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April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.1 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Vorlesung Prozessidentifikation
Deterministische zeitdiskrete SignaleDeterministische zeitdiskrete SignaleErmittlung des Übertragungsverhaltens Ermittlung des Übertragungsverhaltens
3. Mai 2002
Hochschule für Technik und Wirtschaft des SaarlandesFachbereich Elektrotechnik
Goebenstr. 4066117 Saarbrücken
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.2 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Lineare zeitdiskrete Systeme
Fortschritte der Rechnertechnik / Integration von SchaltkreisenMicrocomputer und Halbleiterspeicher -> direkte Auswirkung auf RT
Entwicklungsphasen (Zentralisierung)•Multiplexen der „teuren“ Hardware •Ausnutzen der Hardware für verschiedene Prozesse •Nacheinanderfolgendes Umschaltung auf verschiedene Messstellen
und Stelleinrichtungen / Prozessrechner = Regler
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.3 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Entwicklung und Trend
Entwicklung der Hardware• Erhöhung der Transistorenanzahl bei der Chip-Herstellung• Preisverfall elektronischer Komponenten (Speicher,
Microprozessoren, A/D-Wandler, D/A-Wandler)• Verteilte Systeme (Intelligenz
in Sensorik, Datenvorverarbeitung,Verfügbarkeitserhöhung, Intelligenz in Aktorik (Stellglieder))
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.4 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Vorteile digitaler Signale vs. Kontinulierliche Signale in der RT
Leistungsverbesserung der Regelung mit
• Anpassung von Regelalgorithmen
• Optimierung von Kenngrößen
• Gütekriterien für Messgrößen
• Führungsgrößenberechnung
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.5 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Diskretisierung kontinuierlicher Signale
Digitalisierung erfolgt in Zwei Schritten:• Abtastung• Quantisierung
Abtastung:Zu definierten Zeitpunkten äqui-distante Abstände) wird von s(t) ein Signalwert erfaßt. Abtastzeit T
Quantisierung:Kontinuierliche Signalwerte werdendefinierten Wertebereich zugeordnet.
Reihenfolge der Schritteist tauschbar!
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.6 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Digitalisierung
uo2uo3uo4uo5uo6uo7uo
Digitalisierung bedeutet: kontinuierlichen Verlauf hinsichtlich Zeit und Wert eingeschränktzu beschreiben.Aus dem kontinuierlichen Signalverlauf entsteht eine diskreteWertfolge zu definierten Zeitpunkten nT mit n = 0,1,2,3,4,....
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.7 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Realisierung der Digitalisierung
Die Operationen Abtasten und Quantisieren sind Aufgaben des A/D-Wandlers!Wichtig für die Abtastung ist, das die Abtastzeit der Dynamik desSignalverlaufes angepaßt wird.Abtasttheorem Tab > 1/2fg
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.8 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Rückwandlung digitaler Signale in kontinuierliche Signale
Abtastung: periodische Abtastung / Impulsfolge im Abstand Abtastzeit / Eingangssequenz für Prozessmodell
Prozessmodell: Algorithmus / Errechnung der AusgangssequenzBerechnung benötigt Bearbeitungszeit Tr Kern des Regelkreises / Prozessrechner
Ausgangssequenz: Durch Modell entsteht modifizierte Signalfolgeyd(kTo) -> ud(kTo)
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.9 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Beschreibung
xa(t) = x(t) Σδ(t-kT) = Σx(t) δ(t-kT) = Σx(kT) δ(t-kT)
Es gilt: x(t) δ(t-kT) = x(kT) δ(t-kT)
Dirac-Stossfolge siebt den Funktionswert an der Stelle heraus,bei der das Argument (t-kT) zu O wird, d.h. für alle t = kT
x(t) Σx(kT) δ(t-kT) = xa(t)
xa(t)
x(t)
Durch Abtastung
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.10 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Zeitdiskrete Signale / Sprungantwort
g(k)G(s)
)(tua)(tueu(k) y(k)Voraussetzung LTI-System
ges: y(k) = f(g(k), u(k)) vgl. y(t) = f(g(t), u(t)) -> Y(s) = G(s) U(s)
u(k) = u*(t) = Σu(kT) δ(t-kT) = u(0) δ(t) + u(T) δ(t-T) + u(2T) δ(t-2T) + ...
