung des Mittelwertes oder anderer statistischer Parameter.


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Abb 1.1: Abflussganglinie: Drau 1981-1989, bestehend aus Tageswerten

Abb 1.2: Abflussganglinie: Donau 1976 – 1988, bestehend aus Monatsmittelwerten


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1.2 Einfache Datenauswertung Die graphische Darstellung von Zeitreihen (Abb 1.1: und Abb 1.2:), Häufigkeiten (Abb 1.3:), Über- und Unterschreitungsdauerlinien (Abb 1.5: und Abb 1.6:) und Summenlinien (Abb 1.7:) gibt einen ersten Eindruck über die Charakteristik der vorliegenden Daten. Die optische Bewertung ist ein wesentlicher Faktor in der Datenanalyse.

1.2.1 Darstellung von Zeitreihen Zeitreihen werden in Form von Ganglinien dargestellt. Dabei werden die beobachteten Messwerte in der zeitlichen Reihenfolge ihres Auftretens aufgetragen. Stetige Variablen werden als Polygon dargestellt, Mittelwerte und Summen als Treppenlinie.

1.2.2 Häufigkeiten Die Darstellung der Häufigkeiten in Form eines Histogramms (Abb 1.3:) ist eine Form der Auswertung, bei der die zeitliche Reihenfolge des Auftretens keine Rolle spielt. Die Elemente der Stichprobe werden in Klassen unterteilt. Jeder Messwert (Tab 1.1:) wird nun der entsprechenden Klasse zugeordnet. Die absolute Häufigkeit Hj gibt die Anzahl der Werte pro Klasse an, wobei j den Index der Klassen j = 1, ...k darstellt (Tab 1.2:). Die Summe der absoluten Häufigkeiten Hj ergibt somit den Umfang der Stichprobe n:

∑=

=k

jjHn

1 Glg. 1.1

Die relative Häufigkeit hj wird durch Normierung mit der Anzahl der Stichprobenelemente n erhalten:

nH

h jj = Glg. 1.2

hj .......relative Häufigkeit in Klasse j Hj ......absolute Häufigkeit in Klasse j n........Anzahl der Elemente in der Stichprobe k........Klassenzahl

Für die Festlegung der Klassenanzahl k gibt es unterschiedliche Empfehlungen:

nk ln33,11 ⋅+= , (Sturges, 1926)

000.100000,10,20000,10000,1,16

000,1100,13100,10

≤<≥≤<≥≤<≥≤≥

nknknknk

[7] Glg. 1.3

Man sollte die Klassenbreite Δx so wählen, dass sich 90 % der Werte in 7 Klassen befinden.


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Abb 1.3: Histogramm – absolute und relative Häufigkeit

H(Q

)

Q [m³/s]

Abb 1.4: Absolute Häufigkeiten der Monatsabflüsse (Donau, Kienstock, 1976-1999)

Weiters gilt, dass zur Vereinfachung der Berechnung keine leeren Klassen auftreten, und dass die Klassenbreite Δx konstant ist. Bei unterschiedlicher Klassenbreite ist darauf zu achten, dass die Häufigkeit proportional der Fläche aufgetragen wird. Die Ordinate stellt dann die Häufigkeitsdichte, das ist die Häufigkeit pro Einheit der Klassenintervalle, dar.


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Tab 1.1: Mittlere Monatsabflüsse (Donau, Kienstock, 1976-1999)

Jahr Jan Feb Mrz Apr Mai Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dez 1976 2026 1163 1018 1321 1728 2185 1383 1616 1629 1166 1114 12151977 1031 2614 2266 2305 2640 2140 1900 2837 1700 1038 1234 13711978 1260 1071 2276 1913 2527 2427 2714 1867 1824 1879 1192 11691979 1087 1750 2318 2576 2721 3431 2575 2109 1666 1292 2029 20731980 1267 2299 1440 2639 2865 3087 3461 2156 1691 1732 1328 15611981 1560 1666 2914 2448 2019 2016 3040 2130 1720 2480 2292 23691982 2579 2227 1809 2081 2640 2965 2231 1972 1392 1273 1015 14031983 2237 1739 1817 2442 2384 2472 1877 1751 1340 1122 868 12201984 1269 1369 1131 1719 2035 2126 1951 1809 2150 1578 952 9471985 839 1910 1348 1616 2365 2393 1975 3075 1797 976 917 13551986 2050 1229 1521 2243 2714 2575 1763 1638 1258 1024 1022 10261987 1664 1622 2442 2691 3001 3396 3060 2572 1702 1146 1184 20241988 1371 1424 3120 3535 2726 2424 1990 1887 1975 1195 1267 29191989 1760 1546 1689 1944 1934 2042 2449 2049 1795 1499 1376 13441990 1024 1791 1976 1584 1789 2214 2456 1317 1395 1180 1576 11711991 1610 915 1334 1111 1953 2668 2604 3017 1091 968 1012 15841992 1183 1387 2055 2234 2605 2166 1693 1220 1149 1132 2374 21361993 1577 1250 1794 2022 1876 1999 2863 2112 2013 1648 1225 19911994 1953 1526 2219 2912 2571 2380 1685 1385 1411 1029 1335 14401995 1782 2074 1911 3029 2701 3788 2351 1789 2495 1201 1535 15301996 1197 924 1179 1726 2515 1942 2220 1688 2265 2257 1848 14761997 1028 1364 2085 1972 2512 2083 3573 1840 1149 1443 957 16211998 1218 1003 1704 1748 1634 1925 2028 1445 2050 1926 2856 18121999 1507 2225 2827 2476 4052 2904 2512 1733 1519 1330 1179 1583

Tab 1.2: Absolute und relative Häufigkeiten der Abflusswerte

Klassenzahl Klassenintervall Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit j (m³/s) Hj hj 1 1000, 1250 10 0.03 2 1250, 1500 43 0.15 3 1500, 1750 37 0.13 4 1750, 2000 43 0.15 5 2000, 2250 43 0.15 6 2250, 2500 38 0.13 7 2500, 2750 26 0.09 8 2750, 3000 23 0.08 9 3000, 3250 10 0.03 10 3250, 3500 8 0.03 11 3500, 3750 3 0.01 12 3750, 4000 2 0.01 13 4000, 4250 1 0.00 14 4250, 4500 1 0.00


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1.2.3 Summenlinie der Häufigkeit Die Summenlinie der Häufigkeit gibt für jede Klassengrenze die Häufigkeit aller Werte bis einschließlich dieser Klassengrenze an. Sind die Werte in aufsteigender Reihenfolge geordnet, erhält man damit die Unterschreitungshäufigkeit für jede Klassengrenze. Sind die Werte in absteigender Reihenfolge geordnet, erhält man die Überschreitungshäufigkeit. Zwischen den Klassengrenzen wird linear interpoliert (Abb 1.5:).

Ebenso kann die Summenlinie der absoluten bzw. relativen Häufigkeit aus den einzelnen Elementen der Stichprobe ermittelt werden. Diese werden nach ihrem Betrag geordnet, für die Unterschreitungsdauerlinie ansteigend, für die Überschreitungsdauerlinie abfallend (Abb 1.6:), wodurch ihr Rang k definiert ist. Die Summenhäufigkeit F(x) der Variablen x ergibt sich durch die Anzahl der Werte vom 1. bis zum betrachteten Rang. Die relative Häufigkeit ergibt sich als Quotient k/n, wobei k den Rang und n die Anzahl der Stichprobenelemente bezeichnet (Abb 1.3:).

Gewässer: DonauPegel: Kienstock (bei Krems)

Beobachtungszeitraum: 1976 - 1999

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750 3000 3250 3500 3750 4000 4250

Q [m³/s]

[%]

Abb 1.5: Empirische Verteilungsfunktion F(Q) der Abflusswerte Q (Donau, Kienstock, 1976-1999)


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Gewässer: DonauPegel: Kienstock (bei Krems)

Beobachtungszeitraum: 1976 - 1999

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

25

0

50

0

75

0

100

0

125

0

150

0

175

0

200

0

225

0

250

0

275

0

300

0

325

0

350

0

375

0

400

0

425

0

Q [m³/s]

[%]

UnterschreitungswahrscheinlichkeitUeberschreitungswahrscheinlichkeit

Abb 1.6: Unter (F(Q)- und Überschreitungswahrscheinlichkeiten (1-F(Q)) (Donau, Kienstock, 1976-1999)

Die relativen Summenhäufigkeiten F(x) können als empirische Über- bzw. Unterschreitungswahrscheinlichkeiten (Abb 1.6:) interpretiert werden. In letzterem Fall bedeutet ein Wert von F(x)= P für einen bestimmten Betrag der Variable x, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein zukünftig gemessener Wert den Wert x unterschreitet, P, oder in Prozent ausgedrückt, P*100%, beträgt – unter der Voraussetzung, dass die Stichprobe die Grundgesamtheit ausreichend beschreibt. Das Problem besteht darin, dass bei Verwendung der Formel P = F(x) = k/n die Unterschreitungswahrscheinlichkeit für den höchsten Wert automatisch mit Fu(x) = 1 berechnet wird. Das ist natürlich nicht richtig, da zukünftige Werte durchaus einmal höher als das bisher aufgetretene Maximum sein können.

1.2.4 Summenlinie einer Zeitreihe Durch Aufsummieren der Werte der Ganglinie entsteht die Summenlinie (Abb 1.7:). Sie dient zum Beispiel zur Ermittlung der Abflussfrachten eines Flusses. Definitionsgemäß ist die Abflussfracht das im Untersuchungszeitraum aufgetretene Volumen. Dieses ergibt sich durch Integration der Abflussganglinie (Abb 1.7:).

Abflussfrachten sind in all jenen Untersuchungen von Bedeutung, die sich in irgendeiner Form mit Wasserspeicherung, etwa Hochwasser-Rückhaltebecken, Niederwasser-Aufhöhung und anderen beschäftigen. Allgemein gilt für die Ermittlung der Summenlinie für ein Zeitintervall (0,T)

∫ ⋅=T

dttQT

MQ0

)(1


Seite 1-12

Abb 1.7: Abflussganglinie (a) und die dazugehörende Summenlinie (b) mit angegebenem Mittelwert. Die Steigung der Summenlinie ist identisch mit dem Abfluss (KLEINSCHROTH1998)

1.2.5 Dauerlinie einer Zeitreihe Die Dauerlinie einer Zeitreihe erhält man durch fortlaufende Aufsummierung der Häufigkeiten. Wenn man vom niedrigsten Wert ausgeht erhält man die Unterschreitungswahrscheinlichkeit, geht man vom höchsten Wert aus die Überschreitungswahrscheinlichkeit. Die Dauerlinie spielt eine wichtige Rolle bei der statistischen Behandlung des Abflussgeschehens, sie erstreckt sich normalerweise über die Zeitspanne eines Jahres.

Abb 1.8: Abflussganglinie (a) und die dazugehörende Dauerlinie (b) mit angegebenen Mittelwert


Seite 1-13

Mittlere Überschreitungsdauerlinie der Abflüsse

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

0 50 100 150 200 250 300 350 Tage

[m³/s]

Abb 1.9: Mittlere Überschreitungsdauerlinie (Donau, Kienstock, 1976-2001)


Seite 1-14

1.3 Wahrscheinlichkeit An ein empirisch erhaltenes Histogramm (Abb 1.3:) lässt sich eine theoretische Verteilung, gekennzeichnet durch die Dichtefunktion f(x) anpassen. Dieser Vorgang bedeutet, dass man eine Verteilung für die Grundgesamtheit annimmt, und dass diese durch Variation der Parameter an die Beobachtungen angepasst wird. Nun stellt sich natürlich oft die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit P ist, dass ein beliebiger zukünftiger Messwert xi einen bestimmten Betrag x unterschreitet.

Hier stellt sich natürlich auch gleich die Frage, wie man den Begriff Wahrscheinlichkeit definiert. Man kann sie unter zwei Gesichtspunkten sehen (KONECNY 1997):

1.) Als relative Häufigkeit in einer langen Versuchsreihe

2.) Als zugeordnete Maßzahl um die Ungewissheit eines Ereignisses zu quantifizieren

Diese Situation entspricht der klassischen Definition eines Ereignisses E:

( )FällemöglichenderAnzahlFällegünstigenderAnzahl

EP =


Seite 1-15

1.4 Wahrscheinlichkeitsdichte

Wahrscheinlichkeitsverteilung Zur eindeutigen Festlegung einer Zufallsvariablen dient die Verteilungsfunktion. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der X einen Wert kleiner oder gleich x annimmt:

F(x) = Prob (X≤x)

Im Fall diskreter Zufallsvariablen ist die Verteilungsfunktion eine Treppenfunktion, die an den Stellen xi Sprungstellen besitzt, wobei die Sprunghöhen durch f(xi) gegeben sind. Aus den Axiomen der Wahrscheinlichkeitsrechnung ergibt sich zwangsläufig, dass die Verteilungsfunktion die Werte 0 bis 1 durchläuft [1].

Die Anforderungen an eine Dichtefunktion der Wahrscheinlichkeit sind:

( ) 0≥xf

und ∑ =i

ii xf 1)( Glg. 1.4

Die Wahrscheinlichkeit F ist das Integral der Dichtefunktion. Umgekehrt ergibt sich die Dichtefunktion aus der Ableitung der Wahrscheinlichkeitsfunktion.

( ) ( )∫∞−

=x

dttfxF Glg. 1.5

( ) ( )xFdxdxf = Glg. 1.6

Die Anforderungen an eine Wahrscheinlichkeitsfunktion sind:

• F ist monoton steigend

• ( ) 0=∞−F bzw. ( ) 1=∞F

Es besteht natürlich die Erwartung, dass sich auch dieser Messwert xi konform der bisherigen Stichprobe verhalten wird. Die relative Häufigkeit dieser Stichprobe ist daher ein Maß für die gesuchte Wahrscheinlichkeit P. Die aufgrund der Stichprobe abgeleitete theoretische Wahrscheinlichkeit, das ist die Wahrscheinlichkeit der vermuteten Grundgesamtheit, wird durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung F(x) und die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) beschrieben (Abb 1.10:). Die Wahrscheinlichkeit, dass die Variable einen Wert zwischen a und b annimmt ist:


Seite 1-16

( ) ( ) )()( aFbFdxxfbxaPb

a

−==≤< ∫ Glg. 1.7

( ) ( ) )(aFdxxfxaPa

==≤ ∫∞−

Glg. 1.8

( ) ( ) )(1 aFdxxfxaPa

−==≥ ∫∞

Glg. 1.9

a, b ....Parameter

Abb 1.10: Dichte- und Verteilungsfunktion (MANIAK, 1992)


Seite 1-17

1.5 Statistische Parameter Die statistischen Parameter dienen der mathematischen Beschreibung einer Stichprobe vom Umfang n mit den Daten x1, x2, x3, ... xn. Meistens ist es so, dass sich die Stichprobenelemente in einem bestimmten Wertebereich konzentrieren. Die Lageparameter geben einen Zahlenwert zur Festlegung des Wertebereichs des konzentrierten Auftretens an. Die Verteilung der Stichprobenelemente über einen Bereich auf der Merkmalsachse wird durch die Dispersionsparameter (Streumaße) beschrieben. Weitere Parameter können für die Beschreibung der Art der Verteilung entlang der Merkmalsachse herangezogen werden.

Prinzipiell ist zwischen den Parameter der Stichprobe und jenen der Grundgesamtheit zu unterscheiden. Die Parameter der Stichprobe, meist durch lateinische Buchstaben gekennzeichnet, ändern sich mit dem Stichprobenumfang und konvergieren gegen die Parameter der Grundgesamtheit. Letztere sind fast nie bestimmbar; sie werden durch griechische Symbole gekennzeichnet.

1.5.1 Lageparameter Der Mittelwert, der Median und der Modus legen eine Stichprobe auf der Merkmalsachse fest und dienen damit der einfachen Charakterisierung dieser Daten.

1.5.1.1 Arithmetisches Mittel Das arithmetische Mittel x einer Stichprobe x1, x2, ... xn ist die Maßzahl für das zentrale Verhalten einer Stichprobe vom Umfang n. Es ergibt sich aus folgender Gleichung:

( ) ∑=

=++=n

iin x

nxx

nx

11

11K Glg. 1.10

Liegen bereits nach Klassen geordnete Daten vor, lässt sich der Mittelwert aus der relativen Häufigkeit hj jeder Klasse und den Klassenmittelwerten Xj ermitteln:

( ) ∑=

=++=k

iiikk Xh

nXhXh

nX

111

11K Glg. 1.11

Das arithmetische Mittel kann nur von metrischen Daten berechnet werden. Es setzt mindestens intervallskalierte Merkmale voraus. Es gilt nicht für ordinale Daten, für logarithmierte Werte (z.B. pH-Werte) oder für zirkulare Daten (z.B. Winkelangaben). Soll z. B. das arithmetische Mittel aus pH-Werten berechnet werden, so sind diese Werte zuerst zu delogarithmieren, dann wird das arithmetische Mittel daraus berechnet. Das Ergebnis wird anschließend wieder logarithmiert, um den pH-Mittelwert zu erhalten. Es entspricht somit dem geometrischen Mittel (siehe unten).

Sind die einzelnen Daten bereits in Klassen mit den Mitten xi und der Häufigkeit fi geordnet, dann gilt:

∑= ii xfx Glg. 1.12


Seite 1-18

1.5.1.2 Geometrisches Mittel Das geometrische Mittel ist die n-te Wurzel aus dem Produkt aller Werte. Verwendung findet das geometrische Mittel z B. bei Vorliegen einer logarithmischen Verteilung. Hier charakterisiert das geometrische Mittel besser die Lage der Daten als das arithmetische Mittel. Es ist immer kleiner oder gleich dem arithmetische Mittel. Das geometrische Mittel gx wird aus einer Stichprobe von Einzelwerten aus folgender Gleichung ermittelt:

( )nn

ii

nng xxxxx

/1

1

/121 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== ∏

=

K Glg. 1.13

1.5.1.3 Harmonisches Mittel Die Gleichung zur Berechnung des harmonischen Mittels lautet:

∑=

+++=

iin

h

x

n

xxx

nx 1111

21

K

Glg. 1.14

1.5.1.4 Median 50~ xx =

Der Median ist jener Wert auf der Merkmalsachse, der die Summenlinie der Häufigkeitsverteilung halbiert (Abb 1.11:). Er wird von 50% der Werte überschritten bzw. unterschritten. Der Median einer, nach dem Betrag geordneten Reihe von Einzelwerten, ist bei einer ungeraden Anzahl von Werten jener Wert mit dem Rang (n+1)/2. Bei einer geraden Anzahl von Werten ist es das Mittel jener Werte mit dem Rang n/2 bzw. (n/2)+1. Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel wird der Median durch extreme Werte des Merkmals nur wenig beeinflusst, sodass er gegenüber Ausreißern weniger empfindlich ist. Besonders bei schiefen Verteilungen ist der Median oft das geeignetste Maß zur Charakterisierung der mittleren Tendenz [1].


Seite 1-19

MedianwertQ50%=1802 m³/s

Medianwert Q50%=1802 m³/s

[%]

100 %

50 %

0 %

Abb 1.11: Median in Dichte- und Verteilungsfunktion der Monatsmittel (Donau, Kienstock, 1976-1999)


Seite 1-20

1.5.1.5 Modus Der Modus, auch Modalwert genannt, ist der am häufigsten auftretende Wert einer Stichprobe, bzw. jener Klassenmittelwert mit der größten Häufigkeit. Für symmetrische, eingipflige Verteilungen sind Median, arithmetisches Mittel und der Modus ihrem Zahlenwert nach identisch.

1.5.1.6 Quantile Häufig verwendete Quantile sind jene mit 10%, 25%, 50% (Median), 75% und 90% auf der Ordinate der Häufigkeitssummenlinie. Die entsprechenden Werte auf der Merkmalsachse sind x10, x25, x50, x75 und x90 (Abb 1.12:).

1. Quantile (25%-Quantile)

Median (50%-Quantile)

3.Quantile (75%-Quantile)

Qua

ntile

der

rela

tiven

Sum

men

häuf

igke

it

Abb 1.12: Quantile (5%, 25%, 50%, 75% und 90%)

1.5.2 Dispersionsparameter (Streumaße) Unter dieser Bezeichnung sind alle Parameter zusammengefasst, welche die Verteilung der Stichprobenelemente entlang der Merkmalsachse beschreiben. Dazu zählen die Spannweite, interquantile Differenzen sowie Varianz und Standardabweichung. Abb 1.13: zeigt verschiedene Verteilungen, die bei gleichem Mittelwert unterschiedliche Dispersions-Charakteristiken aufweisen.

H

äufig

keit

von

x

Häu

figke

it vo

n x

Abb 1.13: Histogramme unterschiedlicher Dichtefunktionen


Seite 1-21

Trotz verschiedener Verteilungen ist der Mittelwert immer der gleiche. Deshalb ist es nötig, die Verteilung zusätzlich mit Hilfe der Dispersionsparameter (Spannweite & interquantile Differenz, Varianz & Standardabweichung, Wölbung & Schiefe) zu beschreiben.

1.5.2.1 Spannweite und interquantile Differenz Die Spannweite ist als Differenz des maximalen und minimalen Wertes der Stichprobenelemente definiert: w = xmax - xmin.

Für die interquantile Differenz werden die Werte x75 und x25 herangezogen: D = x75 - x25. Spannweite und interquantile Differenz können durch Bezug auf den Mittelwert, w/x bzw. D/x, normalisiert und damit vergleichbar gemacht werden. Da dieser Parameter nur 2 Werte aus den Beobachtungen verwendet, besteht eine beträchtliche Unsicherheit. Man verwendet daher die Parameter Varianz und Standardabweichung.

1.5.2.2 Varianz und Standardabweichung Die Varianz ist ein Maß dafür, wie stark die Beobachtungen durchschnittlich von ihrem arithmetischen Mittel abweichen Sie berücksichtigt die beidseitige Abweichung. Die Varianz der Stichprobe sx

2 wird aus den quadrierten Abweichungen der einzelnen Stichprobenelemente vom Mittelwert berechnet:

( )∑=

−−

=n

iix xx

ns

1

22

11

Glg. 1.15

Die Standardabweichung ist die positive Wurzel der Varianz:

( )∑=

−−

=n

iix xx

ns

1

2

11

Glg. 1.16

Die Gleichungen zur Berechnung der entsprechenden Variationskoeffizienten Cv lauten:

xsC x

V = Glg. 1.17

1.5.3 Formparameter Die Formparameter Schiefe und Wölbung beschreiben die Form der Verteilung.

1.5.3.1 Schiefe (skewness) Die Schiefe Cs ist ein Maß für die Symmetrie bzw. Asymmetrie einer Verteilung. Median und arithmetisches Mittel fallen nicht zusammen. Alle Werte die kleiner sind als der Mittelwert haben einen positiven, alle Werte größer als der Mittelwert einen negativen Beitrag zur Schiefe. Ist die Verteilung symmetrisch, ist die Schiefe Null. Eine Verteilung mit einem langsam fallenden Ast an der rechten Seite weist eine positive Schiefe auf, bzw. wird als linksschief bezeichnet. Verhält es sich umgekehrt, spricht man von einer negativen Schiefe, bzw. rechtsschiefen Verteilung (Abb 1.14:). Dieser Parameter ist wichtig bei Extremwerten wo das Verhalten der Verteilung in Randbereichen wichtig ist. Die Gleichung wird in Kapitel 4.1. gezeigt. Der Schiefekoeffizient Cs ist dimensionslos.


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3

3)()2)(1( X

iS s

xxnn

nC ∑ −•

−−= Glg. 1.18

x

f(x)

x x

Abb 1.14: (a) Positive Schiefe, (b) Symmetrie , (c) Negative Schiefe

1.5.3.2 Wölbung (kurtosis) Die Wölbung Ck ist ein Maß für die Konzentration der Stichprobenelemente um den Mittelwert. Sie weist bei einer schmalen und spitzen Verteilung einen geringeren Wert auf als bei einer breiten flachen Verteilung ). Die Wölbung ist dimensionslos. Die Gleichung zur Ermittlung der Wölbung wird im Kapitel 4.1. angegeben.

4

4)()2)(1( X

ik S

xxnn

nC ∑ −∗

−−= Glg. 1.19


Seite 1-23

1.6 Parameterschätzung Die verfügbare Datenmenge (die Stichprobe) ist im Vergleich zur theoretisch denkbaren viel größeren Datenmenge (der Grundgesamtheit) sehr gering. Die Dichtefunktion der Wahrscheinlichkeit f(x), die alle statistischen Informationen einer Zufallsvariable enthält, ist daher in den meisten praktischen Anwendungsfällen nicht bekannt. Das Ziel der statistischen Schätzung ist es, die Parameter dieser Dichtefunktion so genau als möglich aus den gemessenen Daten zu schätzen. Dazu ist es zuerst notwendig, eine geeignete theoretische Verteilung festzulegen und dann deren Parameter zu schätzen. Für die Bestimmung der Parameter einer gewählten Verteilung werden vorgegebene Berechnungsverfahren angewendet. Diese sind die Schätzung der Parameter nach der Momenten-Methode, der Maximum-Likelihood-Methode und nach Bayes.

Ziel der Parameterschätzung ist die Auswahl eines erwartungstreuen Schätzverfahrens mit einer möglichst geringen Fehlervarianz. Dazu sollen alle Informationen, die in den Daten zur Verfügung stehen, verwendet werden. Weiters soll das Schätzverfahren mit zunehmender Größe der Stichprobe bessere Ergebnisse liefern, und die Funktion sollte möglichst einfach sein.


Seite 1-24

1.7 Diskrete Verteilungen und ihre Anwendung

1.7.1 Die Binominal-Verteilung Wiederholte unabhängige Versuche, bei welchen in jedem Versuch nur zwei Versuchsausgänge möglich sind und deren Eintretenswahrscheinlichkeiten während der ganzen Versuchsreihe konstant bleiben, nennt man Bernoulli-Experiment. Die beiden möglichen Versuchsausgänge werden als Erfolg und Misserfolg bezeichnet. Bezeichnet man die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Erfolges mit p und des Nichtauftretens mit q, so ist p+q=1.

Die Binominal-Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass bei n unabhängigen Versuchen ein Ereignis, dem beim Einzelversuch die Wahrscheinlichkeit p zukommt, genau k-mal auftritt:

( ) 1,;)( −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== nx qp

xn

pnxPxf x = 0,1,....,n Glg. 1.20

Wobei: n......... Anzahl der Versuche k......... Anzahl der Erfolge Die Wahrscheinlichkeiten P(x;n,p) bilden also eine Verteilung B(n,p), die Binominal-Verteilung mit den Parametern n und p. (Beispiele siehe Skriptum „Statistik“ für die Studienrichtung KTWW, Kapitel 4)


Seite 1-25

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x

f(x)

p = 0,25

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

f(x)

p = 0,5

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

f(x)

p = 0,75

Abb 1.15: Binominal-Verteilung Wahrscheinlichkeitsfunktion für n = 10 und verschiedene p-Werte

Anwendung in der Hydrologie:

• Berechnung der Wahrscheinlichkeit dass ein Hochwasser mit der Jährlichkeit n genau einmal in n Jahren auftritt

• Berechnung der Wahrscheinlichkeit dass im Zeitraum von n Jahren mindestens ein Hochwasser mit der Jährlichkeit n auftritt


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Beispiel zur Binominal-Verteilung [1], [2] Die Wahrscheinlichkeit eines Hochwassers einer bestimmten Mindesthöhe sei 5 % pro Jahr. Man erwartet also, dass in 100 Jahren fünf solcher Hochwässer auftreten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in 100 Jahren genau 10 Hochwässer dieser Höhe zu erleben?

Wir fassen die Fragestellung als ein Bernoulli-Experiment auf. Als Erfolg bezeichnen wir das Ereignis "Hochwasser mit bestimmter Mindesthöhe", als Nichterfolg einen Wasserstand unter diesem Wert. Wir gehen von der Annahme aus, dass zwischen zwei Hochwasserwellen soviel Zeit verstreicht, dass die eine Welle nicht auf der anderen aufbaut, zwei Hochwässer somit unabhängig voneinander sind. Die Erfolgswahrscheinlichkeit p ist festgelegt mit p = 0,05, die Gegenwahrscheinlichkeit beträgt demnach q = 0,95. Das Experiment wird n = 100 mal (100 Jahre) durchgeführt. Der Erwartungswert für n = 100 wurde bereits oben erwähnt: In 100 Jahren erwarten wir das Auftreten des Wasserstandes mit einer Häufigkeit von 5=⋅= pnμ .

( )

017,095,005,010

100

10

9010 ≈⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== − ii xnx

iqp

xn

XP

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 0,017 oder 1,7 %.


Seite 1-27

1.8 Stetige Verteilungen in der Hydrologie In folgenden Kapiteln werden die Dichtefunktionen und Parameter einiger in der Hydrologie verbreiteten theoretischen Häufigkeitsverteilungen angeführt und die Funktionen dargestellt.

1.8.1 Normalverteilungen

1.8.1.1 Gauss’sche Normalverteilung Von den stetigen Verteilungen ist die Gauss’sche Normalverteilung (auch bekannt als Gauss’sche Glockenkurve) als Verteilung für eine große Anzahl zufälliger Ereignisse von besonderer Bedeutung. Obwohl sie für hydrologische Untersuchungen nur bedingt zur Anwendung kommt, bildet sie die Grundlage für eine Reihe von Verfahren, wie Anpassung von Verteilungsfunktionen, Verteilung von zufälligen Messfehlern, Vergleich mit anderen Verteilungsfunktionen, Stichprobenverteilung von Parametern sowie Erzeugung von normalverteilten Zufallszahlen. Die Normalverteilung ist eine symmetrische, zweiparametrige, beidseitig unbegrenzte Verteilung (Abb 1.16:).

Dichtefunktion: ( )2

21

21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

= σμ

πσ

x

exf es gilt: ( )+∞<<∞− x Glg. 1.21

Die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion ( ) ( )xxPxF i ≤= lautet:

Verteilungsfunktion: ( ) ∫∞−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

=x t

dtexF2

21

21 σ

μ

πσ Glg. 1.22

Anwendungsbereiche:

• Untersuchung von Monats- und Jahresniederschlägen;

• Untersuchung von Monats- und Jahresabflüssen;

• Jahresmittel der Temperatur

• Anpassung von symmetrischen empirischen Verteilungen von Zufallsvariablen

• Verteilung von Fehlern und Störungen von Messgrößen

• Simulation zufälliger Prozesse


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Wahrscheinlichkeits-Dichte

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

f(x)

µa

Verteilungsfunktion

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F(x)

a

P(X=a)

Abb 1.16: Gauss’sche Normalverteilung

1.8.1.2 Die standardisierte Normalverteilung Die Normalverteilung NV ist eines der häufigst angewendeten statistischen Modelle zur Analyse von Daten einer Stichprobe. Die Verwendung der standardisierten NV zur Bestimmung von Größen definierter Wahrscheinlichkeit soll hier dargestellt werden. Zur Erinnerung: Die Dichtefunktion der NV mit den Parametern Mittelwert m und Varianz σ2, also NV(μ, σ2) lautet (Glg. 1.21):

( )2

21

21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

= σμ

πσ

x

exf Glg. 1.23

Die standardisierte NV(0,1) mit den Werten 0 und 1 für die Parameter μ und σ ( 1,0 2 == σμ , Abb 1.17:) erhält man durch Substitution mit dem Wert z: ( ) zx =− σμ / Die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion liegen für die standardisierte NV(0,1) in tabellierter Form vor. Einige besondere Werte sind in folgender Tabelle herausgegriffen:


2

21 z

ezf−

=π

Glg. 1.24

Verteilungsfunktion: ( ) ∫∞−

−=

z z

dzezF2

2

21π

Glg. 1.25


Seite 1-29

Tab 1.3: transformierte Werte z und F(z):

zweiseitige Verteilung einseitige Verteilung

-z +z ( ) ( )zFzzzP i =+≤<−=α -z +z ( ) ( )zFzzP i =+≤<∞−=α

-1,150 +1,150 0,750 ∞− +0,6745 0,750

-1,282 +1,282 0,800 ∞− +0,8416 0,800

-1,440 +1,440 0,850 ∞− +1,036 0,850

-1,645 +1,645 0,900 ∞− +1,282 0,900

-1,780 +1,780 0,925 ∞− +1,440 0,925

-1,960 +1,960 0,950 ∞− +1,645 0,950

-2,054 +2,054 0,960 ∞− +1,751 0,960

-2,170 +2,170 0,970 ∞− +1,881 0,970

-2,326 +2,326 0,980 ∞− +2,054 0,980

-2,576 +2,576 0,990 ∞− +2,326 0,990

-2,807 +2,807 0,995 ∞− +2,576 0,995

Aus der standardisierten Normalverteilung kann die Überschreitungswahrscheinlichkeit berechnet bzw. auf Millimeterpapier dargestellt werden (man spricht dann von einem Wahrscheinlichkeitsnetz). Die Werte in Tab 1.3: bedeuten z.B. dass 95% aller Werte innerhalb von z(-1,96;+1,96) liegt.

Aufgrund der Symmetrie der NV und der Gesamtfläche A = 1 ergibt sich:

( ) ( )zZPzZP −<−=≤ 1 Glg. 1.26

Wah

rsch

einl

ichk

eit

Wah

rsch

einl

ichk

eit

Abb 1.17: Standardisierte Normalverteilung (links: Dichtefunktion, rechts: Verteilungsfunktion)

F(x)f(x)


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Anwendungsbeispiel A:

• Gegeben seien Jahressummen von Niederschlägen, die durch eine NV beschrieben werden können:

• Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit, dass der Jahresniederschlag den Wert von 1250 mm übertrifft: ( ) ( )mmxPmmxP ii 125011250 ≤−=>

x ~ NV (1000 mm, 40000 mm2)

Abb 1.18: Dichtefunktion der gegebenen Jahressummen von Niederschlägen

Mittels Substitution zi = (xi – 1000)/200 und xi = 1250 erhält man z = 1.25 (m = 1000, s = 200; Anm.). Aus der Tabelle der standardisierten NV kann man die Wahrscheinlichkeit ( ) 8944,025.1 =≤izP entnehmen.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist daher:

( ) 1056,08944,0125.1 =−=>izP .

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Jahresniederschlag einen Wert von 1250 mm überschreitet beträgt demnach etwa 11%.

Anwendungsbeispiel B:

• Gegeben sei dieselbe Stichprobe wie oben.

• Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit, dass die Jahressumme zwischen 600 und 1200 mm liegt, also ( )mmxP i 1200600 ≤< .

Nach Substitution durch z erhält man ( )12 ≤<− izP .

Daraus ergibt sich P = F(z) = 0,8413 - (1 - 0,9772) = 0,8185


Seite 1-31

1.8.2 Die Logarithmische Normalverteilung Die logarithmische Normalverteilung wird üblicherweise in der gleichen Art angepasst wie die Normalverteilung. Die entsprechenden Momente werden aus den logarithmierten Daten y = ln x bestimmt.

Es gilt: ( ) ( )2,~,~ln xxLNxNx σμσμ ⇔ Glg. 1.27


22)(ln1

21 σ

μ

πσ

−−

=x

ex

xf Glg. 1.28

Die Parameter μ und σ beziehen sich auf die Verteilung von ln x, die Parameter μx und σx beziehen sich auf die Verteilung von x

Die Parameter können aus folgenden Gleichungen ermittelt werden:

Erwartungswert: 22σμμ += ex Glg. 1.29

Varianz: ( )12222 −= + σσμσ eex Glg. 1.30

Die Log-Normalverteilung ist 2-parametrig, asymmetrisch, linksseitig begrenzt und rechtsseitig unbegrenzt. Vorteil: Nach wenigen Zwischenschritten (Transformationen) kann man wieder eine standardisierte NV einsetzen. Sie wird häufig auf praktische Probleme angewendet, was daran liegt, dass diese Funktion einen Minimalwert von x=x0 hat und nach oben hin nicht begrenzt ist, sondern asymptotisch nach 0 strebt. Dieses Verhalten entspricht der Vorstellung vom verhalten vieler zufällig verteilter physikalischer Größen, die immer positiv sind, aber mit zunehmender Größe immer seltener auftreten. Beispiele für lognormal verteilte Daten sind z.B. Extremhochwässer oder auch die Mantelreibung und die Spitzendruckspannung von Rammpfählen (PLATE 1975 und 1993, HETTLER 1989).


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-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

µ = 0.2σ = 0.6

Abb 1.19: Wahrscheinlichkeits-Dichte der Lognormal-Verteilung

mit µ = 0.2 und σ = 0.6.

1.8.3 Pearson III Verteilung Die Pearson-Typ III Verteilung bezeichnet man oft auch als die verschobene Gammaverteilung. Sie wird als Standardverfahren zur Ermittlung der HW-Häufigkeit (Scheitelabflüsse) bei jährlichen Serien herangezogen. Die Pearson III Verteilung entspricht den 3-parametrigen Gammaverteilungen, sie ist einseitig begrenzt, linksseitig bei positiver Schiefe, rechtsseitig bei negativer Schiefe Cs.

Dichtefunktion: ( ) ( )

)(0

10)(

1xxba

a

exxabxf −−

+

⋅−⋅+Γ

=

es gilt: ( )0≥x

Verteilungsfunktion: ( ) ∫=′

′⋅′=x

x

xdxfxF0

)(

Glg. 1.31

Glg. 1.32

Anwendungsbereiche:

• u.a. für die Berechnung von Niederwasserereignissen seltener Eintrittswahr-scheinlichkeit geeignet

• Ermittlung der Häufigkeit von Extremwerten der Tagesniederschläge

• Ermittlung der Häufigkeit von Extremwerten der Spitzenabflüsse in kurzen bis mittleren Zeiträumen

f(x)


Seite 1-33

Abb 1.20: Gammaverteilung, Typ Pearson III (P3)

1.8.4 Logarithmische Pearson III Verteilung Durch Substitution von y = ln(x) in der Pearson III Verteilung erhält man die Log-Pearson Verteilung. Aus den logarithmierten Daten werden die Schätzungen für x , s2 und Cs berechnet und daraus die Parameter der Verteilung ermittelt. Die Anwendung dieser Verteilung für die Ermittlung extremer Abflüsse ist weit verbreitet. Die Funktion kann allerdings je nach Parameterset sehr unterschiedliche Formen annehmen, sodass auf die Einhaltung des Kriteriums Cs > 0 unbedingt Rücksicht zu nehmen ist.

Anwendungsbereiche:

• z.B. Berechnung von HW-Abflüssen für eine vorgegebene Wiederholungszeitspanne

• Niederwasseranalyse

f(x)

Pearson III Verteilung


Seite 1-34

1.8.5 Weibull Verteilung oder Extremal Typ III Verteilung Ihr liegt die Annahme zugrunde, dass aus einer Reihe von normalverteilten Teilkollektionen die Extremwerte herausgesucht und zu einem neuen Kollektiv zusammengestellt werden, das Gegenstand einer weiteren Analyse ist. Da eine Begrenzung in Richtung des gewünschten Wertes erfolgt, wird sie bei Kleinstwerten bevorzugt (für Niedrigwasser).

Dichtefunktion: ( ) ( )( )ccc bxxcbxf /exp1 −⋅⋅= −−

es gilt: ( )∞≤≤ x0

Verteilungsfunktion: ( ) ( )( )cbxxF /exp1 −−=

Glg. 1.33

Glg. 1.34

Anwendungsbereiche:

• u.a. für die Berechnung von Niedrigwasserereignissen seltener Eintrittswahr-scheinlichkeit geeignet

Abb 1.21: Dichtefunktion der Weibullverteilung

Abb 1.22: Verteilungsfunktion der Weibullverteilung

f(x)

F(x)


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1.8.6 Gumbelverteilung oder Extremal Typ I - Verteilung Es handelt sich um eine Extremwertverteilung vom Typ 1 mit zwei Parametern (EV1(a,b)). Die Gumbelverteilung ist zweiparametrig, doppelt exponentiell, asymmetrisch mit einer festen Schiefe (Cs=1,139) und rechtsseitig unbegrenzt (Abb 1.23:).

Abb 1.23: Gumbelverteilung

Dichtefunktion: ( ) axeaxaexf

−−−=

es gilt: ( )∞≤≤∞− x

Verteilungsfunktion: ( )( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

+−c

xa

exF exp

Glg. 1.35

Glg. 1.36

Wobei: xx ss

c 28255,16=

⋅=

π und cxa 5772,0−=

Die Extremwert Typ-1-Verteilung von Gumbel ist die asymptotische Verteilung für die Normalverteilung, die Lognormal- und die Exponentialverteilung. Durch Substitution von y = (a+x)/c erhält man die standardisierte Form der Gumbel Verteilung.

Anwendungsbereiche:

• Auswertung von Niederschlägen vorgegebener Dauer

• Berechnung eines Bemessungshochwassers

• Niederwasser


Seite 1-36

1.9 Literatur

ANDRESZ, H.J. (2001): Glossar zur Datenerhebung und statistischen Analyse; Universität Bielefeld; http://psydok.sulb.uni-saarland.de/volltexte/2004/268/html/; Siehe auch Link [3]

DURNER, W. (1999): Einführung in die Statistik; Skript zur Vorlesung an der Universität Bayreuth.

DYCK, S.: Angewandte Hydrologie; Teil 1. 2. Aufl., W. Ernst & Sohn 1980.

KHR (CHR) – Internationale Kommission für die Hydrologie des Rheingebiets (1993): Verteilungsfunktionen in der Hydrologie; Bericht Nr. II-8 der KHR; H.G.Mendel - Bundesversuchsanstalt für Gewässerkunde Koblenz. ISBN 90-70980-19-3

KONECNY, F. (1997): Statistik für die Studienrichtung Kulturtechnik und Wasserwirtschaft; Skriptum. WUV-Verlag Wien

MANIAK, U. (1993): Hydrologie und Wasserwirtschaft; 3. Aufl., Springer Lehrbuch

MAIDMENT; D.R. (1993): Handbook of Hydrology; McGraw-Hill – ISBN 0-07-039732-5

PLATE, E.J. (1975): Parameterschätzung für die 3-paramtrige Lognormalverteilung; In Leitmotiv Wasser, Institut für Wasserbau und Wasserwirtschaft, Universität Karlsruhe, Eigenverlag, S. 325-336

PLATE, E. J. (1993): Statistik und angewandte Wahrscheinlichkeitslehre für Bauingenieure; Ernst & Sohn

RUTSCHMANN, P. (2002): Vorlesung Ingenieurhydrologie; http://water2.uibk.ac.at/de/pdf/0/einf%C3%BChrung.pdf

SACHS, L. (1984): Angewandte Statistik; 6. Aufl., Springer

STURGES, (1926): The choice of a class interval; Journal of the American Statistical Association

KLEINSCHROTH, A. (2000): Einführung in die Hydrologie; Vorlesungsunterlagen TU München

Links:

[1] http://www.soil.tu-bs.de/mitarbeiter/durner/lehre/statistik/statistik99.pdf

[2] http://slws1.bau-verm.uni-karlsruhe.de/module/statistik/daten/daten.html

[3] http://psydok.sulb.uni-saarland.de/volltexte/2004/268/html/surfstat/normal.htm

2 Extremwertstatistik

Seite 2-1

2 EXTREMWERTSTATISTIK

2.1 EINLEITUNG ....................................................................................................2-3 2.1.1 Extremwerte aus Zeitreihen........................................................................................................ 2-3

2.2 Anwendung von stetigen Verteilungen .........................................................2-5 2.2.1 Hochwasserstatistik .................................................................................................................... 2-5

2.2.1.1 Anwendung der Gumbel Verteilung....................................................................................... 2-6 2.2.1.2 Anwendung der Pearson-III-Verteilung ............................................................................... 2-11

2.2.2 Niederwasserstatistik ................................................................................................................ 2-14 2.2.2.1 Anwendung der Weibull-Verteilung .................................................................................... 2-15

2.2.3 Niederschlagsstatistik ............................................................................................................... 2-17 2.2.3.1 Starkregenauswertung .......................................................................................................... 2-17

2.3 Literatur.........................................................................................................2-20


Seite 2-2

Abbildungsverzeichnis

ABB 2.1: DARSTELLUNG VON EXTREMWERTEN MITTELS JÄHRLICHER UND PARTIELLER REIHEN ......................................................................................................................................................... 2-4

ABB 2.2: GUMBEL-WAHRSCHEINLICHKEITSPAPIER......................................................................... 2-8

ABB 2.3: EXTREMWERTE UND VERTRAUENSGRENZEN NACH GUMBEL.................................... 2-9

ABB 2.4: GRAPHISCHE ANPASSUNG DER PEARSON-III-VERTEILUNG........................................ 2-12

ABB 2.5: ANPASSUNG DER DREI GETESTETEN VERTEILUNGEN AN DIE TATSÄCHLICH AUFGETRETENEN EREIGNISSE: ........................................................................................................... 2-13

ABB 2.6: ERMITTLUNG DER KENNGRÖßE NMXQ. (DVWK, 1983, S.3)........................................... 2-14

ABB 2.7: ERMITTLUNG DER KENNGRÖßEN D UND V. (DVWK, 1983, S.3) ................................... 2-15

ABB 2.8: PARAMETER λ FÜR DIE WEIBULL-VERTEILUNG ............................................................ 2-17

ABB 2.9: SUMMENHÄUFIGKEITSLINIEN FÜR INTENSITÄTEN VON STARKREGEN ................. 2-18

ABB 2.10: REKORDNIEDERSCHLÄGE WELTWEIT NACH JENNINGS............................................ 2-19

Tabellenverzeichnis

TAB 2.1: ALTERNATIVE PLOTTING POSITIONS UND IHRE ANWENDUNG ................................... 2-6

TAB 2.2: HÄUFIGKEITSFAKTOR KT DER GUMBEL-VERTEILUNG................................................. 2-10

TAB 2.3: HÄUFIGKEITSFAKTOR Tδ DER GUMBEL-VERTEILUNG................................................ 2-10

TAB 2.4: FAKTOR KT DER PEARSON-III-VERTEILUNG..................................................................... 2-12

TAB 2.5: FAKTOR δT DER PEARSON-III-VERTEILUNG ..................................................................... 2-13


Seite 2-3

2.1 Einleitung

2.1.1 Extremwerte aus Zeitreihen Extremwerte von hydrologischen Variablen werden in der Hydrologie oft benötigt. Dazu zählen Hochwasserabflüsse, Starkniederschläge, Niederwasserabflüsse, die Dauer von niederschlagsfreien Perioden und viele andere in wasserwirtschaftlicher Hinsicht wichtige Größen. In der Extremwertstatistik werden solche Größen mit vorgegebenen Verteilungsfunktionen behandelt. Man geht bei der Zeitreihenanalyse von der Annahme aus, dass stationäre Verhältnisse vorliegen, das heißt die Verteilung und ihre Parameter sind über lange Zeit unverändert. Für Fließgewässer heißt das z.B. dass Verbauungen (Längs- oder Querbauwerke), Saisonalitäten, eine veränderte Landnutzung im Einzugsgebiet sowie der Klimawandel eine Instationarität bewirken, welche die Auswertung von Zeitreihen beträchtlich erschwert.

Jährlichkeit: Die Hochwasser-Jährlichkeit gibt an, in welchem Zeitraum eine bestimmte Wasserstandshöhe oder Abflussmenge im langjährigen Mittel erreicht oder überschritten wird. Der 100-jährliche Abfluss wird im Mittel alle 100 Jahre einmal erreicht oder überschritten. Man spricht in diesem Fall auch vom Wiederkehrsintervall eines Extremereignisses. Das bedeutet natürlich nicht, dass dieses Ereignis in diesem Zeitraum tatsächlich auftreten muss. Die Größe dieses Ereignisses und ihre Auftrittswahrscheinlichkeit sind wichtige Bemessungsgrößen, z.B. bei der Planung von Hochwasserschutzmaßnahmen (siehe Kapitel 14).

Die Ermittlung dieser Jährlichkeiten erfolgt durch statistische und wahrscheinlichkeitstheoretische Analyse der in der Vergangenheit beobachteten Ereignisse (z.B. Hochwasser), die als Zufalls-ereignisse betrachtet werden. Dem aus der Beobachtungsreihe entnommenen Ereignis-Kollektiv wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung angepasst und extrapoliert, um Größe und Auftretenswahrscheinlichkeit eines Ereignisses sowohl im durch Beobachtungen belegten Bereich als auch im noch nicht durch Beobachtungen belegten Extrapolationsbereich der sehr seltenen und entsprechend großen Ereignisse abschätzen zu können. Durch die Anpassung einer theoretischen Verteilungsfunktion wird es also möglich, auch über den durch Beobachtungen belegten Kollektivumfang hinaus zu extrapolieren und die Wahrscheinlichkeit großer (seltener) Ereignisse anzugeben, also z.B. eines HQ(T) mit großem T. Die Extrapolation wird also umso unsicherer, je mehr sich die Anzahl n der Beobachtungsjahre von der Bemessungs-Wiederkehrzeit unterscheidet (DYCK & PESCHKE 1995). (So sind zum Beispiel die Hochwasserschutzanlagen der Stadt Wien – mit der Neuen Donau als Entlastungsgerinne – auf ein HQ10000 bemessen, ein Ereignis also, bei dem die Abschätzung der tatsächlichen Größe aufgrund der relativen Kürze der vorliegenden Beobachtungsreihen mit beträchtlichen Unsicherheiten behaftet ist).


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Abb 2.1: Darstellung von Extremwerten mittels jährlicher und partieller Reihen

In Abb. a) werden die jeweils größten Ereignisse jedes Jahres eines Zeitraums von 20 Jahren in einer sogenannten jährlichen Reihe dargestellt. In Abb. b) werden die 20 größten Ereignisse des selben Zeitraumes, jedoch unabhängig vom Zeitpunkt ihres Auftretens in einer sogenannten partiellen Reihe dargestellt, ebenso in Abb. c) wo die 40 größten Ereignisse unabhängig vom Auftrittszeitpunkt dargestellt werden.

Bei kurzen Beobachtungsreichen ist die Auswertung mittels einer partiellen Reihe zu empfehlen. Generell gilt für die Festlegung des Schwellenwertes: Es sollen etwa 3-mal so viele Ereignisse (unabhängige Ereignisse) überbleiben, als Beobachtungsjahre vorliegen.

a)

b)

c)


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2.2 Anwendung von stetigen Verteilungen

2.2.1 Hochwasserstatistik Bei der Berechnung der Hochwasser-Wahrscheinlichkeit wird der Zusammenhang zwischen dem Hochwasserabfluss Q und dessen Überschreitungswahrscheinlichkeit hergestellt P(Q > QT), bzw. dessen mittleres Wiederkehrintervall T ermittelt. Für die Auftrittswahrscheinlichkeit eines QT in einem Jahr gilt TTQQf 1)( =≥

( ) ( )QFTQQP T =−=≤ 11 Glg. 2.1

( ) ( )TT QQPQQP ≤−=> 1 Glg. 2.2

F(Q) ist der Wert der gewählten Wahrscheinlichkeitsfunktion. Als Verteilungsfunktionen werden häufig angewendet:

• Gumbel (EV1)

• Pearson 3 (G3)

• Weibull

• Logarithmische Pearson 3 (LP3)

• Logarithmische Normalverteilung (LN)

• Gamma Verteilung

• Logarithmische Gamma Verteilung

Das Quantil QT stellt das gesuchte Extremereignis mit dem mittleren Wiederkehrintervall T bzw. der Jährlichkeit 1/T dar. Dieses kann durch Berechnung oder graphische Darstellung in speziellen Wahrscheinlichkeitspapieren ermittelt werden.

Meistens wird folgende Methode für die Parameterschätzung angewendet (Regressionsmethode), die auf Gumbel zurückgeht. Ausgangspunkt ist eine jährliche oder partielle Reihe von Hochwasserabflüssen xj. Der Stichprobenumfang ist n. Die n Elemente werden der Größe nach geordnet, wodurch ihr Rang k festgelegt wird. Daraus wird die empirische Wahrscheinlichkeit F(x) = 1/T explizit berechnet. Die folgenden Ansätze, die sogenannten plotting positions, können dafür Verwendung finden (Tab 2.1:, siehe auch. Kap. 1.2.3):


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Tab 2.1: Alternative plotting positions und ihre Anwendung

Name Formel a T1 Anwendung

Weibull 1

)(+

=n

kxF 0 n+1 Unverzerrte Überschreitungswahr-scheinlichkeiten für alle Verteilungen

Median 365,03175,0)(

+−

=nkxF 0,3175 1,47n+0,5 Median Überschreitungswahrschein-

lichkeiten für alle Verteilungen

APL n

kxF 35,0)( −= ~0,35 1,54n

Bei Verwendung von gewichteten Wahrscheinlichkeitsmomenten (Maidment, 1992)

Blom 4/18/3)(

+−

=nkxF 0,375 1,60n+0,4 Unverzerrte normale Quantile

Cunnane 20,040,0)(

+−

=nkxF 0,4 1,67n+0,3 Annähernd unverzerrte Quantile

Gringorten 12,044,0)(

+−

=nkxF 0,44 1,76n+0,2 Optimiert für Gumbel-Verteilung

Nguyen 29,042,0)(

−−

=nkxF 0,42

Hazen n

kxF 5,0)( −= 0,50 2n Traditionell häufig verwendet

a ist der plotting position Parameter in Glg.1.4 (Kap. 1.2.3) und T1 ist die Wiederholungszeitspanne die jede plotting position der größten Beobachtung in einer Probe der Größe n zuordnet

Die Plotting Position von Weibull führt bei kleinen T zu guten Ergebnissen. Für große T können die berechneten Extremwerte jedoch eventuell stark verfälscht werden. Deshalb wird die Anwendung der Plotting Positions von Gringorten oder Nguyen empfohlen.

2.2.1.1 Anwendung der Gumbel Verteilung Für die Gumbel-Verteilung (Glg. 2.3, siehe auch Kap. 1.8.6) lässt sich die Wahrscheinlichkeit P ausdrücken als

( )( )

TexxP Txe

T11−==≤

−−−

βα

Glg. 2.3

Durch doppeltes Logarithmieren erhält man daher:

( )y xTT T= − = − − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

α β ln ln 11

Glg. 2.4

wobei α, β Parameter der Grundgesamtheit sind


Seite 2-7

Ähnlich wie bei der standard-normalverteilten Variable z (z=(x-μ)/σ) gilt auch hier Glg. 2.5, wobei allerdings KT etwas anders zu berechnen ist als z, da die Parameter der standardisierten Gumbel-Verteilung nicht 0 und 1 sind. Der Häufigkeitsfaktor KT lässt sich aus dem Mittelwert μy und der Standardabweichung σy der Größe y ermitteln, die aus den empirischen Wahrscheinlichkeiten geschätzt werden:

xTT sKxx ⋅+= mit y

yTT

yK

σμ−

= Glg. 2.5

μy und σy sind die Parameter der standardisierten Gumbel Verteilung. Sie sind in der Anwendung vom Stichprobenumfang unabhängig. Der Häufigkeitsfaktor KT ist für ein gegebenes Wiederkehrsintervall nur von der Größe der Stichprobe n abhängig. Die Häufigkeitsfaktoren liegen in tabellierter Form als Funktion des Wiederkehrintervalls und des Stichprobenumfangs vor (Tab 2.2: und Tab 2.3:). Die Standardabweichung der Schätzung xT ist:

nss x

TT δ= mit 21.114.11 TTT KK ++=δ

TT szx ⋅=Δ )()( αα

Glg. 2.6

Wobei: ΔxT...... Schätzfehler z(α).... standardisierte NV (Tab. 1.3 linke Seite) δT........ numerische Werte aus Tab. 2.3

Also je kleiner die Stichprobe n (z.B. Anzahl der Hochwässer), desto Größer ist die Varianz in der Stichprobe und je seltener das zu bestimmende Ereignis, desto größer wird der Schätzfehler. Daraus können die Konfidenzgrenzen für die Schätzung des Extremwertes xT für ein gegebenes Signifikanzniveau (nach der t-Verteilung) ermittelt werden.

nszxszx x

TTTT δ⋅±=⋅± Glg. 2.7

Graphische Lösung der Gumbel-Verteilung

Die Parameter der Gumbel-Verteilung lassen sich aus folgenden Gleichungen ermitteln, wobei die Parameter der Grundgesamtheit durch die Parameter der Stichprobe substituiert werden:

( )μ α μ β

σ ασy x

y x

= −

= Glg. 2.8

Durch die Darstellung der Wertepaare x und F(y) = F(x) in ein Wahrscheinlichkeitspapier (Abb 2.2:) kann die Annahme einer Gumbel-Verteilung rasch überprüft werden. Die Wahrscheinlichkeit wird im doppelt logarithmischen Maßstab, die Variable x im linearen Maßstab aufgetragen, sodass eine


Seite 2-8

Gumbel-Verteilung im Diagramm durch eine Gerade abgebildet wird (Abb 2.2:). Durch Anpassung einer theoretischen Gerade durch die Punktwolke können die Parameter a und b, als Steigung der Gerade bzw. als Abstand auf der x-Achse abgelesen werden. Die Parameter a und b sind Schätzer für α und β. Sie können auch mit Hilfe der Momenten-Methode oder der Methode der kleinsten Quadratsummen errechnet werden.

Abb 2.2: Gumbel-Wahrscheinlichkeitspapier

Die Werte der Stichprobe werden der Größe nach geordnet und dem größten Ereignis der Rang R = 1 zugeordnet. Vereinfacht hat in einer Beobachtungsreihe von n Jahren das größte Ereignis die Auftrittswahrscheinlichkeit von 1/n , das Ereignis mit dem Rang k die Wahrscheinlichkeit k/n. Für die grafische Darstellung wird einer der Plotting Positions von Tab. 2.1 verwendet.


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Abb 2.3: Extremwerte und Vertrauensgrenzen nach Gumbel HW-Ereignisse an der Trattnach bei Bad Schallerbach (NACHTNEBEL und VOLLHOFER, 1980):


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Tab 2.2: KT - Wert der Gumbel-Verteilung in Abhängigkeit von Jährlichkeit und Stichprobenumfang

Häufigkeitsfaktor KT Wiederholungszeitspanne in Jahren Stich-

proben-umfang n 1.053 1.111 1.25 2 5 10 20 50 100

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

-1.963 -1.677 -1.578 -1.525 -1.492 -1.468 -1.451 -1.438 -1.427 -1.418 -1.41 -1.404 -1.398 -1.394 -1.389 -1.386 -1.382 -1.379 -1.376 -1.374

-1.631 -1.4 -1.32 -1.277 -1.251 -1.232 -1.218 -1.207 -1.198 -1.191 -1.185 -1.18 -1.176 -1.172 -1.168 -1.165 -1.162 -1.16 -1.158 -1.155

-1.179 -1.023 -0.969 -0.94 -0.922 -0.91 -0.901 -0.893 -0.887 -0.883 -0.879 -0.875 -0.872 -0.869 -0.867 -0.865 -0.863 -0.862 -0.86 -0.859

-0.116 -0.136 -0.143 -0.148 -0.151 -0.153 -0.154 -0.155 -0.156 -0.157 -0.157 -0.158 -0.158 -0.159 -0.159 -0.159 -0.16 -0.16 -0.16 -0.16

1.313 1.058 0.967 0.919 0.888 0.866 0.85 0.838 0.828 0.82 0.813 0.807 0.802 0.797 0.793 0.79 0.787 0.784 0.781 0.779

2.26 1.848 1.703 1.625 1.575 1.541 1.515 1.495 1.479 1.466 1.455 1.446 1.438 1.43 1.424 1.419 1.413 1.409 1.405 1.401

3.168 2.606 2.408 2.302 2.235 2.188 2.153 2.126 2.104 2.086 2.071 2.059 2.047 2.038 2.029 2.021 2.015 2.008 2.003 1.998

4.343 3.587 3.321 3.179 3.089 3.026 2.979 2.943 2.913 2.889 2.869 2.852 2.837 2.824 2.812 2.802 2.793 2.784 2.777 2.77

5.224 4.323 4.005 3.836 3.728 3.653 3.598 3.554 3.519 3.491 3.467 3.446 3.428 3.413 3.399 3.387 3.376 3.366 3.357 3.349

Tab 2.3: Tδ - Wert der Gumbel-Verteilung in Abhängigkeit von Jährlichkeit und Stichprobenumfang

21.114.11 TTT KK ++=δ Wiederholungszeitspanne in Jahren Stich-

proben-umfang n 1.053 1.111 1.25 2 5 10 20 50 100

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

1.732 1.477 1.393 1.349 1.322 1.303 1.289 1.279 1.27 1.263 1.257 1.252 1.248 1.244 1.241 1.238 1.235 1.233 1.231 1.229

1.438 1.249 1.188 1.157 1.138 1.125 1.115 1.108 1.102 1.097 1.093 1.089 1.086 1.084 1.082 1.08 1.078 1.076 1.075 1.073

1.089 0.992 0.964 0.949 0.941 0.935 0.93 0.927 0.925 0.923 0.921 0.919 0.918 0.917 0.916 0.915 0.914 0.914 0.913 0.912

0.939 0.93 0.927 0.925 0.924 0.923 0.922 0.922 0.921 0.921 0.921 0.921 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92

2.096 1.854 1.77 1.725 1.697 1.677 1.663 1.651 1.642 1.635 1.629 1.624 1.619 1.615 1.611 1.608 1.605 1.603 1.601 1.599

3.032 2.62 2.476 2.399 2.351 2.317 2.292 2.272 2.257 2.244 2.233 2.224 2.216 2.209 2.203 2.198 2.193 2.188 2.184 2.181

3.956 3.383 3.181 3.075 3.007 2.96 2.925 2.897 2.876 2.858 2.843 2.83 2.819 2.809 2.8 2.793 2.786 2.78 2.774 2.769

5.167 4.387 4.113 3.967 3.875 3.81 3.762 3.725 3.695 3.671 3.65 3.633 3.617 3.604 3.592 3.582 3.572 3.564 3.556 3.549

6.08 5.146 4.817 4.643 4.532 4.455 4.397 4.353 4.317 4.287 4.263 4.242 4.223 4.207 4.193 4.181 4.169 4.159 4.15 4.141


Seite 2-11

2.2.1.2 Anwendung der Pearson-III-Verteilung

Die Berechnung von Extremwerten nach dieser Verteilung ist weit verbreitet (siehe Kap. 1.8.3) und es liegen daher umfangreiche Erfahrungen in der praktischen Anwendung vor. Es gilt:

( ) ( )( ) ( )∫ −=−Γ

=≤ −−−Tx

A

AxT T

dxeAxxxP 111 ληη

ηλ

Glg. 2.9

Wobei:

xT...... Extremereignis

T........ Jährlichkeit

Voraussetzung für die Anwendung der Methode ist, dass der Schiefekoeffizient positiv ist.

Die Quantile xT der Pearson Verteilung werden berechnet nach: σμ ⋅+= TT Kx

Der Faktor ( )K K nT T= ,γ ist hier eine Funktion von n (Anzahl der Jahreshochwässer) sowie γ = Cs (Schiefekoeffizient). Er kann aus Tabellen entnommen werden (Tab 2.4:). Der Streubereich für die Extremwerte aus der dreiparametrigen Verteilung kann nach folgender Formel näherungsweise berechnet werden (vgl. Glg. 2.7):

nszxszx x

TTTT δ⋅±=⋅± mit ( )22 75,015,01 γγδ +⋅⋅+⋅+≈ TTT KK Glg. 2.10

Die Parameter der Verteilung können nach folgenden Gleichungen aus den Momenten einer Stichprobe ermittelt werden, wobei die Parameter der Grundgesamtheit aus den erwartungstreuen Schätzungen der Stichprobe ermittelt werden:

A = −=

= −

μ σ γλ σ γ

η γ

20 54 12

, Glg. 2.11

Die graphische Darstellung gibt einen raschen Überblick über die Anpassung der Verteilung. Die empirische Unterschreitungswahrscheinlichkeit kann nach der Formel von Weibull mit F(x) = 1/T = k/(n+1) berechnet werden. Besser geeignet ist die Formel von Nguyen mit F(x) = 1/T = (k-0,42)/(n+0,3Cs+0,05), die speziell für die Pearson III Verteilung empirisch abgeleitet wurde. Die so ermittelten Daten werden zusammen mit den numerisch ermittelten Werten der Verteilung in einem Diagramm aufgetragen.


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Abb 2.4: Graphische Anpassung der Pearson-III-Verteilung

Tab 2.4: Faktor KT der Pearson-III-Verteilung

TK Wiederholungszeitspanne in Jahren γ 1.053 1.111 1.25 2 5 10 20 50 100

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

-1.586 -1.555 -1.524 -1.491 -1.458 -1.423 -1.389 -1.353 -1.317 -1.28 -1.243 -1.206 -1.168 -1.131 -1.093 -1.056 -1.02 -0.984 -0.949 -0.915 -0.882 -0.85 -0.819 -0.79

-1.258 -1.245 -1.231 -1.216 -1.2 -1.183 -1.166 -1.147 -1.128 -1.107 -1.086 -1.064 -1.041 -1.018 -0.994 -0.97 -0.945 -0.92 -0.895 -0.869 -0.844 -0.819 -0.795 -0.771

-0.85 -0.853 -0.855 -0.857 -0.857 -0.857 -0.856 -0.854 -0.852 -0.848 -0.844 -0.838 -0.832 -0.825 -0.817 -0.808 -0.799 -0.788 -0.777 -0.765 -0.752 -0.739 -0.725 -0.711

-0.033 -0.05 -0.067 -0.083 -0.099 -0.116 -0.132 -0.148 -0.164 -0.18 -0.195 -0.21 -0.225 -0.24 -.0.254 -0.268 -0.281 -0.294 -0.307 -0.319 -0.33 -0.341 -0.351 -0.36

0.83 0.824 0.816 0.808 0.8 0.79 0.78 0.769 0.758 0.745 0.733 0.719 0.705 0.691 0.675 0.66 0.643 0.627 0.609 0.592 0.574 0.555 0.537 0.518

1.301 1.309 1.317 1.323 1.329 1.333 1.336 1.339 1.34 1.341 1.34 1.339 1.337 1.333 1.329 1.324 1.318 1.311 1.303 1.294 1.284 1.274 1.262 1.25

1.7 1.726 1.75 1.774 1.797 1.819 1.839 1.859 1.877 1.894 1.91 1.925 1.938 1.951 1.962 1.972 1.981 1.989 1.996 2.001 2.006 2.009 2.011 2.012

2.159 2.211 2.261 2.311 2.359 2.407 2.453 2.498 2.542 2.585 2.626 2.667 2.706 2.743 2.78 2.815 2.848 2.881 2.912 2.942 2.97 2.997 3.023 3.048

2.472 2.554 2.615 2.686 2.755 2.824 2.891 2.957 3.023 3.087 3.149 3.211 3.271 3.33 3.388 3.444 3.499 3.553 3.605 3.656 3.705 3.753 3.8 3.845

Übe

rsch

reitu

ngsw

ahrs

chei

nlic

hkei

t

Abfluss


Seite 2-13

Tab 2.5: Faktor δT der Pearson-III-Verteilung

Tδ Wiederholungszeitspanne in Jahren γ 1.053 1.111 1.25 2 5 10 20 50 100

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

1.507 1.429 1.36 1.302 1.257 1.228 1.217 1.226 1.256 1.307 1.378 1.467 1.571 1.688 1.815 1.949 2.088 2.227 2.364 2.496 2.619 2.73 2.824 2.898

1.253 1.194 1.137 1.082 1.032 0.986 0.947 0.917 0.899 0.894 0.905 0.933 0.98 1.043 1.123 1.218 1.325 1.442 1.568 1.699 1.834 1.97 2.104 2.235

1.107 1.075 1.042 1.008 0.974 0.94 0.904 0.868 0.832 0.795 0.759 0.724 0.693 0.666 0.646 0.637 0.641 0.661 0.699 0.754 0.826 0.912 1.012 1.123

1.083 1.087 1.092 1.099 1.107 1.118 1.13 1.145 1.161 1.18 1.2 1.222 1.246 1.27 1.296 1.321 1.346 1.37 1.393 1.414 1.431 1.446 1.456 1.461

1.231 1.261 1.291 1.32 1.35 1.38 1.41 1.44 1.472 1.506 1.542 1.58 1.622 1.669 1.721 1.779 1.843 1.915 1.995 2.083 2.179 2.285 2.4 2.523

1.499 1.561 1.623 1.685 1.745 1.805 1.863 1.921 1.976 2.03 2.082 2.133 2.182 2.231 2.279 2.327 2.376 2.426 2.48 2.538 2.602 2.673 2.753 2.843

1.881 1.985 2.092 2.2 2.31 2.421 2.532 2.643 2.753 2.862 2.969 3.072 3.173 3.271 3.364 3.453 3.537 3.617 3.692 3.762 3.829 3.893 3.954 4.015

2.498 2.665 2.842 3.027 3.22 3.42 3.626 3.837 4.052 4.27 4.49 4.711 4.933 5.153 5.371 5.585 5.796 6. 6.198 6.388 6.57 6.742 6.904 7.055

3.017 3.236 3.471 3.722 3.987 4.265 4.555 4.856 5.167 5.488 5.815 6.149 6.489 6.832 7.177 7.523 7.868 8.211 8.55 8.883 9.209 9.526 9.834 10.129

Abb 2.5: Anpassung verschiedener Verteilungen an die tatsächlich aufgetretenen Ereignisse (54 Jahre beobachtet).


Seite 2-14

Die Ergebnisse sind mit den Plotting Positions nach Weibull berechnet (siehe Tab. 2.1). Zusätzlich werden die 95%-Vertrauensbereiche dargestellt.

Ein Vergleich verschiedener Verteilungen ist in Abb 2.5 gegeben. Keine der drei getesteten Verteilungen scheint in diesem Fall auf den ersten Blick zu bevorzugen. Der Erwartungswert für den Scheitelabfluss eines HQ200 liegt bei Anwendug der Pearson III – Verteilung bei ca. 165 m3/s, bei der Gumbel-Verteilung bei ca. 215 m3/s und bei der Log-Pearson III – Verteilung bei ca. 250 m3/s. Man kann leicht erkennen dass die vorhandene, nur 30 Werte umfassende, Stichprobe keine genaueren Aussagen zulässt.

