2. Potenzen Potenzen sind Produkte gleicher Faktoren. Quadratzahlen wie 4 2 =4 · 4 = 16 sind zweite, Kubikzahlen wie 2 3 =2 · 2 · 2 = 8 sind dritte Potenzen. Im t¨ aglichen Leben spielen vor allem die Potenzen der Zahl 10 eine Rolle, und mit diesen wollen wir uns zuerst befasssen. 2.1 Das Rechnen mit Zehnerpotenzen Die Einheiten f¨ ur L¨ ange, Gewicht und Zeit hat man zu allen Zeiten so gew¨ ahlt, dass man sehr große und sehr kleine Zahlen vermeiden kann. Die K¨ orpergr¨ oße hat man in Fuß gemessen und nicht in Meilen, das Gewicht von Butter in Pfund usw. Auch heute noch werden etwa die Gr¨ oße von Fahrr¨ adern oder von Bildschirmen in Zoll gemessen. Ein Zoll, im Englischen inch, ist umgerechnet 2,54 cm. Ein Fuß besteht aus 12 inch, ein yard aus 3 Fuß, dann folgen die Einheiten ” chain“ (22 yards), ” furlong“(10 chains) und die Meile (8 furlongs). Um die von Stadt zu Stadt verschiedenen Versionen von Fuß, Elle oder Meile zu vereinheitlichen haben die Franzosen nach ihrer Revolution dezimale Maße eingef¨ uhrt. Den Meter legten sie als den 10-millionsten Teil der Entfernung zwischen Nordpol und ¨ Aquator fest; diese Entfernung bestimmten sie 1 , indem sie die Entfernung zwischen D¨ unkirchen in der Bretagne und Barcelona so genau maßen, wie es die damalige Zeit erlaubte. Dass diese Entfernung heute etwa 40 007 km betr¨ agt, zeigt, wie genau M´ echain und Delambre damals trotz der Wirren der Revolution ihre Aufgabe erledigt haben. Inzwischen haben alle L¨ ander – mit Ausnahme der USA – das metrische System ¨ ubernommen. In der Atomphysik und der Astronomie liegen die L¨ angen, Zeiten und Massen in ganz anderen Gr¨ oßenordnungen, weswegen dort andere Einheiten benutzt werden. Die metrischen Einheiten lassen sich durch gewisse Pr¨ afixe vergr¨ oßern und verklei- nern: so sind ein Kilogramm 1000 g und 1 Millimeter ist der tausendste Teil eines Meters. Große Potenzen von 10 werden in der Regel nicht ausgeschrieben, sondern abgek¨ urzt: so ist 1 000 000 = 10 6 und 1 000 000 000 = 10 9 : bei Zehnerpotenzen z¨ ahlt die Hochzahl die Anzahl der Nullen. Die gebr¨ auchlichsten Pr¨ afixe f¨ ur große Einheiten sind: 1 Das Abenteuer dieser “Vermessung der Welt” ist Thema einer ganzen Reihe von B¨ uchern; sehr empfeh- lenswert ist L¨angengrad von Dana Sobel.
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2. Potenzen
Potenzen sind Produkte gleicher Faktoren. Quadratzahlen wie 42 = 4 · 4 = 16 sindzweite, Kubikzahlen wie 23 = 2 · 2 · 2 = 8 sind dritte Potenzen. Im taglichen Lebenspielen vor allem die Potenzen der Zahl 10 eine Rolle, und mit diesen wollen wir unszuerst befasssen.
2.1 Das Rechnen mit Zehnerpotenzen
Die Einheiten fur Lange, Gewicht und Zeit hat man zu allen Zeiten so gewahlt, dassman sehr große und sehr kleine Zahlen vermeiden kann. Die Korpergroße hat man inFuß gemessen und nicht in Meilen, das Gewicht von Butter in Pfund usw.
Auch heute noch werden etwa die Große von Fahrradern oder von Bildschirmenin Zoll gemessen. Ein Zoll, im Englischen inch, ist umgerechnet 2,54 cm. Ein Fußbesteht aus 12 inch, ein yard aus 3 Fuß, dann folgen die Einheiten
”chain“ (22 yards),
”furlong“(10 chains) und die Meile (8 furlongs).
Um die von Stadt zu Stadt verschiedenen Versionen von Fuß, Elle oder Meile zuvereinheitlichen haben die Franzosen nach ihrer Revolution dezimale Maße eingefuhrt.Den Meter legten sie als den 10-millionsten Teil der Entfernung zwischen Nordpol undAquator fest; diese Entfernung bestimmten sie1, indem sie die Entfernung zwischenDunkirchen in der Bretagne und Barcelona so genau maßen, wie es die damaligeZeit erlaubte. Dass diese Entfernung heute etwa 40 007 km betragt, zeigt, wie genauMechain und Delambre damals trotz der Wirren der Revolution ihre Aufgabe erledigthaben. Inzwischen haben alle Lander – mit Ausnahme der USA – das metrischeSystem ubernommen.
In der Atomphysik und der Astronomie liegen die Langen, Zeiten und Massen inganz anderen Großenordnungen, weswegen dort andere Einheiten benutzt werden.Die metrischen Einheiten lassen sich durch gewisse Prafixe vergroßern und verklei-nern: so sind ein Kilogramm 1000 g und 1 Millimeter ist der tausendste Teil einesMeters. Große Potenzen von 10 werden in der Regel nicht ausgeschrieben, sondernabgekurzt: so ist 1 000 000 = 106 und 1 000 000 000 = 109: bei Zehnerpotenzen zahltdie Hochzahl die Anzahl der Nullen.
Die gebrauchlichsten Prafixe fur große Einheiten sind:
1 Das Abenteuer dieser “Vermessung der Welt” ist Thema einer ganzen Reihe von Buchern; sehr empfeh-lenswert ist Langengrad von Dana Sobel.
