Mechanik Nadine Bär, Barbara Kurz Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: Das Thema Mechanik in einem Proseminar der Mathematik erscheint uns zunächst ein wenig befremdlich. Denn physikalisch gesehen geht es bei unserem Thema darum, aus der bereits bekannten wirkenden Kraft die Lage des Massepunktes zu bestimmen. Mathematisch gesehen möchte man jedoch eine Funktion x (t) als Lösung zu einer Diffe- rentialgleichung und bestimmmten Anfangsbedingungen finden. Und genau hier beginnt der mathematische Teil der Mechanik. Durch mathematische Methoden wie z.B. Integration oder Trennung der Veränderlichen können wir die Differentialgleichungen lösen, die alle auf die Ursprungsgleichung K = m¨ x zurückgehen.
Transcript
Mechanik
Nadine Bär, Barbara Kurz
Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis(Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter)
Zusammenfassung: Das Thema Mechanik in einem Proseminar der Mathematik erscheintuns zunächst ein wenig befremdlich. Denn physikalisch gesehen geht es bei unserem Themadarum, aus der bereits bekannten wirkenden Kraft die Lage des Massepunktes zu bestimmen.Mathematisch gesehen möchte man jedoch eine Funktion x (t) als Lösung zu einer Diffe-rentialgleichung und bestimmmten Anfangsbedingungen finden. Und genau hier beginnt dermathematische Teil der Mechanik. Durch mathematische Methoden wie z.B. Integration oderTrennung der Veränderlichen können wir die Differentialgleichungen lösen, die alle auf dieUrsprungsgleichung K = mx zurückgehen.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 4
2 Der freie Fall 52.1 Der freie Fall ohne Berücksichtigung der Luftreibung . . . . . . . . . . 52.2 Der freie Fall mit Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Wir betrachten drei Gebiete aus der Mechanik. Zunächst einmal die Dynamik, diedie Bewegungen von Massepunkten aufgrund verschiedener Kräfteeinwirkungen be-schreibt. Man nennt dies auch die Kinematik. Als zweites Gebiet beschäftigen wir unsmit der elastischen Schwingung und geben dann noch in einem dritten Teil einen kur-zen Einblick in den Begriff der Arbeit.Die bearbeiteten Themenbereiche der Mechanik können wir in unserem alltäglichenLeben entdecken. Zum Beispiel gleicht der Fall eines Fallschirmspringers einem freienFall mit Luftreibung. Außerdem erzeugt eine Kugelstoßerin, die ihre Kugel in einer be-stimmten Flugbahn wirft, einen schiefen Wurf. Oder die Rakete, die uns Beispiele gleichfür mehrere Anwendungen aus der Mechanik gibt. Wir sehen also, dass die Mechanik invielen Bereichen große Bedeutung hat und sie uns manchmal begegnet, ohne dass wiruns dessen bewusst sind. So ist auch das schwingende Pendel des Kirchhoff-Institutsder Physik ein anschauliches Beispiel für eine Bewegung auf einer vorgegebenen Kurvebzw. eine elastische Schwingung.Da die Newtonschen Gesetze die Grundlage für unsere Rechnungen sind, möchten wirsie hier kurz angeben.Das erste Gesetz ist das Trägheitsprinzip, das besagt, dass jeder Körper in seinemZustand der Ruhe oder gleichförmigen Bewegung verharrt, wenn er nicht durch ein-wirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern. Das bedeutet, dass derImpuls
p = mv
konstant bleibt, wobei m die Masse des Körpers ist und v seine Geschwindigkeit.Die Hauptgrundlage für unser Thema ist das zweite Newtonsche Gesetz. Es besagt,dass die Beschleunigung proportional zur Einwirkung der bewegenden Kraft ist. Dasheißt also
F = mx
Dass die Wirkung gleich der Gegenwirkung ist oder anders ausgedrückt, die Wirkungenzweier Körper aufeinander stets gleich und von entgegengesetzter Richtung sind, liefertdas dritte Newtonsche Gesetz. Es gilt daher „actio“ gleich „reactio“.
Für das zweite Newtonsche Gesetz können wir als Beispiel die uns aus Messungenvon vornherein bekannte Schwerkraft G betrachten. In Richtung einer Kurve (sieheAbbildung (1.1)) lautet sie
G = mg cosα (1.1)
Wir sehen hier eine Problemstellung der Mechanik. Wir kennen die auf den Masse-punkt wirkende Kraft und wollen aber die Lage des Massepunktes als Funktion derZeit t bestimmen.
4
Abbildung 1.1: Schwerkraft in Richtung der Kurve
2 Der freie Fall
2.1 Der freie Fall ohne Berücksichtigung der Luftreibung
Im freien Fall ohne Berücksichtigung der Luftreibung unterliegt der fallende Körper,der als Massepunkt beschrieben wird, dem Galileischen Fallgesetz. Die einzige Kraft,die dabei auf ihn wirkt, ist die Schwerkraft. Diese beschleunigt den Körper senkrechtzum Erdmittelpunkt und ist proportional zur Masse des Körpers. Sie ist durch dieErdbeschleunigung g = 9, 81m
s2, die für alle Köper gleich ist, und die Masse des Körpers
gegeben. Somit gilt für die Schwerkraft eines frei fallenden Körpers die Gleichung (1.1),wobei α = 0, da der Körper senkrecht auf die Erdoberfläche fällt, und damit cosα = 1ist.