2.2.2 Niederwasserstatistik Durch die wachsende Inanspruchnahme der verfügbaren Wasserresourcen und ihre intensivere Nutzung durch Bevölkerung, Landwirtschaft und Industrie steigen die Nutzungsverluste und die Belastung der Gewässer mit Schadstoffen und Abwärme. Dies wirkt sich gerade in Zeiten mir geringem Wasserdargebot – sprich Niederwasser (NW) - besonders aus, da gerade in diesen Zeiten ein erhöhter Wasserbedarf auftritt. Die Berechnung und Vorhersage von Niedrigwasser ist daher eine vordringliche Aufgabe geworden (DYCK & PESCHKE 1995).

Die Ursachen von Niederwässern liegen in natürlichen Einflüssen (geringen Niederschläge, hohe Verdunstung) und anthropogen bedingten Eingriffen (Speicher, Entnahmen). Die Seltenheit des Auftretens von Niederwässern ist analog zur Hochwasserwahrscheinlichkeit zu behandeln.

Die bei Niederwasser verfügbare Abflussmenge stellt ein wichtiges Bemessungskriterium z.B. bei Ausleitungsbauwerken bei welchen im Planungsstadium die verfügbare Restwassermenge festgelegt werden muss, dar. Die verfügbare Abflussmenge ist durch mehrere Merkmale wie Abflussmenge, Wahrscheinlichkeit des Unterschreitens, Zeitraum des Auftretens, Unterschreitungsdauer einer bestimmten Abflussgrenze und durch die Grenze des Defizits gekennzeichnet (NACHTNEBEL 1981).

Als Bemessungsgrundlage dient anstelle des niedrigsten Wertes einer Niederwasserperiode der Mittelwert aus der niedrigsten 7-Tages Periode. Niederwasserereignisse sind anhand der Ganglinie des Wasserstands bzw. des Abflusses zu erkennen. Zur quantitativen Beschreibung dienen Kenngrößen:

• Mittlerer Abfluss oder Wasserstand während des Ereignisses für eine festzulegende Zahl aufeinanderfolgender Tage. Als Niederwasserabfluss NMxQ (m3/s) (NMxQ = mittleres NW in x Jahren) wird das arithmetische Mittel von x aufeinanderfolgenden Tageswerten des Abflusses innerhalb eines bestimmten Zeitabschnittes definiert (Abb 2.6:).

Abb 2.6: Ermittlung der Kenngröße NMxQ. (DVWK, 1983, S.3)


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Es kann die maximale Unterschreitungsdauer maxD (d) eines Schwellenwertes innerhalb des Zeitabschnittes definiert werden. Oder es wird die Summe der Unterschreitungsdauern SD(d) eines Schwellenwertes als Kenngröße definiert (Abb 2.7:).

Abb 2.7: Ermittlung der Kenngrößen D und V. (DVWK, 1983, S.3)

• Das Abflussdefizit, als fehlende Abflussfracht zwischen der Abflussganglinie und einem festzulegenden Schwellenwert. Als Kenngröße kann etwa das maximale Abflussdefizit maxV (m3) gewählt werden. Oder es wird die Summe aller Abflussdefizite SV (m3) eines Zeitabschnittes zur Untersuchung herangezogen.

Da das Abflussverhalten eine deutliche Jahresperiode aufweist, wird das Jahr als Bezugszeitraum für die Auswertung empfohlen. Innerhalb des Jahres können bestimmte Zeitabschnitte für die Untersuchung gewählt werden. Die Auswahl eines Ereignisses pro Zeitabschnitt führt zu einer jährlichen Serie. Für einen Zeitabschnitt von einem Jahr ist das Jahr so zu definieren, dass die Niederwasserperiode möglichst nicht vom Jahreswechsel betroffen ist. Dies ist am ehesten gegeben, wenn der Beginn des Auswertejahres in das Frühjahr gelegt wird, wo aufgrund der Schneeschmelze und der geringeren Verdunstung höhere Abflüsse zu erwarten sind. Die Auswahl der Art der Niederwasserkenngröße hängt von der wasserwirtschaftlichen Fragestellung ab.

2.2.2.1 Anwendung der Weibull-Verteilung Für die Untersuchung von Niederwassern wird unter anderem auch die Weibull-Verteilung verwendet (siehe dazu Kap. 2.2.1.2)

Aus der Ganglinie der Abflusstagesmittel werden hier die zu untersuchenden Stichprobenelemente NMxQ ermittelt. Über das Auswerteintervall von x Tagen werden die gleitenden arithmetischen Mittel gebildet. Das Minimum jedes Zeitabschnittes ist ein Element der Stichprobe.

Die Normal Verteilung (NV), die Weibull Verteilung (EV3) und die Pearson 3 Verteilung (G3) können als Verteilungsfunktionen zur Beschreibung der Niederwasserabflüsse herangezogen werden. Als Variablen werden die Werte x = ln NMxQ verwendet. Es gilt:

( )T

xxxP TT

1exp =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=>λ

εβε

mit P(ε)=1 und P(∞)=0 Glg. 2.12

)1()( 1

1 −−

−= λεn

xxx Glg. 2.13


Seite 2-16

)1()(

λεβ

+Γ−

=x

Glg. 2.14

Wobei: T......... Jährlichkeit β......... charakteristisches Niederwasser

ε..........kleinstes Niederwasser λ......... dimensionsloser Parameter, α>1 n........ Beobachtungsdauer

1x ........kleinstes beobachtetes NQ Γ......... γ - Funktion

Für das charakteristische Niederwasser β ist die Auftretenswahrscheinlichkeit P(β) = 1/e und das Wiederkehrsintervall T(β) = 1,58498

Die Berechnung der Extremwerte erfolgt über den Häufigkeitskoeffizienten KT, der für die verwendete Verteilung aus Tabellen entnommen werden kann.

Die Abschätzung des Konfidenzbereichs erfolgt wie in der Hochwasserstatistik über:

nszxszx TTTT δ⋅±=⋅± ˆˆ Glg. 2.15

Zur Überprüfung der Anpassung können die Daten und die numerisch berechnete Verteilung graphisch dargestellt werden. Für die empirische Unterschreitungswahrscheinlichkeit wird die Weibull Formel mit 1/T = k/(n+1) verwendet.

Weitere Verteilungen die bei der Untersuchung von Niederwassern zum Einsatz kommen sind die Gumbel-Verteilung, die Lognormal-Verteilung oder auch eine dreiparametrige Gamma-Verteilung


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Abb 2.8: Parameter λ für die Weibull-Verteilung (KRAUSNEKER, 1975)

2.2.3 Niederschlagsstatistik Die eindimensionale Datenauswertung hat, ähnlich wie bei der Hochwasserstatistik, die Ermittlung eines Niederschlagsereignisses bestimmter Wahrscheinlichkeit zum Ziel. Dies wird mit Hilfe der Lognormal-Verteilung gezeigt (siehe Kap. 1.8.2). Daneben ist jedoch die zweidimensionale Datenauswertung der Niederschläge nach Betrag und Dauer des Ereignisses von großer Bedeutung.

2.2.3.1 Starkregenauswertung Das Ziel der Auswertung ist die Darstellung von Regenhöhenlinien, welche die Niederschlagshöhe hN als Funktion der Dauer eines Ereignisses tN für bestimmte Jährlichkeiten (Wiederkehrzeiten, -intervalle) angeben. Durch Umrechnung erhält man Regenspendenlinien.

Die Grunddaten werden in äquidistanten Zeitabschnitten, etwa 5 min, wobei die Intervallgrenzen auf "runden" 5 Minutenwerten liegen, durch lineare Interpolation der Summenlinie erhoben. Die Niederschlagshöhen höherer Dauer werden als höchster Wert der gleitenden Summe für die jeweilige Dauer bestimmt. Man erhält damit eine Zeitreihe von maximalen Niederschlagshöhen der jeweiligen Dauerstufe, wobei pro Tag nur ein Wert zugelassen wird. Damit sollen die Ereignisse statistisch unabhängig sein. Daraus wird eine jährliche und/oder partielle Reihe von Werten gewonnen. Die jährliche Reihe enthält die jährlichen Höchstwerte. Die partielle Reihe besteht aus allen Werten, die einen bestimmten Grenzwert übersteigen. Als Richtwert wird eine Festlegung empfohlen, sodass die Anzahl der Werte etwa dem 2−3-fachen der ausgewerteten Jahre entspricht. Die Verwendung von jährlichen Reihen wird empfohlen, wenn Aussagen für eine Jährlichkeit von 5 oder mehr Jahren erwartet werden, und wenn eine genügend lange Reihe von Messwerten zur Verfügung steht, also etwa mindestens 20 Jahre. Mit partiellen Reihen können Aussagen für ein Wiederkehrintervall größer als 0,5 Jahre getroffen werden. Eine Extrapolation


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von Niederschlagshöhen für Jährlichkeiten über die doppelte Länge der Messreihe hinaus ist mit zunehmender Unsicherheit belastet.

Für die statistische Analyse bei partiellen Reihen wird eine Exponentialverteilung mit der Niederschlagshöhe hN, der Wiederkehrzeit T und den Parametern u und w verwendet:

( ) ( )TwuThN ln+= Glg. 2.16

Die Stichprobenelemente, das sind die selektierten Ereignisse, die den Grenzwert überschreiten, werden nach ihrer Größe geordnet. Ihre Jährlichkeit wird geschätzt, wobei l die Länge der Messreihe in Jahren, n der Stichprobenumfang und k der Rang ist (siehe Plotting Position Tab 2.1 Methode nach Cunnane):

( ) ( ) nlknT ⋅−+= 4,02,0 Glg. 2.17

Die erhaltenen Wertepaare (hN, T) werden koordinativ aufgetragen, wobei die Abszisse logarithmisch dargestellt wird. Aus der ausgleichenden Gerade werden die Parameter u und w abgelesen.

Für die Auswertung der Jahresreihen wird die Gumbel-Verteilung empfohlen:

( ) ( )( )TwuThN lnln−+= Glg. 2.18

Über eine doppellogarithmische Transformation der Verteilung können die Wertepaare (hN, T) aufgetragen und durch eine Gerade ausgeglichen werden. Daraus ergeben sich wieder die Werte u und w. Die Parameter u und w werden getrennt für jede Dauerstufe ermittelt und nachfolgend ausgeglichen, um kontinuierliche Regenhöhenlinien zu erhalten (Abb 2.9:)

Abb 2.9: Summenhäufigkeitslinien für Intensitäten von Starkregen verschiedener Dauer (NACHTNEBEL & VOLLHOFER, 1980)


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Abb 2.10: Rekordniederschläge weltweit nach JENNINGS (1950)


Seite 2-20

2.3 Literatur

DYCK, S., PESCHKE G. (1995): Grundlagen der Hydrologie. Sigfried Dyck, Gerd Peschke – 3., stark bearbeitete Auflage. – Berlin, Verlag für Bauwesen. ISBN 3-345-00586-7

FÜRST, J., (2005): Übungen zu Wasserwirtschaft, Hydrologie und Flussgebietsmanagement, Inst. für Wasserwirtschaft,Hydrologie und konstrutiven Wasserbau, Universität für Bodenkultur, 1190 Wien

IKHR (Internationale Kommission für die Hydrologie des Rheingebietes). H.G. MENDEL (1993) Verteilungsfunktionen in der Hydrologie. Bericht Nr.II-8, Sekretariat KHR, NL 8200 Lelystad, NL.

JENNINGS, A.H., World’s greatest observed point rainfalls. Monthly Weather Review 78(1): 4–5., 1950

KRAUSNEKER, P.: Hydrologie-Fortbildungskurs. In: Wiener Mitteilungen Wasser–Abwasser–Gewässer Band 18, 1975.

NACHTNEBEL, H.P., Vollhofer O. (1980): Analyse des Niederschlags-Abflussgeschehens in einem Einzugsgebiet der Voralpen (Innbach-Trattnach). Interprävent 1980, Bad Ischl

NACHTNEBEL, H.-P., (1981): Hydrologische Vorarbeiten für die Planung von Kleinwasserkraftwerken. aus: „Kleinwasserkraftwerke, Projektierung und Entwurf“, Herausg.: Inst. für Wasserwirtschaft, Universität für Bodenkultur, 1190 Wien

PLATE, E. J. (1993): Statistik und angewandte Wahrscheinlichkeitslehre für Bauingenieure. Ernst & Sohn, Berlin. ISBN: 3-433-01073-0

Links:

http://www.ruhr-uni-bochum.de/hydrology/

3 Korrelation und Regression

Seite 3-1

3 KORRELATION UND REGRESSION

3.1 Einleitung ....................................................................................................3-3

3.2 Einfache lineare Korrelation und Regression .........................................3-5 3.2.1 Schätzung der Regressionsgeraden ..................................................................................3-5 3.2.2 Die Kovarianz...................................................................................................................3-7 3.2.3 Schätzung des Korrelationskoeffizienten .........................................................................3-8 3.2.4 Rangkorrelation ................................................................................................................3-9 3.2.5 Prüfverfahren und Vertrauensbereiche...........................................................................3-10

3.2.5.1 Vertrauensbereich des Korrelationskoeffizienten................................................................. 3-10 3.2.5.2 Vertrauensbereiche für die Regressionsgerade..................................................................... 3-11

3.3 Einfache nichtlineare Regression ...........................................................3-14 3.3.1 Normalgleichungen ........................................................................................................3-14 3.3.2 Linearisierende Transformation .....................................................................................3-16

3.4 Mehrfache Korrelation und Regression ................................................3-19 3.4.1 Mehrfache Regression ....................................................................................................3-19 3.4.2 Partieller und multipler Korrelationskoeffizient ............................................................3-20 3.4.3 Auswahl der Einflussgrößen...........................................................................................3-21

3.5 Anwendungen und Probleme in der Hydrologie ..................................3-22 3.5.1 Anwendung der Korrelations- und Regressionsrechnung..............................................3-22 3.5.2 Anwendung für eine Abflussprognose ...........................................................................3-22 3.5.3 Probleme bei der Korrelations- und Regressionsrechnung ............................................3-24

3.6 Literatur....................................................................................................3-26


Seite 3-2


ABB 3.1: STREUDIAGRAMM ZWEIER ZUFALLSGRÖSSEN................................................................ 3-3

ABB 3.2: SCHEMA DER EINFACHEN LINEAREN REGRESSION (DYCK 1980) ................................ 3-5

ABB 3.3: REGRESSIONSSCHÄTZUNG UND DES 95%-KONFIDENZINTERVALLS........................ 3-11

ABB 3.4: LINEARE REGRESSION ZWISCHEN HOCHWASSERSTÄNDEN ...................................... 3-12

ABB 3.5: NICHTLINEARE REGRESSION............................................................................................... 3-18

ABB 3.6: PROGNOSEERGEBNISSE FÜR DEN PEGEL GREIFENSTEIN/DONAU............................. 3-23

Tabellenverzeichnis

TAB 3.1: SCHEITELWASSERSTÄNDE (HW)......................................................................................... 3-12 TAB 3.2: BEZIEHUNGSGLEICHUNGEN UND ZUGEHÖRIGE NORMALGLEICHUNGEN ............. 3-15 TAB 3.3: BEZIEHUNGSGLEICHUNGEN UND ZUGEHÖRIGE LINEARISIERENDE

TRANSFORMATIONEN (SACHS 1984) ................................................................................ 3-16

TAB 3.4: BESTIMMTHEITSMASS r2 / R2, KRITERIUM NACH NASH-SUTCLIFFE NTD................. 3-24


Seite 3-3

3.1 Einleitung

In der Hydrologie besteht meist zwischen den Werten xi und yi zweier verschiedener Messreihen (etwa Jahresniederschlag und -abfluss) kein exakter funktionaler Zusammenhang. Trägt man die Wertepaare (xi,yi) in einem sogenannten Streudiagramm auf, lässt sich jedoch oft ein Zusammenhang erkennen. (Abb 3.1:). Die Analyse des Zusammenhanges zwischen zwei oder mehreren Zahlenreihen erfolgt mit Hilfe der Korrelationsrechnung und der Regressionsrechnung:

• In der Korrelationsrechnung wird der Frage nach der Güte des Zusammenhangs nachgegangen und in einer Maßzahl, dem Korrelationskoeffizienten, zum Ausdruck gebracht. Die Korrelation verbindet hydrologische Beobachtungen zwischen denen eine sachlogische Beziehung hergestellt werden soll.

• Die Regressionsrechnung dient der Ermittlung der Art des Zusammenhangs, der in einer Beziehungsgleichung beschrieben wird. Beide Verfahren stehen methodisch in engem Zusammenhang. Die Regressionsrechnung wird u.a. in folgenden Bereichen eingesetzt:

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1 2 3 4 5

Unabhängige Einflussgröße x

Abh

ängi

ge Z

ielg

röße

y

Abb 3.1: Streudiagramm zweier Zufallsgrößen

Folgende Beispiele, wo mehrere hydrologische Reihen gleichzeitig auszuwerten oder der Grad ihres Zusammenhanges festzustellen ist, seien hier angeführt:

• bei der Trendanalyse von Beobachtungsreihen,

• zur Schließung von Messlücken und zur Verdichtung von regionalenhydrologischen Informationen durch räumliche Interpolation angewendet;

• zur Ergänzung von ungleich lang beobachteten Zeitreihen

• zur Extrapolation auf Extremwerte.


Seite 3-4

- An einem Flusslauf liegen zwei Pegelstellen, wobei an einem Pegel eine Messlücke besteht, die zu ergänzen ist.

- Aufgrund eines Zusammenhangs zwischen zwei Abflussreihen ist ein einfaches Prognosemodell für den Unterliegerpegel zu erstellen

- Der Frühjahrsabfluss ist auf Grund des Winterniederschlages und der Temperatur zu schätzen

Bei der Anwendung der Regressionsrechnung auf hydrologische Probleme sind einige physikalische Gegebenheiten zu beachten: oft wird vorausgesetzt, dass die untersuchten Variablen normalverteilte Zufallsvariablen sind, und es ist jeweils zu untersuchen, inwieweit diese Bedingung erfüllt ist.

Korrelation und Regression lassen sich einteilen:

a) nach der Anzahl der Variablen in

• einfache Korrelation und Regression (zwei Variablen) und

• mehrfache oder multiple Korrelation und Regression (mehrere Variablen),

b) nach der Art des Zusammenhangs in

• lineare Korrelation und Regression (lineare Beziehungsgleichung) und

• nichtlineare oder kurviglineare Korrelation und Regression (nichtlineare Beziehungsgleichung).

Stichprobenvoraussetzung

Für die Anwendung der Korrelations- und Regressionsrechnung müssen die zu untersuchenden Stichproben einige Voraussetzungen erfüllen. Die wichtigsten hiervon sind

• Normalverteilung

• Unabhängigkeit (d.h. nachfolgende Werte sind nicht von den vorhergehenden beeinflusst – keine Autokorrelation)

• Homogenität (d.h. die Parameter von Teilmengen der Stichproben unterscheiden sich nicht signifikant).

Es sollte – speziell in der Hydrologie – geprüft werden, ob diese Voraussetzungen zumindest näherungsweise erfüllt sind. Ist das nicht der Fall, können andere Methoden in Erwägung gezogen werden, etwa Transformationen der Variablen oder die Anwendung verteilungsfreier Verfahren (Kap. 3.2.4).


Seite 3-5

3.2 Einfache lineare Korrelation und Regression

3.2.1 Schätzung der Regressionsgeraden Im einfachsten Fall wird eine lineare Beziehungsgleichung zwischen den beiden Variablen x und y angenommen (Abb 3.2:). Je nachdem ob x oder y als unabhängige Variable betrachtet wird, lauten die Gleichungen der Regressionsgeraden:

xbay yxyx +=ˆ bzw. ybax xyxy +=ˆ Glg. 3.1

x

y

y

Abb 3.2: Schema der einfachen linearen Regression (DYCK 1980)

Die erste Gleichung beschreibt die Regression von y auf x, die zweite die Regression von x auf y. Im ersten Fall stellt x die Einflussgröße (Regressor) und y die Zielgröße (Regressand) dar, im zweiten Fall verhält es sich genau umgekehrt (Glg. 3.1). Nicht immer ist es sinnvoll, beide Regressionsgeraden zu verwenden. So kann etwa bei der Trendanalyse von Zeitreihen die Zeit nur als unabhängige, nicht jedoch als abhängige Variable angesehen werden.

Wenn im folgenden die Indizes für a und b weggelassen werden, ist stets die Regression von y auf x gemeint. Die zunächst unbekannten Koeffizienten a und b werden mit der Methode der kleinsten Quadrate ermittelt. Die Quadratsumme der Abstände der Stichprobenpunkte von der Regressionsgeraden in y-Richtung soll minimiert werden:

∑ ∑ −−=−=i i

iiii bxayyyS 22 )ˆ()ˆ( Glg. 3.2

S.......Summe der Fehlerquadrate y der zu x gehörige Wert der Stichprobe y der Funktionswert der Regressionsgeraden an der Stelle x n….. Stichprobenumfang.


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Die notwendigen Bedingungen für ein Minimum lauten:

00 ==bSund

aS

∂∂

∂∂

Diese Bedingungen liefern ein lineares Gleichungssystem zur Berechnung von a und b, die sog. Normalgleichungen:

∑∑∑∑ ∑

=+

=+

iiii

ii

yxxbxa

yxban2

Glg. 3.3

Die Lösungen lauten nach einigen Umformungen (nun wieder mit den Indizes für die Regression von y auf x):

xbyaQQ

b yxyxx

xyyx −== , Glg. 3.4

Hierin bedeuten:

( )( ) ( ) xyii

iiiixy snn

yxyxyyxxQ 1−=−=−−= ∑∑∑∑ Glg. 3.5

( ) ( ) ( ) 22

22 1 xi

iix snnx

xxxQ −=−=−= ∑∑∑ Glg. 3.6

Wobei: Qx,Qxy.... Summe der Abweichungsprodukte

yx, ........ Mittelwerte der Stichproben sxy........... Kovarianz von x und y

2xs .......... Varianz von x


Seite 3-7

3.2.2 Die Kovarianz Die Kovarianz sxy der Stichprobe ist ein Maß für den Zusammenhang zweier streuender Variablen x und y.

( )( )yyxxn

s iixy −−−

= ∑11

Glg. 3.7

Analog können die Parameter der Regression von x auf y berechnet werden:

ybxaQQ

b xyxyy

xyxy −== , Glg. 3.8

Liegt ein idealer linearer Zusammenhang vor, so fallen die beiden Regressionsgeraden zusammen. Sind die beiden Variablen völlig unabhängig voneinander, so bilden die beiden Regressionsgeraden einen Winkel von 90°. Der Winkel zwischen den beiden Regressionsgeraden kann somit als Maß für die Güte des Zusammenhangs angesehen werden. Zufallsvariablen x und y heißen unkorreliert Wenn die Kovarianz null ist.


Seite 3-8

3.2.3 Schätzung des Korrelationskoeffizienten Die Schätzung des Korrelationskoeffizienten der Stichprobe lautet

yx

xy

QQ

Qr = es gilt: ( 11 ≤≤− r ) Glg. 3.9

r ........Korrelationskoeffizient

1=r bedeutet idealen linearen Zusammenhang, wobei ein positives Vorzeichen angibt, dass bei wachsendem x auch y zunimmt, ein negatives Vorzeichen gibt an, dass bei wachsendem x die Variable y abnimmt. r = 0 bedeutet keinen Zusammenhang.

Das Quadrat des Korrelationskoeffizienten wird als Bestimmtheitsmaß B = r2 bezeichnet. B gibt das Verhältnis der durch die Regression erklärten Varianz zur Gesamtvarianz an:

( )( ) anzGesamtvari

Regressiondurch Varianzˆ2

2

=−

−=∑∑

ii

ii

yy

yyB Glg. 3.10

B = 0,6 etwa bedeutet, dass 60 % der Varianz der y-Werte durch die Regression erklärt werden. Der Vorteil dieser Betrachtungsweise liegt darin, dass die Berechnung von B nach Gleichung (Glg. 3.10) unabhängig vom gewählten Regressionsmodell erfolgen kann, also auch für nichtlineare Beziehungsgleichungen und mehrdimensionale Probleme.

Die durch die Regression nicht erklärte Restvarianz (sie wird im folgenden noch bei der Ermittlung von Vertrauensbereichen benötigt) errechnet sich zu

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−

−= ∑

x

xyy

iixy Q

QQ

nnyy

s2

2, 2

12

ˆ Glg. 3.11

Der Zusammenhang zwischen B und den Regressionskoeffizienten byx und bxy ist gegeben durch:

r2 = xyyxbbB = Glg. 3.12

byx, bxy Parameter der Regression


Seite 3-9

3.2.4 Rangkorrelation Wenn die Voraussetzung der Normalverteilung der Zufallsvariablen nicht erfüllt ist, kann die verteilungsfreie Rangkorrelationsrechnung nach SPEARMAN angewendet werden. Dabei werden die x- und y-Werte der Größe nach mit Rangzahlen versehen und die Differenzen D der Rangzahlen für alle Wertepaare berechnet. Die Verteilung wird außerachtgelassen! Der SPEARMANsche Rangkorrelationskoeffizient lautet dann

( )16

1 2

2

−−= ∑

nnD

r is Glg. 3.13

Hierbei gibt n wieder den Umfang der Stichprobe an. Es gilt wie oben 11 ≤≤− Sr .

Beispiel: Gesucht ist die Abhängigkeit der y-Werte von den x-Werten. Man erhält das Ergebnis durch Umformung in zwei Rangreihen.

xi Rang xi yi Rang yi D = Rang yi - Rang xi

105 5,5 77 6 0,5

108 3 64 10 7

122 1 78 5 4

104 7 83 3 4

100 8 87 1 7

93 10 76 7 3

97 9 81 4 5

105 5,5 68 8 2,5

106 4 67 9 5

120 2 84 2 0

ΣD2=195,5

ΣD2=195,5

Lösung : rs = -0,18

Prüfung: )1()1(

2s

s rnrt−−

⋅=


Seite 3-10

3.2.5 Prüfverfahren und Vertrauensbereiche Die Parameter a, b und r gelten streng genommen nur für die Stichprobe, aus der sie berechnet wurden. Es stellt sich nun die Frage, wie weit diese Parameter für die zugrunde liegende Grundgesamtheit signifikant sind bzw. in welchen Vertrauensbereichen die zugehörigen Parameter α, β und ρ der Grundgesamtheit zu vermuten sind. Es ist also sinnvoll, neben dem Parameter r noch seine mögliche Schwankungsbreite auf einem vorgegebenen Signifikanzniveau zu bestimmen. Mit Hilfe des t-Tests kann geprüft werden, ob r signifikant von 0 verschieden ist (mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α), d.h. ob angenommen werden darf, dass zwischen den Zufallsvariablen xi und yi ein linearer Zusammenhang besteht. In der Umgebung r = 0 gehorcht die Variable t der Student-Verteilung (symmetrisch, Ähnlichkeit zur Normalverteilung):

212

rnrt−−

= Glg. 3.14

Gilt 2, −≤ ntt α , weicht r nicht signifikant von 0 ab, bei 2, −≥ ntt α geht man davon aus dass 0≠r ist. tα,n-2 ist das 1-α-Quantil der Student-Verteilung bei zweiseitiger Fragestellung für n-2 Freiheitsgrade. Die Werte können einschlägigen Tabellen entnommen werden (z.B. SACHS, 1984).

Folgende Vorgangsweise ist bei der Verwendung des t-Tests einzuhalten:

1. Aufstellen der Nullhypothese („es besteht kein linearer Zusammenhang“) und der Alternativhypothese

2. Festlegung des Signifikanzniveaus α und der Anzahl der Freiheitsgrade FG

3. Berechnung der Maßzahl t

4. Vergleich von t mit der Prüfgröße tp(FG;α) der Student-Verteilung

5. Aussage über Annahme oder Ablehnung der Nullhypothese

3.2.5.1 Vertrauensbereich des Korrelationskoeffizienten Der Vertrauensbereich von r kann über die FISHER-Transformation bestimmt werden.

Mit rrrz

−+

==11ln

21artanh gilt:

Grenze untere3

3

Grenze obere3

0

0

K

O

N

K

−−=

−±=

−+=

nuzz

nuzz

nuzz

u

u

α

α

α

Glg. 3.15


Seite 3-11

uα ist das 1-α-Quantil der Standard-Normalverteilung bei zweiseitiger Fragestellung, z. B. u0,05 = 1,960. Weitere Werte können einschlägigen Lehrbüchern entnommen werden (z. B. SACHS, 1984). Die Ober- und Untergrenzen von r für die Irrtumswahrscheinlichkeit α erhält man durch die Rücktransformation o

uo

u zr tanh= .

3.2.5.2 Vertrauensbereiche für die Regressionsgerade Da y und b nur Schätzwerte für die Parameter der Grundgesamtheit darstellen, erfährt die Regressionsgerade bei Änderung von y eine Parallelverschiebung, bei Änderung von b eine Drehung um den Punkt ( )yx, . Bei der Ermittlung des Vertrauensbereiches ist nun zwischen zwei Fragestellungen zu unterscheiden (Abb 3.3:):

Abb 3.3: Regressionsschätzung und des 95%-Konfidenzintervalls Daten sind die Schwebstofffracht und der jährliche Abfluss im Green River, Kentucky

Der Vertrauensbereich für den Erwartungswert von y an der Stelle x (d. h. den Mittelwert für theoretisch unendlich viele zukünftige Beobachtungen von y an einer festen Stelle x) errechnet sich folgendermaßen:

( )x

ixynu Q

xxn

styy2

,2,0 1ˆˆ

−+⋅⋅±= ∑

−α Glg. 3.16

Der Vertrauensbereich für eine zukünftige Beobachtung y an der Stelle x kann mit Hilfe der folgenden Formel berechnet werden:

( )x

ixynu Q

xx

nstyy

2

,2,0 1

1ˆˆ−

++⋅⋅±=∑

−α Glg. 3.17

95% Konfidenz-intervall für dieRegressionslinie

95% Vorhersageinter-vall für diesen Punkt

Sch

web

stof

ffrac

htin

1000

t/d

Jährlicher Abfluss in CFS-Tagen

Das sogenannte Vertrauensband ist gekrümmt und wird durch zwei Hyperbeläste beschrieben.

Die eingezeichneten Grenzen werden durch das Signifikanzniveau festgelegt


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Beispiel: Für die Blies (Saar) sollen die Hochwasserstände am Pegel Neunkirchen (Blies, AE0oo=311km2) aus den Wasserständen des Pegels Ottweiler (Blies, AEo=141,3km2) und des Pegels Hangard (Oster, AEo=114,8km2), der in einem Nebengewässer der Blies liegt, vorhergesagt werden. Durch die Hinzunahme des Pegels in der Oster wird eine Verbesserung der Vorhersage angestrebt. Die Vorhersage soll sich auf Winterereignisse beschränken, von denen folgende Scheitelwasserstände beobachtet wurden (Tab 3.1:).

Tab 3.1: Scheitelwasserstände (HW) in cm von 12 Winterhochwässern in der Blies an den Pegeln Neunkirchen, Ottweiler und an der Oster am Pegel Hangard.

Datum:

Tag 27. 20. 18. 31. 06. 02. 11. 24. 15. 14. 23. 27.

Monat 03. 11. 01. 01. 12. 01. 12. 12. 01. 03. 02. 01.

Jahr 63 63 65 65 65 66 66 67 68 69 70 71

Wasserstände in cm

Neunkirchen y 172 309 302 283 443 298 319 419 361 267 337 230

Ottweiler x1 93 193 187 174 291 184 205 260 212 169 216 144

Hangard x2 120 258 255 238 317 246 265 304 292 242 272 191

Abb 3.4: Lineare Regression zwischen Hochwasserständen an Pegeln im Einzugsgebiet der Blies (Saar). Vorhersagepegel: Neunkirchen/Blies (y); Vorhersagevariable: a) Pegel Ottweiler/Blies (x1) sowie b) die Pegel Ottweiler/Blies (x1) und Hangard/Oster (x2)


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Einfache lineare Regression: HWNeunkirchen = f(HWOttweiler).

Für die einfache lineare Regression y = b0+b1x1 ergeben sich die Momente folgendermaßen:

Mittel Nxx /11 Σ=

Nyy /Σ=

= 23,28/12 = 1,940m

= 37,40/12 = 3,117m

Varianzen )1/()( 211

21

−−Σ= Nxxsx

)1/()( 22 −−Σ= Nyysy

= 2,857/11 = 0,260m2

= 6,118/11 = 0,556m2

Standardabweichungen 1xs

ys

= 0,2601/2 = 0,510

= 0,5561/2 = 0,746

Kovarianz )]()([( 111−−−Σ= Nyyxxs yx

= 4,144/11 = 0,377m2

Regressionskoeffizienten: 450,1260,0/377,0/ 21 11

=== xyx ssb

304,0)940,1450,1(177,3110 =⋅−=−= xbyyb

Die einfache Regression für die HW-Stände in Metern lautet also:

HWNeunkirchen = 0,304+1,450*HWOttweiler

Korrelationskoeffizient r und Bestimmtheitsmaß B betragen:

991,0)746,0510,0/(377,0/11

=⋅== yxyxxy sssr

982,0991,0 22 === xyrB


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3.3 Einfache nichtlineare Regression Wenn zwischen den Werten xi und yi zweier Messreihen kein linearer Zusammenhang besteht – was etwa im Streudiagramm erkennbar ist –, so kann eine nichtlineare Regressionsanalyse zum Ziel führen. Dabei kann zwischen zwei verschiedenen Vorgangsweisen unterschieden werden, nämlich zwischen der Aufstellung von Normalgleichungen mittels der Methode der kleinsten Quadrate und der Anwendung von linearisierenden Transformationen:

3.3.1 Normalgleichungen Mittels der Methode der kleinsten Quadrate werden für die nichtlinearen Beziehungsgleichungen die Normalgleichungen aufgestellt und gelöst. Das soll am Beispiel der nichtlinearen Regressionsbeziehung

kk xaxaxaay ++++= K2

210ˆ Glg. 3.18

demonstriert werden.

Die Minimierung der Quadratsumme der Abstände der Stichprobenwerte von der Regressionslinie (analog zu Kap. 3.2.1) führt zu folgenden Normalgleichungen:

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑

=+++

=+++

=+++

+

+

yxxaxaxa

xyxaxaxa

yxaxana

kkk

kk

kk

kk

2110

1210

10

K

M

K

K

Glg. 3.19

Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems liefert die Parameter a0, …, ak. In Tab 3.2: sind für einige Beziehungsgleichungen die zugehörigen Normalgleichungen zu finden. Sie stellen also Schätzgleichungen für die Parameter (a, b, c, ...) dar.


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Tab 3.2: Beziehungsgleichungen und zugehörige Normalgleichungen (SACHS 1984), Linear, logarithmisch, exponentiell, ...

Funktionsgleichung Normalgleichungen

bxay +=

( )∑ ∑ ∑∑∑

=+

=+⋅

xyxbxa

yxbna2

bxay +=lg

( )∑∑∑∑∑

⋅=+

=+⋅

yxxbxa

yxbna

lg

lg2

xbay lg⋅+=

( ) ( )∑ ∑∑∑∑

⋅=+

=+⋅

xyxbxa

yxbna

lglglg

lg2

xbay lglg ⋅+=

( ) ( )∑∑∑∑∑

⋅=+

=+⋅

yxxbxa

yxbna

lglglglg

lglg2

ba+xy=

bay x

lglglgbzw. ⋅

⋅=

( )∑∑∑∑∑

⋅=+

=+⋅

yxxbxa

yxban

lglglg

lglglg2

2cxbxay ++=

( )∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

=++

=++

=++⋅

yxxcxbxa

xyxcxbxa

yxcxbna

2432

32

2

xcbxay ++=

( )∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

=++

=++

=++⋅

xyxcxbxa

xyxcxbxa

yxcxbna

3

32

cxbxay

cbay xx

lglglglg.bzw

2

2

⋅+⋅+=

⋅⋅=

( )( )∑ ∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑

⋅=++

⋅=++

=++⋅

yxxcxbxa

yxxcxbxa

yxcxban

lglglglg

lglglglg

lglglglg

2432

32

2


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3.3.2 Linearisierende Transformation Man macht also aus einer nicht linearen Beziehung eine lineare:

bxay =ˆ Glg. 3.20

Durch Logarithmieren erhält man die neue Gleichung xbay lnlnˆln += . Mit der Substitution yy ˆlnˆ =′ und xx ln=′ ergibt sich eine lineare Gleichung in y′ und x′ . Die Parameter aa ln=′

und bb =′ können nun (wie auch alle anderen Parameter für die transformierte Gleichung) gemäß Kap. 3.2 berechnet werden. Die Parameter a und b werden durch Rücktransformation erhalten. In Tab 3.3: sind für einige nichtlineare Beziehungsgleichungen die linearisierenden Transformationen zu finden.

Tab 3.3: Beziehungsgleichungen und zugehörige linearisierende Transformationen (SACHS, 1984)

Besteht eine Beziehung der Form

Trage die transformierten Variablen in das Koordinatensystem ein

Ermittle aus a• und b• die Konstanten a und b

y•= x•= a•= b•=

xbay += y

x1

a b

xbay+

= y1

x ab

a1

xbaxy+

= y1

x1

a1

ab

bxaxy+

= yx

x a b

xaby = ylg x alg blg

baxy = ylg xlg alg b

bxaey = yln x aln b

xb

aey = yln x1

aln b

,nbxay += wobei n bekannt ist

y nx a b

und schätze •••• += xbay

Es gibt kein Verfahren um die „ideale“ Form der Beziehungsgleichung (etwa linear, logarithmisch, exponentiell etc.) von vornherein festzulegen. Einen Anhaltspunkt kann die Betrachtung des Streudiagramms der Wertepaare liefern. Eine weitere Möglichkeit ist die Aufstellung mehrerer Modelle, wobei dann jenes gewählt wird, welches das höchste Bestimmtheitsmaß liefert (siehe Kap. 3.2.3).


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Beispiel nichtlineare Regression:

Abhängigkeit des mittleren Hochwassers vom Einzugsgebiet und von der Versiegelung als mehrfache nichtlineare Regression MHq = f(AEo,AV).

Der Ansatz 21210aa xxay ⋅= ergibt sich nach Transformation in Logarithmen:

21 210log xxy zazaaz ++=

Korrelationskoeffizient und Bestimmtheitsmaß:

9831,0=xyr

9665,09831,0 22 === xyrB

.


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Abb 3.5: Nichtlineare Regression

Zur Beurteilung des Einflusses der Besiedlung AV in % des Einzugsgebiets AEo auf die mittlere Hochwasserspende MHq als a) einfache nichtlineare Regression MHq = f(AEo) und b) als zweifache nichtlineare Regression MHq = f(AEo, AV).


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3.4 Mehrfache Korrelation und Regression

3.4.1 Mehrfache Regression In der Hydrologie kommt es oftmals vor, dass eine Zielgröße nicht nur von einer, sondern von mehreren Einflussgrößen abhängt. So wird etwa der Abfluss aus einem Einzugsgebiet nicht nur vom Niederschlag, sondern auch von anderen Parametern, etwa der Verdunstung, dem Inhalt des Bodenspeichers etc. bestimmt.

Bei der mehrfachen linearen Regressionsanalyse wird eine lineare Abhängigkeit zwischen der Zielgröße y und mehreren Einflussgrößen x1, …, xk angenommen. Die lineare Beziehungs-gleichung lautet:

kko xaxaay +++= K11ˆ Glg. 3.21

Analog zur einfachen Regressionsanalyse kann man auch hier mittels der Methode der kleinsten Quadrate die Normalgleichungen aufstellen und daraus die Parameter a0, a1, …, ak berechnen:

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑

=+++

=+++

=+++

yxxaxxaxa

yxxxaxaxa

yxaxana

kkkkk

kk

kk

2110

1121110

110

K

M

K

K

Glg. 3.22

Die Analogie zum Gleichungssystem (Glg. 3.19) ist augenscheinlich: Durch die Substitution x1 = x, x2 = x2, …, xk = xk wird die nichtlineare zweidimensionale Beziehungsgleichung (Glg. 3.18) in die lineare mehrdimensionale Beziehungsgleichung (Glg. 3.21) übergeführt.

Für die nichtlineare mehrfache Regressionsanalyse besteht einerseits wieder die Möglichkeit der Aufstellung der Normalgleichungen mittels der Methode der kleinsten Quadrate, andererseits die Möglichkeit der Anwendung von linearisierenden Transformationen.


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3.4.2 Partieller und multipler Korrelationskoeffizient Betrachtet man den Zusammenhang mehrerer, etwa dreier Variablen x, y und z, so gibt es prinzipiell zwei Möglichkeiten:

a) Eine Einflussgröße, etwa z, muss als „Störgröße“ aufgefasst werden, welche die Korrelation rxy zwischen den Variablen x und y verfälscht oder sogar eine in Wirklichkeit nicht vorhandene Korrelation vortäuscht. Der Einfluss der Variablen z auf die Korrelation zwischen x und y soll geprüft werden. Das geschieht durch die partielle Korrelationsrechnung, welche den Zusammenhang zwischen der Zielgröße y und den beiden Einflussgrößen x und z angibt.

b) Eine Zielgröße, etwa x, wird durch zwei Einflussgrößen gleichzeitig bestimmt. Es müssen also y und z in die Korrelation einbezogen werden. Das geschieht durch die multiple Korrelationsrechnung.

Im folgenden wird der Fall dreier Variablen betrachtet. Für die Erweiterung auf mehr als drei Variablen sei auf die einschlägige Literatur verwiesen.

ad a) Der partielle Korrelationskoeffizient rxy.z gibt die Güte des Zusammenhangs zwischen den Variablen x und y an, wenn der Einfluss der Variablen z ausgeschaltet wird. Er berechnet sich zu

( )( )22.11 yzxz

yzxzxyzxy

rr

rrrr

−−

−= Glg. 3.23

rxy, rxz und ryz bezeichnen die einfachen Korrelationskoeffizienten zwischen den entsprechenden Variablen. Die weiteren partiellen Korrelationskoeffizienten rxz.y und ryz.x erhält man aus obiger Formel durch zyklische Vertauschung der Indizes.

Der partielle Korrelationskoeffizient kann wie der normale Korrelationskoeffizient geprüft werden. Zu beachten ist jedoch, dass die Zahl der Freiheitsgrade für jede ausgeschaltete Variable um eins reduziert werden muss. Im beschriebenen Fall gilt FG = n-3.

ad b) Der multiple Korrelationskoeffizient rx.yz beschreibt den Grad der Abhängigkeit der Variablen x von beiden Variablen y und z. Er berechnet sich zu

2

22

. 12

yz

yzxzxyxzxyyzx r

rrrrrr

−

−+= Glg. 3.24

Wieder erhält man ry.xz und rz.xy durch zyklische Vertauschung der Indizes. Die Prüfung des multiplen Korrelationskoeffizienten erfolgt mithilfe des F-Tests.


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3.4.3 Auswahl der Einflussgrößen Es ist in der Hydrologie oft der Fall, dass für ein Regressionsmodell eine ganze Reihe von Einflussgrößen in Frage kommen. Das Problem besteht nun darin, jene Variablen auszuwählen, die einen entscheidenden Einfluss haben, wobei deren Anzahl möglichst gering gehalten werden soll. Es sollten nur unkorrelierte Variablen aufgenommen werden, d.h. jene, die nicht von anderen, ebenfalls in das Modell aufgenommenen Variablen abhängen. Leider gibt es kein objektives Verfahren, das mit Sicherheit zur „besten“ Regressionsgleichung führt. Einige Auswahlverfahren seien jedoch kurz skizziert:

a) Bei der „All Possible Regressions“ - Methode werden alle Regressionen berechnet, die durch Kombinationen der Einflussgrößen möglich sind, und die beste Gleichung, d. h. jene mit der höchsten erklärten Varianz, wird gewählt. Bei k möglichen Einflussgrößen beträgt die Anzahl der Gleichungen jedoch 2k-1, bei größerem k eine in der Praxis zu hohe Anzahl.

b) Bei der Rückwärts-Elimination werden zunächst alle Variablen berücksichtigt. Es wird dann jene Variable herausgenommen, deren Elimination die erklärte Varianz am wenigsten verkleinert. Mit den restlichen Variablen wird ein neues Modell aufgestellt und das Verfahren fortgesetzt, bis keine nichtsignifikante Variable mehr gefunden wird.

c) Bei der Vorwärts-Auswahl werden die Variablen schrittweise einbezogen. Es wird jeweils jene Variable hinzugefügt, welche die erklärte Varianz am stärksten erhöht. Das Verfahren bricht ab, wenn keine signifikante Variable mehr gefunden wird.

d) Die schrittweise Regression besteht in einer Vorwärts-Auswahl, bei der nach Einführung einer neuen Variablen jene bereits eingeführten Variablen wieder herausgenommen werden, deren Beitrag zur erklärten Varianz durch die Anwesenheit der neuen Variablen unter das Signifikanzniveau gefallen ist.


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3.5 Anwendungen und Probleme in der Hydrologie

3.5.1 Anwendung der Korrelations- und Regressionsrechnung Von der Vielzahl der Anwendungsmöglichkeiten der Korrelations- und Regressionsanalyse wird hier eine kleine Auswahl wiedergegeben:

• Interpolation und Extrapolation von empirischen Funktionen, die in Form von Wertepaaren (xi, yi) vorliegen.

• Verlängerung von Zeitreihen und Ergänzung von Messlücken mit Hilfe korrelierter Zeitreihen.

• Prognosemodelle auf Grundlage multipler Regression (z. B. Abflussprognose aus Niederschlag, Vorregenindizes, Temperatur etc. für kleine Einzugsgebiete).

• Untersuchung der Abhängigkeit innerhalb hydrologischer Zeitreihen mittels Autokorrelation.

3.5.2 Anwendung für eine Abflussprognose Für eine Reihe von Pegelstellen an der Donau war ein Abflussprognosemodell zu entwickeln

(Nachtnebel et al., 2000). Für den Prognosepegel Greifenstein sind die Kalibrierungsergebnisse in xx dargestellt. Die Modellgleichungen verwenden Abflusswerte aus Oberliegerpegel, bzw. deren Differenzen zum Vortag, sowie Schmelzabflüsse und Abflusskomponenten, die aus einem kontinuierlich arbeitenden N-A Modell (siehe Kap. 15) ermittelt wurden. dQ....................... Differenz von Abflüssen:

24h-Prognose...................dQi als Differenz i - (i-1)



dQA.................... Differenz von Pegelabflüssen

dQS.....................Differenz von Schneeschmelzabflüssen

dQB.....................Differenz von Bodenspeicherabflüssen

GN...................... Tagessumme des Gebietsniederschlags

GT.......................Tagesmittel der Gebietstemperatur


Seite 3-23

Die Prognoseergebnisse sind in Abb. 3.6 zusammengestellt. Die Modellgüte ist in Tab.

0

2000

4000

6000

8000

Abf

luß

[m³/s

]

48h - P rognose Q beobachte tQ m ode llie rt

0

2000

4000

6000

Abf

luß

[m³/s

]

P rognosepegel G re ifenste in

24h - P rognose

A bflußm odellie rung H erbst 1995-96

Q beobach te tQ m odell ie rt

0 50 100 150 200 2500

2000

4000

6000

Abf

luß

[m³/s

]

72h - P rognose Q beobachte tQ m ode llie rt

Abb 3.6: Prognoseergebnisse für den Pegel Greifenstein/Donau

24h-Prognose:

dQAp,t+1 = dQA GN GT dQS dQBt ii

i k

t j t jj

j l

t n

t

j

j l

t n

t

t j t jj

j l

t n

t

j

j l

t n

t

t n

t

, , , , ,=

=

=

=

−

+

=

=

−

+

=

=

−

+

=

=

−

+

−∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑ + + + +

1 1

1

1

1

1

1

1

1

48h-Prognose:


i k

t j t jj

j l

t n

t

j

j l

t n

t

t j t jj

j l

t n

t

j

j l

t n

t

t n

t

, , , , ,=

=

=

=

−

+

=

=

−

+

=

=

−

+

=

=

−

+

−∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑ + + + +

1 1

2

1

2

1

2

1

2

72h-Prognose:


i k

t j t jj

j l

t n

t

j

j l

t n

t

t j t jj

j l

t n

t

j

j l

t n

t

t n

t

, , , , ,=

=

=

=

−

+

=

=

−

+

=

=

−

+

=

=

−

+

−∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑ + + + +

1 1

3

1

3

1

3

1

3

für n....Zeitschritte in die Vergangenheit

i.....Anzahl der Pegel j.....Anzahl der Klimagebiete

tt-2 t-1 t+1 t+2 t+3

KlimaprognoseBeobachtungen


Seite 3-24

Tab 3.4: Bestimmtheitsmaß r2 / R2, Kriterium nach Nash-Sutcliffe NTD

Abflußbereich nq Abflußbereich hq 24h 48h 72h 24h 48h 72h Winter

r² / R² NTD

0,94 / 0,93 0,94

0,87 / 0,86 0,87

0,81 / 0,790,79

0,91 / 0,89 0,91

0,74 / 0,71 0,68

0,68 / 0,64 0,63

Frühjahr

r² / R² NTD

0,89 / 0,87 0,88

0,80 / 0,78 0,66

0,70 / 0,650,57

0,88 / 0,88 0,87

0,69 / 0,67 0,68

0,66 / 0,64 0,64

Herbst

r² / R² NTD

0,83 / 0,78 0,81

0,64 / 0,52 0,55

0,65 / 0,550,27

0,94 / 0,93 0,93

0,79 / 0,76 0,76

0,79 / 0,77 0,70

Nach Appollov können hydrologische Modelle nach dem Korrelationskoeffizienten r (Bestimmtheitsmaß = r²) folgendermaßen beurteilt werden:

r r² Güte

< 0,6 < 0,36 unzureichend

> 0,6 > 0,36 gering

> 0,8 > 0,64 ausreichend

> 0,9 > 0,81 gut

Problematisch wird die Verwendung von r², wenn Modelle mit einem systematischen Fehler behaftet sind. Zwei exakt parallel verlaufende Datenreihen haben r² = 1, da die Varianz die selbe ist, die simulierten Werte stimmen jedoch nie überein.

3.5.3 Probleme bei der Korrelations- und Regressionsrechnung Bei der Anwendung der Korrelations- und Regressionsrechnung sollte jedoch nie auf die zugrundeliegenden Voraussetzungen vergessen werden, die speziell in der Hydrologie nicht immer erfüllt sind.

• Hydrologische Variable sind oftmals nicht normalverteilt. Manchmal kann durch Transformation der Variablen annähernd eine Normalverteilung erreicht werden. Bei nicht normalverteilten Variablen können verteilungsfreie Methoden in Erwägung gezogen werden, etwa die Rangkorrelationsrechnung nach Kap 3.2.4.

• Zeitreihen hydrologischer Größen sind meist nicht unabhängig. Bei der Untersuchung des Zusammenhangs mehrerer Zeitreihen wird das Ergebnis durch diese Tatsache beeinflusst (i.a. wird ein zu hoher Korrelationskoeffizient erhalten). Die Autokorrelationsanalyse deckt Zusammenhänge innerhalb einer Zeitreihe auf.

• Die Richtigkeit der Annahme eines linearen Zusammenhangs sollte geprüft werden. Wenn zu einem x-Wert jeweils mehrere y-Werte gegeben sind, existieren hierzu Prüfverfahren (z.B. SACHS 1984). Bei der einfachen Regressionsanalyse sollte immer das Streudiagramm der Wertepaare gezeichnet werden, das optisch Aufschlüsse über Linearität, Streuung, Ausreißer, Clusterbildung (d.h. Klumpung der Daten in mehreren Regionen) etc. gibt.

Zuletzt soll noch auf die Gefahr von Scheinkorrelationen hingewiesen werden. Sie täuschen einen hohen Korrelationskoeffizienten vor, der nicht für den tatsächlichen Zusammenhang repräsentativ ist. Scheinkorrelationen können entstehen, wenn etwa zwei zu korrelierende Variablen von einer dritten, unbekannten Variablen abhängen (Multikollinearität). Wenn die möglichen Einflussgrößen bekannt sind, kann die partielle Korrelationsrechnung Abhilfe schaffen.


Seite 3-25

Rein formale Korrelationen entstehen auch, wenn nicht die ursprünglichen Größen x und y, sondern aus den ursprünglichen Größen zusammengesetzte Größen, korreliert werden - beispielsweise x mit x+y oder x mit y/x.


Seite 3-26

3.6 Literatur CONOVER, W.J.: Practical Nonparametric Statistics. J. Wiley & Sons 1971.

DYCK, S.: Angewandte Hydrologie, Teil 1. 2. Aufl., W. Ernst & Sohn 1980.

HELSEL, D.R.; HIRSCH, R.M.: Statistical Methods in Water Resources. Elsevier 1992.

HOLDER, R.L.: Multiple Regression in Hydrology. Wallingford 1985.

JENSEN, H.: Anwendung der Regressionsanalyse. In: Mitteilung der Versuchsanstalt für Wasserbau, Hydrologie und Glaziologie der ETH Zürich Nr. 12, 1974.

MANIAK, U.: Hydrologie und Wasserwirtschaft; 3. Aufl., Springer Lehrbuch 1993

NACHTNEBEL, H.P.: Korrelation und Regression. In: Wiener Mitteilungen Wasser–Abwasser–Gewässer Band 18, 1975.

NACHTNEBEL; H:P:; HOLZMANN, H. und V. RESSEL (2000) Abflussprognosesystem für den Bundeslastverteiler, Endbericht, 2000, Wien.

SACHS, L.: Angewandte Statistik. 6. Aufl., Springer 1984.

SCHÖNWIESE, C.D.: Praktische Statistik für Meteorologen und Geowissenschaftler. Borntraeger 1985.

VISCHER, D.: Kurz- und langfristige Abflussprognosen auf Grund von Regressionsanalysen hydrometeorologischer Größen. In: Wiener Mitteilungen Wasser–Abwasser–Gewässer Band 19, 1976.

4 Zeitreihenanalyse und deren Anwendung

Seite 4-1

4 ZEITREIHENANALYSE UND ANWENDUNG

4.1 Allgemeines ...................................................................................................4-3 4.1.1 Statistische Methoden................................................................................................................. 4-3 4.1.2 Stochastische Methoden ............................................................................................................. 4-4

4.2 Zielsetzung ....................................................................................................4-4

4.3 Methodik .......................................................................................................4-5 4.3.1 Trendanteil.................................................................................................................................. 4-6

4.3.1.1 Gleitender Mittelwert ............................................................................................................. 4-7 4.3.1.2 Trendberechnung bei bekannter Periodenlänge...................................................................... 4-7 4.3.1.3 Trendgerade (Regressionsgerade) .......................................................................................... 4-7 4.3.1.4 Trendpolynom ........................................................................................................................ 4-8 4.3.1.5 Sprunghafter Trend................................................................................................................. 4-9 4.3.1.6 Differenzenbildung................................................................................................................. 4-9

4.3.2 Periodenanteil ........................................................................................................................... 4-10 4.3.2.1 Autokorrelation..................................................................................................................... 4-10 4.3.2.2 Periodenanteil bei unbekannter Periodenlänge..................................................................... 4-11 4.3.2.3 Periodenanteil bei bekannter Periodenlänge......................................................................... 4-12

4.3.3 Stochastischer Zeitreihenanteil................................................................................................. 4-14

4.4 Kreuzkorrelation........................................................................................4-15

4.5 Anwendung von Zeitreihenmodellen .......................................................4-16 4.5.1 Prognose ................................................................................................................................... 4-16 4.5.2 Simulation................................................................................................................................. 4-17 4.5.3 Fiering Modell (1967) .............................................................................................................. 4-17 4.5.4 Speicherbemessung .................................................................................................................. 4-17

4.6 Diskussion ...................................................................................................4-20

4.7 Literatur......................................................................................................4-21


Seite 4-2


ABB 4.1: GEGENÜBERSTELLUNG VON GANGLINIEN..................................................................4-3

ABB 4.2: BEISPIEL ZUR ZERLEGUNG EINER ZEITREIHE. PLATE (1971)......................................4-5

ABB 4.3: ZERLEGUNG EINER ZEITREIHE ......................................................................................4-6

ABB 4.4: MITTLERE UND GEGLÄTTETE MONATSMITTELWERTE MIT TRENDGERADE .........4-8

ABB 4.5: SPRUNGHAFTER TREND (YEVJEVICH, 1972) .................................................................4-9

ABB 4.6: KORRELOGRAMME MONATLICHER ABFLÜSSE (DYCK 1980) ...................................4-11

ABB 4.7: AUTOKORRELOGRAMM MONATLICHER PEGEL ........................................................4-11 ABB 4.8: AUTOKORRELATIONSFUNKTION DEUTLICH ERKENNBAREN 12-MONATS-

PERIODIZITÄT .................................................................................................................4-12

ABB 4.9: PERIODENANTEIL MONATLICHER PEGELWERTE......................................................4-13

ABB 4.10: KREUZKORRELOGRAMM ............................................................................................4-15

ABB 4.11: ZUSAMMENHANG ZWISCHEN STICHPROBEN VON ZUFALLSVARIABLEN ...........4-15

ABB 4.12: VERGLEICH VON BEOBACHTETEN UND SIMULIERTEN WASSERSTÄNDEN. ........4-16 ABB 4.13: SIMULIERTE MITTLERE UND GEGLÄTTETE MONATSWERTE DER WASSERSTÄNDE

MIT TRENDGERADE........................................................................................................4-17

ABB 4.14: ZEITREIHE MIT DIFFERENZ DES MESSWERTS ZUM MITTELWERT ........................4-18


Seite 4-3

4.1 Allgemeines In der Hydrologie und Wasserwirtschaft werden oft Zeitreihendarstellungen von Messwerten verwendet. Dazu zählen Beobachtungen von Wasserständen, Abflüssen, Niederschlag, Grundwasserständen, Temperatur etc.

Diese Beobachtungen können kontinuierlich (Schreibstreifen), oder als diskrete Werte vorliegen. Diskrete Werte können Terminwerte sein (punktuelle Werte zu bestimmten Zeitpunkt, z.B. 1400h-Temperatur) oder Mittelwerte einer konstanten Zeitspanne (Tagesmittel, Monatsmittel). Erfolgt die Datenerfassung zu konstanten Zeitpunkten spricht man von äquidistanten Zeitreihen (z.B. Temperatur), bei unregelmäßigen Beobachtungen von inäquidistanten Zeitreihen (z.B. Grundwasserhöhen).

Anhand der graphischen Darstellung der Beobachtungsvariable über die Zeitachse können bereits erste Erkenntnisse über die Dynamik und gegenseitige Beeinflussung von hydrologischen Prozessen gewonnen werden. Abb 4.1: zeigt eine graphische Gegenüberstellung von Niederschlag, Temperatur, Abfluss und Grundwasserstand.

Wenn eine der vorkommenden Variablen eine Zufallsvariable mit einer Wahrscheinlichkeits-verteilung ist, spricht man von einem stochastischen Modell, sonst von einem deterministischen.

Besteht zwischen Ein- und Ausgabe ein linearer Zusammenhang, ist auch das Modell linear.

Abb 4.1: Gegenüberstellung von Ganglinien

4.1.1 Statistische Methoden Aus einer Messreihe, meistens mit der Zeitachse als Ordinate, werden die Messwerte unabhängig vom Zeitpunkt ihres Auftretens, d.h. unabhängig von der Vorgeschichte des betrachteten Ereignisses einer statistischen Auswertung unterzogen → Extremwertstatistik (siehe Kap. 2)

[mm]

[°C]

[m3/s]

[cm]

Abfluss

Niederschlag

Temperatur

Grundwasser


Seite 4-4

4.1.2 Stochastische Methoden Die zeitliche Abfolge von Messwerten, deren Auftreten statistischen Gesetzmäßigkeiten unterliegt, bezeichnet man als Zeitreihe. Der Zeitreihenanalyse liegt die Zerlegung in wesentliche Anteile wie Trend (Kap. 4.3.1), Periode (Kap. 4.3.2) und Zufallsanteil zugrunde.

4.2 Zielsetzung Ziel der Zeitreihenanalyse in der Wasserwirtschaft ist es, physikalische Prozesse und ihre deterministischen und stochastischen Komponenten zu beschreiben und dadurch eine funktionale Beziehung einer Wertgröße zu einem Zeitpunkt herzustellen.


Seite 4-5

4.3 Methodik Zumeist wird eine additive Verknüpfung von deterministischen und stochastischen Zeitreihenkomponenten angenommen. Die Hypothese ist, dass eine Zeitreihe aus Trend, periodischem Anteil und stochastischem (Zufalls-)Anteil besteht. Eine Variable X(t) wird somit folgendermaßen beschrieben:

( ) ( ) ( ) ( )tXtXtXtX RPT ++= Glg. 4.1

wobei

X(t) ........ Variable XT(t) ...... Trendanteil XP(t)....... Periodenanteil XR(t) ...... stochastischer Anteil = deterministischer Anteil + Zufallsanteil t.............. Zeit

Abb 4.2: Beispiel zur Zerlegung einer Zeitreihe. PLATE (1971)


Seite 4-6

Abb 4.3: Zerlegung einer Zeitreihe (a) in Trend (b - hier linear), periodische Komponenten (c – z.B. saisonal) und autokorrelative (d) bzw. zufällig verteilte Residuen (e); (MANIAK, 1992)

4.3.1 Trendanteil Die meisten Modelle zur Beschreibung hydrologischer Prozesse implizieren Stationärität. Ein Prozess ist dann stationär, wenn statistische Parameter (z.B. Mittelwerte) von Teilabschnitten nicht signifikant voneinander abweichen. Bei zahlreichen hydrologischen Prozessen gilt diese Annahme nicht. Die Ursachen für Trends können anthropogen oder durch langfristige natürliche Änderungen im Regime bedingt sein. Ein Trend kann linear fallend oder steigend, sprunghaft oder exponentiell erfolgen. Die Feststellung ob ein Trend vorliegt kann mittels parameterfreier Verfahren, sogenannter Trendtests (COX, STUART), oder mittels verteilungsabhängiger Verfahren (Regressionsansatz) erfolgen. Bei der Untersuchung von Zeitreihen werden auch Signifikanzprüfungen durchgeführt, die die Signifikanz der Trendkurve prüfen und die Frage untersuchen, ob die Abweichungen von der Trendkurve als zufallsbedingt oder signifikant anzusehen sind. Als ein geeignetes Verfahren zur Prüfung der Trendsignifikanz hat sich der Test nach Mann-Kendall erwiesen, eine andere Methode ist das sogenannte Trend-Rausch-Verhältnis. Ein linearer Trend kann folgendermaßen ermittelt werden:

• gleitender Mittelwert

• Trendberechnung bei bekannter Periodenlänge

• Regressionsgerade

• Trendpolynom

• Differenzenbildung

Zeitreihe gesamt

Trendanteil

Periode

Autokorrelativer Anteil

Zufälliger Anteil

t


Seite 4-7

4.3.1.1 Gleitender Mittelwert Durch fortschreitende Gleitmittelbildung wird eine Zeitreihenfunktion dem Trendanteil angenähert. Die Berechnung der geglätteten (gefilterten) Werte errechnet sich folgendermaßen:

( ) ( )∑−=

−+

=q

qrrtX

qtY

121

Glg. 4.2

wobei

Y(t) ..........gefilterter Zeitreihenwert 2q.............Mittelungsintervall X(t) ..........Zeitreihenwert

4.3.1.2 Trendberechnung bei bekannter Periodenlänge Zeitreihendaten sind oftmals durch periodisch auftretende Randbedingungen beeinflusst (Klimazyklen). Ist die Länge der Perioden bekannt, so kann ein linearer Trend (mittlerer Anstieg) durch nachfolgende Gleichung angenähert werden:

( ) ( )∑−

=

−+⋅

−=

Pn

t PtXPtX

Pnb

1

1 Glg. 4.3

( ) ( ) bntXn

an

t

⋅−⋅−⋅= ∑=

2211

1

Glg. 4.4

wobei

b........Steigung der Trendgerade a ........Ordinatenabschnitt n........Anzahl der Zeitreihenwerte P .......Periodenlänge

4.3.1.3 Trendgerade (Regressionsgerade) Bei dieser Methode wird die Trendgerade in der Weise festgelegt, dass die Quadrate der Residuen (Differenz zwischen Trendgerade und Zeitreihenwert) ein Minimum ergeben. Die Berechnung entspricht jener der Regressionsgeraden wobei die Zeitwerte (Abszisse) als unabhängige Variable und die Zeitreihenwerte als abhängige Variable festgelegt werden. Die Berechnung ist im Kap.3, (Regression und Korrelation), beschrieben. Bei Annahme eines linearen Trends ergibt sich die Trendgerade zu:

( ) btatX T +=

Die Berechnung von a und b erfolgt analog zur Regressionsanalyse (siehe Kap. 3.3). Ein Trend liegt vor, wenn b signifikant von β=0 abweicht. Dies ist mittels eines sogenannten t-Tests zu prüfen, wobei die Maßzahl t folgendermaßen zu berechnen ist:

21

2

r

nss

bs

btTX

t

b −

−−=

−= β

β Glg. 4.5


Seite 4-8

Die Trendbereinigung einer Reihe wird im Anschluss dadurch erreicht, dass die Stichprobenelemente der Vergangenheit auf die Verhältnisse zum Zeitpunkt des letzten Elementes (t=tn) bezogen werden (Abb 4.4:).

Abb 4.4: Mittlere und geglättete Monatsmittelwerte mit Trendgerade.

4.3.1.4 Trendpolynom Falls ein nichtlinearer Trend vorliegt, so wird dieser durch ein Polynom n-ten Grades in der Form

( ) ∑=

⋅=n

k

kkT tatX

0 Glg. 4.6

oder durch eine Exponentialfunktion angenähert:

( ) tbT eatX ⋅⋅= Glg. 4.7

Die Parameter dieser nichtlinearen Funktionen werden durch Optimierung geschätzt.

m ü A


Seite 4-9

4.3.1.5 Sprunghafter Trend Ein sprunghafter Trend hat oft anthropogene Ursachen, z.B. durch plötzliche Änderung der Gewässernutzung (Wasserentnahme, Speicherbau). Das Aufsuchen von Sprungstellen erfolgt mit Hilfe verschiedener verteilungsfreier (z.B. U-Test) oder verteilungsabhängiger Verfahren (z.B. t-Test).

( )G

GT ttC

ttCtX

><

=2

1 Glg. 4.8

Abb 4.5: Sprunghafter Trend (YEVJEVICH, 1972) Fluktuationen des jährlichen Abflusses des Nils als Beispiel für inkonsistente Daten in hydrologischen Zeitreihen

4.3.1.6 Differenzenbildung Durch wiederholte Differenzenbildung (Differentiation bei differenzierbaren Funktionen) kann ein Trend eliminiert werden. Eine Näherung der ersten Ableitung kann beispielsweise durch nachfolgende Formel gegeben werden:

( ) ( ) ( )t

tXtXdt

tdXΔ

−−+=

211

(Zentrale Differenz) Glg. 4.9

( ) ( ) ( )t

tXtXdt

tdXΔ−+

=1

(Vorwärtsdifferenz) Glg. 4.10

Durch Abziehen der Differenzenreihe von der ursprünglichen Zeitreihe kann der Trendanteil XT(t) ermittelt werden. Man spricht bei Glg. 4.9 von der zentralen Differenz und bei Glg. 4.10 von der Vorwärtsdifferenz.


Seite 4-10

4.3.2 Periodenanteil In fast allen Messreihen hydrologischer Daten sind Perioden enthalten. Periodische Schwankungen hydrologischer Datenreihen werden primär von klimatischen Einflüssen bestimmt. Diese Schwankungen weisen unterschiedlichen Zeitbezug auf. Tagesschwankungen von Abflussmengen können durch den täglichen Temperaturgang (bei Schneeschmelze) oder jährliche Schwankungen durch saisonale Klimabedingungen hervorgerufen werden. Weiters können durch anthropogene Einflüsse Schwankungen entstehen (Verbrauchsspitzen zu bestimmten Zeitpunkten). Eine Periode ist dann vorhanden wenn näherungsweise gilt:

( ) ( ) K,2,1,0=⋅+= iPitXtX PP Glg. 4.11

Für die Bestimmung des Periodenanteils wird zuerst ein vorhandener Trendanteil eliminiert, um Stationärität zu gewährleisten.

Möglichkeiten zur Bestimmung des Periodenanteils:

• Periodenanteil bei bekannter Periodenlänge: - Fourieranalyse - Mittelungsmethode

• Periodenanteil bei unbekannten Periodenlänge: - Autokorrelation

Nach Ermittlung des Periodenanteils ist zu überprüfen ob die festgestellten Perioden zufälliger Art sind oder durch äußere Einflüsse hervorgerufen werden. Zur Prüfung gibt es folgende Möglichkeiten:

• Prüfung des Korrelationskoeffizienten gegen Null

• Prüfung der Amplitudenquadrate auf ihre Signifikanz

4.3.2.1 Autokorrelation Die Autokorrelation stellt Zusammenhänge innerhalb einer Reihe von Werten fest. Eine Zeitreihe wird um k Zeiteinheiten gegen sich selbst verschoben und - gemäß der im Abschnitt 3.2.3 vorgestellten Methodik - mit der Ausgangsreihe korreliert. Der dabei erhaltene Autokorrelationskoeffizient wird mit rk bezeichnet; klarerweise gilt immer r0 = 1, (wenn also die Zeitreihe um 0 Zeiteinheiten (= gar nicht) gegen sich verschoben wird). Die Anzahl der in die Berechnung eingehenden Wertepaare verkleinert sich dabei um k, da am Anfang bzw. am Ende der Reihe k Werte verloren gehen.

Die graphische Darstellung von rk in Abhängigkeit von k wird als Korrelogramm bezeichnet (Abb 4.6:). Eine Periodizität im Korrelogramm spiegelt eine Periodizität der Zeitreihe wider. So sind z.B. bei Zeitreihen monatlicher Abflüsse meist Maxima von rk bei Zeitverschiebungen von einem Vielfachen von 12 Monaten feststellbar.


