TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN

FRANZ LEMMERMEYER

Trigonometrie ist die Lehre von der Dreiecksmessung. Bereits in der Antike wa-ren Kenntnisse der elementaren Trigonometrie Grundlage der Vermessungskunst.Im 6. Jahrhundert v.Chr. haben die Griechen einen Tunnel zur Wasserversorgungeiner Stadt durch einen Berg auf der Insel Samos getrieben, und zwar von beidenSeiten gleichseitig. Im Jahre 80 n.Chr. bauten die Romer eine 100 km lange Wasser-leitung (Aquadukt) zur Versorgung der Stadt Koln (damals Colonia Claudia AraAgrippinensium), die sogenannte Eifelwasserleitung.

In der Neuzeit hat man begonnen, Europa mit Hilfe von Triangulierungen genauzu vermessen. Frankreich hat Ende des 18. Jahrhunderts den Meter als den 40-millionsten Teil des Erdumfangs entlang eines Meridians festgelegt und dazu dieEntfernung zwischen Dunkirchen im Norden Frankreichs und Barcelona vermes-sen. Dies ist der Grund, warum der Erdumfang in erster Naherung heute gleich40.000 km ist.

1. Definition der trigonometrischen Funktionen

Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten A und G, sowie der Hy-potenuse H. Vom Winkel α aus betrachtet nennt man G die Gegenkathete und Adie Ankathete des Dreiecks. Das Verhaltnis G : A hangt jetzt nur von α und nichtvon der Große des Dreiecks ab, denn nach dem Strahlensatz ist G : A = g : a.Daher konnen wir definieren

sinα =G

H, cosα =

A

H, tanα =

G

A, cotα =

A

G.

Die beiden noch fehlenden Verhaltnisse HA und H

G werden im angloamerikanischenSprachraum mit Sekans und Kosekans bezeichnet, spielen aber bei uns keine Rol-le. Etwas unglucklich dagegen ist die Abschaffung des Kotangens in der deut-schen Schulmathematik, vor allem, weil der Kotangens vom funktionentheoretischenAspekt her die naturlichste aller trigonometrischen Funktionen ist. Leider sind diemeisten Didaktiker in ihrem Mathematikstudium nicht so weit gekommen . . .

Weil in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse immer die langste Seite ist,muss A

H < 1 und GH < 1 gelten:

Satz 1. Fur Winkel 0◦ < α < 90◦ gilt 0 < sinα < 1 und 0 < cosα < 1.

Da die trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen Dreieck definiert wordensind, gilt auch der Satz des Pythagoras A2 + G2 = H2. Division durch H2 ergibtwegen A

H = cosα und GH = sinα den folgenden

1

2 FRANZ LEMMERMEYER

Abbildung 1. Trigonometrische Funktionen am rechtwinkligen Dreieck

Satz 2. Es gilt der”trigonometrische Satz des Pythagoras“

cos2 α+ sin2 α = 1.

Dies bedeutet, dass man sinα berechnen kann, wenn man cosα kennt, und umge-kehrt. Bei Licht besehen ist das trivial, denn es gilt ja

sinα =G

H= cosβ = cos(90◦ − α).

Satz 3. Fur alle Winkel α mit 0◦ < α < 90◦ gilt sinα = cos(90◦ − α).

Eine weitere fundamentale Beziehung erhalt man, wenn man sinα durch cosα di-vidiert; man findet dann (Erweitere den Bruch mit H)

sinα

cotα=

GHAH

=G

A= tanα.

Satz 4. Fur alle Winkel α mit 0◦ < α < 90◦ gilt

tanα =sinα

cosα.

Ubungen

(1) Zeige, dass tan2 x+ 1 = cos2 x gilt.

2. Besondere Werte

Die Berechnung von Werten der trigonometrischen Funktionen ist ein Thema fursich. Die ersten bekannten trigonometrischen Tabellen wurden von Ptolemaus, ei-nem griechischen Astronomen aus Alexandria, im ersten Jahrhundert n.Chr. veroffent-licht. Wir begnugen uns hier mit einigen wenigen Beispielen, in denen die Berech-nung ohne Naherungen auskommt.

