Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.1 Vorlesung Regelungstechnik...

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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.1 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Vorlesung Regelungstechnik 1

21. Januar 2003

Hochschule für Technik und Wirtschaft des SaarlandesFachbereich Elektrotechnik

Goebenstr. 4066117 Saarbrücken

Nicht lineare RegelungenNicht lineare Regelungen

Bisherige Themen Regelungstechnik 1

Themen bisher:• Zusammenfassung Ergebnisse Systemtheorie

(P, PTn, ITn, PID, Tt-Systeme)• Darstellungsformen der Systemtheorie

(DGL, G, h, g, GW, GZ, Bode, PN, Ortskurve)• Methoden und Verfahren zur Einstellung von Reglern / Regler-

synthese im Zeit- und Frequenzbereich(Ziegler, Symmetrisches Optimum, Betragsoptimum)

Anwendungsbereich/Einschränkung:• Analog arbeitende Systeme • Lineare Systeme• Zeitinvariante Systeme

Lineare / nicht lineare Systeme

LTI-Systeme ist Voraussetzung für die bekannte einheitliche geschlossene Theorie (Systemtheorie):• Zeitliches Verhalten mit linearen Differentialgleichungen• Anwendung der Laplace-Transformation • Vorhersage des statischen und dynamischen Verhaltens• Getrennte Bestimmung des Führungsgrößen- und Störgrößenverhaltens.

Nichtlineare Systeme:System ist linearisierbar:• Linearisierung durchführen• Rückführung auf LTI-System

mit Anwendbarkeit der obigenKriterien

System nicht linearisierbar:• Lösung nur im Zeitbereich• Nicht lineare Dgls.• Nicht immer lösbar

Definition der Linearität

Für lineare Systeme gilt das Superpositionsprinzip:

1 1 2 2 1 1 2 2

( ) { ( )}( ) { ( )}( ) { ( )}

( ) ( ) { ( )} { ( )}

a a e e

x t x tx t x tx t x t

ax t a x t a x t a x t

Genaue Definition der Linearität umfasst zwei Kriterien:• Verstärkungsprinzip• Überlagerungsprinzip (Superpositionsprinzip)

Definition der Linearität

Verstärkungsprinzip

Superpositionsprinzip

( ) { ( )} { ( )}a e ekx t kx t k x t

1 2 1 2

( ) ( ) { ( ) ( )}{ ( )} { ( )}

a a e e

x t x t x t x tx t x t

Beispiel für lineares SystemP-System

Überprüfung der Linearitätsbeziehungen:• Verstärkungsprinzip

• Superpositionsprinzip

( ) ( )( ) { ( )} { ( )}( ) ( ) ( )

a e eP P

x t K x tkx t kx t k x tkx t kK x t K kx t

1 2 1 2 1 2

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) { ( ) ( )} { ( )} { ( )}( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( )}

a a e e e e

a a P e P e P e e

x t K x tx t K x t

x t x t x t x t x t x tx t x t K x t K x t K x t x t

Definition lineares System

Ein System ist dann linear, wenn es die Linearitätsprinzipien erfüllt:( ) { ( )} { ( )}a e ekx t kx t k x t

1 2 1 2

( ) ( ) { ( ) ( )}{ ( )} { ( )}

a a e e

x t x t x t x tx t x t

Alle Übertragungselemente, für die das Linearitätsprinzip nicht gilt,sind nichtlineare Übertragungselemente und haben nichtlinearesVerhalten.

Linearisierung nichtlinearer Systeme

Analytisches Verfahren:

Y = f(U,Z) = Z2/U + BArbeitspunkt Yo;Zo;Uo;

Gesucht: y = Ku u + Kz z

Ku = f(U,Z)/U für Uo; ZoKu = -Zo2/Uo2

Kz = f(U,Z)/Z für Uo; ZoKz = 2 Zo/Uo

y = -Zo2/Uo2 u + 2 Zo/Uo z

Graphisches Verfahren:

Ku = f(U,Z)/U für Uo; ZoKu = ΔYu/ΔU für Zo

Kz = f(U,Z)/Z für Uo; ZoKz = ΔYz/ΔZ für Uo

y = Ku u + Kz z

Lineares / Nicht lineares SystemBeispielBild 14.1-1, Wendt, S.704

{ ( )} { ( )}(2 0.2) 2 (0.2)

e ekx t k x tff

1 2 1 2{ ( ) ( )} { ( )} { ( )}(0.1 0.16) (0.1) (0.16)

e e e ex t x t x t x tff f

Verstärkungsprinzip:

Superpositionsprinzip:

Eigenschaften lineare / nicht lineare Systeme

Eigenschaften nichtlinearer Regelsysteme

Bei nicht linearen Systemen hat das Linearitätsprinzip keine Gültigkeit.

