Fourierreihen

Katja Breitenstein, Daniel Fritscher

Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis

(Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter)

Zusammenfassung: In der vorliegenden Ausarbeitung über Fourierreihen ist eine ausführli-che Herleitung der Formel enthalten. Wir beginnen mit einer Einführung, die den Sinn, die Ideeund das Auftreten der Fourierreihe deutlich machen soll. Über die sogenannten Schwingungenleiten wir zur Formel der Fourierreihe und der Fourierkoe�zienten hin. Zur Verinnerlichungund Anschauung sollen die drei praktischen Beispiele dienen, mit denen konkrete Funktionenfourier-entwickelt werden. Abschlieÿend wird das Thema dahingehend abgerundet, als dassdie Konvergenz und somit die Bestätigung des Systems der Fourierreihe diskutiert wird.

Die Schwierigkeit bei diesem Thema ist mit Sicherheit nicht das Konzept, das hinter derFourierreihe steht. Dieses scheint von Anfang an sehr klar und praktisch zu sein. Vielmehrbenötigt es einiger Anstrengungen um zu verstehen, warum die Fourierreihe tatsächlich dasbewirkt, was sie verspricht. Umso faszinierender und packender ist es nachzuvollziehen, wiemit dieser Formel tatsächlich sämtliche periodische Funktionen entwickelt werden können.

Inhaltsverzeichnis

1 Motivation 21.1 Schwingungen in der Musik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Idee der Fourierreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Historischer Hintergrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Hinführung 42.1 Analyse einer Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Superposition von Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Die Fourierreihe 63.1 Fourierkoe�zienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Fourierreihen für gerade und ungerade Funktionen . . . . . . . . . . . . 93.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Komplexe Darstellung 11

5 Konvergenz der Fourierreihe 12

6 Resümee 14

Abbildungsverzeichnis

1.1 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830) . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1 Reine Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 dritte Oberschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Zusammensetzung von Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.1 f(x) aus Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 g(x) aus Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 h(x) aus Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2

1 Motivation

1.1 Schwingungen in der Musik

Jeden Tag nimmt unser Gehirn eine Vielzahl akustischer Reize wahr. Wir hören Musikoder hören einem Menschen zu, der gerade spricht. Doch woraus besteht ein Ton, derBaustein für Musik (sei es von Musikinstrumenten oder der Stimme eines Menschen)ist? Wenn wir einen Ton wahrnehmen, so hören wir in der Tat nicht nur den Grundton,sondern ein Gemisch von Grundton und mehreren Obertönen. Erst das Zusammenklin-gen dieser Töne gibt dem Ton die von uns wahrgenommene Klangfarbe. Sowohl derGrundton selbst als auch die Obertöne bestehen aus periodischen, reinen Schwingungenund werden mit Hilfe der uns gut bekannten Sinus- und Kosinusfunktionen mathema-tisch beschrieben.

Abbildung 1.1: Schwingungen

1.2 Idee der Fourierreihe

Die Grundidee der Fourierreihe geht von der Annahme aus, dass die trigonometrischenFunktionen eine sehr bedeutende Rolle für alle periodischen Funktionen spielen. Eshandelt sich sozusagen um die Atome unter den periodischen Funktionen, in dem Sinn,dass man so gut wie alle praktisch wichtigen periodischen Funktionen aus geeignetskalierten Sinus- und Kosinusbausteinen �zusammensetzen� kann. Diese Tatsache spielteine kaum zu überschätzende Rolle für theoretische und praktische Untersuchungen.

Der Gedanke eine Funktion mit Hilfe einer Linearkombination anderer darzustellenist in der Mathematik nicht neu. Am bekanntesten dürfte wohl die Darstellung mittelsTaylorreihe sein, bei der eine Funktion in eine Potenzreihe entwickelt wird.

Die Fourierreihe verwendet hierzu nun keine Potenzfunktionen, sondern bildet eineunendliche Reihe aus Sinus- und Kosinusfunktionen.

3

Abbildung 1.2: Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830)

1.3 Historischer Hintergrund

Bereits im 18. Jahrhundert kannten Mathematiker wie Euler, Lagrange oder dieBernoullis �Fourierreihen� (nach heutiger De�nition) für einige Funktionen. Das sindReihen der Form

Fm(x) :=a0

2+

m∑n=1

(an cos(nx) + bn sin(nx)) mit ai, bi ε R .