Am einfachsten ist die Lage im gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck.,m alsodemjenigen mit α = β = 45◦. Dort ist A = G und folglich tan 45◦ = G

A = 1. Nach

dem Satz des Pythagoras ist H2 = G2 + A2 = 2G2 und daher H =√

2 · G. Alsofolgt

sin 45◦ =G

H=

G√2 ·G

=1√2

=

√2

2,

TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 3

wobei wir im letzten Schritt den Nenner durch Erweitern mit√

2 rational gemacht

haben. Wegen cos 45◦ = sin 45◦ ist auch cos 45◦ =√22 .

Abbildung 2. Dreiecke mit α = 45◦ und α = 30◦.

Auch das Dreieck mit α = 30◦ und β = 60◦ lasst sich leicht berechnen, wenn manerkennt, dass ein solches Dreieck ein halbes gleichseitiges Dreieck ist. Dann folgtnamlich G = 1

2H und damit sin 30◦ = cos 60◦ = 12 .

Der Satz des Pythagoras liefert weiter H2 = G2 +A2 = 14H

2 +A2, also A2 = 34H

2

und damit A =√32 H. Daraus ergibt sich sin 60◦ = cos 30◦ =

√32 . Insbesondere ist

tan 30◦ =sin 30◦

cos 30◦=

12√32

=1√3

und tan 60◦ =√

3.

Tragen wir diese Werte in eine Tabelle ein, so erhalten wir

α sinα cosα tanα

30◦√12

√32

1√3

45◦√22

√22 1

60◦√32

√12

√3

Mit der Halbierungsformel lassen sich weitere Werte trigonometrischer Funktionenberechnen, und tatsachlich wurden die ersten Tabellen von Funktionswerten die-ser Funktionen damit berechnet. Um diese formel herzuleiten, betrachten wir eingleichschenkliges Dreieck mit Schenkeln der Lange 1 und einem Winkel 2α an derSpitze. Wir werden dessen Flacheninhalt A auf zwei verschiedene Arten berechnen.Einerseits ist A = 1

2aha und sinα = 12a, also A = ha sinα. Wegen cosα = ha finden

wir daherA = sinα cosα.

Andererseits ist A = 12hb und sin(2α) = hb, also

A =1

2sin(2α).

4 FRANZ LEMMERMEYER

Ein Vergleich der beiden Formeln liefert sofort

sin(2α) = 2 sinα cosα.

Quadriert man diese Formel und benutzt

sin2(2α) = 1− cos2(2α) und sin2 α = 1− cos2 α,

so erhalten wir

1− cos2(2α) = 4 cos2 α(1− cos2 α),

also

cos2(2α) = 4 cos4 α− 4 cos2 α+ 1 = (2 cos2 α− 1)2.

Wurzelziehen liefert cos(2α) = ±(2 cos2 α−1). Nun ist cos(2α) > 0 fur 0 < α < 45◦

und cos(2α) < 0 fur 45◦ < α < 90◦; auf der anderen Seite ist 2 cos2 α − 1 > 0 fur0 < α < 45◦ und 2 cos2 α− 1 < 0 fur 45◦ < α < 90◦. Also gilt

Satz 5. Fur alle Winkel 0 < α < 90◦ gilt

sin(2α) = 2 sinα cosα,

cos(2α) =√

2 cos2 α− 1.

Lost man die letzte Gleichung nach cosα auf, findet man

cosα =

√1 + cos(2α)

2.

Setzt man hier α = 22, 5◦, so folgt

cos 22, 5◦ =

√1 +

√22

2=

√2 +√

2

2.

Mit den weiter unten besprochenen Additionsformeln erhalt man auf ahnliche Artund Weise folgende Tabelle von Werten der Kosinusfunktion.