30 2. Potenzen
kilo Mega Giga Tera
Tausend Million Milliarde Billion
103 106 109 1012
Diese Regeln werden nicht immer konsequent eingehalten: statt Megagramm (dassind 106 g, also 103 kg) benutzt man in der Regel das Wort Tonne, und statt Giga-gramm eher Megatonne, etwa im Zusammenhang mit der Sprengkraft von Atombom-ben. Daneben gibt es noch die Vorsilbe hekto, die man vor allem bei Hektolitern (100Liter) und Hektar (100 ar, also 10 000 m2) benutzt.
Man beachte auch, dass die Einheiten Kilobyte und Megabyte fur die Große vonDateien nicht genau Tausend bzw. 1 Million Byte angeben. Dies liegt daran, dass manin der Informatik gerne im Dualsystem rechnet, also mit Zweierpotenzen. Ein Bit istdie kleinste Informationseinheit, also der Unterschied zwischen einer 1 und einer 0.Dem Informationsgehalt eines Worts aus 8 Bit hat man den Namen Byte gegeben.Unter einem Kilobyte versteht man nun nicht etwa 1000 Byte, sondern 210 = 1024Byte, und entsprechend sind 1 MB genau 220 = 1 048 576 Byte.
Große Zahlen
Zum Rechnen mit großen Einheiten benutzt man eher Zehnerpotenzen als Vorsilben.Dazu stellt man Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise (auch Normdarstellunggenannt) dar, schreibt sie also als Produkt einer Dezimalzahl zwischen 1 und 10 undeiner Zehnerpotenz. So gilt etwa
300 000 = 3 · 105 2,1 · 103 = 2100,
4 125 = 4,125 · 103 3,14 · 107 = 31 400 000
Um die Zahl 32,1 · 108 in wissenschaftlicher Schreibweise darzustellen, dividieren wirdie Dezimalzahl 32,1 durch 10 (Komma um eine Stelle nach links schieben) undhangen zum Ausgleich an die Zehnerpotenz eine 0 an, ersetzen die 108 also durch 109:
32,1 · 108 = 3,21 · 109.
Um zwei Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise zu multiplizieren, multipliziertman die beiden Dezimalzahlen, addiert die Hochzahlen, und verschiebt ggf. noch dasKomma, damit das Produkt wieder die gebrauchliche Form hat.
Beispiel. Um das Produkt 3 · 5 · 109 zu berechnen, multiplizieren wir 3 · 5 = 15 undschreiben 15 · 109 = 1,5 · 1010.
Entsprechend ist4 · 108 · 2,1 · 109 = 8,2 · 1017.
Die Addition der Hochzahlen ruhrt daher, dass man bei der Multiplikation 100 ·1000 ja auch nur die Anzahl der Nullen addiert, und wenn man diese Zahlen in
2.1 Das Rechnen mit Zehnerpotenzen 31
wissenschaftlicher Schreibweise darstellt, wird genau diese Addition vorgenommen:100 · 1000 = 102 · 103 = 102+3 = 105. Bei der Division von Zehnerpotenzen werden dieHochzahlen entsprechend subtrahiert: es ist ja 100 000
100= 1000, da zwei Nullen gekurzt
werden, folglich ist 105 : 102 = 105−2 = 103 = 1000.
Satz 2.1. Das Produkt der beiden Zehnerpotenz 10m und 10n erhalt man, indem mandie Hochzahlen addiert:
10m · 10n = 10m+n.
Entsprechend werden diese Potenzen dividiert, indem man die Hochzahlen subtrahiert:
10m : 10n = 10m−n.
Zwei Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise lassen sich nur dann direkt addieren,wenn die Zehnerpotenz dieselbe ist: naturlich ist 3 · 105 + 4 · 105 = 7 · 105. Sinddie Potenzen nicht gleich und unterscheiden sie sich nur wenig, kann man sie durchKommaverschiebungen gleich machen: 3 · 106 + 5 · 105 = 3 · 106 + 0,5 · 106 = 3,5 · 106.Sind die Zehnerpotenzen sehr verschieden, kann man in der Regel die kleinere einfachweglassen: 3 · 106 + 2 ≈ 3 · 106; das genau Ergebnis ware 3 000 000 + 2 = 3 000 002.
Beim Ziehen von Quadratwurzeln gilt es zu beachten, dass 10n · 10n = 102n gilt,also√
102n = 10n: Zehnerpotenzen, die Quadratzahlen sind, haben eine gerade Anzahlvon Nullen, und diese werden beim Ziehen der Quadratwurzel halbiert. Entsprechendgilt√
9 · 106 = 3 ·103 = 3 000. Bei√
1,6 · 109 muss man erst das Komma verschieben:Wegen 1,6 · 109 = 16 · 108 (den ersten Faktor haben wir mit 10 multipliziert, denzweiten zum Ausgleich durch 10 geteilt) ist
√1,6 · 109 =
√16 · 108 = 4 · 104.
Pythagoreische Tripel
Im Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras taucht vor allem das Dreieck mitden Seiten 3, 4 und 5 auf, das wegen 32 + 42 = 52 rechtwinklig ist. Jedes Tripel(a, b, c) naturlicher Zahlen, welche der Gleichung a2 + b2 = c2 genugen, nennt man einpythagoreisches Tripel. Wir betrachten nun folgende Zahlenreihen:
a b c21 220 221
201 20200 202012001 2002000 2002001
Wir behaupten, dass jedes dieser Tripel ein pythagoreisches Tripel ist. Beim erstenlasst sich das leicht nachrechnen: es gilt ja 212 + 2202 = 48 841 = 2212. Auch dienachsten Tripel kann man (mit oder besser ohne Taschenrechner) erledigen. Um ein-zusehen, dass die Behauptung fur alle Zahlen dieser Reihe richtig ist, muss man dieauftretenden Zahlen erst einmal aufschreiben. In der linken Spalte stehen nacheinan-der die Zahlen
Um auch kleine Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise darstellen zu konnen,mussen wir die Reihe
Giga Mega kilo
Milliarde Million Tausend
109 106 103
nach rechts fortsetzen. Die Einheit ohne Vorsilbe ist die Einheit selbst, die dem Faktor1 entspricht, und es liegt nahe, die Folge der Hochzahlen 9, 6, 3 mit 0 fortzusetzen:
Giga Mega kilo –
Milliarde Million Tausend Eins
109 106 103 100
Wir definieren also 100 = 1 aus rein praktischen Erwagungen heraus. Damit liefertnamlich die Division 103 : 103 = 103−3 = 100 ebenso das richtige Ergebnis wie dieMultiplikation 1000 · 1 = 103 · 100 = 103+0 = 103. Unsere bisherigen Rechenregelnbleiben dadurch auch fur Multiplikation und Division mit 1 richtig.
