Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.1 Vorlesung...

April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.1 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Vorlesung Prozessidentifikation

z-Transformation für zeitdiskrete Signale /z-Transformation für zeitdiskrete Signale /Bestimmung des Frequenzganges und Ortskurve Bestimmung des Frequenzganges und Ortskurve

aus der digitalisierten Sprungantwort /aus der digitalisierten Sprungantwort /Identifizierung im AmplitudengangIdentifizierung im Amplitudengang

15. Mai 2002

Hochschule für Technik und Wirtschaft des SaarlandesFachbereich Elektrotechnik

Goebenstr. 4066117 Saarbrücken


z - Transformation

Themen

• Herleitung der z-Transformation als Beschreibung des Übertragungsverhaltens von zeitdiskreten Signalen

• Definition der z-Transformation• Korrespondenztabellen• Beispiele


Digitalisierung kontinuierlicher Signale

Abtastung: periodische Abtastung / Impulsfolge im Abstand Abtastzeit / Eingangssequenz für Prozessmodell

Prozessmodell: Algorithmus / Errechnung der AusgangssequenzBerechnung benötigt Bearbeitungszeit Tr Kern des Regelkreises / Prozessrechner

Ausgangssequenz: Durch Modell entsteht modifizierte Signalfolgeyd(kTo) -> ud(kTo)


Diskrete Systemantwort

g(k)G(s)

)(tua)(tueu(k) y(k) y(m) = Σu(k)g(m-k)K=0

k=m

Die Eingangsfolge und Ausgangsfolge sind bekannt. Gesucht ist die Gewichtsfolge des Übertragungssystem!Rückschluß der gemessenen Folge y(k) und u(k) auf die Gewichtsfolge.

Alternative Lösung durch Einführung und Anwendung der z-Transformation


Kontinuierliche vs. diskrete Systeme

Kontinuierlich diskret

Faltung y(t) = u(t)g(t-)d y(m) = Σu(k)g(m-k)

Übertragungs- Funktion

Differential-gleichung

G(s))(tueU(s) Y(s) G(z)U(z) Y(z)

Y(s) = G(s)U(s) Y(z) = G(z)U(z)

dmy/dtm + am-1dm-1y/dtm-1 + .... + a0y = bndnu/dt + bn-1dn-1u/dtn-1 + .... + b1du/dt + bou

y(k+m) + am-1y(k+m-1) + .... + aoy(k) = bnu(k+n) + bn-1u(k+n-1) + .... + b1u(k+1 + bou(k)


Lineare zeitinvariante diskrete Systeme

Lineares System Superposition

y1(n) = T[u1(n)]y2(n) = T[u2(n)]

u(n) = a1u1(n) + a2u2(n) y(n) = T[u(n)] = a1T[u1(n)] +

a2T[u2(n)]

Zeitinvariantes System Systemreaktion ist unabhängig vom

Startzeitpunkt der Anregung mit u(k)

y(n) = T[u(n)]y(n-no) = T[u(n-no)]


Differenzengleichung

y(k+m) + am-1y(k+m-1) + .... + aoy(k) = u(k+n) + bn-1u(k+n-1) + .... + b1u(k+1) + bou(k)

Beispiel:y(k+2) + a1y(k+1) + aoy(k) = bou(k) Differenzgleichung 2. Ordnung

y(k+2) = bou(k) - a1y(k+1) - aoy(k) Zur Bestimmung von y(k+2)werden die Vorgänger y(k+1) und y(k) benötigt.

Die Lösung der Gleichung erfordert Additions-, Multiplikations- undSpeicherglieder (Speicherglied <-> Integrator).


Graphische Darstellung für Differenzengleichungen


Berechnungsvorschrift

Beispiel: Differenzgleichung2. Ordnung:

y(k+2) = bou(k) - a1y(k+1) - aoy(k)

Für k = 3 gilt:


Blockschaltbild Differenzengleichung 2. Ordnung


Beispiel Differenzengleichung 1. Ordnung

y(k+1) = ay(k) + u(k) k = 0,1,2,3,....

