Date post: | 06-Apr-2016 |
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Drehimpuls, Bohrsches AtommodellWasserstoffatom
WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 9. Vorlesung
Noethersches Theorem
Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße und umgekehrt.
Emmy Noether (1882 – 1935)
Ansuchen 1915: Eure Exzellenz
bittet die mathematisch-naturwissenschaftliche Abteilung der philosophischen Fakultät der Göttinger Universität ehrerbietigst, ihr im Falle des Habilitations-gesuches von Fräulein Dr. Emmy Noether (für Mathematik) Dispens von dem Erlaß des 29. Mai 1908 gewähren zu wollen, nach welchem die Habilitation von Frauen unzulässig ist.
Antwort des Ministers 1917: Die Zulassung von Frauen zur Habilitation als Privatdozent begegnet in akademischen Kreisen nach wie vor erheblichen Bedenken. Da die Frage nur grundsätzlich entschieden werden kann, vermag ich auch die Zulassung von Ausnahmen nicht zu genehmigen, selbst wenn im Einzelfall dadurch gewisse Härten unvermeidbar sind.
Kein Zeitpunkt ausgezeichnet – Energieerhaltung Kein Ort ausgezeichnet – Impulserhaltung Keine Richtung ausgezeichnet – Drehimpulserhaltung
Noethersches Theorem
Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße und umgekehrt.
Für reibungsfreie Systeme gilt:
KeplerproblemBei der Lösung des Keplerproblems (Planetenbahnen) können die Erhaltungsgrößen ausgenutzt werden
Impulserhaltung, Aufspaltung Schwerpunkts- und Relativbewegung
Drehimpulserhaltung, 2. Keplersches Gesetz (Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen)
Zeitunabhängige Schrödingergleichung (Relativbewegung)
Zusätzlich: Schwerpunktsbwegung entspricht „freiem Teilchen“
Schrödingergleichung des Wasserstoffatoms
Die Behandlung des Drehimpulses in der Quantenmechanik ist komplizierterals in der klassischen Mechanik
2d – Winkelanteil der Wellenfunktion entspricht freiem Teilchen, das sich entlang eines Kreises bewegt (Quantisierungsbedingung)
Drehimpulsbewegung
Drehimpulsoperator Lz in 2d
Eigenzustände von Lz in 2d
Das Bohrsche Atommodell liefert die richtigen Eigenenergien des Wasserstoffatoms (Lösungen der Schrödingergleichung sind komplizierter, s.u.)
Quantisierungsbedingung für Drehimpuls
Bohrsches Atommodell
Stabile Bahn … Anziehungskraft = Zentrifugalkraft
Grundzustand : Bohrscher Radius und Rydbergenergie
Bohrsches AtommodellDie Energien für stabile Elektronen-bahnen ergeben sich im BohrschenAtommodell zu
(E0 ist Rydbergenergie)
Im Gegensatz zur klassischen Physik, sind in der Quantenmechanik nicht alledrei Komponenten des Drehimpulses erhalten
Lösung der Schrödingergleichung
Heuristisches Argument : Wären Lx, Ly und Lz des Drehimpulses bestimmt, so wäre die Bewegungs- ebene des Elektrons eindeutig bestimmt. Das wäre im Widerspruch zur Heisenbergschen Unschärferelation.
In der Quantenmechanik sind nur der Betrag L des Drehimpulsessowie Lz erhalten
Drehimpuls (Quantenmechanik)Betrag des Drehimpulses
Projektion des Drehimpulses
Es gilt stets |Lz| < L, somit ist die Bewegungsebene des Elektrons nicht genau bestimmt
DrehimpulszuständeDie Drehimpulsquantenzahl l bestimmt die Zahl der Knoten der Wellenfunktionin Winkelrichtung, ml bestimmt die Zahl der Knoten in Azimuthalrichtung
Drehimpulszuständel=0, keine Knoten („s-Zustand“)
l=1, ein Knoten in x-, y- oder z-Richtung („p-Zustände“)
Drehimpulszuständel=2, zwei Knoten („d-Zustände“)
Drehimpulszustände
WasserstofforbitaleDie Lösungen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung für das Wasser-stoffatom sind durch 3 Quantenzahlen charakterisiert
Die Energie der Zustände wird ausschließlich durch die Hauptquantenzahln bestimmt (E0 ist Rydbergkonstante)
Gleiches Ergebnis wie Bohrsches Atommodell (Glück)Bezeichnung für unterschiedliche Schalen K (n=1), L (n=2), M (n=3), …
Wasserstofforbitale
Wasserstoffatom (Spektroskopie)Bei optischen Übergängen muß die Energie erhalten bleiben
Spektroskopie erlaubt genaue Bestimmung der Übergangsenergien
Übergänge zwischen verschiedenen Schalen
Elektronen müssen sich in einer der Quantenzahlenn, l, m ( + Spin ) unterscheiden.
Wolfgang Pauli (1900 – 1958)
PauliprinzipZusätzlich zu den Quantenzahlen n, l, m besitzt das Elektron auch einen Spin,in einem Atom mit mehreren Elektronen kann jeder Zustand nur mit einem Elektron besetzt werden
Die atomaren Schalen werden sukzessive mit Elektronen gefüllt(pro Zustand jeweils nur ein Elektron, Pauliprinzip)
Aufbauprinzip der Materie
Innerhalb einer Schale haben alle Elektronen dieselbe Energie.Aufgrund der Elektron-Elektron-Wechselwirkung erfolgt das Auffüllen der Zuständeanhand der sogenannten Hundschen Regeln (siehe Atom-, Molekül- & Festkörperphysik) Minimierung des Bahndrehimpulses Maximierung des Spins
Aufbauprinzip der Materie