mg = mx (2.1)
Es ergibt sich nun für die Beschleunigung des Körpers:
g = x (2.2)
Wir nehmen an, dass die Anfangsposition zur Zeit t = 0 des Körpers senkrecht zumErdmittelpunkt liegt und die Anfangsgeschwindigkeit v0(t) = 0 ist. Durch zweimalige
5
Integration kann die Lage des Körpers x zum Zeitpunkt t bestimmt werden.
x = g
⇒ x(t) =
∫x(t) dt = gt+ c1 mit c1 = x(0) = v0
⇔ v(t) = x(t) = gt+ v0 (2.3)
⇒ x(t) =
∫x(t) dt =
1
2gt2 + v0t+ c2 wobei c2 = x0 = 0
⇔ x(t) =1
2gt2 + v0t (2.4)
Durch die Gleichung (2.4) ist somit das Weg-Zeit-Gesetz frei fallender Körper gegeben.
2.2 Der freie Fall mit Reibung
Es gibt verschiedene Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen. Z.B. kann mandurch die Trennung der Veränderlichen oder die Variation der Konstanten auf die Lö-sung der Differentialgleichung stoßen. Im Folgenden möchten wir anhand des freienFalls mit Reibung die Methode der „Trennung der Veränderlichen“ vorstellen.
VoraussetzungenFällt ein Massepunkt im freien Fall auf der vertikalen x-Achse, so liefert das zweiteNewtonsche Gesetz die Differentialgleichung:
F = mx (2.5)
Tritt Reibungskraft auf, so wirkt diese entgegengesetzt der Schwerkraft. Als physikali-sche Annahmen gelten dann:
(a) Reibungskraft ∼ Geschwindigkeit, wenn die Geschwindigkeit nicht zu groß ist.Die Reibungskraft ist gegeben durch: −rx
(b) Reibungskraft ∼ Quadrat der Geschwindigkeit bei hoher Geschwindigkeit.Die Reibungskraft ist gegeben durch: −rx2
r ist der Proportionalitätsfaktor, der von der Art der Umgebung und der Gestalt desKörpers abhängt. Die Reibungskraft erfährt ein Körper bei der Bewegung durch eineflüssige oder gasförmige Umgebung. Da die Reibungskraft entgegengesetzt der Schwer-kraft wirkt, trägt sie ein negatives Vorzeichen.Wir wollen nun die Lage des Massepunktes durch eine der angesprochenen Methodenherausfinden. Zur Lösung unserer Aufgabe gehen wir folgendermaßen vor.
Methode: Trennung der VeränderlichenNach dem zweiten Newtonschen Gesetz gilt (2.1). Wir legen das Koordinatensystem so,dass die x-Achse vom Erdmittelpunkt weg zeigt und erhalten (2.1) deshalb in folgenderForm:
mx = −mg (2.6)
6
Wenn x = v(t) die gesuchte Funktion ist, dann folgt: x(t) = v(t).
Daraus ergibt sich für den freien Fall mit Reibung:
(a) mv = mg − rv ⇒ dvdt
= g − rmv
(b) mv = mg − rx2 ⇒ dvdt
= g − rmv2
Um die Lage des Massepunktes letztendlich zu bestimmen, müssen wir t als Funktionvon v betrachten und nicht mehr v als Funktion von t. Wir benutzen nun die Methodeder Trennung der Veränderlichen, indem wir alle t und v auf je eine Seite bringen.
(a) dvdt
= 1g− r
mv
⇔ dt = 1g− r
mvdv
(b) dvdt
= 1g− r
mv2
⇔ dt = 1g− r
mv2dv
Durch Integration erhalten wir(a)
t(v) = −mr
log(1− r
mgv) + t0
⇔ t− t0 = −mr
log(1− r
mgv)
⇔ (t− t0)(− r
m
)= log(1− r
mgv)
⇔ e(t−t0)(− rm) = 1− r
mgv
⇔ e(t−t0)(− rm) − 1 = − r
mgv
⇔ v(t) = −mgr
(e(t−t0)(− rm) − 1) = −mg
re(t−t0)(− r
m) +mg
r(2.7)
(b) Sei z :=√
mrg.
t(v) = −1
2z log
zg − vzg + v
+ t0
⇔ v(t) = −gz e−2(t−t0)
z − 1
e−2(t−t0)
z + 1(2.8)
t0 ist hier unsere Integrationskonstante, die durch vorgegebene Anfangsdaten festgelegtwerden muss.
Bemerkung 2.1 Aus (2.7) und (2.8) ist erkennbar, dass die Geschwindigkeit mit derZeit nicht über alle Grenzen wächst, sondern sich einem bestimmten von der Masse mabhängigen Wert annähert.
7
(a) limt→∞ v(t) = mgr
(b) limt→∞ v(t) =√
mgr
Durch nochmalige Integration von v(t) erhält man die Funktion x(t), die uns die Lagedes Massepunktes gibt.
(a) x(t) = m2
r2ge(t−t0)(− r
m) + mgrt+ c
(b) x(t) = mr
log cosh√
rgm
(t− t0) + c
Die Integrationskonstanten c und t0 lassen sich durch Angabe der Anfangslage x(0) = x0
und der Anfangsgeschwindigkeit x(0) = v(0) = v0 des fallenden Massepunktes bestim-men.Wir haben nun unsere Frage nach der Lage des Massepunktes m beanwortet.