Im nicht linearen System gilt das Verstärkungsprinzip nicht. Das nicht lineare System wirkt entsprechend seiner Begrenzung:• Linear im Linearitätsbereich• Nicht linearer – begrenzend außerhalb des Linearitätsbereich

Beispiel

PT1 mit P-ReglerZeit = T/2(oben)

PT1 mit NichtlinearitätZeit = T(unten)

Beispiel

Lösung für Sprung 1.5 mit Sättigung bei 1 : 1 Zusammengesetzte Lösung

Allgemeine Lösungsstrategie

• Der Arbeitsbereich des nichtlinearen Übertragungsgliedes wirdin Bereiche eingeteilt, in denen eine lineare Beziehung für den Zusammenhang von Ein- und Ausgangsgröße gefunden werden kann.

• Für jeden dieser Bereiche wird der funktionale Zusammenhang vonEin- und Ausgangsgröße des Gesamtsystems bestimmt.(Ziel: Handelt es sich eventuell um ein bekanntes Standardüber-tragungsverhalten?)

• Soweit möglich, wird die Eingangsgröße des nichtlinearen Übertra-gungsgliedes in die grafische Darstellung (Zeitverläufe w, e, x) ein-getragen und es werden die definierten Bereiche markiert.

• Die Anfangswerte aller zu zeichnenden Größen werden bestimmt (t=0). Damit liegt fest, in welchem Bereich des nichtlinearen Über-tragungsgliedes sich das System befindet. Der Zeitverlauf wird für jeden Bereich ermittelt und eingezeichnet. Bei Bereichswechsel sinddie Start-(Anfangswerte) mit zu berücksichtigen.

Anwendungsbeispiel

Folgender Fall ist zu untersuchen:•Nichtlineares System mit Sättigungsbereich bei 1:1•Sprungfunktion Sollwert w(t) = 1.5

ew y x

Lösung (1)

Nicht Linearität Element mit BegrenzungBild Nr. 27 eingerahmter Kasten, Wendt, S. 770 oben

Ableitung der Kennlinienbeschreibung1, 1; 1 11; 1

ey e e

Lösung (2)

Lösung für e > 1: Aus Kennlinie folgt y = 1

11 ( ) ( ) (0) ( )[1 ]

1( ) (1 )

( ) 1tT

dxw x e x Tdt

X s sTX s x X s sTs

X ss sT

Lösung (3)

Lösung für –1 < e < 1: Aus Kennlinie folgt y = e

01 01 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2 ( )[1 ] ( )2( )3( ) 2( )4 (1 )2

3 1 3 1( ) (1 )4 2 4 4t t t t t t

dxe w x x Tdt

W s X s X s sTX s x tTW s X s s x t

x tX s T T ss sT

x t e e e

Erstellen der Diagramme

Übergang der beiden Fälle beim Durchgang beim Amplitudenwert 0.5 bei t = 0.69 s

Erstellen der Diagramme

Übergang der KennlinieFür t>0.69s findet der Übergang vomKonstanten auf den linearen Bereich derKennlinie statt.

Auswirkungen nicht linearer Systeme

Führungs- und Störübertragungsverhalten können nicht getrennt von-einander betrachtet werden. Getrennte Überlagerung liefert andereWerte als bei gemeinsamer Berücksichtigung

Bild 14.1-5, Wendt, S.710

Führungsverhalten

Störübertragungs-sverhalten

SuperpositionGleichzeitige Berück-sichtigung von w Und z

Bei linearen Systemen können bei Reihen-Schaltung von Sys-temen die Übertra-gungssysteme getauscht werden.

Bei nicht linearen Systemen führt dies zu falschenErgebnissen

Beispiel nicht lineares System mit Dreipunktregler (MATLAB)

Schaltbild

SchaltbildBild 14.1-12, S.714 oben

Bild 14.1-13, Wendt. S.715

Zeitverläufe

Grundtypen nicht linearer Funktionen

Folgende Grundtypen sind unterscheidbar:•Analytische FunktionenFunktionale Zusammenhänge sind definiert y = sin(t), y = x2

Funktionen sind stetig und differenzierbar.Linearisierung nach Taylorreihenentwicklung im Arbeitspunkt möglich.•Stückweise lineare FunktionenUnstetigkeit im Funktionsverlauf und der Ableitung.Zweipunktregler (ideal)Beschreibung erfolgt durch stückweise linearisierte Funktionen•Mehrdeutige FunktionenNicht eindeutige Verläufe (z.B. Hysterese, Umkehrspanne)Bei nicht eindeutigen Verläufen ergibt sich der richtige Wert aus der Historie

Beispiele für nicht lineare Funktionen

Stückweise lineare Funktion

Beispiele für nicht lineare Funktionen

Übersicht nicht linearer Funktionen•Schaltende Elemente (Zwei-, Dreipunktregler)•Schaltende Elemente mit Hysterese (Zwei-, Dreipunktregler)•Elemente mit progressiver Kennlinie (Verstärkung wächst mit der Eingangsgröße)•Elemente mit degressiver Kennlinie (Verstärkung fällt mit der Eingangsgröße)•Elemente mit Begrenzung (Sättigung)•Elemente mit Hysterese ohne Begrenzung•Elemente mit Hysterese mit Begrenzung (Sättigung)