Seite 4-11

Abb 4.6: Korrelogramme monatlicher Abflüsse (DYCK 1980)

Es kommt in der Hydrologie auch vor, dass sich eine Einflussgröße erst mit einer gewissen zeitlichen Verzögerung auf eine Zielgröße auswirkt. Der Niederschlag eines Monats macht sich z.B. oft erst im darauffolgenden Monat oder später im Grundwasserstand bemerkbar.

4.3.2.2 Periodenanteil bei unbekannter Periodenlänge Steht die Periodenlänge einer Zeitreihe a priori nicht fest, so ist diese mittels Autokorrelationsrechnung zu bestimmen (siehe auch Kap. 4.4). Dabei wird eine Zeitreihe immer wieder mit sich selbst korreliert, wobei eine fortschreitende zeitliche Überlappung („lag“, z.B. in Monatsschritten) erfolgt. Als Ergebnis liegt ein Autokorrelogramm vor (siehe Abb 4.7:), welches den Autokorrelationskoeffizienten in Abhängigkeit zur zeitlichen Überlappung ausweist. Die Periodenlänge ergibt sich aus der Zeitdistanz zwischen zwei Korrelationsmaxima. Der Periodenanteil wird sodann nach oben beschriebener Mittelungsmethode berechnet.

Abb 4.7: Autokorrelogramm monatlicher Pegel Autokorrelation der Zeitreihe mit einer Verschiebung um 12, 24, 36, usw. Monate erreichen die Korrelationskoeffizienten Maxima. Man kann eindeutig schließen, dass die Periodenlänge 12 Monate beträgt (in der Hydrologie sehr häufig).

Der Autokorrelationskoeffizient errechnet sich nach folgender Formel:

( ) ( )( ) ( )∑∑∑

++

++

−⋅−

−⋅−=

22ττ

ττ

tttt

tttt

xxxx

xxxxr Glg. 4.12

wobei

Xt ......Zeitreihenwert t.........Zeitindex τ ........Zeitüberlappung (lag)


Seite 4-12

Abb 4.8: Autokorrelationsfunktion deutlich erkennbaren 12-Monats-Periodizität

∑∞

=

⋅⋅⋅+=1

0 )sin(2

)(n

np tncctX ω

4.3.2.3 Periodenanteil bei bekannter Periodenlänge Fourieranalyse Eine periodische Funktion kann durch Überlagerung von Cosinus- und Sinusfunktionen (Fourierreihe) angenähert werden. Die allgemeine Formel dafür lautet:

( ) ( ) ( )tnbtnatXn

nn

nP ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= ∑∑∞

=

∞

=

ωω cossin11

Glg. 4.13

Autokorrelationsfunktion Mittersill

Grieskirchen


Seite 4-13

Die Koeffizienten a und b beschreiben in Abhängigkeit zu n das Linienspektrum einer Funktion. Für die Bestimmung der periodischen Zeitfunktion ist die nachfolgende Mittelungsmethode anzuwenden.

Mittelungsmethode Stationäre, periodische Zeitreihen setzen sich aus Periodenanteil XP(t) und Zufallsanteil XR(t) zusammen. Durch Zerlegung der Zeitreihe in einzelne Perioden und Mittelung gelangt man zum Periodenanteil:

( )∑−

=

⋅+=1

0

1 m

jii PjtX

ny Glg. 4.14

wobei

yi .......i-te Mittelwert innerhalb der Periode i.........Index der Periodenglieder (z.B. Monate) m.......Anzahl der Perioden innerhalb der Zeitreihe

Nach Abziehen des Periodenanteils von der trendfreien Zeitreihe verbleibt der stochastische Zeitreihenanteil XR(t).

Abb 4.9: Periodenanteil monatlicher Pegelwerte

Beobachtete Pegelwerte (durchgezogen) und mittlere monatliche Pegelwerte (strichlierte)


Seite 4-14

4.3.3 Stochastischer Zeitreihenanteil Nach Abtrennung (Subtraktion) von Trend- und Periodenanteil verbleibt der stochastische Zeitreihenanteil XR(t). Bei Prozessen in der Wasserwirtschaft wird dieser Anteil zumeist durch kurzfristige, zufällige Witterungserscheinungen hervorgerufen, deren Auftreten und Wirkung nicht exakt vorhersehbar sind. Dennoch zeigen diese zufälligen Einflüsse innerhalb kurzer Zeitspannen eine gewisse Kontinuität, die auch als Persistenz (Erhaltungsneigung) bezeichnet wird. Daraus lassen sich bestimmte Gesetzmäßigkeiten herleiten. Daher kann der stochastische Zeitreihenanteil in einen korrelierten und einen zufälligen Anteil gegliedert werden.

Dem korrelierten Anteil liegt jene Überlegung zugrunde, dass ein Zeitreihenwert vom vorhergehenden Wert abhängig ist. Dies wird im einfachsten Fall durch eine korrelative Beziehung und einem reinen Zufallsglied in nachstehender Form beschrieben:

( ) ( ) ( )ttXrtX RR ε+−⋅= 11 Glg. 4.15

Prozesse, die durch Gleichungen mit autokorrelativen Anteil und reinem Zufallsglied beschrieben werden, werden auch als Markov Prozess bezeichnet. Ein Markov Prozess 1. Ordnung liegt vor, wenn der Wert einer Zeitreihe nur vom vorhergehenden Zeitreihenwert abhängig ist. Das Zufallsglied ε(t) wird als "weißes Rauschen" bezeichnet und ist durch Mittelwert 0 und Varianz beschrieben.


Seite 4-15

4.4 Kreuzkorrelation In der Hydrologie liegen Daten oftmals in Form von Zeitreihen vor, wobei die Werte im zeitlichen Abstand von Δt aufeinanderfolgen (z. B. tägliche Wasserstands-, Abfluss- oder Niederschlagsmesswerte). Diese Zeitreihen sind meist nicht unabhängig, d.h. die Werte werden von ihren Vorgängern beeinflusst. Wird eine Zeitreihe mit den um k Zeiteinheiten verschobenen Werten einer anderen Zeitreihe korreliert, so spricht man von Kreuzkorrelation. Die dabei erhaltenen Kreuzkorrelationskoeffizienten werden ebenfalls mit rk bezeichnet. Die Darstellung der Kreuzkorrelationskoeffizienten in Abhängigkeit von der Zeitverschiebung wird als Kreuzkorrelogramm bezeichnet (Abb 4.10:). Die Lage eines Maximums im Kreuzkorrelogramm kann Hinweise auf die Verzögerungszeit zwischen Ursache und Wirkung geben.

Abb 4.10: Kreuzkorrelogramm

Abb 4.11: Zusammenhang zwischen Stichproben von Zufallsvariablen (MANIAK, S. 201)


Seite 4-16

4.5 Anwendung von Zeitreihenmodellen Primär dienen Zeitreihenmodelle der Erkenntnis von Prozessen und deren Gesetzmäßigkeiten. Zeitreihenmodelle werden zumeist anhand beobachteter Messreihen erstellt. Dabei ist zu berücksichtigen, dass neben der Modellkalibrierung (Eichung) ein weiterer Zeitabschnitt für die Validierung (Prüfung) der Modelle verwendet wird. Erweist sich ein Modell als geeignet einen Prozess nachzubilden, so gibt es vielerlei Anwendungsmöglichkeiten dafür.

Abb 4.12: Vergleich von beobachteten und simulierten Wasserständen.

4.5.1 Prognose In der wasserwirtschaftlichen Planung ergibt sich zumeist die Notwendigkeit, die Wirkung von Prozesse und Maßnahmen in die Zukunft zu projizieren. Dafür sind Schätzungen der zukünftigen Entwicklung notwendig. Beispiele dafür sind die Voraussage der Abflussentwicklung für die Schifffahrt, oder die Energieerzeugung. Durch das Zufallsglied kann es keine sichere Vorhersage geben, es muss vielmehr eine Vielzahl möglicher Entwicklungen berücksichtigt werden. Die Unsicherheit steigt mit der Varianz und mit dem Vorhersageintervall. Die Möglichkeiten einer Kurzfrist- oder Langfristprognose ergeben sich aus der Wahl der Zeitreihenmodelle.

Grundsätzlich gibt es zwei verschiedene Aufgabenstellungen (siehe Kap. 11):

• Echtzeit-Prognosen (Real Time Forecasting): Ziel dabei ist es, den durch aktuelle Niederschlagsereignisse erzeugte Abfluss möglichst schnell und genau vorherzusagen. Das Ergebnis wird durch die Trägheit des Systems bestimmt, die Unsicherheit muss angegeben werden. Echt-Zeit-Prognosen sind für die Hochwasservorhersage notwendig. Meist AR-Prozesse.

• Langzeit-Prognose (Prediction): Ziel ist die Berechnung von Bemessungsereignissen mit unbestimmtem Auftretenszeitpunkt (z.B. HQ100). Ausgehend von einer Verteilung der möglichen Ereignisse, die nur aus dem stochastischen Anteil bestimmt ist. Die Unsicherheit, die größer als bei der Echt-Zeit-Prognose ist, muss ebenfalls angegeben werden. Langzeitprognosen finden Anwendung bei der Speicherbemessung und Speicherbewirtschaftung, sowie bei der Vorhersage des zukünftigen Wasserbedarfs.


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4.5.2 Simulation Mit Hilfe von Zeitreihenmodellen können beliebig lange Zeitperioden simuliert werden. Dabei muss berücksichtigt werden, dass eine Simulation aufgrund der stochastischen Modellkomponenten nur eine mögliche Realisationen von unendlich vielen Realisationen liefert. Um mögliche Extremwerte (Extremwertanalyse), Risiken (Risikoanalyse) oder Schwankungsbereiche (Varianzanalyse) angeben zu können, empfiehlt sich eine Generierung möglichst langer Zeitreihen bzw. eine oftmalige Simulation einer gewünschten Zeitspanne (bei vorhandenem Trend).

Abb 4.13: Simulierte mittlere und geglättete Monatswerte der Wasserstände mit

Trendgerade.

4.5.3 Fiering Modell (1967) THOMAS-FIERING-Modelle sind lineare Modelle, welche die Berücksichtigung von periodischen Prozessen erlauben. So lautet beispielsweise die Formel für die Beschreibung von Monatsmittelwerten (z.B. Abflüsse) folgend

( ) ( )2111 1 jjiiijji rszxxbxx −⋅+−+= +++ Glg. 4.16

wobei

x ........Variable z ........standardisierte Zufallszahl i.........Zeitindex r ........Korrelationskoeffizient zweier aufeinanderfolgender Monate s ........Standardabweichung der einzelnen Monate j.........Rang in Periode (Monatszahl)

Der Nachteil der FIERING-Modelle ist die große Anzahl zu schätzender Modellkoeffizienten. Daher wird dieser Ansatz für kürzere Zeitschritte kaum verwendet, weil s, s2 und Cs immer größer werden, je kürzer der betrachtete Zeitabschnitt ist. Für die Erstellung des Modells muss also eine hinreichende Datenmenge zur Verfügung stehen.

4.5.4 Speicherbemessung Üblicherweise erfolgt die Speicherbemessung mit Hilfe des Summenlinienverfahrens. Die Dimensionierung eines Speicherbauwerkes hängt dabei wesentlich vom Grad des geforderten Ausgleichs ab, d.h. bis zu welcher Zeitspanne eine Reservehaltung im Speicher vorzusehen ist.


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Dabei werden die Summen des Bedarfs und des Dargebots graphisch aufgetragen (vgl. LV Siedlungswasserbau Übungen), und die maximalen Über- und Unterschreitungen als "Range" zusammengefasst. Eine andere Möglichkeit, die Range zu ermitteln, ist die Verwendung sogenannter Restmengenkurven (Abb 4.14:). Die Range gibt den maximal notwendigen Speicherinhalt an. Allerdings tritt bei der Ermittlung der Speichergröße mit Summenlinien der Einfluss von kumulativen Größen besonders deutlich hervor. Der Betrag der Range erhöht sich mit zunehmender Beobachtungsdauer des Dargebots, d.h. bei langer Beobachtungsdauer ergeben sich größere Dimensionierungen des Speicherbauwerks anhand zahlreicher und langer Messreihen hydrologischer und geophysikalischer Größen wurde von HURST (1951) der Einfluss der Länge der Beobachtungsreihe auf die Range untersucht und mit folgendem Ausdruck angegeben ("HURST-Effekt"):

E(RN/sN)=cNH bzw. RN=sN(N/2)H Glg. 4.17

C...... ..Konstante N...... ..Anzahl der Betrachtungen RN.... ..Range bzw. Speicherinhalt bei Jahresvollausgleich für N Beobachtungsjahre SN....... Standardabweichung der Zuflüsse der N Beobachtungsjahre H.... ....Exponent (HURST-Koeffizient); 0,46<H<0,96 (Mittel H = 0,73 von HURST anhand von sehr langen Messreihen nachgewiesen)

Abb 4.14: Zeitreihe mit Differenz des Messwerts zum Mittelwert

Hier ist von den Werten einer Zeitreihe jeweils der Unterschied des Messwerts zum Mittelwert aufgetragen. Ist ein Messwert größer als der Mittelwert, wird die Differenz zum Mittelwert nach oben aufgetragen, ist ein Messwert kleiner als der Mittelwert nach unten. Es ergibt sich eine sogenannte Restmengenkurve, bei welcher der Anfangswert und der Endwert immer gleich sind


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(da ja auch die Summe der positiven Differenzen zwischen Messwerten und Mittelwert gleich groß ist wie die Summe der negativen Differenzen). R1, R2 und RT entspricht der Range für die Zeiträume 1,2 und T. Je größer der beobachtete Zeitraum, desto größer die Range. Die Range entspricht dem benötigten Speichervolumen.

In der Folge definierte HURST die sogenannte Adjusted Range bzw. die Rescaled Adjusted Range, welche umfangreiche statistisch auswertbare Informationen beinhalten. Um ein allgemeingültiges und vergleichbares Bemessungskriterium zu erlangen, wird empfohlen eine kurze Beobachtungsdauer durch simulierte Werte zu ergänzen und eine ca. 100-jährige Datenreihe der Bemessung zugrundezulegen.

Eine weitere Möglichkeit der Speicherbemessung ist die Berechnung von Versagenswahrscheinlichkeiten. Dabei werden eine Vielzahl von Datenreihen simuliert und die Wahrscheinlichkeit eines Über- oder Trockenlaufens des Bauwerkes analysiert und statistisch ausgewertet. Diese Versagenswahrscheinlichkeiten können auch als Planungsvorgabe festgelegt werden.


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4.6 Diskussion Sämtliche Prozesse in der Wasserwirtschaft (z.B. Abfluss) bestehen aus deterministischen und stochastischen Komponenten. Aufgrund der Zufälligkeit der prozessverursachenden Eingangsgröße (z.B. Niederschlag) wie auch der Zustandsgrößen des Systems (z.B. Befeuchtungsgrad, Bodenbedeckung) ist jede Beobachtungsreihe eine zufällige Realisation von unendlich vielen Variationsmöglichkeiten. Bei der Erstellung von Zeitreihenmodellen, welche die charakteristischen Eigenschaften eines Prozesses wiedergeben sollen, ergibt sich die Schwierigkeit, dass nur eine, gemessen an der Grundgesamtheit, kurze Stichprobe zur Verfügung steht. Daher kann es nur das Ziel von Zeitreihenmodellen sein, eine annähernd genaue Beschreibung der Prozesse zu erreichen. Eine geringfügige Abweichung der Modellsimulationen von den tatsächlichen Werten wird stets vorhanden sein.

Dennoch ergeben sich durch Zeitreihenmodelle die Möglichkeiten einer Ausdehnung kurzer Beobachtungsreihen und somit einer gezielteren Interpretation des Prozesses und der damit verbundenen Planungskriterien.


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4.7 Literatur ANDERSON. O.D. (1976): Time Series Analysis and Forecasting. The Box Jenkins Approach.

Butterworths, London.

BECHTELER, W. (1972): Die statistische Untersuchung einer Zeitreihe auf stationäres Verhalten. 4. Fortbildungslehrgang für Hydrologie. DVWW Karlsruhe.

BOX, G.E.P. & JENKINS, G.M. (1970): Time Series Analysis Forecasting and Control, Holden-Day, San Francisco.

CHATFIELD, C. (1982): Analyse von Zeitreihen. BSB Teubner, Leipzig.

CLARKE, R.T. (1973): Mathematical Models in Hydrology. Irrigation and Drainage Paper, FAO. H. 19., Rom.

FIERING, M.B (1967): Streamflow Synthesis. Cambridge, Harvard University Press, Massachusetts

HIPEL, K.W. and A.I. McLEOD (1994): Developments in Water Science: Time Series Modelling of Water Resources and Environmental Systems; ISBN: 0 444 89270-2; Elsevier, Amsterdam

HOLZMANN, H. (1993): Anwendung der Zeitreihenanalyse in der Wasserwirtschaft unter Bezugnahme auf die Abflußverhältnisse der Donau in Wien. Österreichische Wasserwirtschaft, Jg. 45, Heft 1/2, Springer Wien.

HOSKING, J.R.M. (1984): Modeling Persistence in Hydrological Time Series Using Fractional Differencing. Water Resources Research, Vol. 20, No. 12, pp. 1898-1908. Am. Geoph. Union, Washington.

HURST, H.E. (1951): Long term storage capacities in reservoirs. Trans. Am. Soc. Civ. Eng. Vol. 116, pp 776-808, 1951

LIEBSCHER, H.J. (1972): Simulation von Zeitreihen. 4. Fortbildungslehrgang für Hydrologie. DVWW Karlsruhe.

MANIAK, U. (1992): Hydrologie und Wasserwirtschaft. Springer, Berlin.

NACHTNEBEL H.-P. (1975) Wiener Miteilungen Band 18; p.1-25

PLATE, E. (1971): Analyse kontinuierlicher Zufallsfunktionen. Mitteilungen des Inst. f. Wasserbau der TU Karlsruhe, Heft 1.

SEUS, G. (1974): Die Korrelation als Mittel der Zeitreihenanalyse. 6. Fortbildungslehrgang des DVWW, Bad Herrenalb.

TREIBER, B. (1974): Erzeugung von Zeitreihen. 6. Fortbildungslehrgang des DVWW, Bad Herrenalb.

WEISS, G. (1977): Shot Noise Models for the Generation of Synthetic Streamflow Data. Water Resources Research, Vol. 13. No.1, pp 101-108, Am. Geoph. Union, Washington.

YEVJEVICH, V. (1972): Stochastic Processes in Hydrology. Water Resource Publications Fort Collins, Colorado, U.S.A.


Seite 4-22

5 Regionalisierung & Räumliche Interpolation

Seite 5-1

5 REGIONALISIERUNG & RÄUMLICHE INTERPOLATION

5.1 Allgemeines ......................................................................................................5-3

5.2 Untersuchte Größen........................................................................................5-4 5.2.1 Regionalisierte Modellparameter und Eingangsgrößen.............................................................. 5-4 5.2.2 Regionalisierte Randbedingungen und Koeffizienten ................................................................ 5-4

5.3 Skalenabhängige Haupttypen der Regionalisierung ...................................5-5

5.4 Darstellung von räumlichen Daten ...............................................................5-7

5.5 Schätzung von Werten - Interpolation .........................................................5-8 5.5.1 Grundlagen ................................................................................................................................. 5-9 5.5.2 Globale Schätzung...................................................................................................................... 5-9

5.5.2.1 Thiessen- Polygone............................................................................................................... 5-10 5.5.2.2 Triangulierung ...................................................................................................................... 5-10 5.5.2.3 Rasterverfahren..................................................................................................................... 5-10 5.5.2.4 Isolinienverfahren................................................................................................................. 5-10

5.5.3 Punktschätzung......................................................................................................................... 5-12 5.5.3.1 Thiessen-Polygone................................................................................................................ 5-12 5.5.3.2 Triangulierung ...................................................................................................................... 5-13 5.5.3.3 Gewichtete Mittelung ........................................................................................................... 5-13

5.6 Kriging ...........................................................................................................5-15 5.6.1 Variogramme............................................................................................................................ 5-16 5.6.2 Experimentelles Variogramm................................................................................................... 5-16 5.6.3 Theoretische Variogramme ...................................................................................................... 5-19 5.6.4 Mögliche Anwendungen: ......................................................................................................... 5-22

5.7 Güte der Schätzung.......................................................................................5-25

5.8 Anwendung....................................................................................................5-26

5.9 Literatur.........................................................................................................5-27


5 Räumliche Interpolation

Seite 5-2

ABB 5.1: DATENPUNKTE EINER STICHPROBE .................................................................................... 5-8

ABB 5.2: DETERMINISTISCHE FUNKTION ZUR SCHÄTZUNG ANDERER WERTE AUS ABB. 5.1......................................................................................................................................................... 5-8

ABB 5.3: EINE MÖGLICHE REALISIERUNG EINER ZUFALLSFUNKTION....................................... 5-9

ABB 5.4: METHODEN DER GEBIETSNIEDERSCHLAGS-ERMITTLUNG (MANIAK 1992) ............ 5-11

ABB 5.5: DARSTELLUNG DER IN TAB 5.2:GELISTETEN DATEN .................................................... 5-12

ABB 5.6: POLYGONDARSTELLUNG (SPRUNGSTELLEN) ................................................................. 5-12

ABB 5.7: TRIANGULIERUNG .................................................................................................................. 5-13

ABB 5.8: DIE VARIANZEN ALLER MESSWERTE, DIE INNERHALB DER DISTANZ H LIEGEN, WERDEN BERECHNET ............................................................................................................. 5-17

ABB 5.9: KOVARIANZFUNKTION K(H) UND VARIOGRAMM γ(H) ................................................. 5-18

ABB 5.10: VARIOGRAMM............................................ FEHLER! TEXTMARKE NICHT DEFINIERT.

ABB 5.11: THEORETISCHE VARIOGRAMME ...................................................................................... 5-20

ABB 5.12: THEORETISCHES VARIOGRAMM NACH A) GAUSS UND B) DE WIJSIAN ................. 5-20

ABB 5.13: GRUNDELEMENTE EINES THEORETISCHEN VARIOGRAMMS ................................... 5-21

ABB 5.14: SPÄRISCHES VARIOGRAMM MIT LEICHTEM TREND. .................................................. 5-22

ABB 5.15: VARIOGRAMM MIT NUGGETEFFEKT ............................................................................... 5-23

ABB 5.16: VARIOGRAMM MIT „RÄUMLICHER PERIODE“............................................................... 5-23

Tabellenverzeichnis TAB 5.1: SKALENBEREICHE IN DER HYDROLOGIE ........................................................................... 5-5

TAB 5.2: DATENSATZ ZUR VERANSCHAULICHUNG EINER PUNKTSCHÄTZUNG .................... 5-12

TAB 5.3: DATENSATZ GEWICHTET NACH DER DISTANZ............................................................... 5-14

TAB 5.4: DATENSATZ GEWICHTET NACH DEM QUADRAT DER ENTFERNUNG ....................... 5-14


Seite 5-3

5.1 Allgemeines Hydrologische Daten weisen neben einer zeitlichen auch eine räumliche Variabilität auf. Diese ist etwa durch Vergleich der Zeitreihen benachbarter Messstationen zu erkennen, welche sich im Wertebereich und/oder in der Variabilität unterscheiden. Zu einem bestimmten Zeitpunkt können für alle beobachteten Messstationen diskrete Messwerte aus der Zeitreihe angegeben werden. Im Gegensatz dazu muss der Wert an einem bestimmten, nicht beobachteten Punkt in der Regel durch ein Interpolationsverfahren ermittelt werden. Da der tatsächliche Wert nicht bekannt ist und bei zeitabhängigen Daten auch nicht mehr erhoben werden kann, handelt es sich dabei immer um eine Schätzung. Dafür stehen unterschiedliche Verfahren zur Verfügung. Man nennt diese Verfahren zur räumlichen Interpolation Regionalisierungsverfahren. Früher wurde unter Regionalisierung allein die „Ausweisung von Flächen gleicher hydrologischer Eigenschaften“ verstanden. Dabei können verschiedene hydrologische Komponenten, etwa GW-Neubildung, HW-Scheitelabflüsse, Abflussmengen über die Zeit oder z.B. jahreszeitliche Abflussschwankungen betrachtet werden. Heute schließt der begriff Regionalisierung auch die Regionale Übertragung mit ein, die Generalisierung oder flächenhafte Verallgemeinerung (=räumliche Übertragung) hydrologischer Größen (KLEEBERG in DFG 1999), und auch folgende Applikationen werden unter dem Begriff Regionalisierung zusammengefasst:

• Darstellung von Feldern hydrologischer Daten und Parameter (Isolinien)

• Glättung räumlicher Verteilungen

• Ausweisung homogener Teilgebiete

• Übertragung von Punktinformation innerhalb eines Gebietes (auf die Fläche)

• Übertragung von Punktinformation aus einem Gebiet auf Punkte eines anderen Gebiets

• Änderung von Modellparametern bei der Übertragung vom Punkt auf den Raum

• Abhängigkeit von Modellparametern von gebietsspezifischen Merkmalen

• Mathematische Methoden der Regionalisierung

• Datenbanken, Informations- und Wissenssysteme

• Archivierung und Nutzung hochaufgelöster Punktinformation


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5.2 Untersuchte Größen Der Versuch zu regionalisieren wird für die unterschiedlichsten Messgrößen unternommen. Man unterscheidet (KLEEBERG at. al. in DFG 1992):

5.2.1 Regionalisierte Modellparameter und Eingangsgrößen Das sind abhängige Größen wie:

• Abflüsse (Mittel, Extrema)

• Abflussbeiwerte, Abflusskoeffizienten

• Einheitsganglinien (Form, Anstiegszeit, Scheitelwert)

• Schneedecke

• Niederschläge (Höhe, Dauer, Intensität, Extrema)

• Effektivniederschlag

• Vorregenindex

5.2.2 Regionalisierte Randbedingungen und Koeffizienten Das sind unabhängige Größen wie:

• Einzugsgebiet (Größe, Form, Höhenlage, Gefälle, Exposition, Reliefenergie)

• Vorfluter (Gefälle, Länge, Gestalt, Querschnitt, Laufzeit)

• Boden (Art, Feuchte, pf-Kurve, Geologie)

• Landnutzung (Waldanteil, bebaute Flächen)

• Potentielle Besonnungsdauer

• Strahlungsbilanzgrößen


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5.3 Skalenabhängige Haupttypen der Regionalisierung nach BECKER (1992)

Unter Beachtung des Skalenaspekts (Tab 5.1:) können drei Haupttypen der Regionalisierung unterschieden werden (BECKER in DFG 1992):

Tab 5.1: Skalenbereiche in der Hydrologie

Typ A Bestimmen der flächenmäßigen Verteilung einer Größe mit oder ohne Anwendung geeigneter Übertragungsfunktionen (Generalisierung, Verallgemeinerung), im allgemeinen durch:

• Interpolation und Extrapolation

• Einfache Zuordnung (Übertragung) der Größe von einem Ort (z.B. Messstation) zu einer anderen „hydrologisch ähnlichen“ Lokalität

Bei diesem Typ der Regionalisierung erfolgt kein Wechsel des Skalenbereichs

Typ B Flächenmäßige Aggregierung beziehungsweise Integration von lokalen oder Teilflächen bezogenen Informationen, meist in Form der Bildung von

• Flächensummen und Flächenmittelwerten (z.B. des Niederschlags, der Verdunstung o.ä.)

Hierbei erfolgt meist ein Skalenwechsel von einem niederen zu einem höheren Skalenbereich (Mikro- zu Mesoskalen oder Meso- zu Makroskalen)


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Typ C Flächenmäßige Disaggregierung beziehungsweise Differenzierung von größerflächig vorliegenden Informationen auf Teilflächen (z.B. Rasterflächen). Hierbei erfolgt zumeist ein Übergang von einem höheren zu einem niederen Skalenbereich. Dieser Typ der Regionalisierung hat besondere Bedeutung und Aktualität in Verbindung mit dem Weltklimaprogramm sowie der Entwicklung und Anwendung von Weltklimamodellen erlangt (BECKER in DFG 1992).


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5.4 Darstellung von räumlichen Daten Der Raumbezug von hydrologischen Daten ist in der Regel durch die Lage an der Geländeoberfläche eindeutig beschrieben. Da auch die Entfernung der einzelnen Stationen im Vergleich zur Höhendifferenz des Geländes groß ist, genügt oft die Angabe der Lagekoordinaten. Die Variable v ist daher eine Funktion der Lagekoordinaten x, y und der Zeit t; v = v(x,y,t).

Die Darstellung der räumlichen Daten erfolgt mit Karten bzw. Plänen. Die Datenpunkte, das sind die Messstationen an denen die Daten erhoben werden, sind einzutragen z.B. in der Karte beim jeweiligen Messpunkt.

Die Darstellung der Messwerte in den Karten und Plänen kann durch Symbole, Zahlenwerte, oder die Zugehörigkeit zu verschiedenen Klassen erfolgen. Sehr ähnlich erfolgt die Darstellung der Messwerte durch Grauschattierungen oder Farben.

Um Isolinien zu berechnen und darzustellen ist allerdings Interpolation der darzustellenden Höhenlinien notwendig. Dazu werden die Werte auf einem regelmäßigen Raster interpoliert und dann durch Triangulation die Koordinaten der gesuchten Isolinie berechnet (z.B. SURFER). Auch die Triangulation der Messpunkte (z.B. ARCINFO) wird angewendet.


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5.5 Schätzung von Werten - Interpolation Die Schätzung von Werten an bestimmten, nicht beobachteten Punkten, wird als Interpolation bezeichnet. Die Schätzung kann unter verschiedenen Aspekten erfolgen. Unter einer globalen Schätzung (Kap.5.5.2) versteht man die Interpolation eines charakteristischen Wertes für das Beobachtungsgebiet. Im Gegensatz dazu dient die Punktschätzung (Kap.5.5.3) zur Ermittlung des Wertes an einem bestimmten Punkt P = P(x,y). Mit ähnlichen Methoden können die Werte von bestimmten Flächen oder Blöcken ermittelt werden. Oft wird nur der Mittelwert interpoliert. Aber auch die Schätzung der gesamten Verteilung kann Ziel der Untersuchung sein.

Um eine Schätzung durchführen zu können, werden einerseits Daten benötigt, andererseits muss eine Vorstellung existieren, wie diese Daten zusammenhängen. Am besten ist es, wenn das Phänomen (Prozess), das zu diesen Daten geführt hat, bekannt ist. Ist dies der Fall, kann aus relativ wenigen Datenpunkten ein deterministisches Modell aufgestellt. werden (Abb 5.1:, Abb 5.2:). In der Hydrologie sind die Prozesse, die eine bestimmte Variable beeinflussen, in der Regel nicht eindeutig identifizierbar. Es existiert daher eine Unsicherheit bezüglich des verursachenden Prozesses, sodass diejenigen Variablen als Zufallsvariablen behandelt werden müssen, die durch Zufallsfunktionen beschrieben werden können. Zur Behandlung dieser Daten werden geostatistische Methoden verwendet (Abb 5.3:).

Abb 5.1: Datenpunkte einer Stichprobe

Abb 5.2: Deterministische Funktion zur Schätzung anderer Werte aus Abb. 5.1

v

v

x

x


Seite 5-9

Abb 5.3: Eine mögliche Realisierung einer Zufallsfunktion aus der die Daten aus Abb. 5.1 stammen könnten

5.5.1 Grundlagen Die hier beschriebenen Schätzverfahren basieren alle auf dem Prinzip der gewichteten linearen Kombination. Ein Schätzwert v der Variable xn,i wird dabei aus den Gewichten wi und den einzelnen Messwerten xi, i= 1, ...n einer Stichprobe mit dem Umfang n nach folgender Gleichung ermittelt:

∑∑==

⋅=⋅⋅=n

iii

n

iii xwxw

nv

11

´1 Glg. 5.1

n........Anzahl der Messwerte w .......Gewicht w´ .....normiertes Gewicht Σwi´ = 1 x ........Messwert

Die im folgenden angeführten Verfahren können auch auf transformierte Variablen angewendet werden.

5.5.2 Globale Schätzung Zweck der globalen Schätzung ist die Ermittlung eines Mittelwertes über einem Gebiet, in dem sich viele Messstellen befinden. Die Schätzung des Gebietsniederschlags kann als Beispiel für die globale Schätzung herangezogen werden. Dazu werden verschiedene, im folgenden beschriebene Methoden verwendet (MANIAK, 1992)


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5.5.2.1 Thiessen- Polygone Jeder Messpunkt erhält ein Gewicht, das dem Flächenanteil des zugehörigen Polygons Ai am Gesamtgebiet A entspricht. Das Gewicht ist somit gleich dem Verhältnis aus Einzelfläche durch Gesamtfläche. Geometrisch gesehen, wird jeder Punkt des Gebietes der nächstgelegenen Station zugeordnet (Abb 5.4:). Weiter auseinanderliegende bzw. isolierte Stationen werden dadurch stärker gewichtet als Stationen deren Abstand zu den benachbarten Stationen geringer ist. Diese Methode ist vorteilhaft, wenn die Stationen immer die gleichen bleiben, da sonst die Gewichte immer neu festgelegt werden müssen. Alle anderen Methoden sind leichter erweiterbar.

∑= iNiGN hAAh ,, 1 Glg. 5.2

hN,G ...Gesamtgebietsniederschlag A.......Gesamtgebietsfläche Ai ......Teilgebietsfläche (Polygon) hN,i.....Niederschlagssumme der einzelnen Stationen i

5.5.2.2 Triangulierung Die Triangulierung erfolgt durch die Festlegung eines Dreiecksnetzes wobei die Messpunkte an Knoten zu liegen kommen. Jedem Dreieck wird der Mittelwert der Eckpunkte

∑⋅ jNh ,31 zugeordnet (Abb 5.4:). Um Eindeutigkeit zu gewährleisten gibt es ein Winkelkriterium.

( )∑ ∑⋅⋅⋅= jNiGN hAAh ,, 311 3,2,1;,...1 == jni Glg. 5.3

hN,G ...Gesamtgebietsniederschlag A.......Gesamtgebietsfläche Ai ......Teilgebietsfläche (Dreieck) hN,j.....Niederschlag im Dreieckspunkt j

5.5.2.3 Rasterverfahren Das gesamte Gebiet wird mit einem gleichförmigen Raster überzogen (Abb 5.4:). Jeder Messwert wird dadurch einer Zelle zugeordnet. Jeder Messwert erhält ein Gewicht, das zur Anzahl der Messwerte in der entsprechenden Zelle verkehrt proportional ist. Jede Zelle hat damit in Summe das Gewicht 1, sodass diese Vorgangsweise der Ermittlung des arithmetischen Mittels jeder Zelle entspricht. Das globale Mittel wird als arithmetisches Mittel aller Zellen berechnet. Nachteil des Rasterverfahren ist, dass das Interpolationsergebnis von der Größe des gewählten Rasters abhängig ist. Die Methode ist somit nicht eindeutig.

5.5.2.4 Isolinienverfahren Bei der Ermittlung des Gebietsniederschlags wird oft das Isohyetenverfahren angewandt. Dieses geht von interpolierten Isolinien der Niederschlagshöhe aus. Die Flächen zwischen den Isolinien ΔAi stellen das Gewicht für das Mittel der entsprechenden Niederschlagshöhen hN,i* dar (Abb 5.4:). Der Vorteil dieses Verfahrens besteht darin, dass die Isolinien durch den (erfahrenen) Bearbeiter an die Witterungs- bzw. Geländeverhältnisse angepasst werden können.

∑Δ= *,, 1 iNiGN hAAh Glg. 5.4

hN,G ...Gesamtgebietsniederschlag A.......Gesamtgebietsfläche


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ΔAi....Teilgebietsfläche (zwischen 2 Isohyeten) hN,i

* ...mittlerer Niederschlag im Teilniederschlagsgebiet ΔAi

Abb 5.4: Methoden der Gebietsniederschlags-Ermittlung (MANIAK 1992) a) Isohyetenmethode b) Rasterverfahren c) Polygonmethode d) Triangulierung


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5.5.3 Punktschätzung Als Punktschätzung wird die Interpolation eines Wertes für einen Punkt P = P(x,y) bezeichnet. Die Entfernung des betreffenden Punktes zu den nächsten beobachteten Messpunkten sowie deren Messwerte sind wichtige Größen für die Interpolation. Als Beispiel werden die in Tab 5.2: angeführten und in Abb 5.5: dargestellten Daten verwendet.

Tab 5.2: Datensatz zur Veranschaulichung einer Punktschätzung

Probe Nr.

X

Y

V

Distanz zu 65Ost, 137Nord

1 2 3 4 5 6 7

225 437 367 52

259 436 366

61 63 64 68 71 73 75

139 140 129 128 140 141 128

477 696 227 646 606 791 783

4.5 3.6 8.1 9.5 6.7 8.9

13.5

Abb 5.5: Darstellung der in Tab 5.2:gelisteten Daten

5.5.3.1 Thiessen-Polygone Die Punktschätzung erfolgt nach demselben Schema wie die globale Schätzung. Charakteristisch ist, dass die Oberfläche der Schätzfunktion an den Polygongrenzen Sprünge aufweist (Abb 5.6:).

Abb 5.6: Polygondarstellung (Sprungstellen)

65 Ost 137 Nord

Nordwert Ostwert

Sch

ätzw

ert


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5.5.3.2 Triangulierung Durch die Eckpunkte P1, P2, P3 ist das jeweilige Dreieck eindeutig definiert. Aus dem Gleichungssystem

333

222

111

zcbyaxzcbyaxzcbyax

=++=++=++

Glg. 5.5

können die Parameter a, b, c bestimmt werden. Damit kann der Schätzwert der Variable v direkt aus den Koordinaten des gesuchten Punktes P(x,y) berechnet werden. Die Triangulierung hat den Vorteil, dass die oben erwähnten Sprünge entfallen. Der Nachteil besteht darin, dass das Interpolationsergebnis von der gewählten Geometrie, der Anordnung der Dreiecke, abhängt.

Abb 5.7: Triangulierung

5.5.3.3 Gewichtete Mittelung Der gesuchte Schätzwert ergibt sich als lineare gewichtete Kombination der zur Verfügung stehenden Messwerte. Beim arithmetischen Mittel werden alle Messwerte, unabhängig vom Abstand zum gesuchten Punkt, gleich stark gewichtet. Bei den distanzbasierten Verfahren erfolgt eine Gewichtung nach dem Abstand.

Arithmetisches Mittel Die Festlegung des arithmetischen Mittels als Punktschätzung stellt eine grobe Vereinfachung dar und ist hier nur der Vollständigkeit halber angeführt.

Gewichtung nach der Distanz Bei dieser Methode wird jeder Messwert in Abhängigkeit vom Abstand zur Lage des Punktes (für den ein Wert interpoliert werden soll) gewichtet. Messwerte die näher zum gesuchten Punkt liegen erhalten ein größeres, Messwerte die weiter entfernt liegen ein geringeres Gewicht. Das Gewicht der gemessenen Variable xi verhält sich somit invers zur Distanz di (Tab 5.3:):

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

==n

i Pi

n

i iPi

n

ii

n

i ii

d

xd

d

xd

1

1

1

1

1

1

1

ˆ1

1

ˆ υυ Glg. 5.6

OstwertNordwert

Sch

ätzw

ert


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Die Schätzung kann durch die Wahl eines Exponenten p variiert werden. Mit p = 2 wird jeder Messwert invers zum Quadrat der Entfernung gewichtet (Tab 5.4:).

Tab 5.3: Datensatz gewichtet nach der Distanz

Sample

No.

X

Y

V

Distanz zu 65Ost,

137Nord

id1

i

i

dd

11Σ

1 2 3 4 5 6 7

225 437 367 52

259 436 366

61 63 64 68 71 73 75

139 140 129 128 140 141 128

477 696 227 646 606 791 783

4.5 3.6 8.1 9.5 6.7 8.9

13.5 =Σ id1

0.2222 0.2778 0.1235 0.1053 0.1493 0.1124 0.0741 1.0644

0.2088 0.2610 0.1160 0.0989 0.1402 0.1056 0.0696

Tab 5.4: Datensatz gewichtet nach dem Quadrat der Entfernung

p

i

pi

dd

11Σ

V p = 0.2 p = 0.5 p = 1.0 p = 2.0 p = 5.0 p = 10.0 1 2 3 4 5 6 7

477 696 227 646 606 791 783

0.1564 0.1635 0.1390 0.1347 0.1444 0.1364 0.1255

0.1700 0.1858 0.1343 0.1260 0.1449 0.1294 0.1095

0.2088 0.2610 0.1160 0.0989 0.1402 0.1056 0.0696

0.2555 0.3993 0.0789 0.0573 0.1153 0.0653 0.0284

0.2324 0.7093 0.0123 0.0055 0.0318 0.0077 0.0010

0.0106 0.9874 <.0001 <.0001 0.0019 <.0001 <.0001

υ (in ppm) 601 598 594 598 637 693

Nichtlineare Interpolation Entspricht einer mehrfachen nichtlinearen Regression. Dadurch kann zum Beispiel die Zunahme des Niederschlags bzw. die Abnahme der Temperatur mit der Höhe berücksichtigt werden.

Dieses Verfahren kommt v.a. bei der Verwendung von Geografischen Informationssystemen (GIS) zum Einsatz. Dabei ist zu beachten, dass die in den diversen Programmen angewandten Spline-Funktionen mitunter zu sinnlosen Ergebnissen führen können.


Seite 5-15

5.6 Kriging Kriging (JOURNEL, HUIJBREGTS, 1978) ist der Überbegriff für eine Gruppe von geostatistischen Verfahren nach KRIGE, die zur Interpolation von räumlichen Daten dienen. Die Systematik ist ähnlich wie bei der gewichteten Mittelung (Kap 5.5.3.3). Man unterscheidet Ordinary Kriging, Co-Kriging, Fuzzy Kriging, External Drift Kriging und Indicator Kriging (I. Clark und W. Harper; 2000). Im folgenden wird auf Ordinary Kriging eingegangen. Dieses Verfahren basiert auf einer linearen Kombination der gemessenen Werte. Die Idee dabei ist jene, dass man die gemessenen Werte benachbarter Messstellen betrachtet und die Varianz der benachbarten Werte ermittelt. Der große Vorteil des Verfahrens besteht darin, dass man sowohl den Schätzwert als auch die Schätzvarianz als Ergebnis erhält (BLUE: Best Linear Unbiased Estimator), und dass man auch weiß wie groß der Schätzfehler ist.

Dabei gelten folgende Bedingungen:

• Man geht nur vom Zufallsanteil der räumlichen Verteilung einer Variablen aus.

• die Mittelwerte sollen etwa gleich groß sein (~Stationärität 1. Ordnung), das heißt, dass der mittlere Fehler mR möglichst Null sein soll (erwartungstreue Schätzung)

• die Varianz ist nur abhängig von der Distanz zwischen den Messstellen, der Fehler sR

2 wird zu einem Minimum.

Die beiden Parameter Mittelwert und Varianz sind in der Praxis nicht bestimmbar, weil die wahren Werte unbekannt sind, und die Fehler somit nicht explizit ausgedrückt werden können. Ordinary Kriging ist also ein Modell, aus dem der mittlere Fehler und die Varianz berechnet werden können. Die Gewichte werden dabei so gewählt, dass die obigen Bedingungen erfüllt werden.

Die Messwerte werden als Ergebnisse von Zufallsfunktionen Z(x1), Z(x2), ... Z(xn) interpretiert. Auch die gesuchte Größe ist eine Zufallsvariable Z(x0).

Es werden folgende Annahmen getroffen:

E(Z(x))=m

E[(Z(x+h)-m)(Z(x)-m)]=K(h) Glg. 5.7

Wobei:

E........ Erwartungswert m........ Mittelwert h......... Distanz Z(x)..... Zufallsfunktion K(h).....Kovarianz von h (siehe dazu Kap. 3.2.2)

Die erste Annahme bedeutet, dass in jedem Bereich der gleiche Mittelwert zu erwarten ist. Die zweite Annahme bedeutet, dass die Kovarianz K(h) nur von der Distanz der Messpunkte x, x+h abhängig ist (Abb 5.9:).

Für h=0 gilt:

E[(Z(x)-m)(Z(x)-m)]=Var[Z(x)] Glg. 5.8


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5.6.1 Variogramme Das Variogramm drückt die Variabilität der Messwerte in einem bestimmten Distanzbereich aus. Je näher die Messstellen zueinander liegen, desto ähnlicher sollten die Messwerte sein (desto geringer also die Varianz). Je weiter entfernt die Messstellen voneinander sind, desto geringer wird ihr räumlicher Zusammenhang sein (desto größer also die Varianz). Ab einer gewissen Distanz der Messstellen haben die Messwerte nichts mehr miteinander zu tun und daher kann man von einer etwa gleichbleibenden Varianz ausgehen. Es bildet sich ein Schwellenwert aus.

Man kann die zweite Annahme aus Glg. 5.7 modifizieren, indem man annimmt, dass die Varianzänderung nur von der Distanz h abhängt.

)()]()([21 hxZhxZVar γ=−+ Glg. 5.9

Wobei

γ(h)..... Variogrammfunktion

Z........ Zufallsfunktion

h........ Distanz

Vereinfacht ausgedrückt heißt das, dass man die Varianzen von allen Messwerten berechnet, die etwa in der Distanz h zueinander liegen (Abb 5.8:). Die Funktion γ(h) wird Semivariogramm genannt, bequemlichkeitshalber oft auch einfach Variogramm (Abb 5.9:). Glg. 5.9 definiert ein sogenanntes theoretisches Variogramm.

Der Faktor ½ ergibt sich daraus, dass bei Wiederholung der Prozedur für jeden Messpunkt immer jedes Punktepaar zweimal vorkommt (einmal ist A das Zentrum und B liegt in Distanz h, dann ist B das Zentrum und A liegt in Distanz h).

Die Definition des Variogramms impliziert einige allgemeingültige Eigenschaften:

• γ(0) = 0

• γ(h) ≥ 0 für alle Vektoren h

• γ(h) = γ(-h) für alle Vektoren h

• Die mehr oder weniger kontinuierliche Änderung des Parameterwerts im Raum drückt sich darin aus, dass die Varianz des Inkrements mit der Länge des Vektors h zunimmt.

• In manchen Fällen gibt es eine Grenze in der Kontinuität der Variablen. Das bedeutet, dass die Varianz des Inkrements mit der Länge des Vektors h nicht mehr zunimmt.

• Variogramm sind in der Nähe des Ursprungs häufig diskontinuierlich. Das bedeutet, dass für alle h ≠ 0: γ(h) ≥ C0 > 0 gilt. Dieses Phänomen ist der sogenannte Klumpeneffekt oder Nugget – Effekt.

5.6.2 Experimentelles Variogramm Die Variogrammfunktion ist anhand vorhandener Daten nach folgender Formel zu schätzen:

)(*)]()([)(2

1 2 hxZxZhN ji

hxx ji

γ=−∑=−

Glg. 5.10

Wobei

N(h)......Anzahl der Punktepaare die durch den Vektor h getrennt sind


Seite 5-17

Im Fall von regelmäßig angeordneten Datenpunkten ist die Berechnung des experimentellen oder empirischen Variogramms einfach. Im Fall von unregelmäßig verteilten Messpunkten muss die Bedingung xi – xj = h abgeschwächt werden, um mehrere Punktepaare für die Bestimmung des Erwartungswerts zu erhalten. Es werden dann Abweichungen in Winkel und Länge des Vektors zugelassen und die Summation über Punktpaare durchgeführt, die folgender Bedingung genügen:

δ

εε

≤−

+≤−≤−

),( hxxWinkel

hxxh

ji

ji Glg. 5.11

Wobei

ε....... halbe Schrittweite der untersuchten Distanzen

Experimentelle Variogramme werden für eine begrenzte Anzahl von Vektoren h gerechnet, die über 2 Größen, die Schrittweite l (engl.: lag) und den Richtungswinkel ausgewählt werden. Es sind mindestens 30 Punktpaare für die Berechnung nötig. Die experimentellen Variogramme werden für Distanzen gerechnet, deren Länge jeweils ein Mehrfaches der Schrittweite l beträgt, also lkh ⋅= . Als Toleranz ε wird die halbe Schrittweite angenommen (Abb 5.8:).

Abb 5.8: Die Varianzen aller Messwerte, die innerhalb der Distanz h liegen, werden berechnet

ε


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Range

Abb 5.9: Kovarianzfunktion K(h) und Variogramm γ(h)

Vorgangsweise: 1. Schritt: Berechnen der Varianzen (genaugenommen der Kovarianzen) und Erstellen eines

experimentellen Variogramms (Abb 5.10:). Es wird für eine begrenzte Anzahl von Vektoren h berechnet, die über zwei Größen, die Schrittweite und den Richtungswinkel, ausgewählt werden. Allgemein gilt die Faustregel, dass ein Wert des experimentellen Variogramms als einigermaßen zuverlässig angesehen werden kann, falls mindestens 30 Punktepaare für seine Berechnung verwendet wurden. Die (Ko-)Varianz ist nur von der Distanz abhängig. Sind die (Ko-)Varianzen klein besteht ein großer Zusammenhang, sind sie groß, besteht nur ein kleiner oder gar kein Zusammenhang.

2. Schritt: Ermitteln eines passenden theoretischen Variogramms durch Anpassung der Verteilung, z.B. nach GAUSS (Abb 5.12:) oder DE WIJSIAN (Abb 5.12:). Die Grundelemente des theoretischen Variogramms, nugget, Schwellenwert (engl.: sill) und Korrlationslänge (engl.: range) werden in dargestellt. Dir Korrelationslänge ist jene Distanz bis zu welcher die Varianz γ(h) ansteigt, bis also der Schwellenwert erreicht ist. Üblicherweise zieht man einen Wert von 95% des Maximalwerts heran um die Korrelationslänge zu ermitteln, man spricht dann von der practical range (Abb 5.13:).

3. Schritt: Der Ort der Schätzung ist vorgegeben, die Größe kann nun geschätzt und die Gewichte dafür können berechnet werden (Glg. 5.12).

K(h)


Seite 5-19

Abb 5.10: Experimentelles Variogramm (gepunktet) und theoretisches (Linie) Variogramm (ARMSTRONG 1993)

5.6.3 Theoretische Variogramme Experimentelle Variogramme sind Näherungen an das in Glg. 5.9 definierte theoretische Variogramm. Dieses wird benötigt, weil experimentelle Variogramme nur für eine begrenzte Anzahl von Distanzen h berechnet werden können, Variogrammwerte aber auch für andere Distanzen zu definieren sind. Es wurden vier unterschiedliche theoretische Modelle entwickelt Glg. 5.11 und Glg. 5.12.

Distanz

Var

iogr

amm

wer

t

h


Seite 5-20

Abb 5.11: Theoretische Variogramme a) linear (a=1), parabolisch (a=1,5) oder Wurzelfunktion (a=0,5) sowie b) sphärisch

Abb 5.12: Theoretisches Variogramm nach a) Gauss und b) De Wijsian

h

a) b)

b) a)


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Abb 5.13: Grundelemente eines theoretischen Variogramms

Die Schätzung für Z*(x0) lautet

( ) ( )∑=

⋅=n

iii xZwxZ

10* Glg. 5.12

Wobei Z*(x0).... Schätzwert wi............ Gewicht Z(xi)...... Messwert an der Stelle xi

Die Zufallsfunktion für den Schätzfehler R(x0) lautet:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )01

000 * xZxZwxZxZxRn

iii −⋅=−= ∑

=

Glg. 5.13

Unter der Bedingung E{R(x0)} = 0 - für eine erwartungstreue Schätzung - lässt sich folgende Forderung ableiten:

∑=

=n

iiw

1

1 Glg. 5.14

Die Schätzvarianz kann mit Hilfe des Variogramms berechnet werden:

nugget

Hier ist der nugget = 0

Range

Practical range

95% des Maximalwerts


Seite 5-22

( ) [ ] ∑ ∑∑= ==

−+−−=−=n

ii

n

iijiji

n

jxxxxuZuZVarx

1 11

2 )(2)()(*)( γλγλλσ Glg. 5.15

Das Ziel der Minimierung der Schätzinvarianz unter Berücksichtigung der Restriktion Σλi = 1 kann mit Hilfe eines sogenannten eines Lagrange-Multiplikators μ erreicht werden. Die Gewichte sind die Lösung des Gleichungssystems Glg. 5.16.

11

=∑=

n

jjλ Glg. 5.16

5.6.4 Mögliche Anwendungen: • Zum Erweitern von Messnetzen: dort wo die Varianz am größten ist

• Zum Ausdünnen von Messnetzen, d.h. zum Aufspüren von überflüssigen Messstellen. Dabei schätzt man den Messwert V(x0) – wenn die Schätzung mit der Beobachtung überein stimmt, dann ist die Messstation nicht notwendig

• Zur Ausreißererkennung

• Als Interpolationstechnik, z.B. in der Hydrogeologie

Beispiele:

1.) Variogramm eines Trend behafteten Feldes. Es werden die Varianzen mit zunehmender Entfernung größer.

Abb 5.14: Spärisches Variogramm mit leichtem Trend. Sind die Daten trendbehaftet wird kein sill erreicht.

2.) Die Messwerte haben eine lokal große Varianz. Es ergibt sich ein sogenannter Nugget-Effekt.

Die Variogrammfunktion sollte an der Stelle 0 eigentlich den Wert 0 haben und müsste aus mathematischer Sicht an dieser Stelle stetig sein. Mit einer Variogrammfunktion, die an der Stelle 0

h

γ(h)


Seite 5-23

unstetig ist, verbindet sich die Vorstellung, dass Variabilität im mikroskaligen Bereich zu dieser Unstetigkeit führt ⇒ Nugget-Effekt (Abb 5.15:). Dieser lässt sich zurückführen auf:

(1) eine (geologische) Struktur im mikroskaligen Bereich (Nugget-Effekt in seiner ursprünglichen Bedeutung)

(2) eine räumliche Struktur im kleinskaligen Bereich unterhalb der kleinsten Distanz zwischen zwei Beobachtungsorten, oder

(3) Meßfehler in Bezug auf die betrachtete regionalisierte Variable oder bei der Bestimmung der Position der Orte der Probennahme.

Die Festlegung des Nugget-Effekts für die gewählte Variogrammfunktion nimmt vorrangig Einfluss auf das nachfolgende Schätzen der Werte der regionalisierten Variablen. Bei Vergrößerung des Maßstabs könnte ein Variogramm, das den sill (Abb 5.9:) erreicht hat, wieder ansteigen und auf räumliche Abhängigkeiten auf einer höheren Maßstabsebene hinweisen. Es sei aber vor der Annahme gewarnt, das Maßstabsproblem ließe sich allein auf die Problematik der statistischen Methodik reduzieren.

Abb 5.15: Variogramm mit Nuggeteffekt

3.) Räumliche Strukturen wechseln sich ab. Es entsteht kein ausgeprägter Schwellenwert, da die Varianz in regelmäßigen Abständen wieder abnimmt (z.B. parallele Flusstäler mit ähnlicher Durchlässigkeit).

Abb 5.16: Variogramm mit „Räumlicher Periode“

h

γ(h)

h

γ(h)

Nugget


Seite 5-24

Beispiel: Man nehme 2 Punkte auf einer Geraden an, der Wert eines dritten Punktes ist zu bestimmen. Die Punkte sind u1 = 1 und u2 = -2. der zu bestimmende Punkt ist u = 0. Die Messwerte seien Z(u1) = 2 und Z(u2) = 4. Es sei zudem angenommen, dass das Variogramm linear sei: γ(h) = h.

Die Kriginggleichungen sind:

0λ1 + 3λ2 + μ = 1

3λ1 + 0λ2 + μ = 2

λ1 + λ2 = 1

Aus diesen Gleichungen folgt: λ1 = 0,6667, λ2 = 0,3333 und μ = 0. Somit ist σ2 = 1.3333 und Z*(u) = 2,6667. Es ist klar, dass Kriging als Resultat die gleichen Gewichte hat, wie die Lineare Interpolation oder die inverse Abstandsmethode.

Nun ändere man die Konfiguration und u2 hat auf die andere Seite des Ursprungs gewechselt: u2 = 2. 0 zeigt diese neue Konfiguration.

Die Kriging Gleichungen sind:

0λ1 + 1λ2 + μ = 1

1λ1 + 0λ2 + μ = 2

λ1 + λ2 = 1

Als Ergebnis erhält man hier λ1 = 1.0, λ2 = 0.0 und μ = 1.0. Somit σ2 = 2.0 und Z*(u) = 2.0.

Dieses Resultat weicht von dem vorhergehenden ab, wäre aber im Fall der inversen Abstandmethode nicht verschieden. Dieses Beispiel zeigt, dass die Datenanordnung beim Kriging eine wichtige Rolle spielt. Die ansteigende Schätzvarianz zeigt, dass die Extrapolation im zweiten Fall unsicherer ist als im ersten.

u2 u1

u1 u = 0 u2

u = 0


Seite 5-25

5.7 Güte der Schätzung Unter der Annahme, dass die wahren Werte Z(u) an interpolierten Punkten Z*(u) bekannt wären, lässt sich der Fehler ε der Schätzung ausdrücken als: ε = Z(u)-Z*(u). Praktisch wird nun für jeden Messpunkt ein Wert aus allen anderen (n - 1) zur Verfügung stehenden Messpunkten interpoliert und mit dem gemessenen Wert verglichen. Daraus lässt sich die Verteilung der Fehler r darstellen. Der Mittelwert des Fehlers sollte Null sein. Dann spricht man von einer erwartungstreuen Schätzung. Eine etwaige Abweichung wird als Bias (engl.) bezeichnet. Die Verteilung der Fehler wird durch Median M oder Varianz s2 beschrieben. Zwei weitere Testgrößen sind der mittlere absolute Fehler (Mean Absolute Error, MAE) und der mittlere quadratische Fehler (Mean Squared Error, MSE):

Mean Absolute Error ∑=

=n

ir

nMAE

1

1 Glg. 5.17

Mea Squared Error ∑=

=n

ir

nMSE

1

21 Glg. 5.18


Seite 5-26

5.8 Anwendung Die in Kapitel 5.4 vorgestellten Interpolationsverfahren finden u.a. bei der Ermittlung des Gebietsniederschlags Anwendung, dessen möglichst genaue Bestimmung besonders bei den N-A-Modellen von großer Bedeutung ist. Die gewählte Methode zur Bestimmung des Gebietsniederschlags hängt ab von

• der Größe des Einzugsgebiets (EZ)

• der Morphologie des EZ

• der Ungleichförmigkeit der Niederschlags-Verteilung

• der Zahl der Messstellen

Bei kleineren EZ (<10km2) und einer Punktmessstelle wird eine gleichmäßige Verteilung angenommen. Bei größeren EZ gibt es verschiedene Verfahren, um die ungleichmäßige Verteilung des Niederschlags zu berücksichtigen.

Ein weiterer Anwendungsbereich ist die Regionalisierung von hydrologischen Daten, also die Ausweisung von Flächen mit gleichen hydrologischen Eigenschaften zur:

1. Darstellung von Feldern mit gleichen hydrologischen Parametern (Isohyeten)

2. Glättung räumlicher Verteilungen

3. Ausweisung homogener Teilgebiete

4. Übertragung von Punktinformationen innerhalb eines Gebietes auf die Fläche

5. Übertragung von Punktinformation aus einem Gebiet auf einen Punkt eines anderen Gebietes

6. Änderung von Modellparametern bei Übertragung von Punkten auf den Raum


Seite 5-27

5.9 Literatur ARMSTROMG M. and P.A. DOWD (1993): Geostatistical Simulations: Proceedings of the

Geostatistical Simulation Workshop, Fontainebleau, NATO ASI Series. Series C, Mathematical and Physical Science. Springer Vlg.

ARMSTRONG M. (1998): Basic Linear Geostatistics. Springer Vlg.

CLARK I. und W. HARPER (2000) Practical Geostatistics 2000. Geostokos (Ecosse) Limited, Scotland.

DFG Deutsche Forschungsgemeinschaft (1992) Regionalisierung in der Hydrologie. Mitteilung XI der Senatskommission für Wasserforschung; VCH Verlagsgemeinschaft

DFG Deutsche Forschungsgemeinschaft. (1999) Hydrologie und Regionalisierung – Forschungsbericht; Wiley-VCH Verlagsgemeinschaft

IAHS Publication Nr.191 (1990), Regionalizaion in Hydrology; Editors:M.A. Beran, M. Brilly, A. Becker, O. Bonacci; IAHS Press, Wallingford, UK.

LUDWIG, K. (1978) Schriftenreihe des DVWK, Heft 44.

MANIAK, U. (1992) Hydrologie und Wasserwirtschaft. Einführung für Ingenieure, Springer Vlg.

ZAUKE, G.P. und K. JAX: Zur Problematik von Maßstabsebenen in der Ökotoxikologie und Umweltwissenschaft. http://www.icbm.de/~aqua/veranstaltungen/Pre_prints-Vorabdrucke/zauke01masstab.pdf

JOURNEL, A.G & HUIJBREGTS, C.B (1978): Mining Geostatistics, Academic Press

WACKERNAGEL, H. (1995): Multivariante Geostatistics, Springer Vlg.

Links:

[1] http://www.geog.fu-berlin.de/~jkrywkow/harald/geostatistik/referat.html#as-h2-2204


Seite 5-28

6 Bodenwasserhaushalt

Seite 6-1

6 BODENWASSERHAUSHALT

6.1 Allgemeines ......................................................................................................6-3 6.1.1 Definition.................................................................................................................................... 6-3 6.1.2 Funktionen im gesamten Wasserkreislauf .................................................................................. 6-3

6.2 Parameter ........................................................................................................6-4

6.3 Komponenten des Bodenwasserhaushaltes und deren Gesetzmäßigkeiten....................................................................................................6-7

6.3.1 Interzeption................................................................................................................................. 6-7 6.3.2 Verdunstung ............................................................................................................................... 6-8

6.3.2.1 Verdunstungsberechnung nach Thornthwaite ........................................................................ 6-9 6.3.2.2 Verdunstungsberechnung nach Penman ................................................................................. 6-9 6.3.2.3 Verdunstungsberechnung nach Haude ................................................................................... 6-9 6.3.2.4 Verdunstungsberechnung nach Blaney-Criddle ................................................................... 6-10 6.3.2.5 Aktuelle Verdunstung........................................................................................................... 6-10

6.3.3 Oberflächenabfluss und Interflow ............................................................................................ 6-11 6.3.4 Speicherung .............................................................................................................................. 6-11 6.3.5 Versickerung, Perkolation und kapillarer Aufstieg .................................................................. 6-11 6.3.6 Jahresgang der Bilanzgrößen.................................................................................................... 6-14

6.4 Modelle zur Beschreibung des Bodenwasserhaushalts .............................6-16 6.4.1 Analytische Modelle................................................................................................................. 6-16 6.4.2 Konzeptionelle Modelle ........................................................................................................... 6-16 6.4.3 Transfermodelle........................................................................................................................ 6-17 6.4.4 Deterministische, numerische Simulationsmodelle.................................................................. 6-17

6.5 Messung von Modellparameter und Systemzustände...............................6-20

6.6 Anwendungsbereich der Bodenwasserhaushalts-komponenten und Diskussion................................................................................................................6-21

6.7 Makroporen (BRAUN).................................................................................6-24

6.8 Literatur.........................................................................................................6-25


Seite 6-2


ABB 6.1: BILANZGRÖSSEN DES BODENWASSERHAUSHALTS........................................................ 6-7

ABB 6.2: JAHRESGANG DER POTENTIELLEN INTERZEPTION (MANIAK, 1992) ........................... 6-8

ABB 6.3: NIEDERSCHLAGSABHÄNGIGE INTERZEPTION.................................................................. 6-8

ABB 6.4: BODENFEUCHTE UND TRANSPIRATIONSKAPAZITÄT ................................................... 6-10

ABB 6.5: ZEITVARIABLE INFILTRATIONSRATE................................................................................ 6-12

ABB 6.6: INFILTRATIONSVERLAUF BEI EINSTAU............................................................................ 6-13

ABB 6.7: INFILTRATION IN EINEN HOMOGENEN BODEN BEI KONSTANTEM WASSERGEHALT....................................................................................................................................................... 6-13

ABB 6.8: JAHRESGANG DER HAUSHALTSGRÖßEN .......................................................................... 6-15

ABB 6.9: KÖRNUNGSDREIECK ................................................................................................................ 6-4

ABB 6.10: UNGESÄTTIGTE BODENDURCHLÄSSIGKEITEN............................................................... 6-5

ABB 6.11: PF-KURVEN VERSCHIEDENER BÖDEN .............................................................................. 6-6

ABB 6.12: SYSTEMSKIZZE EINES KONZEPTIONELLEN SPEICHERMODELLS ............................ 6-16

ABB 6.13: SYSTEMSKIZZE EINES BODENFEUCHTEMODELLS (NACHTNEBEL 1989) ............... 6-19

ABB 6.14: JAHRESGANG: NIEDERSCHLAG, VERDUNSTUNG UND VERSICKERUNG................ 6-22

ABB 6.15: BEOBACHTETE UND SIMULIERTE BODENFEUCHTE BEI MARCHEGG..................... 6-23

ABB 6.16: FLIESSPROZESSE BEI MOKROPOREN [1] ......................................................................... 6-24

Tabellenverzeichnis TAB 6.1: MESSGRÖSSEN UND -VERFAHREN DER BODENWASSERHAUSHALTS-

KOMPONENTEN ........................................................................................................................ 6-20


Seite 6-3

6.1 Allgemeines

6.1.1 Definition Unter Bodenwasserhaushalt versteht man die Kompartimentierung des Wassers unterschiedlicher Zustandsformen und dessen Verlagerungsprozesse in der ungesättigten Bodenzone sowie die Wechselwirkung mit den angrenzenden Bereichen Vegetation, Atmosphäre und Grundwasser.

6.1.2 Funktionen im gesamten Wasserkreislauf Der Bereich der ungesättigten Bodenzone und dessen Wasserhaushalt erfüllt wichtige Funktionen sowohl im gesamtwasserwirtschaftlichen System, wie auch für zahlreiche ökologische Prozesse.

a) Hydrologische Funktion:

- Retentionsfunktion (Bodenspeicher) des Niederschlags

Durch die Aufnahme von Niederschlagswasser in den Porenhohlräumen gelangt nur ein Teil des gesamten Niederschlags (effektiver oder abflusswirksamer Niederschlag) unmittelbar zum Abfluss. Die Aufnahmekapazität des Bodens hängt vom Anfangs-sättigungsgrad, dem Porenvolumen und der Bodenmächtigkeit ab. Ein Teil des Niederschlags wird auch an den Blättern der Vegetationsdecke (Interzeption) aufgefangen. Auch diese Bilanzkomponente wird dem Bodenwasserhaushalt zugerechnet.

- Reservoir für Verdunstung Infolge Evapotranspiration wird wiederum Wasser(dampf) an die Atmosphäre zurück-gegeben. Die Intensität hängt von der Durchwurzelungstiefe (Pflanzenart und Bodenmächtigkeit) ab.

- Oberflächenabfluss Die Größe des Oberflächenabflusses hängt von der Geländeneigung, der Bodenbedeckung und der Bodenbeschaffenheit ab. Verdichtete Böden hemmen die Infiltration und verstärken den Oberflächenabfluss, Böden mit Schrumpfrissen und Bodenklüften weisen zu Beginn eines Niederschlags eine hohe Infiltrationsrate auf, welche bei schwellenden Böden (Tonböden) rasch abnimmt.

b) Ökologische Funktion:

- Standortseigenschaften für Pflanzen Die Fähigkeit des Bodens, Wasser in den Porenhohlräumen zu speichern und an die Pflanzenwurzeln abzugeben bestimmen wesentlich die Standortsbedingungen (Arten, Entwicklungszustand) für Pflanzen. Dichte, schwere Böden (Tonböden) binden das Wasser zu stark und machen es für die Pflanzen schwer verfügbar. Sandige Böden können nur wenig Wasser in den Grobporen halten. Seichtgründige Böden reduzieren das Wurzelwachstum und somit die optimale Entwicklungsfähigkeit der Pflanze.

- Bodentemperatur Feuchte Böden zeigen geringere Bodentemperaturen. Dadurch erfolgt eine Beeinflussung der biologischen und bodenchemischen Prozesse (Nitrifikation, Denitrifikation, Mineralisation, etc.).

- Bodenacidität Boden- oder Kapillarwasser kann Salze mobilisieren und vertikal verlagern. Dadurch kann eine Änderung des pH-Wertes erfolgen.


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6.2 Parameter Nachfolgend werden die, bei der Modellierung des Bodenwasserhaushaltes verwendeten Parameter und Kenngrößen definiert und erläutert:

• Blattflächenindex (Leaf Area Index): Verhältnis Blattfläche zu Grundfläche. Pflanzen mit dichtem Blattbewuchs weisen höheren Blattflächenindex auf. Diese Größe wird bei manchen Verdunstungsformeln verwendet.

• Bodenart: Klassifizierung von Böden gemäß der Kornverteilung.

Abb 6.1: Körnungsdreieck

Dreiphasendiagramm zur Darstellung von Korngrößenverteilungen. Die Pfeile geben die Richtung der Ordinaten für die drei Kornfrakrionen an. Das Feld lS bezeichnet den als lehmigen Sand klassifizierten Bereich. Die Kornverteilungen der Ecken (a), (b) und (c) des Feldes wurden im rechten Bild als Summenkurven dargestellt.

• Bodenwassergehalt (Bodenfeuchtegehalt): Volumetrischer oder gravimetrischer Anteil des Wassers am Gesamtvolumen bzw. an der Gasamtmasse der Bodenprobe.