Es ist auch nicht schwer zu erraten, wie die obige Tabelle weiter fortzusetzen ist:
Giga Mega kilo – milli mikro nano
Milliarde Million Tausend Eins Tausendstel Millionstel Milliardstel
109 106 103 100 10−3 10−6 10−9
2.1 Das Rechnen mit Zehnerpotenzen 33
Daneben gibt es eine ganze Reihe weiterer Vorsilben, etwa centi (fur den HundertstenTeil, etwa bei cm).
Dieses Schema passt auch wunderbar mit den bisher gefundenen Regeln uberein:bei der Division von Zehnerpotenzen musste man die Hochzahlen subtrahieren, unddie Subtraktion der Hochzahl 3 (also die Division durch 103 = 1000) ist dasselbe wiedie Addition der Hochzahl −3 (also die Multiplikation mit 10−3 = 1
1000).
Naturlich fuhren wir negative Hochzahlen nicht nur fur Vielfache der 3 ein, sondernganz allgemein:
n 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4
10n 10 000 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001
Wir setzen also 10−n = 110n
und bemerken ganz ausdrucklich, dass negative Hochzah-len nichts mit dem Vorzeichen der Zahl zu tun haben: es ist 10−1 = 1
10= 0,1 und
−10−1 = − 110
= −0,1.
Ubungen
2.1 Schreibe in wissenschaftlicher Schreibweise:
a) die Lichtgeschwindigkeit 300 000 km/s;
b) die Entfernung Erde – Mond 384 000 km;
c) die Entfernung Erde – Sonne 150 Millionen km.
d) die Staatsschulden Deutschlands 2 242 000 000 000 Euro
2.5 Wenn man ein Papier der Dicke 0,1 mm 30mal falten konnte, wie dick ware esdann?
34 2. Potenzen
2.6 Wenn man die Staatsschulden Deutschlands (vgl. Ubung 2.1) in 10-Euro Schei-nen aufstapeln wurde, wie hoch wurde dieser Turm, wenn ein Schein eine Dickevon 0,1 mm hat?
2.7 Ein Autoreifen verliert etwa 1 cm Profil auf 60.000 km. Berechne den Profilver-lust auf 1 km.
2.8 Die Venus ist etwa 0,7 AE (die Astronomische Einheit ist die mittlere Entfernungvon Erde und Sonne) von der Sonne entfernt. Wie nahe (in km) kann die Venusder Erde kommen?
Hierbei nehmen wir an, dass die Bahnen von Erde und Venus Kreisbahnen inderselben Ebene sind. Dies ist zwar nur angenahert richtig, die Großenordnungenbleiben davon aber unberuhrt.
2.9 Wie lange braucht das Licht vom Mond bis zur Erde (vgl. Ubung 1) ? Wie langebraucht es von der Sonne bis zur Erde?
2.10 Ein Lichtjahr ist die Entfernung, die das Licht in einem Jahr zurucklegt. Dernachste Stern, Alpha Centauri, ist 4,3 Lichtjahre von uns entfernt. Rechne dieseEntfernung in km um.
Wie groß ist die Entfernung bis zur Andromeda-Galaxis, der uns am nachstengelegenen großen Galaxie, von der das Licht bis zu uns 2,2 Millionen Jahrebraucht?
2.11 Die Masse eines Wasserstoffatoms ist 1,673 · 10−27 kg, die eines Sauerstoffatomsetwa 16mal so groß. Wie viele Wassermolekule enthalt ein Liter Wasser?
2.12 Ein Sauerstoffatom hat die 16fache, ein Stickstoffatom die 14fache Masse einesWasserstoffatoms. Unsere Atemluft besteht grob aus 20 % Sauerstoff O2 und80 % Stickstoff N2. Die Luft hat am Boden bei normalen Temperaturen undnormalem Druck eine Dichte von 1,2 kg/m3. Wie viele Molekule Sauerstoff bzw.Stickstoff enthalt 1 Liter Luft? Wie groß konnen diese Molekule hochstens sein?
2.13 Die Sonne produziert ihre Energie durch Kernfusion: vier Wasserstoffkerne (Pro-tonen) werden bei sehr hohen Temperaturen und sehr hohem Druck zu einem He-liumkern verschmolzen. Dabei ist die Masse eines Heliumkerns um 0,048·10−27 kgkleiner als die Summe der Massen der Wasserstoffkerne. Diese Masse m wird beider Kernfusion nach Einsteins beruhmter Gleichung E = mc2, wo c die Lichtge-schwindigkeit bedeutet, in Energie umgewandelt.
Wie viele Wasserstoffatome mussen pro Sekunde verschmelzen, um den Ener-gieausstoß der Sonne von 3,86 · 1026 Watt zu erklaren? Wie viele Tonnen Masseverliert die Sonne pro Sekunde allein durch die Kernfusion?
Die Sonne hat eine Masse von 2 ·1030 kg und besteht zu % aus Wasserstoff. Wielange reicht der Brennstoff maximal?
2.2 Die Potenzgesetze fur naturliche Exponenten 35
Die wirkliche Lebensdauer der Sonne ist viel kleiner, da die Kernfusion zusam-menbricht, wenn der Wasserstoffanteil unter eine bestimmte Grenze fallt.
