Zur Asymptotik von Modulformen -Wolken und deren Grenzen
Gabor Wiese
Institut für Experimentelle Mathematik
Universität Duisburg-Essen
23. April 2009
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.1/43
Plan
(I) Arithmetik von Koeffizientenkörpern von Familien vonModulformen. Einführung.
(II) Berechnungen aus der Diplomarbeit von MarcelMohyla und daraus resultierende Fragen.
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.2/43
Koeffizientenkörper
Sei f = f(z) =∑
∞
n=1 an e2πinz eine Neuform (von Primstufe).
Koeffizientenkörper von f : Qf = Q(an | n ∈ N).
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.3/43
Koeffizientenkörper
Sei f = f(z) =∑
∞
n=1 an e2πinz eine Neuform (von Primstufe).
Koeffizientenkörper von f : Qf = Q(an | n ∈ N).
Qf ist ein Zahlkörper.
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.3/43
Koeffizientenkörper
Sei f = f(z) =∑
∞
n=1 an e2πinz eine Neuform (von Primstufe).
Koeffizientenkörper von f : Qf = Q(an | n ∈ N).
Qf ist ein Zahlkörper.
Ist das Gewicht von f gleich 2, dann ist Qf derQuotientenkörper des Endomorphismenrings einerabelschen Varietät.
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.3/43
Koeffizientenkörper
Sei f = f(z) =∑
∞
n=1 an e2πinz eine Neuform (von Primstufe).
Koeffizientenkörper von f : Qf = Q(an | n ∈ N).
Qf ist ein Zahlkörper.
Ist das Gewicht von f gleich 2, dann ist Qf derQuotientenkörper des Endomorphismenrings einerabelschen Varietät.
Was weiß man von der Arithmetik von Qf?
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.3/43
KoeffizientenkörperWas weiß man von der Arithmetik von Qf = Q(an | n ∈ N)?
Sei p Primzahl. Koeffizientenkörper von f modulo p:
Fp,f = Fp(an; n ∈ N)
für eine Wahl von Zx7→x։ Fp.
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.4/43
KoeffizientenkörperWas weiß man von der Arithmetik von Qf = Q(an | n ∈ N)?
Sei p Primzahl. Koeffizientenkörper von f modulo p:
Fp,f = Fp(an; n ∈ N)
für eine Wahl von Zx7→x։ Fp.
Falls p nicht den Index von Z[an | n ∈ N] im Ring derganzen Zahlen von Qf teilt, dann ist Fp,f derRestklassenkörper von Qf für ein Primideal über p.
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.4/43
KoeffizientenkörperWas weiß man von der Arithmetik von Qf = Q(an | n ∈ N)?
Sei p Primzahl. Koeffizientenkörper von f modulo p:
Fp,f = Fp(an; n ∈ N)
für eine Wahl von Zx7→x։ Fp.
Falls p nicht den Index von Z[an | n ∈ N] im Ring derganzen Zahlen von Qf teilt, dann ist Fp,f derRestklassenkörper von Qf für ein Primideal über p.
Fp,f hängt nur von der Gal(Fp/Fp)-Konjugationsklasse[f ] von f ab. Wir schreiben: Fp,[f ].
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.4/43
KoeffizientenkörperWas weiß man von der Arithmetik von Qf = Q(an | n ∈ N)?
Sei p Primzahl. Koeffizientenkörper von f modulo p:
Fp,f = Fp(an; n ∈ N)
für eine Wahl von Zx7→x։ Fp.
Falls p nicht den Index von Z[an | n ∈ N] im Ring derganzen Zahlen von Qf teilt, dann ist Fp,f derRestklassenkörper von Qf für ein Primideal über p.
Fp,f hängt nur von der Gal(Fp/Fp)-Konjugationsklasse[f ] von f ab. Wir schreiben: Fp,[f ].
Warum ist Fp,[f ] wichtig?
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.4/43
Koeffizientenkörper mod p
Warum ist Fp,[f ] wichtig?