α cosα

0◦ 1

7, 5◦√

2+√

2+√3

2

15◦√6+√2

4

22, 5◦√

2+√2

2

30◦√32

37, 5◦√

2+√

2−√3

2

α cosα

45◦√22

52, 5◦√

2−√

2−√3

2

60◦ 12

67, 5◦√

2−√2

2

75◦√6−√2

4

82, 5◦√

2−√

2+√3

2

Ubungen

(1) Zeige, dass sinα =√

1−cos(2α)2 gilt.

(2) Zeige, dass tanα = 1−cos(2α)sin(2α) gilt.

TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 5

(3) Das Rechteck in der folgenden Abbildung besteht aus zwei gleichschenkligen

rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten 1 bzw.√

3, und zwei weiterenrechtwinkligen Dreiecken. Berechne die Langen aller auftretenden Streckenund alle Winkel, und leite aus dem Ergebnis den exakten Wert von sin 15◦

her.

3. Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis

Die Definition der trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen Dreieck hatden Nachteil, dass sie nur fur Winkel < 90◦ gultig ist. Selbst fur den Kosinussatz(eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras auf beliebige Dreiecke) brauchtman aber die Werte der Kosinusfunktion fur Winkel > 90◦, und zur Beschreibungperiodischer Vorgange in der Physik und in der Astronomie sind trigonometrischeFunktionen fur beliebige Winkel unverzichtbar.

Obwohl nicht unbedingt notig, fuhren wir zusammen mit den trigonometrischenFunktionen am Einheitskreis auch ein neues Winkelmaß ein, das Bogenmaß. Dieklassische Einteilung des Vollwinkels in 360◦ stammt aus der Astronomie und gehtauf die Babylonier zuruck; bei dieser Einteilung hat zum einen das auf der Basis 60aufgebaute Zahlensystem der Babylonier Pate gestanden, zum andern die Tatsache,dass das Jahr grob 360 Tage besitzt und die Sonne daher mit einer Winkelgeschwin-digkeit von 1◦ durch die Sternbilder des Tierkreises wandert.

Das Bogenmaß misst einen Winkel durch die Lange des Kreisbogens, den der Winkelaus dem Einheitskreis ausschneidet. Damit entsprechen den 360◦ des Vollwinkelsdas Bogenmaß 2π (im Englischen wird die Einheit oft als radian bezeichnet, imDeutschen seltener als Radiant), und alle anderen Winkel kann man daraus mitdem Dreisatz berechnen. Merken sollte man sich, dass 180◦ = π und 90◦ = π

2 sind.

Legt man A(1|0) auf dem Einheitskreis fest, dann ist der Winkel α = ∠AOP durcheinen Punkt P auf dem Kreis festgelegt, und es ist α die Lange des KreisbogensAP .

6 FRANZ LEMMERMEYER

Abbildung 3. Bogenmaß

Sei F der Lotfußpunkt von P auf der x-Achse. Dann ist nach der Definition vonSinus und Cosinus im rechtwinkligen Dreieck FOP

sinα =PF

OP= PF , cosα =

OF

OP= OF,

weil ja am Einheitskreis OP = 1 ist. Mit anderen Worten: der Punkt P , der denWinkel α festlegt, hat Koordinaten P (cosα| sinα).

Der Punkt P (1|0) entspricht dem Winkel α = 0, folglich ist cos 0 = 1 und sin 0 = 0.Der Punkt P (0|1) gehort zu α = π

2 , folglich ist cos π2 = 0 und sin π2 = 1 usw.

Damit kann man die Sinus- und Kosinusfunktion fur alle Werte des Winkels xbestimmen und erhalt die Schaubilder aus Abb. 4. Offenbar wiederholen sich dieWerte dieser Funktion, wenn man zu einem beliebigen Winkel x den Vollwinkel 2πaddiert; also ist sin(x+ 2π) = sin(x) und cos(x+ 2π) = cos(x).