Abbildung 2.1: Freier Fall mit und ohne Reibung
3 Der Wurf
Um den Wurf eines Körpers der Masse m betrachten zu können, müssen bestimmteGrundkenntnisse vorhanden sein. Zum Einen muss das Rechnen mit den Winkelfunk-tionen sin und cos bekannt sein. Zum Anderen werden Kräfte und Geschwindigkeitenbestimmter Körper durch Vektoren dargestellt.
8
AnnahmeEin Körper der Masse m verlässt zum Zeitpunkt t = 0 den Nullpunkt eines xy-Koordinatensystems mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 unter dem Winkel ϕ, wobeigilt: 0 < ϕ ≤ π
2, wie in der Abbildung (3.1) dargestellt ist. Zum Zeitpunkt t befindet
sich der Körper im Punkt (x(t), y(t)). Die Kräfte, die dabei auf ihn wirken, können inhorizontale und vertikale Komponenten zerlegt werden:
Horizontale Kraftkomponente:
mx = 0⇒ x = 0 (3.1)
Daraus ergibt sich, dass keine Beschleunigung in x-Richtung vorliegt.
Vertikale Kraftkomponente (Schwerkraft):
my = −gm⇒ y = −g (3.2)
3.1 Anfangsgeschwindigkeit des Körpers
Die Anfangsgeschwindigkeit wirkt aufgrund der verschiedenen Beschleunigung in x-und y-Richtung unterschiedlich: In x-Richtung durch v0 cosϕ, in y-Richtung durchv0 sinϕ (siehe Abbildung 3.1).
Abbildung 3.1: Anfangsgeschwindigkeit
Um die Lage des Körpers in Abhängigkeit von einer bestimmten Zeitdauer t eindeutigbestimmen zu können, werden ihre jeweiligen Beschleunigungen zwei Mal hintereinan-der nach t integriert.
In x-Richtung:
x(t) =
∫0 dt = v0 cosϕ
⇒ x(t) =
∫v0 cosϕ dt = (v0 cosϕ)t (3.3)
9
In y-Richtung:
y(t) =
∫−g dt = v0 sinϕ− gt
⇒ y(t) =
∫(v0 sinϕ− gt) dt = (v0 sinϕ)t− 1
2gt2 (3.4)
3.2 Steighöhe des Körpers
Unter der Steighöhe h eines fliegenden Körpers versteht man die maximal erreichbareFlughöhe des Körpers. Daher muss das Maximum von y(t) berechnet werden. Mannennt den Zeitpunkt, an dem das Maximum erreicht wird th. Dieser muss explizitberechnet werden, um die Steighöhe angeben zu können:
y(th) = v0 sinϕ− gth = 0 ⇔ th =v0 sinϕ
g(3.5)
Das berechnete th wird nun in y(t) eingesetzt, um die Steighöhe des Körpers anzugeben:
y(th) =(v0 sinϕ)th −1
2gt2h
=(v0 sinϕ)v0 sinϕ
g− 1
2gv2
0(sinϕ)2
g2
=v2
0(sinϕ)2
g− v2
0(sinϕ)2
2g
=v2
0(sinϕ)2
2g= h (3.6)
3.3 Gesamte Wurfzeit des Körpers
Die gesamte Wurfzeit tw des Körpers ergibt sich aus der Zeitdauer, nach der der Körperwieder seine Anfangshöhe, also y(t) = 0, erreicht:
y(tw) = 0
⇔ (v0 sinϕ)tw −1
2gt2w = 0
⇔ (v0 sinϕ)− 1
2gtw = 0
⇔ tw =2v0 sinϕ
g(3.7)
3.4 Wurfweite des Körpers
Die Wurfweite w eines geworfenen Körpers beschreibt den in der Zeit tw zurückgelegtenWeg x(tw):
w := x(tw) = (v0 cosϕ)2v0 sinϕ
g(3.8)
10
Bemerkung 3.1 Es gilt:
sin(ϕ1 + ϕ2) = sinϕ1 cosϕ2 + sinϕ2 cosϕ1 (3.9)
In diesem Fall folgt aus Bemerkung (3.1), wobei ϕ1 = ϕ2 gilt:
x(tw) = 2 cosϕ sinϕv2
0
g=v2
0 sin(2ϕ)
g= w (3.10)
Da die Wurfweite eindeutig vom Wurfwinkel abhängt, wird nun der optimale Wurfwin-kel zum Erreichen der größten Wurfweite berechnet. Dies wird durch das Nullsetzender nach dem Winkel ϕ abgeleiteten Wurfweite gewährleistet:
w(ϕ) = (2v2
0
g) cos(2ϕ) = 0 (3.11)
⇔ cos(2ϕ) = 0 (3.12)
Es folgt wegen 0 < ϕ ≤ π2, dass nur für ϕ = π
4die Gleichung (3.12) erfüllt ist. Somit
lässt sich eindeutig sagen, dass für ϕ = π4die größte Wurfweite erreicht wird.