Sie wurden zur Beschreibung periodischer Vorgänge in der Astronomie und zur Behand-lung der Bewegungsgleichung einer schwingenden Saite verwendet. 1807 benutzte derfranzösische Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830) diese, späternach ihm benannten, trigonometrischen Reihen zur Darstellung von Lösungen der Wär-meleitungsgleichung. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts behauptete er nun in seinemWerk �Théorie analytique de la chaleur�, dass es für alle periodischen Funktionen solcheReihenentwicklungen gebe. Diese Behauptung stieÿ zunächst bei führenden Mathema-tikern wie Cauchy und Abel auf Ablehnung, da Fourier mit Argumenten arbeitete, diestark in der Anschauung verhaftet waren. Erst der Mathematiker P. Lejeune Dirichlet(1805-1859) konnte 1829 beweisen, dass Fouriers Behauptung zumindest für Lipschitz-stetige Funktionen richtig ist. Du Bois-Reymond fand 1873 eine stetige Funktion, derenFourierreihe divergiert.

Im 20. Jahrhundert gelangte man schlieÿlich zur Erkenntnis, dass es auch für steti-ge oder stückweise stetige Funktionen konvergente Fourierreihen gibt, wenn der Kon-vergenzbegri� geeignet abgeschwächt wird 1. Die Fragestellungen der Fourieranalysis,d.h. der Darstellung von Funktionen durch harmonische Schwingungen, leiteten Dirich-let zum modernen Funktionsbegri�, standen am Beginn der Mengenlehre G. Cantors(1845-1918) und waren Ausgangspunkt der Integrationstheorie von B. Riemann (1826-1866) und H. Lebesgue (1875-1941). Auch heute noch erhalten Funktionalanalysis unddie moderne numerische Mathematik für ihre abstrakten Begri�e starke Anregungenaus der Theorie der Fourierreihen. Dies alles machte den Fourierschen Gedanken zu

1aus http://www.wikipedia.de, Stichwort: John Baptiste Joseph Fourier

4

einem der wirkungsvollsten mathematischen Hilfsmittel der Ingenieur- und Naturwis-senschaften.2

2 Hinführung

2.1 Analyse einer Schwingung

Zurück zum Beispiel aus der Musik. Die von uns wahrgenommenen Töne sind zu-sammengesetzt aus reinen, harmonischen Schwingungen. Diese Funktionen besitzenfolgende zwei charakteristischen Eigenschaften:

(i) Es gibt eine Zahl T , die Periode oder Schwingungsdauer der Funktion f(x) mit

f(x+ T ) = f(x) ∀x ∈ R .

Ist also die Funktion in einer Periode bekannt, so kann sie beliebig fortgesetzt werden.

(ii) Das Integral einer periodischen Funktion über ein Intervall der Periodenlänge T =:2l hat stets denselben Wert:∫ l−a

−l−af(x) dx =

∫ l

−lf(x) dx ∀ a ∈ R .

Abbildung 2.1: Reine Schwingungen

Uns bekannte periodische Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen. In derTat werden alle Vorgänge, die sich in der Form

a sin(ω(x− ξ)) (2.1)

2aus http://www.fkg-wuerzburg.de/schule/faecher/physik/facharb/friedr/friedr.php

5

darstellen lassen, reine Schwingungen genannt (man legt hierbei die x-Achse so, dass die�Ruhelage� mit f(x) = 0 zusammenfällt). Die Konstante a ≥ 0 in (2.1) ist die Amplitude

der Schwingung, welche den maximalen Wert angibt, den die Funktion annehmen kann.Die Zahl ω > 0 heiÿt die Frequenz der Schwingung. Sie ist gleich der Schwingungszahlin der Zeit 2π. Die Schwingungsdauer beträgt T = 2π/ω. Die Zahl ω(x−ξ) wird Phase

genannt und die Zahl ωξ Phasenverschiebung. Die Konstante ξ ist die Anfangsphaseder Schwingung. Die Kosinusfunktion läÿt sich ebenfalls als phasenverschobener Sinusin (2.1) subsumieren. Nach den Additionstheoremen für trigonometrische Funktionen:

cos(α± β) = cosα cos β ∓ sinα sin β , sin(α± β) = sinα cos β ± sin β cosα

lassen sich die reinen Schwingungen auch in folgender Gestalt darstellen:

a sinω(x− ξ) = a(sinωx cosωξ − sinωξ cosωx)

= −a sinωξ︸ ︷︷ ︸=:α

cosωx+ a cosωξ︸ ︷︷ ︸=:β

sinωx

= α cosωx+ β sinωx (2.2)

Die Funktionen der Form (2.2) sind o�ensichtlich reine Schwingungen mit der Ampli-tude3 a :=

√α2 + β2. Die Phasenverschiebung ist �versteckt� in den Gröÿen α und β.

