Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.1 Vorlesung Regelungstechnik...

April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.1 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Vorlesung Regelungstechnik 2

Digitaler RegelkreisDigitaler Regelkreis

30. April 2003

Hochschule für Technik und Wirtschaft des SaarlandesFachbereich Elektrotechnik

Goebenstr. 4066117 Saarbrücken


Regelungstechnik 2

Inhalte Vorlesung Regelungstechnik 2Digitale Regelung• Beschreibung kontinuierlicher / digitaler Signale• Grundfunktionen von digitalen Regelkreisen• Elemente in digitalen Regelkreisen (DA-Wandler, AD-Wandler,

Halteglieder)• Gleichungen, Differenzengleichungen für digitaler Regelelemente

P, I, D und Kombinationen hiervon• PID-Regelalgorihtmen• Einstellregeln für digitale Regelkreise• z-Transformation und Beschreibung von digitalen Regelkreisen im

Frequenzbereich• Stabilität von digitalen Regelkreisen


Regelungstechnik 2

Inhalte Vorlesung Regelungstechnik 2Zustandsregelung• Einführung in die Zustands(-raum)-Beschreibung • Mathematische Grundlagen (Matrizen und Rechenverfahren=• Methoden zur Berechnung von Übertragungssystemen mit Zustands-

variablen• Lösungen derZustandsgleichung im Zeit- und Frequenzbereich• Normalformen von Übertragungssystemen

(Beobachternormalform, Regelungsnormalform)• Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit von Übertragungssystemen• Transformationen auf Regelungs- und Beobachtungsnormalform• Regelung durch Zustandsrückführung


Übergang vom zeitkontinuier-lichen zum zeitdiskreten Signal

Kontinuierliches Signal wird über Abtaster und A/D-Wandlerin ein zeitdiskretes digitalisiertens Signal gewandletx(t) -> x(kT)


Übergang vom zeitdiskreten zum zeitkontinuierlichen Signal

Zeitdiskretes Signal wird über Halteglied und D/A-Wandlerin ein kontinuierliches Signal gewandelty(kt) -> y(t)


Digitaler Regelkreis

Im digitalen Regelkreis müssen analoge Größen digitalisiert werden.Die Regelstrecke wird meistens mit analog arbeitenden Stellgerätenbeeinflusst. Hier ist entsprechend die Umwandlung der digitalen Größenin analoge Größen vorzunehmen.Digitaler Regler ermittelt nach einer Berechnungsvorschrift die Folgeder Stellwerte y(kT) aus der Folge e(kT).


Digitale Regelkreise

Eigenschaften:• Zu regelender Prozess verläuft kontinuierlich. • Digitalregler verarbeitet diskrete Zahlenfolgen und ermittelt

Stellgrößenwerte• Stellgröße arbeitet kontinuierlich. Stellgrößenwerte werden als

treppenförmiges Signal aus der Stellgrößenfolge gebildet• Für Abtastzeiten Tab << Systemzeit kann digitale Regelung wie

quasikontinuierliche Regelung interpretiert werden. Für diese Betrachtung keine Abtasttheorie erforderlich

• Alternative Lösung digitaler Regelungen basiert auf Anwendung derz-Transformation und Lösung von Differenzengleichungen


Gegenüberstellung digitaler und analoger Regelung am Beispiel

Analoger Regelkreis Digitaler Regelkreis

Strecke

Regler

x(t)

R

2t

1G(s)

1 s

G (s) 1

1x(t) (1 e )

2

Digitalisierung:

Halteglied:

R R R

e w x e(k) w(k) x(k) 1 x(k)

y K e y(k) K e(k) K (1 x(k))

R Ry(k) K e(k) K (1 x(k))

y(t) y(k) (t kT) (t (k 1)T)


Digitaler Regelkreis

Treppenförmige Stellgröße wirkt nun auf die Regelstrecke und bleibtinnerhalb der Abtastzeit konstant.