3.5 Wurfbahn des Körpers
Für die Wurfbahn eines Körpers kann nun festgehalten werden, dass für ϕ = π2die
Wurfbahn eine Gerade ist (senkrechter Wurf), die senkrecht zur Erde steht. Ein schieferWurf entsteht für ϕ 6= π
2, da cos(ϕ) 6= 0 gilt. Um die Flugbahn des Körpers beschreiben
zu können, muss x(t) nach der Flugzeit t aufgelöst und anschließend in y(t) eingesetztwerden:
x(t) = (v0 cosϕ)t ⇔ t =x(t)
v0 cosϕ(3.13)
Setze t in y(t):
y(t) = (v0 sinϕ)x(t)
v0 cosϕ− 1
2g(
x(t)
v0 cosϕ)2
⇔ y(t) =sinϕ
cosϕx(t)− g
2v20(cosϕ)2
x(t)2 (3.14)
Es ergibt sich nun, dass der Körper den nicht-negativen Teil einer nach unten geöff-neten quadratischen Parabel durchläuft, die um den Wert der Steighöhe h nach obenverschoben wurde. Siehe Abbildung (3.2).
Abbildung 3.2: Wurfkurve eines schiefen Wurfes
11
Zum Beweis, dass die Gleichung aus (3.14) unserer schiefen Wurfbahn entspricht, über-prüfen wir nun, ob beim Gleichsetzen von y(t) = 0 und Auflösen von y(t) nach x dieWurfweite w entsteht.Beweis:
y(t) = 0
⇔ sinϕ
cosϕx(t)− g
2v20(cosϕ)2
x(t)2 = 0
⇔ g
2v20(cosϕ)2
x(t) =sinϕ
cosϕ
⇔ x(t) =(2 sinϕ cosϕ)v2
0
g
⇔ x(t) =v2
0 sin(2ϕ)
g= w (3.15)
q.e.d.
4 Die Rakete
4.1 Raketenantrieb
Dass eine Rakete durch den Ausstoß von Verbrennungsgasen angetrieben werden kann,ist begründet durch den Impulserhaltungssatz von Newton.
ImpulserhaltungssatzBewegen sich zwei Massen m1 und m2 mit den Geschwindigkeiten v1 und v2 längs derx-Achse ohne äußere Kräfte auf das System, so bleibt die Summe m1v1 +m2v2 der Im-pulse mjvj konstant. Einem Impulsgewinn steht also stets ein Impulsverlust gegenüber.
Was uns zunächst interessiert, ist die Grundgleichung der freien Raketenbewegung (alsoohne äußere Kräfte), bevor wir, ausgehend von dieser Gleichung, die Brennschlussge-schwindigkeit sowie die Brennschlusshöhe einer Rakete berechnen wollen.Hierzu nehmen wir an, dass sich die Rakete in Richtung der positiven x-Achse bewegt.Die Lage werde durch die Funktion x(t) beschrieben. Die Masse einschließlich demTreibstoff sei m(t). Die Geschwindigkeit der Rakete sei gegeben durch v(t). u(t) seidie Geschwindigkeit der Verbrennungsgase relativ zur Rakete und v(t) + u(t) sei dieGeschwindigkeit der Verbrennungsgase relativ zur x-Achse.
12
Abbildung 4.1: Raketen
Wir betrachten die Impulsänderung während einer sehr kleinen Zeitspanne ∆t:
m (t+ ∆t) v (t+ ∆t)−m (t) v (t)︸ ︷︷ ︸Impulsänderung der Rakete
= [m (t+ ∆t)−m (t)] [v (t) + u (t)]︸ ︷︷ ︸Impulsänderung des ausgestoßenen Gases
⇔ m (t+ ∆t) [v (t+ ∆t− v (t))] = [m (t+ ∆t)−m (t)]u (t)
⇔ m (t+ ∆t) 1∆t
[v (t+ t− v (t))] = 1∆t
[m (t+ ∆t)−m (t)]u (t)
Für ∆t→ 0 folgt dann die Grundgleichung der Raketenbewegung.
mx = mu (4.1)
mu ist dabei der Schub der Rakete.Treten noch äußere Kräft auf, so gilt:
mx = mu+Ka (4.2)
Mithilfe der Grundgleichung der Raketenbewegung können wir nun die Brennschluss-höhe und die Brennschlussgeschwindigkeit zur Zeit T = L
αberechnen, also genau zu
dem Zeitpunkt, an dem der gesamte Treibstoff verbraucht ist.Auch hier haben wir gewisse Annahmen zu treffen, bzw. die vorherigen zu spezifizieren.Wir gehen von einem Bewegungsbeginn bei t = 0 und einer Anfangslage x(0) = 0 aus.Die Anfangsgeschwindigkeit der Rakete sei x(0) = v(0) = 0. Die Startmasse sei gegebendurch m(0) = m0, wobei die Treibstoffe Masse L enthalten sei. Die Ausströmungsge-schwindigkeit u der Gase bleibe konstant −c. Mit α werde die Verbrennungsrate an-gegeben (α Masseeinheiten pro Zeiteinheit Verbrauch). Schließlich sei die Nettomasseder Rakete m1 = m0 − L.