Insbesondere kann man sich mit Hilfe von (2.2) leicht überlegen, dass die Summe

a1 sinω(x− ξ1) + a2 sinω(x− ξ2) = (α1 + α2) cosωx+ (β1 + β2) sinωx

mit αi := −ai sinωξi und βi := ai cosωξi (i = 1, 2) wieder eine reine Schwingung mitder Frequenz ω darstellt.

2.2 Superposition von Schwingungen

Wir möchten nun zunächst zwei periodische Funktionen geometrisch übereinanderle-gen, das bedeutet wir bilden ihre Summe. Diesen Vorgang nennt man Superpositionvon reinen Schwingungen. Wie wir in 2.1 gesehen haben, ergibt die Übereinander-lagerung zweier reiner Schwingungen mit derselben Frequenz ω wiederum eine reineSchwingung mit derselben Frequenz, nur mit veränderter Amplitude und Phase. Wirwerden nun Superpositionen mit verschiedenen Frequenzen betrachten. Wir �nden da-bei heraus, dass es einen fundamentalen Unterschied macht, ob die Frequenzen in einemrationalen Verhältnis zueinander stehen oder nicht, in der Fachsprache als kommensu-

rabel, bzw. inkommensurabel bezeichnet.Betrachten wir nun als erstes Beispiel die Frequenzen ω1 und ω2, die im Verhältnis

ω2= 2ω1 stehen. Somit wird die Schwingungsdauer der zweiten Schwingung

T2 =2π

2ω1

=T1

2

halb so groÿ wie T1 sein. Man nennt eine solche Schwingung mit der doppelten Frequenzder Schwingung auch die erste harmonische Oberschwingung.

3denn√α2 + β2 =

√a2sin2ωx+ a2 cos2 ωx =

√a2(sin2 ωξ + cos2 ωξ) =

√a2 = a.

6

Ganz Entsprechendes gilt, wenn wir nun noch eine weitere Schwingung mit der Fre-quenz ω3= 3ω1 hinzufügen. Auch hier wird die Schwingungsfunktion sin 3ω1x ganz vonselbst sich mit der Periode der ersten Schwingung T1 wiederholen. Eine solche Schwin-gung heiÿt zweite harmonische Oberschwingung. Ebenso können wir eine dritte,vierte, usw. Oberschwingung betrachten, im übrigen mit beliebigen Phasenverschiebun-gen. Da sich jede dieser Oberschwingungen nach der Schwingungsdauer T1 periodischwiederholt, wird jede Superposition von Oberschwingungen wiederum eine periodischeFunktion mit der Periode T1 sein.

Mithilfe von Superpositionen gewinnen wir die Möglichkeit recht komplizierte Kur-venbilder zu erzeugen, die teilweise kaum noch an die ursprüngliche Sinusform erinnern(siehe Abbildung 2.2 bis 2.3).

Abbildung 2.2: dritte Oberschwingung

Diesen E�ekt der Superposition von Schwingungen, bei denen die Frequenzen in ra-tionalem Verhältnis stehen, nutzen wir für die Approximation periodischer Funktionendurch unsere Fourierreihe aus (siehe 3.1). Bei Schwingungen mit inkommensurablenFrequenzen ω1 und ω2 verhält es sich nicht so. Hier entstehen bei der SuperpositionVorgänge, die nicht mehr rein periodisch werden, man spricht von �fastperiodisch�. Die-se sind für unsere Fourierreihe jedoch nicht zu gebrauchen und deshalb gehen wir hiernicht weiter darauf ein.