Allgemeine Lösung:

kTab t (k 1)Tab :

X(s) 11 sY(s)

x(t) x(t) y(t)

1 1X(s) Y(s) x(kT)

1 s 1 s1 1

X(s) y(kT) x(kT)s(1 s) 1 s

ab ab

ab ab

ab ab

ab

t t

T T

T TR

T TR

TR R

kTab t (k 1)Tab :

x(t) y(kT) 1 e x(kT)e

x (k 1)T y(kT)(1 e ) x(kT)e

x (k 1)T K e(kT)(1 e ) x(kT)e

x(k 1) K e(k)(1 e ) x(k)e

x(k 1) K e(k) x(k) K e(k) e


Allgemeine Lösung

Lösung

Tab

Tab

Tab

Tab

x(k 1) e(k) (x(k) e(k))e

x(0) 0;e(0) 1

x(1) 1 e

x(2) e(1) x(1) e(1) e

x(3) e(2) x(2) e(2) e

Simulation in Matlab und Excel mit Variation der einzelnen GrößenKR, Tab, TS, ....KR = 2, 5, 10, 20, ..... Unterschied analoges und digitales Verhalten


Allgemeine Lösung

Lösung ist ein iteratives Verfahren:• Bestimmen der Startwerte für y, e und x(0)• Starten der Abtastzeit

für jedes Abtastintervall gilt• Ausführen des Regelalgorithmus y(k) = KR e(k)• D/A-Wandeln von y(k) zur Bestimmung der analogen Stellgröße• X(t) stellt sich entsprechend einFür jeden neuen Abtastzeitpunkt:• Bestimmen von x(k), w(k) und e(k)


Basisalgorithmen für digitale Regelungen

Proportionalalgorithmus

Y(t) = KR e(t)

Y(kT)= KR e(kT)



Integralalgorithmus

i

y(t) KI edt y(kT) KI e(iT)T

Die Integration kann verschieden durch diskrete Algorithmen appro-ximiert werden (Rechteck, Trapeznäherung)

k 1

Ii 0

k

Ii 1

y(k) K e(i)T

y(k) K e(i)T

I

I I I

y(0) 0

y(1) K Te(0)

y(2) K Te(0) K Te(1) y(1) K Te(1)

I

I I I

y(0) 0

y(1) K Te(1)

y(2) K Te(1) K Te(2) y(1) K Te(2)



Typ 1

Typ 2

KI = 1s-1 T= 1s





Rekursive Algorithmen:k 1 k 2

I I I Ik 1i 0 0

k k 1

I I I Ik 1i 1 1

y(k) K e(i)T K e(i)T K e(k 1)T y K e(k 1)T

y(k) K e(i)T K e(i)T K e(k)T y K e(k)T

k 1I

k 1I

Ty(k) y e(k 1)

T

Ty(k) y e(k)

T

Typ 1

Typ 2

T = AbtastzeitTI = Zeitkonstante I-Regler


Ablaufschema Integralalgorithmus

Typ 1 Typ 2


Beispiel mit I-Regler und P-Strecke

I

S

T 1s

K 2

w(t) (t)

Ty(k) y(k 1) e(k 1)

TI

Nach der Sprungaufschaltung werdensofort alle Werte abgetastet und fürdie Regelung zur Verfügung gestellt:

w(0) 1;x(0) 0 e(0) 1

y(0) 0 x(0) 0



Berechnung der rekursiven Folgen für x(k):

S

I

S S SI I

S S SI I

S SI I

x(k) K y(k)

e(k) w(k) x(k) 1 x(k)

Ty(k) y(k 1) e(k 1)

T

T Tx(k) K y(k 1) e(k 1) K y(k 1) K e(k 1)

T T

T Tx(k) K y(k 1) K 1 x(k 1) x(k 1) K 1 x(k 1)

T T

T Tx(k) K 1 K x(k 1)

T T




SI

2

S SI I

x(0) 0

Tx(1) K

T

T Tx(2) 2K K

T T




K w(k) x(k) e(k) y(k)

0 1 0 1 0

1 1 KsT/Ti 1-KsT/Ti T/Ti

2 1 KsT/Ti(2-KsT/Ti)

1-KsT/Ti(2-KsT/Ti)

T/Ti(2-KsT/Ti)

3 1 .... .... .....