Für k=0: y(1) = ay(0) + u(0) y(0) muß bekannt sein.Anfangsbedingung, unabhängig von Eingangssequenz u(k)

Für k=1: y(2) = ay(1) + u(1)= a2y(0) +au(0) +u(1)

Für k=2: y(3) = a3y(0) +a2u(0) + au(1) + u(2)

Allgemein: y(k) = aky(0) + Σu(j)ak-1-j

Die Lösung besteht aus 2 Anteilen: aky(0) Anfangsbedingung / homogener TeilΣu(j)ak-1-j Erzwungener Anteil, abhängig von Eingangssequenz

j=0

j=k-1


Beispiel

System 1. OrdnungAnregung mit u(k) = Δ(k) = 1 für k=0, sonst 0

y(k) = ak-1 für k>= 1 Gewichtsfolge für System 1. Ordnung

Σu(j)ak-1-j Die Summe entspricht der zeitdiskreten Faltung von Eingangssequenz und Stoßantwort g(k) = ak-1.

vgl.

y(m) = Σu(k)g(m-k)K=0

k=m

j=0

j=k-1


Einführung z-Transformation:

g(k)G(s)

)(tua)(tueu(k) y(k)Voraussetzung LTI-System

ges: y(k) = f(g(k), u(k)) vgl. y(t) = f(g(t), u(t)) -> Y(s) = G(s) U(s)

u(k) = u*(t) = Σu(kT) δ(t-kT) = u(0) δ(t) + u(T) δ(t-T) + u(2T) δ(t-2T) + ...

Transformation in den Frequenzbereich:U*(s) = u(0) 1 + u(T) e-sT + u(2T)e-s2T + .... + u(kT)e-skT + ..... = Σu(kT)e-skT

Setzt man formal z = esT so gilt: U(z) = Σu(kT)z-k {u(kT)} <-> U(z)

K=0

k=

K=0

k=


z-Transformation

Interpretationen der z-Transformation:•Die z-Transformation beschreibt den Zusammenhang zwischen einer

Zahlenfolge {u(kT)} und der Funktion U(z). Die Herkunft der Zahlen-folge ist unerheblich.

•Die z-Transformation kann als Spezialfall der Laplace-Transformation aufgefaßt werden u*(t) <-> U*(s) = U(z) mit z=esT

Zeitkontinuierlich G(s) = Y(s)/U(s)Diskret G(z) = Y(z)/U(z)

y(m) = Σu(k)g(m-k) <-> Y(z) = U(z)G(z)

Y(z) = Σy(m)z-m = Σz-mΣu(k)g(m-k) = Σz-mΣu(k)g(m)z-k =

Σz-mg(m)Σu(k)z-k =G(z)U(z)


Korrespondenztabelle 1


Korrespondenztabelle 2


Beispiel

Berechnung der z-Transformierten zur Folge u(k) = {1,1,1,1,1,1.....} mit k= 0,1,2,3,4,5,.....

U(z) = Σu(k)z-k = Σz-k = 1 + 1/z + 1/z2 + 1/z3 + 1/z4 + ....

U(z) = lim Σu(k)z-k = lim{Σz-k} = 1 + 1/z + 1/z2 + 1/z3 + 1/z4 + .... + 1/zn

zU(z) = zΣu(k)z-k = lim{zΣz-k} = z + 1 + 1/z + 1/z2 + 1/z3 + 1/z4 + .... +1/zn-1

U(z)(z-1) = lim(z-z-n) = z ->

U(z) = z/(z-1)

K=0

k=

K=0

k=n

K=0

k=n

K=0

k=n

K=0

k=

n-> n->

n->


Beispiel / Übung

Gegeben ist u(k) = {1,1,1,1,1....} für k = 0, 1, 2, 3, 4, ....

u(k) <-> U(z) = z/(z-1)

Rechtsverschiebung um eine Stelle: u(k-1) <-> z-1 U(z) = 1/(z-1)Rechtsverschiebung um zwei Stellen: u(k-2) <-> z-2 U(z) = 1/[z(z-1)]

Linksverschiebung um eine Stelle: u(k+1) <-> zU(z) – zu(0) = z2/(z-1) – z = z/(z-1)

Linksverschiebung um zwei Stellen:u(k+2) <-> z2U(z) – z2u(0) –zu(1) = z2/(z-1) – z2 - z = z/(z-1)


Beispiel / Übung

Differenzengleichung: y(k+2) = y(k+1)+y(k)z-Transformierte: z2Y(z) – z2y(0) - zy(1) = zY(z) - zy(0) + Y(z)Anfangsbedingungen: y(0) = 0; y(1) = 1

Y(z) = z/(z2-z-1) Polstellen bei z1,2 = 0.5 (1±5)

Y(z)/z = 1/(z2-z-1) = A/(z-z1)+ B/(z-z2) = Q(z)