3 Die Fourierreihe

3.1 Fourierkoe�zienten

Um für eine konkrete periodische Funktion die Fourrierreihe

F (x) =a0

π+∞∑n=1

(an cos(nx) + bn sin(nx)), mit ai, bi ε R

bilden zu können, müssen die Koe�zienten ai, bi bestimmt werden, die Fourierkoe�zi-

7

Abbildung 2.3: Zusammensetzung von Schwingungen

enten. Hierzu ist die Benutzung der folgenden Orthogonalitätsrelationen4 für trigono-metrische Funktionen hilfreich:∫ π

−πcos(mx) cos(nx) dx = 0 =

∫ π

−πsin(mx) sin(nx) dx falls n 6= m (3.1)∫ π

−πcos(mx) cos(nx) dx = π =

∫ π

−πsin(mx) sin(nx) dx falls n = m (3.2)∫ π

−πcos(mx) sin(nx) dx = 0 (3.3)

Diese Beziehungen wollen wir zunächst beweisen. Als nützlich erweist sich dabei fol-gendes Additionstheorem

cos(mx+ nx) = cos(mx) cos(nx)− sin(mx) sin(nx) (3.4)

Durch Umstellen und Ersetzen der Sinus-Faktoren erhalten wir aus Gleichung (3.4)nämlich

cos(mx) cos(nx) =1

2(cos((m− n)x) + cos((m+ n)x) (3.5)

sin(mx) sin(nx) =1

2(cos((m− n)x)− cos((m+ n)x) (3.6)

Die rechten Seiten in (3.5) und (3.6) sind nun einfach zu integrieren.

Für n 6= m erhalten wir zunächst∫ π

−πcos(mx) cos(nx) dx =

sin((m− n)x)

2(m− n)

∣∣∣π−π

+sin((m+ n)x)

2(m+ n)

∣∣∣π−π

= 0

4bezüglich des L2-Skalarprodukts < u, v >=π∫−π

uv dx

8

da der Sinus punktsymmetrisch ist. Ganz analog folgt aus (3.6) die Beziehung (3.1)2.

Für n = m vereinfachen sich (3.5) und (3.6), da cos((m−n)x) = 1. Es ergibt sich dann∫ π

−πcos2(nx) dx =

1

2

(sin(2nx)

2n+ x

) ∣∣∣π−π

= π

und für (3.2)2 ist die Rechnung ganz analog.Damit sind (3.2) und (3.1) bewiesen. Für den Beweis von (3.3) nutzen wir zweimal

partielle Integration und erhalten∫ π

−πsin(nx) cos(mx) dx = − 1

ncos(mx) cos(nx)

∣∣∣π−π− m

n

∫ π

−πsin(mx) cos(nx) dx

= (m

n)2

∫ π

−πsin(nx) cos(mx) dx (3.7)

O�ensichtlich kann (3.7) für jede Kombination von m und n nur richtig sein, wenn (3.3)gilt. Damit ist der Beweis der Orthogonalitätsrelationen vollständig.

Unter Verwendung unseres Ansatzes

f(x)!

= F (x) =a0

2+∞∑n=1

(an cos(nx) + bn sin(nx)) (3.8)

wollen wir nun heraus�nden, wie wir die Fourierkoe�zienten zu bestimmen haben.Multiplikation von (3.8) mit cos(mx) und Integration über [−π, π] ergibt:∫ π

−πf(x) cos(mx) dx =

∫ π

−π

a0

πcos(mx) dx+

∞∑n=1

∫ π

−π(an cos(nx) + bn sin(nx)) cos(mx) dx

Konkret sei zunächst m = 0 und n 6= 0. Aufgrund der Orthogonalitätsrelationen ent-fallen alle Summanden in der unendlichen Summe und wir sehen, dass∫ π

−πf(x) dx =

∫ π

−π

a0

πdx = a0π ⇒ a0 =

1

π

∫ π

−πf(x) dx (3.9)

Auch für m > 0 verschwinden die Summanden auÿer denjenigen mit cos(mx) cos(nx)falls n = m. Also erhalten wir für m = 1, 2 ...∫ π

−πf(x) cos(mx) dx = amπ ⇒ am =

1

π

∫ π

−πf(x) cos(mx) dx

Multiplikation mit sin(mx) und Integration über −[π, π] ergibt ganz analog

bm =1

π

∫ π

−πf(x) sin(mx) dx für m = 1, 2 ...

9

3.2 Fourierreihen für gerade und ungerade Funktionen

Wir betrachten nun speziell �gerade� (d.h. f(x) = f(−x) für alle x) und �ungerade�(d.h. f(x) = −f(−x) für alle x) Funktionen.