Shimura/Deligne: Es gibt eine ungeradeGalois-Darstellung
ρ[f ] : Gal(Q/Q) → GL2(Fp,[f ]),
deren Arithmetik in [f ] ”gespeichert“ ist.
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.5/43
Koeffizientenkörper mod p
Warum ist Fp,[f ] wichtig?
Ribet: Für fast alle p gibt es einen total imaginärenZahlkörper Kf,p, dessen Galois-Gruppe Gal(Kf,p/Q)
gleich PSL2(Fp,[f ]) or PGL2(Fp,[f ]) ist.
Die Arithmetik von Kf,p ist in [f ] ”gespeichert“.
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.6/43
Koeffizientenkörper mod p
Warum ist Fp,[f ] wichtig?
Ribet: Für fast alle p gibt es einen total imaginärenZahlkörper Kf,p, dessen Galois-Gruppe Gal(Kf,p/Q)
gleich PSL2(Fp,[f ]) or PGL2(Fp,[f ]) ist.
Die Arithmetik von Kf,p ist in [f ] ”gespeichert“.
Serre’s Modularitätsvermutung (Theorem von Khare,Wintenberger, Kisin):
Jeder total imaginäre Zahlkörper mit Galois-GruppePSL2(F) oder PGL2(F) mit einem endlichen Körper Fentsteht auf diese Weise.
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.6/43
Koeffizientenkörper mod p
Was wissen wir von Qf und Fp,[f ]?
In konkreten Fällen: Berechnen von Qf und Fp,[f ] isteinfach.
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.7/43
Koeffizientenkörper mod p
Was wissen wir von Qf und Fp,[f ]?
In konkreten Fällen: Berechnen von Qf und Fp,[f ] isteinfach.
Jede Neuform hat eine Stufe N ∈ N und ein Gewichtk ∈ N.
Kennt man aber nur Stufe und Gewicht, dann weiß mannicht viel über Qf und Fp,[f ].
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.7/43
Koeffizientenkörper mod p
Was wissen wir von Qf und Fp,[f ]?
In konkreten Fällen: Berechnen von Qf und Fp,[f ] isteinfach.
Jede Neuform hat eine Stufe N ∈ N und ein Gewichtk ∈ N.
Kennt man aber nur Stufe und Gewicht, dann weiß mannicht viel über Qf und Fp,[f ].
Kann man etwas ”Asymptotisches“ für variierendes fsagen?
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.7/43
Koeffizientenkörper mod p
Kann man etwas ”Asymptotisches“ für variierendes fsagen?
Wir werden folgende Punkte betrachten:
Summe der Grade [Fp,[f ] : Fp] für alle [f ] in gegebenerStufe und Gewicht.
Ausartung der Mod-p-Hecke-Algebren.
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.8/43
Koeffizientenkörper mod p
Kann man etwas ”Asymptotisches“ für variierendes fsagen?
Wir werden folgende Punkte betrachten:
Summe der Grade [Fp,[f ] : Fp] für alle [f ] in gegebenerStufe und Gewicht.
Ausartung der Mod-p-Hecke-Algebren.
Mittlerer Grad [Fp,[f ] : Fp] über alle [f ] in gegebenerStufe und Gewicht.
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.8/43
Koeffizientenkörper mod p
Kann man etwas ”Asymptotisches“ für variierendes fsagen?
Wir werden folgende Punkte betrachten:
Summe der Grade [Fp,[f ] : Fp] für alle [f ] in gegebenerStufe und Gewicht.
Ausartung der Mod-p-Hecke-Algebren.
Mittlerer Grad [Fp,[f ] : Fp] über alle [f ] in gegebenerStufe und Gewicht.
Maximaler Grad [Fp,[f ] : Fp] unter allen [f ] in gegebenerStufe und Gewicht.
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.8/43
Ausartung mod p
Wir betrachten Primstufe N und ein Gewicht k.
Wir definieren
dimk(N) = (Anzahl Neuformen in Stufe N und Gewicht k).
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.9/43
Ausartung mod p
Wir betrachten Primstufe N und ein Gewicht k.