Abbildung 4. Schaubilder der Sinus- und Kosinusfunktion

Auf dieser Webseite kann (und sollte) man sich ansehen, wie diese Schaubilder ausden Winkeln am Einheitskreis entstehen. Dazu klicke man links oben die Funktionan, fur die man sich interessiert, und bewege dann mit der Maus den Punkt aufdem Einheitskreis.

Das Schaubild der Tangensfunktion ist komplizierter, weil deren Funktionswertebeliebig groß werden konnen. In der Nahe der Nullstellen der Kosinusfunktion (alsovon π

2 , 3π2 usw.) wachst der Tangens uber alle Grenzen, und in den Nullstellen

der Kosinusfunktion hat die Tangensfunktion senkrechte Asymptoten. Zu beachten

TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 7

ist auch, dass f(x) = tanx Periode π hat; Verschieben von Sinus und Kosinusverwandelt diese in ihre Negativen, der Quotient bleibt dabei gleich:

tan(x− π) =sin(x− π)

cos(x− π)=− sin(x)

− cos(x)=

sin(x)

cos(x)= tan(x).

Abbildung 5. Schaubild der Tangensfunktion

Direkt aus der Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis erhaltman

Satz 6. Es gilt sin(−α) = − sinα und cos(−α) = cos(α).

In der Tat: den zu −α gehorigen Punkt P− erhalt man durch Spiegeln an derx-Achse; ist P (cosα| sinα), so ist P−(cosα| − sinα).

Nur wenig schwieriger zu beweisen ist

Satz 7. Es gilt sin(α− π2 ) = cosα und cos(α− π

2 ) = − sin(α).

Abbildung 6. Veranschaulichung von Satz 7

Dies folgt daraus, dass die Subtraktion eines Winkels von π2 = 90◦ dazu fuhrt, dass

aus den Koordinaten von P (cosα| sinα) die Koordinaten P ∗(sinα|−cosα) werden.

8 FRANZ LEMMERMEYER

Ubungen.

(1) Vereinfache folgende Ausdrucke.

a) tanα · cosα b) (1 + sinβ)(1− sinβ)

c) 1cos2 α − 1 d) sin2 α

1−cosαe) sin4 α− cos4 α f) tanα−1

sinα−cosα

4. Trigonometrische Gleichungen

Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen, und gleichzeitig auch die einzigen,die man ohne Taschenrechner losen konnen muss, sind die Gleichungen sinx =−1, 0,+1 und cosx = −1, 0,+1 im Intervall [0, 2π].

Die Gleichung sin(x) = 0 fragt nach allen Nullstellen der Sinusfunktion im Intervall[0, 2π]; ein Blick auf das Schaubild verrat, dass die einzigen Losungen x1 = 0, x2 = πund x3 = 2π sind. Genauso einfach liest man die Losungen mit 0 ≤ x ≤ 2π deranderen Gleichungen ab:

sinx = −1 x1 = 3π2

sinx = 0 x1 = 0, x2 = π, x3 = 2πsinx = +1 x1 = π

2cosx = −1 x1 = πcosx = 0 x1 = x1 = π

2 , x2 = 3π2

cosx = +1 x1 = 0, x2 = 2π

Etwas komplizierter ist die Losung einer Gleichung wie sin(2x − π2 ) = 0 fur 0 ≤

x ≤ π. In einem solchen Fall substituiert man den Ausdruck in der Klammer, setztalso z = 2x − π

2 . Dies liefert sin z = 0 und damit z1 = 0, z2 = π und z3 = 2π.Resubstitution ergibt

2x− π2 = 0, x1 =

π

4;

2x− π2 = π, x2 =

3π

4;

2x− π2 = 2π, x3 =

5π

4.

Weil der letzte Wert nicht im Intervall [0, π] liegt, sind nur x1 und x2 Losungen.

Die”Standardgleichungen“ im Zusammenhang mit trigonometrischen Funktionen

sind solche des folgenden Typs:

(sinx)2 − 2 sin(x) = 0,

(sinx)2 − 3 sin(x) + 2 = 0.

