Date post: | 12-Jun-2015 |
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
GRUNDLAGEN DER REGELUNGSTECHNIK
Gunter ReinigE-Mail [email protected]
Telefon: 32-24060 IB 3 / 153
Regelungstechnik 1
Kapitel 4
Anwendung der Laplace-Transformation in der Regelungstechnik
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
4. Anwendung der Laplace-Transformation in der Regelungstechnik
0. Motivation / Allgemeines
Hoher Rechenaufwand bei Verwendung des Exponential-Ansatzes zur Lösungder Modellgleichungen (auf bei Anfangsbedingungen gleich Null)wegen „nachträglicher“ Berücksichtigung der Anfangsbedingungen
Schwierige Verrechnung von Blockschaltbildern, wenn Integrations- oder Differenzierungs-Operatoren auftreten
Alternativer Zugang:
Transformation aus dem Originalbereich (Zeitbereich) in einen „geeigneten Bildbereich“
Verrechnung, Manipulation im Bildbereich, ggf. Analyse im Bildbereich
Rücktransformation in den Originalbereich
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
4. Anwendung der Laplace-Transformation in der Regelungstechnik4.1 Funktionaltransformationen / Integraltransformationen
Funktion f(s) bewirkt Abbildung einer Zahl aus der s-Ebene auf die f(s)-Ebene
Funktionaltransformation bewirkt Abbildung einer Funktionaus dem Originalbereich (Zeitbereich) in einen Bildbereich
Unabhängige Variable: Zeit t Unabhängige Variable: s = δ + i ω
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
Integraltransformation – eine Funktionaltransformationen für stetige Funktionen
Allgemein:
Originalfunktion
Laplace-Transformation:Originalfunktion
Kernfunktion
t1 = 0 t2 = ∞
definiert für t ≥ 0
Laplace-Integral:
Anwendbar für Funktionen, für die das Integral existiert
Kernfunktion der Transformation
4.1 Funktionaltransformationen / Integraltransformationen
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
Laplace-Integral:
Symbole: Λ [x(t)] = X(s) = [
Korrespondenz: ( )x t o X(s)•l
4.1 Funktionaltransformationen / Integraltransformationen
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
Beispiel Rampenfunktion
Korrespondenztabellen für wichtigste Funktionen verfügbar
4.1 Funktionaltransformationen / Integraltransformationen
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL
Beispiel DGL 1. Ordnung
Nutzung von Überlagerungs- und Verstärkungsprinzip:
bzw:
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
Für Systeme n-ter Ordnung:
Dringend benötigt: Lösung für Teilausdrücke:
4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
Partielle Integration:
aus der Voraussetzung derExistenz des Integrals
Damit ergibt sich:
bzw.
Bei x(0) handelt es sich definitionsgemäß um einen rechtsseitigen Grenzwert:
4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
Die Laplace-Transformierten höherer Zeitableitungen ergeben sich analog:
Differenziationssatz der Laplace-Transformation
Für eine DGL 1. Ordnung wird damit:
bzw.
Umgestellt nach xa
4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
Anwendung des Differenziationssatzes auf DGL n-ter Ordnung:
ergibt:
bzw. unter Weglassen der Ausdrücke mit den Anfangswerten
Dabei wird verlangt, dass : und
4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
„Umgang“ mit den Anfangsbedingungen:
Die rechtsseitigen Anfangswerte sind nicht bekannt.
Für die hier betrachteten Anwendungen wird angenommen:
=
Weitere vereinfachende Annahme: System befindet sich für t < 0 im Ruhezustand
„verschwindende Anfangsbedingungen“
4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL
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4. LaplaceTransformation
Dann ergibt sich z. B. für eine DGL 3. Ordnung:
Laplace-Transformation und Ausklammern von Ausklammern von Xe(s) und Xa(s)
Verhältnis von Xa(s) zu Xe(s)bei verschwindenden Anfangs-bedingungen
4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL
Damit ergibt die Lösung für Xa(s) (zunächst im Bildbereich!):
Übertragungsfunktion:
Xa(s) Xe(s)Xe(s) Xe(s)
Xe(s)Xa(a)=
Xe(s)
Xa(a)
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
Schritte bei der Lösung einer linearen DGL in der linearen Regelungstechnik
1. Aufstellen der Übertragungsfunktion (unmittelbar aus der DGL unter Nutzung der Differenziationssatzes)
2. Laplace-Transformation der Eingangsgrößen Λ [xe(t)] = Xe(s) (ggf. unter Nutzung von Korrespondenztabellen)
3. Ermittlung von Xa(s) = G(s) Xe(s)
4. Rücktransformation der Bildfunktion Xa(s) in eine Zeitfunktion xa(t)
ax (t) = [X1 a
−L ︵s ︶]
Benötigte Ressourcen:KorrespondenztabellenRechenregeln (Sätze der Laplace-Transformation
4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
4.3 Berechnung einiger Laplace-Integrale
1.) Einheitssprung σ(τ)
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
2.) Exponentialfunktion x(t) = ea t