Ist nämlich das zu approximierende f(x) eine gerade Funktion, so wird o�enbarf(x) sin(nx) ungerade, f(x) cos(nx) gerade und daher die Fourierkoe�zienten:

bn =1

π

∫ π

−πf(x) sin(nx) dx = 0

was anschaulich aufgrund der Punktsymmetrie der ungeraden Funktion f(x) sin(nx)einsichtig ist. Ebenso ergibt sich für cos(nx)

an =1

π

∫ π

−πf(x) cos(nx) dx =

2

π

∫ π

0

f(x) cos(nx) dx (3.10)

Da die Koe�zienten bn alle null werden, erhalten wir eine reine �Kosinusreihe�.

Ist dagegen f(x) eine ungerade Funktion, so wird analog

an =1

π

∫ π

−πf(x) cos(nx) dx = 0 und bn =

2

π

∫ π

0

f(x) sin(nx) dx (3.11)

Wir erhalten also eine reine �Sinusreihe�.

3.3 Beispiele

Beispiel 1: Wir wollen die Sägezahnkurve aus Abb. 3.1 in eine Fourierreihe entwickeln.Sie lässt sich im Intervall [−π, π] mathematisch beschreiben als f(x) = x und hat diePeriode 2π. Diese Funktion ist o�ensichtlich nicht stetig, sie springt an den Stellenx = kπ für ungerade k um den Wert 2π.

Abbildung 3.1: f(x) aus Beispiel 1

Wir machen uns zunutze, dass die Funktion ungerade ist, also nach (3.11) gilt

an = 0 ∀n ∈ N und bn =2

π

∫ π

0

x sin(nx) dx

10

Wir wenden partielle Integration an:∫ π

0

x sin(nx) dx =−πn

cos(nπ) +1

n2sin(nπ)− 1

n2sin 0 =

π

n(−1)(n+1)

Dieses Integral in bn eingesetzt ergibt bn = 2n(−1)(n+1) und die Fourierreihe lautet somit

F (x) = 2(sinx

1− sin 2x

2+

sin 3x

3+ . . .)

Wir sehen, dass die Fourierreihe F (x) nicht mit f(x) übereinstimmt, denn in denSprungstellen selbst wird jedes Reihenglied Null. Dort wird also das arithmetischeMittel zwischen dem Grenzwert von links und dem von rechts dargestellt.

Beispiel 2: Wir betrachten die Funktion aus Abb 3.2, nämlich g(x) = x2 falls x ∈[−π, π] mit Periode 2π fortgesetzt.

Abbildung 3.2: g(x) aus Beispiel 2

Für diese gerade Funktion sind die Fourierkoe�zienten

an =2

π

∫ π

0

x2 cos(nx) dx

Mit partieller Integration folgt für n = 1, 2...∫ π

0

x2 cos(nx) dx = −∫ π

0

1

n2x sin(nx) dx = − 2

n2π(−1)n ⇒ an = (−1)n

4

n2

Um a0 zu bestimmen, setzen wir n = 0 direkt in die Formel für die Koe�zienten ein.So ergibt sich a0 = 2π2

3und zusammenfassend gilt, dass die Fourierreihe G(x) für g(x)

folgendermaÿen lautet

G(x) =π2

3− 4(

cosx

12− cos 2x

22+

cos 3x

32. . .)

11

Bemerkung: Durch gliedweise Di�erentiation und Division durch zwei, also korrektesAbleiten von g(x) = x2, ergibt sich die Reihe für f(x) = x.

Beispiel 3: Wir betrachten nun die Funktion aus Abb 3.3, nämlich h(x) = x cosx fallsx ∈ [−π, π] mit Periode 2π fortgesetzt

Abbildung 3.3: h(x) aus Beispiel 3

Die Funktion h(x) ist ebenfalls ungerade. Wir berechnen zunächst∫ π

0

x sin(nx) dx = (−1)n+1π

n(n = 1, 2, 3...)

und folglich gilt für n = 2, 3...

bn =2

π

∫ π

0

x cosx sin(nx) dx =1

π

∫ π

0

x(sin (n+ 1)x+ sin (n− 1)x) dx

=(−1)n+2

n+ 1+

(−1)n

n− 1= (−1)n

2n

n2 − 1(n = 2, 3, ...)

b1 = −1

2

Wir erhalten somit die Reihenentwicklung

H(x) = −1

2sinx+ 2

2

3sin 2x− 2

3

8sin 3x+ . . .