Die erste Gleichung lost man durch Ausklammern:

sin(x) · (sin(x)− 2) = 0

fuhrt auf sin(x) = 0 mit den bekannten Losungen, wahrend die Gleichung sin(x) =2 keine Losung besitzt, weil die Sinusfunktion nur Werte zwischen −1 und +1annimmt.

TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 9

Die zweite Gleichung lost man durch Substitution: mit z = sinx erhalten wir z2 −3z + 2 = 0, also z1 = 1 und z2 = 2; Resubstition ergibt sinx = 1 und sinx = 2; dieerste Gleichung hat die Losung x = π

2 , die zweite hat keine Losung.

5. Additionsformeln

Jetzt betrachten wir zwei Winkel β = ∠AOP und α = ∠AOQ am Einheitskreis(Abb. 7). Die beiden Punkte P und Q haben die Koordinaten P (cosβ| sinβ) undQ(cosα| sinα), ihr Abstand d ist folglich gegeben durch

(1) d2 = PQ = (cosα− cosβ)2 + (sinα− sinβ)2.

Abbildung 7. Additionsformel fur die Kosinusfunktion

Wenn wir jetzt das Dreieck POQ betrachten, dann ist ∠POQ = α−β, die Hohe desDreiecks ist h = QF = sin(α− β), und der Abstand d ergibt sich nach Pythagoraszu

(2) d2 = QF2

+ FP2

= sin2(α− β) + (1− cos(α− β))2.

Jetzt multiplizieren wir beide Gleichungen aus. Wir erhalten aus (1)

d2 = (cosα− cosβ)2 + (sinα− sinβ)2

= cos2 α− 2 cosα cosβ + cos2 β + sin2 α− 2 sinα sinβ + sin2 β

= 2− 2 sinα sinβ − 2 cosα cosβ.

Entsprechend folgt aus (2)

d2 = sin2(α− β) + 1− 2 cos(α− β) + cos2(α− β) = 2− 2 cos(α− β).

10 FRANZ LEMMERMEYER

Setzen wir beide Ausdrucke gleich, so folgt

2− 2 sinα sinβ − 2 cosα cosβ = 2− 2 cos(α− β), also

sinα sinβ + cosα cosβ = cos(α− β).

Ersetzt man hier β durch −β und beachtet, dass cos(−β) = cos(β) und sin(−β) =− sin(β) gilt, so folgt entsprechend

cos(α+ β) = cosα cosβ − sinα sinβ.

Diese Gleichung gilt fur alle Werte von α und β. Insbesondere konnen wir etwaβ = −α setzen und erhalten

cos(0) = cos(α) cos(−α)− sin(α) sin(−α) = cos2 α+ sin2 α = 1,

was wir bereits wussten.

Ersetzen wir dagegen β durch β + π2 , so folgt

sin(α+ β) = cos(α+ β + π2 ) = cosα cos(β + π

2 )− sinα sin(β + π2 )

= cosα sinβ + sinα cosβ.

Damit haben wir bewiesen:

Satz 8. Fur die trigonometrischen Funktionen gelten folgende Additionsformeln.

cos(α+ β) = cosα cosβ − sinα sinβ, cos(α− β) = cosα cosβ + sinα sinβ,

sin(α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ, sin(α− β) = sinα cosβ − cosα sinβ.

Als nachstes beweisen wir die Formel

(3) sin(x)− sin(u) = 2 sin(x− u

2

)cos(x+ u

2

),

Dazu setzen wir in die Additions- und Subtraktionsformeln fur den Sinus α = x+u2

und β = x−u2 und finden wegen α+ β = x und α− β = u

sin(x) = sinx+ u

2cos

x− u2

+ cosx+ u

2sin

x− u2

,

sin(u) = sinx+ u

2cos

x− u2− cos

x+ u

2sin

x− u2

,

woraus sich die behauptete Identitat (3) durch Subtraktion der beiden Gleichungenergibt.