• Feldkapazität (FK): Entspricht jenem Wassergehalt den ein Boden nach intensiver Durchfeuchtung nach einer bestimmten Zeit (2-3 Tage) aufweist. Die FK ist ein Standortfaktor, abhängig von Vegetation, Relief, Bodenaufbau, der Lage des GW-Spiegels und dem Klima. Als Bodenwasser-„Konstante“ für die FK wird der Wassergehalt bei einer Saugspannung von 1/10 bzw. 1/3 bar eingeführt. Das entspricht einem pf-Wert von 2 bzw. 2,4. Der pf-Wert entspricht dem Logarithmus der in cm Wassersäule angegebenen Saugspannung (siehe unten).

• Gefüge (Struktur): Art des Zusammenhalts der einzelnen Bodenteilchen

• Hydraulische Leitfähigkeit (Durchlässigkeit): Maßzahl der Wasserdurchlässigkeit eines Bodens. Die Durchlässigkeit (k-Wert) ist keine konstante Größe sondern vom aktuellen Bodenwassergehalt abhängig (vgl. Abb 6.2:). Ungesättigte Durchlässigkeiten (ku-Werte) sind geringer als gesättigte (ks-Wert). Die Leitfähigkeit hat die Dimension einer


Seite 6-5

Geschwindigkeit. Der Wassertransport im Boden wird von der Leitfähigkeit und dem Potentialgradienten (Saugspannungspotential und Gravitationspotential) bestimmt.

Abb 6.2: Ungesättigte Bodendurchlässigkeiten

Die hydraulische Leitfähigkeit k nimmt mit zunehmender Saugspannung h, d.h. mit abnehmendem Wassergehalt, ab.

• Hysteresis: Bei fortschreitender Entwässerung und anschließender Bewässerung folgt die Saugspannungs-Wassergehaltskurve unterschiedlichen Verläufen. Dies resultiert aus dem unterschiedlichem Verhalten von Fein- und Grobporen bei Ent- und Bewässerung. (Wassermenisken, Lufteinschlüsse). Konventionell wird die Entwässerungs-/(Desorptions)-Kurve als maßgeblich angegeben. An sich beschreibt der Begriff Hysteresis ein Zurückbleiben einer Wirkung hinter der sie verursachenden veränderlichen physikalischen Größe, verbunden mit einer Restwirkung (Remanenz) bei Beseitigung der Ursache.

• Korngrößenverteilung (Textur): Gravimetrischer Anteil der Ton-, Schluff- und Sandfraktion.

• Lagerungsdichte: Verhältnis Masse zu Volumen einer (ungestörten) Bodenprobe

• Permanenter Welkepunkt (pWP): Der pWP entspricht dem Wassergehalt eines Bodens bei dem eine Pflanze irreversible Welkeerscheinungen bei sonst optimalen Standortbedingungen zeigt. Als Bodenwasser-„Konstante“ für den pWP wird der Wassergehalt bei einer Saugspannung von 15bar eingeführt. Das entspricht einem pf-Wert von 4,2.

• Pflanzenverfügbarer Wassergehalt: Wassergehalt zwischen pWP und FK. Charakterisiert Standortseigenschaften eines Bodens für Landwirtschaft.

• Porengrößenverteilung: Verteilung der Porendurchmesser

• Porenvolumen (Porenanteil): Volumetrischer Anteil der Bodenhohlräume am Gesamtvolumen. n = 1 - (Vf / Vges)

• Porenzahl: Volumetrisches Verhältnis zwischen Porenvolumen und Feststoffvolumen. e = (Vges - Vf) / Vf

h [cm]

k [m/s]


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• Sättigungsgrad: Verhältnis von Wasservolumen zu Porenvolumen.

• Saugspannung: Durch Adsorptions- und Kapillarkräfte wird das Bodenwasser an der festen Materie (Bodenmatrix) gebunden. Die Bindungskräfte sind in engen Poren am größten, daher erfolgt eine Entwässerung zuerst in den Grobporen. Die Saugspannung ist vom Bodenwassergehalt abhängig (pf-Kurve) und weist ein negatives Vorzeichen auf (vgl. Abb 6.3:). Sie wird auch als Matrixpotential bezeichnet, wobei das Matrixpotential mit positivem Vorzeichen geschrieben wird. Der pf-Wert ist also genau genommen der Logarithmus des in cm Wassersäule angegebenen Matrixpotentials. Saugspannungsunterschiede in verschiedenen Tiefenbereichen führen zu einem Potentialgefälle, welches (ungesättigten) Wassertransport nach sich zieht.

Abb 6.3: pf-Kurven verschiedener Böden

Die für Böden mit hohem Feinkornanteil typische S-Form verschwindet mit größer werdendem Feinkornanteil zusehends.

• Trockendichte: Verhältnis der Feststoffmasse der bei 105 °C getrockneten Bodenprobe zum Gesamtvolumen.

w [%Vol]

h [cm] pf-Wert


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6.3 Komponenten des Bodenwasserhaushaltes und deren Gesetzmäßigkeiten

Folgende Komponenten sind dem Bodenwasserhaushalt zuzuordnen (Abb 6.4:)

Interzeption

Verdunstung

Oberflächenabfluss und Interflow

Versickerung, Perkolation und kapillarer Aufstieg

Speicherung

Abb 6.4: Bilanzgrößen des Bodenwasserhaushalts

6.3.1 Interzeption Interzeption ist der Rückhalt von Niederschlagswasser an der Blattoberfläche der Vegetation. Ihre Intensität hängt von der Pflanzenart, dem phänologischen Entwicklungszustand und der Dichte des Pflanzenbewuchses ab. Daher ist die Intensität von der Jahreszeit abhängig. Auch eine anthropogen beeinflusste Schädigung der Pflanzendecke (Schlägerung, Waldsterben, Mahd) beeinflusst die Interzeptionskapazität.

Der für den Bodenwasserhaushalt wirksame Niederschlag Neff ergibt sich durch Elimination des Interzeptionsanteils.

intSNN akteff −=

Die jahreszeitliche Abhängigkeit dieses Wertes zeigt Abb 6.5: Die Interzeption ist weiters vom akkumulierten Niederschlag abhängig (Abb 6.6:),das heißt sie kann einen gewissen Wert natürlich nicht überschreiten.

Verdunstung aus Muldenrückhalt

Interzeptions- verdunstung

Wurzeltranspiration, kapilarer Aufstieg

Interzeption

Muldenrückhalt oder Oberflächenabfluss

Niederschlag

Potentielle E

vapotranspiration

Infiltration, Interflow, Speicherung, Perkolation


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Abb 6.5: Jahresgang der potentiellen Interzeption (MANIAK, 1992)

Abb 6.6: Niederschlagsabhängige Interzeption

6.3.2 Verdunstung Die Gesamtverdunstung (Evapotranspiration) gliedert sich in Verdunstung von vegetationsfreier Landfläche (Bodenverdunstung oder Evaporation), Verdunstung von der Pflanzenoberfläche (Interzeptionsverdunstung) und Verdunstung durch biologische (innere) Prozesse der Pflanzen (Transpiration). Potentielle Verdunstungsbedingungen geben die maximale Verdunstungs-intensität unter den gegebenen meteorologischen Bedingungen an, wenn keine Begrenzung im Wassernachschub existiert. Die aktuellen Verdunstungsbedingungen werden durch die gegebenen meteorologischen Bedingungen bei jeweils verfügbarem Wasserdargebot definiert.

Die potentiellen Verdunstungsbedingungen können anhand empirischer Formeln berechnet werden anhand sogenannter Verdunstungsformeln. Ihre Genauigkeit steigt mit der Anzahl der meteorologischen Beobachtungsdaten.

Am häufigsten Anwendung finden die Formeln von

• THORNTHWAITE (1948): empirische Formel für beliebige Zeiträume

• PENMAN (1956): zur Berechnung der täglichen Evaporation

• HAUDE (1955): empirische Formel zur Berechnung der potentiellen Pflanzenverdunstung

• BLAYNEY-CRIDDLE (1977): zur Ermittlung der potentiellen Pflanzenverdunstung


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6.3.2.1 Verdunstungsberechnung nach Thornthwaite Diese Formel dient der Berechnung der potentiellen, monatlichen Verdunstung. Dem Vorteil des geringen Datenbedarfs steht der Nachteil einer ungenauen zeitlichen Auflösung gegenüber.

geo

am

pot fITET ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅=

10533,0 Glg. 6.1

wobei

ETpot..potentielle Monatsverdunstung in mm Tm .....mittlere Monatstemperatur in °C I ........Wärmeindex für 12 Monate a ........Kennwert in Abhängigkeit von I fgeo.....Korrekturfaktor für geographische Breite

6.3.2.2 Verdunstungsberechnung nach Penman Diese Formel dient der Berechnung der potentiellen, täglichen Evapotranspiration. In dieser Formel werden aerodynamische Ansätze und Strahlungsterme (Energiebilanz) kombiniert.

( ) ( ) ( )aspot eeufWRNWET −⋅⋅−+⋅= 1 Glg. 6.2

wobei

W......Gewichtungsfaktor (temperaturabhängig) RN ....Nettostrahlung (in Verdunstungsäquivalent mm/d) f(u)....Windfunktion (es – ea) Sättigungsdefizit der Luft (in mm/d)

Diese Formel wird häufig verwendet und wird auch von der FAO empfohlen. Allerdings werden zahlreiche meteorologische Parameter verlangt, die nicht immer vorliegen.

6.3.2.3 Verdunstungsberechnung nach Haude Die Haude Formel berechnet die potentiellen Pflanzenverdunstungswerte unter Berücksichtigung verschiedener Vegetationsarten. Die Haude-Parameter sind gebiets- und pflanzenspezifisch und sind für jeden Klimabereich neu zu bestimmen.

( ) 0014asHpot eefET −⋅= Glg. 6.3

wobei

ETpot.....potentielle Verdunstung in mm fH..........ort- und vegetationsabhängiger, monatsvariabler Beiwert es ..........Sättigungsdampfdruck in mm/d (um 1400 h) ea..........aktueller Dampfdruck in mm/d (um 1400 h)


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6.3.2.4 Verdunstungsberechnung nach Blaney-Criddle Bei dieser Formel werden nur Temperaturdaten benötigt.

( )[ ]13.846.00 +⋅= TpcET Glg. 6.4

wobei

ET0.......potentielle Pflanzenverdunstung in mm/d c ...........Ausgleichsfaktor für Berechnungsmonat p...........Prozent der täglichen zu jährlichen Tageslichtstunden T ..........mittlere Monatstemperatur in °C

Durch Multiplikation mit einem Pflanzenkoeffizienten können bei sämtlichen Formeln die unterschiedlichen Entwicklungszyklen verschiedener Kulturpflanzen mitberücksichtigt werden.

6.3.2.5 Aktuelle Verdunstung Für die Berechnung der aktuellen Verdunstung unter den gegebenen meteorologischen Rahmenbedingungen ist die Kenntnis des Bodenwassergehalts im Wurzelraum und dessen Pflanzenverfügbarkeit notwendig. Die Ermittlung erfolgt entweder durch Online Messungen der Feuchteparameter des Standorts oder durch kontinuierliche Simulation mittels deterministischer Bodenwassermodelle. Ab einem Grenzwert der Bodenfeuchte nimmt die Transpirationskapazität linear ab und wird beim permanenten Welkepunkt Null. (vgl. Abb 6.7:).

Abb 6.7: Bodenfeuchte und Transpirationskapazität

Ab einem Grenzwert der Bodenfeuchte nimmt die Transpirationskapazität linear ab und wird beim permanenten Welkepunkt Null.

Die aktuelle Verdunstung kann nach folgendem Ablaufschema berechnet werden:

aktMakt TEVET ++= int Glg. 6.5

{ }potETSMinV ,intint = Glg. 6.6

{ }( )Mpotakt

potMM

EVETT

VETSMinE

−−⋅=

−=

int

int,

λ Glg. 6.7

wobei

ET.....Evapotranspiration Vint ....Interzeptionsverdunstung EM .....Muldenverdunstung


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Takt ....Transpiration λ .......Transpirationskoeffizient akt.....aktuell pot.....potentiell

6.3.3 Oberflächenabfluss und Interflow Oberflächenabfluss ist jener Niederschlagsanteil, welcher nicht in den Boden infiltriert, sondern oberflächig entlang Rinnsalen, Bächen und Vorflutern zum Abfluss gelangt. Der Oberflächenabfluss tritt auf, wenn

Der Boden gesättigt ist,

die Niederschlagsintensität höher ist als die Infiltrationskapazität.

Der Oberflächenanteil nimmt mit steigender Geländeneigung und steigendem Bodenfeuchtegehalt (Sättigungsgrad) zu. Bei gleichbleibendem Niederschlag ist der Oberflächenabfluss komplementär zur Infiltrationsrate. Der Oberflächenabfluss ist jener Niederschlagsanteil, der am raschesten in den Vorfluter abfließt und zu einem etwaigen HW-Wellenanstieg beiträgt.

Als oberflächennahen Abfluss bzw. Interflow bezeichnet man den hangparallelen Abfluss an geneigten Standorten der entlang von Hohlräumen und Kanälen erfolgt. Auch dieser Anteil gelangt relativ rasch zum Abfluss.

Für den Oberflächenabfluss existieren einfache Modellansätze die einen Abflussbeiwert in Abhängigkeit von Geländeneigung und Bodenbedeckung angeben.

6.3.4 Speicherung Eine kurzfristige Speicherung eines Teils des Niederschlags kann als Interzeption erfolgen (vgl. 6.2.1). Ein Teil kann oberflächig in Geländemulden und Senken gespeichert werden und von dort verdunsten oder langsam infiltrieren. Ein weiterer Teil wird in den nicht gefüllten Bodenporen zurückgehalten. Erst bei Erreichen einer bestimmten Sättigung, bei der die Saugspannung den Betrag des Gravitationspotentials unterschreitet erfolgt eine Perkolation dieses Wassers. Aus dem Bodenspeicher erfolgt die Wasserentnahme der Pflanzen (über die Pflanzenwurzeln). Bei sinkendem Bodenwassergehalt wird das Wasser stark von der Bodenmatrix gebunden und ist nicht mehr für die Pflanze verfügbar (Permanenter Welkepunkt, vgl. Abb 6.7:).

6.3.5 Versickerung, Perkolation und kapillarer Aufstieg Der um den Interzeptionsanteil reduzierte Niederschlag gelangt auf die Bodenoberfläche und kann von dort infiltrieren. Er kann oberflächig gespeichert werden oder abfließen. Unter Versickerung versteht man das flächenhafte Eindringen von oberirdischem Wasser in den Untergrund. Perkolation ist die vertikale Verlagerung des Wassers im Boden.

Maßgebend für den Verlauf der Infiltration sind:

1. die Gefügestabilität der Bodenoberfläche (Verschlämmung),

2. die Veränderbarkeit der Leitfähigkeit bei wechselndem Wassergehalt,

3. das Porenvolumen und die Bodenfeuchteverteilung zu Beginn des Nieder-schlagsereignisses.

Die Infiltrationskapazität ist zu Beginn eines Niederschlagsereignisses größer, da zunächst ein großer Saugspannungsgradient existiert (Abb 6.8:). Mit fortschreitender Feuchtefront nähert sich die Infiltrationskapazität der Leitfähigkeit des gesättigten Bodens (ks-Wert). Übersteigt die


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Niederschlagsintensität die Leitfähigkeit, so wird Wasser oberflächig gespeichert. Dies gelangt erst zeitverzögert zur Versickerung oder wird bei geneigten Flächen in Rinnsalen und Vorflutern abgeführt.

Abb 6.8: Links oben: Leitfähigkeits-Wassergehalts-Kurve; Rechts oben: Saugspannungs-Wassergehalts-Kurve; Unten: Zeitvariable Infiltrationsrate

Die treibenden Kräfte der vertikalen Wasserbewegung sind primär die Schwerkraft (Gravitationspotential) und die Saugspannung des Bodens (Matrixpotential). Die Saugspannung ist eine bodenspezifische Kenngröße, die vom aktuellen Bodenwassergehalt abhängig ist. Diese Bodenkenngröße wird durch die Saugspannungs-Wassergehalts-Beziehung (pF-Kurve) beschrieben.

Wenn das Sickerwasser durch fortschreitende, vertikale Verlagerung in schotterige (zumeist alluviale) Schichten gelangt, entsteht in diesem Bereich aufgrund der großen Porengrößen kein kapillarer Hub, und das Wasser versickert weiter bis in den gesättigten Grundwasserbereich (Aquifer). Die für die Perkolation geltenden physikalischen Gesetze werden im Kap. 6.4 „Modelle zur Beschreibung des Bodenwasserhaushalts“ erläutert.

Beim Infiltrationsvorgang aus überstauten Flächen bilden sich charakteristische Bereiche unterschiedlicher Sättigung aus (Vergleiche Abb 6.9: ). Für ein homogenes Bodenprofil (keine Schichtung) kann dieser Infiltrationsprozess analytisch gelöst werden.


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( ) 21

inf 2 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −⋅Δ⋅=

tk

f fiw ψψθρ Glg. 6.8

Vergleiche Kapitel 6.4 Modelle zur Beschreibung des Bodenwasserhaushalts, wobei

finf......Infiltrationsrate ρw......Dichte von Wasser θ........vol. Wassergehalt k........mittlere Leitfähigkeit der Transportzone ψi ......Potential in Sättigungszone ψf ......Potential in Befeuchtungszone t.........Zeit

Abb 6.9: Infiltrationsverlauf bei Einstau in die Bodenmatrix

Abb 6.10: Infiltration in einen homogenen Boden bei konstantem Wassergehalt

θ0 ist der Anfangswassergehalt, θ1 ist der Wassergehalt, der sich im Gleichgewicht mit einer versickerbaren Zufuhr einstellt, und θ2 ist der Wassergehalt, der sich einstellt, wenn die Zufuhr zur


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Entstehung von freiem Oberflächenwasser führt. Das Porenvolumen (PV) gibt den maximal verfügbaren Raum an.

Eine weitere Möglichkeit der Berechnung des Wassertransports in der ungesättigten Zone ergibt sich durch die Anwendung numerischer Simulationsmodelle (siehe Kap. 6.4).

Aus gesättigten Bodenwasserbereichen (Grundwasser, Stauwasser) kann ein nach oben gerichteter Wassertransport (kapillarer Aufstieg) erfolgen, der durch negative Saugspannungsgradienten hervorgerufen wird. Die kapillare Steighöhe ist bei fein und mittelporigen Böden (z.B. Schluff) größer als bei grobporigen (Sand). Die kapillare Steighöhe (Aufstiegshöhe) kann nach folgender Gleichung berechnet werden:

rgh

W ⋅⋅⋅⋅

=ϕ

ασ cos2 Glg. 6.9

wobei

h........kapillare Steighöhe σ .......Oberflächenspannung α .......Benetzungswinkel ϕw .....Dichte von Wasser g........Erdbeschleunigung r ........Kapillarradius

6.3.6 Jahresgang der Bilanzgrößen In Abb 6.11: ist beispielhaft der Jahresgang der Haushaltsgrößen Infiltration, Transpiration, Versickerung ins Grundwasser und der Bodenwassergehalt des Profils für einen Standort im Marchfeld dargestellt. Augenscheinlich ist die hohe Transpirationsrate ab April bis August (Ernte). Grundwasserneubildung trat im dargestellten Zeitraum nur im März (Frühjahr) auf, nachdem der Bodenspeicher während der vegetationsfreien Periode aufgefüllt wurde. Die hohe Transpiration während des Sommers hat eine Abnahme des Bodenwassergehalts zur Folge, der erst wieder im Herbst anzusteigen beginnt. Die Jahressumme der Transpiration entspricht ca. der Infiltrationsmenge. Aufgrund des geringen Bodenwasserdargebots während des Sommers liegen die aktuellen Verdunstungswerte unter den potentiellen.


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Abb 6.11: Jahresgang der Haushaltsgrößen

Infiltration

Versickerung

Transpiration

Bodenwasser

Versickerung Infiltration TranspirationBodenwasser


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6.4 Modelle zur Beschreibung des Bodenwasserhaushalts

6.4.1 Analytische Modelle Analytische Modelle zur Beschreibung der Bodenwasserbewegung sind aufgrund der ausgeprägten Nichtlinearität des Prozesses nur unter einfachen Randbedingungen anwendbar. Zu dieser Gruppe zählen das Verfahren nach Green und Ampt, sowie der Ansatz von Philipp. (vgl. Kap.6.4.2).

6.4.2 Konzeptionelle Modelle Der Grundgedanke konzeptioneller oder konzeptiver Modelle ist die Gliederung des physikalischen Wassertransportprozesses in einzelne Komponenten, die durch einfache lineare oder nichtlineare Speicherbeziehungen wiedergegeben werden. Dabei wird von der punktuellen Betrachtung abgegangen und hydrologisch ähnliche Teilgebiete werden gesamtheitlich modelliert. Der Vorteil dieser Modelle liegt in der geringeren Anzahl von Modellparametern. Detailprozesse bleiben bei diesen Modellen unberücksichtigt.

Als Beispiel wird eine Modellskizze nach DAWDY & O´DONELL (1965) angeführt. Folgende Bilanzgrößen werden verwendet (Abb 6.12:):

N.......Niederschlag M ......Oberflächenspeicher (Muldenrückhalt) EM .....Evaporation (Muldenverdunstung) S .......Flussspeicher FN......Infiltration B .......Bodenspeicher T .......Transpiration V.......Grundwasserneubildung (Perkolation) C .......Kapillarer Hub G.......Grundwasserspeicher BA .....Basisabfluss Q.......(Gesamt)Abfluss QI ......Oberflächenabfluss QS .....Abfluss im Vorfluter

Abb 6.12: Systemskizze eines konzeptionellen Speichermodells


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6.4.3 Transfermodelle Transfermodelle können zur Modellierung des Versickerungsprozesses angewendet werden. Es handelt sich dabei um Black Box Modelle, deren Inputfunktion z.B. durch den effektiven Niederschlag gegeben sein kann. Als Outputfunktion können z.B. Lysimeterdaten (Versickerungswerte) dienen. Die Transferfunktion beschreibt die Umformung (Retention) zwischen Input und Outputwerten. Die Schwierigkeit bei der Anwendung von Transfermodellen liegt in der Berücksichtigung zeitvariabler Senkenterme (Wurzelentnahme).

6.4.4 Deterministische, numerische Simulationsmodelle Diese Modelle versuchen die einzelnen Komponenten des Bodenwasserhaushaltes in physikalisch beschreibbare Teilprozesse zu gliedern und den raumzeitlichen Ablauf der Systemzustände numerisch zu simulieren. Die numerische Lösung des Transportvorganges erfolgt zumeist nach dem Finite Elemente- (FE) oder dem Finite Differenzen (FD) Verfahren. Es existieren ein-, zwei- und dreidimensionale Modelle, wobei erstere für die Simulation des vertikalen Bodenfeuchtetransports am meisten verbreitet sind. Als Beispiel aus dieser Gruppe wird das eindimensionale FD-Modell BOWA des IWHW erläutert.

Bei der Bodenwasserhaushaltssimulation werden sämtliche Komponenten des Systems Boden - Vegetation - Atmosphäre anhand eines mathematisch numerischen Modells beschrieben. Hierbei wird die Kenntnis der atmosphärischen Randbedingungen (Niederschlag, Temperatur, etc.), der Lage des Grundwasserspiegels und des Aufbaus des Bodenprofils vorausgesetzt. Die Bodenkennwerte können anhand detaillierter bodenphysikalischer Messungen oder mit Hilfe empirischer Verfahren aus der Kornverteilung der Bodenarten ermittelt werden. Die Tagessummen folgender Bilanzgrößen werden ausgewiesen bzw. berechnet:

• Aktueller (gefallener) Niederschlag,

• Infiltration von Geländeoberfläche,

• Oberflächenabfluss,

• Potentielle Verdunstung,

• Interzeptionsverdunstung (Evaporation)

• Muldenverdunstung (Evaporation),

• Versickerung (Grundwasserneubildung).

• Aktuelle Bodenfeuchte in den Berechnungsschichten,

• Transpiration.

Die Bilanzierung erfolgt anhand von Tageswerten, die Berechnungszeitschritte werden jedoch wesentlich kleiner gewählt (z.B. Halbstundenintervalle).Für die Berechnung des Feuchtetransports wird das Bodenprofil bis zur Schotteroberkante durch homogene Bodenschichten approximiert. Inhomogenitäten werden durch unterschiedliche bodenphysikalische Eigenschaften der Schichten berücksichtigt.


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Der eindimensionale Wassertransport in der ungesättigten Bodenzone wird durch eine partielle Differentialgleichung beschrieben (Glg. 6.12) Sie leitet sich aus dem Gesetz von Darcy (Glg. 6.10) und der Kontinuitätsbedingung (Glg. 6.11) her:

( )Θ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= k

sz

shkq

∂∂

∂∂

Glg. 6.10

wobei

q........Massenfluss k........Durchlässigkeitsbeiwert h........Saugspannung s ........Raumkoordinate in Fließrichtung z ........Gravitationsdruck Θ...... Potentialgradient

sq

t ∂∂

∂θ∂= Glg. 6.11

wobei

θ........Bodenwassergehalt t.........Zeit

Die Transportgleichung für den ungesättigten Wassertransport (KOOREVAAR et al., 1983) - auch bekannt als Richards Gleichung - lautet somit:

( )Θ∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∂∂ k

sszk

sshk

st Glg. 6.12

bzw.

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 1

shk

st ∂∂

θ∂∂

∂θ∂

Glg .6.13

Sowohl das Matrixpotential (=Saugspannung) h wie auch der Durchlässigkeitsbeiwert k sind vom aktuellen Bodenwassergehalt θ abhängig. Diese Funktionen sind nichtlinear (vgl. Abb 6.2: und Abb 6.3:); daher ist eine analytische Lösung von Glg. 6.12 nur in Sonderfällen möglich.

Mit Hilfe von numerischen Modellen (Finite Elemente oder Finite Differenzen) wird es jedoch möglich, durch raum-zeitliche Diskretisierung und durch Linearisierung der Saugspannungs- Wassergehalts- und Wassergehalts-Durchlässigkeitsbeziehung eine Lösung der Transport-gleichung zu realisieren. Über die verschiedenen numerischen Modelle und ihre Lösungsverfahren existieren zahlreiche Beiträge in der Literatur (z.B. NIELSEN et al.).


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Das Bodenwasserhaushaltsmodell BOWA verwendet zur Lösung der Transportgleichung ein explizites Finite Differenzenverfahren. Die Arbeitsgleichungen sind die Bilanzgleichung

( ) zETzqq ninininini Δ−Δ−+= −+ ,,1,,,1 θθ Glg. 6.14

und die Gleichung von Darcy

( ) 1,1,21,,1 +Δ−= +++ zhhkq nininini Glg. 6.15

wobei

i.........Zeitindex n........Ortsindex (Schichtindex) q........Massenfluss θ........Volumetrischer Bodenwassergehalt ET.....Senkenterm (Transpiration) Δz .....Schichtdicke h........Saugspannung ki,n+1/2 Geometrischer Mittelwert von k zweier benachbarter Schichten

Abb 6.13: Systemskizze eines Bodenfeuchtemodells (NACHTNEBEL 1989)

Die Bilanzgleichung berechnet den Bodenfeuchtezustand θi+1,n einer Schicht am Ende eines Berechnungsintervalls i+1 anhand eines Anfangszustands θi,n, der Massenflüsse θi,n-1 und θi,n über die Schichtgrenze sowie der Schichtverdunstung ETi,n. Die Ermittlung des Massenflusses qi,n zwischen den Schichten n und n+1 berücksichtigt das Matrixpotential h sowie das Gravitationspotential zum Zeitpunkt i, d.h. zu Beginn des Zeitschnittes. Die Durchlässigkeit ki,n+1/2 zwischen den Schichten n und n+1 wird als geometrischer Mittelwert der beiden aktuellen Schichtdurchlässigkeiten berechnet.

Die Parameter sämtlicher Modelle sind anhand von Beobachtungswerten zu kalibrieren. Danach ist die Güte der Modellsimulation anhand einer Validierungsphase zu prüfen.


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6.5 Messung von Modellparameter und Systemzustände Bei der Anwendung deterministischer Modelle kommt der exakten Wahl der physikalischen Modellparameter große Bedeutung zu. Sie können zum Teil vor Ort (In situ Messungen) oder anhand (ungestörter) Bodenproben im Labor analysiert werden. Nachfolgende Tabelle (Tab 6.1:) gibt einen Überblick über die Messgrößen und -verfahren der Bodenwasserhaushaltskomponenten. Für nähere Details sei auf die Vorlesung Bodenphysik bzw. landeskulturelle Wasserwirtschaft verwiesen.

Tab 6.1: Messgrößen und -verfahren der Bodenwasserhaushaltskomponenten

Parameter In Situ Messung Labormessung

ks-Wert Pumpversuch (Grundwasser)

Bohrlochmethode (Versickerungsmessung)

Doppelringinfiltrometer

Zylindermethode mit konstantem oder steigendem Wasserspiegel

ku-Wert Kombination von Bodenfeuchte und Saugspannung

Zylindermethode mit steigendem Wasserspiegel

Versickerung Lysimeter Bodensäule

Verdunstung Wanne (potentielle V.)

wägbares Lysimeter (aktuelle V.)

Kornverteilung Siebanalyse

Porenvolumen Gravimetrisch (Pyknometer)

Bodenfeuchte Neutronensonde

Gipsblöcke

Time Domain Reflectometry (TDR)

Trocknung (gravimetrisch)

Saugspannung Tensiometer (Saugkerzen)

Gipsblöcke

Wurzeltiefe, Wurzelform

Schürfgrube, Künette

Bohrung


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6.6 Anwendungsbereich der Bodenwasserhaushalts-komponenten und Diskussion

Der Bodenwasserhaushalt spielt für landwirtschaftliche Fragestellungen (pflanzenverfügbarer Wassergehalt, Bodenmächtigkeit, Bodenart etc.) sowie für die Beurteilung pflanzenökologischer Standortsbedingungen eine wichtige Rolle. Aus wasserwirtschaftlicher Betrachtungsweise ist der Bodenwasserhaushalt der Systembereich, welcher die Grundwasserneubildung (Perkolation in tiefere Bereiche) sowie die Speicher und Retentionswirkung bei der Abflussbildung bestimmt.

Diese Prozesse zeigen aufgrund der topographischen und (hydro)geologischen Verhältnisse eine starke räumliche Variabilität, die durch Messungen kaum zu erfassen ist. Daher stellt die Regionalisierung (räumliche Verteilung) der Grundwasserneubildung sowie des Abflussbildungsprozesses ein noch nicht gänzlich gelöstes Problem innerhalb der Hydrologie dar.

Das System Bodenwasserhaushalt als Bindeglied der Wasserwirtschaft zu Meteorologie und Biologie (Vegetationskunde) ist durch anthropogen bedingte Änderungen der Bodennutzung bzw. klimatische Größen stark betroffen. Daher können mit Hilfe von komplexen Bodenwasserhaushaltsmodellen (Soil-Vegetation-Atmosphere Modelle) Auswirkungen von Klimaänderungen und Landnutzungsszenarien auf den Wasserhaushalt abgeschätzt werden.


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Abb 6.14: Jahresgang: Niederschlag, Verdunstung und Versickerung

Im hier untersuchten Gebiet weist der Niederschlag keinen ausgeprägten Jahresgang auf, während die Verdunstung eindeutig in den Sommermonate am größten ist. Zur Versickerung von Niederschlag (und Schmelzwasser), und damit zur Grundwasserneubildung, kommt es vorwiegend im Frühjahr, wenn die Verdunstung gering ist. Weiters ist erkennbar, dass einzelne Starkregenereignisse nicht zu Grundwasserneubildung führen, was darauf zurückzuführen ist, dass ein Großteil des bei Starkregenereignissen fallenden Niederschlags weder versickert noch verdunstet sondern an der Oberfläche abgeführt wird (→ Hochwasser).


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Abb 6.15: Beobachtete und simulierte Bodenfeuchte bei Marchegg von August 1992 bis Juli 1993 wurde in verschiedenen Tiefen die Bodenfeuchte gemessen (+) und simuliert (NACHTNEBEL et al., 1990).


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6.7 Makroporen (BRAUN) Der Wasserfluss in Makroporen ist im wesentlichen dadurch gekennzeichnet, dass Kapilarkräfte nur noch eine untergeordnete Rolle spielen. Die wichstigsten Entstehungsmechanismen sind:

• vegetative Vorgänge (absterbende Pflanzenwurzeln)

• Aktivität der Bodenfauna (Wurm- und Wühlgänge)

• Auswaschvorgänge

• Bodenaggregation und –disaggregation

• Schrumpfrisse (Tonböden)

• Bodenbearbeitung

Makroporosität ist insbesondere beim Infiltrationsvergang von entscheidender Bedeutung, da hierdurch um mehrere Zehnerpotenzen höhere Infiltrationsraten zustande kommen und so, z.B. bei Wald, Oberflächenabfluss fast vollständig verhindert werden kann. Es kommt weiters zu einer höheren Abflussgeschwindigkeit als in der angrenzenden Bodenmatrix und laut Watson & Lusmoore werden unter Staunässe 73% des Wasserflusses in Makroporen geleitet.

Abb 6.16: Fliessprozesse bei Mokroporen [1] Wichtige Fließprozesse im Boden mit Niederschlag (1), Landoberflächenabfluß (2), Versickerung in die Makroporen (3), Fließen in den Makroporen (4), Versickerung in die Makroporen durch die Bodenoberfläche (5), Versickerung aus den Makroporen in die Mikroporen (6), Versickerung in den Mikroporen (7) und schneller, lateraler, unterirdischer Abfluß auf bevorzugten Fließwegen in Makroporen hochdurchlässiger Schichten (8).

Aufgrund der zeitlich und räumlich sehr variablen Enstehungsprozesse von Makroporen kann eine Modellierung nur konzeptionellen Charakter haben und wird demnach nur in detailiert-physikalischen Modellen der Mikro- und Mososkala durchgeführt. Neben der Änderung der Bodenkenngrössen zur Berücksichtigung der Makroporosität gehen die meisten Modelle von dem Ansatz nach Beven & Germann aus, Makroporen als Kolletiv vertikaler Röhren mit einer bestimmten Tiefe und Breite aufzufassen und somit den Boden neben einem mikroporösen Anteil auch einem makroporösen Anteil bestehen zu lassen.


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WARRICK, A.W., LOMEN, D.O., ISLAS, A. (1990): An Analytical Solution to Richard's Equation for a Draining Soil Profile. Water Resources Research, Jahrg.26, Heft 2, S.253-258 (15).

Links:

[1] www.wissenschaft-online.de/lexika/showpopup.php?lexikon_id=7&art_id=59&nummer=14

[2] www-fzk.imk.uni-karlsruhe.de/seite_1387.php

7 Grundwasserhaushalt

Seite 7-1

7 GRUNDWASSERHAUSHALT

7.1 Zielsetzung .......................................................................................................7-3 7.2 Grundwasser Typen........................................................................................7-4 7.3 Parameter ........................................................................................................7-7

7.3.1 Speicherkoeffizient..................................................................................................................... 7-7 7.3.2 Durchlässigkeitsbeiwert.............................................................................................................. 7-8

7.4 Gesetze..............................................................................................................7-9 7.4.1 Gesetz von Darcy ....................................................................................................................... 7-9 7.4.2 Bilanzgleichung........................................................................................................................ 7-10

7.5 Bestimmung geohydraulischer Parameter .................................................7-11 7.5.1 Pumpversuche........................................................................................................................... 7-11 7.5.2 Theoretische Grundlagen zur Auswertung von Pumpversuchen.............................................. 7-11

7.6 Funktionen des Grundwassers ....................................................................7-14 7.6.1 Grundwasser als Speicher......................................................................................................... 7-15 7.6.2 Wechselwirkung zwischen Grundwasser und Oberflächengewässern..................................... 7-16

7.6.2.1 Speicherung bei Hochwasser (bank storage) ........................................................................ 7-16 7.6.2.2 Speisung des Basisabflusses................................................................................................. 7-17 7.6.2.3 Grundwasserdynamik - Qualität ........................................................................................... 7-18 7.6.2.4 Ökologische Aspekte............................................................................................................ 7-18

7.6.3 Funktionen von Grundwassersystemen .................................................................................... 7-18 7.7 Grundwassermodelle ....................................................................................7-19

7.7.1 Zielsetzung ............................................................................................................................... 7-19 7.7.2 Modellbildung .......................................................................................................................... 7-19

7.7.2.1 Modelltypen.......................................................................................................................... 7-19 7.7.3 Daten......................................................................................................................................... 7-23

7.7.3.1 Parameter und Randbedingungen......................................................................................... 7-23 7.7.4 Grundwassermodelle als Elemente eines Entscheidungshilfesystems ..................................... 7-24 7.7.5 Modellanwendung .................................................................................................................... 7-24

7.7.5.1 Grundwasserentnahmen........................................................................................................ 7-25 7.7.5.2 Auswirkung von Kraftwerksbauten...................................................................................... 7-25 7.7.5.3 Modellierung des Schadstofftransports (siehe Kap.7.8)....................................................... 7-25

7.8 Stofftransport ................................................................................................7-26 7.8.1 Stoffeigenschaften .................................................................................................................... 7-26 7.8.2 Transportmechanismen............................................................................................................. 7-27

7.8.2.1 Advektiver Stofftransport ..................................................................................................... 7-27 7.8.2.2 Diffusiver Stofftransport....................................................................................................... 7-27 7.8.2.3 Dispersiver Stofftransport..................................................................................................... 7-27 7.8.2.4 Advektions-Dispersions-Gleichung (ADE).......................................................................... 7-29 7.8.2.5 Transport reaktiver Stoffe..................................................................................................... 7-30

7.8.3 Berechnung des Stofftransports im Grundwasser –Transportmodelle ..................................... 7-30 7.8.3.1 Analytische Modelle (kontinuierliche Lösungsverfahren) ................................................... 7-30 7.8.3.2 Numerische Modelle (diskrete Lösungsverfahren) .............................................................. 7-31 7.8.3.3 Stochastische Modelle .......................................................................................................... 7-32

7.8.4 Hydrologische Sanierungsmaßnahmen bei GW-Verschmutzung ............................................ 7-32 7.9 Literatur.........................................................................................................7-33


Seite 7-2


ABB 7.1: UNTERSCHIEDLICHE GEOLOGISCHE STRUKTUREN VON GRUNDWASSER- LEITERN........................................................................................................................................ 7-4

ABB 7.2: HYDRAULISCH UNTERSCHIEDLICHE GRUNDWASSERSYSTEME ................................. 7-5 ABB 7.3: AUFBAU DES VERSUCHS VON DARCY (AUS SKRIPTUM HYDRAULIK IHLW BOKU)7-9 ABB 7.4: SCHEMA EINES PUMPVERSUCHS (VERÄNDERT NACH HEATH 1987). ZU BEGINN DER

PUMPPHASE (EINSCHALTEN DER PUMPE) KOMMT ES ZUR ABSENKUNG DER STANDROHRSPIEGELHÖHE, AM ENDE DER PUMPPHASE (AUSSCHALTEN DER PUMPE) ZUM WIEDERANSTIEG............................................................................................. 7-11

ABB 7.5: SCHEMATISCHE DARSTELLUNG DES WASSERKREISLAUFES (AUS IHW-HEFT 46, 1994) ............................................................................................................................................. 7-14

ABB 7.6: GRUNDWASSER-SPIEGELGANGLINIEN AUS VERSCHIEDENEN GRUNDWASSERSYSTEMEN ................................................................................................... 7-15

ABB 7.7: WECHSELWIRKUNG ZWISCHEN GRUNDWASSER UND OBERFLÄCHENGEWÄSSERN (AUS BEAR, 1979) ...................................................................................................................... 7-16

ABB 7.8: PRINZIP DER SPEICHERUNG VON ANTEILEN DES HOCHWASSERABFLUSSES IM GRUNDWASSER ........................................................................................................................ 7-17

ABB 7.9: KLASSIFIKATION VON GRUNDWASSERSTRÖMUNGSPROBLEMEN (NACH BEAR, 1979) ............................................................................................................................................. 7-20

ABB 7.10: REPRÄSENTATION EINES GRUNDWASSERSYSTEMS IN EINEM BILANZMODELL (FÜRST ET AL., 1990) ................................................................................................................ 7-21

ABB 7.11: RÄUMLICHE DISKRETISIERUNG VON FD UND FE MODELLEN.................................. 7-22 ABB 7.12: FINITE DIFFERENZEN MODELL EINER AQUIFERSIMULATION:................................. 7-23 ABB 7.13: DISPERSION EINES TRACERS IN EINEM PORÖSEN MEDIUM...................................... 7-28 ABB 7.14: HYDRODYNAMISCHE LÄNGSDISPERSION...................................................................... 7-28 ABB 7.15: HYDRODYNAMISCHE QUERDISPERSION ........................................................................ 7-29 ABB 7.16: ZERLEGUNG EINES GRUNDWASSERSYSTEMS IN ENDLICHE VOLUMS-

ELEMENTE.................................................................................................................................. 7-31


Seite 7-3

7.1 Zielsetzung Zielsetzung dieses Kapitels ist eine knappe Darstellung der Probleme des Grundwasserhaushaltes. Vorausgesetzt werden grundlegende Kenntnisse der Geohydraulik und Hydrogeologie. Die Schwerpunkte liegen in der Darstellung der Funktion des Grundwassers im gesamten Wasserhaushalt, insbesondere in der Wechselwirkung zwischen Grundwasser und Oberflächengewässern (Speicherung bei Hochwasser, Speisung des Basisabflusses). Die Darstellung der Grundzüge, Anwendungsmöglichkeiten und Datenerfordernisse mathematisch-numerischer Grundwassermodelle bietet einen Überblick über die aktuellen Methoden der Grundwasserwirtschaft.

Lernziel: Verständnis der Funktion des Grundwassers im Wasserhaushalt, Beziehung zu anderen Komponenten des Wasserhaushalts, Überblick über Anwendungsmöglichkeiten von Grundwassermodellen.


Seite 7-4

7.2 Grundwasser Typen gegliedert nach geologischen bzw. hydraulischen Eigenschaften

Geologie

- Karst

- Kluft

- Poren

Hydraulisch

- ungespannt

- gespannt

- teilweise gespannt

Abb 7.1: Unterschiedliche geologische Strukturen von Grundwasserleitern

Dichtes Mineral-korn

Kornkontakt

Adsorptionswasser + Kapillarwasser = Haftwasser, Retention

(Vk, nk)

Frei bewegliches Wasser, speichernutzbar,

(Vsp, nsp)

Rest-hohlräume


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a) Haftwasser und frei bewegliches Wasser in einem unverfestigten Porengrundwasserleiter

b) –d) Einfluss der Kornverteilung bzw. Sortierung und der Kornform auf den gesamten Hohlraumanteil eines Porengrundwasserleiters

e) Teilweise zementierter Porengrundwasserleiter mit Resthohlräumen

f) Kluftgrundwasserleiter mit eng- und weitständigen sowie unterschiedlich geöffneten Trennflächen

g) Ausschnitt aus einem Karstgrundwasserleiter mit Übergang von massigen zu dünner gebankten Bereichen.

Abb 7.2: Hydraulisch unterschiedliche Grundwassersysteme

undurchlässige Deckschicht

teildurchlässige Schicht

freier Grundwasserspiegel


Seite 7-6

Ist keine undurchlässige Schicht vorhanden, welche zur Ausbildung verschiedener GW-Stockwerke führt, kann sich ein freier Grundwasserspiegel ausbilden (oben).Beim gespannten Grundwasserleiter (mitte) steht das unterhalb eines Grundwasserstauers gelegene Grundwasser unter Druck. In einem Standrohr stellt sich eine diesem Druck entsprechende Wasserspiegelhöhe ein. Im halbgespannten GW-Leiter (unten) ist die Situation ähnlich, es kann jedoch nicht zu so großen Druckunterschieden zwischen den GW-Stockwerken kommen.


Seite 7-7

7.3 Parameter

7.3.1 Speicherkoeffizient

Der spezifische Speicherkoeffizient SS (m-1) ist das pro Volumen V0 und Standrohrspiegelhöhenänderung ∆h (t) aufgenommene oder freigesetzte Wasservolumen ∆VW:

)(0

thVVS W

S ⋅Δ⋅Δ

= Glg. 7.1

Beachtet man dagegen die gesamte Mächtigkeit eines Grundwasserleiters und bezieht ∆Vw auf die Grundfläche A einer Säule, so erhält man die flächenspezifische Speicherkapazität des Grundwasserleiters, den dimensionslosen Speicherkoeffizienten S (-):

)(thAVS W ⋅Δ⋅

Δ= oder ∫ dzzSS )( Glg. 7.2

Für gespanntes Grundwasser ergibt sich der Speicherkapazitätsanteil aus elastischen Eigenschaften wie folgt:

( )bnaMgSE ⋅+⋅⋅⋅= ρ Glg. 7.3

enS = ; ( )eE nMS <<⋅

Wobei SE Speicherkapazitätsanteil aus elastischen Eigenschaften

ρ Dichte des Wassers

g Erdbeschleunigung

M Mächtigkeit des Grundwasserleiters

a Kompressibilität des Korngerüstes

b Kompressibilität des Wassers

n Hohlraumanteil Quotient aus dem Volumen aller Hohlräume eines Gesteinskörpers und dessen Gesamtvolumen.

ne Durchflusswirksamer Hohlraumanteil Quotient aus dem Volumen der vom Grundwasser durchfließbaren Hohlräume eines Gesteinskörpers und dessen Gesamtvolumen

Der Speicherkoeffizient kann aus Pumpversuchen bestimmt werden. Die Größenordnungen für Speicherkoeffizienten für ungespannten Porengrundwasserleiter liegen bei 0,1 - 0,3; für gespannte zwischen 10-5 und 10-3.


Seite 7-8

7.3.2 Durchlässigkeitsbeiwert Der Durchlässigkeitsbeiwert kf (oder hydraulische Leitfähigkeit) gilt nur für Wasser und hat für ein bestimmtes Material nur dann einen konstanten Wert, wenn sich die physikalischen Eigenschaften des Wassers (Viskosität und Dichte) nicht ändern. Daher wird der kf –Wert im allgemeinen auf eine bestimmte Wassertemperatur (früher häufig 10°C, neuerdings auf 25°C) und gering mineralisiertes Wasser bezogen.


Seite 7-9

7.4 Gesetze

7.4.1 Gesetz von Darcy Darcy führte Messungen des Durchflusses, an einem mit wassergesättigten Sand gefüllten Rohr welches mit zwei Behältern verbunden war, durch. Er fand, dass der Durchfluss [m³/s] proportional zur Wasserspiegeldifferenz und weiters verkehrt proportional zur Länge (zwischen den Filtern) ist. Daraus folgte die Einführung eines physikalischen Parameters f [m/s] (Durchlässigkeitsbeiwert).

Abb 7.3: Aufbau des Versuchs von Darcy (aus Skriptum Hydraulik IHLW Boku)

IkshkV

AQ

fff ⋅=ΔΔ⋅−== Glg. 7.4

00 kv

kkfl

fl

fl

flf ⋅=⋅=

ρηγ

Glg. 7.5

ρfl Dichte der Flüssigkeit

kf hydraulische Leitfähigkeit

ηfl Zähigkeit

flν Viskosität

k0 Permeabilität (unabhängig vom flüssigen Medium)

Vf Filtergeschwindigkeit

Δh Spiegeldifferenz

Δs Weglänge

I Gefälle


Seite 7-10

7.4.2 Bilanzgleichung Die Bilanzgleichung ergibt sich allgemein mit

dttdStQtQ AZ)()()( =− Glg. 7.6

Die Differenz zwischen zu- und abströmender Wassermenge ergibt die Änderung der gespeicherten Wassermenge.

Daraus ergibt sich für zweidimensionale Betrachtungen des Grundwassers

[ ] [ ]thStQtQtQtQ Syyyxxx ∂∂⋅=−+− Δ+Δ+ )()()()( Glg. 7.7

Unter Berücksichtigung des Gesetzes von Darcy ergibt sich daraus

WthS

yhhk

yxhhk

x Syyxx +∂∂⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂⋅⋅

∂∂

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂⋅⋅

∂∂

Glg. 7.8

W Quellen - Senken Term


Seite 7-11

7.5 Bestimmung geohydraulischer Parameter

7.5.1 Pumpversuche Ein Pumpversuch ist eine unter kontrollierten Versuchsbedingungen durchgeführter Feldversuch, bei dem zeitlich befristet Grundwasser über einen Grundwasserbrunnen entnommen wird und nicht im Einflussbereich des Entnahmebrunnens wieder zur Versickerung gebracht wird. Die Grundwasserspiegelreaktion im Entnahmebrunnen sowie in den ggf. vorhandenen Beobachtungsbrunnen (Peilrohren) wird über entsprechende Druckaufnehmer als Grundwasserstandsganglinie registiert (digitale Aufnahme der Grundwasserspiegeländerung in Datenspeichereinheiten). Bei der am häufigsten praktizierten Vorgehensweise wird dem betrachteten Grundwasserkörper mit einer konstant arbeitenden Pumpe Grundwasser entnommen. Anhand der raum-zeitlichen Auswertung der Veränderungen des Grundwasserspiegels können bei entsprechender Vorgehensweise und Ausführung des Pumpversuchs folgende Eigenschaften bzw. Kenndaten des betreffenden Aquifers ermittelt werden:

• Grundwasserleitende Eigenschaften (Transmissivitäten, Durchlässigkeitsbeiwerte);

• Grundwasserspeichernde Eigenschaften (Speicherkoeffizient S und spezifischer Speicherkoeffizient SS);

• Lage und Eigenschaften hydraulisch wirksamer Aquiferränder (Stau- und Infiltrationsgrenzen);

• Brunnen- bzw. Bohrlocheinflüsse.

Abb 7.4: Schema eines Pumpversuchs (verändert nach Heath 1987). Zu Beginn der Pumpphase (Einschalten der Pumpe) kommt es zur Absenkung der Standrohrspiegelhöhe, am Ende der Pumpphase (Ausschalten der Pumpe) zum Wiederanstieg.

7.5.2 Theoretische Grundlagen zur Auswertung von Pumpversuchen Der in der Grundwasserhydrologie und Hydrogeologie häufig verwendete Ansatz ist die Differentialgleichung der instationären Strömung in einem homogenen, isotropen Grundwasserleiter (Herleitung s. o.), mit geringfügigen Änderungen (radialsymmetrisches Strömungsfeld bei Anströmung eines Förderbrunnens):


Seite 7-12

th

TS

rrh

rh

∂∂⋅=⋅

∂∂

+∂∂ 12

2

2

Glg. 7.9

r radialer Abstand zum Förderbrunnen [m]

h Standrohrspiegelhöhe zur Zeit t [m]

t Zeit seit Pumpbeginn [s]

S Speicherkoeffizient [1]

T Transmissivität [m²/s] ist das Integral des Durchlässigkeitsbeiwertes über die Grundwassermächtigkeit

Die klassische Brunnenformel von Theis (1935) ist eine Lösung dieser Gleichung:

( ) ( )uWT

Qhhtrs ⋅=−=π4

, 0 Glg. 7.10

s Absenkungsbetrag in einem Piezometer (Brunnen) im Abstand r zum Förderbrunnen [m]

h0 Ruhewasserspiegel [m]

h angesenkter Grundwasserspiegel zur Zeit t [m]

Q konstante Förderrate [m³/s oder l/min]

W(u) Theis-Brunnenfunktion

( ) ...!44!33!22

ln577216,0432

0

+⋅

−⋅

+⋅

−+−== ∫∞ − uuuuudx

xeuW

x

Glg. 7.11

für u=(r²s)/(4πT) und e=0,577216 (Eulersche Zahl)

Diese Gleichung beschreibt die zeitliche und räumliche Ausbreitung eines Absenkungstrichters. Die Änderung der Standrohrspiegelhöhe im Abstand r zum Förderbrunnen ist eine Funktion der Förderrate, der Aquifereigenschaften und der Zeit. Der Absenkungsbetrag ist proportional zur Förderrate und umgekehrt proportional zur Transmissivität.

Wichtige Anmerkung: Die Theis-Brunnenformel darf zur Auswertung von Pumpversuchen nur verwendet werden, wenn der betrachtete Grundwasserkörper einem sogenannten idealisierten Aquifer ähnlich ist (Schreiner & Kreysing 1998, S. 434).

Bei stationärer Betrachtung kann die Transmissivität anhand der Geometrie des (quasi)stationären Absenkungstrichters bzw. anhand der Differenz der Standrohrspiegelhöhen und radialen Abstände zweier Messstellen im Absenkungsbereich nach der Brunnenformel von Thiem (1906) ermittelt werden:


Seite 7-13

1

21221 ln

2 rr

TQhhss ⋅=−=−π

Glg. 7.12

s1, s2 stationäre Absenkungsbeträge bzw.

h1, h2 Standrohspiegelhöhen zweier Messstellen, die sich im Abstand r1 und r2 zum Förderbrunnen befinden (r1<r2)

Gilt für gespannte Aquifere mit konstanter Mächtigkeit. Ist die Verringerung des Fließquerschnittes im ungespannten Grundwasserleiter gegenüber der Absenkung nicht mehr zu vernachlässigen, kann für die Berechnung eine korrigierte Absenkung s´ herangezogen werden (Jacob 1963), die anstelle von s in die Brunnenformel eingesetzt wird:

Hsss

2

2

−=′ Glg. 7.13

s´ korrigierter Absenkungsbetrag

s gemessene Absenkung [m]

H ursprüngliche Aquifermächtigkeit

Zur Auswertung von Pumpversuchen gibt es eine vielzahl von PC-Computerprogrammen, die eine EDV-gestützte Bearbeitung und Auswertung von Pumpversuchen ermöglichen. Literaturhinweise: Boonstra (1991), Linnenberg (1995), ASTM (1994).


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7.6 Funktionen des Grundwassers Die unterirdischen Zu- und Abflüsse sind ein wichtiges Element im Wasserkreislauf und beeinflussen maßgebend das hydrologische Geschehen in einem Einzugsgebiet. Niederschlag, der auf die Erdoberfläche fällt, oder Schmelzwasser, das an die Erdoberfläche gelangt, fließen zum Teil oberirdisch ab oder evaporieren. Ein großer Teil dieses Wassers dringt aber auch in den Boden ein und bewegt sich im Untergrund, bis es nach kurzem oder längerem Aufenthalt wieder an der Oberfläche austritt oder durch die Pflanzen aufgenommen wird. Das Strömen des Wassers durch die Bodenoberfläche in den Untergrund wird Infiltration genannt. Der umgekehrte Vorgang, das Austreten des Wassers durch die Bodenoberfläche aus dem Untergrund, ist die Exfiltration.

Abb 7.5: Schematische Darstellung des Wasserkreislaufes (aus IHW-Heft 46, 1994)

Im Untergrund bewegt sich das Wasser in zusammenhängenden Hohlräumen der Gesteine. In Festgesteinen entstehen solche Hohlräume durch tektonisch- und verwitterungsbedingte Kluftbildung (Kluft-Grundwasser) oder durch chemische Lösungsprozesse (Karst). Lockergesteine bestehen aus losen Haufwerken von Körnern. Die Hohlräume zwischen den Körnern, die Poren, bilden zusammenhängende Porengänge (Porengrundwasser) (Abb 7.1:). Sind mehrere grundwasserführende Schichten durch undurchlässige Schichten getrennt, spricht man von Grundwasserstockwerken. Wenn das Grundwasser in einem unterhalb eines Grundwasserstauers gelegene Aquifer (=Grundwasserleiter) unter Druck steht spricht man von gespanntem Grundwasser oder von artesischem Wasser. Der Grundwasserhaushalt kann nicht isoliert betrachtet werden. Es sind die Wechselbeziehungen zwischen Grundwasser, Bodenwasser und Oberflächengewässern zu berücksichtigen (Abb 7.5:). Historisch gesehen, waren Oberflächenhydrologie und Grundwasserhydrologie lange Zeit getrennt, weil die zeitlichen Abläufe im Grundwasser wesentlich langsamer sind und bei vielen Problemen, z.B. Ablauf von Hochwasserwellen, vernachlässigbar sind. Bei Problemen wie Wasserversorgung, Bewässerung oder Wasserqualität vor allem bei Niederwasser sind hingegen Grund- und Oberflächengewässer gemeinsam zu betrachten.


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7.6.1 Grundwasser als Speicher

Abb 7.6: Grundwasser-Spiegelganglinien aus verschiedenen Grundwassersystemen a) Kluft-Grundwasser, b,c,d) Lockergestein, e) Karst (Richter, 1989)

Der primäre hydrologische Input, der Niederschlag, verdunstet teilweise, ein Teil fließt oberflächlich ab und ein Teil infiltriert in den Boden. Vom Boden gelangt ein Teil in das darunter liegende Grundwasser (Grundwasserneubildung). Die Speicherung im Grundwasser dauert wesentlich länger als im Boden oder in den Oberflächengewässern, unterliegt aber ebenfalls enormen Schwankungen, abhängig von den hydrogeologischen Eigenschaften des Grundwasserleiters.

Während oberflächennahe, seichte Grundwasserkörper eine typische Erneuerungsrate von einigen Jahren haben, können tiefe Grundwasserhorizonte mehrere hundert bis tausende Jahre alt sein, z.T. ohne aktuelle Neubildung.

Die unterschiedliche Speichercharakteristik von Grundwasserkörpern drückt sich auch in den Schwankungen des Grundwasserspiegels aus (Abb 7.6:).

Die Speicherung ist die Grundlage der Grundwassernutzung für die kommunale und industrielle Wasserversorgung.


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7.6.2 Wechselwirkung zwischen Grundwasser und Oberflächengewässern

Abb 7.7: Wechselwirkung zwischen Grundwasser und Oberflächengewässern (aus BEAR, 1979)

Die Wechselwirkungen zwischen Grundwasser und Oberflächengewässern werden durch die relative Höhenlage von Grundwasserspiegel, Gewässersohle und Wasserspiegel, sowie durch die Durchlässigkeit von Aquifer und Gewässersohle bestimmt (Abb 7.7:).

7.6.2.1 Speicherung bei Hochwasser (bank storage) Wenn Flüsse mit dem Grundwasser hydraulisch kommunizieren, können bei gut durchlässigen Grundwasserleitern (Kies, Schotter), nennenswerte Abflussanteile einer Hochwasserwelle in das Grundwasser infiltrieren (engl. bank storage) und damit die Hochwasserspitze reduzieren. Nach Durchgang der Welle wird die gespeicherte Wassermenge deutlich verzögert in das Gewässer abgegeben (Abb 7.8:).

Freies Grundwasser

Freies Grundwasser

Gespanntes Grundwasser Freies

Grundwasser

Gewässer

Gewässer

Gewässer

Gewässer

Ungesättigter Untergrund

Gewässer Gewässer

undurchlässig


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Abb 7.8: Prinzip der Speicherung von Anteilen des Hochwasserabflusses im Grundwasser a) Hochwasserwelle, b) Modellquerschnitt, c) gespeichertes Volumen, d) Grundwasserzu- und -abfluss (TODD, 1959)

7.6.2.2 Speisung des Basisabflusses Der Basisabfluss in den Fließgewässern wird im wesentlichen durch Abflüsse aus den angrenzenden Grundwassersystemen gespeist. Der Beitrag lässt sich als langsames Entleeren eines Speichers beschreiben. Die Form der Auslaufkurve (Trockenwetter-Auslaufkurve) ist gebietstypisch und kann gut durch die Funktion

Q Q e at= −0 Glg. 7.14

t.........Zeit Q0......Abfluss zur Zeit t=0 a ........Speicherkonstante

approximiert werden.


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7.6.2.3 Grundwasserdynamik - Qualität Da die Grundwasserneubildung aus Niederschlag zeitlich sehr gedämpft wirkt, kommt der durch Wasserstandsschwankungen der Oberflächengewässer hervorgerufenen Grundwasserdynamik besondere Bedeutung zu. Wird die Dynamik z.B. durch Entkopplung von Grundwasser und Oberflächengewässer (durch Abdichtungsmaßnahmen im Zuge von Kraftwerksbauten) reduziert, ergeben sich folgende Auswirkungen auf die Grundwasserqualität (HARY & NACHTNEBEL, 1989):

• Ausbildung von sauerstoffarmen bis sauerstofffreien Zonen im Bereich des Einflusses von Oberflächenwasser

• als Folge davon Auftreten von Fe, Mn, NH4, erhöhte organische Substanz, Schwermetalle.

7.6.2.4 Ökologische Aspekte Starke Grundwasserschwankungen sind ein Standortsmerkmal für Pflanzengesellschaften der Flussauen. Auch wenn bei Maßnahmen, wie Stauerrichtung, die Einhaltung mittlerer Grundwasserstände gewährleistet ist, kann die Pflanzenverfügbarkeit von Grundwasser durch das Fehlen der Schwankungen stark verändert sein. Es kann dann Bereiche geben, in denen die Wurzelzone nicht mehr oder seltener erreicht wird, als auch Bereiche, die dann zu häufig oder immer im Grundwassereinfluss stehen.

Ein weiterer Aspekt ist die Dotierung von Altarmen und stehenden Gewässern durch das Grundwasser.

7.6.3 Funktionen von Grundwassersystemen

BEAR (1979) nennt aus der Sicht der Bewirtschaftung folgende Funktionen eines Grundwassersystems:

• Quelle für Wasser. Im allgemeinen handelt es sich um eine erneuerbare, natürliche Ressource.

• Speicher. Der Porenraum von Lockergesteinsschichten stellt ein großes Speicherpotential dar, das durch künstliche Anreicherung und Entnahmen auch bewirtschaftet werden kann.

• Transportmedium.

• Filter für die Wasseraufbereitung. Mehrere Funktionen können genutzt werden: Entfernung von Schwebstoffen, Entfernung von gelösten Stoffen durch Reaktion, Adsorption oder Ionenaustausch, Bakterien und Viren. Mischung von Wässern. Gewinnung von Uferfiltrat neben Flüssen.

• Regulierung des Basisabflusses durch gezielte Anreicherung.


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7.7 Grundwassermodelle Mathematische Grundwassermodelle sind ein effizientes und bewährtes Instrument, um die Auswirkungen von Bewirtschaftungsmaßnahmen auf den Grundwasserhaushalt nachzubilden.

7.7.1 Zielsetzung Grundwassersysteme werden durch vielfältige Maßnahmen beeinflusst. Dazu zählt zunächst die unmittelbare Nutzung des Grundwassers für die Trinkwasserversorgung, Industrie und Landwirtschaft. Das Managementproblem bezieht sich auf:

• die Wahl des optimalen Standorts,

• die gewinnbaren Mengen und deren Qualität,

• die geeignete Brunnentype,

• die Einhaltung von Restriktionen wie Beeinträchtigung der Wasserrechte Dritter oder ökologische Auflagen.

Eine Reihe von Maßnahmen verfolgen eine andere primäre Zielsetzung, wirken sich aber auch unmittelbar auf das Grundwassersystem aus. Zu nennen sind hier wasserbauliche Maßnahmen wie Flussbau, Kraftwerksbau, Siedlungswasserbau, landwirtschaftlicher Wasserbau, aber auch andere Hoch- und Tiefbauten wie Straßenbau oder U-Bahnbau. Durch diese Maßnahmen ergeben sich häufig eine Entkopplung von Oberflächen- und Grundwasser, eine Änderung der Grundwasserneubildung oder veränderte Zu- und Abflussverhältnisse. Das Managementproblem besteht meist darin, durch entsprechende Begleitmaßnahmen die negativen Auswirkungen auf die Grundwasserquantität und -qualität zu minimieren.

7.7.2 Modellbildung

7.7.2.1 Modelltypen Modelle bilden nur einen Teil eines oft sehr komplexen natürlichen Systems nach. Welche Eigenschaften des Natursystems in das Modell übernommen werden und welche räumliche und zeitliche Auflösung gewählt wird, hängt primär von der Problemstellung ab, die am Modell studiert werden soll. Ausgangspunkt ist meist die Frage nach:

• Grundwasserstand,

• Strömungsrichtung und -geschwindigkeit

• Grundwasserdurchsatzmengen.

• Transports von Grundwasserverunreinigungen

• Wärmetransport,

Wobei die beiden letztgenannten Punkte immer mehr Bedeutung gewinnen. Abb 7.9: enthält eine Klassifikation von Grundwasserströmungsproblemen, anhand derer auch eine Modellauswahl möglich ist.


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Abb 7.9: Klassifikation von Grundwasserströmungsproblemen (nach BEAR, 1979)

Für generelle, langfristige Aussagen reicht häufig eine Bilanzierung des Grundwasserhaushaltes, d.h. die Gegenüberstellung von entnommenen und neu gebildeten Grundwassermengen über einen längeren Zeitraum (mehrere Jahre) für ein größeres Gebiet. Bilanzmodelle können natürliche und anthropogene Einflüsse auf die Komponenten des Grundwasserhaushalts (z.B. Versickerung, Austausch mit Oberflächengewässern, Brunnenentnahmen, künstliche Bewässerung, ...) darstellen und so als generelle Entscheidungshilfe dienen (BEAR, 1979; FÜRST et al., 1990).


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Abb 7.10: Repräsentation eines Grundwassersystems in einem Bilanzmodell (FÜRST et al., 1990)

Ist eine detaillierte örtliche und zeitliche Aussage über Grundwasserstand, Strömungsgeschwindigkeit und -richtung sowie eventuell Schadstoffkonzentrationen notwendig, so sind mathematische Modelle anzuwenden, welche die Grundwasserströmung mit Hilfe partieller Differentialgleichungen beschreiben. Sie beschreiben das Grundwasserpotential in einem abgeschlossenen Gebiet als Funktion des Ortes und der Zeit. Die Lösung setzt die Kenntnis der Durchlässigkeiten, der Randbedingungen und eines Anfangszustandes voraus. Für sehr einfache Fälle (z.B. Brunnenanströmung) existieren analytische Lösungen. Für praktische, regionale Fragestellungen werden hingegen numerische Lösungen angewandt, für die der Begriff "Grundwassermodell" oft synonym verwendet wird.

Die Differentialgleichung für die instationäre, dreidimensionale Grundwasserströmung lautet:

( )∇ ⋅⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = +K

hx

Sht

W x y z tijj

S∂∂

∂∂

, , , Glg. 7.15

Strömungsterm Speicherterm Quellen- und Senkenterm


Seite 7-22

Für den vereinfachten 2-dimensionalen Fall gilt: (siehe Glg. 7.8)

( )tyxWthS

yhhK

yxhhK

x syyxx ,,+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Glg. 7.16

wovon

Kxx, Kyy, die Richtungskomponenten der hydraulischen Durchlässigkeit (L T-1) sind.

Bei der Anwendung dieser Gleichungen ist zu berücksichtigen, dass die hydraulische Durchlässigkeit k eine Funktion des Ortes ist, also:

kxx = kxx(x,y)

sowie : kyy = kyy(x,y)

Abb 7.11: Räumliche Diskretisierung von FD und FE Modellen (links: FD-Modellraster, rechts: FE Elementnetz)

Numerische Lösungen erfordern eine räumliche und zeitliche Diskretisierung des Grundwassersystems. Sie orientiert sich sowohl an numerischen Bedingungen als auch an den Eigenschaften des Gebietes, den vorhandenen Daten und den gewünschten Modellaussagen. Die gängigen Verfahren gliedern sich in die Finite Elemente (FE) und Finite Differenzen (FD) Methoden. Bei FD-Modellen erfolgt die räumliche Diskretisierung mittels eines rechteckigen Rasters, bei FE-Modellen mithilfe von unregelmäßigen Dreiecks- und Vierecksnetzen. FD-Modelle haben eine einfachere Datenstruktur und sind numerisch effizienter. FE-Modelle können vor allem geometrische Unregelmäßigkeiten der Gebietsränder und lokale Inhomogenitäten besser nachbilden. Abb 7.11: zeigt typische Diskretisierungen von FD- und FE-Modellen. Über numerische Grundwassermodelle und ihre Anwendung existiert sowohl umfangreiche Literatur als auch eine breite Palette von bewährten Softwarepaketen (z.B. BACHMAT et al., 1985; HUYAKORN & PINDER, 1983; JAVANDEL et al., 1984).


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7.7.3 Daten

7.7.3.1 Parameter und Randbedingungen Unabhängig vom gewählten numerischen Verfahren sind die strömungsbestimmenden hydrogeologischen Parameter des Grundwassersystems bezogen auf das FD Raster bzw. das FE Netz anzugeben.

Im Falle einer reinen Grundwasserströmung sind dies z.B.:

• die Kote des Grundwasserstauers,

• die Mächtigkeit, Durchlässigkeit und der Speicherkoeffizient des Grundwasserleiters.

• Quellen-, und Senkenterm

• An den Gebietsrändern müssen, das Gebiet umschließend, entweder vorgegebene Grundwasserstände (Randbedingung 1. Art) oder Durchflüsse (Randbedingung 2. Art) angegeben werden.

• Auch innerhalb des Gebietes können Randbedingungen definiert werden, beispielsweise Entnahmen aus Brunnen oder die Höhe des Wasserspiegels von Gewässern, die mit dem Grundwasser kommunizieren.

Abb 7.12: Finite Differenzen Modell einer Aquifersimulation: Innerhalb des Aquifers: w = Grundwasserentnahme, r = Grundwasseranreicherung,

∇ = konstante Saugspannung, • = Berechnungsknoten ohne GW-Entnahme oder –Anreicherung und ohne festgelegte Saugspannung.

Außerhalb des Aquifers: Ο = Durchlässigkeit ≡ 0, DIML: Anzahl der Reihen DIMW: Anzahl der Spalten

Randbedingungen: ......Konstante Saugspannung

......Konstanter Durchfluss: δh/δx = 0

......Konstanter Durchfluss: δh/δx = C

DIMW


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Voraussetzung für die Anwendung eines numerischen Grundwassermodells ist eine umfangreiche Datenbasis, die das Grundwassersystem hydrogeologisch ausreichend beschreibt und die Kalibrierung des Modells anhand von beobachteten Zuständen (meist längeren Zeitreihen von Grundwasserständen) ermöglicht.