Transformation in den Frequenzbereich:U*(s) = u(0) 1 + u(T) e-sT + u(2T)e-s2T + .... + u(kT)e-skT + .....
Y(s) = G(s) U*(s) = u(0)G(s) + u(T)G(s)e-sT + u(2T)G(s)e-s2T + ... + u(kT)G(s)e-skT + .....
Rücktransformationy(t) = u(0)g(t) + u(T)g(t-T) + .... + u(kT)g(t-kT) + ..... +
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.11 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Sprungantwort für definierte Zeiten
y(t) = u(0)g(t) + u(T)g(t-T) + .... + u(kT)g(t-kT) + ..... +
Es interessiert das Verhalten zu den Abtastzeitpunkten t=mT
y(t=mT) = u(0)g(mT) + u(T)g(mT-T) + ... + u(kT)g(mT-kT) + .... +
Verallgemeinerung für T = 1:
y(m) = u(0)g(m) + u(1)g(m-1) + u(2)g(m-2) + ... +u(k)g(m-k) + ....
y(m) = Σu(k)g(m-k)
y(m) = Σu(k)g(m-k)
K=0
k=
Alle Funktionen u(k), g(k) und y(k) definiertnur für positive Argumente -> k läuft bis mErgebnis: diskrete Faltungsoperation
K=0
k=m
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.12 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Zeitdiskrete Faltung
y(t) = g(t) * u(t) = u(t)g(t-)d Faltung für kontinuierliche Signale
y(m) = Σu(k)g(m-k) Faltung für diskrete SignaleK=0
k=m
Beispiel:
u(k) Sprungfolge mit u(k) ={
g(k) Gewichtsfolge mit g(k) = {
gesucht y(k) ?
0 für k<01 für k>= 0
0 für k<=0ak für k> 0 und a = 0,5
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.13 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel zeitdiskrete Faltung
g(k)u(k)
Bildung aller Produkte für j-te Variableg(o)u(j); g(1)u(j-1); g(2)u(j-2) ........ g(j)u(0)Aufsummation aller Produkteg(x)u(y) mit x+y = j
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.14 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel zeitdieskrete Faltung
K=0
k=my(m) = Σu(k)g(m-k)
y(0) = u(0)g(0)
y(1) = Σu(k)g(m-k) = u(0)g(1) + u(1)g(0)
y(2) = Σu(k)g(m-k) = u(0)g(2) + u(1)g(1) + u(2)g(0)
y(3) = Σu(k)g(m-k) = u(0)g(3) + u(1)g(2) + u(2)g(1) + u(3)g(0)
y(m) = Σu(k)g(m-k) = u(0)g(m) + u(1)g(m-1) + u(2)g(m-2) +...+ u(m)g(0)
K=0
k=1
K=0
k=2
K=0
k=3
K=0
k=m
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.15 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel zeitdiskrete Faltung
u(k) = {
g(k) = {
0 für k<0 und k>=41 für 0 <= k < 4
0 für k<=0 a-k für k > 0 mit a = 2
g(0) = 1/20 = 1g(1) = 1/21 = ½g(2) = 1/22 = ¼g(3) = 1/23 = 1/8
gesucht y(k): Diagramm / Berechnung Tafel
y(0) = u(0)g(0) = 1y(1) = u(0)g(1) + u(1)g(0) = g(0) +g(1) = 1,5y(2) = u(0)g(2) + u(1)g(1) + u(2)g(0) = g(0) + g(1) + g(2) = 1,75y(3) = u(0)g(3) + u(1)g(2) + u(2)g(1) + u(3)g(0) = g(0)+g(1)+g(2)+g(3) = 1,875
y(4) = g(1) + g(2) + g(3) + g(4) = 0,9375Y(5) = g(2) + g(3) + g(4) + g(5) = 0,46875Y(6) = g(3) + g(4) + g(5) + g(6) = 0,2343
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.16 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel zeitdiskrete Faltung
PT1 Gliedu(t) Kontinuierliche
Signale
Diskrete Signale
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.17 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Zeitdiskrete Faltung Schreibweise in Matrixform
