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Die Poincaré-Vermutung und ihre Geschichte Thilo Kuessner 23.4.2008.

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Die Poincaré-Vermutung und ihre Geschichte Thilo Kuessner 23.4.2008
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Page 1: Die Poincaré-Vermutung und ihre Geschichte Thilo Kuessner 23.4.2008.

Die Poincaré-Vermutung und ihre Geschichte

Thilo Kuessner

23.4.2008

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Beispiele von Flächen

Sphäre Torus Brezel Doppelbrezel

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Karte einer Sphäre

Stereographische Projektion : Sphäre ohne Nordpol Ebene

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Wie unterscheidet man Flächen?

• Euler-Charakteristik

• Fundamentalgruppe

• Hyperbolisches Volumen

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Euler-Charakteristik

E-K+F

E= Anzahl der EckenK= Anzahl der KantenF= Anzahl der Flächen

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Eulerscher Polyedersatz I

E=8,K=12,F=6

E-K+F=2

E=20,K=30,F=12

E-K+F=2

E=12,K=30,F=20

E-K+F=2

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Eulerscher Polyedersatz II

E=60, K=150, F=92

E-K+F=2

Satz (Legendre, 1794): Jede Zerlegung der Sphäre in Polygone erfüllt E-K+F=2.

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Euler-Charakteristik eines Torus

E=160,K=320,F=160

E-K+F=0

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Euler-Charakteristik von Flächen

Satz (Lhuillier, 1817): Für jede Zerlegung einer kompakten, orientierbaren Fläche mit g Henkeln gilt:

E-K+F = 2-2g.

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Fundamentalgruppe

Geschlossene Kurven

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Stetige Deformation von Kurven

• F ist einfach zusammenhängend

< === >• Jede geschlossene Kurve läßt sich stetig in

einen Punkt deformieren.

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Einfacher Zusammenhang I

• Die Sphäre ist einfach zusammenhängend.

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Einfacher Zusammenhang II

• Der Torus und die Brezel sind nicht einfach zusammenhängend.

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Einfacher Zusammenhang III

• Satz (Poincaré, 1896): Eine kompakte Fläche ist genau dann einfach zusammenhängend, wenn sie homöomorph zur Sphäre ist.

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Geometrie von Flächen

Krümmung und Flächeninhalt

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Krümmung von Flächen

Eine Fläche sei in lokalen Koordinaten als Graph einer Funktion h(u,v) gegeben.Dann ist die Krümmung definiert als:

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Krümmung

• Hyperboloid: K=-1• Zylinder: K=0• Sphäre: K=1

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Krümmung und Winkelsumme

• K>0 : Innenwinkelsumme > 180 Grad• K<0: Innenwinkelsumme < 180 Grad

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Modellräume

• Modell für K=1: Einheitssphäre

• Modell für K=0: Euklidische Ebene

• Modell für K=-1: Hyperbolische Ebene

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Flächen konstanter Krümmung

• Hyperbolische Ebene : K=-1

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Geometrisierung von Flächen

• Satz (Riemann, 1851): Jede kompakte, orientierbare Fläche trägt Metriken konstanter Krümmung:

- die Sphäre mit K=1,

- der Torus mit K=0,

- Flächen höheren Geschlechts mit K=-1.

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Torus mit K=0

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Fläche mit drei Henkeln : K = -1

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Hyperbolischer Flächeninhalt

Auf einer Fläche mit g Henkeln hat jede hyperbolische Metrik den Flächeninhalt

-2pi (E-K+F)

also -2pi mal die Euler-Charakteristik.

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Konstruktion von 3-Mannigfaltigkeiten

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Poincaré-Vermutung

Die Whitehead-Mannigfaltigkeit ist das Komplement des Durchschnitts der ineinander geschachtelten verknoteten Tori.

W ist einfach-zusammenhängend und nicht-kompakt, aber nicht homöomorph zum euklidischen Raum.

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Allgemeine 3-Mannigfaltigkeiten

A#B:= A-D U B-D

Zusammenhängende Summe:

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Ricci-Fluß - Singularitäten

Gebiete mit höherer (positiver) Krümmung bilden während des Ricci-Flußes einen „neckpinch“, d.h. einen immer dünner und länger werdenden Hals.

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Weeks (2004):

• „Observational data suggest the observable universe either is flat or has a small curvature that is more likely positive than negative.“

• Messungen der Masse-Energie-Dichte: 1.02 x Dichte eines flachen Universums

• Meßgenauigkeit: 0.02 x Dichte eines flachen Universums


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