Harmonischer OszillatorMolekülschwingungen

WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 8. Vorlesung

Schwingungen von makroskopischen Objekten

Schwingungen von mikroskopischen Objekten

„Nanobrücke“ … mit Hilfe moderner Herstellungsmethoden können künstliche Brücken im Nanometerbereich hergestellt werden

Schwingungen von mikroskopischen Objekten

Molekülschwingungen: Jedes Atomgerüst besitzt eine Reihe von charakteristischen Schwingungsmoden

Newtonsche Bewegunsgleichungen

Eigenfrequenz

Potentielle Energie

Klassischer harmonischer Oszillator

Klassischer harmonischer OszillatorDimensionslose Zeiteinheit

Newtonsche Bewegungsgleichungen

Bewegungsgleichung kann in der komplexen Ebene gelöst werden, Hilfsgröße a

Bewegungsgleichung für Hilfsgröße a

Lösung für Auslenkung x

Jedes Potential kann um Minimum entwickelt werden

Quantenmechanischer OszillatorDer Hamiltonoperator für den harmonischen Oszillator besteht aus der kinetischenEnergie ~p2 und der potentiellen Energie ~x2

Charakteristische Längenskala

Dimensionslose Ortsvariable

Dimensionslose Energievariable

Quantenmechanischer OszillatorEs ist in vielen Fällen günstig, dimensionslose Größen für die Impuls- undOrtskoordinaten einzuführen

Oszillator : dimensionslose GrößenIn den dimensionslosen Einheiten hat die zeitunabhängige Schrödingergleichungeine einfache Form

Charakteristische Längenskala

Zeitunabhängige Schrödingergleichung

Zeitunabhängige Schrödingergleichung in den dimensionlosen Einheiten

Dimensionsloser Impuls und Wellenfunktion

Oszillator : „Leiteroperatoren a“Wie beim klassischen Oszillator versuchen wir, das Problem durch die Hilfsgrößea zu lösen

Produkt der Operatoren a und a+

Hamiltonoperator ausgedrückt durch den Operator a

Wenn ein Eigenzustand von H ist, dann ist auch einer

Oszillator : „Leiteroperatoren a“

Zur Lösung des Problems benötigen wir nur die „Kommutatoren“

Insbesondere gilt

Oszillator : „Leiteroperatoren a“

Nehmen wir an, dass f( q ) ein Eigenzustand ist

Durch Anwenden der Operatoren a und a+ erhalten wir neue Eigenzustände

a erniedrigt den Energieeigenwert um 1, und a+ erhöht ihn um 1 !!!

Wenn ein Eigenzustand von H ist, dann ist auch einer

Oszillator : Grundzustand + AnregungszuständeDamit es einen Grundzustand f0( q ) gibt, muss für diesen gelten

Die Energie des Grundzustandes beträgt

Durch Anwenden der „Leiteroperatoren“ kann man alle angeregten Zuständebestimmen

Oszillator : „Leiteroperatoren“

Mit Hilfe der Leiteroperatoren kann man, ausgehend vom Grundzustand, alle an-geregten Zustände erreichen

Oszillator : Hermitpolynome

Charles Hermite (1822 – 1901)

Die Eigenzustände des harmonischenOszillators können auch durch dieHermitpolynome ausgedrückt werden

Eigenenergien

Eigenfunktionen

Eigenzustände des harmonischen OszillatorsZeitunabhängige Schrödingergleichung

Eigenenergien und Eigenzustände des harmonischen Oszillators

Eigenzustände des harmonischen Oszillators

Der Grunzustand hat eine endliche „Nullpunktsenergie“ Die Energieabstände im harmonischen Oszillator sind äquidistant Die Zahl der Knoten nimmt mit zunehmender Energie zu Die Zustände können in gerade und ungerade Zustände unterteilt werden

Normalschwingungen des freien Wassermoleküls (oben) und des Wassermoleküls innerhalb einer Flüssigkeit (unten)

Schwingungszustände von Wassermolekülen

Rotationen (~meV) … Schwingungen (~0.1 eV) … Elektronische Anregungen (~eV)

Molekülspektren bestehen aus Rotations-, Schwingungs- und elektronischenAnregungen, sowie aus Mischformen (Rotations-Schwingungsbanden)

Molekülanregungen

Jedes Molekül hat seine ganz charakteristischen Schwingungsenergien,dadurch kann es spektroskopisch eindeutig identifiziert werden

Spektren von Wassermolekülen