A = 1/5 und B = -1/5

Y(z) = A z/(z-z1) + B z/(z-z2)

y(k) = A{1, z1, z12, z1

3, ...} + B{1, z2, z22, z2

3, ...}

y(k) = {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, .....}


Übertragungsfunktion

Themen:

•Bestimmung des Frequenzganges aus der diskreten Sprungantworteines LTI-Systems

•Berechungsgrundlagen•Beispiele


Identifikation für diskrete Systemantwort

g(k)G(s)

)(tua)(tueu(k) y(k) y(m) = Σu(k)g(m-k)K=0

k=m

Die Eingangsfolge und Ausgangsfolge sind bekannt. Gesucht ist die Gewichtsfolge des Übertragungssystem!Rückschluß der gemessenen Folge y(k) und u(k) auf die Gewichtsfolge.

Neue Problemstellung/Ausgangssituation:• Digitalisierte Sprungantwort (äquidistante Zeitabstände)• Quantisierte Funktionswerte• LTI-System• Interpolation der Werte für den Zeitbereich

außerhalb der Abtastung durch Geradenstücke

Gesucht: • Frequenzgang / Ortskurve / Real- und Imaginärteil


Lösungsansatz / Interpolation

~

~

~

Interpolation durch Geradenstücke:

y(t) = y0 + (y1-y0)/(t1-t0) t σ(t) für 0<= t < t1 1. Intervall

y(t) = y1 + (y2-y1)/(t2-t1) (t-t1) σ(t-t1) für t1<= t < t2 2. Intervall

y(t) = y2 + (y3-y2)/(t3-t2) (t-t2) σ(t-t2) für t2<= t < t3 3. Intervall


n-tes Intervall:y(t) = yn-1 + (yn-yn-1)/(tn-tn-1) (t-tn-1) σ(t-tn-1)für tn-1<= t < tn

Approximation der Sprungantwort (1. und 2. Intervall):

y(t) = y0 + (y1-y0)/(t1-t0) t σ(t)

y(t1) = y0 + (y1-y0)/(t1) t1 = y1

Für t1 t< t2

Kompensation 1. Approximation

y(t) = y0 + (y1-y0)/T t σ(t) - (y1-y0)/T (t-t1) σ(t-t1) + (y2-y1)/T (t-t1) σ(t-t1)

Verallgemeinerung Interpolation

~

y0

y1

y2

t1t0 t2

~~

~


Frequenzgang und Ortskurve

Damit ergibt sich:

G(jω) = Re(G(jω)) + j Im(G(jω))

Beispiel:• Sprungantwort • Zeittakt / Abtastung 20 s / Abtastfrequenz 1/T = 0,05 s-1

• Systemverhalten zeigt PTx-Verhalten• Ortskurve: Darstellung Imaginärteil über Realteil• PT1-Glied: Ortskurve Halbkreis in IV. Quadranten

~ ~ ~



Damit ergibt sich als Approximation für das 2. Intervall:

y(t) = y0 + (y1-y0)/T t σ(t) + [y2-2y1+y0]/T (t-t1) σ(t-t1)

Formelmäßige Beschreibung der Approximation für den kompletten

Zeitbereich:

y(t) = y0 + (y1-y0)/T t σ(t) + [y2-2y1+y0]/T (t-t1) σ(t-t1) + .....

[(yk+1-yk)/(tk+1-tk) – (yk-yk-1)/(tk-tk-1)](t-tk) σ(t-tk) + ....

[(yn+1-yn)/(tn+1-tn) – (yn-yn-1)/(tn-tn-1)](t-tn) σ(t-tn)

~

~

Δyo/Δt (y2-2y1-y0)/Δt = Δy1/Δt

(yk+1-2yk-yk-1)/Δt = Δyk/Δt

(yn+1-2yn-yn-1)/Δt = Δyn/Δt



Damit ergibt sich folgende vereinfachte Schreibweise:

y(t) = y0 + Σ Δyk/Δt (t-tk) σ(t-tk)

mit Δy0 = (y1-y0)/T; Δy1 = (y2-2y1+y0)/T; Δyk = (yk+1-2yk+yk-1)/T

Zwischenresultat:• Approximation der diskreten Sprungantwort (Systemantwort)

durch eine kontinuierliche Funktion in Form von Geradenstücken• Erhöhung der Genauigkeit durch Reduzierung T und

