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Die Musik der PrimzahlenMathematik Querbeet

Prof. Dr. Stefan Wewers

Institut fur Reine MathematikUniversitat Ulm

14. Dezember 2018

Prof. Dr. Stefan Wewers Institut fur Reine Mathematik Universitat Ulm

Die Musik der Primzahlen

Der Primzahlsatz

Wieviele Primzahlen gibt es?

p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 27, 29, . . .

. . . , 101, 103, 107, 109, 113, 127, . . .

Theorem (Euklid, ca. 200 v.Chr.)

Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Leider gibt Euklids Beweis keine befriedigende Antwort auf dieFrage, wie haufig Primzahlen vorkommen.



Der Primzahlsatz


p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 27, 29, . . .

. . . , 101, 103, 107, 109, 113, 127, . . .






Der Primzahlsatz


p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 27, 29, . . .

. . . , 101, 103, 107, 109, 113, 127, . . .






Der Primzahlsatz


p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 27, 29, . . .

. . . , 101, 103, 107, 109, 113, 127, . . .






Der Primzahlsatz


p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 27, 29, . . .

. . . , 101, 103, 107, 109, 113, 127, . . .






Der Primzahlsatz

Seiπ(x) := Anzahl der Primzahlen p ≤ x .



Der Primzahlsatz




Der Primzahlsatz




Der Primzahlsatz


Satz (Hadamard, de La ValleePoussin, 1896)

π(x) ∼ Li(x) fur x →∞,

wobei

Li(x) :=

∫ x

2

dt

log(x).



Der Primzahlsatz


Satz (Hadamard, de La ValleePoussin, 1896)

π(x) ∼ Li(x) fur x →∞,

wobei

Li(x) :=

∫ x

2

dt

log(x).



Der Primzahlsatz


Die Riemannsche Vermutung

wurde zeigen:

π(x) = Li(x) +O(√

x log(x)).



Der Primzahlsatz


Heuristische Interpretation

Die ‘Wahrscheinlichkeit’, dasseine zufallig gewahlte Zahl neine Primzahl ist, ist

P(n ∈ P) ∼ 1

log(n).




Die Riemannsche Vermutung wurde 1859 von B. Riemann in seinerberuhmten Arbeit Uber die Anzahl der Primzahlen unter einergegebenen Große (Monatsbericht der Berliner Akademie,November 1859) formuliert:

Man findet nun in der That etwa so viel reelle Wurzelninnerhalb dieser Grenzen, und es ist sehr wahrscheinlich,daß alle Wurzeln reell sind. Hievon ware allerdings einstrenger Beweis zu wunschen; ich habe indeß die Auf-suchung desselben, nach einigen fluchtigen vergeblichenVersuchen vorlaufig bei Seite gelassen, da er fur dennachsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.




Die Riemannsche Vermutung wurde 1859 von B. Riemann in seinerberuhmten Arbeit Uber die Anzahl der Primzahlen unter einergegebenen Große (Monatsbericht der Berliner Akademie,November 1859) formuliert:

Man findet nun in der That etwa so viel reelle Wurzelninnerhalb dieser Grenzen, und es ist sehr wahrscheinlich,daß alle Wurzeln reell sind. Hievon ware allerdings einstrenger Beweis zu wunschen; ich habe indeß die Auf-suchung desselben, nach einigen fluchtigen vergeblichenVersuchen vorlaufig bei Seite gelassen, da er fur dennachsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.




Die Riemannsche Vermutung ist bis heute nicht bewiesen und giltals das großte offene Problem der Mathematik.

D. Hilbert (1862-1943) antwortete auf die Frage ‘Wenn Sie in 500Jahren wieder aufwachen wurden, was wurden Sie dann tun?’:

Ich wurde fragen, ob jemand die Riemannsche Vermu-tung gelost hatte.

Seit 2000 ist die R.V. eines der 7 mathematischenJahrtausendprobleme, auf die vom Clay Mathematics Institute einPreis von 1.000.000 $ ausgeschrieben ist.

















Die Riemannsche ζ-Funktion

Bereits 1744 betrachtete Euler die durch eine unendliche Reihedefinierte Funktion

ζ(s) :=∞∑n=1

1

ns= 1 +

1

2s+

1

3s+

1

4s+

1

5s. . . .

Er berechnete die Werte fur s = 2, 4, 6, . . .. Z.B. gilt

ζ(2) = 1 +1

22+

1

32+ . . . =

π2

6.

Die Funktion ist aber nur fur s > 1 definiert; fur s = 1 ist dieReihe ζ(1) divergent:

ζ(1) = 1 +1

2+

1

3+ . . . → ∞





ζ(s) :=∞∑n=1

1

ns= 1 +

1

2s+

1

3s+

1

4s+

1

5s. . . .