2.14 (ZK 2003) Wenn man die Zahlen u = (1010)10 und v = 101010 ausschreibt,beginnen sie mit einer 1, danach kommen viele Nullen. Wie viele Stellen habendie Zahlen u bzw. v?
Ein Drucker gibt 150 Ziffern pro Sekunde aus. Wie lange braucht er ungefahr,um die ausgeschriebene Zahl u bzw. v zu drucken?
2.15 Man nehme die Erde als Kugel mit einem Unfang von 40 000 km an und denkesich ein Seil um den Aquator gespannt. Dieses Seil wird dann um 1 m verlangertund gleichmaßig so weit wie moglich hochgezogen, sodass es knapp uber demErdboden wieder einen Kreis bildet. Wie hoch ist das Seil uber dem Boden?
2.16 Jetzt wird ein reißfestes Eisenseil um den Aquator gespannt. Wenn die Tempe-ratur T um den Betrag ∆T sinkt, dann zieht sich das Seil nach dem Gesetz
∆`
`≈ α∆T
zusammen, wobei ` die Lange und ∆` die Verkurzung des Seils bezeichnet undα der Langenausdehnungskoeffizient von Eisen ist, namlich α ≈ 1,2 · 10−5/◦C.
Wie tief zieht sich das Seil in den Boden, wenn die Temperatur um 1◦ C sinkt?
2.17 Konstruiere aus der Kubikzahl 1331 = 113 nach obigem Muster eine Folge vonKubizahlen, welche nur die Ziffern 1, 3 und Nullen besitzen.
2.18 Rechne nach, dass die folgenden Zahlen eine Reihe pythagoreischer Tripel bilden:
a b c41 840 841
401 80400 804014001 8004000 8004001
Wie lautet das n-te Tripel in dieser Reihe? Zeige, dass es ebenfalls pythagoreischist.
2.2 Die Potenzgesetze fur naturliche Exponenten
In diesem Abschnitt werden wir die Gesetze fur Potenzen fromulieren, deren Hoch-zahlen naturliche Zahlen sind. Spater werden wir auch Potenzen mit negativen undgebrochenen Zahlen einfuhren, und zwar so, dass diese Potenzgesetze erhalten bleiben.
36 2. Potenzen
Potenzen mit gleicher Grundzahl
Potenzen mit kleinen Hochzahlen kennen wir bereits: es ist a1 = a, a2 = a ·a und a3 =a · a · a. Potenzen sind also Produkte einer Zahl mit sich selbst, und die Schreibweise
an = a · a · · · a︸ ︷︷ ︸n mal
ist erst einmal nur eine Abkurzung. Wir nennen a die Grundzahl (die Basis), n dieHochzahl (den Exponenten), und an die n-te Potenz von a.
Wenn man sich unsicher ist, wie man mit Potenzen zu rechnen hat, kann man(zumindest bei kleinen Exponenten n) immer hinschreiben, was die Potenz bedeutet:
a1 · a2 = a · (a · a) = a3,
a2 · a3 = (a · a) · (a · a · a) = a5.
Es ist an dieser Stelle angebracht, mit einem haufigen Missverstandnis aufzuraumen: �
wahrend man Produkte von Summen wie etwa 2(a + b) mit dem Distributivgesetzumformen kann zu 2(a+ b) = 2a+ 2b, darf man bei 2 · ab = 2(ab) = 2ab nicht jedenFaktor in der Klammer mit 2 multiplizieren, denn es gilt ja 2 · (ab) = ab+ ab = 2ab.
Auch bei a5 ·a7 kann (und sollte) man sich vorstellen, dass zuerst 5mal der Faktor adasteht und dann noch 7mal, daher steht a im Produkt insgesamt 12mal da: a5 ·a7 =a5+7 = a12. Das ist auch schon unser erstes Potenzgesetz:
Satz 2.2. Potenzen mit gleicher Grundzahl werden multipliziert, indem man dieGrundzahl beibehalt und die Hochzahlen addiert:
am · an = am+n.
Im wesentlichen addiert man nur die Anzahl der Faktoren:
am · an = a · · · a︸ ︷︷ ︸m mal
· a · · · a︸ ︷︷ ︸n mal
= a · · · a︸ ︷︷ ︸m+n mal
.
Bei Produkten wie 2a2 · 3a3 darf man die Reihenfolge der Faktoren vertauschen;es ist also
2 · a2 · 3 · a3 = 2 · 3 · a2 · a3 = 6 · a5.Wer verstanden hat, was eine Potenz am bedeutet und wie man Produkte multipli-
ziert und sich daran erinnert, wenn so ein Produkt auftaucht, wird dies automatischrichtig machen. Man kann sich naturlich auch an die entsprechende Regel bei Zeh-nerpotenzen erinnern, wo die Addition der Hochzahlen in einem Produkt einfach derAddition der Nullen entspricht.
Eine anderer Fehler ist 2 · 23 = 43 oder Ahnliches: wenn man sich vor Augen halt,dass 2 · 23 = 2 · (2 · 2 · 2) = 24 bedeutet, kann man auf diesen Unsinn gar nicht erstkommen.
2.2 Die Potenzgesetze fur naturliche Exponenten 37
Ebenfalls wichtig ist folgende Ubereinkunft: bei Rechenausdrucken, in denen Pro- �
dukte und Potenzen vorkommen, wird zuerst die Potenz und dann das Produkt be-rechnet. Der Ausdruck 2a2 bedeutet also 2 · a · a und nicht (2a)2 = 4a2. Sinnn die-ser Regelung ist, dass man dadurch Klammern einsparen kann. Insbesondere ist aufdiese Regelung zu achten, wenn es um Ausdrucke der Form −24 geht: nach unse-rer Ubereinkunft ist dies als −24 = −(24) = −16 zu lesen, wahrend bekanntlich(−2)4 = (−2)(.− 2)(−2)(−2) = +16 ist.
