Die Poincaré-Vermutung und ihre Geschichte

Thilo Kuessner

23.4.2008

Beispiele von Flächen

Sphäre Torus Brezel Doppelbrezel

Karte einer Sphäre

Stereographische Projektion : Sphäre ohne Nordpol Ebene

Wie unterscheidet man Flächen?

• Euler-Charakteristik

• Fundamentalgruppe

• Hyperbolisches Volumen

Euler-Charakteristik

E-K+F

E= Anzahl der EckenK= Anzahl der KantenF= Anzahl der Flächen

Eulerscher Polyedersatz I

E=8,K=12,F=6

E-K+F=2

E=20,K=30,F=12

E-K+F=2

E=12,K=30,F=20

E-K+F=2

Eulerscher Polyedersatz II

E=60, K=150, F=92

E-K+F=2

Satz (Legendre, 1794): Jede Zerlegung der Sphäre in Polygone erfüllt E-K+F=2.

Euler-Charakteristik eines Torus

E=160,K=320,F=160

E-K+F=0

Euler-Charakteristik von Flächen

Satz (Lhuillier, 1817): Für jede Zerlegung einer kompakten, orientierbaren Fläche mit g Henkeln gilt:

E-K+F = 2-2g.

Fundamentalgruppe

Geschlossene Kurven

Stetige Deformation von Kurven

• F ist einfach zusammenhängend

< === >• Jede geschlossene Kurve läßt sich stetig in

einen Punkt deformieren.

Einfacher Zusammenhang I

• Die Sphäre ist einfach zusammenhängend.

Einfacher Zusammenhang II

• Der Torus und die Brezel sind nicht einfach zusammenhängend.

Einfacher Zusammenhang III

• Satz (Poincaré, 1896): Eine kompakte Fläche ist genau dann einfach zusammenhängend, wenn sie homöomorph zur Sphäre ist.

Geometrie von Flächen

Krümmung und Flächeninhalt

Krümmung von Flächen

Eine Fläche sei in lokalen Koordinaten als Graph einer Funktion h(u,v) gegeben.Dann ist die Krümmung definiert als:

Krümmung

• Hyperboloid: K=-1• Zylinder: K=0• Sphäre: K=1

Krümmung und Winkelsumme

• K>0 : Innenwinkelsumme > 180 Grad• K<0: Innenwinkelsumme < 180 Grad

Modellräume

• Modell für K=1: Einheitssphäre

• Modell für K=0: Euklidische Ebene

• Modell für K=-1: Hyperbolische Ebene

Flächen konstanter Krümmung

• Hyperbolische Ebene : K=-1

Geometrisierung von Flächen

• Satz (Riemann, 1851): Jede kompakte, orientierbare Fläche trägt Metriken konstanter Krümmung:

- die Sphäre mit K=1,

- der Torus mit K=0,

- Flächen höheren Geschlechts mit K=-1.

Torus mit K=0

Fläche mit drei Henkeln : K = -1

Hyperbolischer Flächeninhalt

Auf einer Fläche mit g Henkeln hat jede hyperbolische Metrik den Flächeninhalt

-2pi (E-K+F)

also -2pi mal die Euler-Charakteristik.

Konstruktion von 3-Mannigfaltigkeiten

Poincaré-Vermutung

Die Whitehead-Mannigfaltigkeit ist das Komplement des Durchschnitts der ineinander geschachtelten verknoteten Tori.

W ist einfach-zusammenhängend und nicht-kompakt, aber nicht homöomorph zum euklidischen Raum.

Allgemeine 3-Mannigfaltigkeiten

A#B:= A-D U B-D

Zusammenhängende Summe:

Ricci-Fluß - Singularitäten

Gebiete mit höherer (positiver) Krümmung bilden während des Ricci-Flußes einen „neckpinch“, d.h. einen immer dünner und länger werdenden Hals.

Weeks (2004):

• „Observational data suggest the observable universe either is flat or has a small curvature that is more likely positive than negative.“

• Messungen der Masse-Energie-Dichte: 1.02 x Dichte eines flachen Universums

• Meßgenauigkeit: 0.02 x Dichte eines flachen Universums