Die hydrogeologischen Aufschlüsse werden i.a. mithilfe von Bohrungen oder geophysikalischen Methoden (Seismik, Geoelektrik) gewonnen, sind also auf einzelne Punkte oder Linien bezogene Informationen über kontinuierlich im Gebiet definierte Parameter. Die Interpolation dieser Parameter für die entworfene Modellgeometrie stellt ein Kernproblem der Grundwassermodellierung dar. Geostatistische Methoden zählen dabei derzeit zu den wichtigsten Verfahren.

Das historische Verhalten eines Grundwassersystems wird durch Beobachtungen des Grundwasserstandes dokumentiert. Die Messstellen sollten gleichmäßig über das Gebiet verteilt sein, in einer Dichte, die der räumlichen Diskretisierung des geplanten Grundwassermodells angemessen ist, damit ein Vergleich von beobachteten und berechneten Spiegellagen sinnvoll möglich ist. Die Dauer der Beobachtungen sollte über mehrere Jahre gehen, damit auch unterschiedliche hydrologische Rahmenbedingungen (Trocken-, Nassjahre) erfasst sind.

Mithilfe von Zeitreihenanalysen, Korrelationen der Grundwasserstände mit Oberflächengewässern, einfachen Bilanzierungen, kann das konzeptuelle Modell des Grundwassersystems entwickelt und abgesichert werden. Beispielsweise kann man dadurch Anhaltspunkte für die notwendige zeitliche Diskretisierung oder für die Annahme der Randbedingungen erhalten. Je sorgfältiger dieser Schritt durchgeführt wird, desto zuverlässiger wird das numerische Modell den Ansprüchen gerecht werden.

7.7.4 Grundwassermodelle als Elemente eines Entscheidungshilfesystems Menschliche Eingriffe in die Umwelt sind heute kaum mehr als rein technische Probleme einzelner Disziplinen zu behandeln. Vielmehr sind technische, wirtschaftliche und ökologische Aspekte gemeinsam zu betrachten. Bei Eingriffen in den Wasserhaushalt sind die Auswirkungen auf Oberflächengewässer, Bodenwasser und Grundwasser gemeinsam zu untersuchen und die Ergebnisse im technischen, wirtschaftlichen und ökologischen Zusammenhang zu sehen und zu beurteilen.

In der Grundwassermodellierung erleichtert die Kopplung mit GIS insbesondere den raschen Entwurf der Modellgeometrie, die direkte Übertragung der benötigten Modellparameter aus der Datenbank auf die gewählte Modellgeometrie, sowie die Darstellung und Interpretation der Ergebnisse. Es ist damit möglich, rasch eine Vielzahl möglicher Alternativen, beispielsweise Brunnenstandorte, zu untersuchen und die Auswirkungen zu vergleichen (FÜRST, 1990).

Ein wesentlicher Vorteil ergibt sich bei der Zusammenarbeit mit anderen Fachdisziplinen, insbesondere im Bereich der Ökologie. Stehen die spezifischen Informationen verschiedener Fachbereiche im GIS zur Verfügung, ist die Verknüpfung und "ökologische" Schlussfolgerung effizient möglich. Beispielsweise kann eine Karte der Grundwasserabsenkungen bei einer Ausbauvariante mit einer forstlichen Standortskarte verknüpft werden, um so das Ausmaß der beeinträchtigten Waldflächen zu beurteilen.

7.7.5 Modellanwendung Zur Veranschaulichung der Anwendbarkeit numerischer Grundwassermodelle werden beispielhaft 3 typische Problemstellungen vorgestellt.


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7.7.5.1 Grundwasserentnahmen Entnahme von Grundwasser mittels Brunnen zur Wasserversorgung ist das klassische Beispiel der Grundwassernutzung. Mittels mathematischer Grundwassermodelle sind dabei mehrere Fragestellungen zu beantworten:

• mögliche dauerhafte Entnahmemenge

• optimaler Standort (wo verursacht eine bestimmte Entnahmemenge die geringsten Grundwasserabsenkungen)

• von Grundwasserabsenkungen betroffene Fläche als Grundlage für Entschädigungen

• Ausweisung von Schutz- und Schongebietsgrenzen aufgrund von Fließwegen und Fließzeiten.

7.7.5.2 Auswirkung von Kraftwerksbauten Bei Flusskraftwerken erfolgt meist eine Abdichtung des Flusses gegen das Grundwasser. Dies führt i.a. zu einer Verringerung der Grundwasserdynamik. Mit numerischen Grundwassermodellen können die Auswirkungen verschiedener Ausbauvarianten und die Wirkung von Kompensationsmaßnahmen untersucht und verglichen werden. Da die Veränderungen weniger die langfristigen Mittelwerte, sondern hauptsächlich die Grundwasserdynamik (Schwankungsbereich, wechselnde Strömungsrichtung, ...) betreffen, werden dabei hohe Ansprüche an die zeitliche Auflösung gestellt. Ebenso ist auf die Wechselwirkung zwischen Oberflächengewässern (z.B. Augewässer) und Grundwasser zu achten.

7.7.5.3 Modellierung des Schadstofftransports (siehe Kap.7.8)


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7.8 Stofftransport Der Stofftransport im GW hängt in erster Linie von den Stoffeigenschaften ab. Während hydrodynamisch neutrale Stoffe wie Wasser transportiert werden können, bewirken hydrodynamisch aktive Stoffe eine Änderung der Fluideigenschaften (z.B. Viskosität, Auftrieb, kf-Wert des Bodens). Weitere wesentliche Faktoren sind die Löslichkeit und die physikalische Zustandsform (gelöst, emulgiert, suspendiert) eines Stoffes und dessen Anlagerungs- und Abbauverhalten.

7.8.1 Stoffeigenschaften Die Grundwasservorkommen werden immer häufiger durch den Eintrag von Schadstoffen aus unsachgemäß ausgeführten Deponien, undichten Kanälen oder nach Unfällen, sowie den flächenhaften Eintrag von Düngemitteln und Pestiziden aus der Landwirtschaft gefährdet. Mathematische Grundwassermodelle dienen hier dazu,

• bei Verunreinigungen den Verursacher festzustellen,

• hydraulische Sanierungsmaßnahmen (z.B. Sperrbrunnen) zu entwickeln,

• die Gefährdung von hochrangigen Nutzungen (z.B. regionalen Wasserversorgungs-anlagen) vorherzusagen.

Die exakte Vorhersage von Schadstoffkonzentrationen ist allerdings wesentlich anspruchsvoller als die reine Nachbildung der Grundwasserströmung. Sie setzt einerseits ein gut kalibriertes Strömungsmodell voraus, erfordert aber zusätzliche Informationen über das Ausbreitungsverhalten der Schadstoffe im Untergrund. Zusätzlich sind unterschiedliches Lösungs-, Anlagerungs- und Abbauverhalten der verunreinigenden Stoffe zu berücksichtigen. Die Modelleichung anhand beobachteter Schadstoffkonzentrationen ist außerdem schwierig, weil die Daten wegen der hohen Kosten von chemischen Analysen räumlich und zeitlich meist nur in unzureichender Dichte vorliegen.

Um unter natürlichen Randbedingungen den Transport von Wasserinhaltsstoffen im Untergrund zu berechnen, benötigt man zunächst Informationen zu den hydraulischen Eigenschaften des Untergrunds, um die Transporteigenschaften des Trägermediums (im Normalfall Wasser) zu bestimmen. In einem nächsten Schritt wird das Verhalten von Stoffen charakterisiert, die nicht mit der Bodenmatrix in Wechselwirkung treten, also wie das Wasser selbst transportiert werden. Solche Stoffe nennt man auch ideale Tracer. In der Realität gibt es praktisch keine idealen Tracer, dem Ideal am nächsten kommt isotopenmarkiertes Wasser (z.B. 3H2O). Weit verbreitet ist auch die Anwendung von Anionen wie Bromid und Chlorid, da diese nicht flüchtig sind, nicht abgebaut werden, und relativ wenige Wechselwirkungen mit der Bodenmatrix zeigen. Darauf aufbauend kann man das verhalten reaktiver Stoffe beschreiben, bei denen zwischen gelöstem Stoff und Bodenmatrix oder Bodenluft physikalisch-chemische Wechselwirkungen auftreten.

Die Ausbreitung eines idealen Tracers kann folgendermaßen beschrieben werden:

( ) 0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

Θ∂∂

−∂∂

+∂∂

Θjii x

cDx

vcxt

c Glg. 7.17

Wobei

Θ....... Volumsanteil v......... Filtergeschwindigkeit c......... Konzentration D........ hydrodynamische Dispersion (Tensor)


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7.8.2 Transportmechanismen Abhängig vom Aufbau des Korngerüsts und von der Struktur des GW-Leiters sowie von lokalen Inhomogenitäten sind folgende Transportmechanismen maßgeblich:

Advektion

Diffusion: v.a. bei stehendem Grundwasser

Dispersion: v.a. bei starker GW-Strömung

Adsorption und Desorption

Chemischer oder biologischer Abbau

7.8.2.1 Advektiver Stofftransport Der advektive Transport ist ein passiver Transport des Schadstoffs/Tracers mit dem fließenden Wasser. Er führt zu einer Nettoverlagerung mit der mittleren Fließgeschwindigkeit des mobilen Wassers. Gleichzeitig führt er zu einer Verschmierung von gelösten Molekülen im porösen Medium. Diesen Prozess bezeichnet man als hydrodynamische Dispersion (Kap 7.4.3).

7.8.2.2 Diffusiver Stofftransport Die Diffusion beschreibt einen spontanen Ausbreitungsprozess aufgrund der thermischen Eigenbewegung gelöster Stoffe. Diese Bewegung führt zu einem Nettofluss entgegen etwaiger Konzentrationsgradienten und damit zur Abschwächung der vorhandenen Konzentrationsunterschiede. Sie wird innerhalb der Wasserphase durch das 1. Fick’sche Gesetz beschrieben:

dzdCDJ wDw −= Glg. 7.18

Wobei

JDw [mol/d cm2].... diffusiver Fluss gelöster Substanz innerhalb der Wasserphase

Dw [cm2/d]...........Diffusionskoeffizient der gelösten Substanz in Wasser

Z [cm]................Raumkoordinate

C [ ]....................Konzentration

7.8.2.3 Dispersiver Stofftransport Dispersiver Stofftransport ist die Folge lokaler Fließgeschwindigkeitsunterschiede innerhalb und zwischen individuellen Poren unterschiedlicher Weite, Gestalt und Orientierung. Die Unterschiede in den lokalen Porengeschwindigkeiten führen dazu, dass gelöste Stoffe mit unterschiedlichen raten transportiert, und somit dispergiert werden. Im Gegensatz zur Diffusion handelt es sich bei der Dispersion um einen mechanischen Prozess, der an die Bewegung des Wassers gebunden ist (Abb 7.13:, Abb 7.14:, Abb 7.15:). Da die Prozesse Diffusion (DD) und Dispersion (DH) vergleichbare Auswirkungen haben, werden sie zur „scheinbaren Dispersion“ oder schlicht zur Dispersion D zusammengefasst.

D = DH + DD Glg. 7.19


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Abb 7.13: Dispersion eines Tracers in einem porösen Medium.

Ein enger Stoffimpuls (große Konzentration) wird mit der mittleren Fließgeschwindigkeit des Wassers in Fließrichtung verlagert, und weitet sich dabei auf (FLÜHLER et al. 1990).

Abb 7.14: Hydrodynamische Längsdispersion

Input Impuls

Kon

zent

ratio

n

Geringere Konzentration durch dispersive Streuung


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Abb 7.15: Hydrodynamische Querdispersion

7.8.2.4 Advektions-Dispersions-Gleichung (ADE) Der totale Fluss einer gelösten Substanz ergibt sich aus der Addition der drei Flusskomponenten Advektion, Diffusion und Dispersion zu

qCdzdCDJJJ DaS +−=+= θ Glg. 7.20

Durch Einsetzen der Massenerhaltungsgleichung entsteht:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂∂

∂∂

=∂∂ qC

zCD

zC

tθθ )(

Glg. 7.21

Wobei

J....... Massenfluss

D....... Dispersion

C........ Konzentration des gelösten Stoffes in der Wasserphase

q......... Darcy-Fluss

θ .........Volumsanteil

z......... Raumkoordinate


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7.8.2.5 Transport reaktiver Stoffe Beim Transport gelöster Stoffe können nichtlineare und kinetische Interaktionen der Substanz mit der immobilen Festphase, aber auch abiotische und biologische Produktions- und Abbaureaktionen auftreten. Da die Sorptionsplätze für die jeweiligen Interaktionen nicht gleich sind, betrachten wir die feste Phase als aus unterschiedlichen Bereichen aufgebaut, die Sorptionsplätze für bestimmte Sorptionsreaktionen zur Verfügung stellen. Alle Interaktionen lassen sich formal durch Aufnahme eines Quell-/Senkenterms P(z,t) in die ADE darstellen.

),()( tzPqCzCD

zC

t−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂∂

∂∂

=∂∂ θθ Glg. 7.22

7.8.3 Berechnung des Stofftransports im Grundwasser –Transportmodelle Vor dem Einsatz von Simulationsmodellen muss zuerst die Datensituation beurteilt, und da in den meisten Fällen ein Defizit an Information vorhanden ist, eine Strategie zur Datenbeschaffung entwickelt werden. Es soll hier nicht darauf eingegangen werden, wie dies im Detail geschieht, sondern vielmehr soll betont werden, dass die Auswahl des richtigen Simulationsmodells nicht nur von der Fragestellung abhängig ist, sondern auch von den vorhandenen und insbesondere von den fehlenden Daten. Die Datengruppen kann man in drei Bereiche aufgliedern:

• Grundwasserströmung

• Ausbreitungsverhalten

• Reaktionsverhalten der Inhaltsstoffe

Dabei liegen Daten über die GW-Strömung auch in Schadensfällen oft bereits vor, während für die Beschreibung des Ausbreitungsverhaltens Parameter wie Dispersivität und Porosität benötigt werden, über die, örtlich differenziert, nur selten Informationen vorhanden sind. Auch das Reaktionsverhalten der möglichen Inhaltsstoffe mit dem Bodenwasser und der Bodenmatrix, sowie v.a. etwaige Wechselwirkungen untereinander sind sehr komplex und oft unbekannt. Um diese Vorgänge in Modellen erfassen und mit Daten belegen zu können, müssen meist vereinfachende Annahmen über das Reaktionsverhalten getroffen werden (DVWK 83).

Der Stofftransport im Grundwasser ist durch eine 2-dimensionale GW-Strömungsgleichung und eine Transportgleichung bestimmt. Eine simultane Lösung beider Gleichungen ist nicht zielführend, da es bei Auftreten von hydrodynamisch aktiven Stoffen zu einer Änderung der Fluideigenschaften kommt, d.h. der kf-Wert und damit das Strömungsfeld werden verändert. Daher ist der Einsatz von speziellen Lösungsverfahren erforderlich.

7.8.3.1 Analytische Modelle (kontinuierliche Lösungsverfahren) Nur unter einfachsten Strömungsverhältnissen und Randbedingungen lässt sich die Schadstofftransportgleichung analytisch lösen. Dazu geht man von folgenden Voraussetzungen aus (DVWK 1989):

• Unendliche horizontale Ausdehnung des Aquifers

• Homogener Boden

• Konstante Dispersivitäten

• Der Schadstoffeintrag hat keinen Einfluss auf die Strömung


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Um eine Vorstellung von Verlauf und Dynamik eines Ausbreitungsvorganges zu erhalten, ist der Einsatz eines analytischen Modells aber oft ausreichend. Unter Annahme eines idealisierten Systems (homogene und isotrope Systemeigenschaften, einfacher geometrischer Aufbau, spezielle Rand- und Anfangsbedingungen) lassen sich für unterschiedliches Schadstoffverhalten (z.B. Adsorption, Desorption, biologische, chemische und physikalische Abbauprozesse) Ausbreitungsvorgänge prinzipiell nachvollziehen. Durch Variation von z.B.

• Durchlässigkeit

• effektiver Porosität

• Dispersivität

Kann man eine gemessene Konzentrationsverteilung in der Tendenz nachbilden oder zumindest die Wirkung einzelner Parameter auf die untersuchten Ausbreitungsvorgänge verdeutlichen (DVWK 1989).

7.8.3.2 Numerische Modelle (diskrete Lösungsverfahren) Zur Lösung der vollständigen Transportgleichung ist es nötig auf numerische Verfahren zurückzugreifen. Diese Verfahren können folgendermaßen klassifiziert werden:

• Finite Differenzen Verfahren

• Finite Elemente Verfahren

• Charakteristikenverfahren

• „Random Walk“ Verfahren

Numerische Modelle müssen v.a. bei den sehr differenzierten und vielschichtigen Verhältnissen des realen GW-Systems eingesetzt werden. Mit solchen Verfahren können reale Rand- und Anfangsbedingungen, sowie inhomogene Verteilungen der Systemeigenschaften berücksichtigt werden. Dies erfordert allerdings einen hohen Rechenaufwand und detaillierte Kenntnisse der geologischen und geohydraulischen Bedingungen.

Numerische Modelle basieren auf den Bilanzgleichungen für endliche Volumselemente, in die das GW-System zerlegt wird (Abb 7.16:).

Abb 7.16: Zerlegung eines Grundwassersystems in endliche Volumselemente


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Für alle Elemente müssen die Systemparameter vorgegeben werden, woraus sich oft die Notwendigkeit ergibt, Die Parameter zu schätzen oder zu mitteln. Es ist dabei aber wesentlich, dass die physikalischen Gesetzmäßigkeiten innerhalb der Elemente oder beim Übergang zu Nachbarelementen erhalten bleiben. Die an den Übergangsstellen der miteinender verknüpften Elemente geltenden Bilanzgleichungen bilden ein Gleichungssystem. Die Zahl der Berechnungspunkte und –elemente bestimmt somit den Rechenaufwand.

7.8.3.3 Stochastische Modelle Bei der stochastischen Modellierung nach der Monte-Carlo-Methode wird davon ausgegangen, dass ein oder mehrere Parameter eines realen Aquifers jeweils nur als Mittelwert und Standardabweichung sowie die dazugehörige Verteilungsart und -struktur bekannt sind. Mit Hilfe eines Zufallsgenerators werden mehrere Realisationen der Verteilung eines Parameters bzw. einer Parameterkombination erzeugt. Zum Beispiel können räumliche Verteilungen des Parameters Durchlässigkeit erzeugt werden, die Inhomogenitäten mit bestimmter mittlerer Größe und mittlerem Kontrast gegenüber dem Mittelwert enthalten. Die auf diese Weise erzeugten Aquifere stimmen mit dem natürlichen Aquifer nur bezüglich der statistischen Eigenschaften überein. Für jede zufällig bestimmte Realisation kann dann ein Ergebnis ermittelt werden. Aus der Summe der Ergebnisse können wiederum Mittelwert und Standardabweichung von interessierenden Größen berechnet werden. Die erforderliche Anzahl der Realisationen ist zunächst unbekannt. Sie ist erreicht, wenn die Mittelwerte und Standardabweichungen berechneter interessierender Größen konvergieren. Der Nachteil dieser Methode liegt darin, dass die Anzahl der Realisationen sehr hoch sein kann und die Methode damit sehr rechen- und zeitintensiv ist. Eine Berücksichtigung von Messwerten bei der Erzeugung von Realisationen ist möglich. Methoden zur Verringerung der erforderlichen Anzahl von Realisationen sind in der Entwicklung (NLfB, 2001).

7.8.4 Hydrologische Sanierungsmaßnahmen bei GW-Verschmutzung Generell sind Verfahren zur Sanierung von kontaminierten GW-Körpern sehr zeitaufwendig, da die Fleißgeschwindigkeiten im Untergrund oft sehr gering sein können. Die Sanierung einzelner Aquifere kann viele Jahrzehnte in Anspruch nehmen.

Hydrologische Sanierungsmaßnahmen sind:

Sanierungsbrunnen (=Schadstoffsenke): Bemessung über GW-Modelle

Infiltrationsbrunnen zum Infiltrieren von reinem Wasser

Sperrbrunnen zur Entnahme von kontaminiertem Wasser

Abdichtung durch Veränderung der kf-Werte des Untergrunds


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7.9 Literatur BACHMAT, Y., B. ANDREWS, D. HOLTZ & S. SEBASTIAN (1985): Groundwater Management: The Use of Numerical Models. AGU, Water Resources Monographs. Vol 5, 2nd Ed., 127pp.

BEAR, J. (1979): Hydraulics of Groundwater. McGraw-Hill, USA.

DVWK (1989): Stofftransport im Grundwasser. DVWK Schriften Nr.83.

FEDRA, K. & D.P. LOUCKS (1985): Interactive Computer Technology and Policy Modelling. Water Resources Research. Vol. 21, No. 2, pp 114-122.

FLÜHLER, H., R. SCHULIN, B. BUCHTER, K. ROTH (1990): Modellierung des Stofftransports im Boden, in: Methoden und Konzepte der Bodenphysik, Teil B, Weiterbildungsseminar der Deutschen Bodenkundlichen Gesellschaft in Kandersteg, 4.-7. April, 1989, Zürich, 192pp.

FÜRST, J. (1990): Decision Support Systeme für die Grundwasserwirtschaft unter Verwendung geographischer Informationssysteme. Wiener Mitteilungen, Band 93, 133pp. Wien.

FÜRST, J., H.P. NACHTNEBEL, G. REICHEL (1990): Multi-Cell Model for Modelling and Managing Aquifers in Narrow Alpine Valleys. Proc. of IAHS Conference on Water Resources in Mountainous Regions, Lausanne.

HOLZMANN, H. (1996): Regionalisierung des Bodenwasserhaushalts und der Grundwasser-neubildung unter Anwendung von GIS. Konferenzband zum Workshop Modellierung räumlicher Systeme mit GIS im Rahmen der Informatik ´96 Klagenfurt

HUYAKORN, P.S. & G. PINDER (1983): Computational Methods in Subsurface Flow. Academic Press, London.

JAVANDEL, I., C. DOUGHTY, C.F. TSANG (1984): Groundwater Transport: Handbook of Mathematical Models. AGU, Water Resources Monographs. Vol. 10, USA.

KOVAR, K. & NACHTNEBEL, H.P. (Ed.) (1993): Application of Geographic Information Systems in Hydrology and Water Resources Management. IAHS Publication No. 211, UK.

MARSILY, G. (1986): Quantitative Hydrogeology. Academic Press.

NLfB (2001): Niedersächsisches Landesamt für Bodenforschung: http://www.nlfb.de/grundwasser/produkte/alahabu/hbr-2_2_7_2.html

RICHTER, D. (1989): Ingenieur- und Hydrogeologie. de Gruyter, Berlin.

TODD, D. K. (1959): Groundwater Hydrology. Wiley, New York.


Seite 7-34

8 Niederschlags-Abfluss-Modelle – Einheitsganglinie

Seite 8-1

8 NIEDERSCHLAGS-ABFLUSS-MODELLE –EINHEITSGANGLINIE

8.1 Allgemeines ...........................................................................................8-3 8.1.1 Anforderungen.................................................................................................................. 8-3 8.1.2 Entwicklung hydrologischer Einzugsgebietsmodelle....................................................... 8-4 8.1.3 Typen von Einzugsgebietsmodellen................................................................................. 8-4

8.1.3.1 Modelltypen nach der Art der Prozessbeschreibung .................................................... 8-4

8.2 Das Einheitsganglinienverfahren .......................................................8-6 8.2.1 Prinzipien des Einheitganglinienverfahrens ..................................................................... 8-6

8.3 Komponenten des Einheitsganglinienverfahrens ...........................8-10 8.3.1 Der Gebietsniederschlag................................................................................................. 8-10 8.3.2 Der Effektivniederschlag................................................................................................ 8-10 8.3.3 Methoden zur Bestimmung des Effektivniederschlags .................................................. 8-11

8.3.3.1 Φ-Index-Verfahren ..................................................................................................... 8-11 8.3.3.2 Prozentwertmethode................................................................................................... 8-11 8.3.3.3 Verfahren KÖHLER................................................................................................... 8-12 8.3.3.4 Verfahren HORTON .................................................................................................. 8-13 8.3.3.5 SCS-CN-Methode ...................................................................................................... 8-14

8.3.4 Der Basisabfluss ............................................................................................................. 8-16

8.4 Anwendung .........................................................................................8-17

8.5 Diskussion ...........................................................................................8-19

8.6 Literatur..............................................................................................8-20


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ABB 8.1: TYPEN HYDROLOGISCHER MODELLE - GLIEDERUNG NACH DER ART DER PROZESSBESCHREIBUNG...................................................................................... 8-5

ABB 8.2: ÜBERLAGERUNG DREIER EINZELNER ABFLUSSGANGLINIEN ZU EINER GESAMTGANGLINIE ........................................................................................................ 8-7

ABB 8.3: ERMITTLUNG DER ORDINATEN DER EINHEITSGANGLINIEN UM BEI EINER FOLGE VON EFFEKTIVNIEDERSCHLÄGEN IWI (MANIAK, 1992)........................... 8-8

ABB 8.4: ERMITTLUNG DER S-KURVE ........................................................................................ 8-9

ABB 8.5: ABFLUSSANTEILE ......................................................................................................... 8-10

ABB 8.6: VERLAUF DER INFILTRATION UND DES NETTONIEDERSCHLAGS MIT DER PROZENTWERT-METHODE. ......................................................................................... 8-11

ABB 8.7: ABFLUSSANTEILSVERLAUF UND VERTEILUNG DER GEWICHTSFAKTOREN HNI ..................................................................................................................................... 8-12

ABB 8.8: HORTON’S INFILTRATIONSMODELL........................................................................ 8-13

ABB 8.9: VERLAUF DER INFILTRATION UND DES NETTONIEDERSCHLAGS MIT DER CN-METHODE .................................................................................................................. 8-14

ABB 8.10: GERADLINIGE ABTRENNUNG DES BASISABFLUSSES ....................................... 8-16

ABB 8.11: EINZUGSGEBIET DER TRATTNACH UND LAGE DER MESSSTELLEN ............. 8-17

ABB 8.12: BEISPIELE EINER UH-ANALYSE: NIEDERSCHLAGS-ABFLUSS-ANALYSEN .. 8-18

Tabellenverzeichnis

TAB 8.1: KLASSIFIKATION DER BODENTYPEN HINSICHTLICHIHRES VERSICKERUNGSVERMÖGENS FÜR DAS SCS-VERFAHREN................................ 8-15

TAB 8.2: CN IN ABHÄNGIGKEIT VON BODENNUTZUNG UND HYDROLOGISCHEM BODENTYP ....................................................................................................................... 8-15

TAB 8.3: FLÄCHENANTEILE NACH THIESSEN ........................................................................ 8-18


Seite 8-3

8.1 Allgemeines Niederschlag-Abfluss-Modelle dienen zur Modellierung des Abflusses mit Hilfe von Niederschlagsdaten. Man unterscheidet Translationsmodelle, Kombinierte Translations-Retentions-Modelle (Kap.9) und kontinuierliche N-A-Modelle (Kap. 10).

Mit der Anwendung von N-A-Modellen werden folgende Ziele verfolgt:

1. Dimensionierung von Hochwasserschutzmaßnahmen

2. Kurzfristige Abflussprognosen

3. Bewirtschaftung des Wasserdargebotes

4. Verbesserung der Grundlagen für Gefahrenzonenplanung

5. Wasserwirtschaftliche Planungen

Ein hydrologisches Einzugsgebietsmodell setzt sich generell aus mehreren Teilmodellen zusammen; diese können zur Erfassung der Abflussbildung und Abflusskonzentration, zur Bodenwasser- und Evapotranspirationsermittlung und zur Grundwasserspeicher-inhaltsberechnung dienen. Neben der zeitlichen und räumlichen Erfassung hydrologischer Prozesse eines Gebietes dient es auch der Berechnung der Füllungsstände einzelner Bodenspeicher. Mit einem solchen Modell wird - mit dem Wasserteilchen des Niederschlages als Input - der Weg des Wassers nach seinem Auftreffen auf den Boden beschrieben.

Zur Überprüfung der Modellgüte werden die Kalibrierung und die Validierung herangezogen. Bei der Kalibrierung bestimmt man den besten Parametersatz für eine gewählte Zeitreihenperiode, bei der Validierung prüft man diesen anhand eines bisher nicht verwendeten, unabhängigen Zeitreihenausschnitts.

8.1.1 Anforderungen a) Die zur Lösung der jeweiligen Aufgabenstellung bedeutendsten Prozesse innerhalb des Einzugsgebietes sind mit einer geringst möglichen Anzahl von Parametern nachzubilden.

b) Eine Veränderung von Modellparametern, der Modellstruktur oder den Inputdaten soll ermöglichen, System- und Problemveränderungen unterschiedlichster Art zu untersuchen.

Eine physikalische Begründbarkeit des Modells sollte immer angestrebt werden. Dadurch wird das Modell für den Bearbeiter anschaulich und die Parameter können aus Gebietscharakteristika bestimmt werden. Ebenso wird die Parameteroptimierung dadurch erleichtert (DYCK 1978).


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8.1.2 Entwicklung hydrologischer Einzugsgebietsmodelle Die Entwicklung hydrologischer Einzugsgebietsmodelle verläuft in zwei Richtungen:

• Einerseits wird das Hauptaugenmerk bei der Entwicklung der Teilmodelle darauf gelegt, dass sich die Parameter gut über Optimierungsalgorithmen bestimmen lassen. Eine physikalische Interpretation steht dabei im Hintergrund. Als Beispiele dazu seien hier das Stanford-Model (CRAWFORD AND LINSLEY,1962, 1966), das SSARR-Modell (CORPS OF ENGINEERS 1956) oder das TANK-Modell (SUGAWARA, 1974) erwähnt.

• Die zweite Richtung umfasst physikalisch begründete Modelle und Parameter, die aufgrund von Gebietskennwerten ermittelt oder abgeleitet werden. Beispiele hierfür sind das EGMO-Modell (BECKER, 1975) oder das SHE-Modell (ABBOT et al. 1986).

Da sich Parameter eines hydrologischen Modells nicht nur aufgrund von Gebietskennwerten bestimmen lassen, sind zumindest einzelne subjektive Parameterbestimmungsverfahren notwendig.

8.1.3 Typen von Einzugsgebietsmodellen Nach SINGH (1995) und BLÖSCHL (1996) gibt es verschiedenste Typen von hydrologischen Einzugsgebietsmodellen, die für unterschiedlichste Aufgabestellungen in den vergangenen Jahrzehnten entwickelt wurden. Viele dieser Modelle unterscheiden sich in ihrem strukturellen Aufbau nur wenig. Der Grund hierfür liegt in der gleichen Abstraktion der physikalischen Niederschlags- und Abflussvorgänge. Es gibt jedoch unterschiedlichste Arten hydrologische Modelle einzuteilen.

So können Modelle z.B. nach der Art der Prozessbeschreibung (lumped oder distributed), nach dem raum-zeitlichen Maßstab (Größe des Einzugsgebiet, sowie ereignisabhängig oder kontinuierlich) und der Lösungstechnik (numerisch, analog und analytisch) eingeteilt werden. Im folgenden wird auf die Modelltypen nach der Art der Prozessbeschreibung näher eingegangen.

8.1.3.1 Modelltypen nach der Art der Prozessbeschreibung Nach Abb 8.1: können die Modelle, entsprechend den prozessbeschreibenden Kriterien, in lumped und distributed - Modelle eingeteilt werden:


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Abb 8.1: Typen hydrologischer Modelle - Gliederung nach der Art der Prozessbeschreibung (Quelle: modifiziert übernommen aus: SINGH, 1995 und DYCK, 1995)

Zu den Modellarten gehören deterministische, stochastische und Kombinationen dieser (Mixed). Jedes Modell besteht grundsätzlich aus fünf Komponenten, die nach Art des Modells unterschiedlich kombiniert werden können: (1) Einzugsgebietscharakteristika, (2) Input, (3) Mathematisches Modell, (4) Anfangs- und Randbedingungen und (5) Output.

Für die Berechnung von Zuflussganglinien zu Hochwasserrückhaltebecken werden in vielen Fällen Verfahren mit Berücksichtigung der Retentions- und Translationsvorgänge im Einzugsgebiet verwendet.


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8.2 Das Einheitsganglinienverfahren Das EGL – Verfahren (Sherman, 1934) ist eines der ältesten Konzeptmodelle zur Transformation des abflusswirksamen Niederschlages in eine Hochwasserabflussganglinie. Etliche aktuelle Softwarepakete (HEC1, HECRAS) bauen auf diesem Konzept auf.

Ausgangsdaten für die Berechnung der Einheitsganglinien (EGL; Sherman, 1934) sind der zeitliche Verlauf des abflusswirksamen Niederschlages im topographischen Einzugsgebiet sowie die zum gleichen Ereignis gehörige Abflussganglinie am Gebietsauslass.

Die Form des topographischen Einzugsgebietes sowie dessen Gefällsverhältnisse werden im Verfahren nicht direkt berücksichtigt. Beim Einheitsganglinien-Verfahren wird eine gebietscharakteristische Funktion ermittelt, welche die Reaktion des Einzugsgebietes auf die Belastung durch den abflusswirksamen Niederschlag kennzeichnet.

Die Einheitsganglinie ist definiert als Abflussganglinie für ein bestimmtes Einzugsgebiet, die durch eine Einheit des abflusswirksamen Niederschlages mit definierter Dauer (z.B. 1mm/h) hervorgerufen wird.

Definition

Die Einheitsganglinie (EGL), engl. Unit Hydrograph (U.H.), wird zur Berechnung von Abflüssen aus Regenereignissen verwendet. Sie stellt eine gebietscharakteristische Funktion dar und ist daher für jedes Einzugsgebiet neu zu bestimmen. Man ermittelt den U.H. durch die Analyse von Ereignissen, bei denen der über das Gebiet gleichmäßig verteilte Niederschlag und der Abfluss bekannt sind. Wenn die EGL für ein Gebiet einmal bekannt ist, kann für beliebige Regenereignisse durch Synthese der Abfluss ermittelt werden. Das Verfahren wird für kleine und mittlere Gebiete verwendet (in Mitteleuropa bis 1000 km2). Theoretisch gibt es für jedes EZG nur einen U.H., praktisch gibt es jedoch im HW-Abfluss saisonale Schwankungen bei gleichem Niederschlag. Daher gibt es Sommer- und Winter-U.Hs..

Vorteil: Einfache Methode mit wenigen Unbekannten.

Nachteil: Änderungen (z.B. nachträglicher Bau von Retentionsbecken) können nicht berücksichtigt werden. Der Niederschlag über dem EZG muss gleichmäßig sein.

8.2.1 Prinzipien des Einheitganglinienverfahrens

Prinzip der Zeitinvarianz

Sherman geht von der Grundvorstellung aus, dass ein Effektivniederschlag der Dauer Δt immer die gleiche Abflussganglinie zur Folge hat → die Einheitsganglinie.

Prinzip der Linearität

Niederschläge größerer Höhe werden durch proportionale Erhöhung der Abflussordinaten berücksichtigt . Das heißt, dass der doppelte Effektivniederschlag im selben Zeitraum auch den doppelten Abfluss in allen Zeiträumen hervorruft.


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Superpositionsprinzip

Die aus m Niederschlagsintervallen Δt stammenden Abfluss-Teilwellen werden zu einer Gesamtwelle der Dauer (m+n-2) überlagert. Die einzelnen Regenereignisse lassen sich also getrennt betrachten und addieren.

Abb 8.2: Überlagerung dreier einzelner Abflussganglinien zu einer Gesamtganglinie

Nach Abb 8.2: lässt sich nun folgendes Gleichungssystem anschreiben (Beispiel für 3 Niederschlagsintervalle).

312

21323

1122334

12132

1423324

1322313

12212

111

.

RUQRURUQ

RURURUQ

RURURUQ

RURURUQRURURUQ

RURUQRUQ

nmn

nnmn

nnnmn

iiii

⋅=⋅+⋅=

+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅=⋅=

−−+

−−−+

−−−−+

−−

Glg. 8.1

Wobei

Qi ......Oberflächenabfluss Ri ......Effektivniederschlag / abflusswirksamer NS Ui ......Ordinate der Einheitsganglinie

Bekannt sind der abflusswirksame Niederschlag und der Hochwasserabfluss im Gleichungssystem


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( )0211

10 ==−+≤≤≤≤

−+nmi

i

QQnmiQmkR

Glg. 8.2

Unbekannt sind die Ordinaten der Einheitsganglinie

( )011 0 ==−≤≤ ni UUniU Glg. 8.3

Für beliebige Werte m (Anzahl der Ordinaten mit Niederschlag) und n (Anzahl der Einheitsganglinien-Ordinaten) lässt sich das Gleichungssystem in Summenschreibweise so ausdrücken:

( )[ ]∑=

+− ⋅=m

kkkii RUQ

11 für nki <+−< 10 Glg. 8.4

Jede Zeile des Gleichungssystems enthält maximal m Glieder. Zu berechnen sind n-1 Unbekannte Ui, wofür m+n-2 Gleichungen zur Verfügung stehen. Das Gleichungssystem hat damit m-1 Gleichungen mehr als Unbekannte vorhanden sind, ist also (m-1)-fach überstimmt.

Die Auflösung des Gleichungssystems kann z.B. mit Hilfe des Gauss’schen Algorithmus erfolgen.

Abb 8.3: Ermittlung der Ordinaten der Einheitsganglinien Um bei einer Folge von Effektivniederschlägen Iwi (MANIAK, 1992)


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S-Kurve

Die Idee der Einheitsganglinie hat noch andere Ansätze hervorgebracht. Das S-Kurven-Verfahren, das die Umrechnung eines U.H. bestimmter Bezugsdauer Δt in einen anderen U.H. beliebiger Bezugsdauer gestattet. Der Instantaneous Unit-Hydrograph, IUH, momentane Einheitsganglinie, entsteht aus einem Regenelement der Dauer Δt > 0. Die Superposition unter Hintereinanderschaltung mehrerer linearer Speicher mit dazwischenliegenden linearen Gerinneabschnitten ergibt den IUH.

Die S-Kurve erhält man durch Annahme eines Niederschlags unendlich langer Dauer. Die Abflussganglinie geht dann nach S-förmigem Verlauf in einen konstanten Abfluss über.

Abb 8.4: Ermittlung der S-Kurve


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8.3 Komponenten des Einheitsganglinienverfahrens

8.3.1 Der Gebietsniederschlag Der Gebietsniederschlag wird mit Hilfe der in Kapitel 5.5 vorgestellten Methoden geschätzt.

8.3.2 Der Effektivniederschlag Ein Niederschlag mit konstanter Intensität trägt mit der Zeit zu den in Abb 8.5: dargestellten Abflussanteilen bei. In die UH-Berechnung geht nur der Effektivregen ein, der direkt den Oberflächenabfluss speist.

Abb 8.5: Abflussanteile

R


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8.3.3 Methoden zur Bestimmung des Effektivniederschlags

8.3.3.1 Φ-Index-Verfahren Beim Φ-Index-Verfahren wird ein konstanter Anteil vom gefallenen Niederschlag als Gebietsrückhalt subtrahiert. Dieses Verfahren beruht auf der vereinfachenden Annahme, dass die Infiltrationsrate zu jedem Zeitpunkt konstant bleibt. Mit k = 0 im HORTON-Verfahren ergibt sich das Phi-Index–Verfahren.

Auf Grund der einfachen Anwendbarkeit führt dieses Verfahren jedoch wegen der fehlenden Berücksichtigung der variablen Infiltrationsrate v.a. in kleinen Niederschlagsgebieten zu größeren Fehlern!

8.3.3.2 Prozentwertmethode Die Prozentwertmethode berechnet den Nettoniederschlag im Zeitintervall ∆t als prozentualer Anteil des gesamten Niederschlages innerhalb dieses Zeitintervalls. Der Prozentwert c (hier: Infiltrations-Anteil) wird mit folgender Gleichung bestimmt (QEEN'S PRINTER FOR ONTARIO, 2000):

Üblicherweise gilt NcNeff ⋅=

∑∑==

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−=

n

ii

n

iiieff NcNcNN

11 1001

100 Glg. 8.5

Wobei:

Neff = Nettoniederschlag (kumul.)

Ni= (Gesamt-)Niederschlag in Zeitinvervall i

n = Anzahl Zeitintervalle

c = Anteil der Infiltration

Abb 8.6: Verlauf der Infiltration (schwarz) und des Nettoniederschlags (weiß) mit der Prozentwert-Methode.


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8.3.3.3 Verfahren KÖHLER Für die Abtrennung des Effektivregens hat Köhler das folgende Verfahren vorgeschlagen: Der Abflussanteil der Regenelemente steigt erst linear an und bleibt ab einem bestimmten Zeitpunkt konstant.

Abb 8.7: Einfluss der Regendauer auf den Abflussbeiwert

Das Verfahren von Koehler berücksichtigt die Zunahme der Abflussbeiwerte mit wachsender Regendauer, sowie die Abhängigkeit der Abflussbeiwerte von der Niederschlagsintensität.

Da der abflusswirksame Anteil NEFFi eines Intervalls i mit Ni wachsen muss, wird der Einfluss von Ni durch ein Gewicht berücksichtigt (allgemein Ni

z mit z ⟨ 0). Danach bedeutet z = 0, dass der Einfluss der Intensität nicht berücksichtigt wird (Ni

z = Ni0 = 1), z = 1, dass sie

mit ihrer Größe als Gewicht eingeht (Niz = Ni

1 = Ni).

Bezeichnet man das Intervall, von dem ab der Einfluss der Zeit als konstant angenommen wird, mit k, die zugehörige Ordinate der Beziehung NEFFi = f (t) mit y und die Gesamtanzahl der Intervalle mit m, ergibt sich für die abflusswirksamen Niederschläge NEFFi = f(t,Ni) aus der Bedingung ΣNEFFi =Abflussfülle A folgende Bestimmungsgleichung:

∑==⋅⋅⋅+

+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ++

imzm

kzkk

zk

zz

NEFFANNykk

NNykkNNy

kkNNy

kNNy

k

...

......21112211

Glg. 8.6

In Summenschreibweise:

[ ] ∑∑∑ ==⋅⋅+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

+==i

m

kii

zi

k

ii

zi NEFFANNyNNy

ki

11)()()( Glg. 8.7

mit k ≤ m, z ⟨ 0.

Dabei beschreibt yki ⋅ (für i ≤ k) bzw. y für (i > k) den Einfluss der Regendauer, Ni den der

Intensität Ni/Δt. Das Produkt aus beiden stellt einen variablen Abflussbeiwert χi=f(t,Ni) dar, der, mit Ni multipliziert, den abflusswirksamen Niederschlag NEFFi ergibt. Dabei bedeutet k = 1, das kein Einfluss der Zeit vorhanden ist (z.B. bei befestigten Gebieten nach ausreichenden Vorregen) und z = 0, dass die Intensität Ni/Δt ohne Einfluss ist.


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8.3.3.4 Verfahren HORTON Dieses Verfahren geht davon aus, dass die Versickerungsrate (Infiltrationsrate) f mit zunehmender Niederschlagsdauer einer Exponentialverteilung folgend abnimmt. Wenn der Abnahmefaktor k den Wert 0 annimmt, ergibt sich das Phi-Index–Verfahren.

tkCC effftf ⋅−⋅−+= )()( 0 Glg. 8.8

f ........Infiltrationsrate zur Zeit t t ........Zeit seit Niederschlagsbeginn f0 .......Anfangs-Infiltrationsrate [mm/h] fC.......End-Infiltrationsrate [mm/h] k........Abnahmenfaktor

tkCiCi effff Δ⋅−

+ ⋅−+= )(1 Glg. 8.9

iii fNNEFF −= Glg. 8.10

∆t ...... Zeitschritt der Berechnung [h] NEFFi Intensitätsverlauf des abflusswirksamen Niederschlages [mm/h]

NEFFi = 0,0 wenn fi > Ni

Abb 8.8: Horton’s Infiltrationsmodell

Infiltration

Abfluss

t


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8.3.3.5 SCS-CN-Methode Die SCS-CN-Methode ist eine teilweise stark vereinfachte konzeptionelle Methode. Sie wird hier vorgestellt als Vertreter der Methoden, die den Infiltrationsprozess mithilfe von allgemein verfügbaren räumlich-verteilten Boden- und Landnutzungsdaten beschreiben. Die Bestimmung der CN-Werte erfolgt nach genau festgelegten Kriterien (Tab 8.1:,Tab 8.2:, siehe auch z.B. DVWK Regeln 113/1984). Zu beachten ist, dass alle eingeführten Größen als kumulierte Größen bis zum Zeitpunkt t zu verstehen sind; die Nettoniederschlagshöhen pro Zeitschritt ∆t werden anschließend als Differenz berechnet (QUEEN'S PRINTER FOR ONTARIO, 2000). Die Gleichung für die Abflusshöhe Q lautet:

8/800)²2/200(

−++−

=CNPCNPQ Glg. 8.11

wobei ∑=i

iNP1

Niederschlagshöhe [mm]

1−−= iii QQNEFF Glg. 8.12

Abb 8.9: Verlauf der Infiltration (schwarz) und des Nettoniederschlags (weiß) mit der CN-Methode


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Tab 8.1: Klassifikation der Bodentypen hinsichtlich ihres Versickerungsvermögens für das SCS-Verfahren

Hydrologischer Bodentyp

Beschreibung

A Böden mit großem Versickerungsvermögen, auch nach starker Vorbefeuchtung,

z. B.: tiefe Sand- und Kiesböden

B Böden mit mittlerem Versickerungsvermögen, tiefe bis mäßig tiefe Böden mit mäßig feiner bis mäßig grober Textur,

z. B.: mitteltiefe Sandböden, Löss

C Böden mit geringem Versickerungsvermögen, Boden mit feiner bis mäßig feiner Textur oder mit wasserstauender Schicht,

z.B.: flache Sandböden, sandiger Lehm

D Böden mit sehr geringem Versickerungsvermögen

z. B.: Tonböden

Tab 8.2: CN in Abhängigkeit von Bodennutzung und hydrologischem Bodentyp

Beschreibung der Bodennutzung CN für Bodentypen

A B C D

Ödland (ohne nennenswerten Bewuchs) 77 86 91 94

Hackfrüchte, Wein 70 80 87 90

Wein (Terrassen) 64 73 79 82

Getreide, Futterpflanzen 64 76 84 88

Weide (normal) (karg)

49

68

69

79

79

86

84

89

Dauerwiese 30 58 71 78

Wald (stark aufgelockert)

(mittel)

(dicht)

45

36

25

66

60

55

77

73

70

83

79

77

Undurchlässige Flächen (versiegelter Anteil von Ortschaften, Straßen, ...)

100 100 100 100

Bemerkung: Die Bodenfeuchtklasse ist ein Maß für den Einfluss des Vorregens. Für die Synthese von Hochwasserganglinien für Bemessungszwecke sollte von der Bodenfeuchte-klasse II (mittelfeuchte Böden) ausgegangen werden.


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8.3.4 Der Basisabfluss Um den Direktabfluss genau ermitteln zu können muss man zuerst den Basisabfluss vom Gesamtabfluss abziehen. Für die Abtrennung des Direktabflusses vom Basisabfluss gibt es verschiedene Verfahren. Die einfache geradlinige Abtrennung ist meist ausreichend genau.

Das Zeitintervall Δt soll je nach Geländegefälle gewählt werden. Zwischen Abflussbeginn und Scheitel der Welle sollen mindestens 3 Zeitintervalle liegen.

Abb 8.10: Geradlinige Abtrennung des Basisabflusses


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8.4 Anwendung Der Anwendungsbereich des Einheitsganglinienverfahrens ist mit Größenordnungen des Einzugsgebietes bis rd. 200-1000 km2 (je nach morphologischer Struktur) begrenzt, weil für größere Einzugsgebiete nicht mehr von einer einheitlichen, örtlichen Niederschlagsverteilung ausgegangen werden kann.

Das in USA entwickelte Verfahren hat auch in N-Deutschland gute Ergebnisse gebracht. Im Bereich der Alpen sind auf Grund des Geländes kleinere Einzugsgebiete zu wählen. Die Grundannahmen treffen nur teilweise zu.

Beispiel: Für das Einzugsgebiet der Trattnach in Oberösterreich (Abb 8.11:) wurde eine Analyse des Abflusses in zeitlicher und räumlicher Form durchgeführt (NACHTNEBEL und VOLLHOFER, 1980). Die Erfassung des Niederschlags und des Abflusses erfolgte über 5 Ombrographen und 4 Schreibpegel, die im Einzugsgebiet installiert waren. Zur Berechnung des Gebietsniederschlags wurde das Thiessen-Verfahren angewandt. Die Gewichtung der einzelnen Beobachtungsstationen entspricht den Flächenanteilen an der Gesamteinzugsgebietsfläche. Die Prozentzahlen sind in angegeben.

Abb 8.11: Einzugsgebiet der Trattnach und Lage der Messstellen


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Tab 8.3: Flächenanteile nach Thiessen

Wolfsegg Haag Neumarkt Wendling Hofkirchen

Still - 0,30 - 0,70 -

Panbruck - 0,52 - 0,38 0,10

Strötting 0,10 0,58 - 0,03 0,29

Obertrattnach 0,05 0,40 0,04 0,25 0,26

Für die Modellierung des Abflusses kam das Einheitsganglinienverfahren zur Anwendung. Die Analyseergebnisse für ein Niederschlagsereignis am 17. Juli 1974 sind in Abb 8.12: dargestellt.

Abb 8.12: Beispiele einer UH-Analyse: Niederschlags-Abfluss-Analysen für 4 Pegel im Einzugsgebiet der Trattnach in Oberösterreich (14.7.1974). a) Still, b) Panbruck, c) Strötting, d) Obertrattnach

a)

d) c)

b)


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8.5 Diskussion Beim Einheitsganglinienverfahren werden Retentions- und Translationserscheinungen global berücksichtigt, ohne auf deren Anteil am Abflussgeschehen näher einzugehen. Für dieses Verfahren wird nur die Ganglinie des abflusswirksamen Niederschlages im Einzugsgebiet sowie die Abflussganglinie am Gebietsauslass benötigt. Es werden keine Annahmen in Bezug auf die Wirkungsweise bestimmter Parameter gemacht und keine Informationen z.B. über Form und generelle Gefällsverhältnisse im Einzugsgebiet verwendet.

Die Ergebnisse des Einheitsganglinienverfahrens sind gebiets- und ereignisabhängig. Bei der Berechnung von Abflüssen aus Einheitsganglinien ist v.a. dann mit guten Ergebnissen zu rechnen, wenn diese dem Ereignis ähnlich sind, aus dem die Einheitsganglinien abgeleitet sind.


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8.6 Literatur DVWK Regeln 113/1984, Arbeitsanleitung zur Anwendung von Niederschlag-Abfluss-

Modellen in kleinen Einzugsgebieten.

DYCK, S. (1978): Angewandte Hydrologie, Teil II

LUDWIG, K. (1979): Schriftenreihe des DVWK, Heft 44

LUDWIG, K. (1978): Schriftenreihe des DVWK, Heft 45

MANIAK, U. (1992): Hydrologie und Wasserwirtschaft; Einführung für Ingenieure

NACHTNEBEL, H.P., VOLLHOFER O. (1980): Analyse des Niederschlags-Abflussgeschehens in einem Einzugsgebiet der Voralpen (Innbach-Trattnach); Interprävent 1980, Bad Ischl

QUEEN'S PRINTER FOR ONTARIO (2000): Water Budget Analysis on a Watershed Basis http://www.trentu.ca/wsc/PDFfiles/WBA22_app-f.pdf

Anmerkung

Dieses Kapitel enthält Auszüge aus den 3 erstgenannten Referenzwerken (LUDWIG, K. (1979), MANIAK, U. (1992) und NACHTNEBEL, H.P. (1980).

9 N-A-Modelle – Kombinierte Translations- und Speichermodelle

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9 N-A-MODELLE: KOMBINIERTE TRANSLATIONS- UND SPEICHERMODELLE

9.1 Allgemeines ......................................................................................................9-3

9.2 Speichermodelle ..............................................................................................9-4 9.2.1 Einzellinearspeicher.................................................................................................................... 9-4 9.2.2 Lineare Speicherkaskade ............................................................................................................ 9-5

9.2.2.1 NASH-Verfahren (NASH, 1970) ........................................................................................... 9-5 9.2.2.2 Verfahren nach DOOGE (DOOGE, 1950)............................................................................. 9-5

9.3 Kombinierte Modelle ......................................................................................9-7 9.3.1 Translation.................................................................................................................................. 9-7

9.3.1.1 Fließzeit (Konzentrationszeit) ................................................................................................ 9-7 9.3.1.2 Zeitflächendiagramm.............................................................................................................. 9-9

9.3.2 Retention................................................................................................................................... 9-10 9.3.2.1 HYREUN-Verfahren ............................................................................................................ 9-10

9.4 Flussgebietsmodelle.......................................................................................9-11 9.4.1 Modellkomponenten................................................................................................................. 9-11

9.5 Diskussion ......................................................................................................9-12

9.6 Literatur.........................................................................................................9-13


Seite 9-2

Abbildungsverzeichnis ABB 9.1: EINZELLINEARSPEICHER ........................................................................................................ 9-4 ABB 9.2: SPEICHERKASKADEN NACH NASH....................................................................................... 9-5 ABB 9.3: SPEICHERMODELL NACH DOOGE ......................................................................................... 9-6 ABB 9.4: LINKS PARALLEL UND RECHTS IN SERIE GESCHALTETE SPEICHER .......................... 9-6 ABB 9.5: FESTLEGUNG DES MITTLEREN GEFÄLLES......................................................................... 9-8 ABB 9.6: ISOCHRONENDARSTELLUNG UND DAZUGEHÖRIGES ZEITFLÄCHENDIAGRAMM .. 9-9 ABB 9.7: SYSTEMSKIZZE EINES FLUSSGEBIETSMODELLS............................................................ 9-12


Seite 9-3

9.1 Allgemeines Eine einheitliche Übertragungsfunktion zwischen Niederschlag und Abfluss.- wie im vorigen Kapitel behandelt (UH-Verfahren).- bietet keine Möglichkeit, die Gliederung des Einzugsgebiets nach topographischen Gesichtspunkten zu berücksichtigen bzw. die räumliche Variabilität eines Niederschlagsereignisses einzubeziehen. Dies ist der Nachteil von Black-Box Modellen, welche die physikalischen Einzelprozesse nicht erfassen.

Physikalisch gesehen besteht der Abflussprozess aus Speicherung (Retention) und Fließbewegung (Translation). Diesem Umstand wird mit kombinierten Translations-Retentionsmodellen Rechnung getragen. Bei den sogenannten konzeptiven Modellen wird der Abfluss als eine Kombination von (linearen) Einzelspeichern angesehen, in denen die Komponenten Oberflächenabfluss, Interflow und Basisabfluss entweder einzeln oder pauschal beschrieben werden. Auch die Translation kann durch eine Abfolge von Einzelspeicher modelliert werden. Anschließend wird ein kurzer Überblick über die verbreitetsten Speichermodelle gegeben.

Bei größeren, topographisch stark gegliederten Einzugsgebieten, erfolgt eine Berücksichtigung der Gebietscharakteristiken durch Unterteilung des Gebiets in Teileinzugsgebiete und separierte Berechnung der Abflussverhältnisse. Die Ergebnisse der Teileinzugsgebiete werden anschließend überlagert. Diese Unterteilung von Einzugsgebieten und Modellierung einzelner Abflusskomponenten ist charakteristisch für sog. Flussgebietsmodelle.


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9.2 Speichermodelle Bei reinen Speichermodellen wird der Abflussprozess durch einen oder mehrere Speicher beschrieben.

9.2.1 Einzellinearspeicher Ein Einzellinearspeicher (Abb 9.1:) ist dadurch gekennzeichnet, dass sein Ausfluss q stets proportional zum Speicherinhalt s ist. Aus der Speichergleichung (Glg. 9.1) und der Kontinuitätsgleichung (Glg. 9.2) ergibt sich die Differentialgleichung des Einzellinearspeichers (Glg. 9.3).

Abb 9.1: Einzellinearspeicher

qks ⋅= Glg. 9.1

dtdspq −= Glg. 9.2

dtdqkpq ⋅−= Glg. 9.3

wobei

k........Speicherkonstante s ........Speicherinhalt p(t) ....Zufluss q(t) ....Abfluss

Für eine Zeitspanne (t-t0) ergibt sich folgende allgemeine Lösungsfunktion für die Berechnung des Abflusses:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ττ τ dek

petqtq ktt

t

ktt ⋅⋅⋅+⋅= −−−− ∫1

0

00 Glg. 9.4

Der erste Summand beschreibt dabei das Leerlaufen des Speichers ohne Zuflüsse, der zweite die Zuflüsse.


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9.2.2 Lineare Speicherkaskade Bei diesen Modellansätzen werden mehrere Einzellinearspeicher hintereinander angeordnet. Einige Verfahren aus dieser Gruppe werden angeführt:

9.2.2.1 NASH-Verfahren (NASH, 1970) Mehrere lineare Speicher werden in Serie aneinandergereiht. Alle Speicher weisen dieselbe Speicherkonstante k auf. Bei Eingabe eines Einheitsimpulses in den ersten Speicher ergibt sich nach durchlaufen aller Speicher, von denen jeder einzelne für eine Umformung der Abflussganglinie sorgt, folgende Ganglinie des Abflusses aus dem n-ten Speicher:

Abb 9.2: Speicherkaskaden nach NASH

( ) ( )u tk n

tk

en

t k=⋅ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅

−−1

1

1

! Glg. 9.5

Die Abflussganglinie hat ähnliche Eigenschaften wie eine Einheitsganglinie. Dementsprechend wird auch eine synthetische Einheitsganglinie der Form

( ) bta etctu −⋅⋅= Glg. 9.6

Verwendet. Dies erleichtert die Schätzung der Ordinaten der EGL, indem man aus den Messdaten 3 Parameter a, b und c ermittelt.

9.2.2.2 Verfahren nach DOOGE (DOOGE, 1950) Diese Methode liefert eine Kopplung von Speicherkaskaden und linearen Gerinneabschnitten. Dabei wird ein Zeitflächendiagramm jeder Isochronenfläche mit dem oberliegenden Speicher addiert. Eine Systemskizze zeigt Abb 9.3:


Seite 9-6

Abb 9.3: Speichermodell nach DOOGE

Weitere Modellansätze verwenden parallele Anordnungen von Speicherkaskaden. Damit können unterschiedliche Modellkomponenten (Oberflächenabfluss, Interflow) berücksichtigt werden. Dies leitet zur Klassifizierung in Einschicht-, Zweischicht- und Dreischichtmodelle über. Die ersten beiden Ansätze werden zur Simulation des direkten Abflusses (Hochwasserabfluss) verwendet. Letzteres ist auch zur Modellierung des Abflusskontinuums geeignet. Als Beispiel eines komplexen Speichermodells wird die (Vereinfachte) Systemskizze des EGMO-Modells (BECKER, 1975) dargestellt.

Abb 9.4: Links parallel und rechts in Serie geschaltete Speicher


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9.3 Kombinierte Modelle Bei kombinierten N-A Modellen erfolgt eine Untergliederung des Abflussbildungsprozesses in Translation und Retention. Unter Translation versteht man eine zeitliche Verschiebung des Effektivniederschlags zum Gebietsauslass (=Bezugspunkt). Die Retentionswirkung des Gebiets wird durch einen linearen Einzelspeicher berücksichtigt. Durch die Gliederung des Einzugsgebiets (Isochronenflächen, Rasterzellen) kann die Abflusskonzentration unter Berücksichtigung physikalisch interpretierbarer Standortseigenschaften (Niederschlagsintensität, Retentions-verhalten, Konzentrationszeit, etc.) ermittelt werden.

In diesem Abschnitt werden zwei, einander ähnliche Modelle, das CLARK-Verfahren und das HYREUN-Verfahren, vorgestellt. Beide Modelle berücksichtigen die Translation über das Zeitflächendiagramm sowie die Retentionswirkung eines fingierten linearen Einzelspeichers. Weitere Methoden finden Erwähnung.

9.3.1 Translation

9.3.1.1 Fließzeit (Konzentrationszeit) Die Ermittlung des abflusswirksamen Niederschlags (Effektivniederschlag) wurde bereits im Kapitel 8 (N-A-Modelle – Reine Translationsmodelle) behandelt. Jeder Effektivniederschlagsanteil einer Teilfläche benötigt eine bestimmte Zeit (Konzentrationszeit), um zum Untersuchungspunkt zu gelangen. Diese Fließzeit ist primär von der Distanz, dem Gefälle und der Gerinnerauhigkeit abhängig.

Als charakteristische Gebietskenngröße gilt die kritische Fließzeit tc. Es ist dies jene Zeitdauer, die ein Niederschlagsteilchen braucht, um vom entferntesten Punkt des Einzugsgebiets zum Bezugspunkt zu gelangen. Für siedlungswasserwirtschaftliche Probleme (z.B. Kanalbemessung) wird als Bemessungsniederschlag jener mit der Dauer der kritischen Fließzeit gewählt. Dies bedeutet, dass bei einheitlicher Überregnung ein Niederschlagsereignis kürzerer Dauer bereits zu Ende ist, bevor noch das entfernteste Teilgebiet zum Abfluss beiträgt. Bei längerer Regendauer existiert bei gleicher Auftrittswahrscheinlichkeit eine geringere Intensität (vergleiche Schimpfdiagramm).

Schätzung der Fließzeit

Für die Schätzung der Fließzeit gibt es verschiedene Berechnungsmöglichkeiten. Dabei muss jedoch erwähnt werden, dass diese Fließzeiten keine konstanten Größen darstellen, sondern wesentlich von der aktuellen Wasserführung abhängen, da sich der hydraulische Radius und die mittleren Gerinnerauhigkeiten mit dem Wasserstand ändern.

Formel des US Soil Conservation Service (KIRPICH, 1940)

385,03

868,0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=HLtc Glg. 9.7

wobei

tc .......Anlaufzeit in h L .......Länge des Hauptwasserlaufes in km H.......Höhendifferenz zwischen oberstem und unterstem Punkt des Hauptwasserlaufs in m


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Hang-Gerinne Formel:

467,0385,077,0 202,0 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅⋅= −

F

FMGGc J

LkJLt Glg. 9.8

wobei

LG .....Länge des Gerinneabschnitts in m JG ......Gefälle des Gerinneabschnitts LF......Länge des Geländes in m JF.......Gefälle des Geländes kM .....Rauhigkeit der Oberfläche nach Manning

Bei der Ermittlung der Fließzeiten werden aus dem Längenschnitt des Gerinnes Geländeknickpunkte ausgewählt und für die Zwischendistanzen die Fließzeit nach den obenstehenden Formeln berechnet. Berechnet man nur die kritische Fließzeit des entferntesten Punkts, so ist von einem mittleren Gefälle auszugehen, welches den Längsschnitt in zwei gleichgroße Flächen teilt (siehe Abb 9.5:).

Abb 9.5: Festlegung des mittleren Gefälles

F1=F2


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9.3.1.2 Zeitflächendiagramm Die Fließzeiten von Geländepunkten werden entweder nach der Hang-Gerinne Formel berechnet, oder aus den Fließzeiten der Gerinnepunkte interpoliert. Dabei können subjektive Beurteilungen der Gebietscharakteristik (Neigung, Versiegelungsgrad, etc) einfließen. Durch die Verbindung von Punkten gleicher Fließzeit gelangt man zu einer Isochronendarstellung des Einzugsgebiets. Durch Planimetrieren der Flächen zwischen den Isochronen und Übertragung auf eine Zeitachse gelangt man zum Zeitflächendiagramm (siehe Abb 9.6:). Die Form des Zeitflächendiagramms gibt Aufschluss über die Abflusscharakteristik eines Einzugsgebiets. Oftmals wird das Zeitflächendiagramm als Summenlinie der Teilflächen dargestellt, wobei eine dimensionsfreie Skalierung als Verhältniszahl von Einzugsgebietsgröße und kritischer Fließzeit gewählt wird. Dies hat den Vorteil, dass bei Korrektur der kritischen Fließzeit die Abflussrelationen erhalten bleiben. Das Zeitflächendiagramm entspricht der Abflusskonzentration des Einheitsniederschlages (Zeitdauer dt, Höhe 1). Durch Skalierung und Superposition eines Niederschlagsereignisses mit dem Zeitflächendiagramm gelangt man zur Abflusskonzentrationsfunktion. Diese entspricht der Translation des Effektivniederschlags auf den Bezugspunkt unter Berücksichtigung der Fließzeiten.

Abb 9.6: Isochronendarstellung und dazugehöriges Zeitflächendiagramm

Die Unterschiede zwischen dem Verfahren nach Clark und dem Hyreun-Verfahren liegen in der Festlegung der Flächeneinheiten für die Translation. Im Clark Verfahren werden die Flächen zwischen den Isochronen transformiert. Im Hyreun Verfahren wird ein (diskretes) Rasternetz definiert, für jede Rasterzelle (Mittelpunkt) die Fließzeit geschätzt und die Flächen auf einer Zeitachse akkumuliert. Dieses Verfahren ermöglicht eine detailliertere raum-zeitliche Auflösung des Abflusskonzentrationsprozesses. Weiters kann die Regionalisierung des Niederschlags mit Hilfe geeigneter Verfahren (Rasterpunktmethode) auf das Hyreun-Gitternetz abgestimmt werden.


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9.3.2 Retention Für die Berechnung der fließenden Retention siehe Kap. 13.3 (fließende Retention).

9.3.2.1 HYREUN-Verfahren Beim HYREUN-Verfahren legt man einen Raster über das Einzugsgebiet und kann damit jedes Flächenelement (und jedes Zeitelement Δt) getrennt betrachten. Nach der Ermittlung des Effektivniederschlags Neff und der Bodenkennwerte, kann für jeden Rasterpunkt (=Bodensäule) auch die Konzentrationszeit Tc[h], mit Hilfe der KIRPICH-Formel: bestimmt werden (sh. Glg. 9-7).

Mit Hilfe der so gewonnenen Isochronen können Zeit-Flächen-Diagramme erstellt. und dann die Translation berechnet werden.

Die Retention wird über einen gedachten linearen Einzelspeicher berücksichtigt, der die Retention des gesamten Einzugsgebiets simuliert.

Anschließend sei ein kurzes Ablaufschema der Berechnungsmethode der N-A-Modellierung nach Clark bzw. nach dem HYREUN-Verfahren angeführt:

1) Raster über das Einzugsgebiet legen

2) Ermittlung des Gebietsniederschlags: Berücksichtigung unterschiedlicher Bodenkennwerte und Niederschläge

3) Ermittlung des (regionalen) Gebietsrückhalts

4) Ermittlung der Fließzeiten (Isochronenkarte)

5) Translation des Effektivniederschlags auf Bezugspunkt (Abflusskonzentration) mithilfe Zeitflächendiagramm

6) Schätzung der Speicherkonstante: Hierzu stehen verschiedene Verfahren zur

Verfügung:

Für stehende Retention (Kap. 11.2):

- Methode nach Puls

- Muskingum-Verfahren

Für fließende Retention (Kap. 11.3):

- Muskingum-Verfahren

- Kalinin-Miljukov-Verfahren

7) Lineare Retention der Abflusskonzentrationsfunktion → Abflusswelle


Seite 9-11

9.4 Flussgebietsmodelle Ein Flussgebietsmodell besteht aus einer Kette von hydrologischen Berechnungsmodulen, durch welche der Ablauf von Abflussereignissen im Gewässernetz eines Flussgebietes beschrieben wird. Im wesentlichen besteht der gesamte Berechnungsvorgang aus einer Aufeinanderfolge von Verfahren zur Berechnung der Abflussbildung in den Teilgebieten und aus Verfahren zur Berechnung des Wellenablaufes in den Hauptgewässern des Flussgebiets.

Flussgebietsmodelle werden für Einzugsgebiete von ca. hundert km2 bis mehreren tausend km2 angewendet. Der primäre Verwendungszweck von Flussgebietsmodellen ist die Simulation von Hochwasserabflusswellen. Bei Verwendung zusätzlicher Modellbausteine können jedoch auch Kontinuumsmodelle, Niedrigwassermodelle oder Gewässergütemodelle realisiert werden.

Eines der bekanntesten Flussgebietsmodelle ist das sogenannte SHE-Model (Systeme Hydrologique Européen, siehe auch Kap. 10.4.6 SHE-Modell), Wird das Flussgebietsmodell für Hochwasserabflussberechnungn herangezogen, können folgende Zielsetzungen verfolgt werden:

• Berechnung von Abflüssen für verschiedene Profilstandorte.

• Beurteilung örtlicher Baumaßnahmen auf das Abflussgeschehen.

• Planung überörtlicher Regelungssysteme.

• Beurteilung von Speicherbewirtschaftungsmöglichkeiten.

• Abflussvorhersage für Speicheranlagen.

Weitere Anwendungsmöglichkeiten sind:

• Vorhersage der Auswirkungen von Änderungen bei der Landnutzung im Einzugsgebiet

• Abflussvorhersage

• Transport von Verunreinigungen und Sedimenten

9.4.1 Modellkomponenten Die wesentlichen Modellkomponenten eines Flussgebietsmodells und ihre Bausteine sind die Niederschlags-Abflussmodelle der Teilgebiete. Folgende Systemkomponenten werden dabei berücksichtigt:

• Gebietsniederschlag

• Abflusswirksamer Niederschlag

• Schneeschmelzprozess

• Abflussverformung im Niederschlagsgebiet (Flood Routing)

Als Flood-Routing Verfahren kommen hydrologische Verfahren (Wellenverformung in Speichern) und hydraulische Verfahren zum Einsatz (siehe auch Kap. 13 Retention und Flood Routing).

Eine Systemskizze eines Flussgebietsmodells mit Verknüpfung von Teilgebietsmodellen und Routing Verfahren ist in Abb 9.7: dargestellt.