Wir definieren
dimk(N) = (Anzahl Neuformen in Stufe N und Gewicht k).
Summe der Restklassengrade
deg(p)k (N) =
∑
[f ]
[Fp,[f ] : Fp],
wobei [f ] die Gal(Fp/Fp)-Konjugationsklassen der Neufor-
men in Stufe N und Gewicht k durchläuft.
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.9/43
Ausartung mod p
Theorem. dimk(N) = deg(p)k (N)
def=
∑
[f ][Fp,[f ] : Fp]
(die Mod-p-Hecke-Algebra ist nicht ausgeartet) ⇔
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.10/43
Ausartung mod p
Theorem. dimk(N) = deg(p)k (N)
def=
∑
[f ][Fp,[f ] : Fp]
(die Mod-p-Hecke-Algebra ist nicht ausgeartet) ⇔
es gibt keine Kongruenz modulo p zwischen zweiNeuformen von Stufe N und Gewicht k und
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.10/43
Ausartung mod p
Theorem. dimk(N) = deg(p)k (N)
def=
∑
[f ][Fp,[f ] : Fp]
(die Mod-p-Hecke-Algebra ist nicht ausgeartet) ⇔
es gibt keine Kongruenz modulo p zwischen zweiNeuformen von Stufe N und Gewicht k und
die Koeffizientenkörper Qf sind bei p unverzweigt füralle Neuformen f in Stufe N und Gewicht k und
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.10/43
Ausartung mod p
Theorem. dimk(N) = deg(p)k (N)
def=
∑
[f ][Fp,[f ] : Fp]
(die Mod-p-Hecke-Algebra ist nicht ausgeartet) ⇔
es gibt keine Kongruenz modulo p zwischen zweiNeuformen von Stufe N und Gewicht k und
die Koeffizientenkörper Qf sind bei p unverzweigt füralle Neuformen f in Stufe N und Gewicht k und
p ∤ Index Zf = Z[an(f) | n ∈ N] in den ganzen Zahlenvon Qf für alle Neuformen f in Stufe N und Gewicht k.
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.10/43
Ausartung mod p
Theorem. dimk(N) = deg(p)k (N)
def=
∑
[f ][Fp,[f ] : Fp]
(die Mod-p-Hecke-Algebra ist nicht ausgeartet) ⇔
es gibt keine Kongruenz modulo p zwischen zweiNeuformen von Stufe N und Gewicht k und
die Koeffizientenkörper Qf sind bei p unverzweigt füralle Neuformen f in Stufe N und Gewicht k und
p ∤ Index Zf = Z[an(f) | n ∈ N] in den ganzen Zahlenvon Qf für alle Neuformen f in Stufe N und Gewicht k.
Man könnte vermuten, dass strikte Ungleichheit
dimk(N) > deg(p)k (N) ein seltenes Phänomen ist.
Ist das wahr?
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.10/43
Ausartung mod p
Wir fixieren eine Primzahl p und ein Gewicht k.
Wir zeichnen deg(p)k (N) als Funktion von dimk(N) für alle
Primstufen N ≤ 2000 (für k = 2).
Zunächst für ungerades p.
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.11/43
Ausartung mod p
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Sum
of R
esid
ue D
egre
es
Dimension k = 2, p = 3
x * 0.990097
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.12/43
Ausartung mod p
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Sum
of R
esid
ue D
egre
es
Dimension k = 2, p = 5
x * 0.991183
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.13/43
Ausartung mod p
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Sum
of R
esid
ue D
egre
es
Dimension k = 2, p = 7
x * 0.995265
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.14/43
Ausartung mod p
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Sum
of R
esid
ue D
egre
es
Dimension k = 2, p = 11
x * 0.995979
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.15/43
Ausartung mod p
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100 120 140
Sum
of R
esid
ue D
egre
es
Dimension k = 2, p = 31
x * 0.999248
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.16/43
Ausartung mod p
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100 120 140
Sum
of R
esid
ue D
egre
es
Dimension k = 2, p = 97
x * 0.999889
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.17/43
Ausartung mod p
0
50
100
150
200
0 50 100 150 200
Sum
of R
esid
ue D
egre
es
Dimension k = 4, p = 3
x * 0.970169
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.18/43
Ausartung mod p
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
Sum
of R
esid
ue D
egre
es
Dimension k = 4, p = 7
x * 0.994612
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.19/43
Ausartung mod p
Jetzt p = 2.