13
Abbildung 4.2: Appollo 8
Der Treibstoffverbrauch nach der Zeit t wird also durch αt beschrieben. Im Fall desRaketenantriebs wirkt als äußere Kraft die Schwerkraft. Es folgt damit für die Grund-gleichung der Rakete:
mx = mu−mg (4.3)
Wir lösen die Differentialgleichung (4.3) nach x auf und erhalten damit eine Funktionzur Bestimmung der Geschwindigkeit v zum Zeitpunkt t.
x = −cmm− g = −c d
dtlog (m)− g = v
Durch Integration folgt:
v (t) = −c log (m)− gt+ C für t ∈ [0, T ] (4.4)
Setzt man nun t = 0 erhält man für die Integrationskonstante:
C = c logm0
Eingesetzt in (4.4) liefert dies uns die Funktion der Geschwindigkeit v:
v (t) = c logm0
m (t)− gt = c log
m0
m0 − αt− gt (4.5)
14
Wenn wir in (4.5) tmit der Brennschlusszeit T = Lαersetzen, erhalten wir die Gleichung
der Brennschlussgeschwindigkeit:
v (T ) = c log
(m0
m1
)− gL
α(4.6)
Um die Brennschlusshöhe auszurechnen, müssen wir noch (4.5) integrieren.
v (t) = x (t) = c logm0
m0 − αt− gt = −c log
m0 − αtm0
− gt
Durch Integration folgt:
x (t) = cm0 − αt
α
[log
m0 − αtm0
− 1
]− 1
2gt2 + C (4.7)
Erneut bestimmen wir die Integrationskonstante C, indem wir t = 0 setzen.
C = cm0
α
Daraus folgt dann für (4.7):
x (t) = c logm0 − αt
αlog
m0 − αtm0
− 1
2gt2 + ct (4.8)
Wir erhalten nun auch die Brennschlusshöhe, wenn wir mit t die BrennschlusszeitT = L
αidentifizieren.
x (T ) = cm1
αlog
(m1
m0
)− 1
2gL2
α2+ c
L
α(4.9)
4.2 Fluchtgeschwindigkeit
Wir betrachten nun die Bewegung der Rakete, nachdem sie ihre Brennschlusshöhe undBrennschlussgeschwindigkeit erreicht hat. Das bedeutet, es handelt sich um den an-triebslosen Aufstieg der Rakete.Die Brennschlusshöhe x (t) sei unsere Anfangshöhe x0. Ebenso sei die Brennschluss-geschwindigkeit v (t) unsere Anfangsgeschwindigkeit v0. Bei kleinen x0 und v0 liegtweiterhin die Erdanziehung, also die Schwerkraft Ka, zugrunde. Die Rakete unterliegtdamit den Gesetzen des vertikalen Wurfes (ϕ = π
2). Mit wachsender Entfernung von
der Erde vermindert sich die an der Rakete angreifende Schwerkraft Ka sehr rasch.
Nach dem Newtonschen Kraftgesetz gilt nämlich:
Ka =−γm1
x2, (4.10)
15
wobei γ eine positive Konstante, x der Abstand zum Erdmittelpunkt und m1 die Net-tomasse der Rakete ist.Den Nullpunkt der x-Achse verlegen wir in die Erdmitte.
Wir nehmen nun an, dass in der Höhe x1 = R + x0 (R ist der Erdradius) noch dieSchwerkraft −m1g wirkt.
⇒ γm1
x21
= m1g und somit γ = gx21 (4.11)
Nach dem Newtonschen Kraftgesetz gilt dann also:
m1x = −gx21m1
x2
⇔ x = −gx21
x2
·2x⇔ 2xx = −2gx21
x
x2
⇔ d
dt
(x2)
=d
dt
(2gx2
1
1
x
)(4.12)
Durch Integration und da x = v folgt
v2 = 2gx21
1
x+ C (4.13)
Aus x (0) = x1 und v (0) = v0 ergibt sich für die Integrationskonstante C:
C = v20 − 2gx1 (4.14)
Setzen wir nun (4.14) in (4.13) ein, erhalten wir die Funktion, die wir dann zurBerechnung der Fluchtgeschwindigkeit betrachten werden.
v2 = v20 − 2gx2
1 +2gx2
1
x(4.15)
Wenn wir davon ausgehen, dass v20−2gx1 < 0 ist, dann hört die Rakete nach Erreichen
der Höhe x2 =2gx2
1
2gx1−v20auf zu steigen und beginnt zur Erde zurückzufallen.
Wenn nun aber v20 − 2gx1 ≥ 0 folgt immer v > 0. Die Rakete steigt immer weiter und
bricht schließlich aus dem Schwerefeld der Erde aus.
Die kleinste Brennschlussgeschwindigkeit, bei der die Rakete ausbricht ergibt sich, wenn
v20 − 2gx1 = 0
Dann erhalten wir nämlichv0 =
√2gx1 (4.16)
als Formel für die Fluchtgeschwindigkeit der Rakete.
Setzt man x1 gleich dem Erdradius R = 6, 37 · 106m, berechnet sich durch Einsetzenin (4.16) eine Fluchtgeschwindigkeit von ca. 11, 18km/s.