Ubungen

(1) In der folgenden Zeichnung hat die Hypotenuse des rechtwinkligen Drei-ecks im Innern des Rechtecks die Lange 1. Man berechne alle Winkel undStrecken in dieser Figur in Abhangigkeit von α und β und leite aus diesemErgebnis die Additionsformel fur den Sinus und den Kosinus her.

TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 11

(2) In der folgenden Figur ist OA = 1 und ∠OEA = ∠OCA = ∠ODE = 90◦.Verifiziere die einzelnen Schritte in folgendem Beweis der Additionsformelfur die Sinusfunktion.

sin(α+ β) = AC

= AB +BC

= AB + ED

= AE · cosβ +OE · sinβ= sinα cosβ + cosα sinβ.

6. Die Ableitung trigonometrischer Funktionen

Nach Definition ist

f ′(x) = limu→x

sin(x)− sin(u)

x− u.

Hier konnen wir nicht mehr hoffen, aus dem Zahler durch einfache Umformungenein x − u auszuklammern. Zum Umformen des Zahlers benutzen wir die Identitat(3); damit finden wir

f ′(x) = limu→x

sin(x)− sin(u)

x− u= limu→x

2 sin(x−u2 ) cos(x+u2 )

x− u

= limu→x

2 sin(x−u2 )

x− u· limu→x

cos(x+ u

2

)= cos(x) · lim

u→x

sin(x−u2 )x−u2

.

Die Ableitung der Sinusfunktion ist also das Produkt aus der Kosinusfunktion undeinem Grenzwert; schreiben wir h = x−u, so ist u→ x gleichbedeutend mit h→ 0,

12 FRANZ LEMMERMEYER

d.h. es ist

limu→x

sin(x−u2 )x−u2

= limh→0

sinh

h.

Wir wollen zeigen, dass dieser Grenzwert = 1 ist, allerdings nur, wenn der Winkelx in Bogenmaß gemessen wird! In der Tat ist die einfache Formel (sinx)′ = cosxvielleicht nicht der einzige, aber sicher der wesentliche Grund, weshlab man dasBogenmaß eingefuhrt hat.

Dazu betrachten wir die Definition von sinx am Einheitskreis. Dort wird der Win-kel x in Bogenmaß gemessen, d.h. x ist die Lange des vom Winkel festgelegtenKreisbogens.

Die Flache des kleinen Dreiecks ist offenbar 12 sin(x) cos(x), die des großen Dreiecks

12 tanx = sin x

2 cos x , und die des Kreisausschnitts gleich x2π · π = x

2 . Also gilt dieoffensichtliche Ungleichung

1

2sin(x) cos(x) <

x

2<

sin(x)

2 cos(x).

Division durch sin x2 liefert

cos(x) <x

sinx<

1

cosx.

Bildet man die Kehrwerte, wird daraus

1

cosx>

sinx

x> cos(x), also cos(x) <

sinx

x<

1

cos(x).

Lasst man hier x → 0 gehen, so geht cos(x) → 1, und der Term sin xx in der Mitte

ist zwischen zwei Großen eingeschlossen, die beide gehen 1 gehen. Also muss derGrenzwert von sin x

x gleich 1 sein.

Satz 9. Es gilt

limx→0

sinx

x= 1.

Damit haben wir bewiesen:

Satz 10. Die Ableitung der Sinusfunktion f(x) = sinx ist f ′(x) = cosx.

Die Ableitung der Kosinusfunktion erhalten wir daraus fast ohne weitere Rechnung.Verschieben wir die Sinusfunktion um π

2 nach rechts, erhalten wir

sin(x− π2 ) = cos(x).

TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 13

Die Ableitung von cos(x) ist also die um π2 nach rechts verschobene Ableitung der

Sinusfunktion:(cosx)′ = cos(x− π

2 ) = − sin(x).

Satz 11. Die Ableitung der Kosinusfunktion f(x) = cosx ist f ′(x) = − sinx.

