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Beitr age zum Beweis der Chern-Vermutung uber...Beitr age zum Beweis der Chern-Vermutung uber...

Date post: 27-Jan-2020
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62
Beitr¨ age zum Beweis der Chern-Vermutung ¨ uber isoparametrische Hyperfl¨ achen in Sph¨ aren vorgelegt von Diplom-Mathematiker Simon Weiß Berlin Von der Fakult¨ at II - Mathematik und Naturwissenschaften der Technischen Universit¨ at Berlin zur Erlangung des akademischen Grades Doktor der Naturwissenschaften - Dr. rer. nat. - genehmigte Dissertation Promotionsausschuss: Vorsitzender: Prof. Dr. Dietmar H¨ omberg (TU Berlin) Berichter: Prof. Dr. Mike Scherfner (TU Berlin) Berichter: Prof. Dr. Ulrich Pinkall (TU Berlin) Berichter: Prof. Dr. Franki Dillen (KU Leuven) Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 13.04.2012 Berlin 2012 D 83
Transcript

Beitrage zum Beweis der Chern-Vermutung uberisoparametrische Hyperflachen in Spharen

vorgelegt vonDiplom-Mathematiker

Simon WeißBerlin

Von der Fakultat II - Mathematik und Naturwissenschaftender Technischen Universitat Berlin

zur Erlangung des akademischen GradesDoktor der Naturwissenschaften

- Dr. rer. nat. -

genehmigte Dissertation

Promotionsausschuss:

Vorsitzender: Prof. Dr. Dietmar Homberg (TU Berlin)Berichter: Prof. Dr. Mike Scherfner (TU Berlin)Berichter: Prof. Dr. Ulrich Pinkall (TU Berlin)Berichter: Prof. Dr. Franki Dillen (KU Leuven)

Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 13.04.2012

Berlin 2012

D 83

Die selbstandige und eigenhandige Anfertigung versichere ich an Eides Statt.

Berlin, den / Unterschrift

Zusammenfassung

Gegenstand dieser Arbeit ist die wie folgt lautende Chern-Vermutung uberHyperflachen in Spharen:

Jede in der (n+1)-dimensionalen Sphare Sn+1 minimal immersierte geschlos-sene Hyperflache M mit konstanter Skalarkrummung ist isoparametrisch.

Bislang konnte sie noch nicht bewiesen werden, es existieren allerdings Teil-resultate insbesondere fur niedrige Dimensionen und unter Hinzunahme wei-terer Voraussetzungen an die Hauptkrummungen und verschiedene symme-trische Krummungsfunktionen von M .

Ziel der Arbeit ist es, neue Erkenntnisse in Richtung eines Beweises der Ver-mutung zu gewinnen. Dazu wird eine Reihe neuer Resultate bewiesen sowohlin Bezug auf die Chern-Vermutung als auch verwandte Fragestellungen furUntermannigfaltigkeiten hoherer Kodimension.

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INHALTSVERZEICHNIS

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 4

2 Differentialgeometrische Grundlagen 62.1 Hyperflachen in Raumen konstanter Krummung . . . . . . . . 62.2 Krummungsgroßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Isoparametrische Hyperflachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Chern-Vermutung und Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Hyperflachen mit vorgegebener Zahl anHauptkrummungen 153.1 Die Chern-Vermutung fur Flachen mit drei Hauptkrummungen 153.2 Hyperflachen mit konstanter Gauß-Kronecker-

Krummung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Die lokale Version der Chern-Vermutung . . . . . . . . . . . . 213.4 Hyperflachen mit vier Hauptkrummungen . . . . . . . . . . . 30

4 Dupinsche Hyperflachen 384.1 Definition und Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2 Die Chern-Vermutung fur Dupinsche Hyperflachen . . . . . . . 39

5 Untermannigfaltigkeiten hoherer Kodimension 465.1 Untermannigfaltigkeiten in Spharen . . . . . . . . . . . . . . . 465.2 Die Chern-Vermutung fur Normalenvektorfelder . . . . . . . . 495.3 Die Chern-Vermutung fur Untermannigfaltigkeiten mit paral-

lelem mittleren Krummungsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6 Uberblick 56

3

1 EINLEITUNG

1 Einleitung

Gegenstand dieser Arbeit ist die wie folgt lautende Chern-Vermutung uberHyperflachen in Spharen:

Jede in der (n+1)-dimensionalen Sphare Sn+1 minimal immersierte geschlos-sene Hyperflache M mit konstanter Skalarkrummung ist isoparametrisch.

Diese wurde zuerst 1968 bzw. 1970 von S.-S. Chern in [9] und zusammenmit do Carmo und Kobayashi in [10] in einer weniger starken Form aufge-stellt. Bislang konnte sie noch nicht bewiesen werden, es existieren allerdingsTeilresultate insbesondere fur niedrige Dimensionen und unter Hinzunahmeweiterer Voraussetzungen an die Hauptkrummungen und verschiedene sym-metrische Krummungsfunktionen von M .

Die bisherigen Resultate waren bereits Gegenstand meiner Diplomarbeit. Ei-ne darauf aufbauende Ubersicht uber die Geschichte und den aktuellen For-schungsstand zur Chern-Vermutung findet sich in der mit Mike Scherfnerund Shing-Tung Yau verfassten Arbeit [23].

Ziel dieser Arbeit ist es, neue Erkenntnisse in Richtung eines Beweises derVermutung zu gewinnen. Dazu beweise ich eine Reihe neuer Resultate sowohlin Bezug auf die Chern-Vermutung als auch verwandte Fragestellungen furUntermannigfaltigkeiten hoherer Kodimension.

In Abschnitt 3 werden zunachst die benotigten mathematischen Grundlagendargestellt und die Chern-Vermutung zusammen mit einigen bekannten Re-sultaten dargestellt.