16
5 Die einfache elastische Schwingung
Eine elastische Schwingung bezeichnet die Bewegung eines Körpers, der in Richtungder x-Achse beweglich, jedoch durch eine elastische Kraft an den Nullpunkt gebundenist. Diese elastische Kraft ist somit stets auf den Nullpunkt gerichtet und ihre Größeist proportional zum Abstand vom Nullpunkt. Für sie gilt:
F = −kx
Der Koeffizient k entspricht dabei dem Maß der elastischen Bindung und ist eine po-sitive Konstante. Daraus folgt für die Kraft, dass sie positiv ist, falls x negativ, undnegativ, falls x positiv ist. Es gilt nach der Newtonschen Kraftgleichung:
mx = −kx (5.1)
Sei nun die Anfangszeit t = 0, der Anfangsort x(0) = x0 und die Anfangsgeschwindig-keit x(0) = v0 festgelegt, so kann man mathematisch die Lage des Körpers zur Zeit taus der allgemeinen Kraftgleichung bestimmen:
mx = −kx
⇔ x = −kxm
·2x⇔ d(x2)
dt= − k
m
d(x2)
dt∫dt⇔
∫d(x2)
dtdt = − k
m
∫d(x2)
dtdt (5.2)
Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, folgt:
x+ cα = − km
(x2 + cβ) (5.3)
Zur Vereinfachung werden an dieser Stelle die beiden Integrationskonstanten weggelas-sen.
x2 = − kmx2
√⇔ x = ±
√− kmx (5.4)
An dieser Stelle ist es nützlich die Frequenz der Schwingung, bzw. die Geschwindigkeitder Wiederholung der periodischen Bewegung, ω =
x(t) besteht nun aus einem Realteil (c1 cosωt) und einem Imaginärteil (c1 sinωt). Umzu zeigen, dass beides Lösungen für x(t) sind, muss bewiesen werden, dass die Lösungenvoneinander linear unabhängig sind.
Beweis für die lineare Unabhängigkeit der Lösungen: Für die lineare Unabhängigkeitzweier Funktionen g, f muss gelten:
f g − gf 6= 0 (5.10)
Es folgt für f = c1 cosωt und g = c1 sinωt:
f g − gf =− c1ω sin2 ωt− c1ω cos2 ωt
=− c1ω(sin2 ωt+ cos2 ωt) = −c1ω · 1 6= 0 (5.11)
Da c1 und ω Konstanten ungleich Null sind, folgt, dass die beiden Lösungen linearunabhängig voneinander sind.q.e.d.
Die allgemeine Lösung der Gleichung von x(t) ist nun die beliebige Linearkombina-tion aus den speziellen Lösungen (Realteil, Imaginärteil):
x(t) = c1 cosωt+ c2 sinωt (5.12)
Um direkt aus der Gleichung von x(t) die Zeiteinheit (δ) bis zum ersten Nulldurch-gang der elastischen Schwingung und ihre Maximalamplitude (a), d.h. den maximalen
18
Ausschlag der Schwingung, ablesen zu können, muss x(t) in folgende Form gebrachtwerden:
x(t) = a sinω(t− δ) (5.13)
Die folgenden Rechenschritte sollen beweisen, dass x(t) = asin(ω(t− δ)) ist:
Setzt man nun δ = t in x(t) = a sinω(t− δ), so folgt:
x(t) = a sinω(t− t) = a sin 0 = 0 (5.15)
Es ist somit bewiesen, dass der erste Nulldurchgang bei δ = t liegt.
Nun ist δ explizit zu berechnen. Dies wird gewährleistet, indem die beiden Gleichun-gen c2 = a cosωδ und c1 = −a sinωδ miteinander in Bezug gebracht werden, da nur indiesen δ enthalten ist. Es ist dabei zu beachten, dass die Amplitude aus der Gleichungentfällt:
− sinωδ
cosωδ=c1
c2
(5.16)
⇔ − tanωδ =c1
c2
⇔ − ωδ = arctanc1
c2
⇔ δ = − 1
ωarctan
c1
c2
(5.17)
Zuletzt ist die Amplitude a in Abhängigkeit von den Kontanten c1 und c2 darzustellen,da nur diese für die Brechnung von a relevant sind. Dies gelingt durch die Gleichsetzungvon a =
√c2
1 + c22.
Beweis:
a =√c2
1 + c22 ⇔ a2 =c2
1 + c22 (5.18)
=(−a sinωδ)2 + (a cosωδ)2
=a2 sinωδ2 + cosωδ2
=a2 · 1 (5.19)
q.e.d.
19
Im Allgemeinen werden diese einfachen elastischen Schwingungen auch „Reine Sinus-bzw. Kosinusschwingungen“ genannt. Da die Funktionen sinωt und cosωt die PeriodeT besitzen, kehrt nämlich jeder Zustand x(t) und x(t) nach der Zeitdauer T = 2π
ω
wieder.
6 Die allgemeine Bewegung auf einer vorgegebenen Kurve
Es gibt viele Bewegungen in der Natur, die den Verlauf einer Kurve beschreiben. Oftist bekannt, welche Kraft wirkt, die den Verlauf der Kurve beeinflusst. Wir wollen hierzeigen, wie sich die Lage des Massepunktes mithilfe der aus der elastischen Schwingungbekannten Differentialgleichung
s = −ω2s2 (6.1)
berechnen lässt. Wir benutzen jetzt s als Ortskoordinate, da es sich hierbei um eineKurve handelt.
Wir definieren zunächst:s = f(s) (6.2)
sowieF ′ (s) = f (s) (6.3)
F (s) ist also die Stammfunktion von f (s).Zunächst lösen wir die Differentialgleichung nach s auf, um dann die Zeit t als Funktionvon s zu betrachten.