ζ(2) = 1 +1

22+

1

32+ . . . =

π2

6.


ζ(1) = 1 +1

2+

1

3+ . . . → ∞





ζ(s) :=∞∑n=1

1

ns= 1 +

1

2s+

1

3s+

1

4s+

1

5s. . . .


ζ(2) = 1 +1

22+

1

32+ . . . =

π2

6.


ζ(1) = 1 +1

2+

1

3+ . . . → ∞




Der Zusammenhang mit den Primzahlen ergibt sich aus derProduktformel

ζ(s) =∞∑n=1

1

ns=∏p

1

1− p−s.

Diese Formel kodiert in ‘analytischer Form’ den Fundamentalsatzder Arithmetik:

Jede naturliche Zahl n kann auf eindeutige Weise alsein Produkt von Primzahlen geschrieben werden:

n = pe11 pe22 · . . . · perr .




Eulers Trick: betrachte

log(ζ(s)) = −∑p

log(1− p−s) ∼∑p

1

ps.

Da log(ζ(s))→∞ fur s → 1, folgt die Divergenz der Reihe∑p

1

p=

1

2+

1

3+

1

5+

1

7+ . . . .

Dies zeigt insbesondere, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.




Riemann betrachtet die Funktion ζ(s) als Funktion eineskomplexen Parameters s = σ + i · t. Die Reiheζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + . . . ist dann fur σ > 1 definiert:

σ

t

s = 1




Dann definiert Riemann eine analytische Fortsetzung von ζ(s) furalle komplexen Zahlen s 6= 1. Nur in s = 1 hat die Funktion einePolstelle:

σ

t

s = 1

Es gilt z.B.

ζ(−1) = 1 + 2 + 3 + . . . = − 1

12.




Dann definiert Riemann eine analytische Fortsetzung von ζ(s) furalle komplexen Zahlen s 6= 1. Nur in s = 1 hat die Funktion einePolstelle:

σ

t

s = 1

Es gilt z.B.

ζ(−1) = 1 + 2 + 3 + . . . = − 1

12.



Beweis des Primzahlsatzes

Aufbauend auf den Arbeiten von Riemann wurde der Primzahlsatz1869 von Hadamard und de La Vallee Poussin bewiesen. Daszentrale Argument: die ζ-Funktion hat keine Nullstellen auf derGeraden σ = 1:

σ

t

s = 1




Die Riemannsche Vermutung: Alle (nichttrivialen) Nullstellenvon ζ(s) liegen auf der Geraden σ = 1/2:

σ

t

s = 1

Es ist bekannt, dass es ∞ viele Nullstellen gibt, und dass dieVermutung fur die ersten 10 Billionen von ihnen zutrifft.





σ

t

s = 1

Es ist bekannt, dass es ∞ viele Nullstellen gibt, und dass dieVermutung fur die ersten 10 Billionen von ihnen zutrifft.





σ

t

s = 1

Die die ersten Nullstellen sind ρ = 1/2 + i · θ, mit

θ = ±14.134.., ±21.022.., ±25.010.., . . .




Der Beweis des Primzahlsatzes zeigt: die Riemannsche Vermutungist aquivalent zur (bestmoglichen) Abschatzung des Fehlerterms:

|π(x)− Li(x)| = O(√x log(x)).

Zitat von M.V. Berry (einem Physiker!):

..there is a sense in which we can give a one-linenon-technical statement of the Riemann hypothesis: ‘Theprimes have music in them!’




Der Beweis des Primzahlsatzes zeigt: die Riemannsche Vermutungist aquivalent zur (bestmoglichen) Abschatzung des Fehlerterms:

|π(x)− Li(x)| = O(√x log(x)).

Zitat von M.V. Berry (einem Physiker!):

..there is a sense in which we can give a one-linenon-technical statement of the Riemann hypothesis: ‘Theprimes have music in them!’



Fourier-Transformation

Eine (reine) Schwingung kann man mathematisch durch eineSinus- oder Cosinusfunktion modellieren:

f (t) = A · sin(ω · t).

Dabei ist A die Amplitude (‘Lautstarke’) und ω die Frequenz(‘Tonhohe’).



Fourier-Transformation

Komplizierte Schwingungen erhalt man als Uberlagerungen vonreinen Schwingungen:

f (t) =∑i

Ai sin(ωi · t).

Die Menge der Frequenzen {ω1, ω2, . . .} heißt das Spektrum derSchwingung.



Fouriertransformation

Im Prinzip laßt sich jedes Signal als eine Uberlagerung von reinenSchwingungen darstellen. In der Nachrichtentechnik nennt mandies eine Frequenzanalyse.