I

Ty(k) y(k 1) e(k 1)

T


Beispiel mit Zahlenwerten

I

Tab 0.1s

Ks 2

T 1s

x(k) 0.8x(k 1) 0.2

K X(k)

0 0

1 0.2

2 0.36

3 .....

4 .....


Beispiel mit Zahlenwerten

Für Wahl der Abtastzeit T = Ti/Ks =0.5 s kann im günstigsten FallNach einem Abtastschritt die Regelgröße auf den Sollwert gebracht Werden.


Weitere Regelalgorithmen

Nächste Stunde:• Weitere Regelalgorithmen für PI, D, PID-Regler• Rekursive Algorithmen zur Berechnung von e(k), y(k) und x(k)• Basis jeweils Regelkreis mit A/D-Wandlung, Halteelemente und D/A

Wandlung• Variation neben den Regelparametern auch Einfluss der Abtast-

zeit

Bewertung digitale Regelkreise:• Kombinierte Analyse von diskreten und analogen Elementen• Andere Beschreibungsformen nur im diskreten Bereich anwendbar


Mathematische Grundlagen

Beschreibung diskreter Signale im Zeitbereich erfolgt mathematischmit Zahlenfolgen:

• Definitionsbereich umfasst alle natürlichen Zahlen einschließlich derNull

• Werte heißen Glieder der Folge• Die natürlichen Zahlen des Definitionsbereiches legen die Plätze der

Glieder fest.• Folge ist in der Regel nicht abbrechend• Eine Folge kann auf unterschiedliche Art und Weise beschrieben

werden.



k

f (k) f(0),f (1),f (2),f (3),....

1 1 1 1 11, , , , ,....

2 4 8 16 2

Beschreibung einer Zahlenfolge

f(k): Funktionaler Zusammenhang in Abhängigkeit von kf(k): Bildungsgesetz gibt Berechnungsalgorithmus zur Bestimmung des

k-ten Elementes an



kf (k) 0,2,0,2,0,2.... 1 1

Beschränkte Zahlenfolge

Beschränkte Folge• Die Glieder der Folge überschreiten eine beliebig vorgegebene

Schranke nicht.• Wächst die Folge dagegen + oder -, dann ist die Folge

unbeschränkt.• Die Zu- oder Abnahme einer Folge heißt monoton, wenn jedes Glied

größer bzw. kleiner als das vorangehende Glied ist.



k2 4 22 46

f(k) 2 3, , , ,.... 23 3 9 27

Divergente und konvergente Zahlenfolge

Folge• Diese Folge ist nicht monoton, da sich nachfolgende Glieder nicht

immer größer oder kleiner als die vorangehenden Glieder sind.• Die Folge ist beschränkt, da es eine maximale Schranke gibt, unter-

halb derer alle Zahlenwerte liegen.• Die Folge ist konvergent, da die Glieder der Folge gegen einen

bestimmten Grenzwert (für k-> ) streben.

f (k) k 0,1,2,3,4,5,.... Divergente Folge



2 3 4

k

f (k) f(0),f (1),f (2),f (3),f (4),.... a,aq,aq ,aq ,aq ,...

f (k) aq

f(k 1)const. q

f(k)

geometrische Zahlenfolge

Geometrische Folge• Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder ist konstant.• Die k-te Teilsumme lässt sich einfach berechnen.• Für k-> geht die Folge in die geometrische Reihe über.• Ist q<1, dann konvergiert die Zahlenfolge.



2 3 4

k

ki 0

2 k

2 3 k 1k

k 1k 1

k k k

f (k) f(0),f (1),f (2),f (3),f (4),.... a,aq,aq ,aq ,aq ,...

s f(i) f (0) f(1) f(2) f(3) .... f (k)

a aq aq .... aq

qs aq aq aq .... aq

1 qs qs a aq s a

1 q

1q 1 s a

1 q

geometrische Zahlenfolge



Differenzengleichung:Ist eine Differenzengleichung gegeben, so kann ausgehend von bekann-ten Anfangswerten alle weiteren Glieder rekursiv berechnet werden.

k k 1 k1 1 1 1 1

f(k) f(k 1) f(k)2 2 2 2 2

1f(k 1) f(k)

2f(0) 1

1 1f(1) f(0)

2 21 1

f(2) f(1)2 41 1

f(3) f(2)2 8



Differenzengleichung:Differenzengleichungen entsprechen Dgl im analogen Bereich. Sind die Koeffizienten konstant, dann spricht man von LTI-Systemen Linearitätsprinzipien sind anwendbar.