Zweites Potenzgesetz. Zum ersten Potenzgesetz, das die Multiplikation von Po-tenzen mit gleicher Grundzahl regelt, gehort ein zweites, das sich mit der Divisionbefasst. Wir haben etwa
54 : 51 =5 · 5 · 5 · 5
5= 5 · 5 · 5 = 53,
25 : 23 =2 · 2 · 2 · 2 · 2
2 · 2 · 2= 2 · 2 = 22,
da wir beim ersten Bruch eine 5 und beim zweiten dreimal die 2 kurzen konnen.Damit ist klar, wie das zweite Potenzgesetz formuliert werden muss:
Satz 2.3. Potenzen mit gleicher Grundzahl werden dividiert, indem man die Grund-zahl beibehalt und die Hochzahlen subtrahiert:
am : an =am
an= am−n.
Dabei mussen wir uns (vorlaufig) auf den Fall m > n beschranken, weil wir ne-gative Hochzahlen erst nachher besprechen werden. In diesem Fall ist das zweitePotenzgesetz einfach die bekannte Regel zum Kurzen von Bruchen:
am
an=
m mal︷ ︸︸ ︷a · · · aa · · · a︸ ︷︷ ︸n mal
= a · · · a︸ ︷︷ ︸m−n mal
,
da wir n Faktoren a oben und unten wegkurzen konnen und dann eben m−n Faktorenubrig bleiben.
Der haufigste Fehler beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Grundzahl tritt �
auf, wenn man etwa am : am−1 zu bestimmen hat. Stellt man sich diesen Quotientenals Bruch vor, in dessen Zahler m mal und in dessen Nenner m− 1 mal der Faktor asteht, dann sieht man, dass man den ganzen Nenner wegkurzen kann und zum Schlussein a im Zahler ubrig bleibt. Dasselbe Ergebnis liefert das zweite Potenzgesetz:
am : am−1 = am−(m−1) = am−m+1 = a1 = a.
Allerdings muss man dabei beachten, dass um jede Hochzahl eine”unsichtbare“ Klam-
mer steht, die man nicht weglassen darf, wenn davor ein Minuszeichen steht. Nicht-beachtung dieser Klammer fuhrt zum falschen Ergebnis am : am−1 = am−m−1 = a−1
(und dieses Ergebnis ist falsch, wie das Beispiel 24 : 24−1 = 24 : 23 = 2 zeigt).
38 2. Potenzen
Zum Vereinfachen von Ausdrucken oder zum Umstellen von Formeln ist es ganzwichtig, diese Potenzgesetze auch in einer komplizierteren Umgebung richtig anwen-den zu konnen. So muss man in der Lage sein, aus x4 + x9 die großte Potenz von xauszuklammern, die in beiden Summanden steht: x4 + x9 = x4(1 + x5). Nach demAusmultiplizieren muss wieder dasselbe dastehen wie zu Beginn. Entsprechendes giltfur 12a5 + 18a3 = 6a3(2a2 + 3). Bleiben Ausdrucke zuruck, die keinen offensichtlichenFaktor mehr besitzen, so ist zu prufen, ob eine binomische Formel vorliegt, wie etwain den folgenden Beispielen:
Das Erkennen von binomischen Formeln erfordert keine hohere Intelligenz, sondernnur Ubung. Wir werden in diesem Schuljahr bei einigen Anlassen Gelegenheit haben,binomische Formeln gewinnbringend einzusetzen.
Ubungen
2.1 Rechenubungen.
1. Berechne nacheinander 21, 22, . . . , 210.
2. Berechne 36.
3. Berechne die Dezimaldarstellung von 1/1024 durch fortgesetztes Halbieren.
2.2 Vereinfache die folgenden Ausdrucke mit Hilfe der Potenzgesetze.
Auch Potenzen mit gleicher Hochzahl lassen sich zusammenfassen; diese Art vonUmformung kommt aber deutlich seltener vor als diejenige von Potenzen mit gleicherGrundzahl. So ist beispielsweise
2.2 Die Potenzgesetze fur naturliche Exponenten 39
Satz 2.4. Potenzen mit gleicher Hochzahl werden multipliziert, indem man die Hoch-zahl beibehalt und die Grundzahlen multipliziert:
am · bm = (ab)m.
Selbstverstandlich bleibt alles richtig, wenn wir das Ganze ruckwarts rechnen: aus64 = 24 · 34 erhalten wir nach Division durch 24 die Gleichung 64 : 24 = 34:
Satz 2.5. Potenzen mit gleicher Hochzahl werden dividiert, indem man die Hochzahlbeibehalt und die Grundzahlen dividiert:
am : bm =am
bm=(ab
)m.
Wichtig ist, dass bei Umformungen von Produkten mit gleicher Grundzahl die �
Grundzahl erhalten bleibt, bei Produkten mit gleicher Hochzahl die Hochzahl. Pro-dukte, bei denen Grundzahlen und Hochzahlen gleich sind, kann man daher auf zweiverschiedene Arten umformen; so ist
24 · 24 = 24+4 = 28 nach dem ersten Potenzgesetz,
24 · 24 = (2 · 2)4 = 44 nach dem zweiten.
Welche Umformung die bessere ist, hangt von der Situation ab. Wichtig ist allerdings,dass je nach Wahl des Potenzgesetzes entweder die Grundzahl oder die Hochzahl gleichbleibt.
Potenzen von Potenzen
Das letzte Potenzgesetz dreht sich um Potenzen von Potenzen. Eigentlich ist es, wiedie andern auch, uberflussig, wenn man weiß, was man tut. Denn selbstverstandlichist (24)3 nichts anderes als (24)3 = 24 · 24 · 24 = 24+4+4 = 24·3 = 212, folglich lautet dasentsprechende Potenzgesetz so:
Satz 2.6. Bei Potenzen von Potenzen werden die Hochzahlen multipliziert:
(am)n = am·n = amn.
