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Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken
Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I
Themen:
Vorlesung 8
Statistik
Dichtefunktionen
Jährliche und partielle Serien
Trendanalyse
Extremwertstatistik
Typen von Verteilungsfunktionen
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Basisansatz, Hypothese: y(t) = yT(t) + yP(t) + ykorr(t) + z(t)
Vorgehensweise: Trennung der Komponenten
y(t)y(t) - yT(t) y(t) - yT(t) - yP(t)
z(t)
ykorr(t)
Trendanteil
periodischer Anteil
korrelativer Anteil
Zufallsanteil
Regressionsanalyse Glättung (Bildung von Gleitmitteln)
Harmonische Analyse Fourieranalyse Glättung (Mittelbildung unter Berücksichtigung der Periode)
Autokorrelations-analyse
yT(t) yP(t)
Basisansatz
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Q [m³/s]
tZeitraster
Klassen-einteilung
1234
2
3232
3
21
0
0
0
0
00
1
1
1
1
Häufigkeit
Haufigkeitsermittlung
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2
3232
3
21
0
0
0
0
00
1
1
11
4
23232 3 2 1 0 0 0 000 1 1 1 14 0,0380,154 0,038 0,038 0,038
0,038
0,077 0,077
0,077 0,0770,115 0,115
0,115
0 0 0
0
0
0
Häufigkeit
Häufigkeit (absolut)Häufigkeit (relativ)
Dichtefunktion
Ermittlung der Dichtefunktion
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Abflussganglinie
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Dichtefunktionen
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Verteilungsfunktionen
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Abflüsse unterschiedlicher Wiederkehrintervalle
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2. Trendprüfung (+ gegebenenfalls Trend bereinigen)
4. Angabe der Bandbreite für die Extremwert HQx
Plausibilisierung der Eingangsdaten (Prüfung auf Vollständigkeit / Fehlzeiten, Test auf Ausreißer)
1.
Anwendung der Extremwertstatistik (mit Parameteranpassung bei Zugrundlegung der jährlichen (oder partiellen) Serie)
3.
Vorgehensweise bei der statistischen Analyse
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Tendenz Sprung
Trend
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Q [m³/s]
t [Jahre]
Trendbereinigung
Die Eingangs-informationen für extremwert-statistische Auswertungen dürfen keinen Trend aufweisen
In diesem Fall ergibt die Prüfung einen linearen Trend; die Messwerte müssen von diesem Trendanteil bereinigt werden.
Trendbehaftete Zeitreihe
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1 Jahr
N [mm]
[Monate, Tage, Stunden,]
t
jährliche Serie: Eingang in die Berechnung findet jeweils der größte Wert pro Jahr
Jährliche Serie
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1 Jahr
N [mm]
[Monate, Tage, Stunden,]
t
partielle Serie: Eingang finden die n größten Werte pro Jahr (n =2 oder 3)
Partielle Serie
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Als Eingangswerte für extremwert-statistische Berechnungen werden die maximalen Abflüssen eines jeden Jahres (jährliche Serie) verwendet.
In diesem Fall umfasst die Serie 27 Jahre.
Extremwertstatistik
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Die Reihe der Messwerte weist Fehljahre auf.
Dies kann beispiels-weise durch Ausfall der Messeinrichtung auftreten oder durch fehlerbehaftete Daten.
Fehlzeiten werden durch besondere Werte gekenn-zeichnet.
Zeitreihe der jährlichen Serie
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Bevor eine extrem-wertstatistische Berechnung durch-geführt werden darf, muss eine Trend-analyse erfolgen.
Trendbehaftete Messreihen verstossen gegen die Grund-annahmen der Extra-polation.
Trendanalyse
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In einem ersten Schritt wird für die verschiedenen Verteilungsfunktionen die Parameter-anpassung überprüft.
Die drei Verteilungs-funktionen mit den besten Kriterien für die Parameteranpassung werden für die weitere Bearbeitung vorgeschla-gen.
In diesem Fall sind es dieVerteilungen:
Log-Normal [LN3] Pearson3 [P3]Weibull [WB3]
Test der Verteilungsfunktion
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Für die unterschiedlichen Verteilungen werden Prüfgrößen und Qualitätskennwerte ausgewiesen.
Parameter der Verteilungsfunktion
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Die verschiedenen Verteilungsfunktionen liefern als Ergebnis eine Spannweite der extremen Abflüsse.
In diesem Fall liegt der Abfluss für das 50-jährige Ereignis HQ50 zwischen 217 und 223 m³/s.
Ergebnisse der Extremabflüsse
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Die verschiedenen Verteilungsfunktionen differieren bei kleinen Wiederkehrintervallen kaum. Das Streumaß nimmt jedoch deutlich mit größerem Wieder-kehrintervall zu.
Der grau hinterlegte Bereich gibt die-jenigen Wiederkehr-intervalle an, die außerhalb des be-legten Extrapolations-bereichs liegen.
(3x21=63 Jahre)
Graphische Darstellung der Extrapolationsergebnisse
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Um den Einfluss einzelner Messwerte auf das Ergebnis der Extrapolation statistisch zu ver-deutlichen wird hier ein Beispiel aus-geführt.
Es wird lediglich der größte Wert der jährlichen Serie abgeändert (von 238 auf 300m³/s) und der gesamte Vorgang wiederholt.
Sensitivität der Verteilungen
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Die Anpassung der Verteilungsfunktionen ergibt bereits erste Abweichungen.
Nunmehr sind die Extremalverteilung vom Typ 1 [E1] und die allgemeine Extremalwertver-teilung [AE] am besten geeignet zur Anpassung an die Messreihe.
Sensitivität der Verteilungen
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Originalwerte
Die Ergebnisse der Extremabflüsse weichen deutlich von der ersten Berechnung ab.
Das HQ50 wäre in diesem Fall in einer Größenordnung von 231-261m³/s anzusetzen.
Sensitivität der Verteilungen
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Das Streumaß der Ergebnisse ist in diesem Fall ebenfalls deutlich größer als bei der Ursprungsreihe.
Dieser einfache Test verdeutlicht, wie groß der Einfluss einzelner, großer Messwerte auf die extremwert-statistische Auswertung ist.
Deshalb sind immer Ausreißertests vor der Auswertung durchzuführen.
Sensitivität der Verteilungen
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Normalverteilung
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Lognormalverteilung
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Exponentialverteilung
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Gamma-Verteilung
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Pearson Typ3 Verteilung
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Log Pearson Typ3 Verteilung
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Extremal Verteilung