Nach (6.2) folgt mit (6.3):
s = F ′ (s)⇔ ss = F ′ (s) s⇔ d
dt
(12s2)
= ddtF (s)
Durch die Integrationsmethode folgt:
1
2s2 = F (s) + c (6.4)
Die Integrationskonstante c bleibt noch zu bestimmen.Wir lösen (6.4) durch Trennung der Veränderlichen und Integration nach t auf. Es istalso:
s =ds
dt=√
2 (F (s) + c)
⇔ dt
ds=
1√2 (F (s) + c)
⇒ t =
∫ds√
2 (F (s) + c)+ c1 (6.5)
20
Wobei c1 unsere neue Integrationskonstante ist. Die Zeit ist nun als Funktion von sgegeben.
Aus (6.1) folgt für die Stammfunktion F (s) von f (s)
F (s) = −1
2ω2s2
Eingesetzt in (6.5) erhalten wir:
t =
∫ds√
2c− ω2s2+ c1 (6.6)
Um das Integral geschickt zu lösen, führen wir
y =ωs√2c
als neue Veränderliche ein. Wir berechnen (6.6) mithilfe einer Substitution.
y = ωs√2c
⇔ s =√
2syω
dyds
= ω√2c
⇔ ds =√
2sωdy
Eingesetzt in (6.6) folgt:
t =
∫ √2cω√
2c− ω2(√
2cyω
)dy + c1
=
∫ √2cω√
2c− 2cy2dy + c1
=
∫1
ω√
1− y2dy + c1
=1
ωarcsin y + c0
=1
ωarcsin
ωs√2
+ c0 (6.7)
Bilden wir nun die Umkehrfunktion von (6.7) erhalten wir s als Funktion der Zeit t.
s =
√2c
ωsinω (t− c0) (6.8)
21
Die Integrationskonstanten c und c0 lassen sich durch spezielle Anfangsbedingungenberechnen.Vergleichen wir (6.8) mit dem Ergebnis der Differentialgleichung der elastischen Schwin-gung in Kapitel 6
x (t) = a · sinω (t− c0)
sehen wir, dass die elastische Schwingung sozusagen ein Spezialfall der allgemeinenBewegung auf einer vorgegebenen Kurve ist.
7 Begriff der Arbeit
7.1 Erklärung des Begriffes
Die Voraussetzung für Arbeit ist die Bewegung eines Massepunktes unter Einfluss vonKraft auf einer Kurve.Ist die Größe der wirkenden Kraft konstant, ist die Arbeit definiert als
Arbeit = Kraft ·Weg
Abbildung 7.1: Arbeit bei konstanter Kraft
Ist die Kraft allerdings nicht konstant, ist die Arbeit durch das Integral
A =
∫ s1
s0
f (s) ds (7.1)
definiert.Ist die Kraftrichtung gleich der Bewegungsrichtung, so wird von der Kraft positiveArbeit geleistet.Ist die Kraftrichtung jedoch entgegengesetzt der Bewegungsrichtung, so wird die Arbeitnegativ. Man spricht dann von gewonnener Arbeit.
22
Abbildung 7.2: Arbeit bei nicht konstanter Kraft
Bei einem periodischen Vorgang (z.B. bei allen Maschinen) kehrt der Punkt (s(t), p(T ))(s(t), p(t) sind Funktionen der Zeit t als Parameter, außerdem ist p = f(s)) wieder anseinen Ursprung zurück. Es ergibt sich dann eine geschlossene Kurve. Diese verschiede-nen Abbildungen nennt man Arbeitsdiagramme. Die geleistete Arbeit wird durch denFlächeninhalt des Arbeitsdiagramms gegeben:
A =
∫ t0
t0+T
p (t)ds
dtdt
Wird ein Flächeninhalt negativ umlaufen, so entspricht ihm positive Arbeit. NegativeArbeit resultiert aus einem positivem Umlaufsinn.
Abbildung 7.3: Beispiel eines Arbeitsdiagrammes mit geschlossener Kurve
7.2 Beispiele für den Begriff der Arbeit
1. Beispiel: Die MassenanziehungBei dem Fall der Massenanziehung wirkt ein Massepunkt m1 auf einen anderen Mas-sepunkt m2, wie die Anziehung bei einem Proton und einem Elektron. Das bedeutet,dass hier die Arbeit der geleisteten Anziehungskraft des anziehenden Massepunktesm1, die auf den angezogenen Massepunkt m2 wirkt, betrachtet wird. Dabei unterliegtdie Anziehungskraft dem Newtonschen Anziehungsgesetz:„Die anziehenden Kräfte sind umgekehrt proportional zu dem Quadrat der Entfernungder beiden Massenpunkte zueinander.“
23
So gilt für die geleistete Anziehungskraft von m1 unter der Annahme, dass m1 im Null-punkt eines xy-Koordinatensystems ruht und m2 zum Anfang der Anziehung in derEntfernung r zu m1 frei beweglich liegt:
f(r) = −µ 1
r2(7.2)
Für die Gravitationskonstante µ gilt:
µ = m1m2 · 6, 672 · 10−11 m3
kg s2(7.3)
Daraus ergibt sich, dass die Gravitationskonstante immer positiv ist.Nun werden zwei unterschiedliche Fälle betrachtet:
1. Fall: Anziehung ohne WiderstandHierbei handelt es sich um eine Anziehung des Massepunktes m2, ohne dass dieser ei-ne eigene Anziehungkraft besitzt oder von einem anderen Massepunkt angezogen undsomit aus dem Anziehungsbereich des Massepunktes m1 gezogen wird. m2 wird daherimmer weiter zu m1 gezogen, was zu einer Verringerung der ursprünglichen Entfernungr führt. Nun sei die Endlage beschrieben mit r1. So ergibt sich für die geleistete Arbeit:
−µ∫ r1
r
1
s2ds = µ(
1
r1
− 1
r) > 0 (7.4)
Da das Ergebnis größer Null ist, wird von m1 Arbeit geleistet.