Zu achten hat man bei der Anwendung darauf, dass etwa �
(2a2)3 = 2a2 · 2a2 · 2a2 = 23a2·3 = 23a6
ist, also die dritte Potenz sowohl auf den Faktor 2 ebenso wie auf den Faktor a2
anzuwenden ist. Insbesondere ist (−a2)4 = a8, weil das Minuszeichen viermal auftritt.Zu Potenzen von Potenzen ist noch zu sagen, dass in Ausdrucken wie 223 von
oben nach unten gerechnet wird (eine Regel, die man zum Einsparen von Klammernfestgelegt hat – genausogut hatte man festlegen konnen, dass man von unten nachoben rechnet). Es ist also 223 = 28 = 256, aber (22)3 = 26 = 64.
40 2. Potenzen
Umformen
Treten in Aufgaben Potenzen von 4 und 8 auf, so ist es zum Anwenden der Potenz-gesetze oft angebracht, diese mit dem funften Potenzgesetz in Potenzen von 2 zuverwandeln:
Entsprechendes gilt fur Potenzen von 9 und 27 usw.Auch beim Vereinfachen von Bruchen ist diese Idee anzuwenden: so ist etwa
104 · 65
43 · 155=
(2 · 5)4 · (2 · 3)5
(22)3 · (3 · 5)5=
24 · 54 · 25 · 35
26 · 35 · 55= 24+5−635−554−5 = 235−1 =
8
5.
Selbstverstandlich geht es bei solchen Aufgaben nicht darum, im taglichen Lebenauftretende Bruche zu berechnen, sondern einzig und allein um das Einuben vonPotenzgesetzen in vielen verschiedenen Situationen.
Ubungen
2.1 Berechne:
a) 105 · 10 b) 106 : 10c) 520 : 5 d) 2 · 106 : 10
2.2 Vereinfache:
a) x2 · x3 b) x−2 · x3 c) x3
x
d) xa · xa e) xn : xn f) a2·a−1
a3
2.3 Schreibe als Produkt:
a) x2 + x5 b) 3y + 3y2 c) a2 − b2
d) a4 − b4 e) a−2 − b−2 f) a4 + 2a2b+ b2
2.4 Schreibe als Produkt:
a) a2 − 4a4 b) a2 + 2ab+ b2 c) a4 + 2a2b+ b2
d) a4 − 2a2b−3 + b−6 e) a−2 − b4 f) 81− 25
2.5 Berechne (ohne Taschenrechner):
a) 24 b) 33 c) 53
d)√
22
e)√
24
f)√
36
2.6 Berechne (ohne Taschenrechner):
a) (−1)2 b) (−2)4 c) −32
d) 1,22 e) (−√
5 )6 f)√
25
2.3 Potenzen mit negativen Exponenten 41
2.7 Schreibe als Potenz mit moglichst großer Hochzahl:
a) 27 b) 32 c) 64
d) 18
e) 916
f) 181
2.8 Schreibe als Potenz mit moglichst großer Hochzahl:
Potenzen mit negativen Exponenten haben wir im Zusammenhang mit Zehnerpoten-zen bereits kennengelernt: 10−3 beispielsweise haben wir definiert als 10−3 = 1
103=
11000
. Dies machen wir allgemein: wir setzen
a−1 =1
a, a−2 =
1
a2, a−n =
1
an.
Bei dieser Festlegung bleiben die Potenzgesetze gultig, wie man nachrechnen kann; esist ja, wenn m > n ist,
am · a−n =am
an= am−n = am+(−n),
wobei wir im ersten Schritt die Definition von a−n und im zweiten das erste Potenzge-setz fur positive Exponenten benutzt haben. Im Falle m < n haben wir entsprechend
42 2. Potenzen
am · a−n =am
an=
1
an−m= a−(n−m) = am−n.
Auch hier muss man negative Vorzeichen und negative Exponenten fein sauberlich �
auseinanderhalten: es ist
4−2 =1
16, −4−2 = − 1
16und (−4)−2 =
1
16.
2.1 Berechne (ohne Taschenrechner):
a) 2−4 b) 3−2 c)√
2−2
d)√
3−4
e) (−1)2 f) (−2)4
g) 1−2 h) (−√
5 )−2 i) 10−2
2.2 Schreibe als Potenz (neg. Hochzahlen):
a) 127
b) 132
c) 0,01
d) 181
e) 164
f) 0,04
2.4 Potenzen mit rationalen Exponenten
Im letzten Schuljahr haben wir Quadratwurzeln eingefuhrt. Die Quadratwurzel√a
einer positiven Zahl a ist diejenige positive Zahl, die mit sich selbst malgenommen aergibt:
√a ·√a = a.
Quadratwurzeln als Potenzen
Wir wollen einmal die Potenzen von 3 und 9 nebeneinander schreiben:
Wenn wir auch die ungeraden Potenzen von 3 wie 3, 27 und 243 als Potenzen von 9schreiben mochten, dann sollte klar sein, wie wir vorzugehen haben:
30 = 1 90 = 1
31 = 3 912 = 3
32 = 9 91 = 9
33 = 27 932 = 27
34 = 81 92 = 81
35 = 243 952 = 243
36 = 729 93 = 729
2.4 Potenzen mit rationalen Exponenten 43
Wir setzen also 912 =√
9 = 3; das passt mit den Potenzgesetzen gut zusammen: esist ja einerseits (9
12 )2 = 9
12·2 = 91 = 9, andererseits auch (9
12 )2 = (
√9 )2 = 32 = 9.
Auf leicht anderem Weg hatten wir 3 als Potenz von 9 auch einfach so erhaltenkonnen: wenn 3 = 9x ist und die bisherigen Potenzgesetze weiter gelten sollen, dannmuss 3 = 9x = (32)x = 32x sein, und Vergleich der Hochzahlen liefert 1 = 2x, alsox = 1
2.