Zweipunktregler mit PT1-Strecke

Betrachtung einer PT1-Strecke mit•Zweipunktregler mit HystereseSchaltdifferenz xdPT1-Strecke ohne Totzeit•Zweipunktregler mit HystereseSchaltdifferenz xdPT1-Strecke mit Totzeit•Variation der Schaltdifferenz•Variation der Stellgröße•Variation der Streckenzeitkonstanten

Benedikt Faupel Oktober 2001

Zweipunktregelkreis / ZeitverlaufZweipunktregelkreis / Zeitverlauf

Zweipunktregler Regelstrecke

OfenKS; TS

t = 0 / Startwert: 0°Cneuer Sollwertw := 450°C

Zeitverlauf:für y := yh gilt: x(t) = 850°C(1-e-t/Ts)solange bis x(t) := xob (453°C)t1 = -TS ln(1-453/850) = 7,61mint3 = TS ln((850-447)/(850-453)) = 0,15 min

für y := 0 gilt: x(t‘) = 850°C(e-t‘/Ts)solange bis x(t) := xun (447°C)t2 = TS ln(453/447) = 0,13 min

KS := 2,83°C/m3/hTS := 10 minyh := 300 m3/hxsd := 6°C (± 3°C)

Ergebnis:• pendelnde Regelgröße zwischen xob& xun

• Regelgenauigkeit Schaltdifferenz• Wert yh ist höher als für w erforderlich• Wert 0 ist kleiner als für w erforderlich• vorhandene Leistungsreserve

t1 t2 t3

ein aus

Berechnungen

•Auswirkungen der Schaltdifferenz bei Varianz des Sollwertsprunges(w = 1, 2, ..., 10) Schaltdifferenz 2 •Der Zweipunktregler steuert die Regelstrecke mit 2 definierten Stellgrößen yh und 0.Yh ist so gewählt, dass ein sehr großer Sollwert erreicht werden kann.(z.B. Gasstrom so hoch, dass bei permanenten Betrieb 800 °C er-reicht werden kann.)•Aufheizung / Fahrweise mit hoher Stellgröße solange, bis gewünsch-ter Sollwert erreicht wird.•Stellgröße 0 für Überschreiten des Sollwertes Abfallen der Regelgröße mit erreichtem Endwert (Aufheizvorgang)mit gleicher Zeitkonstante•Schaltendes periodisches Verhalten des Regelkreises

Optimierung des ZweipunktregelkreisesOptimierung des Zweipunktregelkreises

Optimierung /Einflussgröße

Massnahme Auswirkung Ergebnis

Zu große Regel-abweichung Xob / xun

Zeitkonstante RegelstreckeTS

Halbierung der ZeitkonstantenTS -> TS/2

Höhere Schaltfrequenz /Reduzierung der Reglerlebensdauer

kleine Zeitkonstante ->höhere Schaltfrequenz

Prüfung der Schalthäufigkeit bei Reglerauswahl

Einsatz Zweipunkt-regler mit reduzierter SchaltdifferenzXsd

Berechnung der SchaltfrequenzBerechnung der Schaltfrequenz

Annahme Leistungsüberschuß 100 %

w := xmax/2

Verhältnisgleichheit Winkel α

xmax / 2TS = 2xsd / T

fS := 1/T

fS = ¼ xmax/xsd 1/TS

Herleitung

Regelgröße: X(t) = Ksyh(1-e-t/Ts)

Zeitpunkt t1: x(t=t1) = xmax/2 = ½ Ks yh

t1 = TS ln(2)

Anstieg im Punkt x(t1): dx(t)/dt = Ks yh / TS e-t/Ts

dx(t1)/dt = Ks yh / TS e-t1/Ts = Ks yh / 2TS = xmax / 2TS

Einfluß der Leistungsreserve auf den ZeitverlaufEinfluß der Leistungsreserve auf den Zeitverlauf

Annahmen: • Zweipunktregler mit Xsd := 0• Regelstrecke (PTn)mit Tu und TG

• Xpa Regeldifferenz; ΔX Schwankungsbreite

Fallbeispiele:Stellbereich 100%• Dauereinschaltung • Sollwert = xMax / Endwert w• Stellgröße ausreichend für Erreichen von

Stellbereich 125% • Einschaltdauer / Ausschaltdauer = 4• xpa positiv • Sollwert > xm / Endwert 1,25 w

Stellbereich 200%• Einschaltdauer / Ausschaltdauer = 1• xpa = 0 • Sollwert = xm / Endwert 2 w

Stellbereich 500% • Einschaltdauer / Ausschaltdauer = 1/4• xpa negativ• Sollwert < xm / Endwert 5 w

Tein/T = ¾

Tein/T = ¼Tein/T = ½

Zeitverhalten mit PT1-Strecke mit Totzeit und Schaltdifferenz

Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.1 Vorlesung Regelungstechnik...

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