Seite 9-12

Einen Schwerpunkt bei der Flussgebietsmodellierung stellt die Eichung (Kalibrierung) der Modellparameter dar. Dafür ist eine hinreichende Datenbasis historischer Abflusswellen an mehreren Abschnittsbereichen notwendig. Im Rahmen der Eichung wird versucht, die Parameter der Teilmodelle so anzupassen, dass für jeden Beobachtungspunkt eine optimale Übereinstimmung der Simulationsergebnisse mit den Beobachtungen existiert. Gelingt dies, so wird zumeist auch für die Zwischenbereiche eine Repräsentativität der Modellergebnisse angenommen. An die Modellkalibrierung ist eine Modellvalidierung unter Heranziehen von unabhängigen (nicht für Kalibrierung verwendeten) Abflussereignissen anzuschließen.

Abb 9.7: Systemskizze eines Flussgebietsmodells

9.5 Diskussion Die in diesem Kapitel besprochenen Niederschlags-Abflussmodelle berücksichtigen - im Gegensatz zu den reinen Blackboxmodellen - die physikalischen Abläufe bzw. die einzelnen Komponenten des Abflussbildungsprozesses. Allerdings werden auch bei diesen Modellen Parameter verwendet, welche die mittleren Verhältnisse eines gesamten Teileinzugsgebietes festlegen. Durch Zusammenfassen der Teileinzugsgebiete und Verknüpfung der hydrologischen Berechnungsgrößen entstehen Flussgebietsmodelle, die für eine Fläche von mehreren tausend km2 anwendbar sind. Mit steigender Komplexität der Modelle steigt auch die Anzahl der benötigten Modellparameter, die im Zuge einer Modellkalibrierung optimiert werden müssen. Dazu sind Beobachtungsdaten der Modellgrößen notwendig. Von der Bereitstellung dieser Beobachtungsdaten hängt u.a. die Wahl der Modellkonzeption ab. Für die Anwendung von Flussgebietsmodellen gibt es zahlreiche kommerziell verfügbare Computerprogramme. Einige sind in DYCK, 1975 angeführt.


Seite 9-13

9.6 Literatur BECKER, A. (1975): EGMO - Einzugsgebietsmodelle zur Abflussberechnung, -vorhersage und -

simulation. WWT 25 / 9. S316-322.

BRETSCHNEIDER, H., LECHER, K., SCHMIDT, M. (1992): Taschenbuch der Wasserwirtschaft. 7.Aufl. Paul Parey, Hamburg.

DOOGE, J.C.I. (1950): A General Theory of the Unit Hydrograph. Journal of Geophysical Research, Vol. 64

DYCK, S.(1978): Angewandte Hydrologie, Teil II. Der Wasserhaushalt der Flussgebiete. VEB Verlag für Bauwesen. Berlin.

KIRPICH,Z.P.(1940):Time of Concentration of Small Agricultural Watersheds. Civ. Eng., Am. Soc. Civ. Engrs., vol. 10, p. 362

LUDWIG, K. (1978): Systematische Berechnung von Hochwasser-Abflussvorgängen mit Flussgebietsmodellen. Mitteilung des Inst. f. Wasserwirtschaft, Hydrologie und Landwirtschaftlichen Wasserbau der Univ. Hannover. Heft 45. Hannover.

LUDWIG. K. (1979): Hydrologische Verfahren und Beispiele für die wasserwirtschaftliche Bemessung von Hochwasserrückhaltebecken. DVWK Schriftenreihe, Heft 44. Paul Parey, Hamburg.

NASH, J.E., SUTCLIFFE,J.V. (1970): River Flow Forecasting Through Conceptual Models. Journ. of. Hydr. 10 / 3. S.282-290.

SCHULTZ. G.A. (1968): Bestimmung theoretischer Abflussganglinien durch elektronische Berechnung von Niederschlagskonzentration und Retention (Hyreun-Verfahren). Versuchsanstalt für Wasserbau, Bericht Nr.11, TU München.

US CORP OF ENGINEERS (1973): Manual zum Computerprogramm HEC-1.


Seite 9-14

10 Retention und Flood Routing

Seite 10-1

10 RETENTION UND

FLOOD ROUTING

10.1 Allgemeines ................................................................................. 10-3

10.2 Stehende Retention (Seeretention) ............................................ 10-4

10.2.1 Gesetzmäßigkeiten der stehenden Retention ................................................10-4

10.2.2 Berechnungsmethoden ..................................................................................10-5

10.2.2.1 Iterationsverfahren ................................................................................................................ 10-6

10.2.2.2 Verfahren nach PULS (Ludwig, 1979) .................................................................................. 10-7

10.2.2.3 Graphisches Verfahren nach PULS ..................................................................................... 10-8

10.2.3 Anwendung der stehenden Retention und Diskussion ...................................10-9

10.3 Fließende Retention .................................................................. 10-10

10.3.1 Hydraulische Verfahren ................................................................................10-11

10.3.2 Hydrologische Verfahren ..............................................................................10-12

10.3.2.1 Muskingum-Verfahren ........................................................................................................ 10-12

10.3.2.2 Kalinin-Miljukov-Verfahren (Rosemann, 1970) ................................................................... 10-14

10.3.3 Anwendung der fließenden Retention und Diskussion .................................10-17

10.4 Literatur ...................................................................................... 10-18


Seite 10-2


ABB. 10.1 STEHENDE RETENTION (ZU- U. ABFLUSSGANGLINIE) ...................................... 10-4

ABB. 10.2 RETENTIONSCHARAKTERISTIK EINES RÜCKHALTEBECKENS ......................... 10-5

ABB. 10.3 SCHLÜSSELKURVE UND SPEICHERINHALTSLINIE ............................................ 10-6

ABB. 10.4 RETENTIONSRECHNUNG NACH NÄHERUNGS- UND ITERATIVEM VERFAHREN ............................................................................................................................. 10-7

ABB. 10.5 ERSTELLEN EINER BEZIEHUNG ........................................................................... 10-8

ABB. 10.6 GRAPHISCHE LÖSUNG DER STEHENDEN RETENTION NACH VERFAHREN PULS .................................................................................................................. 10-9

ABB. 10.7 ZU- UND ABFLUSSGANGLINIE BEI FLIEßENDER RETENTION ......................... 10-10

ABB. 10.8 GLIEDERUNG DER VERFAHREN ZUR WELLENABLAUFBERECHNUNG .......... 10-10

ABB. 10.9 GEOMETRISCHE VERHÄLTNISSE IN EINEM FLUSSABSCHNITT ..................... 10-12

ABB. 10.10 GRAPHISCHE ERMITTLUNG VON X UND K ...................................................... 10-14

ABB. 10.11 STATIONÄRE UND INSTATIONÄRE SCHLÜSSELKURVE (PEGELHYSTERESE) ............................................................................................................. 10-15

ABB. 10.12 HALBGRAFISCHE ERMITTLUNG DER SPEICHERKONSTANTEN K ................ 10-16


Seite 10-3

10.1 Allgemeines

In diesem Kapitel wird die Retention von Abflusswellen beschrieben. Unter Retention versteht man eine Dämpfung (Reduktion der Spitze) und zeitliche Verschiebung einer Abflusswelle. Retention kann in natürlichen Seen und Speichern (stehende Retention) und in Fließstrecken (fließende Retention) erfolgen. Die Gesetzmäßigkeiten und somit auch die Berechnungsverfahren von stehender und fließender Retention sind unterschiedlich. Erstere wird bei der Bemessung von Hochwasserrückhaltebecken angewandt, letztere bei der Berechnung der Wellenverformung innerhalb von Flussabschnitten unter Berücksichtigung von Überflutung sowie bei Prognoseberechnungen im Zuge von Hochwasservorhersagen.


Seite 10-4

10.2 Stehende Retention (Seeretention)

10.2.1 Gesetzmäßigkeiten der stehenden Retention

Die stehende Retention stellt einen Sonderfall des HW-Wellenablaufs dar, nämlich die Dämpfung der Abflusswelle durch einen Speicher oder in einem See.

Durch die Speicherwirkung großer Wasserflächen (Seen, Retentionsbecken) besteht ein Unterschied zwischen der Form der zufließenden (QZ) und der abfließenden Hochwasserwelle (QA). Das ganze Einzugsgebiet eines Fließgewässers kann berücksichtigt werden indem der (hypothetische) Speicher am Gebietsauslass positioniert wird. Als charakteristisches Merkmal der stehenden Retention erweist sich, dass bei graphischer Gegenüberstellung von Zu- und Abflusswelle der Scheitel der Abflussganglinie auf dem abfallenden Ast der Zuflussganglinie liegt. Die Bilanzgleichung in kontinuierlicher Form bzw. in diskreter Form für ein Zeitintervall dt lauten:

dt

tdStQtQ AZ

)()()(

tttStSttQtQttQtQ AAZZ /)]()([2/2/

Glg. 10.1

wobei

tQZ ..... Zufluss zum Zeitpunkt t

)(tS ........ Speicherinhalt

tQA ..... Abfluss zum Zeitpunkt t

Abb. 10.1 Stehende Retention (Zu- u. Abflussganglinie)


Seite 10-5

10.2.2 Berechnungsmethoden

Die Berechnung der stehenden Retention ist bei der Bemessung von Hochwasserrückhaltebecken nötig, dabei werden dieselben Grundsätze angenommen wie bei der natürlichen Seeretention. Zur Bestimmung der stehenden Retention gibt es

rechnerische Verfahren wie

die Näherungsberechnung,

das Iterationsverfahren,

die Methode nach PULS (Modified PULS Method)

oder graphische Verfahren wie

das Verfahren WILSON,

das Verfahren SORENSEN oder

das Verfahren SCHAFFERNAK

Seit dem effizienten Einsatz der EDV treten jedoch die graphischen Verfahren in den Hintergrund. Abb. 10.2 zeigt die Retentionscharakteristik eines Rückhaltebeckens. Diese hängt wesentlich von der konstruktiven Ausbildung der Entlastungsbauwerke ab.

Abb. 10.2 Retentionscharakteristik eines Rückhaltebeckens

Ein Anordnungsbeispiel mit der Kombination von Betriebsauslass (Grundablass), Dauerstau-Überfall und Hochwasserentlastung und den dazugehörigen Abflusskurven, Speicherinhaltslinie und Speicherkoeffizient k=f(h) ist in dargestellt.(a) Systemskizze, (b) Abflusskurve, (c) Speicherinhaltslinie, (d) Speicherfunktion


Seite 10-6

10.2.2.1 Iterationsverfahren

Bei der iterativen Berechnung wird von Glg. 10.2 ausgegangen. Als Ausgangsdaten stehen die Zuflussganglinie, die Speicherinhaltslinie, die Abflusskurve sowie ein Startwert des Abflusses zur

Verfügung. Gesucht wird der Abfluss QA(t+ t) am Ende des Zeitintervalls.

Ausgehend von einem geschätzten Abflusswert QÁ(t+ t) wird gemäß Glg. 10.2 der Speicherinhalt

S´(t+ t) berechnet. Aus der Abflussbeziehung und der Speicherinhaltsbeziehung kann ebenfalls

ein aktueller Speicherinhalt S´´(t+ t) ermittelt werden. Sind Súnd S´´ ident bzw. liegen die Werte

innerhalb eines Toleranzbereiches, so wurde der geschätzte Abflusswert QÁ (t+ t) gut getroffen,

sind die Abweichungen größer, so muss mit einem neuerlichen Wert QÁ(t+ t) der Rechengang wiederholt werden.

Abb. 10.3 Schlüsselkurve und Speicherinhaltslinie

tStttQttQtQtQttS AZAZ 2 Glg. 10.2

S(t) Speicherinhalt zum Zeitpunkt t

Vorgangsweise: 1.) Wasserspiegelhöhe h zum Zeitpunkt t+ t annehmen

2.) QA(t+ t) ermitteln und S‘(t+ t) berechnen

3.) S‘‘(t+ t) aus Diagrammen mit angenommenem h entnehmen

4.) S‘ und S‘‘ vergleichen - Werte sollen bis auf einen kleinen Restfehler übereinstimmen. Ansonsten weiter iterieren.

Die Berechnungen nach dem Näherungsverfahren bzw. nach dem iterativen Verfahren liefern ähnliche Ergebnisse (vgl. Abb. 10.4).


Seite 10-7

Abb. 10.4 Retentionsrechnung nach Näherungs- und iterativem Verfahren

10.2.2.2 Verfahren nach PULS (Ludwig, 1979)

Bei diesem Verfahren kann eine Iteration umgangen werden, indem die Kontinuitätsgleichung in nachfolgende Gleichung umgewandelt wird:

2

)()(

2

)()(

2

)()( ttQtQtQ

t

tSttQ

t

ttS ZZAA Glg. 10.3

wobei

t , tt ..... Indizes für Zeitpunkt

Bei dieser Darstellung der Speichergleichung stehen die unbekannten Glieder auf der linken Seite. Da der Abfluss QA und der Speicherinhalt S über den Wasserstand eindeutig verknüpft sind, kann eine eindeutige Beziehung zwischen QA und S aufgestellt werden. Unabhängig vom Zeitpunkt

wähle man aus Abb. 10.5 ein QA und ermittle den zugehörigen Speicherstand S. Sodann kann S/ t

– QA/2 und S/ t + QA/2 berechnet werden, und in der Folge die beiden Funktionen (siehe Glg. 10.4)

2

)(/

)( tQ

t

tSfQ A

A Glg. 10.4

und somit der linke Term von Glg. 10.3 aus der Relation zu QA ermittelt werden. Da diese Funktion zumeist anhand diskreter Punktwerte vorliegt, wird diese Methode oft auch den graphischen Verfahren zugeordnet (siehe Kap.10.2.2.3).


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Abb. 10.5 Erstellen einer Beziehung 2

)(/

)( tQ

t

tSfQ A

A

Die schrittweise Vorgangsweise bei der Anwendung des Verfahrens nach PULS lautet:

Berechnung der Beziehung Glg. 10.4 aus bekannten Kenngrößen des Rückhaltebeckens. (Speicherinhalt, Wasserstand, Überfallgeometrie) bei diskreten

Zeitschritten t.

QA(t) für den ersten Zeitschritt wird Stationärität angenommen [QZ(t=1)=QA(t=1)].

Berechnen von 2

)()( tQ

t

tS A aus Funktion Glg. 10.4.

Alle weiteren Zeitschritte nach Glg. 10.3.

10.2.2.3 Graphisches Verfahren nach PULS

Eine Skizze der graphischen Lösung ist in Abb. 10.6. dargestellt. Dabei ist nach folgenden Schritten vorzugehen:

Horizontale durch QA(t).

Schnitt der Horizontalen mit f"(Q´).

Addition von Q´ und QZm

Zugehörigen Wert von f´(Q´) ermitteln.

Horizontale mit Zeitwert t+ t schneiden und QA(t+ t) ablesen.


Seite 10-9

Abb. 10.6 Graphische Lösung der stehenden Retention nach Verfahren PULS

10.2.3 Anwendung der stehenden Retention und Diskussion

Die Berechnung der stehenden Retention findet in der Bemessung und Festlegung der Betriebsweise von Retentionsbecken Verwendung. Ziel ist die Berechnung des Abflusses aus dem Retentionsbecken wobei folgende Kenngrößen bekannt sein müssen:

Beckeninhaltslinie S=f(h). Sie kann z.B. aus einem Höhenschichtplan ermittelt werden.

Abflusskurve QA=f(h). Aus hydraulischer Berechnung oder aus Modellversuch.

Zuflussganglinie QZ=f(t). Aus Messungen oder durch Datensimulation (synthetische Ganglinie).

Anfangswert des Abflusses QA oder der Speicherfüllung S.

Bei diskreten Modellen ist auf die Wahl des Berechnungszeitschrittes Bedacht zu nehmen, um numerische Unsicherheiten zu verhindern. Dies gilt insbesondere bei rascher Änderung von h (bei kleinen Speicherflächen). Graphische Verfahren werden heute primär zur Vorabschätzung der Retentionswirkung verwendet, detaillierte Berechnungen erfolgen mit Hilfe von Computern.

QZm

QZm


Seite 10-10

10.3 Fließende Retention

Die fließende Retention beschreibt den Abflussvorgang einer Hochwasserwelle entlang einer Fließstrecke. Dieser Vorgang ist durch Retentions- und Translationsprozesse bestimmt. Retention ergibt sich aus der Reibung und Ausuferung, Translation durch die Massenbewegung des Abflusses zwischen zwei Bezugspegel.

Abb. 10.7 Zu- und Abflussganglinie bei fließender Retention

Der Ablauf von Hochwasserwellen ist ein instationärer Vorgang, in dem sich die Parameter Fließgeschwindigkeit v(t,x) und Wasserstand W(t,x) als Funktionen von Ort und Zeit darstellen (Abb. 10.7). Für die Berechnung des Wellenablaufs, auch als Flood Routing bezeichnet, sind Daten der Gerinnegeometrie, Randbedingungen h1 (t) und Anfangsbedingungen h(x=0,t=0) notwendig. Ziel von Flood Routing Verfahren ist die Berechnung der Abflussganglinie an einem Bezugspunkt anhand einer Abflussganglinie an einem oberliegenden Pegel. Dies ist z.B. für die Bemessung von Hochwasserschutzmaßnahmen (Dämme) oder für ein Hochwasserwarnsystem notwendig.

Die Einteilung der Berechnung der fließenden Retention erfolgt nach hydraulischen und hydrologischen Verfahren und ist in nachfolgender Abb. 10.8 skizziert.

Abb. 10.8 Gliederung der Verfahren zur Wellenablaufberechnung


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10.3.1 Hydraulische Verfahren

Hydraulische Verfahren zur Berechnung der instationären Gerinneströmung bedienen sich der Lösung der St.Venant Gleichungen. Es sind dies die Kontinuitätsgleichung (Glg. 10.5) und die Energiegleichung (Glg. 10.6) bzw. (Glg. 10.7).

Q

x

A

tQs

Glg. 10.5

wobei

Q ....... Abfluss

x ........ Längsrichtung des Abflusses

A ....... durchströmter Querschnitt

t ......... Zeit

Qs ...... seitlicher Zufluss im Abschnitt δx

v

tv

v

xg

h

xI gE 0 Glg. 10.6

bzw. bei v=Q/A

102A

Q

t

Q

A

A

t

Q

A

A

t

Q

A

A

tg

h

xg IE Glg. 10.7

wobei

h ........ Wasserspiegelhöhe

IE ....... Energieliniengefälle

v ........ Fließgeschwindigkeit

Für die Gültigkeit der St. Venant Gleichungen werden folgende Annahmen getroffen:

An der Gerinnewandung wirken nur Schwerkraft und Reibungskräfte.

Die Wellen sind Translationswellen (Transport von Masse und Energie).

Die Geschwindigkeitsverteilung über den Querschnitt ist gleichmäßig, die Strömung eindimensional.

Wasser wird als ideale Flüssigkeit (keine innere Reibung) angenommen.

Die Wandreibung (Rauhigkeit) ist für jeden Wasserstand konstant.

Lateralströmungen in Querschnittsrichtung werden vernachlässigt.

Die möglichen Lösungsverfahren für die nicht geschlossen integrierbare St.Venant Gleichungen werden in Abb. 10.8 angeführt. Weit verbreitet sind die Lösungsansätze nach den direkten Differenzenverfahren. Dabei werden sowohl die Ort- wie auch die Zeitableitungen als diskrete Differenzen angeschrieben und einer expliziten oder impliziten Lösung zugeführt.

Die Vorteile der hydraulischen Verfahren liegen in der hohen Genauigkeit der Ergebnisse und der Möglichkeit, (Bauliche) Änderungen im System exakt zu berücksichtigen. Als Nachteil kann der


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große Datenaufwand (Gerinnegeometrie, Rauhigkeiten, etc.) gelten. Dies macht den Einsatz der EDV für hydraulische Modelle notwendig.

Weitere hydraulische Verfahren sind die Diffusionsanalogie und die Kinematische Welle. Erstere Methode vernachlässigt die Trägkeitsterme und wird bei regelmäßigen Gerinnen und langsam ansteigenden Wellen verwendet. Letztere Methode beschreibt nur die reine Translation der Welle und findet daher nur bei steilen Gerinnen ohne Rückstaueffekten Anwendung.

10.3.2 Hydrologische Verfahren

Sämtliche Hydrologische Verfahren berücksichtigen die Kontinuitätsbedingung in Form der nachstehenden Retentionsgleichung

dt

dStQtQ AZ )()( Glg. 10.8

Die Bewegungsgleichung wird durch empirische Volumen-Abfluss Beziehungen charakterisiert. Diese Beziehungen werden anhand von beobachteten Abflusswellen geeicht. Bei Änderungen im System sind sie zumeist nicht mehr gültig und müssen neu erstellt werden. Dennoch finden diese Verfahren aufgrund der einfachen Handhabung und der eingeschränkten Datenerfordernisse häufige Anwendung.

10.3.2.1 Muskingum-Verfahren

An Stelle der Energiegleichung bei den hydraulisch numerischen Verfahren wird hier als zweite Gleichung wieder eine Beziehung zwischen S, QA und auch QZ etabliert. Das Speichervolumen S wird beim Muskingum-Verfahren als das Wasservolumen in einem Flussabschnitt der Länge l angesehen. Gesucht ist der Abfluss im Profil AA (Vergleiche Abb. 10.9).

lAAlAS AZA2

1 Glg. 10.9

Durch Einsetzen der Kontinuitätsbedingung A=Q/v erhalten wir

v

lQQ

v

lQS AZA

2

1 Glg. 10.10

Abb. 10.9 Geometrische Verhältnisse in einem Flussabschnitt

Die Laufzeit des Wassers durch den Fließabschnitt beträgt l/v und wird per Definitionem als Speicher- oder Retentionskonstante k bezeichnet. Die lineare Speicherbeziehung wird beim Muskingum-Verfahren um einen instationären Anteil erweitert. In allgemeiner Schreibweise wird

AZ

AA

t

S


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die Größe dieses Anteils mit x bezeichnet. Der Faktor x=1/2 aus Glg. 10.9 und Glg. 10.10 ergibt sich aus der Dreieckfläche in Abb. 10.9 und gilt theoretisch nur für Rechteckgerinne. Bei anderen Gerinneformen nimmt dieser Faktor andere Größen an, die in der Regel zwischen 0 und 1 liegen. Somit ergibt sich der Muskingum Ansatz durch folgende Gleichung

xkQxkQQkS ZAG 1 Glg. 10.11

Wobei:

k......... Retentionskonstante (bei stehender Retention: x=0) QG...... Gewichteter Abfluss x......... Dimensionsloser Anpassungsparameter

Durch Einsetzen dieser Speichergleichung in die Kontinuitätsgleichung (Glg. 10.8) erhält man die Differentialgleichung

dt

dQ

x

x

xk

Q

xk

Q

dt

dQ ZZAA

111 Glg. 10.12

Nach numerischer Integration erhält man folgende Arbeitsgleichung mit der schrittweise für jedes

t eine Berechnung des Ablusses QA(t+ t) erfolgt: :

)()()()( 321 tQCtQCttQCttQ AZZA Glg. 10.13

mit

]5,0)1(/[]5,0[1 txktkxC

Glg. 10.14

]5,0)1(/[]5,0[2 txktkxC

]5,0)1(/[]5,0)1([3 txktxkC

1321 CCC

Die Schätzung der Parameter k und x erfolgt anhand mehrerer beobachteter Abflusswellen. Dies kann durch Optimierung (kleinste Fehlerquadrate) oder auch graphisch erfolgen.

Man berechnet unter Verwendung verschiedener x-Werte den Speicherinhalt gemäß Glg. 10.11. In einem Diagramm werden die Summe dieses Speichervolumens gegen das beobachtete Speichervolumen aufgetragen. Jene Variante mit der geringsten Schleife entspricht dem gesuchten x-Wert. Die Speicherkonstante k errechnet sich aus der Steigung der Ausgleichsgeraden (vergleiche Abb. 10.10).


Seite 10-14

Abb. 10.10 Graphische Ermittlung von x und k

Größe von x:

für frei fließende Gewässer gilt: 0 < x < 0,5 bei x = 0...... Seeretention

bei x = 0,5....reine Translation

bei x 0,3....natürliches Gerinne

Zusammenhang zwischen k und x:

k und x bestimmen die Form der Hochwasserwelle. Ein Anwachsen von k bei konstantem x bedeutet eine stärkere Abflachung der HW-Welle. Ein Anwachsen von x bei konstantem k bedeutet eine größere zeitliche Verschiebung.

Nachteile des Muskingum-Verfahrens:

Es ist ein Black Box Modell. Bauliche Veränderungen können nicht berücksichtigt werden ohne eine neuerliche Anpassung der Parameter vorzunehmen.

Es darf im betrachteten Gebiet keinen Zubringer zum Hauptfluss geben.

10.3.2.2 Kalinin-Miljukov-Verfahren (Rosemann, 1970)

Das Kalinin-Miljukov-Verfahren baut auf einer anderen Datenbasis auf als das Muskingum-Verfahren. Beim Kalinin-Miljukov-Verfahren wird eine eindeutige Volumen-Abflussbeziehung in Form einer linearen Speicherbeziehung angesetzt:

S k QA Glg. 10.15


Seite 10-15

Abb. 10.11 Stationäre und instationäre Schlüsselkurve (Pegelhysterese)

Tatsächlich existiert jedoch bei instationärer Gerinneströmung eine Abflusshysterese, d.h. beim Anlaufen der Welle wird bei gleichem Wasserstand h ein höherer Abfluss als im stationären Fall gemessen, beobachtet. Umgekehrt wird nach Durchlaufen der Welle im abfallenden Ast ein nideriger Abfluss als stationär gemessen. Diese Instationarität wird beim Kalinin-Miljukov-Verfahren umgangen, indem der Gerinneabschnitt in mehrere Teilabschnitte mit quasistationärem Abfluss unterteilt wird. Dadurch entsteht eine eindeutige Beziehung Wasserstand-Abfluss.

Nimmt man an, dass ein einheitliches Profil im Gewässerabschnitt besteht und dass beim Anlaufen der Welle flussauf (in Distanz l) bereits ein höherer Wasserstand gemessen wird h‘, so kann näherungsweise mit diesem Wasserstand am Auslaufprofil mit der stationären Schlüsselkurve der Abfluss ermittelt werden. Die charakteristische Länge L=2l des Flussabschnittes wird durch nachstehende Formel berechnet:

StSt

St

dQ

dh

I

QQL Glg. 10.16

Der Index St gibt an, daß die stationäre Schlüsselkurve zu verwenden ist. Der Abfluss Q wird als stationär angenommen und kann daher nach der bekannten STRICKLER-Formel berechnet werden. Die Länge L ist vom Abflussquerschnitt, d.h. vom Abfluss abhängig. Die Berechnung erfolgt daher für verschiedene diskrete Abflussklassen, L errechnet sich durch Mittelung der Li. Dabei sind aber eher die höheren Abflüsse wesentlich.

Für den Fall, dass sich die Überschwemmungsflächen nicht zu stark ändern, beträgt für einen bestimmten Wasserstand h die dazugehörige Wasserspiegelbreite Bm, sodass die Speicherkonstant k auf folgenden Weg abgeleitet werden:

dQ

dhLBk m Glg. 10.17

h‘ h‘

Qst Q(h‘) Qis


Seite 10-16

Die Speicherkonstante k kann auch aus Glg. 10.18 berechnet werden aus:

2132 IRKvAQ str

LAS

AQ

Sk

Glg. 10.18

Abb. 10.12 Halbgrafische Ermittlung der Speicherkonstanten k

Ein gesamter Flussabschnitt besteht somit aus zahlreichen quasistationären Teilabschnitten. Die Berechnung erfolgt in der Weise, dass der Ausfluss aus dem oberliegenden Teilabschnitt als Zufluss für den nachfolgenden Abschnitt eingesetzt wird.

Die Berechnung des Ausflusses eines charakteristischen Abschnittes ergibt sich mit:

21211112 )()( KQQKQQQQ ZZAZAA

t

eK 11

112 Kt

K

Glg. 10.19

Durch die Unterteilung in mehrere Fließabschnitte bietet das Kalinin-Miljukov-Verfahren die Möglichkeit bauliche Änderungen im System mit einzubeziehen. Die Kalibrierung der Parameter L und k sollte auch hier anhand gemessener Abflusswerte erfolgen. Gemäß den Modellannahmen wird das Kalinin-Miljukov-Verfahren am wirksamsten für Gerinnestrecken mit wenig veränderlicher Querschnittsform und breiter Sohle verwendet. Der Rechenaufwand dieses Verfahrens ist im Vergleich zum Muskingum-Verfahren etwas größer. Dies ist jedoch durch die Verwendung der EDV von untergeordneter Bedeutung.

Falls sämtliche Teilabschnitte eine gleiche Speicherkonstante k aufweisen, so entspricht das Kalinin-Miljukov-Verfahren einer Linearspeicherkaskade nach Nash (Vergleiche Kap. 9.2.2.1).


Seite 10-17

10.3.3 Anwendung der fließenden Retention und Diskussion

Die fließende Retention beschreibt die Wellenverformung in Gerinne. Demgemäß findet ihre Berechnung bei der Beschreibung des Abflussverhaltens entlang einer Fließstrecke (Flood Routing) Verwendung. Die Berechnung erfolgt mittels hydraulischer oder hydrologischer Verfahren. Letztere sind weniger rechenaufwendig, haben jedoch Einschränkungen in ihrer Anwendung. So können Änderungen in der Gerinnegeometrie nicht erfasst werden. Weiters ist es schwierig, komplexe Abflusssysteme (Verzweigungen, Ausuferung, Zuflüsse, Teileinzugsgebiete) zu berücksichtigen.

Der Abfluss aus Zwischeneinzugsgebieten kann dadurch berücksichtigt werden, indem die Inputfunktion (Zuflussganglinie) des Systems um einen Abflussbeiwert (Verhältnis Zufluss/Abfluss) erhöht wird.

Eine weitere große Bedeutung haben Flood Routing Modelle für die Online-Prognose von Hochwasserereignissen. Dabei wird anhand der Abflussentwicklung an einem Oberliegerpegel auf die Abflusssituation am Bezugsort geschlossen. Bei Hochwassergefahr verbleibt eine Zeitspanne (Wellenfließzeit) für Abwehrstrategien (Vorabsenkung eines Retentionsbeckens, Warnung von Anliegern, etc.).


Seite 10-18

10.4 Literatur

BRETSCHNEIDER, H., LECHER, K., SCHMIDT, M. (1992): Taschenbuch der Wasserwirtschaft. 7.Aufl. Paul Parey, Hamburg.

CHOW, V.T. (1964): Handbook of applied Hydrology. McGraw Hill, New York.

LUDWIG, K. (1979): Hydrologische Verfahren und Beispiele für die wasserwirtschaftliche Bemessung von Hochwasserrückhaltebecken. DVWK Schriftenreihe, Heft 44. Paul Parey, Hamburg.

MANIAK, U. (1992): Hydrologie und Wasserwirtschaft. Eine Einführung für Ingenieure. Springer-Verlag, Berlin.

PLATE, E. & SEUS, G. (1977): Ablauf von Hochwasserwellen in Gerinnen. Schriftenreihe des dt. Verb. f. Wasserwirtschaft und Kulturbau. Heft 27. Parey, Hamburg.

ROSEMANN, H.J., VEDRAL, J. (1970): Das Kalinin-Miljukov Verfahren. Schriftenreihe der Bayrischen Landesstelle für Gewässerkunde München. Heft 6. UNI-Druck München.

WACKERMANN, R. (1980): Wellenablauf mit Berücksichtigung von Sonderfällen, In Operationelle Wasserstands- und Abflussvorhersage. Schriftenreihe des dt. Verb. f. Wasserwirtschaft und Kulturbau. Heft 51. Parey, Hamburg.

11 Hydrologische Vorhersagen

Seite 11-1

11 HYDROLOGISCHE VORHERSAGEN

11.1 Zielsetzung..................................................................................................11-3

11.2 Einsatzbereich von Abflussprognosemodellen........................................11-4

11.3 Arten der Prognosemodelle ......................................................................11-5 11.3.1 Prinzip der Abflussprognose .................................................................................................... 11-5 11.3.2 Abflussprognose und Hochwasserschutz ................................................................................. 11-6

11.4 Komponenten eines Echtzeit-Vorhersagesystems ..................................11-8 11.4.1 Daten......................................................................................................................................... 11-9 11.4.2 Überblick über Modelle.......................................................................................................... 11-10

11.4.2.1 Rein deterministische Modelle ....................................................................................... 11-10 11.4.2.2 Hybride stochastisch-deterministische Modelle (Transfer Funktion)............................. 11-10

11.5 Prinzip und mathematische Formulierung gebräuchlicher Modelle .11-11 11.5.1 Pegelkorrelationen.................................................................................................................. 11-11 11.5.2 Transfer Funktionen ............................................................................................................... 11-12

11.6 Anwendungsbeispiel: Abflussprognosemodell Enns ............................11-13 11.6.1 Implementation der Prognosekorrektur .................................................................................. 11-13 11.6.2 Ermittlung der Transferfunktion............................................................................................. 11-13 11.6.3 Korrektur der Tagesprognose ................................................................................................. 11-14

11.7 Unsicherheiten in der Prognose - Ensemble Vorhersagen ..................11-17

11.8 Literatur....................................................................................................11-18


Seite 11-2


ABB 11.1: SCHEMA DER ABFLUSS PROGNOSE (AUS HOLZMANN, 2001). ................................... 11-5 ABB 11.2: ABLAUFSCHEMA EINES HOCHWASSERFRÜHWARNSYSTEMS.................................. 11-7 ABB 11.3: ZEITLICHE UND RÄUMLICHE ZUSAMMENHÄNGE IN VORHERSAGESYSTEMEN . 11-8 ABB 11.4: DURCHFLUSSVERLAUF AN DER NIEDERÖSTERREICHISCHEN DONAU................ 11-11 ABB 11.5: KORREKTUR DER MITTELFRISTIGEN PROGNOSE ...................................................... 11-15 ABB 11.6: KORREKTUR DER KURZFRISTIGEN PROGNOSE .......................................................... 11-16 ABB 11.7: BEOBACHTETER, SIMULIERTER UND PROGNOSTIZIERTER ABFLUSS,

PEGEL WINDPASSING ................................................................................................................... 11-17

Tabellenverzeichnis

TAB 11.1: ERWÜNSCHTE MESSGENAUIGKEIT UND ABLESEFREQUENZ DER DATEN FÜR HYDROLOGISCHE VORHERSAGEN (NEMEC, 1986) ........................................................ 11-9

TAB 11.2: BEURTEILUNG DER PROGNOSEKORREKTUR ANHAND DER STANDARDABWEICHUNGEN (M3/S) DER ABFLUSSDIFFERENZEN.......................... 11-14


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11.1 Zielsetzung Der Begriff Prognose wird in der Hydrologie mit einer sehr unterschiedlichen Bandbreite an Bedeutungen gebraucht. Das Ziel fast aller hydrologischen Modelle ist eine Aussage über das zukünftige Verhalten eines hydrologischen Systems. Das kann eine Echtzeitvorhersage mit unterschiedlicher Prognosedauer sein (engl. forecasting), aber auch eine Vorhersage ohne spezifische Zeitangabe, wie z.B. die Angabe des HQ100 (engl. prediction). Für beide Probleme sind eine Vielzahl unterschiedlicher Modelltypen verfügbar.

Ziel dieses Kapitels ist ein systematischer Überblick über die vorhandenen Modelle, wobei der Schwerpunkt auf der Klassifizierung liegt, also

• online (Echtzeit) versus offline

• Zeithorizont (kurz, mittel, lang)

• Datenbedarf (zeitlich, räumlich)

• "Gedächtnislänge".

Lehrziel: Systematischer Überblick über hydrologische Modelle zur Prognose. Darauf aufbauend sollte es möglich sein, ausgehend von einer Problemdefinition, die Modellklasse und ein passendes Modell auszuwählen.


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11.2 Einsatzbereich von Abflussprognosemodellen In den letzten Jahren rückten verstärkt Meldungen über katastrophale Hochwässer in Europa ins Bewusstsein der Bevölkerung. Die Gründe des medialen Interesses liegen in den steigenden Hochwasserschäden und der oft spekulativen Aussage über mögliche Ursachen. Dabei werden häufig anthropogen bedingte Klimaänderung als mögliche Ursache angeführt.

Mit dem Auftreten großer Hochwässer wird auch der Ruf nach präventiven Maßnahmen hörbar, um eine Reduktion der Schäden zu ermöglichen. Dies bedingt neben anderen Maßnahmen den Einsatz funktionierender Abflussprognosemodelle, gekoppelt mit Frühwarnsystemen, welche rasche Notmaßnahmen ermöglichen.

Neben dem primären Einsatz zur Hochwasservorhersage finden Abflussprognosemodelle auch Verwendung in anderen Bereichen. Dabei ist insbesondere die Vorhersage der Wasserkrafterzeugung von großer Bedeutung. Im bestehenden internationalen Energieverbund ist die Kenntnis des zu erwartenden Erzeugungspotentials der unmittelbaren Zukunft eine wichtige Entscheidungsgrundlage für die Disposition hydroelektrischer Energie und bietet Wettbewerbsvorteile am internationalen Energiemarkt. Die nachfolgenden Ausführungen nehmen zum Teil Bezug auf ein Forschungsprojekt in diesem Umfeld, welches von der Österreichischen Verbund AG beauftragt wurde. Dabei waren Experten der Zentralanstalt für Meteorologie und Geodynamik, der Technische Universität Wien und der Universität für Bodenkultur mit der Entwicklung eines Abflussprognosemodells für die Einzugsgebiete der Österreichischen Donau betraut. Die Ergebnisse des Projektes liegen als Berichte beim Auftraggeber vor (NACHTNEBEL et al., 2000), die direkte operationelle Umsetzung ist bereits erfolgt.

Neben den bereits genannten Einsatzbereichen wird die Abflussprognose auch für die Binnenschifffahrt, der Speicherbewirtschaftung und – in Kombination mit Schneeschmelzmodellen – für die Abschätzung von Trinkwasserreserven (Schneedeposition) angewandt (BLÖSCHL et al., 1993).

Ziel dieses Beitrages ist der Vergleich zweier hydrologischer Vorhersagemodelle in ihrer Anwendung in einem alpinen Einzugsgebiet. Da die Fliesszeiten etwa im Bereich eines Tages liegen, werden hydrometeorologische Informationen für den Modellinput, das ist Niederschlag und Temperatur, benötigt. Das erste Modell ist ein einfaches statistisches Modell, das die gewichteten und akkumulierten Niederschläge der Vortage in eine lineare Beziehung zu den Abflüssen setzt. Als zweites Modell wird ein konzeptiver Ansatz gewählt, der aus zwei Speichern besteht, deren Abflüsse unterschiedliche Dynamik aufweisen (HOLZMANN und NACHTNEBEL, 2001).


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11.3 Arten der Prognosemodelle

11.3.1 Prinzip der Abflussprognose Ziel von Abflussprognosen ist die Vorhersage von Abflüssen für zukünftige Zeitpunkte, sowie Angaben über die Zuverlässigkeit der Aussage. Beobachtungen des Abflusses oder des Wasserstandes direkt am Bezugspegel ermöglichen ohne Hinzunahme weiterer Informationen lediglich eine Extrapolation der zukünftigen Abflüsse, während Ereignisse, die bereits im Oberlauf eingetreten sind, mangels Information unberücksichtigt bleiben. Lediglich das Festlegen von Schwellenwerten und deren Überschreitung kann als Indikator für Maßnahmen herangezogen werden (vergleiche Abb 11.1:).

Abb 11.1: Schema der Abfluss Prognose (aus HOLZMANN, 2001).

Bestehen Abflussbeobachtungen an Oberliegerpegeln, so kann diese Information ergänzend zur Abschätzung der Abflussentwicklung am Bezugspegel herangezogen werden. Dabei entspricht die Verlängerung des Prognosehorizonts der Wellenfließzeit zwischen Oberliegerpegel und Bezugspegel. Diese Zeitspanne kann Stunden (z.B. Donau) bis zu mehreren Tagen an Tieflandflüssen (z.B. Oder) betragen. Die Berechnung der Translation von Oberliegerpegel zum Bezugspegel kann mit Hilfe von statistischen Verfahren – z.B. einem Regressionsmodell unter Berücksichtigung der Zeitverzögerung – oder mit hydrologischen oder hydraulischen Wellenablaufmodellen erfolgen.

Eine weitere Verlängerung des Prognoseintervalls wird durch Berücksichtigung des Niederschlags im Einzugsgebiet ermöglicht. Dabei wird der Prognosezeitraum um die Zeitspanne der Abflussbildung verlängert. Anwendungen finden dabei die verschiedenen Verfahren der Niederschlags-Abfluss Modellierung. Dabei ist vor allem zwischen den kontinuierlichen und den

Oberliegerpegel:- Wellenablaufmodellierung- Statistische Verfahren

Niederschlag :- NA-Modell- Schneeschmelzmodell- Wellenablaufmodell

Wetterprognose:- Wettermodelle- NA-Modell- Schneeschmelzmodell- Wellenablaufmodell

1h - Tage

1h - 12h

3h - 3 Tage

Zeit t

Abfluss Q (m3/s)

Schwellenwert

BezugspegelOberliegerpegel

NS beobachtetNS prognostiziert

Oberliegerpegel:- Wellenablaufmodellierung- Statistische Verfahren

Niederschlag :- NA-Modell- Schneeschmelzmodell- Wellenablaufmodell

Wetterprognose:- Wettermodelle- NA-Modell- Schneeschmelzmodell- Wellenablaufmodell

1h - Tage

1h - 12h

3h - 3 Tage

Zeit t

Abfluss Q (m3/s)

SchwellenwertSchwellenwert

BezugspegelOberliegerpegel

NS beobachtetNS prognostiziert


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ereignisbezogenen Modellen zu unterscheiden. Letztere ermöglichen nur die Abschätzung von Hochwasserabflusswellen, Niederwassersituationen können damit nicht simuliert werden. Bei dieser Art der Modelle kommt der Schätzung der Anfangsbedingungen große Bedeutung zu, während bei kontinuierlichen Modellen der Systemzustand laufend aktualisiert wird. Einen guten Überblick über bestehende Niederschlags-Abfluss Modelle liefert SINGH (1995). In alpinen Gebieten sind zusätzlich Schneeakkumulation und Schmelzprozesse zu berücksichtigen. Aus Homogenitätsgründen empfiehlt sich dort eine Gliederung in Teileinzugsgebiete und die Koppelung mit Wellenablaufmodellen zu komplexeren Flussgebietsmodellen.

Innerhalb des letzten Jahrzehntes hat die Meteorologie durch die Anwendung hochkomplexer Klima- und Wettermodelle die Möglichkeit zur quantitativen Niederschlagsvorhersage verbessert und es bestehen operationelle Zentren für die kontinuierliche Berechnung der Europäischen Wetterentwicklung. Dazu gehören u.a. Reading (ECMWF), Paris (ALADIN) aber auch Wien (ALADIN-Vienna). Eine Darstellung dieser Systeme findet sich in HAIDEN (2001) und auch in HAIDEN UND STADLBACHER (2002). Die Qualität der Niederschlagsprognosen ist für advektive Ereignisse bereits zufriedenstellend. Schwierigkeiten ergeben sich zum Teil bei kleinräumigen, konvektiven Ereignissen, da hier die räumliche Diskretisierung der Modelle für eine detaillierte Auflösung des Prozesses nicht ausreicht. Durch entsprechende Downscaling Prozeduren bzw. die Anwendung regional begrenzter Modelle (LAM) werden diese Werte optimiert. Die zur Verfügung stehenden Niederschlagsprognosen reichen bis zu 96 Stunden, es ergibt sich jedoch für längere Prognoseintervalle eine zunehmende Unsicherheit der Prognosewerte. Neben der quantitativen Niederschlagsprognose liefern die Wettermodelle auch Prognosen der Lufttemperaturen unterschiedlicher Höhenzonen, die für die Schneeschmelzmodellierung wertvolle Dienste leisten.

11.3.2 Abflussprognose und Hochwasserschutz Durch die verlängerte Vorwarnzeit bei der Anwendung der o.g. Verfahren verbleibt eine größere Zeitspanne für die Umsetzung von kurzfristigen Schutzmaßnahmen. Dazu zählen aktive Maßnahmen wie die Errichtung mobiler Hochwasserschutzanlagen, die gezielte Steuerung von Hochwasserrückhaltebecken oder die temporäre Aufhöhung bestehender Schutzdämme mit Sandsäcken (NEMEC, 1986). Als letzte, passive Möglichkeit besteht die Evakuierung von Mensch und Tier und die Sicherstellung wertvoller Geräte. All diese Maßnahmen setzen jedoch ein gut funktionierendes Prognosesystem mit gleichzeitiger Aktivierung von Frühwarneinrichtungen (Zivilschutz, Feuerwehr, etc.) voraus. Ein diesbezügliches Ablaufschema ist in Abb 11.2: dargestellt.


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Erfassung der Daten in EchtzeitNiederschlag, Temperatur, Abfluss (+Prognosen)

Datenübertragung in RechenzentrumFunkfernübertragung, telephonisch

DatenbearbeitungZeitreihen, Vorprozessing, Regionalisierung

AbflussprognoseAbfluss Modelle

Weitergabe der Vorhersage an EinsatzkräfteAktivierung der Einsatzpläne (nach Vorwarnstufe)

Umsetzung der SchutzmaßnahmenMobiler HQ-Schutz, Warnung der Bevölkerung, ...

Updating:Verbesserung der Systemzustände durch FehlerrechnungKein HQ

HQ

Erfassung der Daten in EchtzeitNiederschlag, Temperatur, Abfluss (+Prognosen)Erfassung der Daten in Echtzeit

Niederschlag, Temperatur, Abfluss (+Prognosen)









Umsetzung der SchutzmaßnahmenMobiler HQ-Schutz, Warnung der Bevölkerung, ...Umsetzung der SchutzmaßnahmenMobiler HQ-Schutz, Warnung der Bevölkerung, ...

Updating:Verbesserung der Systemzustände durch FehlerrechnungKein HQ

HQ

Abb 11.2: Ablaufschema eines Hochwasserfrühwarnsystems (aus HOLZMANN, 2001).

Meterologische Prognose

Umsetzung von Maßnahmen Warnung der Bevölkerung, Mobiler HQ-Schutz, Evakuierung, …


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11.4 Komponenten eines Echtzeit-Vorhersagesystems Ein konkretes Echtzeit-Vorhersagesystem besteht aus mehreren Sub-Systemen:

• historische und aktuelle (Echtzeit) Datensammlung

• Datenverwaltung

• Vorhersageprozeduren (Modelle)

• Weitergabe der Vorhersage (Kommunikation)

• Evaluierung und Aktualisierung

Zwischen Vorhersagezeit, Einzugsgebietsgröße, Modelltyp und Datenerfassung besteht ein Zusammenhang, wie er in Abb 11.3: dargestellt ist.

Abb 11.3: Zeitliche und räumliche Zusammenhänge in Vorhersagesystemen (NEMEC, 1986)


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11.4.1 Daten Die verwendeten Daten sind in 2 Gruppen einzuteilen:

• Daten für die Entwicklung und Kalibrierung

• Daten für den Betrieb (Vorhersage)

Zwei Regeln gelten für das Messnetz eines Vorhersagesystems

• möglichst viele Daten für die Entwicklung und Kalibrierung, vorausgesetzt sie sind homogen, konsistent und zuverlässig;

• so wenig wie möglich für den Betrieb, vorausgesetzt, die gewünschte Genauigkeit wird erzielt.

Tab 11.1:enthält einen Überblick über die gewünschten Genauigkeiten und Messfrequenzen für hydrologische Vorhersagen.

Tab 11.1: Erwünschte Messgenauigkeit und Ablesefrequenz der Daten für hydrologische Vorhersagen (NEMEC, 1986)

Element Precision Reporting interval

Measure by automatic land

station Precipitation – Total

amount and form River stage Lake level Soil moisture Frost depth Water equivalent of snow

on ground Depth of snow cover Density of snow cover Water temperatures (rivers and

lakes) Surface temperature snow Temperatures profiles

(snow and lakes) River and lake ice

Thickness Type Character

Water level (in wells) Net radiation Air temperature Wet bulb temperature Wind movement Pan evaporation

2 mm below 40 mm 5 % above 40 mm 0.01 m 0.1 m 10 % field capacity 2 cm below 10 cm 20 % above 10 cm 2 mm below 20 mm 10 % above 20 mm 2 cm below 20 cm 10 % above 20 cm 10 % 0.1°C in 0-4°C range

otherwise ± 1°C 1°C 1°C 0.02 m below 0.2 m 10 % above 0.2 m 0.02 m 0.4 MJm2/day below 8 MJm-2/day 5 % above 8 MJm-2/day 0.1°C 0.1°C 10 % 0.5 mm

6 hours

6 hours Daily

Weekly Daily

Daily

Daily

Daily Daily

Daily Daily

Daily

Weekly Daily

6 hours 6 hours 6 hours

Daily

Yes

Yes Yes Yes Yes

Yes

Yes

---

Yes

Yes Yes

---

Yes Yes

Yes Yes Yes Yes


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11.4.2 Überblick über Modelle Jedes Vorhersagemodell existiert in 2 Betriebsarten:

• Entwicklungsmodus (Kalibrierung)

• Vorhersagemodus für die eigentliche Prognose

Es kann durchaus sein, dass ein bestimmtes Modell aufwendig in der Kalibrierung ist, aber sehr einfach für die Vorhersage anwendbar ist. Umgekehrt kann ein einfaches, leicht kalibrierbares Modell durchaus aufwendig in der Vorhersage sein. Mehrere Faktoren beeinflussen diese Unterschiede, wobei die Anzahl der internen Modellparameter und der Bedarf an Daten für die Kalibrierung dominieren.

Es folgt eine Klassifikation der für Echtzeitvorhersagen verwendeten Modelle. Zum großen Teil sind die Methoden bereits aus früheren Kapiteln bekannt. Einige typische Modelle werden in den folgenden Subkapiteln erläutert.

11.4.2.1 Rein deterministische Modelle • basierend auf hydrometrischen Daten (Wasserstand und Abfluss):

- Pegelkorrelation - hydrologisches Routing (Kalinin-Miljukov, Muskingum,...) - hydraulisches Routing (Dynamische Welle, Kinematische Welle)

• basierend auf hydrometeorologischen und hydrometrischen Daten (Prozess der Niederschlag-Abfluss-Bildung und in Gewässerstrecke)

- Multiple Korrelation - Impulsantwort des Einzugsgebietes auf Niederschlag - Verteilte Modelle (siehe Kap. 10) - Konzeptuelle Modelle mit Berücksichtigung der Bodenfeuchte (s. Kap. 10)

11.4.2.2 Hybride stochastisch-deterministische Modelle (Transfer Funktion)

• basierend auf stochastischer Zeitreihenanalyse

• systemanalytischer Ansatz für Gebietsantwort + stochastische Zeitreihenanalyse


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11.5 Prinzip und mathematische Formulierung gebräuchlicher Modelle

Bereits in früheren Kapiteln wurden Modellansätze dargestellt, die für die Prognose verwendet werden:

• Kapitel 2: Extremwertstatistik; probabilistische Aussage, Anwendung für Bemessungs-größen

• Kapitel 3: Regression und Korrelation

• Kapitel 4: Zeitreihenanalyse; ARIMA, Shot-Noise

• Kapitel 6: Bodenwasserhaushalt; Modellkomponenten für verteilte und konzeptuelle N-A Modelle

• Kapitel 7: Grundwasserhaushalt; Speisung des Basisabflusses, Grundwassermodelle können auch Komponenten von verteilten N-A Modellen sein.

• Kapitel 8, 9: Einheitsganglinie, Hyreun-Modell; Direktabfluss

• Kapitel 10: Kontinuierliche N-A Modelle

Nachfolgend werden noch 2 einfache Ansätze vorgestellt: Pegelkorrelationen als einfacher, rein deterministischer Ansatz, und Transfer-Funktionen als Beispiel für stochastisch-deterministische Methoden.

11.5.1 Pegelkorrelationen Das Prinzip ist in Abb 11.4: ersichtlich. Für korrespondierende Punkte von Abfluss- oder Wasserstandsganglinien mehrerer Pegel, insbesondere die Wellenscheitel, können Korrelationen sowohl für Abfluss als auch Laufzeit vom Oberlieger zum Unterlieger berechnet werden, sofern genügend beobachtete Ganglinien für alle Pegel existieren. Kennt man dann Durchfluss und Auftrittszeit an einem Oberliegerpegel, kann der voraussichtliche Durchfluss an den Unterliegern angegeben werden. Eine Verbesserung der Genauigkeit ist durch Berücksichtigung zusätzlicher Variabler (z.B. Zubringer) möglich (multiple Korrelation).

Abb 11.4: Durchflussverlauf an der Niederösterreichischen Donau während der Hochwasserwellen des August 2000 (HABERSACK, 2004)


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11.5.2 Transfer Funktionen Transfer Funktionen sind ein Beispiel für hybride stochastisch-deterministische Modelle. Man nimmt an, dass ein beobachteter Abfluss qt aus einer linear deterministischen Komponente xt und einer stochastischen Komponente zt besteht:

ttt zxq += Glg. 11.1

Die deterministische Komponente xt ist exakt durch den Input ut (Niederschlag und/oder andere den Abfluss beeinflussende Variablen) durch folgendes lineares Modell bestimmt:

x a x a x c u c u c ut t r t r o t b t b s t b s+ + + = + +− − − − − − − − −1 1 1 1 1 1K K Glg. 11.2

worin a, c die Parameter und b die Zeitverzögerung der Reaktion des Outputs auf eine Änderung des Inputs sind. Führt man den Rückwärtsoperator B ein, definiert als Bb ut = ut-b, lautet das Modell

( ) ( )a B x c B ut t b= − Glg. 11.3

und die autoregressiven (AR) bzw. Gleitmittel (moving average, MA) Operatoren a(B) und c(B) sind Polynome in B vom Grad r bzw. s-1:

( )a B a B a Brr= + + +1 1 K Glg. 11.4

( )c B c c B c Bss= + + + −−

0 1 11K Glg. 11.5

Multipliziert man Glg. 11.3 mit a-1(B), so folgt:

( ) ( ) ( ) ttt uBvuBcBax == −1 Glg. 11.6

Worin )(Bν definiert ist als:

( )v B v v v B= + + +0 1 22 K Glg. 11.7

Die Reihe v0, v1, ... nennt man die Impulsantwortfunktion des Systems. Sie ähnelt stark der bekannten Einheitsganglinie (Kap. 8), mit dem Unterschied, dass damit die Beziehung zwischen dem gesamten Niederschlag und dem gesamten Abfluss hergestellt wird.

Eine für die Echtzeitprognose wichtige Eigenschaft dieses Modells ist, dass der autoregressive Teil den aktuellen Abfluss auch von früheren Abflüssen abhängig macht. Die vorhergesagten Abflüsse können also immer auch auf den jüngsten Abflussbeobachtungen aufbauen.

Vergleiche: Bei der Einheitsganglinie wird der Direktabfluss nur als Funktion des Niederschlags ausgedrückt!


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11.6 Anwendungsbeispiel: Abflussprognosemodell Enns Das Abflussprognosemodell für das Einzugsgebiet der Enns und der Steyr wird in Kap. 12 ausführlich erläutert. Das beschriebene Modell ist ein physikalisch basiertes, konzeptuelles Modell, bestehend aus einer Komponente für die Schneeakkumulation und -schmelze, sowie Speicheransätzen für den Boden und die Wellentransformation in den Gerinnen. Es arbeitet kontinuierlich.

Dieses Modell reproduziert die beobachteten Abflüsse an den Prognosepegeln mit bestimmten Fehlern. Die Analyse ergibt, dass diese Fehler nicht zufällig sind, sondern sowohl autoregressive Eigenschaften als auch eine Abhängigkeit von einzelnen Abflusskomponenten aufweisen.

Die Prognosekorrektur der Abflüsse wird mithilfe einer linearen Transferfunktion durchgeführt. Diese beschreibt die Zeitreihe des Prognosefehlers als lineare Funktion von ausgewählten Teilabflüssen (Schmelzanteil, Abflussbeiträge der Bodenspeicher), sowie durch eine autoregressive Komponente.

Die Transferfunktion beschreibt den Beitrag jeder Eingangsvariablen durch einen Gleitmittelansatz mit wählbarer Fensterbreite und Zeitverschiebung. Zusätzlich wird ein autoregressives Modell der Ausgangsvariablen angewandt.

Das hier gewählte Verfahren schätzt die Koeffizienten der Transferfunktion mithilfe der Methode der kleinsten Abweichungsquadrate.

11.6.1 Implementation der Prognosekorrektur Im Abflussprognosemodell Enns wird die Prognosekorrektur im nachhinein durchgeführt. Es wird also zuerst für den gesamten Zeitraum das reine physikalische Modell gerechnet und dann mithilfe der für jeden Pegel bereitgestellten Koeffizienten der Transferfunktion korrigiert.

11.6.2 Ermittlung der Transferfunktion Die Ermittlung der Transferfunktion wurde aus den vorhandenen Beobachtungsdaten für jeden Pegel durchgeführt. Die Freiheitsgrade bestanden im wesentlichen in der Wahl der Eingangsvariablen und der Länge des "Gedächtnisses".

Als Eingangsvariablen der Transferfunktion waren Variablen zu verwenden, die im Abflussmodell als Zeitreihen zur Verfügung stehen. Es sind dies vor allem die auch im Ergebnisfile ausgegebenen Beiträge der abflussbildenden Prozesse, also der Schneeschmelzanteil in jeder Höhenzone und die Abflussanteile der einzelnen Bodenspeicher.

Eine Länge des "Gedächtnisses" von 2 Zeitintervallen und die Verwendung von maximal 3 Eingangsvariablen für die Gleitmittelbeiträge erwies sich als gut brauchbar. Damit werden insgesamt 6 Koeffizienten (hij, i=1,2,3, j=1,2) für die Gleitmittelbeiträge und 2 Koeffizienten (aj, j=1,2) für den autoregressiven Teil benötigt, um den Fehler DQt aus DQt-1 und DQt-2, bzw. den Eingangsvariablen (Xi,t-j, i=1,2,3, j=1,2) zu berechnen.

Die Reihe der DQ ergibt sich als Differenz von Beobachtungen und unkorrigierter Prognose

DQ Q Qt Beo t o t− − −= −1 1 1, Pr , Glg. 11.8

Der Fehler der Vorhersage wird dann prognostiziert mit

2,3321,3312,2221,2212,1121,1112211 −−−−−−−− +++++++= ttttttttt XhXhXhXhXhXhDQaDQaDQ Glg. 11.9

Damit ergibt sich die korrigierte Vorhersage des Abflusses mit

Q Q DQCor t o t t, Pr ,= + Glg. 11.10


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11.6.3 Korrektur der Tagesprognose Es war zu erwarten, - und der Vergleich von beobachtetem und unkorrigiert prognostiziertem Abfluss wies ebenso darauf hin - dass vor allem der Prozess der Schneeschmelze unbefriedigend wiedergegeben wird. Daher lässt sich meistens ein relativ großer Teil des Fehlers als Funktion der Beiträge der Schneeschmelze erklären.

Beurteilung der Güte der Prognosekorrektur

Zur Beurteilung der Verbesserung der Prognose wurde die Standardabweichung der Differenz zwischen beobachtetem und korrigiertem prognostiziertem Abfluss für jedes Jahr berechnet und der Standardabweichung ohne Korrektur gegenübergestellt (Tab 11.2:).

Tab 11.2: Beurteilung der Prognosekorrektur anhand der Standardabweichungen (m3/s) der Abflussdifferenzen

PEGEL JAHR OHNE KO. 1 TAG 2 TAGE 3 TAGE 4 TAGE

LIEZEN 82 17.9 12.1 14.5 15.5 15.8 83 18.2 12.0 15.5 16.8 17.4 84 20.8 17.3 19.5 19.9 20.5 85 20.4 14.2 18.9 21.7 23.3 86 22.8 13.8 16.8 18.3 19.1

SCHÖNAU 82 35.2 26.6 28.7 30.6 33.0 83 36.6 28.0 32.6 34.9 36.2 84 45.8 38.2 41.4 42.4 43.5 85 39.0 25.7 30.2 33.0 35.1 86 43.4 28.0 33.4 37.2 39.8

PERGERN 82 12.2 9.9 11.0 11.7 11.9 83 13.4 10.6 12.4 12.9 13.0 84 15.9 11.1 14.7 15.8 16.0 85 12.3 10.3 12.8 13.5 13.6 86 15.6 11.4 13.5 14.0 14.1

REICHR. 82 3.8 2.7 3.1 3.2 3.3

Folgende generelle Aussagen sind aus Tab 11.2: abzuleiten:

• Die Abweichungsquadratsumme wird für die 1-Tagesprognose meist um ein Drittel verringert.

• Die Verbesserung der weiteren Prognoseschritte wird i.a. graduell weniger, was durch die Art des Modells bedingt ist.

• In 2 Fällen, nämlich Pergern 1985 und Liezen 1985, ergibt sich bei den Prognoseschritten 3 und 4 sogar eine geringfügige Verschlechterung. Die Ursache wird in fehlerhaften Daten von einer Niederschlagsmessstelle vermutet, da mit einem für 1985 optimierten Koeffizientensatz zwar für 1985 eine sehr gute Anpassung erzielt wird, alle anderen Jahre dann aber eine ähnliche Verschlechterung aufweisen.

Zur detaillierten Beurteilung wurden für die Pegel Gangliniendarstellungen der untersuchten Jahre mit dem beobachteten, dem unkorrigierten berechneten Abfluss und den korrigierten Abflüssen der 4 Prognoseschritte erstellt.

Abb 11.5: ist ein Beispiel für die für die Korrektur der mittelfristigen Prognose (1 - 4 Tage, Berechnungsintervall 1 Tag).

Abb 11.6: zeigt ein Beispiel für die Korrektur der kurzfristigen Prognose (1 - 4 Stunden, Zeitintervall 1 Stunde).


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Abb 11.5: Korrektur der mittelfristigen Prognose

Vergleich der Abflussganglinien Qbeo ... beobachteter Abfluss Qpro ... prognostiziert mit physikalischem Modell QC3, QC4 ... Q korrigiert mit Transferfunktion, 3 bzw. 4 Tage


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Abb 11.6: Korrektur der kurzfristigen Prognose

Vergleich der Abflussganglinien Qbeo ... beobachteter Abfluss Qpro ... prognostiziert mit physikalischem Modell QC1, QC4 ... Q korrigiert mit Transferfunktion, 1 bzw. 4 Stunden


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11.7 Unsicherheiten in der Prognose - Ensemble Vorhersagen

Um Unsicherheiten in der Prognose zu berücksichtigen werden Ensemble Vorhersagen verwendet. Unsicherheiten treten einerseits bei den zur Verfügung stehenden Daten und andererseits in den verwendeten Modellen auf.

Mögliche Quellen:

(1) Daten:

• Datenunsicherheit (Meßfehler) • Datenausfall • Unsicherheit in der NS-Vorhersage

(2) Modell: • Modellunsicherheit • Parameterschätzung • Mangelhaftes Modell

Daten und Modelle werden in unterschiedlichen Zusammensetzungen simuliert und das Resultat ist eine Bandbreite von Werten welche statistisch ausgewerten werden.

z.B.: • mehrere NS-Prognosen • mehere hydraulische Modelle • mehrere Parametersätze

Abb 11.7: Beobachteter, simulierter und prognostizierter Abfluss, Pegel Windpassing (NACHTNEBEL et al., 2005)


Seite 11-18

11.8 Literatur ANDERSON, E.A. (1973): National Weather Service River Forecast System - Snow Accumulation and

Ablation Model. NOAA Technical Memorandum NWS-HYDRO17, US Department of Commerce. BLÖSCHL, G., GUTKNECHT, D., KIRNBAUER; R. (1993): Schneehydrologie. Schriftenreihe

Forschungsinitiative des Verbundkonzerns Bd. 13. BOX, G.E.P. & JENKINS, G.M. (1970): Time Series Analysis Forecasting and Control. Holden-Day, San

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12 Kontinuierliche Abfluss- und Flussgebietsmodelle

Seite 12-1

12 KONTINUIERLICHE ABFLUSS- UND FLUSSGEBIETS-MODELLE

12.1 Allgemeines.................................................................................................12-4

12.1 Modelltypen................................................................................................12-5

12.1.1 Modellhafte Beschreibung des Niederschlags- und Abflussprozesses..................................... 12-5 12.1.1.1 Deterministische Modelle................................................................................................. 12-5 12.1.1.2 Stochastische Modelle ...................................................................................................... 12-7 12.1.1.3 Hybride Modelle (stochastisch-deterministisch) .............................................................. 12-7

12.2 Kontinuierliche N-A Modelle....................................................................12-8

12.2.1 Kurzbeschreibung der zu erfassenden hydrologischen Prozesse (nach SARTOR, 1993)........ 12-8 12.2.2 Räumliche Diskretisierung ..................................................................................................... 12-12 12.2.3 Zeitliche Diskretisierung ........................................................................................................ 12-13

12.3 Wasserwirtschaftlicher Rahmenplan ....................................................12-14

12.4 Hydrologische Einzugsgebietsmodelle (COSERO) ..............................12-15

12.4.1 Einleitung ............................................................................................................................... 12-15 12.4.2 Methodik................................................................................................................................. 12-15

12.4.2.1 Zeitliche Diskretisierung ................................................................................................ 12-15 12.4.2.2 Räumliche Diskretisierung ............................................................................................. 12-15

12.4.3 Datenanforderung ................................................................................................................... 12-17 12.4.3.1 Zeitliche Daten ............................................................................................................... 12-17 12.4.3.2 Räumliche Daten ............................................................................................................ 12-17

12.4.4 Visualisierung der Ergebnisse ................................................................................................ 12-18 12.5 Lisflood .....................................................................................................12-19


12.5.2.1 Räumliche Diskretisierung ............................................................................................. 12-19 12.5.3 Datenanforderung ................................................................................................................... 12-20

12.5.3.1 Zeitliche Diskretisierung ................................................................................................ 12-20 12.5.3.2 Räumliche Diskretisierung ............................................................................................. 12-21

12.5.4 Visualisierung der Ergebnisse ................................................................................................ 12-21 12.6 Qualitäts- und Quantitätsmodel (WEAP) .............................................12-22

12.6.1 Einleitung ............................................................................................................................... 12-22 12.6.2 Methodik................................................................................................................................. 12-22 12.6.3 Datenanforderung ................................................................................................................... 12-22

12.6.3.1 Zeitliche Diskretisierung ................................................................................................ 12-22 12.6.3.2 Monetäre Bewertung ...................................................................................................... 12-23

12.6.4 Visualisierung der Ergebnisse ................................................................................................ 12-23


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12.7 Stofftransport (WEPP)............................................................................12-26


12.7.2.1 Hang ............................................................................................................................... 12-26 12.7.2.2 Entwässerungsgebiet ...................................................................................................... 12-27

12.7.3 Visualisierung der Ergebnisse ................................................................................................ 12-28 12.8 Watershed Modeling System (WMS) ....................................................12-30

12.8.1 Einleitung ............................................................................................................................... 12-30 12.8.2 WMS Module ......................................................................................................................... 12-30

12.9 Literaturverzeichnis ................................................................................12-32


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Abbildungsverzeichnis ABB 12.1: ÜBERSICHT ÜBER DIE EINZELNEN PROZESSPHASEN UND DEREN

MODELLMÄSSIGE ERFASSUNG, MODELLSTRUKTUR VON NASIM (OSTROWSKI, 1982):........................................................................................................................................ 12-11

ABB 12.2: PLANUNGSSCHEMA DES WASSERWIRTSCHAFTLICHEN RAHMENPLANS (LECHER, 1982) ......................................................................................................................................... 12-14

ABB 12.3: PRINZIPSKIZZE DER RÄUMLICHEN DISKRETISIERUNG IN COSERO ...................... 12-16 ABB 12.4: STRUKTUR VON COSERO – RÄUMLICHE EINHEIT „ZONE“....................................... 12-17 ABB 12.5: GANGLINIEN VOM BEOBACHTETEN, SIMULIERTENUND PROGNOSTIZIERTEN ABFLUSS, PEGEL WINDPASSING........................................................................................................ 12-18 ABB 12.6: PRINZIPSKIZZE DER RÄUMLICHEN DISKRETISIERUNG IN LISFLOOD................... 12-20 ABB 12.7: SCHEMATIC VIEW IM WEAP ............................................................................................. 12-23 ABB 12.8: DATA VIEW IM WEAP ......................................................................................................... 12-24 ABB 12.9: RESULTS VIEW IM WEAP................................................................................................... 12-24 ABB 12.10: OVERVIEW VIEW IM WEAP............................................................................................. 12-25 ABB 12.11: DER HANG – KLEINSTE EINHEIT DES WEPP ............................................................... 12-27 ABB 12.12: WEPP-ENTWÄSSERUNGSGEBIET................................................................................... 12-28 ABB 12.13: SYSTEMSCHEMA EINES WEPP-ENTWÄSSERUNGSGEBIETES................................. 12-29 ABB 12.14: MAP MODUL IM WMS ....................................................................................................... 12-30 ABB 12.15: TERRAIN DATA IM WMS.................................................................................................. 12-31 ABB 12.16: 2D GRID IM WMS................................................................................................................ 12-31


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12.1 Allgemeines Die bisher behandelten Modelle (UH, Hyreun) für die Berechnung des Abflusses aus Niederschlag (Kap. 8, 9) erfassen nur den direkten Abflussanteil, also jenen Oberflächenabfluss, der bei starken Niederschlagsereignissen von der Bodenoberfläche abfließt und in den Gewässern zu Hochwasserwellen führt. Durch die immer intensivere Wassernutzung sowie durch abwassertechnische und ökologische Fragestellungen entsteht der Bedarf nach Modellen, die das gesamte Abflussspektrum, insbesondere die Niederwasserperioden simulieren. Im Gegensatz zur Simulation von Einzelereignissen ist die kontinuierliche Simulation längerer Zeiträume erforderlich. Dies geschieht mit Hilfe von Langzeitmodellen, sogenannten kontinuierlichen N-A-Modellen (Langzeit-Kontinuumssimulation) (DVWK, 1993).