Allgemein setzen wir a12 =√a, wobei naturlich a ≥ 0 sein muss, damit die Qua-
dratwurzel existiert. Fur die Festlegung aller anderen Potenzen mit halbzahliger Hoch-zahl fordern wir die Gultigkeit der Potenzgesetze auch fur solche Hochzahlen. Dann
wird namlich 932 = (9
12 )3 =
√93
= 33 = 27 wie gewunscht.Zum Rechnen sind gebrochene Hochzahlen nur dann hilfreich, wenn man Aus-
drucke mit verschiedenen Wurzeln zu vereinfachen hat. Der eigentliche Zweck derEinfuhrung gebrochener Hochzahlen wird sich erst im nachsten Schuljahr offenbaren.
Kubikwurzeln
Quadratwurzeln treten auf, wenn man die Seitenlange eines Quadrats mit gegebenemFlacheninhalt berechnet: ein Quadrat mit Flacheninhalt 16 m2 hat eine Kantenlangevon 4 m wegen
√16 = 4, und ein Quadrat mit Flacheninhalt 5 hat eine Kantenlange
von√
5, wobei√
5 diejenige positive reelle Zahl ist, die mit sich selbst malgenommen5 ergibt.
Entsprechend tauchen Kubikwurzeln beim Berechnen der Kantenlange eines Wurfelsmit gegebenem Volumen auf: Ein Wurfel mit Volumen 8 m3 hat eine Kantenlangevon 2 m wegen 23 = 8. Allgemein nennen wir die Zahl, deren dritte Potenz gleicheiner gegebenen positiven reellen Zahl a ist, die Kubikwurzel von a und schreiben 3
√a.
Entsprechend ist 4√a diejenige Zahl, deren 4. Potenz gleich a ist.
Beispiel.
3√
27 = 34√
16 = 23√
64 = 45√
32 = 24√
81 = 3 3√
0,001 = 0,1
Wenn man eine dritte oder vierte Wurzel aus einer Zahl zu ziehen hat, die keinedritte bzw. vierte Potenz ist, muss man den Taschenrechner zu Hilfe nehmen. Weiterunten werden wir aber zeigen, dass man gute Naherungen durchaus auch von Handberechnen kann.
Ist q ungerade, darf a auch negativ sein: 3√−8 = −2 wegen (−2)3 = −8. Lasst
man dies zu, muss man beim Rechnen mit Potenzgesetzen allerdings aufpassen, weiljetzt, wenn man unbedarft rechnet, unangenehme Dinge geschehen konnen:
3√−2 = (−2)
13 = (−2)
26 = 6
√(−2)2 =
6√
4 =6√
22 = 226 = 2
13 =
3√
2.
44 2. Potenzen
Das Problem ist, dass wir beim Wechsel von der Hochzahl 13
zur Hochzahl 26
einmalquadriert und einmal die Quadratwurzel gezogen haben; diese Operationen heben sichauf, wenn der Radikand positiv ist, aber nicht, wenn er negativ ist. Beim Rechnenmit 3. und 5. Wurzeln aus negativen Zahlen sollte man also zuerst das Vorzeichen vordie Wurzel ziehen.
2.5 Ubungen
2.1 Abschatzen von Wurzeln: zwischen welchen ganzen Zahlen liegen folgende Wur-zeln?
(a) <√
10 < (b) < 3√
16 <
(c) < 3√
40 < (d) < 4√
20 <
2.2 Es ist 0,7 <√
0,6 < 0,8 wegen√
0,49 <√
0,6 <√
0,64. Lose ebenso
a) <√
0,2 < b) <√
0,03 < c) <√
0,001 <
d) <√
0,4 < e) <√
0,004 < f) <√
0,0002 <
2.3 Vereinfache (alle Variablen sind positiv):
a)√a2 b)
√a4 c)
3√a3
d)3√a6b3 e)
√a2b4 f)
4√a4b−12
2.4 Vereinfache (alle Variablen sind positiv):
a)√a5√a−3 b)
3√a4 : 3√a c)
√22m
d)3√a6m+3 e) m
√2m f)
k√bk2+k
2.5 Berechne:
a)√√
16 b)3√√
64 c)√√
x8
d)3√√
a12 e)√√
a2√b2 f)
3√√
a3 :√b3
g)n√a2n h) m
√amb−m i)
5√
32x5
2.6 Berechne, falls moglich:
a) 1612 b) 64
12 c) −4
12
d) (−36)12 e) −36
12 f) 64
13
g) 3215 h) (1
8)13 i) (4
9)12
2.7 Berechne, falls moglich:
a) 2723 b) −25−
12 c) 16
34
d) 125−23 e) 8−
43 f) 81
34
g) 6456 h) ( 8
27)−
13 i) (4
9)−
32
2.6 Ubungen 45
2.8 Vereinfache so weit wie moglich:
a) a12 · a 1
2 b) b13 · b 2
3 c) c15 · c− 1
5
d) x14 · x 5
4 e) x13 · x 1
2 f) x23 : x
13
g) a56 : a
23 h) x
32 : x i) x : x
12
2.9 Fasse zusammen.
a) 3√
2 · 4√
2 b) 3√
2 · 4√
22 c) 3√
2 · 4√
8
d) 3√
2 : 4√
2 e) 3√a · 4√a f) 3
√a · 4√a2
g) 3√b · 4√b3 h)
3√b2 :
3√b−1 i) 3
√x : 4√x
2.10 Teilweises Ausziehen von Wurzeln:
a)√
12 b)√
50 c) 3√
108
d) 3√
24 e) 4√
48 f) 5√
96
g)√
4x2 h)√
9x3 i)3√
8x4
2.11 Vereinfache.
a)√
12 + 2√
75−√
3 b) 2√
18−√
50 +√
32
c) 3√
5a2 − a√
20 d) 2√
6x2 + x2√
24x−2
2.6 Ubungen
2.1 Klammere einen moglichst großen Faktor aus:
a) 14a+ 21b b) x2 + 2xyc) 9x3 + 12xy2 d) 2x+3 + 3 · 2x
2.14 Die Gleichung 210 = 1024 kann man benutzen, um große Potenzen von 2 ab-zuschatzen: aus 210 ≈ 103 folgt z.B. 220 ≈ 106, 224 = 24220 ≈ 16 · 106. Schatzeab (ohne TR): 232; 241; 263 (die Anzahl der Reiskorner auf dem 64. Feld in derLegende). Vergleiche diese Abschatzungen mit den exakten Werten (mit TR).