7. Die Taylorreihe

Die Tangente in x = 0 an das Schaubild der Kosinusfunktion ist y = 1 wegen f(0) =cos(0) = 1 und m = f ′(0) = sin(0) = 0. Weil die Kosinusfunktion in der Nahe vonx = 0 eher wie eine Parabel aussieht, konnten wir versuchen, statt der Tangenteeine Naherungsparabel zu finden. Weil wir die Tangente mit f(0) = cos(0) = 1und f ′(0) = sin(0) = 0 gefunden haben (hier stimmen also die nullte und die ersteAbleitung von Gerade und Kosinusfunktion uberein), liegt es nahe, eine Parabelf(x) = ax2 + bx+ c zu suchen, die außerdem f ′′(0) = − cos(0) = −1 erfullt. Mit

f(x) = ax2 + bx+ c f(0) = c,

f ′(x) = 2ax+ b f ′(0) = b,

f ′′(x) = 2a f ′′(0) = 2a

folgt also c = 1, b = 0 und a = − 12 , d.h. die Naherungsparabel ist durch f2(x) =

1− x2

2 gegeben.

Abbildung 8. Naherungsparabel an die Kosinusfunktion

Weil die Kosinusfunktion symmetrisch bezuglich der y-Achse ist, wird sie von nichtachsensymmetrischen Funktionen nur schlecht approximiert. Versucht man trotz-dem den Ansatz f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d und verlangt, dass f , f ′, f ′′ und f ′′′ inx = 0 dieselben Werte annimmt wie die ersten Ableitungen der Kosinusfunktion,dann ergibt sich a = 0 und die Naherungsparabel von oben.

Die Naherungsfunktion vom Grad 4 dagegen ergibt sich zu

f4(x) = 1− x2

2+x4

24.

Betrachten wir nun allgemein eine Naherungsfunktion

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + . . .+ a2nx

2n.

14 FRANZ LEMMERMEYER

Abbildung 9. Naherungspolynome f0, f2 und f4

Die ersten Ableitungen sind

f ′(x) = a1 + 2a2x+ 3a3x2 + . . .+ 2na2nx

2n−1,

f ′′(x) = 2a2 + 2 · 3a3x+ . . .+ 2n(2n− 1)a2nx2n−2,

f ′′′(x) = 1 · 2 · 3a3 + . . .+ 2n(2n− 1)(2n− 2)a2n−32n ,

f (n)(x) = 1 · 2 · 3 · · · (2n− 1) · 2na2n.

Die ungeraden Ableitungen der Kosinusfunktion sin ± sin(x) und haben folglichden Wert 0 in x = 0, d.h. es muss

a1 = a3 = . . . = a2n−1 = 0

gelten. Die geraden Ableitungen haben abwechselnd den Wert +1 und −1, dennmit g(x) = cos(x) ist g(0) = 1, g′′(0) = − cos(0) = −1, g(4)(0) = cos(0) = +1 usw.

Wir erhalten so die Gleichungen

a0 = +1,

1 · 2 · a2 = −1,

1 · 2 · 3 · 4 · a4 = +1,

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · a6 = −1,

. . . = . . . ,

(2n)!a2n = (−1)n.

wobei wir zur Abkurzung n! = 1 · 2 · 3 · · ·n gesetzt haben (n! wird”n Fakultat‘

ausgesprochen).

Also gilt

a0 = 1, a2 = − 1

2!, a4 =

1

4!, a6 = − 1

6!usw.

Bereits die Funktion

f6(x) = 1− x2

2!+x4

4!− x6

6!

ist mit dem bloßen Auge von der Kosinusfunktion auf dem Intervall [−π2 ,π2 ] nicht

mehr zu unterscheiden.

TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 15

Abbildung 10. Naherungspolynom f6

Die hier gegebenen Approximationen beruhen auf der Differentialrechnung. Gehtman von den Naherungspolynomen zur Reihe

f∞(x) = 1− x2

2!+x4

4!− x6

6!+ · · ·

uber, so kann man zeigen (wenn auch nicht mit den Mitteln der heutigen Schulma-thematik), dass f∞(x) = cos(x) ist. Insbesondere ist sinx = −f ′∞(x), also

sinx = x− x3

3!+x5

5!− · · ·

Aus dieser Formel erhalt man ubrigens auch leicht den Grenzwert

limx→0

sinx

x= limx→0

(1− x2

3!+x4

5!− · · ·

)= 1

zuruck.

8. Bhaskaras Formel

Die folgende Naherung fur die Sinusfunktion geht auf den indischen MathematikerBhaskara I (ca. 600 n.Chr.) zuruck:

sin a ≈ 4a(180− a)

40500− a(180− a),

wo a in Grad angegeben ist. Wir wollen diese Formel herleiten, indem wir denAnsatz

sinα ≈ s(α) mit s(α) =a+ bα+ cα2

d+ eα+ fα2

machen und die sechs Unbekannte durch Einsetzen geeignet gewahlter Punkte be-stimmen. Zum einen durfen wir, nach Kurzen mit d, einfach d = 1 annehmen;zweitens wollen wir Achsensymmetrie haben, also, wenn wir ab jetzt den Winkel inBogenmaß messen und ihn mit x statt α bezeichnen, s(α) = s(π − α); man kannzeigen, dass das fur Quotienten von quadratischen Polynomen dann und nur dann

16 FRANZ LEMMERMEYER

der Fall ist, wenn sowohl Zahler wie Nenner diese Symmetrie haben; damit folgendie Gleichungen

a+ bx+ cx2 = a+ b(π − x) + c(π − x)2,

d+ ex+ fx2 = d+ e(π − x) + f(π − x)2,

also

a+ bx+ cx2 = a+ bπ + cπ2 − (b+ 2πc)x+ cx2,

d+ ex+ fx2 = d+ eπ + fπ2 − (e+ 2πf)x+ fx2,

und damit durch Koeffizientenvergleich

0 = b+ πc und 0 = e+ πf.

Einsetzen des Punktes (0|0) ergibt a = 0, was zusammen mit d = 1 auf die Funktion

s(x) =cx(x− π)

1− πfx+ fx2

fuhrt. Die restlichen beiden Unbekannten erhalten wir durch Einsetzen der Punkte(π6,

1

2

)und

(π2, 1).

Dies liefert nacheinander die Gleichungen

1

2=

π6 · c(

π6 − π)

1− π2

6 f + π2

36 f=

−c365π2 − f

und 1 =π2 · c(

π2 − π)

1− π2

2 f + π2

4 f=

−c4π2 − f

.

Wegschaffen der Nenner ergibt

2c = f − 36

5π2und c = f − 4

π2,

was nach Elimination von f auf

c = − 16

5π2und damit f =

4

5π2

fuhrt. Damit erhalten wir

s(x) =16x(π − x)

4x2 − 4πx+ 5π2

Diese Naherung ist so gut, dass man zeichnerisch im Intervall [0;π] keinen Unter-schied sehen kann!

Abbildung 11. Die Funktionen sin(x) und s(x)

TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 17

Lediglich die dickeren Linien am linken und rechten Rand deuten darauf hin, dassdie Funktionen dort auseinanderzulaufen beginnen. Naturlich kann s(x) “global”,also fur alle x, keine gute Naherung der Sinusfunktion sein, weil s(x) genau zweiNullstellen (die Sinusfunktion unendlich viele) hat und außerdem im Gegensatz zurSinusfunktion eine waagrechte Asymptote (namlich y = −4) besitzt.

Die Differenz von Sinusfunktion und Naherung hat, wie die nachste Skizze zeigt,Funktionswerte unterhalb von 0,002, d.h. der Fehler ist kleiner als 2 Promille:

Abbildung 12. Die Differenz sin(x)− s(x)