In diesem Kapitel werden zunächst die einzelnen Komponenten des Abflusses betrachtet sowie die verschiedenen hydrologischen Prozesse denen sie unterliegen. Darauf aufbauend werden die grundsätzlichen Modelltypen für deren Modellierung vorgestellt, die je nach gewünschter Modellaussage und vorhandenen Daten angewendet werden können. Für die einzelnen Abflusskomponenten werden einige deterministische Modellansätze vorgestellt, die in kontinuierlichen Niederschlag-Abflussmodellen Anwendung finden.

Die Probleme der räumlichen Variabilität der Modellparameter, der Höhenabhängigkeit und der Datenbedarf werden diskutiert. Die Anwendung eines konkreten Niederschlag-Abflussmodells wird anhand eines Fallbeispieles (Enns) demonstriert.

Lernziel: Verstehen des Problems, Kenntnis der Modellansätze für Abflusskomponenten, Einschätzung des Datenbedarfs, Struktur von kontinuierlichen Niederschlag-Abflussmodellen, Interpretation der möglichen Aussagen.


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12.1 Modelltypen

12.1.1 Modellhafte Beschreibung des Niederschlags- und Abflussprozesses Die Beschreibung der Niederschlags- und Abflussprozesse kann deterministisch, stochastisch oder in Kombination beider ausfallen. Bei einer Kombination von deterministischen und stochastischen Komponenten wird das Modell als stochastisch-deterministisch oder hybrid bezeichnet. Die Mehrheit der Modelle ist jedoch deterministisch. Stochastische Modelle beschreiben Modellprozesse durch Regeln der Wahrscheinlichkeit.

12.1.1.1 Deterministische Modelle Diese Modellgruppe kann in konzentrierte (engl.: lumped) und verteilte (engl.: distributed) Modelle eingeteilt werden. Je nachdem, ob Einzugsgebietsinformationen als gemittelter und repräsentativer Wert für das ganze Gebiet (lumped) oder verteilt (distributed; d.h. die Information liegt z. B. auf einem Raster vor) vorliegen und ob die Beschreibung der ablaufenden Prozesse empirisch, konzeptionell oder physikalisch basiert erfolgt.

Black-box Modelle

Sie beschreiben die Vorgänge im Einzugsgebiet durch mathematische Beziehungen und enthalten keine physikalisch begründete Transferfunktion um den System-Input in den Output überzuführen. Es wird ein aus den Beobachtungen abgeleiteter Zusammenhang zwischen Input und Output hergestellt. In diese Klasse gehören Modellansätze wie die Einheitsganglinie, Extremwertanalyse, Regressionsanalyse oder z.B. die Abflussmodelle des United States Soil Conservation Service TR-20 (SCS, 1983) und TR-55 (SCS, 1986). Diese haben trotz ihrer einfachen Struktur gute Ergebnisse erzielt und in den Vereinigten Staaten sogar Gerichtsverwertbarkeit erlangt. Die Einbettung dieser Modellansätze in ein umfassendes Softwaresystem ist in dem Watershed Modelling System WMS (Nelson et al. 1995) realisiert. Innerhalb des Bereiches der für die Kalibrierung verwendeten Daten können solche Modelle sehr erfolgreich sein, da oft die formale mathematische Struktur ein "implizites Verständnis" des physikalischen Systems beinhaltet. Bei der Extrapolation geht dieser physikalische "Anker" aber verloren und die Vorhersage beruht allein auf der mathematischen Formulierung. Gerade Extremereignisse sind daher mit einfachen Input-Output Modellen schwierig vorherzusagen.

Konzeptuelle Modelle, Lumped Models (Grey-box)

Sie besetzen eine Zwischenposition zwischen dem physikalisch-deterministischen Ansatz und den Black-box Modellen. Es handelt sich hierbei um konzeptionelle Modelle, die sich auf physikalische Gesetze in vereinfachter Näherung stützen und ein gewisses Maß an Empirie enthalten. Sie setzen sich aus mehreren gekoppelten Speichern (Speicherkaskade) mit unterschiedlichen Eigenschaften zusammen. Diese Speicher repräsentieren die physikalischen Elemente (Schneedecke, Boden, etc.) im Einzugsgebiet. Variablen und Parameter stellen in diesen Modellen Mittelwerte dar, die stellvertretend für das ganze Gebiet stehen ("lumped"). Die Beschreibung der hydrologischen Prozesse kann nicht direkt durch für eine Bodensäule gültige Gleichungen erfolgen, sondern erfolgt mit Hilfe semi-empirischer Formeln mit physikalischem Hintergrund. Die Modellparameter können daher nicht nur aus beobachteten Daten ermittelt werden, sondern sie werden im Zuge der Modellkalibrierung gewonnen. Die nicht-lineare Form dieser Modelle reflektiert die Schwellenwerte in hydrologischen Systemen, die mit linearen Modellen nicht berücksichtigt werden. Diese sind meist auf Vorgänge im Boden zurückzuführen. Wenn die Modellparameter physikalisch basiert sind, kann das Modell auch Veränderungen der Einzugsgebietcharakteristik berücksichtigen, wie z.B. Aufforstung oder Zersiedelung.


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Werden häufig in der hydrologischen Praxis eingesetzt. Ein Beispiel dafür ist das HBV-Modell (BERGSTRÖM, 1992) Der Einsatz dieser Modellarten setzt das Vorhandensein von ausreichend langer Beobachtungsreihen (mindestens 5 Jahre) zur Kalibrierung voraus.

Zu den wichtigsten Vertretern dieser Gruppe zählen das Flussgebietsmodell FGMOD (LUDWIG, 1982), die Einzugsgebietsmodelle EGMO (BECKER, 1975) und ARNO (TODINI, 1996), die Niederschlags-Abfluss-Modelle NASIM (OSTROWSKI, 1982; WALTHER 1995) und PRMS (LEAVESLEY & STANNARD, 1995), sowie das Wasserhaushaltsmodell AKWA (GOLF & LUCKNER 1991). In diesen Modellen finden natürlich auch physikalisch begründete Prozessbetrachtungen Eingang, z.B. in erhöhtem Maße im Wasserhaushalts-Simulations-Modell WaSiM-ETH (SCHULLA 1997), jedoch überwiegen die konzeptionellen Vereinfachungen.

Flächenverteilte, physikalisch basierte Modelle (White-box) Sie basieren auf komplexen physikalischen Gesetzen der Wasserbewegung und ermitteln die Flüsse von Energie und Masse (Wasser) im Gebiet direkt aus den Kontinuumsgleichungen (z.B. St. Venant für Abfluss im Vorland und in Flüssen; Richards Gleichung für ungesättigte Bodenzone). Selbst unter starken Vereinfachungen der Strömungsgleichungen erfordern solche Modelle einen enormen Aufwand an Daten und Rechenzeit. Prinzipiell bietet ein vollständiger physikalisch basierter Ansatz allerdings die Möglichkeit, das gesamte Abflussgeschehen darzustellen und die Wirkung von Änderungen im Einzugsgebiet vorherzusagen. Aus Mangel an detaillierten Inputdaten kommen diese Modelle jedoch nur selten zur Anwendung.

Bei der räumlichen Diskretisierung der Modellstruktur wird primär zwischen gegliederten Modellen und Blockmodellen unterschieden. Gegliederte Modelle versuchen, die räumliche Heterogenität der Gebietscharakteristika sowie die räumliche Variabilität der Eingangsdaten (z.B. Meteorologie) zu erfassen (Blockmodelle tun das nicht. Die räumliche Nachbildung der Prozesse spielt keine Rolle (Black-Box-Ansatz)). Der Ortsbezug hydrologischer Prozesse wird gewahrt und in eine kausale Beziehung mit der Umgebung gesetzt. Räumliche Unterschiede und Nichtlinearitäten in den Massen- und Energieflüssen eines Flussgebietes können dadurch repräsentiert werden. Die zentrale Frage dabei lautet: Was ist die erforderliche räumliche Modellauflösung zur Beschreibung der hydrologischen Prozesse?

White-box Modelle werden allerdings oft auch als prozessorientierte Modelle bei der Simulation einzelner Elemente der Wasserkreislaufs eingesetzt, zum Beispiel als Interzeptionsmodell, als Infiltrationsmodell, als Schneedeckenmodell, als Hochwassermodell, oder aber auch als Bodenwasserhaushaltsmodell.

Eine Sonderstellung unter den prozeßorientierten Simulationen nehmen die Boden-Pflanzen-Atmosphären-Transfer-Modelle, sogenannte SVATs (Soil-Vegetation-Atmosphere-Transfer-Schemes) ein. Sie beschreiben den Weg des Wassers durch den Boden, den Pflanzenbestand und von dort in die Atmosphäre durch eine Sequenz von Widerständen und geben somit Aufschluss über die an der planetaren Grenzschicht ablaufenden energetischen Austauschvorgänge.


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12.1.1.2 Stochastische Modelle Von der Art der Prozessbeschreibung sind stochastische Modelle mit empirischen black-box-Modellen vergleichbar. Bei einem stochastischen Modell ist die Eingangsfunktion eine Zufallsfunktion, oder die Parameter sind Zufallsvariablen. Hydrologische Variablen besitzen, bedingt durch ihre hohe zeitliche und räumliche Variabilität, einen stochastischen Charakter. Es sind alle hydrologischen Variablen in Zeit und Raum veränderliche Zufallsfunktionen (ZF). ZF werden als stationär bezeichnet, wenn eine Invarianz gegen eine zeitliche Verschiebung vorliegt, homogen, bei Invarianz gegen eine räumliche Verschiebung. Zu den stochastischen Modellen gehören die Zeitreihenerzeugungsmodelle und die Probabilistischen Modelle. Erste können für die zeitliche Extrapolation von beobachteten Variablen, unter Bewahrung ihrer statistischen Parameter, Verwendung finden. Probabilistische Modelle werden durch Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen der betrachteten hydrologischen Variablen repräsentiert. Die Variablen können Extremwerte, Wasserstände, Speichermengen o.ä. sein. Sie werden mit Hilfe der statistischen Parameter der Verteilungsfunktionen (Varianz, Mittel, Schiefe) beschrieben. Zur Grundannahme dieser Modelle gehört, dass keine kausale Beziehung zwischen den verschiedenen Elementen des betrachteten Prozesses (Variablen) besteht.

12.1.1.3 Hybride Modelle (stochastisch-deterministisch) Deterministische Simulationsmodelle können heute einen wesentlichen Teil der hydrologischen Prozesse (räumliche und zeitliche Variabilität hydrologischer Variabler und Parameter) erklären. Bedingt durch die Tatsache, dass die vorhandenen Informationen über Parameterwerte und Inputvariablen immer unvollständig sind, geht eine Quelle von Unsicherheiten in die Simulation ein. Beim hybriden Modelltyp werden daher beide Modelltypen gekoppelt.


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12.2 Kontinuierliche N-A Modelle

12.2.1 Kurzbeschreibung der zu erfassenden hydrologischen Prozesse (nach SARTOR, 1993)

Langzeit-Kontinuumsmodelle müssen in der Lage sein, den Teil des Wasserkreislaufes zu bilanzieren, der vom Auftreffen des Niederschlages auf die Erdoberfläche über die Aufteilung in Verdunstung und Abfluss einschließlich der Verfolgung aller Abflusskomponenten bis zur Referenzstelle reicht.

Die folgende Kurzbeschreibung dieser Prozesse soll die zu simulierenden Vorgänge qualitativ soweit erörtern, dass die den Modellen zugrunde liegenden Vereinfachungen verdeutlicht werden können.

Niederschlagsbelastung

Die erste Teilphase des Niederschlag-Verdunstung-Abfluss-Vorgangs stellt, wie bei den Hochwassermodellen, die Niederschlagsbelastung dar, welche hier, zusätzlich zur Ermittlung des Gebietsniederschlags, um die Schneephase erweitert wird.

Diese schneehydrologischen Prozesse stellen sich vereinfacht wie folgt dar:

• Bei Temperaturen unter einem Schwellenwert fällt Niederschlag in Form von Schnee und baut im Einzugsgebiet eine Schneedecke bestimmter Höhe auf (Akkumulation).

• Temperaturen über dem Schwellenwert, d.h. Wärmeeintrag durch Luft, Regen oder Boden, sowie die Globalstrahlung (kurzwellige diffuse Himmelsstrahlung und direkte Sonnenstrahlung) bewirken das Schmelzen des akkumulierten Schnees (Ablation). Weitere Faktoren für die auftretende Schmelzrate sind Wind (Konvektion) und Dampfdruck (Kondensation).

Die Verwandlung der Schneedecke in frei abfließendes Schmelzwasser erfolgt dabei in zwei Stufen:

• Zunächst führen die Schmelzprozesse und ggf. direkt zugeführtes Regenwasser zu einer Kompression der Schneedecke, d.h. zu einer Erhöhung der Lagerungsdichte.

• Ab einer bestimmten Grenzlagerungsdichte (aus Versuchen in den USA: 40 - 45 %) beginnt dann der freie Abfluss von Schmelzwasser aus der Schneedecke (Schneedeckenabfluss), der dann eine Erhöhung der Bodenfeuchte bewirken kann oder direkt dem Gewässer zufließt (letzterer Fall tritt z.B. besonders dann auf, wenn der Boden selbst noch weitgehend gefroren ist).

Einen guten Überblick über diese Prozesse sowie vorhandene Ansätze zu deren Simulation bietet z.B. KNAUF (1980). Hierin sind auch die verwendeten schneehydrologischen Begriffe festgelegt.

Verdunstung

Eine im Rahmen der Kontinuumsimulation sehr wichtige Teilphase stellt die Verdunstung dar, da in Mitteleuropa bis zu 70 % des auf eine Landfläche auftreffenden Niederschlags auf diese Weise "verloren gehen" kann und nur der verbleibende Rest zum Abfluss gelangt.

Die meisten Berechnungsansätze für die potentielle Verdunstung beruhen auf der Energiebilanz, da alle Verdunstungsvorgänge durch die von der Sonnenstrahlung gelieferte Energie hervorgerufen werden.


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Niederschlagsaufteilung

Die schwierigste und eine der entscheidendsten Phasen des Gesamtprozesses ist die Niederschlagsaufteilung. Dieser Vorgang spielt sich vorwiegend auf der Einzugsgebietsoberfläche einschließlich ihrer Vegetationsdecke, in der Deckschicht (Wurzelraum) und in der ungesättigten Bodenschicht oberhalb des Grundwasserspiegels ab.

Zwischen allen Bodenhorizonten besteht eine vielfältige Interaktion, in welche auch das Grundwasser einbezogen ist. Da sowohl zur Erforschung der tatsächlichen Vorgänge in und zwischen diesen Schichten noch großer Bedarf besteht und ferner der Datenaufwand zu einer detaillierten Abbildung unverhältnismäßig hoch wäre, sind hier zwangsläufig Vereinfachungen bei der Modellierung erforderlich. In besonders hohem Maße erfolgen diese Vereinfachungen bei reinen Hochwassermodellen, welche sich oft auf eine, teilweise rein empirische, Aufteilung des Gebietsniederschlags in direkt abflusswirksamen Niederschlag einerseits, sowie "Verluste" andererseits, beschränken. Ein wesentlicher Unterschied für die Langzeitsimulation besteht darin, dass der, in diesen sogenannten Verlusten enthaltene, zum Grundwasser durchsickernde Niederschlagsanteil (Perkolation), den späteren Basisabfluss darstellt. Als faktischer Verlust tritt bei der Langzeitbetrachtung nur noch die aktuelle Landverdunstung (aktuelle Evapotranspiration) auf, da alle anderen Niederschlagsanteile letztlich in Abfluss übergehen.

Als Regen gefallener Niederschlag sowie freies Schmelzwasser aus Reif-, Hagel- oder Schneetauprozessen führt zunächst zu einer Benetzung von Pflanzen- und Gebietsoberfläche, sowie zu einer Füllung von Mulden bei versiegelten Flächenanteilen. Die Entleerung dieser Speicher erfolgt vorwiegend durch Verdunstung (aktuelle Interzeption bzw. Evaporation). Bei natürlichen Flächen setzt parallel zur Muldenfüllung bereits die Versickerung (Infiltration) in die oberste Bodenzone (Wurzelraum) ein. Deren potentielles Infiltrationsvermögen hängt von der Landnutzung und den physikalischen Eigenschaften der anstehenden Bodenart (Porenvolumen u.s.w.) sowie von ihrem momentanen Zustand (Vegetationszeit, Feuchtegehalt, Temperatur u.s.w.) ab. Die aktuelle Infiltration bestimmt sich dann aus dem Wasserdargebot, d.h. aus der aktuellen Niederschlagsintensität. Überschreitet diese das potentielle Infiltrationsvermögen (so die überwiegende Modellvorstellung), fließt der darüberliegende Anteil des Niederschlagswassers als Oberflächenabfluss zum nächsten Gewässer- oder Grabensystem ab.

Wesentlichen Einfluss auf die aktuelle Infiltration hat also der momentane Feuchtegehalt der obersten Bodenschicht(en), welchen es folglich zu bilanzieren gilt. Gespeist wird dieser Bodenspeicher (Wurzelraum und ungesättigte Bodenschicht oberhalb des GW-Spiegels) durch Infiltration von Niederschlagswasser, durch Aufstieg von Kapillarwasser aus tieferen Schichten und durch seitliche Zusickerung. Wasserabgabe erfolgt durch direkte Verdunstung (aktuelle Evaporation), durch Wasseraufnahme der Pflanzen (mit anschließender Transpiration), durch Weitersickerung zum Grundwasser (Perkolation) und durch seitliche Verluste. Der Perkolationsanteil dient zur Speisung des Grundwasserspeichers und tritt später als Basisabfluss wieder auf.

Eine besondere Stellung nimmt der Bodenzwischenabfluss (Interflow) innerhalb dieser Modellvorstellungen ein. Dieser durchläuft nur zeitweise die obersten Bodenschichten, um an anderer Stelle (z.B. in Steilstrecken bzw. nach Wassersättigung dieser Schichten infolge Überdruck) wieder an die Oberfläche zu gelangen und dann gemeinsam mit dem (reinen) Oberflächenabfluss dem Gewässer zuzustreben. Von daher werden auch beide Abflusskomponenten zusammen als Direktabfluss bezeichnet.

Abflusskonzentration

Die Phase der Abflusskonzentration beschreibt den zeitlich verzögerten Transport der aus dem Niederschlag stammenden Abflusskomponenten zum Tiefpunkt des Einzugsgebiets bzw. bis zur Einmündung in ein Gewässer. Dabei ist sowohl der zeitliche Versatz (Translation) aufgrund der Fließzeit sowie die Verformung der Abflussganglinien durch die Speicherwirkung des Gebiets (Retention) zu erfassen. Diese Effekte werden meist hydrologisch (im Gegensatz zu hydraulischen Verfahren), mit der sog. Übertragungsfunktion des Gebietes beschrieben, welche überwiegend


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als linear angenommen wird, d.h. als ereignisunabhängige Systemeigenschaft. Für die mathematische Modellierung stehen hierzu die von den Hochwasser-Modellen her bekannten Verfahren zur Verfügung, z.B. die Einheitsganglinie (direkt oder in Form von Einzel-Linearspeichern bzw. Speicherkaskaden) sowie das Zeit-Flächen-Diagramm (Isochronen-Verfahren). Bei Langzeitbetrachtungen kommt, neben der Konzentration des Oberflächenabflusses und Interflows bei Hochwasser, vor allem der richtigen Erfassung der Komponente Grundwasserabfluss/Basisabfluss eine entscheidende Bedeutung zu, da sie den Gewässerabfluss bei Niedrigwasser bestimmt.

Wellenablauf

Der letzten Teilphase, dem Wellenablauf (oder auch Flood-Routing genannt), kommt bei Langzeitmodellen eine eher untergeordnete Rolle zu, da sie nur bei Hochwasserereignissen von Bedeutung ist. Die Vielzahl der hydraulischen und hydrologischen Ansätze sind daher auch aus der Hochwasser-Modellierung ausreichend bekannt (und kommentiert). Ähnlich wie bei der Abflusskonzentration sind auch hier Translations- und Retentionseigenschaften eines Gewässerabschnittes zu beschreiben, welche eine durchlaufende Hochwasserwelle, insbesondere bei Ausuferungen, dämpfen und verzögern.

Bei Langzeitsimulationen kommen meist hydrologische Verfahren (wie z.B. das Kalinin-Miljukov-Verfahren, Kap.12.3.2.2) zur Anwendung, da hydraulische Ansätze, welche auf den St. Venant'schen Differentialgleichungen beruhen, einen für diese Fragestellungen nicht gerechtfertigten Rechenaufwand erfordern. Bei der Verwendung von Simulationszeitschritten in der Größenordnung von einem Tag ist der Wellenablauf sogar oft im Teilmodell Abflusskonzentration implizit mit enthalten, da die separate Betrachtung von Gewässerabschnitten kleiner und mittlerer Einzugsgebiete, aufgrund der relativ geringen Fließzeiten, eine wesentlich höhere zeitliche Auflösung der Modellierung erfordern würde.

Zur Übersicht über die einzelnen Prozessphasen und deren modellmäßige Erfassung dient Abb 10.1:. Stellvertretend erfolgt dies anhand der Modellstruktur von NASIM, eines weit verbreiteten deutschen Kontinuummodells.


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Abb 10.1: Übersicht über die einzelnen Prozessphasen und deren modellmäßige Erfassung, Modellstruktur von NASIM (OSTROWSKI, 1982):.


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12.2.2 Räumliche Diskretisierung

Konzeptuelle Modelle

Die historische Entwicklung geht von der Betrachtung des gesamten Einzugsgebietes als ein Block zu einer immer stärkeren Gliederung:

• Modell TAGMO nach HOLLE et al (1978): Das gesamte Gebiet wird als ein Block behandelt, es ist auch keine Gliederung in Gewässerstrecken vorgesehen.

• Modell KOMOD nach BRANDT (1979): Das gesamte Einzugsgebiet als eine Fläche abgebildet, in welcher auch die versiegelten Anteile enthalten sind.

• Modell NASIM nach OSTROWSKI (1982): Erlaubt eine Gebietsgliederung in Teilflächen, in überwiegend natürliche Teilflächen, versiegelte Teilflächen und Gewässerteilstrecken.

• Modell HSPF der U.S. Environmental Protection Agency (EPA, 1984): Für großräumige Flussgebiete konzipiert. Die Einzelkomponenten können aus einer beliebigen Anzahl von durchlässigen und undurchlässigen Teilflächen sowie Gewässerabschnitten bestehen.

Die neueren Modelle unterteilen das Einzugsgebiet in Flächenanteile mit ähnlicher hydrologischer Charakteristik (siehe COSERO, Kap.14). Bei großen Einzugsgebieten kann die Berechnung oft für Teileinzugsgebiete durchgeführt werden, die miteinander durch Gewässerstrecken (Wellenablauf) gekoppelt sind.

Gängige Gliederungen sind z.B.:

• Höhenzonen

• versiegelte Flächen und Wasserflächen

• Bodentypen

• unbefestigte Wege

• Landnutzungen

• Grundwasserferne Flächen (großer Flurabstand)

• Grundwassernahe Flächen (möglicher kapillarer Aufstieg)

Diese Flächen können in Einheiten mit ähnlichem bodenphysikalischem Aufbau unterteilt werden. Eine weitere Unterteilung ist nach der Nutzung möglich. Das Modell EGMO nach BECKER (1988) diskretisiert ganz ähnlich, Hangflächen werden zusätzlich unterschieden.

Die Fließwege durch ein Einzugsgebiet stellen ein 3-dimensionales, heterogenes Problem dar, das durch räumliche und zeitliche Veränderungen der Inputs und Fließvorgänge gekennzeichnet ist. Für die 3-D Modellierung dieser Vorgänge entstehen allerdings enorme Ansprüche an Daten und Rechenzeit, sodass nur kleine Systeme simuliert werden können. Daher erfolgt in den meisten verteilten Einzugsgebietsmodellen eine Vereinfachung durch Kopplung 1- und 2-dimensionaler Komponenten.

Grundlage von flächen- und raumdetaillierten Einzugsgebietsmodellen sind die partiellen Differentialgleichungen für die Wasserflüsse auf der Oberfläche und in porösen Medien, die mit numerischen Verfahren gelöst werden. Die räumliche Diskretisierung wird in Rastern bis zu


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Parzellengröße vorgenommen, wobei entsprechende Bodenkennwerte für jedes Rasterelement benötigt werden.

12.2.3 Zeitliche Diskretisierung Die Modelle unterscheiden sich sehr stark hinsichtlich der möglichen zeitlichen Diskretisierung. Normalerweise liegt der Rechenzeitschritt im Bereich von Stunden bis zu einem Tag. Es gibt aber auch Modellversionen für Dekaden- bis Monatszeitschritte.

Einige Modelle haben einen fixen Zeitschritt (z.B. TAGMO: dt = 1 Tag), die meisten lassen die Wahl des Zeitschrittes zu.


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12.3 Wasserwirtschaftlicher Rahmenplan Ein wasserwirtschaftlicher Rahmenplan ist ein generelles, räumlich und inhaltlich übergeordnetes Planungsinstrument, das eine für die Entwicklung der Lebens- und Wirtschaftsverhältnisse eines bestimmten Gebietes anzustrebende wasserwirtschaftliche Ordnung darstellt. Er wird Einzugsgebietsweise erstellt und behandelt die Gesamtheit der wasserwirtschaftlichen Aspekte. Mit dem Rahmenplan sollen die Nachteile einer Einzelplanung vermieden, gegensätzliche Interessen nach übergeordneten Gesichtspunkten ausgeglichen, eine Wirtschaftslenkung und eine Raumordnung auf der Basis einer geordneten Wasserwirtschaft ermöglicht werden.

Mit einem solchen Rahmenplan lässt sich, bei mehrfacher Nutzung des Wassers, nach Maßgabe der Dringlichkeit der Maßnahme unter Beachtung der für die Gesamtheit optimalen Kombination die geeignete Anordnung vorsehen, damit Fehlinvestitionen vermieden werden. Er ist kein zur Ausführung bestimmter Entwurf; er soll die Grundlagen für wasserwirtschaftliche Maßnahmen im Planungsraum bei größtmöglichem Nutzen und geringsten Schaden liefern.

Rechtliche Grundlage dieses Planungsinstruments ist das Wasserrechtsgesetz (WRG 1959).

Der wasserwirtschaftliche Rahmenplan hat Folgendes nachzuweisen:

• das gesamte natürliche und nutzbare Wasserdargebot,

• den derzeitigen Wasserbedarf und seine zukünftige Entwicklung auf absehbare Zeit für alle Bedarfszweige,

• die Möglichkeit der Deckung des Bedarfs aus dem Dargebot unter Berücksichtigung des Hochwasserschutzes und der Reinhaltung der Gewässer.

Abb 10.2: Planungsschema des wasserwirtschaftlichen Rahmenplans (Lecher, 1982)

I. PLANUNGSRAUM

(Einzugsgebiet)

1. politische Verhältnisse

2. natürliche Verhältnisse

3. Bevölkerung und Wirtschaft

II. WASSERDARGEBOT

4. oberirdische Gewässer

5. unterirdische Gewässer

natürliches Dargebot

nutzbares Dargebot

Herkunft

Beschaffenheit

III. WASSERBEDARF

6. Wasserversorgung

7. Reinhaltung (Abwasser)

8. Abflussregelung und Hochwasserschutz

9. Landwirtschaft

10. Wasserkraft

11. Schifffahrt

IV. WASSERBILANZ

12. Grundlagen der Wasserbilanz

13. Wasserbilanz zur Zeit der Planung

14. Entwicklung der Wasserbilanz

15. Wasserwirtschaftlicher Entwicklungsplan


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12.4 Hydrologische Einzugsgebietsmodelle (COSERO)

12.4.1 Einleitung Das COSERO-Modell ist ein physikalisch basiertes, kontinuierliches, deterministisches Niederschlags-Abfluss-Modell, es wurde am Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiven Wasserbau entwickelt. Es ist eine Weiterentwicklung des Enns-Modells (Kling, 2002). Es handelt sich dabei um ein konzeptionelles Bodenspeichermodell, welches mit einer Schneeschmelzkomponente kombiniert werden kann. Das Modell kann für eine beliebige Anzahl von hydrologisch ähnlichen Flächen und beliebigen Kombinationen von Teileinzugsgebieten angewendet werden.

12.4.2 Methodik

12.4.2.1 Zeitliche Diskretisierung Das Modell ermöglicht eine Berechnung des Abflusses in variablen Zeitschritten. Das kleinste mögliche Zeitintervall ist dabei Δt = 1 min. Dies ermöglicht eine leichte Anpassung an die vorliegende Datenstruktur und in Niederwasserzeiten kann somit mit längeren Zeitschritten gerechtnet werden. Dies führt zu einer Verkürzung der Rechenzeit.

12.4.2.2 Räumliche Diskretisierung Die räumliche Differenzierung erfolgt im COSERO über die drei Einheiten: Einzugsgebiet, Untereinzugsgebiete und Zonen.

• Einzugsgebiet Da Cosero ein halbverteiltes Modell ist können dadurch die starke Heterogenität innerhalb eines Einzugsgebietes besser berücksichtigt werden. Die Unterteilung richtet sich im wesentlichen nach vorhandenen Messpegeln und der Einmündung bedeutender Zubringer. Durch die Anordnung der Auslässe der Untereinzugsgebiete bei einem Pegel mit beobachteten Abflussdaten wird die Kalibrierung erleichter. Für jeden Auslass der Untereinzugsgebiete wird der Abfluss für jeden Zeitschritt errechnet.

• Untereinzugsgebiet Diese Gebiete setzen sich aus sogenannten Zonen zusammen. Somit ergibt die Summe der Zonenabflüsse den jeweiligen Abfluss aus dem Untereinzugsgebiet. Handelt es sich bei dem jeweiligen Untereinzugsgebiet um ein Zwischeneinzugsgebiet, so wird der Abfluss des oberhalb gelegenen Einzugsgebiet zunächst transformiert, um die Wellenverformung im Gerinne zu berücksichtigen, und danach zum jeweiligen Zwischeneinzugsgebietsabfluss addiert. Dies ergibt den Gesamtabfluss beim jeweiligen Bezugspunkt.


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Abb 10.3: Prinzipskizze der räumlichen Diskretisierung in COSERO

• Zone Die Zonen stellen hydrologische Einheiten (hydrological response units – HRUs) dar, für die aus Niederschlag und Temperatur, der Abfluss zunächst einzeln errechnet wird. Die Unterteilung in Zonen hängt von der jeweiligen Aufgabenstellung und raum-zeitlichen Skala ab. Für jede der Zonen wird der Zonenabfluss mit den eigentlichen Modulen des Niederschlag-Abfluss-Modells errechnet. Die Berechnung des Zonenabflusses erfolgt in mehreren Modulen wie zum Beispiel; Niederschlagsform, Evapotranspiration, Interseption, Boden, Speicher für Oberflächenabfluss, Speicher für Interflow-Abflusskomponente und Speicher für Basisabfluss.


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Abb 10.4: Struktur von COSERO – Räumliche Einheit „Zone“

12.4.3 Datenanforderung

12.4.3.1 Zeitliche Daten Die zeitlich variablen Daten sind Abflussdaten der Pegelmessstellen, potentielle Verdunstung, Niederschlagsdaten von Niederschlagsstationen und –rader und Temperatur.

12.4.3.2 Räumliche Daten Zur Erstellung der HRUs ist die räumliche Diskretisierung entscheidend, dabei werden Gebiete mit ähnlichen Eigenschaften zusammengefasst. Mögliche einheitliche Eigenschaften einer Zone sind die Höhenerstreckung, der Vegetationstyp, der Bodentyp, die Neigung, die Landnutzung oder die Exposition.


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12.4.4 Visualisierung der Ergebnisse Das Modell liefert für jedes Untereinzugsgebiet eine Abflussganglinie. Die simulierte Ganglinie kann mit beobachteten Ganglinien verglichen werden. Die Auslässe der Untereinzugsgebiete werden daher wenn möglich bei den Prognosepegeln im Einzugsgebiet angeordnet.

Abb 10.5: Ganglinien vom beobachteten, simulierten und prognostizierten Abfluss, Pegel Windpassing

QOBS...beobachteter Abfluss, QSIM...simulierter Abfluss, Qprog...prognostizierter Abfluss


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12.5 Lisflood

12.5.1 Einleitung LISFLOOD ist ein Niederschlags-Abfluss-Modell, es simuliert die Abflusswelle im Gerinne und im Umland. Im Gerinne wird zur Prognose der Welle die eindimensionale St.Venant-Gleichung herangezogen. Kommt es zu einer Überflutung des Umlands wird in diesem Bereich die zweidinemsionale Manning-Gleichung verwendet und ein Speicherzellenkonzept über den Raster angewendet. Das Modell verwendet als Grundlage ein digitalen Geländemodell (DGM).

12.5.2 Methodik

12.5.2.1 Räumliche Diskretisierung Die räumliche Diskretisierung erfolgt in drei Gruppen:

• Bodenregion (Soilregion) Die Bodenregion ist die grösste der drei Einheiten, sie dient zur Beschreibung des vorliegenden Bodens. Jede der Region weist unterschiedliche charateristiken auf, diese basieren auf: Urgestein, Höhenlage, Klima und dominierendes Ausgangsgestein.

• Bodenform (Soilscape) Die Bodenform representiert jenen Part der Bodenbedeckung die einen funtionellen Zusammenhang aufweisen. Das Hauptkriterium ist die Bodenerosin, die von morphologischen Beschaffenheit abhängig ist. Die wichstigsten morphologischen Attribute sind die Hangneigung, Hanglänge, Höhe und Form.

• Bodenkörper (Soilbody) Die Beschreibung des Bodenkörpers gibt Aufschluss ueber die Bodenentstehung, Bodenmächtigkeit und den unterschiedlichen Bodenhorizonten.


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Abb 10.6: Prinzipskizze der räumlichen Diskretisierung in LISFLOOD


12.5.3.1 Zeitliche Diskretisierung Es bestehen zwei Möglichkeiten zur Bestimmung der Zeitschritte, mit fixierten und adaptierten Zeitschritten. Die fixierte Diskretisierung benutzt ein explizites nummerisches Schema, die Konstante ist eine Funktion der Zelldimension und der Abflussrate. Typische Werte liegen zwischen 2 und 20 Sekunden. Die adaptierte Diskretisierung verwendet optimierte Zeitschritte, diese verringern sich quadratisch mit der Rastergrösse was ein Anstieg der Rechenleistung und damit höheren Kosten zur Folge hat.


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12.5.3.2 Räumliche Diskretisierung Die Grundlage der räumliche Diskretisierung ist das digitalen Geländemodell (DGM). Die Unterteilung der Einzugsgebiete in Teileinzugsgebiete erfolgt meist an vorhaldenen Messpegeln und an Einmündungen grösserer Zubringer, dies erleichtert die Kalibrierung. Zusätzlich werden noch Daten wie Landbedeckung, Bodenart, Bodentextur, Bodenmächtigkeit, Gefälle, Geologie und meteorologische Daten benötigt.

12.5.4 Visualisierung der Ergebnisse Das Ergebnis der Simulation ist ein Raster mit der Wassertiefe für jede Rasterzelle und jeden Zeitschritt, weiters wird für bestimmte Gebiete bzw. deren Auslässe die Abflussmenge ermittelt.


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12.6 Qualitäts- und Quantitätsmodel (WEAP)

12.6.1 Einleitung WEAP (Water Evaluation and Planning System) ist ein Programm zur Modellierung von Flussgebieten. Der Bedarf – Wasserverbraucher, Nutzungsgrad, Kreislaufführung und Preisgestaltung – und das Angebot – Zufluss, Grundwasser, Speicher und Wasserpipelines - haben in diesem System den gleichen Stellenwert. WEAP ist ein Instrument für Managementstrategien und zur Untersuchung von alternativen Entwicklungsszenarien. Es kann als Vorhersagemodelle und als Datenbasis verwendet werden. Als Vorhersagemodell kann es zukünftigen Verbrauch, Versorgung, Verschmutzungen, Behandlungen und Entnahmen simulieren. WEAP arbeitet nach den Grundlagen der Wasserbilanzierung und ist für Gemeinden, Landwirtschaft und komplexe Flusssysteme sowie für einfache Einzugsgebiete anwendbar. Andere Anwendungsmöglichkeiten sind:

• Wasserverbrauchsanalysen • Nutzungsrechte • Prioritäten Verteilung • Speichermanagement • Kosten – Nutzen Analysen

12.6.2 Methodik Das System wird hinsichtlich Versorgungsquellen (Flüsse, Gerinne, Speicher, Grundwasser) und Entnahmen (Abwasserreinigungsanlagen, Anforderungen von Ökosystemen, ...) dargestellt. Räumlich werden alle Nutzer-, Ressourcen- und Senkentherme als Punkte definiert. Das heißt sie haben keine räumliche Ausdehnung und wirken wie ein Speicher. Das Modell beruht auf der Bilanzierung sämtlicher Wasser- und Stoffflüsse zwischen Nutzer und Ressource bzw. Senke. Es erfolgt keine detaillierte flächenhafte Darstellung der Schadstoffausbreitung, sondern nur eine Speicher bezogene Bilanzierung. Die Programmanwendung hat mehrere Schritte: Definition des Simulationszeitraumes, der Systemkomponenten, der Systemabgrenzungen und das Aufzeigen des Problems. Der Datensatz stellt die aktuelle Situation, wie Wasserknappheit, Verschmutzung, Speicher und Versorgungssysteme, des Gebietes dar. Zusätzlich können dazu zukünftige Entwicklungen in der Entscheidungspolitik, technische Entwicklung, Kosten und andere Faktoren wie Klimawandel, Umweltverschmutzungen, Verbrauchsteigerung berücksichtigt werden. Die unterschiedlichen Varianten werden auf Basis von Annahmen oder Entscheidungen konstruiert. Am Ende werden die Varianten unter Rücksichtnahme von Wasserergiebigkeit, Kostennutzen-Analyse, Verträglichkeit mit Umweltzielen und von Unsicherheitsfaktoren beurteilt.


12.6.3.1 Zeitliche Diskretisierung Das Programm arbeitet mit Zeitschritten auf Monatsbasis. Die Eingangsparameter des aktuellen Jahres und das letzte Jahr der Simulation sind festgelegt. WEAP erzeugt eine monatliche Analyse beginnend mit dem ersten Monat der aktuellen Jahr bis zum letzten Monat des letzten simulierten Jahres. Das aktuelle Jahr ist normalerweise das mit den letzten verfügbaren, vertrauenswürdigen und kompletten Datensätzen, welche für die Modellierung der zukünftigen Szenarien als Grundlage dient. Dieses muss nicht unbedingt dem Durchschnitt entsprechen, aber es sollte die best mögliche Schätzung des bestehenden Systems wiederspiegeln.


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12.6.3.2 Monetäre Bewertung Bei der monetären Bewertung mit Geldeinheiten ist ein Diskontierungsfaktor festzulegen.

12.6.4 Visualisierung der Ergebnisse WEAP ist aufgebaut mit einem Set von 4 verschiedenen Darstellungen eines Gebietes:

• Schematic View • Data View • Results View • Overview View

Schematic View

Der Schematic View ist der Ausgangspunkt für alle Aktivitäten im WEAP. Das zentrale Element ist die leicht zu verwendende „drag and drop“ Benutzeroberfläche zur Darstellung und Beschreibung von Angebot und Bedarf (Flusse, Kanäle, Städte, Industrie und Landwirtschaft). Im Schematic View besteht die Möglichkeit, Segmente zu erschaffen, zu verändern und anzusehen. Zur besseren Darstellung können auch GIS Daten eingefügt werden.

Abb 10.7: Schematic View im WEAP

Data View

Im Data View können Modelle und Datenstrukturen dargestellt und Hypothesen aufgestellt werden. In dieser Ansicht kann der Bildschirm in vier Fenster aufgeteilt werden. Dies dient der vereinfachten Darstellung und Übersichtlichkeit der Datenstrukturen.

Fluss

Fluss

Entnahme vom Fluss

Entnahme vom GW

Rückflüsse ins GW (def. durch Menge und Stoffanteile)


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Abb 10.8: Data View im WEAP

Results View

Der Result View zeigt die unterschiedlichen Tabellen und Diagramme zur Darstellung aller Aspekte des Systems: Bedarf, Angebot, Kosten und Umweltbelastungen. Benutzerspezifische Berichte können für ein oder mehrere Szenarien gemeinsam betrachtet werden.

Abb 10.9: Results View im WEAP


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Overviews View

Den Overviews View verwendet man zur Gruppierung der wichtigsten Ergebnisse, die zuvor im Results View erstellt wurden. Die Ergebnisse verschiedener Szenarien und unterschiedliche Aspekte (Kosten, Wasserstände, Versorgungsgrad,...) können so in einem Fenster leicht und übersichtlich dargestellt werden.

Abb 10.10: Overview View im WEAP


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12.7 Stofftransport (WEPP)

12.7.1 Einleitung WEPP (Water Erosion Prediction Project) ist ein Programm zur Modellierung des Abtrags, Transports und der Sedimentation von Sedimentpartikell. Eingangsparameter sind Niederschlagsmenge und –intensität, Bodentextur, Bodenerodierbarkeit, Bodenbearbeitung, Pflanzeneigenschaften, Hangform, Hangneigung und Hangausrichtung. WEPP simuliert den Stofftransport über längere Zeiträume, z.B. einige Jahre, wobei für jeden Tag separate Klimadaten verwendet werden. An einem Tag kann ein Gewitter simuliert werden, das einen bestimmten Abfluss zur Folge hat. Für dieses Ereignis können Bodenabtrag, Bodenverfrachtung und -sedimentation ermittelt werden. Für die Simulation kann jedes beliebige Zeitintervall (z.B. Monate, Jahre, von Ereignis zu Ereignis) gewählt werden, die Ergebnisse werden getrennt ausgewiesen.

Ein Entwässerungsgebiet ist definiert durch ein oder mehrere Hänge, welche in ein oder mehrere Gerinne entwässern. Die kleinst mögliche Simulationseinheit enthält einen Hang und ein Gerinne.

Abflusscharakteristik, Bodenabtrag und Bodenablagerung werden zuerst für jede Einheit mit den definierten Parametern und für jeden Tage über die gesamte Simulationsperiode berechnet. Im Anschluss können die Resultate im sogenannten „watershed routing“ für jedes frei wählbare Zeitintervall ausgewiesen werden.

12.7.2 Methodik

12.7.2.1 Hang Wie oben erwähnt, ist der Hang die kleinste Einheit im WEPP. Jeder Hang muss separat definiert werden. Die Datensätze müssen mindestens die folgenden vier Eingabedaten enthalten:

• Klimadaten

• Hangbeschaffenheit

• Bodenbeschaffenheit

• Landwirtschaftliche Bewirtschaftung

Für die Simulation von Bewässerungen sind zusätzliche Daten erforderlich.


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Abb 10.11: Der Hang – kleinste Einheit des WEPP

12.7.2.2 Entwässerungsgebiet Zur Simulation eines Entwässerungsgebietes werden zusätzlich zu den Daten eines Hanges noch folgende Daten benötigt:

• Konfiguration des Entwässerungsgebiets

• Gerinnetopographie

• Zusammensetzung der Gerinnesohle

• Bewirtschaftungsplan des Gerinnes

• Gerinnehydraulik


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Abb 10.12: WEPP-Entwässerungsgebiet

12.7.3 Visualisierung der Ergebnisse WEPP kann unterschiedliche Arten von Ergebnissen produzieren, die gebräuchlichsten sind Abfluss- und Erosionssummenparameter, zeitlich kann zwischen einzelnen Gewitterereignissen, monatlichen, jährlichen und mittleren Jahreswerten gewählt werden.

Für jeden Hang können Erosions- und Ablagerungsflächen ausgewiesen werden. Die Werte stehen für jeden Hang sowie für jedes Teilgebiet und das gesamte Entwässerungsgebiet zur Verfügung.


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Abb 10.13: Systemschema eines WEPP-Entwässerungsgebietes

Abb 10.14:


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12.8 Watershed Modeling System (WMS)

12.8.1 Einleitung Das WMS ist ein umfassendes Programm zur Darstellung von graphischen Modellen bei hydraulischen und hydrologischen Aufgabenstellungen in Einzugsgebieten. WMS ist GIS kompatibel und unterstützt zusätzlich Programme wie HEC-1, TR-20 und 55, MODRAT und HEC-RAS.

12.8.2 WMS Module Das Programm ist besteht aus mehreren Modulen und kann indivituell zusammengesetzt werden. Die Module ermöglichen die Erstellung und die Änderungen von Modellen aus verschiedenen Datansätzen.

• Modul „Map“

Map kann ein Einzugsgebiet mittels Geoinformationssystemen (GIS) definiert und nutzt dies zum berechnen von hydrologischen und hydraulischen Modellen, oder verwendet diese Daten zur Erzeugung von TIN oder DGM. Diese Daten können im Map Modul gespeichert werden oder als GIS Daten exportiert werden. Bilder können ins WMS importiert werden und im Hintergrund dargestellt werden. Landnutzung und Bodentypen Layer können erstellt und als Modellierungsparameter verwendet werden.

Abb 10.15: Map Modul im WMS

• Modul „Terrain Data“

Mit dem Terrain Data Modul werden Überflutungstiefen und –gebiete modelliert, als Datengrundlage dient das DGM. Die Anschlagslinien und die Hauptstromrichtung werden zwischen den Querprofilen interpoliert und die Wassertiefen werden mit einem 2D-Modell ermittelt und graphisch dargestellt.


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Abb 10.16: Terrain Data im WMS

• Modul „Drainage“

Auf Basis der DGM oder TINs werden mit diesem Modul Einzugsgebiet und Flussverläufe ausgewiesen, weiters können Gefälle und Länge der Flussstrecken ermittelt werden. Es besteht auch die Möglichkeit zur Definition von Speichern.

• Modul „Flussmodelierung“

In diesem Modul werden die Daten von HEC-RAS modelierungen importiert und Überflutungsflächen ausgewiesen.

• Modul „2D Grid“ Das 2D Grid Modul wir zur Oberflächenvisualisierung verwendet und kann 2D Niederschlags-Abfluss-Modelle berechnen. Es teilt das Einzugsgebiet in Zellen auf und ermittelt für jede dieser Zellen Niederschlag, Infiltration und Abfluss.

Abb 10.17: 2D Grid im WMS


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12.9 Literaturverzeichnis

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BECKER, A. (1975): EGMO – Einzugsgebietsmodelle zur Abflussberechnung, -vorhersage und –simulation. WWT 25/9. S316-322

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BRANDT, Thiele (1979): Modell zur Abflussgangliniensimulation unter besonderer Berücksichtigung des grundwasserbürtigen Abflusses; Darmstadt

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Links:

www.scientificsoftwaregroup.com


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13 Stofftransport

Seite 13-1

13 STOFFTRANSPORT

13.1 Allgemeines ...............................................................................................13-3

13.2 Transport von Schadstoffen....................................................................13-4

13.3 Transport von Feststoffen .......................................................................13-5 13.3.1 Messung.................................................................................................................................... 13-6

13.3.1.1 Korngröße und Korngrößenverteilung ............................................................................. 13-6 13.3.1.2 Sohlschubspannung und Bewegungsbeginn..................................................................... 13-8

13.3.2 Quantitative Beschreibung ..................................................................................................... 13-10 13.3.2.1 Geschiebeformel DU BOYS........................................................................................... 13-11 13.3.2.2 Gleichung von SHIELDS (1936) (aus Zanke, 1982)...................................................... 13-12 13.3.2.3 Geschiebefunktion von EINSTEIN (1950) (aus Zanke, 1982) ...................................... 13-13 13.3.2.4 Geschiebeformel nach MEYER-PETER und MÜLLER [1949] .................................... 13-15 13.3.2.5 Geschiebeformel GRAF ................................................................................................. 13-16

13.3.3 Bettbildender Wasserstand ..................................................................................................... 13-17 13.3.4 Transportkörper ...................................................................................................................... 13-19

13.3.4.1 Riffel............................................................................................................................... 13-19 13.3.4.2 Dünen ............................................................................................................................. 13-19 13.3.4.3 Antidünen ....................................................................................................................... 13-19

13.4 Literaturverzeichnis...............................................................................13-20

13 Stofftransport

Seite 13-2


ABB. 13.1: FORMEN DES SEDIMENTTRANSPORTES (DVWK SCHRIFTEN, 1988)........................ 13-5

ABB. 13.2: KORNGRÖSSEN DES GESCHIEBES VERSCHIEDENER FLÜSSE................................... 13-7

ABB. 13.3: KORNVERTEILUNGSBAND, DONAU ZWISCHEN ILLER UND INN NACH BAUER .. 13-7

ABB. 13.4: BESTIMMUNG DER SCHUBSPANNUNGSVERTEILUNG................................................ 13-8

ABB. 13.5: BEWEGUNGSBEGINN NACH SHIELDS MIT ANGABE DES BEWEGUNGSRISIKOS (R) NACH ZANKE, 1990 (DVWK REGELN, 1992)...................................................................... 13-9

ABB. 13.6: BEWEGUNGSBEGINN NACH HJULSTRÖM (FÜR QUARZMATERIAL) ....................... 13-9

ABB. 13.7: HIDING-EFFEKT (DVWK-REGELN, 1992)........................................................................ 13-10

ABB. 13.8: BEZIEHUNG ZWISCHEN oτ , sψ UND DEM MITTLEREN KORNDURCHMESSER DM FÜR DIE GESCHIEBETRIEBGLEICHUNG VON DU BOYS NACH L.G. STRAUB........ 13-12

ABB. 13.9: BEZIEHUNG ZWISCHEN Φ UND Ψ (EINSTEIN, 1950) ................................................... 13-15

ABB. 13.10: GESCHIEBEFORMEL GRAF ............................................................................................. 13-17

ABB. 13.11: GRAPHISCHE ERMITTLUNG DES BETTBILDENDEN WASSERSTANDES.............. 13-18

ABB. 13.12: GRAPHISCHE ERMITTLUNG DER VERGRÖßERUNG DER GESCHIEBEFRACHT DURCH EINENGUNG............................................................................................................ 13-18

ABB. 13.13: SCHEMATISCHE DARSTELLUNG DER SOHLFORMEN ............................................. 13-19

Tabellenverzeichnis

TAB 13.1: ABHÄNGIGKEIT DER PROBENMENGE VON DER KORNGRÖßE .................................. 13-7

13 Stofftransport

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13.1 Allgemeines In der Hydrologie wesentlich sind der Transport von Schadstoffen im Untergrund sowie der Transport von Feststoffen in Oberflächengewässern.

Schadstoffe können in gelöster oder in kolloider Form im Wasser vorhanden sein. Man unterscheidet in erster Linie organische Schadstoffe (CKW, Mineralöle, PAK, usw.), anorganische Schadstoffe (Schwermetalle, Nitrat, usw.) und Mikroorganismen (z.B. Bakterien).

Feststoffe werden nach ihrer Herkunft unterteilt: Während ein Anteil von der Gerinnesohle erodiert wird, besteht der andere Anteil aus Sedimenten, welche durch Verwitterung und Flächenerosion im Einzugsgebiet produziert werden und mit dem Oberflächenabfluss oder auch mit dem Wind in das Gewässer gelangen. Einflussfaktoren für den Eintrag von Feststoffen aus dem Einzugsgebiet sind, wie in Abb. 13.1: dargestellt, vor allem die Gebietsparameter (Niederschlag, Wind, Temperatur, Bodenart, Bodennutzung, Vegetation, Geländegefälle etc., vgl. Allgemeine Bodenabtragsgleichung).

13 Stofftransport

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13.2 Transport von Schadstoffen

Der Eintrag von Schadstoffen in das Grundwasser kann über die Bodenzone oder über Oberflächengewässer erfolgen und ist räumlich und zeitlich variabel. Die Gefährdung die von den Schadstoffen ausgeht hängt ab von Menge, Toxizität und Verhalten im Untergrund ab. Man unterscheidet:

Punktförmige Emissionsquellen: z.B. Industrie, Kläranlagen, usw.

Linienförmige Emissionsquellen: z.B. Oberflächenabfluss von Straßen

Flächige Emissionsquellen: z.B. undichte Deponien, Nährstoffeinträge aus der Landwirtschaft, Luftverschmutzung (saurer Regen)

13 Stofftransport

Seite 13-5

13.3 Transport von Feststoffen Der Feststofftransport in Fließgewässern tritt in den in Abb. 13.1: dargestellten Formen auf. Während bei Flachlandflüssen der größte Teil der Sedimente als Schwebstoffe transportiert wird, überwiegt im Oberlauf der Flüsse im allgemeinen das in unmittelbarem Kontakt mit der Gewässersohle bewegte Geschiebe. Daneben wird unterschieden zwischen dem transportierten Bettmaterial, dessen Korngrößen auch in der Sohle vertreten sind, und der Spülfracht ("wash load"), welche aus feinkörnigerem Material als die Gewässersohle besteht.

Abb. 13.1: Formen des Sedimenttransportes (DVWK Schriften, 1988)

Während das Bettmaterial sowohl als Geschiebe als auch in suspendierter Form transportiert werden kann, handelt es sich bei der Spülfracht um Partikel, welche ohne Kontakt mit der Sohle als Schwebstoffe durch den Querschnitt transportiert werden.

Der Bettmaterialtransport (Geschiebe und suspendiertes Bettmaterial) steht in Zusammenhang mit Vorgängen an der Gerinnesohle (Erosion, Sedimentation, Resuspension) und ist sowohl von den hydraulischen Parametern des Gerinnes (Abfluss, Wassertiefe, Fließgeschwindigkeit, Gefälle) als auch von der Korngröße und Korngrößenverteilung des Sohlmaterials abhängig. Für die "wash load" besteht dagegen keine direkte Abhängigkeit von diesen Parametern.

In der Praxis wird häufig ein oberer Grenzwert von d = 0,06 mm für die "wash load" verwendet.

13 Stofftransport

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Nach KRESSER (1964) hängt es vom Verhältnis des auf die Feststoffe einwirkenden Impulses zum Gewicht ab, ob ein Teilchen zu Boden sinkt oder in Schwebe bleibt. Zieht man Formbeiwert und Stoffkonstanten zu einem Koeffizienten zusammen, gilt:

Dgv

K m2

1 = Glg. 13.1

wobei

vm....... mittlere Geschwindigkeit g......... Erdbeschleunigung D........ Korndurchmesser

Durch Eichung an verschiedenen Flüssen fand KRESSER, dass K1 = 360 den Grenzzustand zwischen Geschiebe und Schweb ausdrückt. Daraus folgt der kritische Korndurchmesser

gv

D mcrit 360

2

= Glg. 13.2

Die Trennung der Feststoffe in Geschiebe und Schweb ist hauptsächlich methodisch bedingt und soll nicht dazu verleiten, darin zwei voneinander scharf geschiedene Erscheinungsformen zu erblicken (MANGELSDORF & SCHEURMANN, 1980).

13.3.1 Messung

Das Ergebnis einer Berechung des Feststofftriebs hängt entscheidend von der Kenntnis der grundlegenden hydraulischen, sedimentologischen und morphologischen Einflussgrößen ab.

13.3.1.1 Korngröße und Korngrößenverteilung Die Korngröße und der wirksame Korndurchmesser dm sind die wichtigsten Parameter. Die Korngröße und deren prozentuale Verteilung können zur Charakterisierung einer Sedimentprobe, welche z.B. der Gewässersohle entnommen wurden, herangezogen werden. Im Normalfall unterscheidet sich die Korngrößenverteilung der Deckschicht eines Gewässerbetts deutlich von der darunterliegenden Schichte. Während das Substrat der letzteren noch gut durchmischt ist und Körner aller Größen aufweisen kann, besteht die Deckschicht aufgrund selektiven Geschiebe-transports nur mehr aus Körnern ab einer gewissen Korngröße, da die kleineren Feststoffe erodiert werden. Man spricht auch von einer „natürlichen Sohlpflasterung“. Bei einer Anhebung des Wasserspiegels, z.B. bei einem Hochwasser erfolgt eine neuerliche Durchmischung. Bei Geschiebeuntersuchungen sind also immer die Kornverteilung sowohl der Deckschicht als auch der Unterschicht zu untersuchen.

Bei der graphischen Darstellung der Kornverteilung einer bestimmten Probe spricht man von einer Kornverteilungskurve (Abb. 13.2:), wird die Kornverteilung entlang eines Gewässerlaufs an mehreren Stellen aufgenommen und die Fraktionsanteile in der graphischen Darstellung mit Geraden verbunden, spricht man von einem Kornverteilungs- oder Geschiebemischungsband (Abb. 13.3:).

Die Korngrößenverteilung wird in der Regel durch eine Siebung oder bei Korngrößen unter 0,06 mm durch eine Schlämmanalyse ermittelt. Die Probemenge ist dabei nach Tab 15.1 (DIN 18123) dem geschätzten Größtkorn anzupassen.

13 Stofftransport

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Tab 13.1: Abhängigkeit der Probenmenge von der Korngröße

geschätztes Größtkorn [mm]

Probenmenge (mindestens) [g]

2 150 5 300 10 700 20 2000 30 4000 40 7000 50 12000 60 18000

Abb. 13.2: Korngrößen des Geschiebes verschiedener Flüsse (DVWK Regeln, 1992)

Abb. 13.3: Kornverteilungsband, Donau zwischen Iller und Inn nach Bauer, 1965

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13.3.1.2 Sohlschubspannung und Bewegungsbeginn Infolge der Grenzflächenreibung und der Grenzflächenwiderstände überträgt eine Strömung auf die Grenzfläche (Gewässersohle) eine Schubspannung. In einem Gerinne mit freier Oberfläche hat die Schubspannung τ an der Oberfläche den Wert Null und ist an der Sohle am größten. τ ändert sich linear mit der Wassertiefe (siehe Abb. 13.4:) nach der Funktion

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

hyJhgy 1ρτ Glg. 13.3

wobei:

h........Wassertiefe y........Entfernung von der Sohle J ........Gefälle

Die Schubspannung τo an der Sohle (y = 0) ist

τ ρo g h J= Glg. 13.4

Abb. 13.4: Bestimmung der Schubspannungsverteilung

Man drückt Glg. 13.3 daher auch oft in folgender Form aus:

( )τ τy oyh

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1 Glg. 13.5

aus.

Der Quotient τo/ρ ist definiert als

Jhguo == 2*ρ

τ Glg. 13.6

worin *u die Schubspannungsgeschwindigkeit genannt wird.

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Die kritische Sohlschubspannungsgeschwindigkeit für den Bewegungsbeginn rolligen Materials wird meist nach SHIELDS (1936) berechnet (siehe Abb. 13.5:).

Abb. 13.5: Bewegungsbeginn nach SHIELDS mit Angabe des Bewegungsrisikos (R) nach ZANKE, 1990 (DVWK Regeln, 1992)

Für praktische Betrachtungen benutzt man häufig einfache v-d-Beziehungen, wie z.B. das Diagramm von HJULSTRÖM, wobei der linke Bereich (bindiges Material) kaum zuverlässig sein dürfte (siehe Abb. 13.6:).

Abb. 13.6: Bewegungsbeginn nach HJULSTRÖM (für Quarzmaterial) (DVWK Regeln, 1992)

Bezüglich des Bewegungsbeginns ist festzuhalten, dass die einzelnen Körner eines Feststoffgemisches bei rolligem Material je nach Größe und Exposition zur Strömung in Bewegung gesetzt werden. Die gröbsten Körner sind der Strömung in der Regel stärker ausgesetzt, halten

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dafür aber auch einem größeren Strömungsangriff stand. Kleinere Körner werden zwischen den größeren abgeschirmt ("Hiding-Effekt", RIBBERINK, 1987, siehe Abb. 13.7:).

Abb. 13.7: Hiding-Effekt (DVWK-Regeln, 1992)

13.3.2 Quantitative Beschreibung Aufgrund der komplexen Problematik des Feststofftransportes und der schwierigen Erfassung der Einflussfaktoren gehen sämtliche Transportmodelle von bestimmten idealisierenden Annahmen für Schwämmung, Querschnitt, Fließstrecke, Gewässersohle, Feststoffe und lokale Effekte aus:

Strömung: • mehr oder weniger stationär und gleichförmig • im Tidebereich kritisch (lokale Einflüsse)

Querschnitt: • Gerinne mit regelmäßiger Querschnittsform und nur geringen

Querschnittsänderungen • nicht gegliederte Querschnitte

Fließstrecke: • verhältnismäßig gestreckte Linienführung, d.h. keine starken Krümmungen

Gewässersohle: • Sohlmaterial relativ gleichförmig, nicht kohäsiv • keine Abpflasterung

Feststoffe: • nicht organisch und nicht kohäsiv • Spülfracht ("wash load") wird nicht erfasst

Lokale Effekte: • lokale Effekte, wie z.B. Auskolkungen an Bauwerken oder in Flusskrümmungen sind

ausgeschlossen

Berechnungen des Geschiebetriebes nach hydromechanischen Ansätzen wurden bereits im vergangenen Jahrhundert begonnen. Die Schubspannung ist die Tangentialspannung zwischen Flüssigkeit und Sohle. Sie ändert sich linear mit der Wassertiefe. Nach der 1879 von DU BOYS aufgestellten Theorie setzt beim Überschreiten einer kritischen Schubspannung τ o der Geschiebetrieb ein. Daraus leitet sich die Grenzgeschwindigkeit v ab.

Vorgangsweise bei der Berechnung des Geschiebetriebs: 1. Schrittweise Wasserspiegellagenberechnung; Rechenrichtung stromaufwärts

2. Berechnung der Schleppspannung τ1,τ2...τn in jedem Rechenabschnitt Δx; Rechenrichtung: stromabwärts

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3. Geschiebetriebsberechnung: Transport wenn τ>τcrit. Berechnung mit Hilfe von Transportgleichungen (=Geschiebeformeln)

4. Für jeden Abschnitt Δx wird für die Deckschicht und die Schicht darunter eine Bilanzgleichung aufgestellt. Der so ermittelte Geschiebeeintrag bzw. –austrag beschreibt die Anlandung oder aber den Sohlabtrag in der Natur.

Problem: Wenn sich das hydraulische System verändert, ändert sich auch die Schleppspannung τ.

Über den Beginn des Geschiebetriebs liegen zahlreiche Arbeiten v. a. von SHIELDS (1963) vor. Das Transportvermögen für geändertes Geschiebe kann nach der Formel von MEYER-PETER berechnet werden.

Außerdem gibt es Geschiebeformeln und Gleichungen von SCHOKLITSCH, EINSTEIN, YANG, GRAF, ENGELUND und HANSEN, KALINSKE und SCHAFFERNAK. (Ermittlung der Geschiebefracht, graphisch)

Generell sollte jedoch erwähnt werden, dass alle Geschiebeformeln jeweils nur einen repräsentativen Korndurchmesser betrachten. Dieser muss entweder gewählt werden oder es wird der Transport für mehrere verschiedene Durchmesser berechnet und anschließend addiert.

Ferner dienen alle Formeln natürlich nur dazu einen potentiellen Geschiebetransport zu berechnen, wenn also kein Geschiebe vorhanden ist (z.B. unterhalb einer Stauhaltung), findet natürlich auch kein Transport statt.

13.3.2.1 Geschiebeformel DU BOYS DU BOYS nahm an, dass das Geschiebe in Schichten wandert. Diese Bewegung wird durch die Schleppspannung

IRhw ⋅⋅= γτ Glg. 13.7

wobei

I ........Gefälle des Gerinnes Rh......hydraulischer Radius (m) γ w ....spez. Gewicht des Wassers (N/m3) = 10.000 N/m3,

verursacht, welche man erhält, indem man das Gewicht eines Wasserkörpers auf eine um α geneigte Sohle in eine reine Druck- und eine parallel zur Sohle wirkende Kraft t aufteilt. Das Korn vom Durchmesser x bewegt sich erst, wenn τ eine gewisse Größe erreicht hat, man nennt diesen Wert die kritische Schleppspannung τo.

Der spezifische Geschiebetrieb gs (pro m Flussbreite) errechnet sich schließlich aus folgender Gleichung:

( ) [ ]msNg oss /τττχγ −⋅⋅⋅= Glg. 13.8

wobei

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γ s .....spezifisches Gewicht des Geschiebes (N/m3) χ .....Geschiebekonstante (m6/s N2), Faktor zur Dimensionsbereinigung τ ......Schleppspannung (N/m2) τ o .....kritische Schleppspannung (N/m2)

Abb. 13.8: Beziehung zwischen oτ , sψ und dem mittleren Korndurchmesser dm für die

Geschiebetriebgleichung von DU BOYS nach L.G. STRAUB (ZIPPE, 1973; GEHRIG, 1977)

13.3.2.2 Gleichung von SHIELDS (1936) (aus Zanke, 1982) SHIELDS entwickelte die Formel von DU BOYS weiter und untersuchte den quantitativen Sedimenttransport von Materialien unterschiedlicher Dichte in einem Laborgerinne. Dabei schloss SHIELDS diejenigen Abflüsse, bei denen Riffel (siehe Kap. 13.3.4.1) auftraten, aus. Mit dem Term (γ s -γF) gelang es ihm den Auftrieb der einzelnen Körner zu berücksichtigen.

Unter dieser Einschränkung fand er für den Geschiebetransport den folgenden Zusammenhang:

( )( ) dJQq

FsG ⋅−⋅′

−⋅⋅⋅=

γγρττ 010 Glg. 13.9

Die Gleichung von SHIELDS ist dimensionsecht und lautet:

( )cm FrFr

uuG **

** 10 −⋅⋅= Glg. 13.10

13 Stofftransport

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oder in anderer Schreibweise

)(10 ****

* cm FrFrFr

uug −⋅⋅⋅= Glg. 13.11

wobei:

qG......Gesamt-Sedimenttransport (für Geschiebe) Q.......Abfluss J ........Gefälle τ ......Schubspannung τ o .....Schubspannung beim Beginn der Sedimentbewegung ρ′ ....relative Dichte γ s .....spezifisches Gewicht des Sediments γF.......spezifisches Gewicht des Fluids d........Korngröße G* .....dimensionslose Transportkennzahl um .....mittlere Geschwindigkeit über die Gerinnetiefe u* ......Schubspannungsgeschwindigkeit Fr*.....FROUDE-Zahl des Kornes Fr*c....Korn-FROUDE-Zahl bei Bewegungsbeginn

13.3.2.3 Geschiebefunktion von EINSTEIN (1950) (aus Zanke, 1982) EINSTEIN fasst die Geschiebebewegung als ein Wahrscheinlichkeitsproblem auf. Bei der Aufstellung seiner Geschiebegleichung geht er zunächst von Experimenten aus, bei denen die Bewegung in Suspension grundsätzlich vernachlässigt wird. Aus diesen Versuchen zeigt er folgende Schlüsse:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Geschiebeteilchen durch die Strömung an der Sohle bewegt wird, hängt von seiner Größe, seiner Gestalt, seinem Gewicht und vom Strömungsvorgang in Sohlennähe ab und nicht davon, was vorher mit dem Teilchen geschah.

2. Das Teilchen bewegt sich, wenn der augenblickliche hydrodynamische Auftrieb größer ist als sein Gewicht.

3. Wenn das Teilchen einmal in Bewegung ist, ist die Wahrscheinlichkeit einer Wiederablagerung in allen Punkten der Sohle gleich, an denen die örtliche Strömung das Teilchen nicht sofort wieder forttragen würde.

4. Die durchschnittliche Entfernung, die ein Teilchen von Ablagerung zu Ablagerung durchwandert, ist konstant für jedes Teilchen und unabhängig von den Strömungsbedingungen, der Abflussmenge und der Zusammensetzung der Sohle. Für ein annähernd kugelförmiges Korn kann diese Entfernung zu 100 Korndurchmessern angenommen werden.

5. Die Bewegung von Sohlenteilchen durch größere Sprünge, wie sie von BAGNOLD beschrieben wird, kann wie KALINSKE zeigte, im Wasser vernachlässigt werden.

6. Die Störung der Sohlenoberfläche durch bewegte Geschiebeteilchen kann im Wasser vernachlässigt werden.

Aus diesen Feststellungen folgt, dass die Veränderlichen, die an irgendeinem Punkt der Sohle die Geschiebebewegung bestimmen, erstens die Zusammensetzung der Sohle im Umkreis von 100 Korndurchmessern und zweitens die Strömungsbedingungen im selben Gebiet sind. Oder anders ausgedrückt: Die Menge des bewegten Geschiebes wird durch einen allmählichen Wechsel der Lage der Sohle nicht geändert, solange ihre Zusammensetzung sich nicht ändert. Die Gesetze des Transportgleichgewichts können deshalb auf ein veränderliches Bett angewendet werden, solange es möglich ist, das Bett und die örtliche Strömung während des Wechsels zu beschreiben.

13 Stofftransport

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EINSTEIN gibt für die Wahrscheinlichkeit, dass bestimmte Sohlenteilchen in der Zeiteinheit aus der Sohlenoberfläche herausgelöst werden, einen Ausdruck an, der die Transportmenge dieser Teilchen, die Größe und das Gewicht der Teilchen, sowie außerdem einen Zeitfaktor enthält, der dem Verhältnis des Teilchendurchmessers zur Fallgeschwindigkeit des Teilchens proportional ist. Dieser Ausdruck hat nach Zusammenfassung mehrerer Konstanten folgende Form:

**1φ⋅=

−A

pp

Glg. 13.12

Darin ist p die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Teilchen aus der Sohle herausgelöst wird. A* ist eine Konstante und die Funktion φ* ist definiert als

2/3**

2/1

3

2/11. FrGdgg

q

FS

F

S

G ⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⋅′′

=ρρ

ρρ

φ Glg. 13.13

Dieser Ausdruck ist eine dimensionslose Kenngröße des Geschiebetransportes, die EINSTEIN die "Intensität des Geschiebetransportes" φ nennt. Sie kann nach EINSTEIN als Kriterium für die dynamische Ähnlichkeit zweier geschiebeführender Strömungen verwendet werden.