2.15 Berechne bzw. vereinfache die folgenden Ausdrucke.
a) 56− 2
3b)
(23− 3
7
): 521
c) 37· 75− 2
11: 1233
d) 34
+ 27
: 37
e)37− 1
537+ 1
5
f) 4117− 5
13− 7
17+ 18
13
g) 34· 56· 45
h) 37
+ 513
: 713
i) 1a
+ 2b
j)1− 1
x2
1− 1x
k) aa+b
+ ba+b
l) rr+s
: sr+s
2.16 Berechne:
a)√
144 b) 3√
64 c)√
0,04
d) 1612 e) (1
8)13 f) −52
g) 38 · 35 h) 4,2·1052·10−3 i) 45 · 83
j) 4−12 k) (1
3)−1 l) (2
5)0
2.17 Berechne:
a)√a6 b) 3
√125 c)
√0,16
d) 3612 e) ( 1
27)13 f) −92
g) 512 · 55 h) 6,2·1083,1·10−4 i) 95 · 273
j) 16−12 k) (1
7)−1 l) (−2
5)0
2.18 Forme mit Hilfe der Potenzgesetze um:
a) xr · x1−r b) am+1 : am−1
c) (24)5 d) 37 · 57
2.19 Vereinfache den Bruch:
(a) a5b4c9
(abc2)2(b) 66·104
154·45
(c) a3+6a2b+9ab2
a2+3ab(d) am+2
am−2
2.20 Berechne bzw. vereinfache die folgenden Ausdrucke.
a) 512− 5
18b)
(23− 3
11
): 533
c) 37· 75− 2
11: 1233
d) 34
+ 59
: 49
e)37− 1
537+ 1
5
f) 4117− 5
14− 7
17+ 19
14
48 2. Potenzen
2.21 Berechne bzw. vereinfache die folgenden Ausdrucke.
a) 37· 56· 75
b) 37
+ 513
: 713
c) 3a
+ 2b
d)1− 1
x2
1+ 1x
e) x+1x−y −
y+1x−y f) s
t2−u2 : tt−u
2.22 Vereinfache bzw. berechne:
a) a2b4−a4b2a2−ab b) 2m · 8n c) x+y
x− x
x+y
d) a2−4b2a2+4ab+4b2
: a−2ba+2b
e) ax−ax+2
ax+1−ax f) 4n·25n+1
102n+1
2.23 Vereinfache bzw. berechne:
a) a2b3(16−a2)a3(4b2−ab2) b) xn−xn+2
xn+1+xn c) x2k+4xk+4x2k−4
d) 9y2m−43ym+1−2y e) y2m−14ym+49
y2m−49 f) 9y2m−43ym+1−2y
2.24 Kurze so weit wie moglich:
(a) (24·153)2·2158·72·126 (b) (10a)21·627
817·(400a2)11
(c) a−5b−7c4
a3b−2c5: ab−9c3
a9b−3c−1 (d) (2xy2z)4
a2b−1 : 2(x2y)−3
(ab)−1
(e)(2xy2
)−k:(x−3
x−2
)k(f) b2n
cn−1 :(
a2
cn+1 · b3n
a5
)(g) t2k−2tk
tk−2−4t−k−2 (h)
2.25 Vereinfache:
a) a7 · a3 b)√
54
c) 13−0
d) y7
y4e) (x2)5 f) (−2x2)3
g) a3−ab2a−b h) 21100·1080
15101·3570 i) −2 · (−2x)4
2.26 Vereinfache bzw. berechne:
a) x3y4z5
x5y4z3b) am+n : am−n c) a3b5−a5b3
ab2−a2b
d) 8n+1 : 23n e) xy− y
xf) a2−4b2
a2+4ab+4b2: a−2ba+2b
g) (rs− 1)(rs+ 1) h) (a+ 5b)2 i) (ac− bd)2
2.27 Berechne 30 dm2 + 0,2 m2 + 130 cm2
2.28 Vereinfache bzw. berechne:
a) 65·154126·107 b)
√x · 4√x c)
3√
27a6c9
d)√xy5 ·
√x3y e) 3
√x2y4 · 3
√x5y2 f) 4
√x5y7 : 4
√xy3
2.29 Zwischen welchen ganzen Zahlen liegen die folgenden Großen?
a)√
43 b) 3√
43 c) 4√
43
2.6 Ubungen 49
2.30 Vereinfache:
a) 1+xx6 − x2−1
x3 − 1x5 b) a
a2b2−4b4 −4b
a3b−4ab3
c) 3−x2
xn + 1xn−2 − 3x−2
xn+1 d) 3√ax3 + bx3 · 3
√(a+ b)2
2.31 Vereinfache:
a) 4
√12
:√
12
b)3√a2 ·√a · 6√a5 c) z2
√z
z4√z3
d)
√3√x
5√
4√xe) 3√
4 :√
2 f)3√a5b
3√ab2
2.32 Vereinfache:
√18 +
√50 =
3√
16 +3√
128− 63√
2 =
21/3 − 161/3 + 541/3 =√
120a− 2√
270a− 5√
30a =
2.33 Vor der Einfuhrung von G8 gab es am Ende von Klasse 10 Zentrale Klassen-arbeiten in den Hauptfachern. Die folgenden Aufgaben sind diesen Prufungenentnommen.
![BEMERKUNGEN ZU GRIECHISCHEN HISTORIKERN · 2010. 5. 26. · Bemerkungen zu griechisohen Historikern 217 ldjnnen, vielmehr sei langen Wirren in jenem Ja]lre der Sieg del' peloponnesischen](https://static.unterlagen.site/doc/80x56/60b09d00b3737879a95fa465/bemerkungen-zu-griechischen-2010-5-26-bemerkungen-zu-griechisohen-historikern.jpg)