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.20/43
Ausartung mod p
0
20
40
60
80
100
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Sum
of R
esid
ue D
egre
es
Dimension k = 2, p = 2
x * 0.521382
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.21/43
Ausartung mod p
0
20
40
60
80
100
0 50 100 150 200
Sum
of R
esid
ue D
egre
es
Dimension k = 4, p = 2
x * 0.409027
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.22/43
Ausartung mod p
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 50 100 150 200
Sum
of R
esid
ue D
egre
es
Dimension k = 6, p = 2
x * 0.358230
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.23/43
Ausartung mod p
Frage: Fixiere eine Primzahl p > 2 und ein Gewicht k ≥ 2.
Gibt es 0 < α ≤ 1 und C > 0, so dass
deg(p)k (N) ≥ α dimk(N) − C ?
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.24/43
Ausartung mod p
Frage: Fixiere eine Primzahl p > 2 und ein Gewicht k ≥ 2.
Gibt es 0 < α ≤ 1 und C > 0, so dass
deg(p)k (N) ≥ α dimk(N) − C ?
Frage: Fixiere ein Gewicht k ≥ 2.
Gibt es 0 < α ≤ β < 1 und C,D > 0, so dass
β dimk(N) + D ≥ deg(2)k (N) ≥ α dimk(N) − C ?
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.24/43
Grade von KoeffizientenkörpernTheorem (Serre). Nehmen an: Nm + km → ∞ für m → ∞.
Dann ist die Menge
{[Qf : Q] | f Neuform von Stufe Nm, Gewicht km ein m}
unbeschränkt.
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.25/43
Grade von KoeffizientenkörpernTheorem (Serre). Nehmen an: Nm + km → ∞ für m → ∞.
Dann ist die Menge
{[Qf : Q] | f Neuform von Stufe Nm, Gewicht km ein m}
unbeschränkt.
Im Allgemeinen weiß ich nicht, ob die Menge
{[Fp,[f ] : Fp] | f Neuform von Stufe Nm, Gewicht km ein m}
unbeschränkt ist. Die Fälle, wenn Nm eine großePrimpotenz enthalten, können mittels Verzweigungbehandelt werden.
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.25/43
Grade von KoeffizientenkörpernTheorem (Serre). Nehmen an: Nm + km → ∞ für m → ∞.
Dann ist die Menge
{[Qf : Q] | f Neuform von Stufe Nm, Gewicht km ein m}
unbeschränkt.
Im Allgemeinen weiß ich nicht, ob die Menge
{[Fp,[f ] : Fp] | f Neuform von Stufe Nm, Gewicht km ein m}
unbeschränkt ist. Die Fälle, wenn Nm eine großePrimpotenz enthalten, können mittels Verzweigungbehandelt werden.
Wie verhalten sich die [Fp,[f ] : Fp], wenn k fixiert ist und N
die Primzahlen durchläuft?
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.25/43
Grade von KoeffizientenkörpernWir definieren:
max(p)k (N) := max[f ][Fp,[f ] : Fp]
maximaler Grad der Koeffizientenkörper mod p.
Hierbei durchläuft [f ] die Gal(Fp/Fp)-Konjugiertenklassenvon Neuformen in Stufe N und Gewicht k.
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.26/43
Grade von KoeffizientenkörpernWir definieren:
max(p)k (N) := max[f ][Fp,[f ] : Fp]
maximaler Grad der Koeffizientenkörper mod p.
Hierbei durchläuft [f ] die Gal(Fp/Fp)-Konjugiertenklassenvon Neuformen in Stufe N und Gewicht k.
Kann max(p)k (N) durch Funktionen in dimk(N) beschränkt
werden?