2 1 0f (k 3) a f(k 2) af(k 1) a f(k) x(k)

Lösung von Differenzengleichung im ZeitbereichAnwendung mit Exponentialansatz yh(k) = zk

Homogene Lösung: setze x(k) = 0 und bestimme die Lösung für AnfangswertePartikuläre Lösung: Ansatz mit gegebenen u(k) anschließend Bestimmung der Konstanten



Beispiel:

Homogene Lösung mit Setzen von u(k)=0:

k k 2 k 1 k

k 2 2

1 2

k k k k1 1 2 2 1 2

y(k 2) 0.5y(k 1) 0.5y(k) 2k

yh(k) z z 0.5z 0.5z 0

z z 0.5z 0.5 0 z 0.5z 0.5 0

z 0.5 z 1

yh(k) Cz C z C 0.5 C ( 1)

y(k 2) 0.5y(k 1) 0.5y(k) 2k

y(0) 1

y(1) 3

Gesucht ist die Lösung füry(k) die folgende Differen-zengleichung mit den An-fangsbedingungen erfüllt.



Beispiel:

Partikuläre Lösung:

I

I

y (k) A Bk

A B(k 2) 0.5 A B(k 1) 0.5 A Bk 2k

A 2.5B 0

B 2

A 5

y (k) 2k 5



Beispiel:

Gesamte Lösung setzt sich aus homogener und partikulärer Lösung zusammen

k kI 1 2

1 2

1 2

1

2

k k

y(k) yh(k) y (k) C 0.5 C ( 1) 2k 5

y(0) 1 y(0) C C 5 1

y(1) 3 0.5C C 3 3

C 4

C 2

y(k) 4 0.5 2( 1) 2k 5

y(k) 1, 3,2, 0.5,5.25,3.125,.....



Z-Transformation•anwendbar für Folgen, die erst beim Argument 0 und höher beginnen.

Definition

2 3

1 2 3

k

k 0

f (k) f(0),f (1),f (2),f (3),f (4),.....

1 1 1F(z) f(k) f(0) f(1) f(2) f(3) ...

z z zf(0) f(1)z f(2)z f(3)z ....

F(z) f(k)z



Z-Transformation f(k) <-> F(z)

Beispiel Exponentialfolge:

2 3 4 5 k

k1 2 2 3 3 k k

k 0 k 0

f (k) 1,a,a ,a ,a ,a ,..... a

aF(z) 1 az a z a z ... a z

z

1 zF(z)

a z a1z

Anwendung der geometrischen ReiheKonvergenzkriterium muss erfüllt werden:|a/z|<1 ->|a|<|z|



Beispiele aus Transformationstabellen

1 2 3 4

1 2 3 4

f (k) {1,1,1,1,1,1,1,1,1,.....}

F(z) 1 z z z z ....

1 zF(z)

1 z 11z

f(k) {1, 1,1, 1,1, 1,1, 1,.....}

F(z) 1 z z z z ....