4 Komplexe Darstellung

Die komplexe Darstellung der Fourierreihe ist hilfreich für zahlreiche Beweise. Darüberhinaus wird sie in der sogenannten Fouriertransformation angewendet. Die Fourier-transformation und ihre Varianten wiederum sind in vielen Wissenschaftsbereichen undTechnikzweigen von auÿerordentlich praktischer Bedeutung. Die Anwendungen reichenvon der Physik (Akustik, Optik, Gezeiten, Astrophysik) über viele Teilgebiete der Ma-thematik (Zahlentheorie, Statistik, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie), dieSignalverarbeitung und Kryptographie bis zu Ozeanographie und Wirtschaftswissen-schaften. Die o�ensichtlichen Vorteile bestehen darin, dass e-Funktionen meist einfacher

12

zu integrieren sind als Sinus, bzw. Kosinus und zum anderen im Komplexen nur nochein Koe�zient zu berechnen ist anstatt zwei.

Bisher haben wir eine unendliche Reihe gebildet, im Folgenden werden wir eineobere Grenze m annehmen, das bedeutet wir approximieren die Funktion und es bleibtein Fehler als Restglied bestehen. Die Formel im Reellen

Fm(x) =a0

π+

m∑n=1

(an cos(nx) + bn sin(nx))

lässt sich in komplexe Schreibweise überführen, indem wir mit Hilfe der EulerschenFormeln sin und cos ersetzen:

cos(nx) =1

2

(exp(in)) + exp(−inx)

)und sin(nx) =

1

2i

(exp(inx)− exp(−inx)

)Fm(x) =

a0

π+

m∑n=1

(an

1

2

(exp(inx) + exp(−inx)

)+ bn

1

2i

(exp(inx)− exp(−inx)

))Wir de�nieren uns neue Koe�zienten α±n mit

an = αn + α−n , α0 =a0

2, bn = i(αn − α−n)

Die Formel für Fm mit den neuen Koe�zienten lautet dann

Fm(x) = α0+m∑n=1

(αn exp(inx) + α−n exp(−inx)) =m∑

n=−m

αn exp(inx)

Umgekehrt kann man jeden Ausdruck dieser Form als Superposition komplex geschrie-bener Schwingungen ansehen. Damit das Ergebnis reell ist, muss nur αn + α−n reellund αn − α−n rein imaginär sein, also αn und α−n konjugiert komplex.

Darüber hinaus können wir entsprechend natürlich auch die Fourierkoe�zienten inkomplexer Schreibweise darstellen:

αn =1

2π

∫ π

−πf(x) exp (−inx) dx

5 Konvergenz der Fourierreihe

Um zu zeigen, dass die Fourierreihe eine gute Approximation für alle periodischenFunktionen ist, muss der Fehler der Approximation klein werden. Es stellt sich also dieFrage, wie der Ausdruck

F :=

∫ π

−π|f(x)− Fk(x)|2 dx (5.1)

abgeschätzt werden kann, wobei Fk unsere durch die Fourierreihe bis zum k-ten Glieddargestellte Approximation der Funktion f ist. Für alle z ∈ C gilt |z|2 = zz, also ist

F =

∫ π

−πf(x)f(x) dx−

∫ π

−πf(x)Fk(x) dx−

∫ π

−πf(x)Fk(x) dx+

∫ π

−πFk(x)Fk(x) dx

13

Durch Einsetzen ergibt sich

F =

∫ π

−π|f(x)|2 dx−

m∑n=−m

∫ π

−π

(αnf(x) exp(−inx)−αnf(x) exp(inx)

)dx+2π

m∑n=−m

αnαn

Nun setzen wir die Fourierkoe�zienten in F ein:

F =

∫ π

−π|f(x)|2 dx−

m∑n=−m

1

2π(

∫ π

−πf(x) exp (inx) dx

∫ π

−πf(x) exp (−inx) dx)

