Matrizen, Eigenschwingungenzeitunabhängige Schrödingergleichung

WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 7. Vorlesung

Gekoppelte PendelWie löst man die Newtonschen Bewegungsgleichungen ?

Auslenkung aus Ruhelage ui

Gekoppelte PendelGesamtheit der Bewegungsgleichungen kann in Matrixform dargestellt werden

Wir können das in kompakter Form schreiben

MatrizenEine allgemeine Matrix dreht …

… und skaliert einen Vektor

Wird ein Vektor nur skaliert aber nicht gedreht, so nennt man ihn einenEigenvektor und den Skalierungsfaktor den zugehörigen Eigenwert

Gekoppelte PendelBewegungsgleichung für Pendel

Was passiert für Eigenvektor ? (wir nehmen an, dass EW positiv ist)

Ein Eigenvektor schwingt periodisch mit einer konstanten Frequenz

Eigenvektoren und EigenwerteWie bestimmt man Eigenvektoren und Eigenwerte ?

Raten Man fragt die Mathematikerin / den Mathematiker seines Vertrauens Ausrechnen (siehe Mathematische Methoden) Numerisch

% dimension of matrixn = 8;% tridiagonal matrixM = full( gallery( 'tridiag', n, 1, -2, 1 ) );% compute eigenvectors and values[ u, lambda ] = eig( M );

Eigenvektoren und EigenwerteEinige Eigenvektoren („Eigenmoden“)

k=3 k=4

k=1 k=2 k=3 k=4

Schwingungsmuster einer „Wellenmaschine“

Eigenvektoren und EigenwerteEinige Eigenschaften für eine relle, symmetrische Matrix

Alle Eigenwerte sind reell

Die Eigenvektoren bilden eine vollständige Basis, das heißt, dass jederbeliebige Vektor als Linearkombination der Eigenvektoren dargestelltwerden kann

Alle Eigenvektoren sind normiert

Schwingung elastischer KörperDas Prinzip der Eigenschwingungen lässt sich auch auf kontinuierliche Körperübertragen (Grenzwert vieler Punkte, die über Federkräfte miteinander wechselwirken)

Eigenschwingungen von Instrumenten

Bei Eigenschwingungen ändert sich die Amplitude zeitlich periodisch, bei den Schwingungsknoten gilt immer u( r, t ) = 0

Chladnische Klangfiguren

Eigenmoden einer schwingenden Platte

Grundmode einer schwingenden Saite, die bei x = 0 und x = L eingespannt ist,die Eigenschwingung ist bis auf die Amplitude bestimmt

Schwingende Saite : Grundmode

Zusätzlich zur Grundmode gibt es noch Anregungsmoden, die mit einer anderen Frequenz schwingen können

Schwingende Saite : Eigenmoden

Jede beliebige Anregung kann durch die Eigenmoden dargestellt werden,das zeitliche Verhalten ist allerdings komplizierter

Schwingende Saite : beliebige Anregung

Eigenschwingungen der Wellenfunktion ?

Was schwingt da ? … Nicht viel ;-) – Wellenfunktion ist nur Hilfsgröße

„Eigenschwingungen“ der Schrödingergleichung

Hamiltonoperator

Eigenwertgleichung

Schrödingergleichung

Zeitliche Entwicklung eines Eigenzustandes

„Eigenschwingungen“ der Schrödingergleichung

zeitabhängige Schrödingergleichung

zeitunabhängige Schrödingergleichung

Erwin Schrödinger, 1926

Zeitunabhängige SchrödingergleichungDie zeitunabhängige Schrödingergleichung erlaubt es, die Eigenzuständeder Schrödingergleichung zu bestimmen

Raten Lösen der Differentialgleichung mit Randbedingungen Numerisch

Wie bestimmt man die Eigenzustände ?

Freies TeilchenEbene Wellen besitzen eine wohldefinierten Impuls (de Broglie-Wellenlänge)und sind Eigenzustände des freien Hamiltonoperators !!!

i.W. haben wir das bereits bei der Propagation von freien Teilchen inVorlesung 4 benutzt

innerhalb der Schachtel …

Teilchen in der SchachtelTeilchen in der Schachtel (particle in a box) kann sich innerhalb des Bereiches0 < x < L frei bewegen

Randbedingung …

Wie sehen die Eigenzustände und Eigenfunktionen aus ?

Teilchen in der Schachtel : Eigenzustände

Vergleiche mit Abschätzung aus Heisenbergscher Unschärferelation