Die mathematische Theorie dahinter ist die Fourieranalyse. DieUmwandung einer Zeitfunktion f (t) in eine Funktion auf demFrequenzbereich (und zuruck) nennt man Fouriertransformation.



https://academo.org/demos/spectrum-analyzer

Fouriertransformation

Im Prinzip laßt sich jedes Signal als eine Uberlagerung von reinenSchwingungen darstellen. In der Nachrichtentechnik nennt mandies eine Frequenzanalyse.

Die mathematische Theorie dahinter ist die Fourieranalyse. DieUmwandung einer Zeitfunktion f (t) in eine Funktion auf demFrequenzbereich (und zuruck) nennt man Fouriertransformation.



https://academo.org/demos/spectrum-analyzer

Die Musik der Primzahlen?

Riemanns geniale Einsicht war, dass man mithilfe der ζ-Funktioneine ‘Frequenzanalyse’ der Primzahlzahlfunktion erhalt.

DasErgebnis vereinfacht sich, wenn man anstelle von π(x) die Funktion

ψ(x) :=∑pn≤x

log(p)

untersucht.




Riemanns geniale Einsicht war, dass man mithilfe der ζ-Funktioneine ‘Frequenzanalyse’ der Primzahlzahlfunktion erhalt. DasErgebnis vereinfacht sich, wenn man anstelle von π(x) die Funktion

ψ(x) :=∑pn≤x

log(p)

untersucht.




Riemanns geniale Einsicht war, dass man mithilfe der ζ-Funktioneine ‘Frequenzanalyse’ der Primzahlzahlfunktion erhalt. DasErgebnis vereinfacht sich, wenn man anstelle von π(x) die Funktion

ψ(x) :=∑pn≤x

log(p)

untersucht.




Der Primzahlsatz ist aquivalent zu

ψ(x) ∼ x .





ψ(x) ∼ x .





ψ(x) ∼ x .



Die Fouriertransformierte von ψ(x)

Die ‘gedampfte Fouriertransformierte’ von ψ(x) ist die Funktion

F (t) :=∑pn≤C

log(p)

pn/2· cos(n log(p) · t).

Fur C = 500 erhalten wir:




Die ‘gedampfte Fouriertransformierte’ von ψ(x) ist die Funktion

F (t) :=∑pn≤C

log(p)

pn/2· cos(n log(p) · t).

Fur C = 500 erhalten wir:




Beobachtung: die ‘Peaks’ sind genau die (positiven Imaginarwerteder) Nullstellen von ζ(s)!

θ = 14.134, 21.022, 25.010, 30.424, 32.935, . . .



Von den Nullstellen zu den Primzahlen

Die Riemannsche Vermutung besagt, dass wir die Funktionen π(x)und ψ(x) exakt als Uberlagerung von reinen Schwingungen mitden Frequenzen θi zuruckgewinnen konnen.

Eine vereinfachteVersion der ‘Rucktransformierten’ ist die Funktion

H(t) = 1 +∑θ≤C

cos(θ · t).

C=50:




Die Riemannsche Vermutung besagt, dass wir die Funktionen π(x)und ψ(x) exakt als Uberlagerung von reinen Schwingungen mitden Frequenzen θi zuruckgewinnen konnen. Eine vereinfachteVersion der ‘Rucktransformierten’ ist die Funktion

H(t) = 1 +∑θ≤C

cos(θ · t).

C=50:




Die Riemannsche Vermutung besagt, dass wir die Funktionen π(x)und ψ(x) exakt als Uberlagerung von reinen Schwingungen mitden Frequenzen θi zuruckgewinnen konnen. Eine vereinfachteVersion der ‘Rucktransformierten’ ist die Funktion

H(t) = 1 +∑θ≤C

cos(θ · t).

C=50:




Eine vereinfachte Version der ‘Rucktransformierten’ ist dieFunktion

H(t) = 1 +∑θ≤C

cos(θ · t).

C=500:



Die explizite Formel

Theorem (Riemann-von Mangoldt)

Fur alle x ≥ 2 gilt

ψ0(x) = x −∑ρ

xρ

ρ− log(2π)− 1

2log(1− x2).

Dabei lauft ρ uber die nichttrivialen Nullstellen von ζ(s).

Mit 10Nullstellen:






ψ0(x) = x −∑ρ

xρ

ρ− log(2π)− 1

2log(1− x2).


Mit 10Nullstellen:






ψ0(x) = x −∑ρ

xρ

ρ− log(2π)− 1

2log(1− x2).


Mit 20Nullstellen:






ψ0(x) = x −∑ρ

xρ

ρ− log(2π)− 1

2log(1− x2).


Mit 100Nullstellen:




Ein ideales Weihnachtsgeschenk:




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Die Folien dieses Vortrags konnen von meiner Webseiteheruntergeladen werden:

https://www.uni-ulm.de/mawi/rmath/mitarbeiter/wewers/

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