g(k)G(s)
)(tua)(tueu(k) y(k) y(m) = Σu(k)g(m-k)K=0
k=m
Ergebnis der Faltung:
Y(0) u(0) 0 0 .............. 0 g(0)Y(1) u(1) u(0) 0 ............... 0 g(1)Y(2) u(2) u(1) u(0) ........... 0 g(2). .......................................... 0 .Y(j) u(j) u(j-1) u(j-2) .......... 0 g(j). ......................................... 0 .Y(m) u(m) u(m-1) u(m-3) .... u(0) g(m)
y(0) = u(0)g(0) y(1) = u(0)g(1) + u(1)g(0)y(2) = u(0)g(2) + u(1)g(1) + u(2)g(0) y(3) = u(0)g(3) + u(1)g(2) + u(2)g(1) + u(3)g(0)
= *
y kann aus Kenntnis derGewichtsfolge und Eingangs-Folge bestimmt werden
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.18 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Identifikation für diskrete Systemantwort
g(k)G(s)
)(tua)(tueu(k) y(k) y(m) = Σu(k)g(m-k)K=0
k=m
Die Eingangsfolge und Ausgangsfolge sind bekannt. Gesucht ist die Gewichtsfolge des Übertragungssystem!Rückschluß der gemessenen Folge y(k) und u(k) auf die Gewichtsfolge
Y(k) = U(k)G(k) in Matrix-Schreibweise Y, U und G
G(k) = U-1(k)Y(k)
In der Matrixschreibweise muß also die Matrix U(k) invertiert werden.-> Hoher Berechungsaufwand-> Anwendung Matrizenrechnung
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.19 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Berechnung im diskreten Zeitbereich
Ergebnis der diskreten Faltung:(1) y(0) = u(0)g(0) (2) y(1) = u(0)g(1) + u(1)g(0)(3) y(2) = u(0)g(2) + u(1)g(1) + u(2)g(0) (4) y(3) = u(0)g(3) + u(1)g(2) + u(2)g(1) + u(3)g(0)
Bestimmungsgleichung zur Berechnung der Gewichtsfolge:
Ermittlung g(0) aus (1): g(0) = y(0)/u(0)Ermittlung g(1) aus (2): g(1) = [y(1) – u(1)g(0)]/u(0)Ermittlung g(2) aus (3): g(2) = [y(2) –u(2)g(0)-u(1)g(1)]/u(0)
Verallgemeinerung:
g(j) = 1/u(0)[y(j) - Σu(k)g(j-k)]K=1
k=j
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.20 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Matrixschreibweise
g(0) 1 0 0 ................ 0 y(0)g(1) -u1/u0 1 0 ................ 0 y(1)g(2) -u2/u0+u1
2/u02 -u1/u0 1 ................ 0 y(2)
. ......................................................................... y(3)
. ......................................................................... y(4)
= 1/u(0) *
G(k) = U-1(k) Y(k)
Bestimmung der inversen Matrix:Rekursive Lösung, da immer alle Vorgänger zur Bestimmung des j-ten Koeffizienten genutzt werden.
April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.21 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
h(k) = Σg(j)
Ermittlung der Sprungantwort aus Kenntnis der Gewichtsfolge
Für kontinuierliche Signale gilt:
g(t) = dh(t)/dt -> h(t) = g()d
Für diskrete Signale gilt:Integration wird auf Summation zurückgeführt j=0
j=k
0
t
g(k) = {0 für k<=0 a-k für k > 0 mit a = 2
g(0) = 1/20 = 1 h(0) = g(0) = 1g(1) = 1/21 = ½ h(1) = g(0) + g(1) = 1,5g(2) = 1/22 = ¼ h(2) = g(0) + g(1) + g(2) = 1,75g(3) = 1/23 = 1/8 h(3) = g(0) + g(1) + g(2) + g(3) = 1,875