SchrödingergleichungFreies Teilchen, Dispersion

WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 4. Vorlesung

Die Schrödingergleichung wurde 1926 von Erwin Schrödinger aufgestellt.Für seine Arbeiten zur Quantenmechanik erhielt er 1933 den Nobelpreis.

SchrödingergleichungDie Schrödingergleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion

zeitliche Änderung Hamiltonoperator oder „Energieoperator“

Die Schrödingergleichung kann nicht hergeleitet werden(genauso wie Newtonsche Bewegungsgleichung, Maxwellgleichungen, …)

Zur Lösung der Schrödingergleichung benötigt man den Anfangswert Y(x,0) Die Wellenfunktion ist eine reine Hilfsgröße Die Wellenfunktion muss interpretiert werden (Wahrscheinlichkeitsinterpretation) Die Wellenfunktion ist normiert Das Betragsquadrat der Wellenfunktion liefert die Wahrscheinlichkeitsdichte

Was ist ein „Potential“ V(x) ?Arbeit, die man verrichten muss, um eine Masse mim Schwerefeld der Erde verschieben

Potentielle Energie, die bzgl. eines Referenzpunktesr0 (meist im Undendlichen) gemessen wird

Kraft, die auf Teilchen wirkt, erhält man aus derÄnderung von V

Bemerkung :Potential versus potentielle Energie

Potential = potentielle Energie pro Einheitsmasse … GravitationPotential = potentielle Energie pro Einheitsladung … Elektrostatik

i.F. werden wir den Begriff Potential oft an Stelle von potentieller Energie verwenden !!!

Bestimmen Sie die Potentiale für V( x, t )

Freies Teilchen Teilchen im Schwerefeld Teilchen an Feder (Federkraft k) am Ruheort x0 Teilchen an Feder (Federkraft k) am Ruheort x0 , das mit

periodischer Kraft F0 cos( w t ) angetrieben wird

Potentiale

Freies TeilchenFür das freie Teilchen gilt V=0, die Wellenfunktion ist gegeben durch

de-Broglie Impuls

Beweis (Einsetzen in Schrödingergleichung)

Freies TeilchenAllgemeine Wellenfunktion des freien Teilchens kann man durch Fourierzerlegunggewinnen

Jede Partialwelle hat eine harmonische Zeitabhängigkeit

Dispersionsrelation beschreibt Zusammenhang zwischen Frequenz und Wellenlänge

Zeitentwicklung einer Welle

Monochromatische Welle

Wellenpaket

Zeitentwicklung wird durch Phasenentwicklung bestimmt !

Zeitentwicklung einer Lichtwelle

Dispersion einer Lichtwelle in Vakuum

Zeitentwicklung einer Lichtwelle in Vakuum

Welle bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit c entlang der x-Richtung,ändert aber nicht ihre Form

Lichtpropagation mit v = c

Zeit : 0

Ort

Wel

lenz

ahl

-5 0 5 10 15-1

0

1

2

3

Lichtpuls in Vakuum

Lichtpropagation mit v = c

Zeit : 2

Ort

Wel

lenz

ahl

-5 0 5 10 15-1

0

1

2

3

Lichtpuls in Vakuum

Lichtpropagation mit v = c

Zeit : 10

Ort

Wel

lenz

ahl

-5 0 5 10 15-1

0

1

2

3

Lichtpuls in Vakuum

Unterschiedliche Phasengeschwindigkeit … Brechung

Reflexions- und Brechungswinkel hängen nur von Phasengeschwindigkeit ab

Snelliussches Brechungsgesetz

Lichtdispersion v = c / n(w)

Zeit : 0

Ort

Wel

lenz

ahl

-5 0 5 10 15-1

0

1

2

3

Lichtpropagation mit v = c / n( w )

Lichtpuls in dispersivem Medium

Lichtpropagation mit v = c / n( w )

Zeit : 2

Ort

Wel

lenz

ahl

-5 0 5 10 15-1

0

1

2

3

Lichtpuls in dispersivem Medium

Zeit : 5

Ort

Wel

lenz

ahl

-5 0 5 10 15-1

0

1

2

3

Lichtpropagation mit v = c / n( w )

Lichtpuls in dispersivem Medium

Lichtpropagation mit v = c / n( w )

Zeit : 10

Ort

Wel

lenz

ahl

-5 0 5 10 15-1

0

1

2

3

Wellenpaket „läuft auseinander“

Lichtpuls in dispersivem Medium

LäuferInnenfeld„läuft auseinander“

Freies TeilchenAllgemeine Wellenfunktion des freien Teilchens kann man durch Fourierzerlegunggewinnen

Jede Partialwelle hat eine harmonische Zeitabhängigkeit

Propagation ähnlich wie elektromagnetische Welle in dispersivem Medium

Materiewelle

Bewegung eines Gaußschen Wellenpakets

Materiewelle

Bewegung eines Gaußschen Wellenpakets

Materiewelle

Bewegung eines Gaußschen Wellenpakets

Materiewelle

Bewegung eines Gaußschen Wellenpakets

Materiewelle

Durchlaufen von zwei Gaußschen Wellenpaketen

Materiewelle

Durchlaufen von zwei Gaußschen Wellenpaketen

Bose-Einstein-Kondensat

Rubidium-87 Atome bei Temperaturen unterhalb von ~170 nK

Bose-Einstein-Kondensat : Interferenz

Atomchip : Schmiedmayer TU Wien

Atomwellenfunktion wird räumlich getrennt, danach fallen Atome im Schwerefeld nach unten