a - beliebige reelle oder komplexe Zahl
Für a = 0: ea t = e0 = 1 =
4.3 Berechnung einiger Laplace-Integrale
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
3.) sinus x(t) = sin ω t
Trick zur Vermeidung der Integration: n=2
x(t)=sin t x(t) cos t und x sin t 2( t )
Umstellen:
Für ω ω ω ω ω• ••
= = −istEinsetzen von x( t )
••ergibt:
Umstellen:
4.3 Berechnung einiger Laplace-Integrale
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
Korrespondenzen-Tabelle
4.3 Berechnung einiger Laplace-Integrale
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
4.4 Die wichtigsten Sätze der Laplace-Transformation
Für verschwindende Anfangsbedingungen:
2. Zeitverschiebungssatz
Übertragungsglied mit (Transport-) Totzeit T bewirkt „Zeitversatz“ der Ausgangsgröße
1. Differenziationssatz
xa(t) = xe(t-T)
Mit x( t-T ) = 0 für t<T und der Substitution (t – T) = τ wird:
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
2. Zeitverschiebungssatz (Fortsetzung)
Für t > T kann τ durch t ersetzt werden
Zeitverschiebung im Originalbereich entspricht Multiplikation mit e-sT im Bildbereich
4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
2. Zeitverschiebungssatz (Fortsetzung)
Beispiele für Anwendungen des Zeitverschiebungssatzesa) Übertragungsfunktion eines Totzeit-Übertragungsgliedes (Transport-Totzeit)
G(s) =e-sT
b) Laplace Transformierte einer abschnittsweise definierten Funktion
Nachbildung durch die Überlagerung von zwei Sprungfunktionen
4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
Laplace-Transformation
Grenzübergang τ 0 führt zur Bildfunktion des Dirac-Impulses
2. Zeitverschiebungssatz (Fortsetzung)4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
3. Faltungssatz (2)Produkt von Originalfunktionen wird für lineare DGL nicht benötigt
(u. nicht besprochen)Wichtig jedoch das Produkt von Bildfunktionen (insbesondere für Rücktransformationen):
oder mit dem Faltungs-Symbol *
mit den Eigenschaften:
Nützlich für den nicht seltenen Fall, dass die Bildfunktion als Produkt vonvon Bildfunktionen mit bekannten Rücktransformation darstellbar ist(Beispiele folgen).
4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
3. Faltungssatz (3)
Beispiel für Zeitverschiebungssatz und FaltungssatzAbschnittsweise definiertes Eingangssignal
Übertragungsglied mit DGL
Eingangssignal als Summe zweier Rampen:
4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL
und DGL
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
Aus Korrespondenz-Tabelle:
Für xe2(t) Nutzung des Zeitverschiebungssatzes:
Summares Eingangssignal:
Ausgangssignal:
G(s)
Beispiel für Zeitverschiebungssatz und Faltungssatz (2)
4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
Rücktransformation
Beispiel für Zeitverschiebungssatz und Faltungssatz (3)
Aus Tabelle:
folgt mit Faltungssatz:
Für :≤ ≤0 t T
Für :≥t T
4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
4. AnfangswertsatzBestimmung des Funktionswertes von x(t) für t = 0+ direkt aus der Bildfunktion (Ohne Herleitung)
5. EndwertsatzBestimmung des Funktionswertes von x(t) für t = direkt aus der Bildfunktion (Ohne Herleitung)
4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
4.5 Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung
Oft liegt Xa(s) als gebrochen rationale Funktion vor, z.B.:
)s(sR)s(Q
s)s(G)s(H)s(X a ===
Nach dem Gauß‘schen Fundamentalsatz der Algebra kann jedes Polynomals Produkt der Linearfaktoren geschrieben werden; für R(s) ergibt das:
∏=
− −=−−−−−=n
1kkn1nk1 )ss()ss)(ss()...ss()2ss)(ss()s(R ...
und H(s) kann in Partialbrüche zerlegt werden:
mit der Partialbruchzerlegung:
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
4.5 Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung
Einfache Rücktransformation der Teilausdrücke (s. Tabelle):
Für eine Sprungantwort / Übergangsfunktion mit x(t) = 1 und Xe(s) = 1/s :
Bestimmung der Koeffizienten durch Koeffizientenvergleich (Beispiel folgt)
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
4.5 Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung
Beispiel für Rücktransformation mittels Partialbruchzerlegung
Übertragungsglied mit DGL
Übertragungsfunktion
Bildfunktion der Sprungantwort / Übergangsfunktion
Partialbruchzerlegung
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Grundzüge der Regelungstechnik
4. LaplaceTransformation
Partialbruchzerlegung
Korrespondenzen:
Ursprüngliche Bildfunktion Koeffizientenvergleich
Lösung / Übergangsfunktion im Zeitbereich
4.5 Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung
Beispiel für Rücktransformation mittels Partialbruchzerlegung (2)
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4. LaplaceTransformation
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