13.11.2010
1
Hydrologie und Flussgebietsmanagement
o.Univ.Prof. DI Dr. H.P. Nachtnebel
Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiver Wasserbau
Statistische Grundlagen Seite 2
Gliederung der VorlesungStatistische GrundlagenExtremwertstatistikKorrelation und RegressionZeitreihenanalyse und AnwendungRegionalisierung & räumliche InterpolationBodenwasserhaushaltGrundwasserhaushaltNiederschlags-AbflussmodelleKontinuierliche N-A ModelleRetention und Flood RoutingHydrologische VorhersagenFlussgebietsmodelleStofftransportSedimenttransport – ModellierungFlussgebietsmodelle
Statistische Verfahren
Physikalisch basierte Verfahren
Konzeptmodelle
13.11.2010
2
Statistische Grundlagen Seite 3
Def.: Hydrologie und Prozesse
Die Hydrologie ist die Wissenschaft vom Wasser, von seinen Eigenschaften und seinen Erscheinungsformen auf und unter der LandoberflächeDamit verbundene Prozesse
NiederschlagSchnee bzw. EisWasser in Flüssen, Seen und TalsperrenAbfluss und SpeicherungVerdunstungBodenwasserGrundwasser
Statistische Grundlagen Seite 4
Charakteristik der Abflussganglinie
13.11.2010
3
Statistische Grundlagen Seite 5
Abflussganglinie: Donau 1976 – 1988, aus Monatsmittelwerten
Statistische Grundlagen Seite 6
DatenauswertungZeitreihen Ganglinien
• Stetige Variablen Polygon• Mittelwerte und Summen Treppenlinie• x(t) = xT(t) + xP(t) + xR(t)
Häufigkeiten Histogramm• Absolute Häufigkeit Hj
• Relative Häufigkeit hj
Klassenanzahl
Klassenbreite
• 90 % der Werte in 7 Klassen
( )k
xxx minmax −=Δ
13.11.2010
4
Statistische Grundlagen Seite 7
Darstellung Häufigkeit
Wie oft liegen Werte in ∆x?
Verlust des Zeitbezugs
x
H
t
x
∆x1
∆x3∆x2
∆x3∆x1 ∆x2
Statistische Grundlagen Seite 8
Summenlinie einer Zeitreihe
Def.: Aufsummieren der Werte einer GanglinieBeispiel: Ermittlung Abflussfracht
• Abflussfracht als Fläche unter der AbflussGL
Abfluss-fracht
13.11.2010
5
Statistische Grundlagen Seite 9
Dauerlinie einer Zeitreihe
Definition• fortlaufende Aufsummierung der Häufigkeiten• bei äquidistanten Reihen
Ordnung der Größe nachAuf- oder AbsteigendUnter- / Überschreitungsdauerlinie
t
QAÜberschreitungsdauerlinie
Unterschreitungsdauerlinie
Statistische Grundlagen Seite 10
Konstruieren einer Dauerlinie
• Aufsummieren der Häufigkeiten• Hier: Ausgehend vom größten Wert = Überschreitungsdauerlinie• Anwendung
Statistische Behandlung von Abflussgeschehen
Überschreitungsdauerlinie
13.11.2010
6
Statistische Grundlagen Seite 11
Über- / Unterschreitungswahrscheinlichkeit
x
f(x)
x
s
x
F(x)
0
1
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
UnterschreitungsWK ÜberschreitungsWK 230t
QA
QA
t
Dauerlinie
365
Statistische Grundlagen Seite 12
WahrscheinlichkeitBegriff der Wahrscheinlichkeit nach Laplace
• Beispiel Würfel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau eine Sechs zu würfeln?