1 zF(z)

1 z 11z

Sprungfolge, konstante Folgebeschränkt, nicht monoton

Alternierende Folge, beschränkt,nicht monoton



Beispiele aus Transformationstabellen

1 2 3

3 2 1

3

f (k) {f(0),f (1),f (2),f (3),0,0,0,0.....}

F(z) f(0) f(1)z f(2)z f(3)z

f(0)z f(1)z f(2)z f(3)F(z)

z

f(k) {1,0,0,0,0,0,0,.....}

F(z) 1

Begrenzte FolgeBildung der z-Transformiertenals Summation der Teilglieder mit Wichtung der Stelle

Dirac-StoßF(z)=1



Sätze zur z-Transformation:

Formale Übereinstimmung zwischen Laplace- und z-Transformation:Integration Summations-Ebene z-EbeneF(s)-Bereich F(z)-Bereich

Sätze zur z-TransformationLinearitätssatz

Faltungssatz

af(k) bh(k) aF(z) bH(z)

k

m 0

f (m)h(k m) F(z)H(z)



Sätze zur z-Transformation

LinksverschiebungssatzDie nach links verscho-benen Glieder sind zu kompensieren.

Rechtsverschiebungssatz

Summationssatz

2 2

3 3 2

mm m i

i 0

f (k 1) zF(z) zf(0)

f(k 2) z F(z) z f(0) zf(1)

f(k 3) z F(z) z f(0) z f(1) zf(2)

f(k m) z F(z) f(i)z

mf (k m) z F(z)

m

k 0

zf(k) F(z)

z 1

Summation entspricht

Faltung mit 1-Folge



Sätze zur z-Transformation

Beispiel zum Linksverschiebungssatz:

3 3 2

1 2 3

3 1 2 3 2

3 3

f (k) f(0),f (1),f (2),f (3),f (4),....

f (k 3) f(3),f (4),f (5),.....

f (k 3) z F(z) z f(0) z f(1) zf(2)

f(k 3) f(3) f(4)z f(5)z f(6)z ...

z f(0) f(1)z f(2)z ... z f(0) z f(1) zf(2)

z F(z) z f(0)

2z f(1) zf(2)



Anwendung der z-Transformation auf eine Differenzengleichung:

f (k) 0.5f(k 1) 0

f(0) 1

Lösung durch Änderung der Differenzengleichung durch Ersetzen von k durch k+1

K

f (k 1) 0.5f(k) 0

zF(z) zf(0) 0.5F(z) 0

z zF(z) f(0)

z 0.5 z 0.5f(k) 0.5



Anwendung der z-Transformation auf eine inhomogene Differenzengleichung:

4 3 2

2

y(k 2) 0.5y(k 1) 0.5y(k) u(k) 2k

y(0) 1; y(1) 3

z 4.5z 6z 0.5zY(z)

(z 1)(z 0.5)(z 1)




4 3 2

2

2

2

k k

z 4.5z 6z 0.5zY(z)

(z 1)(z 0.5)(z 1)

Y(z) A B C Dz z 1 z 0.5 (z 1) (z 1)

A 2;B 4;C 2;D 5

2z 4z 2z 5zY(z)

z 1 z 0.5 (z 1) (z 1)

y(k) 2( 1) 4(0.5) 2k 5 {1, 3,2, 0.5,....}




4 3 2

2

4 3 2

4 3 2

4 3 2 4 3 2

1 2 3

z 4.5z 6z 0.5zY(z)

(z 1)(z 0.5)(z 1)

z 4.5z 6z 0.5zY(z)

z 1.5z 0.5z 1.5z 0.5

z 4.5z 6z 0.5z : z 1.5z 0.5z 1.5z 0.5

.... 1 3z 2z 0.5z .....

y(k) 1 3,2, 0.5,....


Literatur Regelungstechnik

Literaturliste:• Lutz, H.; Wendt, W.: Taschenbuch der Regelungstechnik, Verlag Harri

Deutsch, Frankfurt, 1998 ISBN 3-8171-1552-0 (Bibliothek HTW)• Unbehauen, H.: Regelungstechnik II, Vieweg-Verlag, Braunschweig,

2001, ISBN 3-528-01332-X • Schlüter Gerd.: Digitale Regelungstechnik interaktiv, Fachbuchverlag

Leipzig, 2000, ISBN 3-446-21477-1• Merz, Jaschek: Regelungstechnik, Vorlesung Universität Saarbrücken• Gassmann, Hugo: Theorie der Regelungstechnik. Eine Einführung,

Verlag Harri Deutsch, Frankfurt, 1998.ISBN-3-8171-1587-3 (Bibliothek HTW)

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