Quantisierung• Basis für die Anwendung der Laplace-Transformation

~k=0

N


Anwendung der Laplace-Trans-formation für Approximation

y(t) = y0 + Σ Δyk/Δt (t-tk) σ(t-tk)

Transformation:

Y(s) = y0/s + Σ Δyk/Δt 1/s2 e-skΔt

Damit ergibt sich für die Übertragungsfunktion G(s) bei Anregung

mit einer Sprungfunktion U(s) = u0/s:

G(s) = Y(s)/U(s) = y0/u0 + 1/u0Σ Δyk/Δt 1/s e-skΔt

~k=0

N

~

~k=0

N~

k=0

N


Ermittlung des Frequenzganges / Ortskurve

Durch Ersetzen von s -> jω erhält man aus der Übertragungsfunktion den Frequenzgang und Ortskurve:

G(jω) = Y(jω)/U(jω) = 1/u0[ y0 + Σ Δyk/Δt 1/jω e-jωkΔt]

= 1/u0[ y0 –j/(ωΔt) Σ Δyk e-jωkΔt]

= 1/u0[ y0 –j/(ωΔt) Σ Δyk {cos(ωkΔt) - j sin(ωkΔt)}

Ermittlung des Real- und Imaginärteils:

Re(G(jω)) = 1/u0[ y0 +j2/(ωΔt) Σ {Δyk sin(ωkΔt)}]

= 1/u0[ y0 - 1/(ωΔt) Σ {Δyk sin(ωkΔt)}]

Im(G(jω)) = -1/u0[ 1/(ωΔt) Σ {Δyk cos(ωkΔt)}]

k=0

Nk=0

N

k=0

N

~

~

~


Beispiel Sprungantwort


0,00

0,07

0,25

0,47

0,65

0,78

0,85

0,900,94

0,960,98 0,99 1,00 1,00 1,00

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300

Zeit (s)

Reihe1


Ortskurve

Berechnete Ortskurve

-0,8

-0,7

-0,6

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

-0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Realteil G(jw)

Ima

gin

ärt

eil

G(j

w)

Frequenz


Ortskurve bis ω = 0,08 s-1


-0,8

-0,7

-0,6

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

-0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Realteil G(jw)

Ima

gin

ärt

eil

G(j

w)


Weitere Beispiele Totzeitglied ideal / real


0,00 0,00 0,00

1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0 29,4 58,8 88,2 117,6 147

Zeit (s)

Reihe1


Ortskurve reales Totzeitglied


-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

Realteil G(jw)

Ima

gin

ärt

eil

G(j

w)

Frequenz


Weitere Beispiele DT1-Glied


1,00

0,37

0,14

0,050,02 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0 29,4 58,8 88,2 117,6 147 176,4 205,8 235,2 264,6 294

Zeit (s)

Reihe1


Ortskurve Sprungfunktion mit negativer Flanke (DT1-Glied)

berechnete Ortskurve

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Realteil G(jw)

Ima

gin

ärt

eil

G(j

w)


Weiteres Beispiel Allpaß-Glied


-1,00

0,26

0,73

0,900,96 0,99 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300

Zeit (s)

Reihe1


Ortskurve Allpaß-Glied

berechnete Ortskurve

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

Realteil G(jw)

Ima

gin

ärt

eil

G(j

w)

Frequenz


Thema Identifizierung im Amplitudengang

Amplituden- und Frequenzgang:• Ausgangssituation G(jω) in Form der Ortskurve (Real- und

Imaginärteil)• Bestimmung des Amplitudenganges durch Betragsbildung

von G(jω)Bestimmung des Phasenganges durch Phasenbildung φ(jω) aus arctan-Bildung aus Imaginär- und Realteil

G(jω) = Re(G(jω)) + j Im(G(jω)) ~ ~ ~

Amplitudengang: A(ω) [dB] = 20 log|G(jω)|Phasengang: φ(ω) = arctan{Im[G(jω)]/[ReG(jω)] }


Identifizierung aus dem Amplitudengang


Bewertung

Identifizierung nur über Amplitudengang:• Keine Berücksichtigung des Phasenganges• Annahmen nur minimalphasige Systeme• Keine Berücksichtigung z.B. von Totzeiteinflüssen (Betrag =

1)Kein Beitrag zum Amplitudengang

Alternative Verfahren sind bekannt (nicht Bestandteil dieserVorlesungsreihe).

Date post:	05-Apr-2015
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