Die Wahrscheinlichkeit für das Herauslösen eines bestimmten Kornes drückt EINSTEIN dann noch einmal durch das Verhältnis des dynamischen Auftriebs zum Unterwassergewicht der Teilchen aus und erhält nach Einführen mehrerer Konstanten schließlich folgenden Funktion:

∫⋅−⋅

⋅−⋅−

−⋅−=O

O

B

B

t dtePηψ

ηψπ

/1

/1..

'**

2

'11 Glg. 13.14

Darin sind B* und η0 Konstanten, während der Wert ψ*, den EINSTEIN als Schubspannungsintensität bezeichnet, bei einheitlicher Korngröße folgenden Wert hat:

**

1' FrJRd

eBF

FS =⋅

⋅−

=ρ

ρρψ Glg. 13.15

Verwendet man den Ausdruck p der Glg. 13.14 in Glg. 13.12, so erhält man folgenden Ausdruck für die Geschiebegleichung:

∫⋅−⋅

⋅−⋅−

−

⋅+⋅

=⋅−o

o

B

B

t

AAdte

ηψ

ηψ

φφ

π

1

1 **

**'

**

**

2

1'11 Glg. 13.16

in der A*, B* und η0 allgemeine Konstanten mit folgenden Werten sind: A* = 43,5; B* = 0,143 und ηo = 1/2.

Dieser verhältnismäßig schwierige Ausdruck lässt sich als einfache Funktion der Schubspannungsintensität ψ und der Intensität des Geschiebetransportes φ darstellen. Abb. 13.9: zeigt diese Funktion zusammen mit Versuchsergebnissen, aus denen von EINSTEIN die Konstanten A* und B* bestimmt wurden.

13 Stofftransport

Seite 13-15

Abb. 13.9: Beziehung zwischen φ und ψ (EINSTEIN, 1950)

13.3.2.4 Geschiebeformel nach MEYER-PETER und MÜLLER [1949] Den Zusammenhang zwischen den hydraulischen Daten eines Flussprofils und der je Meter Flussbreite geförderten Geschiebemenge g"S in kg/m.s (unter Wasser gewogen) bei einem als maßgebend angesehenen Korndurchmesser dm stellt die folgende Formel dar. Sie wurde experimentell gefunden und durch theoretische Ableitung bestätigt.

13 Stofftransport

Seite 13-16

mS

S

mSr

SS

mS

rS

dg

gBA

dJh

kk

QQ

dJR

⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+=

⋅⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

⋅⋅

⋅'"""

''

3/23/12/3

γγ

γγ

γγ Glg. 13.17

γ ......1000 kg/m3 = Wichte des Wassers RS......hQS/Q = hydr. Radius für den Geschiebetrieb bewirkenden Abflussanteil je m Breite in m JR ......Reibungsgefälle in m/m γ ’s ...(γS - γ) in kg/m³

dm .....( )100

pd Δ⋅∑= maßgebender Geschiebekorndurchmesser in m

d Δ p .prozentualer Anteil der Körner mit dem jeweiligen Korndurchmesser d in m in der Kornverteilungskurve QS .....qSB = für den gesamten Geschiebetrieb in Betracht kommende Teilwassermenge in m3/s Q.......Abflussmenge in m3/s h........Wassertiefe in m

qS ......Q

h B2 += spez. Abflussmenge in m3/s.m

B .......Sohlenbreite im m γS......Wichte der Geschiebeproben in kg/m³ A" = 0,047 und B" = 0,25 = Konstanten, einheitenlos g"S.....Geschiebetrieb je m Flussbreite und sek

MEYER-PETER und MÜLLER führen das Reibungsgefälle JR (auch „wirksames Gefälle“) ein. DA durch Turbulenzen im Sohl- und Uferbereich nicht die ganze Energie in Transportenergie umgewandelt wird ist JR immer wesentlich kleiner als J (außer bei breiten Gewässerquerschnitten und glatter Sohle). Auch eine visuelle, rein qualitative Abschätzung von JR ist möglich. Diese Formel funktioniert v.a. bei Fließgewässern mit grobkörnigem Geschiebe gut.

Rechnerisch-quantitativ kann JR über folgende Beziehung ermittelt werden:

Jkk

JR

SR *

32

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= Glg. 13.18

wobei:

kS....... Strickler-Beiwert

kR...... Rauhigkeitsbeiwert

JR...... Reibungsgefälle

J......... Sohlgefälle

13.3.2.5 Geschiebeformel GRAF

Graf stellt eine Beziehung zwischen der Reynolds-Zahl Re, der Bettform und der Schubspannungsintensität ψ auf.

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Abb. 13.10: Geschiebeformel GRAF

13.3.3 Bettbildender Wasserstand Bei gesicherten Böschungen kann sich der Fluss nur in der Sohle umbilden. Eine Umbildung erfolgt durch Einengung des jeweiligen Profiles (HW, MW, NW). Die rascheste Wirkung in Bezug

13 Stofftransport

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auf Umbildung erzielt die Einengung auf den bettbildenden Wasserstand. (Anlage v. Leitwerken oder Buhnen).

Bei Wasserstand h'p wird in bestimmten Δt die größte Geschiebefracht gefördert (rascheste Umbildung).

Abb. 13.11: Graphische Ermittlung des bettbildenden Wasserstandes

Erhöhung der Geschiebefracht durch Einengung Bei Einengung Hebung des Wasserspiegels auf hp2.

Für mehrere Punkte angewandt ergibt sich GMDL (2). Fläche zwischen (1) und (2)

Abb. 13.12: Graphische Ermittlung der Vergrößerung der Geschiebefracht durch Einengung (1) ursprünglicher Bestand, (2) neuer vorgeschlagener Bestand

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13.3.4 Transportkörper An der Sohle eines natürlichen Gerinnes bilden sich nach Einsetzen des Geschiebetransportes in den meisten Fällen mehr oder weniger ausgeprägte Unebenheiten, die als Transportkörper bezeichnet werden, und deren Höhe bis zu 1/3 der Wassertiefe erreichen kann. Die Intensität des Abflusses und der Feststoffbewegung wird durch diese Sohlformationen beeinflusst. Allgemein unterscheidet man drei Transportkörper-Grundformen (DIN 4049):

13.3.4.1 Riffel Kleine, meist unregelmäßige Sohlunebenheiten, die sich in Strömungsrichtung bewegen und deren Höhe von der Wassertiefe unabhängig ist. Sie sind so klein, dass ihr Einfluss auf die Strömung nicht bis an die Oberfläche reicht.

13.3.4.2 Dünen Größere, meist regelmäßige Sohlwellen, die sich in Strömungsrichtung bewegen und deren Höhe von der Wassertiefe abhängig ist. Sie beeinflussen die Strömung bis an die Oberfläche.

13.3.4.3 Antidünen Wellige Sohlformen, die sich bei schießendem Abfluss bilden und phasengleich mit den Oberflächenwellen gegen die Strömungsrichtung wandern. Riffel und Dünen können auch überlagert auftreten, Antidünen treten selten auf (siehe Abb. 13.13:).

Abb. 13.13: Schematische Darstellung der Sohlformen in Abhängigkeit der sedimentologischen und hydraulischen Einflussgrößen

( Fρ = 2650 kg/m3, Wρ = 1000 kg/m3, T = 18°C) nach ZANKE, 1976 (DVWK-Regeln, 1992)

13 Stofftransport

Seite 13-20

13.4 Literaturverzeichnis ALLEN, J.R.L. (1985): Principles of Physical Sedimentology. Allen & Unwin, London.

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DVWK-Regeln (1992): Geschiebemessungen. Bd. 127, Verlag Paul Parey, Hamburg.

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ZANKE, U. (1982): Grundlagen der Sedimentbewegung. Springer-Verlag, Berlin.

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ZIPPE, H.J. (1973): Praktische Anwendung einiger Geschiebegleichungen und Vergleich deren Resultate. Hydrologie Fortbildungskurs 1973.

13 Stofftransport

Seite 13-22

14 Sedimenttransportmodellierung

Seite 14-1

14 SEDIMENTTRANSPORT-

MODELLIERUNG

14.1 Allgemeines ................................................................................ 14-4

14.2 Arten des Feststofftransportes ................................................ 14-5

14.3 Messung von Sediment ............................................................. 14-7

14.3.1 Volumenprobe ...................................................................................................14-7 14.3.2 Linienzahlanalyse ..............................................................................................14-8 14.3.3 Korngröße und Korngrößenverteilung ................................................................14-8

14.4 Hydraulisch-physikalische Grundlagen des Feststoff- transportes ........................................................................................... 14-10

14.4.1 Sohlschubspannung ........................................................................................ 14-10 14.4.2 Bewegungsbeginn ........................................................................................... 14-11

14.5 Quantitative Beschreibung des Feststofftransportes ........... 14-13

14.5.1 Geschiebeformel DU BOYS ............................................................................. 14-14 14.5.2 Gleichung von SHIELDS (1936) (aus Zanke, 1982) ......................................... 14-15 14.5.3 Geschiebefunktion von EINSTEIN (1950) (aus Zanke, 1982) .......................... 14-16 14.5.4 Geschiebeformel nach MEYER-PETER und Müller ......................................... 14-19 14.5.5 Geschiebeformel GRAF ................................................................................... 14-20

14.6 Bettbildender Wasserstand, Geschiebefracht und Transportkörper ................................................................................... 14-21

14.6.1 Bettbildender Wasserstand .............................................................................. 14-21 14.6.2 Jahresgeschiebefracht ..................................................................................... 14-21 14.6.3 Transportkörper ............................................................................................... 14-23

14.6.3.1 Riffel ......................................................................................................... 14-23 14.6.3.2 Dünen ...................................................................................................... 14-23 14.6.3.3 Antidünen ................................................................................................. 14-23

14.7 Numerische Berechnung des Sedimenttransportes ............. 14-25

14.7.1 Einleitung ......................................................................................................... 14-25 14.7.2 Softwareprodukte ............................................................................................. 14-26 14.7.3 Datengrundlage für numerische Modelle .......................................................... 14-27 14.7.4 Anwendung am Beispiel GSTAR-1D ................................................................ 14-27

14.7.4.1 Grenzen der Software .............................................................................. 14-28 14.7.5 Hydraulische Grundlagen................................................................................. 14-28

14.7.5.1 Stationärer Abfluss ................................................................................... 14-28 14.7.5.2 Instationärer Abfluss ................................................................................ 14-29 14.7.5.3 Randbedingungen-Hydraulik .................................................................... 14-29

14.7.6 Sedimenttransport ........................................................................................... 14-29 14.7.6.1 Routing .................................................................................................... 14-30 14.7.6.2 Sinkgeschwindigkeit ................................................................................. 14-30


Seite 14-2

14.7.7 Sedimenttransportkapazität ............................................................................. 14-31 14.7.8 Sohlmaterial ..................................................................................................... 14-32

14.7.8.1 Randbedingungen-Sedimenttransport ...................................................... 14-32

14.8 Kalibrierung und Validierung .................................................. 14-33

14.8.1 Kalibrierungsbeispiel ........................................................................................ 14-33 14.8.2 Ergebnisse ....................................................................................................... 14-35

Diskussion ........................................................................................... 14-36

14.9 Literatur .................................................................................... 14-37


Seite 14-3


ABB. 14.1 FORMEN DES SEDIMENTTRANSPORTES (DVWK SCHRIFTEN, 1988) ............... 14-4

ABB. 14.2 FORMEN DES SEDIMENTTRANSPORTES (DVWK SCHRIFTEN, 1988) ............... 14-5

ABB. 14.3 DECKSCHICHT UND UNTERSCHICHT EINER FLUSSSOHLE

(QUELLE: BEZZOLA 2005) ....................................................................................................... 14-7

ABB. 14.4 LINIENZAHLANALYSE (QUELLE: BEZZOLA, 2005) ............................................... 14-8

ABB. 14.5 KORNGRÖßEN DES GESCHIEBES VERSCHIEDENER FLÜSSE

(DVWK REGELN, 1992) ............................................................................................................ 14-9

ABB. 14.6 KORNVERTEILUNGSBAND, DONAU ZWISCHEN ILLER UND INN

(BAUER, 1965) .......................................................................................................................... 14-9

ABB. 14.7 BESTIMMUNG DER SCHUBSPANNUNGSVERTEILUNG .................................... 14-10

ABB. 14.8 BEWEGUNGSBEGINN NACH SHIELDS MIT ANGABE DES BEWEGUNGS-

RISIKOS (R) NACH ZANKE, 1990. (DVWK REGELN, 1992) .................................................. 14-11

ABB. 14.9 BEWEGUNGSBEGINN NACH HJULSTRÖM (FÜR QUARZMATERIAL)

(DVWK REGELN, 1992) .......................................................................................................... 14-12

ABB. 14.10 HIDING-EFFEKT (DVWK-REGELN, 1992) ........................................................... 14-12

ABB. 14.11 BEZIEHUNG ZWISCHEN o , s UND DEM MITTLEREN KORNDURCH-

MESSER DM FÜR DIE GESCHIEBETRIEBGLEICHUNG VON DU BOYS NACH

L.G. STRAUB (ZIPPE, 1973; GEHRIG, 1977) ......................................................................... 14-15

ABB. 14.12 0) ....................................... 14-18

ABB. 14.13 GESCHIEBEFORMEL GRAF ............................................................................... 14-20

ABB. 14.14 GRAPHISCHE ERMITTLUNG DES BETTBILDENDEN WASSERSTANDES ...... 14-21

ABB. 14.15 ERMITTLUNG DER GESCHIEBEFRACHT .......................................................... 14-22

ABB. 14.16 GRAPHISCHE ERMITTLUNG DER VERGRÖßERUNG DER GESCHIEBE-

FRACHT DURCH EINENGUNG .............................................................................................. 14-22

ABB. 14.17 SCHEMATISCHE DARSTELLUNG DER SOHLFORMEN .................................... 14-23

ABB. 14.18 BESTIMMUNG DER BETTFORM NACH GRAF................................................... 14-24

ABB. 14.19 EMPFOHLENE WERTE DES U.S. ICWRSS (QUELLE BOR 2006) ..................... 14-31

ABB. 14.20 KALIBRIERUNGSERGEBNIS IM LÄNGENSCHNITT .......................................... 14-34

ABB. 14.21 QUERPROFIL KM 12.1 ........................................................................................ 14-34

ABB. 14.22 QUERPROFIL KM 11.3 ........................................................................................ 14-35


Seite 14-4

14.1 Allgemeines

Für die Gewässermorphologie, für flussbauliche Maßnahmen ist die Berücksichtigung des Feststoffregimes und die Berechnung des Feststofftransportes in Fließgewässern wesentlich. In der Folge ist auch die Ablagerung von Feststoffen in Stauhaltungen zu berücksichtigen.

Feststoffe werden nach ihrer Herkunft unterteilt: Während ein Anteil von der Gerinnesohle erodiert wird, besteht der andere Anteil aus Sedimenten, welche durch Verwitterung und Flächenerosion im Einzugsgebiet produziert werden und mit dem Oberflächenabfluss oder auch mit dem Wind in das Gewässer gelangen. Einflussfaktoren für den Eintrag von Feststoffen aus dem Einzugsgebiet sind, wie in Abb. 14.1 dargestellt, vor allem die Gebietsparameter (Niederschlag, Wind, Temperatur, Bodenart, Bodennutzung, Vegetation, Geländegefälle etc., (vgl. Allgemeine Bodenabtrags-gleichung).

Abb. 14.1 Formen des Sedimenttransportes (DVWK Schriften, 1988)


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14.2 Arten des Feststofftransportes

Der Feststofftransport in Fließgewässern tritt in den in Abb. 14.2 dargestellten Formen auf. Während bei Flachlandflüssen der größte Teil der Sedimente als Schwebstoffe transportiert wird, überwiegt im Oberlauf der Flüsse im allgemeinen das in unmittelbarem Kontakt mit der Gewässersohle bewegte Geschiebe. Daneben wird unterschieden zwischen dem transportierten Bettmaterial, dessen Korngrößen auch in der Sohle vertreten sind, und der Spülfracht ("wash load"), welche aus feinkörnigerem Material als die Gewässersohle besteht.

Abb. 14.2 Formen des Sedimenttransportes (DVWK Schriften, 1988)

Während das Bettmaterial sowohl als Geschiebe als auch in suspendierter Form transportiert werden kann, handelt es sich bei der Spülfracht um Partikel, welche ohne Kontakt mit der Sohle als Schwebstoffe durch den Querschnitt transportiert werden.

Der Bettmaterialtransport (Geschiebe und suspendiertes Bettmaterial) steht in Zusammenhang mit Vorgängen an der Gerinnesohle (Erosion, Sedimentation, Resuspension) und ist sowohl von den hydraulischen Parametern des Gerinnes (Abfluss, Wassertiefe, Fließgeschwindigkeit, Gefälle) als auch von der Korngröße und Korngrößenverteilung des Sohlmaterials abhängig. Für die "wash load" besteht dagegen keine direkte Abhängigkeit von diesen Parametern.

In der Praxis wird häufig ein oberer Grenzwert von d = 0,06 mm für die "wash load" verwendet.


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Nach den Untersuchungen von KRESSER (1964) hängt es vom Verhältnis des auf die Feststoffe einwirkenden Impulses zum Gewicht ab, ob ein Teilchen zu Boden sinkt oder in Schwebe bleibt. Zieht man Formbeiwert und Stoffkonstanten zu einem Koeffizienten zusammen, gilt:

Dg

vK m

2

1 Glg. 14.1

wobei

vm....... mittlere Geschwindigkeit g......... Erdbeschleunigung D........ Korndurchmesser

Durch Eichung an verschiedenen Flüssen fand KRESSER, dass K1 = 360 den Grenzzustand

zwischen Geschiebe und Schweb ausdrückt. Daraus folgt der kritische Korndurchmesser

g

vD m

360

2

Glg. 14.2

Die Trennung der Feststoffe in Geschiebe und Schweb ist hauptsächlich methodisch bedingt und soll nicht dazu verleiten, darin zwei voneinander scharf geschiedene Erscheinungsformen zu erblicken (MANGELSDORF & SCHEURMANN, 1980).


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14.3 Messung von Sediment

Das Ergebnis einer Berechnung des Feststofftriebs hängt entscheidend von der Kenntnis der grundlegenden hydraulischen, sedimentologischen und morphologischen Einflussgrößen ab. Zur Gewinnung einer Probe aus der Unterschicht wird in der Regel mit einem Bagger (bei Stellen ohne Zufahrmöglichkeit auch händisch mit einer Schaufel) die Deckschicht von üblicherweise ca. 10-15 cm Dicke abgezogen und danach ein ausreichend großes Geschiebevolumen aus der Flusssohle entnommen Abb. 14.3 Deckschicht (oben), Unterschicht (unten) Volumenprobe (rechts) (Quelle: Neuhold, et al. 2007)

Im Anschluss an die Entnahme der Probe wird diese auf einem Vlies oder einer Plane verteilt, um Blöcke größer als 10cm anteilsmäßig abzuschätzen und aus der Probe zu entfernen. Nach der Begutachtung vor Ort wird die Gesamtprobe, oder bei großen Volumina ein Teil davon, verladen und zur Siebung transportiert.

Abb. 14.3 Deckschicht und Unterschicht einer Flusssohle (Quelle: Bezzola 2005)

14.3.1 Volumenprobe

Bei Anwendung der Methode Volumenprobe wird ein Geschiebevolumen entnommen, getrocknet, gesiebt und fraktionell gewogen. Die verschiedenen Massenanteile werden danach kumulativ in Form einer Summenlinie dargestellt. Um eine repräsentative Aussage zu erhalten, wird das Mindestentnahmevolumen (Vsample) in Abhängigkeit vom maximalen Korndurchmesser (dmax), welcher in der Regel geschätzt wird, nach folgender Formel bestimmt (Bezzola, 2005) bzw. siehe dazu auch Tab. 14.1.

³*5.2 max mdVsample Glg. 14.3

Der Flusssohle können Volumenproben aus der Deckschicht und der Unterschicht (Abb. 14.3) entnommen werden.


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Tab. 14.1 Abhängigkeit der Probenmenge von der Korngröße

geschätztes Größtkorn [mm]

Probenmenge (mindestens) [g]

2 150 5 300 10 700 20 2000 30 4000 40 7000 50 12000 60 18000

14.3.2 Linienzahlanalyse

Um die oft großen Probenmengen von Volumenproben, insbesondere in Abschnitten grobkörnigen Geschiebes zu vermeiden, wird die Methode der Linienzahlanalyse zur Bestimmung der Korngrößenverteilung häufig herangezogen. Die Analyse erfolgt für repräsentative Abschnitte der Deckschicht entlang einer über den zu beprobenden Abschnitt gespannten Schnur, unmittelbar neben dem benetzten Flussbett (Fehr, 1987 a) (Abb. 14.4). Zur Durchführung werden Bereiche ausgewählt, die in etwa der Kornverteilung der benetzten Flusssohle entsprechen und typisch für den zu betrachtenden Standort sind. Alle Steine, die senkrecht unter der Schnur liegen werden bei den Erhebungen berücksichtigt. Gemessen werden bei jedem unter der Schnur liegenden Stein jeweils die Länge der B-Achse (A > B > C-Achse).

Abb. 14.4 Linienzahlanalyse (Quelle: Bezzola, 2005)

Die Kornverteilungskurve der Unterschicht (berechnet aus der Analyse der Deckschicht) wird entsprechend der Linienzahlanalyse nach Fehr (1987 b) ermittelt. Die Proben werden zur Berechnung diverser Kenngrößen, zur Definition der Rauhigkeit für die hydraulische Modellierung und als Anfangszustand der Flusssohle für die Geschiebetransportmodellierung herangezogen.

14.3.3 Korngröße und Korngrößenverteilung

Die Korngröße und der wirksame Korndurchmesser dm sind die wichtigsten Parameter. Die Korngröße und deren prozentuale Verteilung können zur Charakterisierung einer Sedimentprobe, welche z.B. der Gewässersohle entnommen wurden, herangezogen werden. Im Normalfall unterscheidet sich die Korngrößenverteilung der Deckschicht eines Gewässerbetts deutlich von der darunterliegenden Schichte. Während das Substrat der letzteren noch gut durchmischt ist und Körner aller Größen aufweisen kann, besteht die Deckschicht aufgrund selektiven Geschiebe-transports nur mehr aus Körnern ab einer gewissen Korngröße, da die kleineren Feststoffe erodiert werden. Man spricht auch von einer „natürlichen Sohlpflasterung“. Bei einer Anhebung des Wasserspiegels, z.B. bei einem Hochwasser erfolgt eine neuerliche Durchmischung. Bei Geschiebeuntersuchungen sind also immer die Kornverteilung sowohl der Deckschicht als auch der Unterschicht zu untersuchen.


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Bei der graphischen Darstellung der Kornverteilung einer bestimmten Probe spricht man von einer Kornverteilungskurve (Abb. 14.5), wird die Kornverteilung entlang eines Gewässerlaufs an mehreren Stellen aufgenommen und die Fraktionsanteile in der graphischen Darstellung mit Geraden verbunden, spricht man von einem Kornverteilungs- oder Geschiebemischungsband (Abb. 14.6).

Die Korngrößenverteilung wird in der Regel durch eine Siebung oder bei Korngrößen unter 0,06 mm durch eine Schlämmanalyse ermittelt. Die Probemenge ist dabei nach Tab 15.1 (DIN 18123) dem geschätzten Größtkorn anzupassen.

Abb. 14.5 Korngrößen des Geschiebes verschiedener Flüsse (DVWK Regeln, 1992)

Abb. 14.6 Kornverteilungsband, Donau zwischen Iller und Inn (Bauer, 1965)


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14.4 Hydraulisch-physikalische Grundlagen des Feststoff-transportes

14.4.1 Sohlschubspannung

Infolge der Grenzflächenreibung und der Grenzflächenwiderstände überträgt eine Strömung auf die Grenzfläche (Gewässersohle) eine Schubspannung. In einem Gerinne mit freier Oberfläche hat

die Schubspannung an der Oberfläche den Wert Null und ist an der Sohle am größten. ändert

sich linear mit der Wassertiefe (siehe Abb. 14.7) nach der Funktion

h

yJhgy 1 Glg. 14.4

wobei:

h ........ Wassertiefe

y ........ Entfernung von der Sohle

J ........ Gefälle

Die Schubspannung o an der Sohle (y = 0) ist

o g h J Glg. 14.5

Abb. 14.7 Bestimmung der Schubspannungsverteilung

Man drückt Glg. 14.4 daher auch oft in folgender Form aus:

y o

y

h

1 Glg. 14.6


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aus. Der Quotient o/ ist definiert als

Jhguo 2

*

Glg. 14.7

worin *u die Schubspannungsgeschwindigkeit genannt wird.

14.4.2 Bewegungsbeginn

Die kritische Sohlschubspannungsgeschwindigkeit für den Bewegungsbeginn rolligen Materials wird meist nach SHIELDS (1936) berechnet (siehe Abb. 14.8).

Abb. 14.8 Bewegungsbeginn nach SHIELDS mit Angabe des Bewegungsrisikos (R) nach ZANKE, 1990. (DVWK Regeln, 1992)

Für praktische Betrachtungen benutzt man häufig einfache v-d-Beziehungen, wie z.B. das Diagramm von HJULSTRÖM, wobei der linke Bereich (bindiges Material) kaum zuverlässig sein dürfte (siehe Abb. 14.9).


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Abb. 14.9 Bewegungsbeginn nach HJULSTRÖM (für Quarzmaterial) (DVWK Regeln, 1992)

Bezüglich des Bewegungsbeginns ist festzuhalten, dass die einzelnen Körner eines Feststoffgemisches bei rolligem Material je nach Größe und Exposition zur Strömung in Bewegung gesetzt werden. Die gröbsten Körner sind der Strömung in der Regel stärker ausgesetzt, halten dafür aber auch einem größeren Strömungsangriff stand. Kleinere Körner werden zwischen den größeren abgeschirmt ("Hiding-Effekt", RIBBERINK, 1987, siehe Abb. 14.10).

Abb. 14.10 Hiding-Effekt (DVWK-Regeln, 1992)


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14.5 Quantitative Beschreibung des Feststofftransportes

Aufgrund der komplexen Problematik des Feststofftransportes und der schwierigen Erfassung der Einflussfaktoren gehen sämtliche Transportmodelle von bestimmten idealisierenden Annahmen für Schwämmung, Querschnitt, Fließstrecke, Gewässersohle, Feststoffe und lokale Effekte aus:

Strömung:

mehr oder weniger stationär und gleichförmig

im Tidebereich kritisch (lokale Einflüsse)

Querschnitt:

Gerinne mit regelmäßiger Querschnittsform und nur geringen Querschnittsänderungen

nicht gegliederte Querschnitte

Fließstrecke:

verhältnismäßig gestreckte Linienführung, d.h. keine starken Krümmungen

Gewässersohle:

Sohlmaterial relativ gleichförmig, nicht kohäsiv

keine Abpflasterung

Feststoffe:

nicht organisch und nicht kohäsiv

Spülfracht ("wash load") wird nicht erfasst

Lokale Effekte:

lokale Effekte, wie z.B. Auskolkungen an Bauwerken oder in Flusskrümmungen sind ausgeschlossen

Berechnungen des Geschiebetriebes nach hydromechanischen Ansätzen wurden bereits im vergangenen Jahrhundert begonnen. Die Schubspannung ist die Tangentialspannung zwischen Flüssigkeit und Sohle. Sie ändert sich linear mit der Wassertiefe. Nach der 1879 von DU BOYS

aufgestellten Theorie setzt beim Überschreiten einer kritischen Schubspannung o der

Geschiebetrieb ein. Daraus leitet sich die Grenzgeschwindigkeit v ab.

Vorgangsweise bei der Berechnung des Geschiebetriebs:

1. Schrittweise Wasserspiegellagenberechnung; Rechenrichtung stromaufwärts

2. Berechnung der Schleppspannung 1,2...n in jedem Rechenabschnitt x;

Rechenrichtung: stromabwärts

3. Geschiebetriebsberechnung: Transport wenn >crit. Berechnung mit Hilfe von

Transportgleichungen (=Geschiebeformeln)

4. Für jeden Abschnitt x wird für die Deckschicht und die Schicht darunter eine Bilanzgleichung aufgestellt. Der so ermittelte Geschiebeeintrag bzw. –austrag beschreibt die Anlandung oder aber den Sohlabtrag in der Natur.

Problem: Wenn sich das hydraulische System verändert, ändert sich auch die

Schleppspannung .


Seite 14-14

Über den Beginn des Geschiebetriebs liegen zahlreiche Arbeiten v. a. von SHIELDS (1963) vor. Das Transportvermögen für geändertes Geschiebe kann nach der Formel von MEYER-PETER berechnet werden.

Außerdem gibt es Geschiebeformeln und Gleichungen von SCHOKLITSCH, EINSTEIN, YANG, GRAF, ENGELUND und HANSEN, KALINSKE und SCHAFFERNAK. (Ermittlung der Geschiebefracht, graphisch)

Generell sollte jedoch erwähnt werden, dass alle Geschiebeformeln jeweils nur einen repräsentativen Korndurchmesser betrachten. Dieser muss entweder gewählt werden oder es wird der Transport für mehrere verschiedene Durchmesser berechnet und anschließend addiert.

Ferner dienen alle Formeln natürlich nur dazu einen potentiellen Geschiebetransport zu berechnen, wenn also kein Geschiebe vorhanden ist (z.B. unterhalb einer Stauhaltung), findet natürlich auch kein Transport statt.

14.5.1 Geschiebeformel DU BOYS

DU BOYS nahm an, dass das Geschiebe in Schichten wandert. Diese Bewegung wird durch die Schleppspannung

IRhw Glg. 14.8

wobei

I ........ Gefälle des Gerinnes

Rh ...... hydraulischer Radius (m)

w .... spez. Gewicht des Wassers (N/m3) = 10.000 N/m3,

verursacht, welche man erhält, indem man das Gewicht eines Wasserkörpers auf eine um geneigte Sohle in eine reine Druck- und eine parallel zur Sohle wirkende Kraft t aufteilt. Das Korn

vom Durchmesser bewegt sich erst, wenn eine gewisse Größe erreicht hat, man nennt diesen

Wert die kritische Schleppspannung o.

Der spezifische Geschiebetrieb gs (pro m Flussbreite) errechnet sich schließlich aus folgender Gleichung:

msNg oss / Glg. 14.9

wobei

s ..... spezifisches Gewicht des Geschiebes (N/m3)

..... Geschiebekonstante (m6/s N2), Faktor zur Dimensionsbereinigung

...... Schleppspannung (N/m2)

o ..... kritische Schleppspannung (N/m2)


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Abb. 14.11 Beziehung zwischen o , s und dem mittleren Korndurchmesser dm für die

Geschiebetriebgleichung von DU BOYS nach L.G. STRAUB (ZIPPE, 1973; GEHRIG, 1977)

14.5.2 Gleichung von SHIELDS (1936) (aus Zanke, 1982)

SHIELDS entwickelte die Formel von DU BOYS weiter und untersuchte den quantitativen Sedimenttransport von Materialien unterschiedlicher Dichte in einem Laborgerinne. Dabei schloss SHIELDS diejenigen Abflüsse, bei denen Riffel (siehe Kap. 14.6.3.1) auftraten, aus. Mit dem Term

( s - F ) gelang es ihm den Auftrieb der einzelnen Körner zu berücksichtigen.

Unter dieser Einschränkung fand er für den Geschiebetransport den folgenden Zusammenhang:

d

JQq

Fs

G

010 Glg. 14.10

Die Gleichung von SHIELDS ist dimensionsecht und lautet:

c

m FrFru

uG **

*

* 10 Glg. 14.11


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oder in anderer Schreibweise

)(10 ***

*

* c

m FrFrFru

ug

Glg. 14.12

wobei:

qG ...... Gesamt-Sedimenttransport (für Geschiebe)

Q ....... Abfluss

J ........ Gefälle

...... Schubspannung

o ..... Schubspannung beim Beginn der Sedimentbewegung

.... relative Dichte

s ..... spezifisches Gewicht des Sediments

F ....... spezifisches Gewicht des Fluids

d ........ Korngröße

G* ..... dimensionslose Transportkennzahl

um ..... mittlere Geschwindigkeit über die Gerinnetiefe

u* ...... Schubspannungsgeschwindigkeit

Fr* ..... FROUDE-Zahl des Kornes

Fr*c .... Korn-FROUDE-Zahl bei Bewegungsbeginn

14.5.3 Geschiebefunktion von EINSTEIN (1950) (aus Zanke, 1982)

EINSTEIN fasst die Geschiebebewegung als ein Wahrscheinlichkeitsproblem auf. Bei der Aufstellung seiner Geschiebegleichung geht er zunächst von Experimenten aus, bei denen die Bewegung in Suspension grundsätzlich vernachlässigt wird. Aus diesen Versuchen zeigt er folgende Schlüsse:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Geschiebeteilchen durch die Strömung an der Sohle bewegt wird, hängt von seiner Größe, seiner Gestalt, seinem Gewicht und vom Strömungsvorgang in Sohlennähe ab und nicht davon, was vorher mit dem Teilchen geschah.

2. Das Teilchen bewegt sich, wenn der augenblickliche hydrodynamische Auftrieb größer ist als sein Gewicht.

3. Wenn das Teilchen einmal in Bewegung ist, ist die Wahrscheinlichkeit einer Wiederablagerung in allen Punkten der Sohle gleich, an denen die örtliche Strömung das Teilchen nicht sofort wieder forttragen würde.

4. Die durchschnittliche Entfernung, die ein Teilchen von Ablagerung zu Ablagerung durchwandert, ist konstant für jedes Teilchen und unabhängig von den Strömungsbedingungen, der Abflussmenge und der Zusammensetzung der Sohle. Für ein annähernd kugelförmiges Korn kann diese Entfernung zu 100 Korndurchmessern angenommen werden.

5. Die Bewegung von Sohlenteilchen durch größere Sprünge, wie sie von BAGNOLD beschrieben wird, kann wie KALINSKE zeigte, im Wasser vernachlässigt werden.

6. Die Störung der Sohlenoberfläche durch bewegte Geschiebeteilchen kann im Wasser vernachlässigt werden.

Aus diesen Feststellungen folgt, dass die Veränderlichen, die an irgendeinem Punkt der Sohle die Geschiebebewegung bestimmen, erstens die Zusammensetzung der Sohle im Umkreis von 100


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Korndurchmessern und zweitens die Strömungsbedingungen im selben Gebiet sind. Oder anders ausgedrückt: Die Menge des bewegten Geschiebes wird durch einen allmählichen Wechsel der Lage der Sohle nicht geändert, solange ihre Zusammensetzung sich nicht ändert. Die Gesetze des Transportgleichgewichts können deshalb auf ein veränderliches Bett angewendet werden, solange es möglich ist, das Bett und die örtliche Strömung während des Wechsels zu beschreiben.

EINSTEIN gibt für die Wahrscheinlichkeit, dass bestimmte Sohlenteilchen in der Zeiteinheit aus der Sohlenoberfläche herausgelöst werden, einen Ausdruck an, der die Transportmenge dieser Teilchen, die Größe und das Gewicht der Teilchen, sowie außerdem einen Zeitfaktor enthält, der dem Verhältnis des Teilchendurchmessers zur Fallgeschwindigkeit des Teilchens proportional ist. Dieser Ausdruck hat nach Zusammenfassung mehrerer Konstanten folgende Form:

**1

Ap

p

Glg. 14.13

Darin ist p die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Teilchen aus der Sohle herausgelöst wird. A* ist eine

Konstante und die Funktion * ist definiert als

2/3

**

2/1

3

2/1

1. FrG

dgg

q

FS

F

S

G

Glg. 14.14

Dieser Ausdruck ist eine dimensionslose Kenngröße des Geschiebetransportes, die EINSTEIN die

"Intensität des Geschiebetransportes" nennt. Sie kann nach EINSTEIN als Kriterium für die dynamische Ähnlichkeit zweier geschiebeführender Strömungen verwendet werden.

Die Wahrscheinlichkeit für das Herauslösen eines bestimmten Kornes drückt EINSTEIN dann noch einmal durch das Verhältnis des dynamischen Auftriebs zum Unterwassergewicht der Teilchen aus und erhält nach Einführen mehrerer Konstanten schließlich folgenden Funktion:

O

O

B

B

t dteP

/1

/1..

'**

2

'1

1 Glg. 14.15

Darin sind B* und 0 Konstanten, während der Wert *, den EINSTEIN als

Schubspannungsintensität bezeichnet, bei einheitlicher Korngröße folgenden Wert hat:

*

*

1

' FrJR

d

eBF

FS

Glg. 14.16

Verwendet man den Ausdruck P der Glg. 14.15 in Glg. 14.13, so erhält man folgenden Ausdruck für die Geschiebegleichung:

o

o

B

B

t

A

Adte

1

1 **

**'

**

**

2

1'

11

Glg. 14.17


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in der A*, B* und gemeine Konstanten mit folgenden Werten sind: A* = 43,5; B* = 0,143 und

o = 1/2.

Dieser verhältnismäßig schwierige Ausdruck lässt sich als einfache Funktion der

Schubspannungsintensität und der Intensität des Geschiebetransportes darstellen. Abb. 14.12 zeigt diese Funktion zusammen mit Versuchsergebnissen, aus denen von EINSTEIN die Konstanten A* und B* bestimmt wurden.

Abb. 14.12 Beziehung zwischen und (EINSTEIN, 1950)


Seite 14-19

14.5.4 Geschiebeformel nach MEYER-PETER und Müller

Den Zusammenhang zwischen den hydraulischen Daten eines Flussprofils und der je Meter Flussbreite geförderten Geschiebemenge g"S in kg/m.s (unter Wasser gewogen) bei einem als maßgebend angesehenen Korndurchmesser dm stellt die folgende Formel dar. Sie wurde experimentell gefunden und durch theoretische Ableitung bestätigt.

mS

S

mSr

SS

mS

rS

d

g

gBA

d

Jh

k

k

Q

Q

d

JR

'

"""

''

3/23/12/3

Glg. 14.18

...... 1000 kg/m3 = Wichte des Wassers

RS ...... hQS/Q = hydr. Radius für den Geschiebetrieb bewirkenden Abflussanteil je m Breite in m

JR ...... Reibungsgefälle in m/m

’s ... (S - ) in kg/m³

dm ..... 100

pd = maßgebender Geschiebekorndurchmesser in m

d p . prozentualer Anteil der Körner mit dem jeweiligen Korndurchmesser d in m in der

Kornverteilungskurve

QS ..... qSB = für den gesamten Geschiebetrieb in Betracht kommende Teilwassermenge in m3/s

Q ....... Abflussmenge in m3/s

h ........ Wassertiefe in m

qS ...... Q

h B2 = spez. Abflussmenge in m3/s.m

B ....... Sohlenbreite im m

S ...... Wichte der Geschiebeproben in kg/m³

A" = 0,047 und B" = 0,25 = Konstanten, einheitenlos

"S ..... Geschiebetrieb je m Flussbreite und sek

MEYER-PETER und MÜLLER führen das Reibungsgefälle JR (auch „wirksames Gefälle“) ein. DA durch Turbulenzen im Sohl- und Uferbereich nicht die ganze Energie in Transportenergie umgewandelt wird ist JR immer wesentlich kleiner als J (außer bei breiten Gewässerquerschnitten und glatter Sohle). Auch eine visuelle, rein qualitative Abschätzung von JR ist möglich. Diese Formel funktioniert v.a. bei Fließgewässern mit grobkörnigem Geschiebe gut.

Rechnerisch-quantitativ kann JR über folgende Beziehung ermittelt werden:

Jk

kJ

R

S

R *3

2

Glg. 14.19

wobei:

kS....... Strickler-Beiwert kR...... Rauhigkeitsbeiwert JR...... Reibungsgefälle J......... Sohlgefälle


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14.5.5 Geschiebeformel GRAF

Graf stellt eine Beziehung zwischen der Reynolds-Zahl Re, der Bettform und der

Schubspannungsintensität auf.

Abb. 14.13 Geschiebeformel GRAF


Seite 14-21

14.6 Bettbildender Wasserstand, Geschiebefracht und Transportkörper

14.6.1 Bettbildender Wasserstand

Bei gesicherten Böschungen kann sich der Fluss nur in der Sohle umbilden. Eine Umbildung erfolgt durch Einengung des jeweiligen Profiles (HW, MW, NW). Die rascheste Wirkung in Bezug auf Umbildung erzielt die Einengung auf den bettbildenden Wasserstand. (Anlage v. Leitwerken oder Buhnen).

Bei Wasserstand h'p wird in bestimmten t die größte Geschiebefracht gefördert (rascheste Umbildung).

Abb. 14.14 Graphische Ermittlung des bettbildenden Wasserstandes

14.6.2 Jahresgeschiebefracht

Die Transportformeln in Kap. 14.5 ermöglichen die Aufstellung einer Durchfluss abhängigen Geschiebefunktion. In Verbindung mit einer Abflussdauerlinie kann die Jahresgeschiebefracht als Integral über die Geschiebemengendauerlinie ermittelt werden (Abb. 14.15)


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Abb. 14.15 Ermittlung der Geschiebefracht

Erhöhung der Geschiebefracht durch Einengung

Bei Einengung Hebung des Wasserspiegels auf hp2.

Für mehrere Punkte angewandt ergibt sich GMDL (2). Fläche zwischen (1) und (2)

Abb. 14.16 Graphische Ermittlung der Vergrößerung der Geschiebefracht durch Einengung

(1) ursprünglicher Bestand, (2) neuer vorgeschlagener Bestand


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14.6.3 Transportkörper

An der Sohle eines natürlichen Gerinnes bilden sich nach Einsetzen des Geschiebetransportes in den meisten Fällen mehr oder weniger ausgeprägte Unebenheiten, die als Transportkörper bezeichnet werden, und deren Höhe bis zu 1/3 der Wassertiefe erreichen kann. Die Intensität des Abflusses und der Feststoffbewegung wird durch diese Sohlformationen beeinflusst. Allgemein unterscheidet man drei Transportkörper-Grundformen (DIN 4049):

14.6.3.1 Riffel

Kleine, meist unregelmäßige Sohlunebenheiten, die sich in Strömungsrichtung bewegen und deren Höhe von der Wassertiefe unabhängig ist. Sie sind so klein, dass ihr Einfluss auf die Strömung nicht bis an die Oberfläche reicht.

14.6.3.2 Dünen

Größere, meist regelmäßige Sohlwellen, die sich in Strömungsrichtung bewegen und deren Höhe von der Wassertiefe abhängig ist. Sie beeinflussen die Strömung bis an die Oberfläche.

14.6.3.3 Antidünen

Wellige Sohlformen, die sich bei schießendem Abfluss bilden und phasengleich mit den Oberflächenwellen gegen die Strömungsrichtung wandern. Riffel und Dünen können auch überlagert auftreten, Antidünen treten selten auf (siehe Abb. 14.17).

Abb. 14.17 Schematische Darstellung der Sohlformen

in Abhängigkeit der sedimentologischen und hydraulischen Einflussgrößen (F = 2650

kg/m3, = 1000 kg/m3, T = 18°C) nach ZANKE, 1976 (DVWK-Regeln, 1992)


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Abb. 14.18 Bestimmung der Bettform nach Graf


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14.7 Numerische Berechnung des Sedimenttransportes

14.7.1 Einleitung

Durch die Entwicklung und Verbesserung der numerischen Sedimenttransportmodellierung kommt diesem Instrument immer mehr Bedeutung im Arbeitsablauf von flussspezifischen Problemlösungen zu. Wurden in früheren Jahren Parameter des Sedimentregimes eines Flusses an Hand von diversen Formeln für einzelne Profile errechnet, ist es in der heutigen Zeit immer öfter möglich mit vertretbarem Zeit- und Geldaufwand ein numerisches Modell zu erstellen und an Hand des Modells für einen gesamten Flusslauf relevante Parameter und Entwicklungen zu berechnen.

Durch die Möglichkeit diverser Softwarepakete, Fraktionen der Sedimentkorngrößen und unterschiedliche Schichten des Flussbettes (Deckschicht und Unterschicht) zu definieren kann man neben der besseren Abschätzung des Entwicklungstrends der Sohllage auch zusätzlich Parameter differenzierter betrachten. Analog zu numerischen Modellen anderer Fachbereiche hängt die Dimensionalität der Ergebnisse unmittelbar mit der Problemdefinition zusammen. Möchte man zum Beispiel die Entwicklung eines mehrere Kilometer langen Flussabschnittes abschätzen, wird eine eindimensionale Auflösung der Ergebnisse (Entwicklung der z-Koordinate) völlig ausreichen. Differenziertere Betrachtungen im Zusammenhang mit Flussmorphologie und Ökologie, wie zum Beispiel die Habitatmodellierung für Fauna und Flora, erfordern auf Grund von zu erfassenden Quer- und Kehrströmungen eine zumindest zweidimensionale Auflösung der Ergebnisse, wie Fließrichtung, Fließgeschwindigkeit, Sohlschubspannung.. Zur Vereinfachung wird hier eine Betrachtung von einigen Kilometern Lauflänge den oberen Grenzwert darstellen. Komplexe flussmorphologische Entwicklungen, wie die Kolkbildung an Brückenpfeilern, Unterspülung von Ufersicherungen, Seitenerosion… erfordern sinnvoller Weise eine dreidimensionale Betrachtung der relevanten Parameter, da eine horizontale (x-y Koordinaten) oder vertikale (x-z Koordinaten) Projektion der Strömungen zwar einige Phänomene wie Sedimenttransport quer zum Profil oder Kehrströmungen ausweisen, jedoch Wirbelbildung und 3D Strömungsphänomene nicht ausreichend genau nachbilden. Bei einer dreidimensionalen Betrachtung ist es wiederum sinnvoll, jedoch nicht zwingend notwendig, den betrachteten Abschnitt in Hinblick auf die Rechenzeit im Bereich von wenigen 100 Metern einzugrenzen.

Die wesentlichen Bestandteile eines Geschiebetransportmodells sollen durch das Diagramm verdeutlicht werden. Sie stellen das Grundgerüst jedes numerischen Modells dar, wobei dieses Gerüst um Detailprozesse beliebig erweitert werden kann.


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Geometrie

Hydraulik

stationäre/instationäre Abflussverhältnisse

strömender/schießender/gemischter Abfluss

Kontinuitäts- und Energie/Impulsgleichung

Sedimenttransport

Geschiebe/Schwebstoff/Schwimmstoff

stationärer/instationärer Transport

equilibrisch/nicht equilibrisch

Kontinuitäts- und Transportkapazitätsgleichung

Detailprozesse

14.7.2 Softwareprodukte

Die Liste zeigt einen Auszug an vorhandenen Softwareentwicklungen und repräsentiert Programme, die für mehrere Fragestellungen angewendet werden können und nicht zur Lösung eines Detailproblems entwickelt wurden. Dies zeigt sich dadurch, das in den Modellen zahlreiche Transportkapazitätsgleichungen implementiert sind, um die optimale bzw. möglichst genaue Berechnung der Abläufe im betrachteten Fluss zu ermöglichen. Dabei spielt die Morphologie des Gewässers eine wesentliche Rolle, da sich der Sedimenttransport in z.B. furkierenden Gewässern wesentlich von jenem in mäandrierenden Flüssen unterscheidet. Die Kornzusammensetzung der Sohle, das Gefälle, das Einzugsgebiet und vieles mehr beeinflussen die Wahl der anzuwendenden Formel entscheidend, wodurch dieser wesentliche Bedeutung für die Güte der Ergebnisse zukommt. Die Wahl einer für das Gebiet bzw. den Fluss und der morphologischen Verhältnisse unpassenden Formel kann zu erheblichen Fehleinschätzungen und falschen Ergebnissen führen.

Es empfiehlt sich, stets gut dokumentierte Produkte zur Lösung von Problemstellungen zu verwenden. Die angeführten Softwarepakete entsprechen dieser Vorgabe und sind, mit wenigen Ausnahmen, kostenlos über das Internet zu beziehen.

1D-Software

BASEMENT VAW, ETH Zürich, Schweiz

http://www.basement.ethz.ch/services/download/

CCHE1D NCCHE, The University or Mississippi, USA

http://www.ncche.olemiss.edu/download/

EFDC1D EPA, USA

http://www.epa.gov/nerl/research/2001/g2-2.html

FLUVIAL-12 DCEE, San Diego State University, USA

http://chang.sdsu.edu/fluvial.html

HEC-6 USACE, USA

http://www.hec.usace.army.mil/software/legacysoftware/hec6/hec6-download.htm

http://www.basement.ethz.ch/services/download/


http://www.epa.gov/nerl/research/2001/g2-2.html

http://chang.sdsu.edu/fluvial.html

http://www.hec.usace.army.mil/software/legacysoftware/hec6/hec6-download.htm


Seite 14-27

HEC-RAS USACE, USA

http://www.hec.usace.army.mil/software/hec-ras/

MIKE11 DHI, Denmark

http://www.dhigroup.com/Software/WaterResources.aspx

SRH-1D DOI, Bureau of Reclamation, USA

http://www.usbr.gov/pmts/sediment/model/srh1d/index.html

2D-Software

CCHE2D NCCHE, The University or Mississippi, USA


MIKE21c DHI, Denmark


SRH-2D DOI, Bureau of Reclamation, USA


Hydro_GS-2D HydroTec mbH

http://www2.hydrotec.de/unternehmen/hydrothemen/hydrothemen07/hydro-as-2d/

3D-Software

RSim-3D (BOKU Wien, TU Wien, Dr. Tritthart)

14.7.3 Datengrundlage für numerische Modelle

Die Basis zur Erstellung eines numerischen Flussmodells liefert eine Vermessung von Profilen im Fluss selbst, und von markanten Punkten im Umland (Bruchkanten, Böschungsoberkanten, baulichen Maßnahmen, …). Zusätzlich zur Erfassung der Geometrie ist es unumgänglich die Flusssohle selbst zu beproben, denn je komplexer die Verhältnisse in einem Fluss sind (Geometrie, heterogene Korngrößenverteilung im Quer- und Längsverlauf, Schwalleinfluss,…), umso schwieriger wird die rechnerische Erfassung des Geschiebetransportes. Darum ist die Kenntnis der Korngrößenverteilung für viele Fragestellungen, insbesondere für Berechnungen des Transportvermögens einer Flussstrecke von wesentlicher Bedeutung (BWG, 2005).

Um fundierte Aussagen treffen zu können ist es notwendig ein umfassendes Programm zur Beprobung der Flusssohle auszuarbeiten. Da jede Form der Probennahme Defizite bzw. Einschränkungen aufweist, ist es empfehlenswert im Rahmen von Projekten eine Kombination von Methodiken anzuwenden. Hier wird exemplarisch die Anwendung von GSTAR-1D diskutiert:

14.7.4 Anwendung am Beispiel GSTAR-1D

GSTAR-1D (Generalized Sediment Transport for Alluvial Rivers – One Dimension) ist ein numerisches Modell zur eindimensionalen Berechnung von Hydraulik und Geschiebetransport in Flüssen. Einige der Möglichkeiten der Software sind:

http://www.hec.usace.army.mil/software/hec-ras/







Seite 14-28

- Berechnung der Wasserspiegellagen

- Berechnung von stationärem und instationärem Abfluss

- Berechnung von strömendem und schießendem Abfluss, sowie die Erfassung von Fließwechsel

- Berechnung von stationärem und instationärem Sedimenttransport

- Berechnung von Schwebstoff- und Geschiebetransport

- Berechnung von Aggregierung, Ablagerung, Erosion und Konsolidierung

- Implementierung zahlreicher Geschiebetransportformeln

- Variation von Rauhigkeitsbeiwerten im Profil

- Fraktioneller Sedimenttransport, selektiver Transport und Deckschichtbildung

- Zubringerinput (Abfluss und Sediment)

- Interne Randbedingungen wie Zeit-Wasserstand-Beziehung, Pegelschlüsselkurven, Wehre, Brücken, Durchlässe, …

14.7.4.1 Grenzen der Software

- 1D Abflusssimulation – nicht anwendbar bei hydraulischen Detailfragestellungen

- Sekundärströmungen, Sedimenttransport quer zum Profil und die Kurvenüberhöhung der Wasserspiegellagen werden ignoriert

- Bei Modellen handelt es sich immer um vereinfachte Näherungen bzw. Schätzungen von natürlichen Phänomenen.

14.7.5 Hydraulische Grundlagen

Dieses Kapitel beschreibt die theoretische Basis für die eindimensionale Lösung der Hydraulik, die in das numerische Modell implementiert ist. Um Berechnungen zum Geschiebetransport anzustellen (u.a. abhängig von Fließgeschwindigkeit, Wassertiefe, Gefälle, Sohlschubspannung, …) ist es unbedingt notwendig, die hydraulischen Verhältnisse im Fluss zu berechnen.

14.7.5.1 Stationärer Abfluss

Um die Energiegleichung für sich gleichförmig und allmählich ändernden Abfluss zu lösen werden pro Iterationsschritt jeweils zwei Profile betrachtet (Unterliegerprofil: 1, Oberliegerprofil: 2):

cf hhg

VZ

g

VZ

22

2

111

2

222 Glg. 14.20

Z1, Z2 Wasserspiegellage in Profil 1 und 2 V1, V2 Durchschnittliche Fließgeschwindigkeit in Profil 1 und 2 β1, β2 Beiwert der Fließgeschwindigkeitsverteilungen in Profil 1 und 2 g Gravitation hf Reibungsverlust zwischen Profil 1 und 2 hc Verlust durch Einschnürung oder Aufweitung zwischen Profil 1 und 2

Die Energiegleichung wird iterativ mit Hilfe der Standard-Step-Methode (Jain, 2000) gelöst, wobei die Iteration so lange fortgesetzt wird, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.


Seite 14-29

14.7.5.2 Instationärer Abfluss

Eindimensionale instationäre Abflüsse können mit Hilfe der St. Venant Gleichung beschrieben werden:

Kontinuität:

latd q

x

Q

t

AA

Glg. 14.21

Impulsgleichung:

fgASx

AgA

x

AQ

t

Q

2 Glg. 14.22

Q Abfluss [m³/s] A Profilfläche [m²] Ad nicht wirksame Profilfläche [m²] glat seitlicher Zufluss pro Längeneinheit des Flusses [m³/s] t Zeit [s] x Länge [m] g Gravitation [m/s²] β Beiwert der Fließgeschwindigkeitsverteilung Z Wasserspiegellage [m]

Sf Reibungsgefälle 2KQQ

K Leitwert [m³/s]

Das numerische Schema zur Lösung wurde dem „NewC“ Schema von Kutija und Newett (2002) entnommen.

14.7.5.3 Randbedingungen-Hydraulik

Extern: oberwasserseitig: Abfluss: Q=f(t)

Wassertiefe: H=f(t)

A=f(t)

unterwasserseitig: Pegelschlüssel: Q=f(A)

Wassertiefe: H=f(t)

A=f(t)

Intern: Zeit-Wasserstand-Beziehung: H=H(t)

Wasserstand-Abfluss-Beziehung: H=H(Q)

Wehr

Brücke

Bewegliche Wehre

14.7.6 Sedimenttransport

GSTAR-1D simuliert die physikalischen Prozesse von Geschiebe- und Schwebstofftransport. Die Methoden zur Berechnung beinhalten drei wesentliche Teile des Sedimenttransports:

- Sediment Routing (Bewegung des Sediments flussab, auf Grund der Einwirkung der fließenden Welle)


Seite 14-30

- Verhalten des Sohlmaterials (selektiver Transport, Abpflasterung, ...)

- Konsolidierung von bindigem Material

14.7.6.1 Routing

GSTAR-1D kann sowohl stationär als auch instationär routen. Zur Lösung des stationären Routings des Sediments wird die Exner Gleichung angewendet (Exner, 1920 und Exner, 1925). Folgender Massenerhaltungssatz kann daraus abgeleitet werden:

0

s

dsq

t

A

x

Q Glg. 14.23

ε Geschiebevolumen pro Einheit des Sohlvolumens Ad Geschiebevolumen pro Abschnittslänge Qs Sedimenttransportrate qs Lateraler Geschiebeinput pro Abschnittseinheit

Integriert man diese Funktion über ein Kontrollvolumen, das auf die betrachteten Querprofile zentriert wird, so erhält man eine Gleichung, um die Ablagerungstiefe (ΔZb) einer bestimmten Größenklasse in einem bestimmten Querprofil i zu berechnen:

tQQtxqZxW isisiisibiii ,1,,, Glg. 14.24

W Breite des Bereichs im Querprofil, wo Erosion oder Akkumulation stattfinden kann

Die Volumina der einzelnen Korngrößenklassen werden aufsummiert und stellen die Gesamterosion oder Gesamtakkumulation für das betrachtetet Querprofil dar.

Bei der Simulation von instationären Abflüssen wird das instationäre Routing mit Hilfe einer zweidimensionalen Transport Gleichung (Konvektion/Diffusion) gelöst. Dabei wird berücksichtigt, dass ein Transport von Sediment in oder von Überflutungsflächen stattfinden kann. Werden keine Überflutungsflächen berücksichtigt, wird die y-Richtung in der Gleichung ignoriert:

y

ChD

yx

ChD

xy

hvC

x

huC

t

hCyx Glg. 14.25

h Wassertiefe C tiefengemittelte Sedimentkonzentration der jeweiligen Fraktion t Zeit u, v tiefengemittelte Fließgeschwindigkeit in x und y Richtung Dx, Dy Diffusionskoeffizienten in x und y Richtung Ω Quellterm (Akkumulation/Erosion) der jeweiligen Fraktion

14.7.6.2 Sinkgeschwindigkeit

Die Berechung der Sinkgeschwindigkeit hat Einfluss auf die Transportkapazitätsberechnung des Geschiebes. Für die meisten Formelansätze unter anderem die Formel nach Meyer-Peter und Müller (1948) kommen Werte, die vom U.S. Interagency Comittee on Water Resources Subcommittee on Sedimentation (USICWRS, 1959) empfohlen werden zur Anwendung (Abb. 14.19).


Seite 14-31

Abb. 14.19 Empfohlene Werte des U.S. ICWRSS (Quelle BoR 2006)

14.7.7 Sedimenttransportkapazität

In der Literatur findet man zahlreiche Geschiebetransportgleichungen. Üblicherweise wurde jede dieser Formeln für eine gewisse Bandbreite an Sedimentgrößenklassen, sowie Abflussbedingungen entwickelt (BoR, 2006). Dabei ist zu beachten, dass die Anwendung von ungeeigneten Transportgleichungen zu falschen und irreführenden Ergebnissen führen kann. Für den Geschiebetransport werden von GSTAR-1D 11 Formeln zu Berechnung angeboten:

- Meyer-Peter and Müller (1948)

- Laursen (1958)

- Modified Laursen's Formula (Madden, 1993)

- Engelund and Hansen (1972)

- Ackers and White (1973)

- Ackers and White (HR Wallingford, 1990)

- Yang (1973) + Yang (1984)

- Yang (1979) + Yang (1984)

- Parker (1990)

- Brownlie (1981)

- Yang et al. (1996)

Die Praxis zeigt, dass in der Regel dem Wunsch nach Implementierung von Formeln in den source code von Seiten des Bureau of Reclamation gerne nachgekommen wird.

Für alpine Flüsse und zahlreiche Anwendungsbeispiele in Österreich wurde die Formel nach Meyer-Peter und Müller (1948) gewählt, die hier stellvertretend für die Berechnung der Transportkapazität diskutiert wird. In dimensionsloser Form kann die Geschiebetransportformel folgendermaßen dargestellt werden:


Seite 14-32

047.0

25.02/33/1

3/2

d

RSKK

dgq

s

rs

s

b

Glg. 14.26

,s Spezifisches Gewicht von Sediment und Wasser

R Hydraulischer Radius S Energieliniengefälle d Durchschnittlicher Korndurchmesser qb Geschieberate in Unterwassergewicht pro Zeit- und Breiteneinheit

SKK rs Angepasstes Energieliniengefälle, das zur Geschiebebewegung führt

An Hand der fraktionellen Berechnung des Geschiebetransportes und der Implementierung des selektiven Transportes ist es möglich die Abpflasterung der Sohle nachzuvollziehen. Somit werden nur die Korngrößen bewegt, für die die Sohlschubspannungen ausreichend hoch sind. Durch die Vergröberung der Sohle wird diese in weiterer Folge von Erosion geschützt.

Zusätzlich zu den hier angeführten Transportberechnungen des Geschiebes werden Prozesse, wie die Aggregierung, Akkumulation und Erosion von bindigem Material simuliert.

14.7.8 Sohlmaterial

Die Deckschichtbildung wird über die Sohlschubspannung abgeschätzt. Wenn diese größer als die kritische Sohlschubspannung für eine Geschiebefraktion ist, wird angenommen, dass diese Fraktion transportiert wird. Größere Fraktionen, für die die kritische Schubspannung nicht erreicht wird, bleiben hingegen liegen – selektiver Transport und Abpflasterung der Sohle tritt auf. Dieses Phänomen führt dazu, dass das Unterschichtmaterial vor Erosion geschützt wird – Deckschichtbildung findet statt. Da der fraktionelle Ansatz auch in der oben diskutierten Berechnung der Transportkapazität vorkommt, sind das Verhalten des Sohlmaterials und der Routing Prozess eng aneinander gekoppelt.

14.7.8.1 Randbedingungen-Sedimenttransport

oberwasserseitig: Sedimenttransportgleichung

Pegelschlüssel (Abfluss-Sedimenttransport(fraktionell))

Gesamtsedimenttransport-Abfluss-Beziehung

Zeit-Sedimenttransport-Beziehung

Zubringer werden an Hand der Methodik der Randbedingungen in Kombination mit einer Stationierung ins Modell integriert.

Die best mögliche Nachbildung des Sedimenttransportes mittels numerischer Modellierung, sowie die optimale obere Randbedingung zur Eichung und Berechnung des Sedimenttransportes ist durch die Verfügbarkeit von Messungen (Geschiebetransport, Transportbeginn, Sohlzusammensetzung, …) am oberen Rand als Input und/oder am Gebietsauslass als Output des zu untersuchenden Gebietes gegeben. Solche Messungen stehen aber nur in den seltensten Fällen zu Verfügung.


Seite 14-33

14.8 Kalibrierung und Validierung

Wie jedes numerische Modell, muss im Rahmen der Bearbeitung eine Kalibrierung und Validierung durchgeführt werden, so Daten vorhanden sind. Hier können die Vermessung der Flusssohle früherer Zeitpunkte und somit die historische Entwicklung der Sohllage hilfreich sein. Weitere Möglichkeiten bieten sich durch Bilanzierungsmöglichkeiten, falls der Flussabschnitt z.B. in einem Speicher mündet, oder Schotterentnahmen detailliert aufgezeichnet werden. Vor der Kalibrierung und Validierung des Sedimenttransportes müssen jedoch die hydraulischen Gegebenheiten an Hand von Wasserspiegellagen, Fließgeschwindigkeitsverteilungen, Wasserstand-Abfluss-Beziehungen,… kalibriert und validiert werden.

14.8.1 Kalibrierungsbeispiel

Das folgende Beispiel zeigt das Ergebnis der Kalibrierung eines 60 km langen Flussabschnittes. Zur übersichtlichen Darstellung wurde exemplarisch ein historisch gut dokumentierter Flussabschnitt mit der Lauflänge von ca. 2.5km ausgewählt. Zur Kalibrierung des Flusssystems inklusive Zubringern wurden mit Teilmodellen Geschiebeinputfunktion der Zubringer in Form von InputSediment=a*Abflussb berechnet.

Weiters wurden die Daten von sieben Pegeln im Gebiet (1/4-Stundenwerte) herangezogen. Die Dauer des Kalibrierungslaufes wurde mit sechs Jahren festgelegt. Dabei ist darauf zu achten, dass für die Kalibrierung bevorzugt stabile Flussabschnitte herangezogen werden sollten, und die Abflussdaten keine erheblichen Hochwässer aufweisen.

Die Darstellung im Längenschnitt (Abb. 14.20) zeigt eine gute Übereinstimmung der gemessenen mit den berechneten Werten nach sechs Jahren. Auf den ersten Blick stechen die Profile der Kilometrierung 12.096 und 11.269 als Extrema heraus. Das Profil 12.096 zeigt eine exakte Übereinstimmung der betrachteten Werte (Abweichung 1 cm), hingegen weist das Profil 11.269 eine Abweichung von 35cm auf.

Diese Diskrepanz des Soll- und Ist-Wertes deutet dem ersten Anschein nach auf eine nicht optimale Wahl der Kalibrierungsparameter hin. Betrachtet man jedoch die beiden genannten Profile im Detail relativieren sich die Extrema (Abb. 14.21, Abb. 14.22).


Seite 14-34

Kalibrierungsbeispiel Geschiebetransport 6 Jahre

466

467

468

469

470

471

472

473

474

475

476

477

10 50011 00011 50012 00012 50013 00013 500

Stationierung [m]

See

hö

he

[m ü

. A

dri

a]

Ausgangssohllage

Gemessen

Berechnet

Abb. 14.20 Kalibrierungsergebnis im Längenschnitt

Da die Darstellung von Ergebnissen oft im Längenschnitt passiert und somit nur der tiefste Punkt jedes Profils betrachtet wird (Talweg) sollte man immer eine Analyse der Einzelprofile durchführen. Abb. 14.21 repräsentiert das laut Längenschnitt sehr gute Profil mit einer Abweichung von -1cm zum Soll-Wert. Wie der Querschnitt zeigt, kann diese Übereinstimmung nur für einen Punkt festgestellt werden (siehe Markierung), die durch den Längenschnittes implizierte Genauigkeit kann, trotz der guten Nachbildung, nicht festgestellt werden. Bei einer hohen Anzahl an Profilen empfiehlt es sich daher die durchschnittlichen Sohlhöhen je Profil der Soll- und Ist-Werte zu vergleichen, da ein einziger Punkt im Profil nicht als repräsentativ angesehen werden kann.

Profilentwicklung 6 Jahre, 12096

471

471.5

472

472.5

473

473.5

474

474.5

475

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Stationierung [m]

See

hö

he

[m ü

. A

dri

a]

Berechnet

Ausgangssohllage

Gemessen

Abb. 14.21 Querprofil km 12.1

Das Profil 11.269 (Abb. 14.22) weist im Längenschnitt eine nicht zufrieden stellende Übereinstimmung der gemessenen und berechneten Sohllage auf. Die Darstellung des gesamten Profils zeigt jedoch, dass die Entwicklung des Großteils des Profils durch das Programm sehr gut

Profil 12096

Profil 11269


Seite 14-35

und genau prognostiziert bzw. berechnet wird und die Abweichung von 35 cm nur einen Teilbereich betrifft. In diesem speziellen Fall ist darauf hinzuweisen, dass das Ergebnis mit einem eindimensionalen Modell erzielt wurde. Befindet sich ein betrachtetes Profil, wie das dargestellte, in einer Flusskrümmung werden Phänomene wie Sedimenttransport im Querverlauf des Profils nicht nachgebildet. Flussmorphologisch betrachtet kommt es hier zu einer Eintiefung im Außenbogen. Diese Entwicklung ist typisch und kann in vielen Flussabschnitten beobachtet werden, sie wird jedoch nicht von 1D-Modellen erfasst. Somit ist die Güte der berechneten Werte ebenfalls als hoch einzustufen.

Profilentwicklung 6 Jahre, 11269

467

467.5

468

468.5

469

469.5

470

470.5

471

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Stationierung [m]

See

höh

e [m

ü. A

dri

a]

Berechnet

Ausganssohllage

Gemessen

Abb. 14.22 Querprofil km 11.3

14.8.2 Ergebnisse

Als Ergebnis der Simulation erhält man zahlreiche Output-files, die folgende Aussagen beinhalten:

- Verwendete Dimensionen (Flussnummerierung, Sedimentfraktionen, Zahl der betrachteten Sohlschichten, Querprofilnummerierung, …) und Wiedergabe des Input files. Dieses Output-file ist sehr hilfreich zum debuggen

- Fehlermeldungen

- Auflistung der Systemzustände während vordefinierter Zeitschritte. Dient der Entwicklungsanalyse

- Profilinformationen, Hydrologie, Talwegentwicklung, Wasserspiegellage, Reibungsgefälle, hydraulischer Radius je Querprofil, charakteristische Korndurchmesser, Sohlschubspannung, …

- Querprofilentwicklung

- Kumuliertes Sedimentvolumen das im System akkumuliert oder erodiert wurde

- Massenbilanz, Sedimenteintrag, Sedimentaustrag, Erosion aus der Sohle

- Sedimenttransport durch jedes Profile

- …

Kombiniert man die Informationen der Geschiebebeprobung mit den Ergebnissen der Simulationsläufe lassen sich zahlreiche Parameter berechnen, sowie detaillierte Aussagen über den Fluss und dessen Entwicklung treffen.


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Diskussion

Die wesentlichen Punkte dieses Kapitels beziehen sich auf die Bestandteile der Modellierung des Sedimenttransportes in Flüssen. Die Entwicklung von der Einzelbetrachtung von Profilen an Hand von Transportformeln hin zur gesamtheitlichen Betrachtung von ganzen Einzugsgebieten wurde in den vergangenen 10-20 Jahren stark forciert.

Besonderes Augenmerk bei Arbeiten mit numerischen Modellen ist auf die Arbeitsschritte Datenerhebung, Wahl des Modells und der Transportformel, Wahl der Dimension und der Kalibrierung und Validierung, sowie der dafür verwendeten Parameter zu legen.

Die Simulation des Sedimenttransportes an Hand von numerischen Modellen bietet ein sehr gutes Instrument, um mit akzeptablem Aufwand umfangreiche und genaue Aussagen über den Fluss und dessen Entwicklung treffen zu können.

Forschungsbedarf, sowie Entwicklungspotential besteht vor allem bei höherdimensionalen Modellen und wie überall bei hochkomplexen natürlichen Abläufen in der Erfassung und Nachbildung der Einzelprozesse und deren Interaktion.


Seite 14-37

14.9 Literatur

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Hydrologie und Flussgebietsmanagement - iwhw.boku.ac.at · Wintersemester 2007/08 Institut für...

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