Verteilungsfunktion• Zur eindeutigen Festlegung einer Zufallsvariablen
• Durchläuft die Werte 0 bis 1
Dichtefunktion• Anforderungen:
Verteilung F(x) Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)
13.11.2010
7
Statistische Grundlagen Seite 13
Verteilungs- / Dichtefunktion
Dichtefunktion f(x)Gesamtflächeninhalt = 1
Summenhäufigkeit
Verteilungsfunktion P(x)
P(x ≤ c)
P(x ≤ c) = PU = Pc
P(x ≥ c) = PÜ
= 1- Pc
Häufigkeitsverteilung
Statistische Grundlagen Seite 14
Beschreibung von Verteilungen
Durch ParameterLageparameter 1. Ordnung
Dispersionsparameter 2. Ordnung
Asymmetrieparameter höherer Ordnung
13.11.2010
8
Statistische Grundlagen Seite 15
Statistische Parameter
LageparameterArithmetisches MittelMedian ModusQuantile
nx
x i∑=
Statistische Grundlagen Seite 16
Statistische Parameter
x
f(x)
xs
Unterschiedliche StreuungVarianz = s2
Spannweite: xmax-xmin
1)( 2
2
−−
= ∑n
xxs i
Dispersionsparameter:
13.11.2010
9
Statistische Grundlagen Seite 17
Normalverteilung
Symmetrisch2parametrigBeidseitig unbegrenzt
Anwendung:• Jahresnieder-
schlag• Jahres-
temperatur
x
f
∆x
Bestimmung von und s
Abweichung zwischen beobachteten und geschätztem Wert Min
nx
x i∑=1
)( 22
−−
= ∑n
xxs i
x
∑ − 2)( ii BTMin ∆x
Bi
Ti
Statistische Grundlagen Seite 18
Unterschiedliche Datengrundlage
Bei Einzelwerten
Bei Werten in Klassen
Bei Werten in Klassen mit Mittelwerten und Häüfigkeiten
n … Stichprobenumfang
n … Stichprobenumfanghi …relative HäufigkeitXi … Klassenmittel
fi … Häufigkeitenxi … Klassenmittel
13.11.2010
10
Statistische Grundlagen Seite 19
Standardisierung
Parameterfreie VerteilungSchätzung von Bemessungswerten der Variablen x
-1,96 ≤ u ≤ 1,96 95 % aller Werte-2,576 ≤ u ≤ 2,576 99,5 % aller Werte
x
f(x)
x
xx −
sDiv ss
xxu −=
2²
21)(
u
euf−
=π
suxx *)()( αα +=
(Siehe Tabelle S.21)
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Quantile
rel.
Hae
ufig
keit
Dichteverteilung
Häufigkeitsverteilung(Summenhäufigkeit)
Standardisierte Normalverteilung
Dichtefunktion f(u) und Verteilung F(u)
Beispiel: F(u) = 0.99 d.h. W(u‘>u)=0.01liefert u=2.32
13.11.2010
11
Statistische Grundlagen Seite 21
Inverse standardisierte Normalverteilung
0,0010 -3,0902 0,5000 0,00000,0020 -2,8782 0,5500 0,12570,0030 -2,7478 0,6000 0,25330,0040 -2,6521 0,6500 0,38530,0050 -2,5758 0,7000 0,52440,0060 -2,5121 0,7500 0,67450,0070 -2,4573 0,8000 0,84160,0080 -2,4089 0,8500 1,03640,0090 -2,3656 0,9000 1,28160,0100 -2,3263 0,9050 1,31060,0150 -2,1701 0,9100 1,34080,0200 -2,0537 0,9150 1,37220,0250 -1,9600 0,9200 1,40510,0300 -1,8808 0,9250 1,43950,0350 -1,8119 0,9300 1,47580,0400 -1,7507 0,9350 1,51410,0450 -1,6954 0,9400 1,55480,0500 -1,6449 0,9450 1,59820,0550 -1,5982 0,9500 1,64490,0600 -1,5548 0,9550 1,69540,0650 -1,5141 0,9600 1,75070,0700 -1,4758 0,9650 1,81190,0750 -1,4395 0,9700 1,88080,0800 -1,4051 0,9750 1,96000,0850 -1,3722 0,9800 2,05370,0900 -1,3408 0,9850 2,17010,0950 -1,3106 0,9900 2,32630,1000 -1,2816 0,9910 2,36560,1500 -1,0364 0,9920 2,40890,2000 -0,8416 0,9930 2,45730,2500 -0,6745 0,9940 2,51210,3000 -0,5244 0,9950 2,57580,3500 -0,3853 0,9960 2,65210,4000 -0,2533 0,9970 2,74780,4500 -0,1257 0,9980 2,87820,5000 0,0000 0,9990 3,0902
F(u) u F(u) u
∫∞−
=u
duufuF ')'()(
Statistische Grundlagen Seite 22
Anwendung
Starkregen in WienDer mittlere Jahresniederschlag beträgt ca 650 mmDie Streuung 150mmWie gross ist der niederschlag in einem Nassjahr, das ca. in einem Zeitraum von 40 Jahren durchschnittlich einmal auftritt ?
xT= x+u(α)* sx
13.11.2010
12
Statistische Grundlagen Seite 23
Zusammenfassung Statistische Grundlagen
Definitionen der statistischen Grundlagen• Grundgesamtheit / Stichprobe / Wahrscheinlichkeit• Absolute / relative Häufigkeit• Histogramm / Dichte- / Verteilungsfunktion• Summenlinie / Dauerlinie
Verteilungen• Parameter zur Beschreibung• Normalverteilung• Standardisierung
Begriffe• Jährlichkeit • Wiederkehrintervall