−m∑

n=−m

1

2π

∫ π

−πf(x) exp (−inx) dx

∫ π

−πf(x) exp (inx) dx

+ 2πm∑

n=−m

1

2π

∫ π

−πf(x) exp (inx) dx

1

2π

∫ π

−πf(x) exp (−inx) dx

=

∫ π

−π|f(x)|2 dx− 1

2π

m∑n=−m

∣∣∣∣∫ π

−πf(x) exp (−inx) dx

∣∣∣∣2Es gilt

|αn|2 =1

4π2

∣∣∣∣∫ π

−πf(x) exp (−inx) dx

∣∣∣∣2also

F =

∫ π

−π|f(x)|2 dx− 2π

m∑n=−m

|αn|2

und somit für die reellen Koe�zienten∫ π

−π|f(x)− Fk(x)|2 dx =

∫ π

−π|f(x)|2 dx− 2π

(a20

4+

1

2

k∑n=1

(an + bn)2)

Die linke Seite der Gleichung ist nichtnegativ, daraus folgt:∫ π

−π|f(x)|2 dx− 2π

(a2

0

4+

1

2

k∑n=1

(an + bn)2

)≥ 0

bzw. π

(a2

0

2+

k∑n=1

(an + bn)2

)≤∫ π

−π|f(x)|2 dx =: ‖f‖22

Falls ‖f‖2 <∞ bleibt auch die linke Seite beschränkt für k →∞ und es gilt:

π(a2

0

2+∞∑n=1

(an + bn)2)≤ ‖f(x)‖2

Dies ist die Besselsche Ungleichung.Man überlegt sich, dass Konvergenz der Fourierreihe gegen die Funktion im Sinn5

dass in (5.1) gilt F → 0 für k →∞ gleichbedeutend damit ist, dass in der BesselschenUngleichung das Gleichheitszeichen gilt. In der Tat läÿt sich mit etwas Mühe zeigen,dass dies für hinreichend �gute� Funktionen f gilt.

5das ist im L2-Sinn bzw. im quadratischen Mittel

14

Theorem 5.1 Sei f eine 2π-periodische Funktion, die in [−π, π] bis auf endlich viele

Ausnahmestellen di�erenzierbar ist. Dann konvergiert die Fourier-Reihe von f punkt-

weise gegen f und gleichmäÿig auf jedem abgeschlossenen Teilintervall, auf dem f stetig

ist. Insbesondere gilt in jeder der Ausnahmestellen ξ, dass

Fk(ξ) =1

2(f(ξ−) + f(ξ+)) für k →∞ .

Dabei sind f(ξ±) := limh→0 f(ξ ± h).

6 Resümee

Zunächst konnten wir durch das Beschäftigen mit der Fourierreihe ein für uns unbe-kanntes Konzept zur Annäherung von Funktionen kennen lernen. Es ist interessantzu erfahren, welche anderen Möglichkeiten es auÿer dem uns bekannten Taylorpoly-nom zur Berechnung von Funktionen gibt. Besonders faszinierend war für uns, wie diezunächst sehr technisch erscheinende Formel der Fourierreihe Stück für Stück aufzu-schlüsseln war. Die Feststellung, dass uns periodische Funktionen ständig in unseremAlltag begegnen, machte die Art der Funktionen, die durch die Fourierreihe angenä-hert werden können, vertrauter und greifbarer. Durch den Nachweis der Konvergenzder Reihe kann man sich die Bedeutsamkeit der Fourierreihen in verschiedenen Natur-wissenschaften vorstellen. Solche Anwendungsbeispiele würden uns nach dieser Arbeitinteressieren. Des Weiteren erkennt man durch das Konzept der Fourierreihen zumeinen den Nutzen der komplexen Darstellung (vor allem für Beweise) und zum ande-ren die trigonometrischen Funktionen als wichtiger Bestandteil der Analysis und derenAnwendung.

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Literatur

[1] Ian Stewart: Pentagonien, Andromeda und die gekämmte Kugel. Spektrum Verlag,2004.

[2] R. Courant: Berlin, Vorlesungen über Di�erential- und Integralrechnung Teil 1 +2, Springer Verlag, 1964

[3] H. Heuser: Stuttgart, Lehrbuch der Analysis Teil 2, Vieweg+Teubner Verlag, 1981

[4] W. Kaballo: Heidelberg, Einführung in die Analysis Bd 1, Spektrum AkademischerVerlag, 1996

[5] H. Amann, J. Escher: Basel, Analysis 1, Birkhäuser Verlag, 2006

[6] http://www.fkg-wuerzburg.de/schule/faecher/physik/facharb/friedr/friedr.php,Stand: 14.11.2008

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