2. Fall: Anziehung mit WiderstandMan spricht von einer Anziehung mit Widerstand, wenn die Anziehung von m1 auf m2
gestört wird durch eine andere Anziehung, und m2 sich somit immer weiter aus demAnziehungsbereich von m1 entfernt. Aufgrund dieser Entfernung ist r < r1. Es ergibtsich für die Arbeit:
−µ∫ r1
r
1
s2ds = −µ(
1
r1
− 1
r) < 0 (7.5)
Da nun das Ergenbis kleiner Null ist, bedeutet dies, dass Arbeit frei wird, und somitder von der Gegenkraft geleisteten Arbeit µ(1
r− 1
r1) > 0 entspricht.
Aus dem 2. Fall kann nun das Potenzial der beiden Massepunkte aufeinander aus-gerechnet werden. Das Potenzial ist definiert als die Arbeit, die von der Gegenkraftgeleistet werden muss, um m2 aus dem Anziehungsbereich von m1 vollständig zu ent-fernen. Daraus resultiert, dass die Entfernung r1 unendlich groß wird. Es wird dieArbeit der Gegenkraft angegeben:
limr1→∞
µ(1
r− 1
r1
) =µ
r(7.6)
Ein praktisches Beispiel hierzu ist die Ionisierungsarbeit (bezogen auf das Elektron),die benötigt wird um ein Elektron aus einem Atomverband zu lösen.
24
2. Beispiel: Das Spannen einer FederBeim Spannen einer Feder kann man ebenfalls von verrichteter Arbeit sprechen.Sei x die Länge der Feder, so ist die erforderliche Kraft zur Federspannung proportionalzur hervorgerufenen Vergrößerung der Federlänge x. Die Kraft p kann nun beschriebenwerden durch:
p = kx (7.7)
wobei k die Federkonstante ist.Beschreibe nun x = 0 die Ruhelage und x = x1 die Endlänge der gedehnten Feder, soentspricht die Spannarbeit: ∫ x1
0
kx dx =kx2
1
2(7.8)
8 Resümee
Bei der Erarbeitung unseres Themas bemerkten wir, dass Mechanik, die man eigentlichdoch mehr der Physik zuordnet, einen durchaus mathematischen Hintergrund besitzt.Wir haben erfahren, wie die Ableitungen abhängig von der Zeit uns zu unserem jeweili-gen Ziel, zumeist der Lage eines Massepunktes, führten. Überaschend war hierbei, dasstrotz der großen Vielfalt in der Mechanik, der Basisgedanke auf den drei NewtonschenGesetzten beruht. Die Raketenbewegung zum Beispiel ist nach ihrer Brennschlusshöhewie ein vertikaler Wurf zu betrachten. Diese Zusammenhänge zu entdecken war sehrinteressant. Ebenso erstaunlich war es zu sehen, dass Arbeit einfach durch das Integralder Kraft in Abhängigkeit der veränderlichen Variablen beschrieben wird.Es lässt sich feststellen, dass viele Errungenschaften der modernen Technik mit denKenntnissen der Mechanik erfunden wurden. Wir möchten den Leser also auffordern,die Augen auch im Alltag zu öffnen und dort die Mechanik wiederzufinden.
Literatur
[1] Bartelmann, Matthias, Theoretische Physik I. Punktmechanik und mathema-tische Methoden, Heidelberg, 2007.
[2] Courant, Richard, Vorlesungen über Differential− und Integralrechnung I. Funk-tionen einer Veränderlichen, Berlin − Göttingen − Heidelberg, 31955.
[3] Heuser, Harro, Lehrbuch der Analysis I, Stuttgart − Leipzig − Wiesbaden,142001.
AbbildungsverzeichnisAbb. 1.1: Daniel WunderlichAbb. 2.1: http:\\www.schule-bw.de/unterricht/faecher/physik/online_material/mechanik2/bewegung/fall_mit_luft.htmAbb. 3.1: Heuser, Harro, Lehrbuch der Analysis I, Stuttgart − Leipzig −Wiesbaden,
25
142001, S. 328 verändert.Abb. 3.1: Heuser, Harro, Lehrbuch der Analysis I, Stuttgart − Leipzig −Wiesbaden,142001, S. 328.Abb. 4.1: http:\\www.chemgapedia.de/vsengine/media/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/dynamik/kap2_kraft/bilder/raketen.gifAbb. 4.2: http:\\de.wikipedia.org/wiki/Bild:Apollo_8_Liftoff.jpgAbb. 7.1: EigenproduktionAbb. 7.2: Eigenproduktion