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.26/43
Grade von KoeffizientenkörpernFixiere p und k = 2.
Wir raten eine Abhängigkeit der Form
max(p)k (N) ∼ C
(
dimk(N))α.
Wir zeichnen log(max(p)k (N)) als Funktion von log(dimk(N))
für die Primzahlen N ≤ 2000.
Bemerkung. Nimmt man statt des maximal Grades den mit-
tleren Grad, dann sehen die Graphen ganz ähnlich aus.
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.27/43
Grade von Koeffizientenkörpern
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6
Log(
Max
imum
Res
idue
Deg
ree)
Log(Dimension) k = 2, p = 2
-0.567464 + x * 0.825435
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.28/43
Grade von Koeffizientenkörpern
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6
Log(
Max
imum
Res
idue
Deg
ree)
Log(Dimension) k = 2, p = 3
-0.205983 + x * 0.833940
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.29/43
Grade von Koeffizientenkörpern
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6
Log(
Max
imum
Res
idue
Deg
ree)
Log(Dimension) k = 2, p = 5
-0.404973 + x * 0.866407
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.30/43
Grade von Koeffizientenkörpern
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6
Log(
Max
imum
Res
idue
Deg
ree)
Log(Dimension) k = 2, p = 7
-0.398383 + x * 0.868597
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.31/43
Grade von Koeffizientenkörpern
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6
Log(
Max
imum
Res
idue
Deg
ree)
Log(Dimension) k = 2, p = 31
-0.590970 + x * 0.906161
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.32/43
Grade von Koeffizientenkörpern
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5
Log(
Max
imum
Res
idue
Deg
ree)
Log(Dimension) k = 2, p = 97
-0.608967 + x * 0.917626
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.33/43
Grade von Koeffizientenkörpern
Jetzt k = 4.
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.34/43
Grade von Koeffizientenkörpern
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0 1 2 3 4 5 6
Log(
Max
imum
Res
idue
Deg
ree)
Log(Dimension) k = 4, p = 2
-1.281886 + x * 0.777429
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.35/43
Grade von Koeffizientenkörpern
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0 1 2 3 4 5 6
Log(
Max
imum
Res
idue
Deg
ree)
Log(Dimension) k = 4, p = 3
-0.680725 + x * 0.776524
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.36/43
Grade von Koeffizientenkörpern
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6
Log(
Max
imum
Res
idue
Deg
ree)
Log(Dimension) k = 4, p = 5
-0.267688 + x * 0.833341
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.37/43
Grade von Koeffizientenkörpern
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6
Log(
Max
imum
Res
idue
Deg
ree)
Log(Dimension) k = 4, p = 11
-0.585422 + x * 0.907441
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.38/43
Grade von Koeffizientenkörpern
Jetzt k = 6.
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.39/43
Grade von Koeffizientenkörpern
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 1 2 3 4 5 6
Log(
Max
imum
Res
idue
Deg
ree)
Log(Dimension) k = 6, p = 2
-1.249466 + x * 0.707720
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.40/43
Grade von Koeffizientenkörpern
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0 1 2 3 4 5 6
Log(
Max
imum
Res
idue
Deg
ree)
Log(Dimension) k = 6, p = 3
-0.862598 + x * 0.721713
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.41/43
Grade von KoeffizientenkörpernFrage: Fixiere p und ein Gewicht k ≥ 2.
Gibt es 0 < α ≤ β < 1 und C,D > 0, so dass
D dimk(N)β ≥ max(p)k (N) ≥ C dimk(N)α ?
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.42/43
Grade von KoeffizientenkörpernFrage: Fixiere p und ein Gewicht k ≥ 2.
Gibt es 0 < α ≤ β < 1 und C,D > 0, so dass
D dimk(N)β ≥ max(p)k (N) ≥ C dimk(N)α ?
Die gleichen Fragen stellen wir auch für den mittleren Grad.
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.42/43
Danke!
Zur Asymptotik von Modulformen - Wolken und deren Grenzen – p.43/43