In Abschnitt 4 wird die Vermutung unter der Voraussetzung untersucht, dassdie Anzahl der paarweise verschiedenen Hauptkrummungen begrenzt ist. Furden Fall von drei Hauptkrummungen existiert hier bereits ein Beweis der Ver-mutung. Ich verallgemeinere diesen Beweis auf Hyperflachen konstanter mitt-lerer und Gauß-Kronecker-Krummung sowie auf den lokalen Fall (also dennicht geschlossener Hyperflachen). Letzteres ist das erste mir bekannte Resul-tat zur lokalen Version der Chern-Vermutung, mit der sich fur den dreidimen-sionalen Fall bereits Bryant beschaftigt hat. Außerdem beweise ich analogeResultate (unter Voraussetzung einer zusatzlichen konstanten Krummungs-funktion) auch fur den Fall von vier Hauptkrummungen.

Abschnitt 5 behandelt die Chern-Vermutung fur Dupinsche Hyperflachen,

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1 EINLEITUNG

die eine Verallgemeinerung des Begriffs der isoparametrischen Hyperflachenausmachen. Die Vermutung lasst sich auf die beiden Falle von vier bzw. sechsverschiedenen Hauptkrummungen reduzieren, von denen ich den ersten mitAusnahme einiger niedrigdimensionaler Teilfalle beweise.

Abschnitt 6 beschaftigt sich mit Verallgemeinerungen der Chern-Vermutungauf Untermannigfaltigkeiten hoherer Kodimension. Ich ubertrage die Grund-lagen aus Abschnitt 3 auf diesen Fall und beweise eine Reihe von Resulta-ten. Insbesondere stelle ich zwei mogliche Verallgemeinerungen der Vermu-tung auf und beweise diese jeweils fur den ersten nichttrivialen Fall von dreiDimensionen unter der zusatzlichen Voraussetzung nicht negativer Skalar-krummung.

Schließlich werden in Abschnitt 7 die erzielten Resultate tabellarisch zusam-mengefasst und in den entsprechenden Kontext eingeordnet.

Ich bedanke mich bei Mike Scherfner fur die Betreuung dieser Dissertationund seine umfassende Unterstutzung. Ich bedanke mich ebenfalls bei Diet-mar Homberg, Ulrich Pinkall und Franki Dillen fur ihre Bereitschaft fur dieTatigkeit im Promotionsausschuss.

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2 DIFFERENTIALGEOMETRISCHE GRUNDLAGEN

2 Differentialgeometrische Grundlagen

2.1 Hyperflachen in Raumen konstanter Krummung

Sei Rn+1 fur n ≥ 2 eine n + 1-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeitkonstanter Krummung c (z.B. die n + 1-dimensionale Einheitssphare Sn+1

mit c = 1) und M ⊂ Rn+1 eine n-dimensionale geschlossene Untermannig-faltigkeit.

In einer Umgebung eines Punktes p ∈ M existieren Tangentialvektorfeldere1, ..., en+1 von Sn+1, die in jedem Punkt eine Orthonormalbasis von TRn+1

bilden, so dass TM = span(e1, ..., en), d.h. N := en+1 ist ein Einheitsnorma-lenvektorfeld von M .

Dann wird die Krummung von M beschrieben durch die zweite Fundamen-talform h. Diese ist ein Tensorfeld, das in jedem Punkt eine durch

h(X, Y ) := 〈∇XN, Y 〉

gegebene symmetrische Bilinearform auf TM darstellt. Fur ein solches sym-metrisches Tensorfeld a definiert man die Komponenenten bezuglich der eials aij := a(ei, ej). Man bezeichne mit {ωi} die zu {ei} duale Basis von 1-Formen und fur eine reellwerige Funktion f auf M mit fi die Ableitung vonf in Richtung ei, also df(ei). Seien weiter die durch ωij(X) = 〈ei,∇Xej〉gegebenen 1-Formen ωij die Komponenten des Zusammenhangs. Es gilt

a =∑ij

aijωi ⊗ ωj.

Außerdem definiert man die Komponenten der kovarianten Ableitungen ∇a,∇2a und ∇3a als

aijk := (∇a)(ei, ej, ek) = (∇eka)(ei, ej)

= (aij)k +∑l

ajlωil(ek) +∑l

ailωjl(ek), (1)

aijkl := (∇2a)(ei, ej, ek, el) = (∇el(∇a))(ei, ej, ek)

= (aijk)l +∑m

amjkωim(el) +∑m

aimkωjm(el)

+∑m

aijmωkm(el), (2)

aijklm := (∇3a)(ei, ej, ek, el, em) = (∇em(∇2a))(ei, ej, ek, el).

6

2 DIFFERENTIALGEOMETRISCHE GRUNDLAGEN

Fur die zweite Fundamentalform h gilt weiter hijk = hjik (da h symmetrischist) und hijk = hikj (Codazzi-Gleichung), die Koeffizienten der hijk konnenalso beliebig vertauscht werden, d.h. ∇h ist vollstandig symmetrisch. Fur einsolches a mit symmetrischem ∇a sind auch ∇2a und ∇3a symmetrisch inden ersten drei Komponenten.

Mit der Einschrankung des Skalarprodukts des umgebenden Raumes ist Meine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Der durch

R(X, Y ) := ∇X∇Y −∇Y∇X −∇[X,Y ]

definierte Krummungstensor R von M hat nach der Gauss-Gleichung Kom-ponenten

Rijkl = 〈R(ei, ej)el, ek〉 = c(δikδjl − δilδjk) + hikhjl − hilhjk. (3)

Es gelten außerdem die Strukturgleichungen

dωi = −∑j

ωij ∧ ωj, ωij + ωji = 0, (4)

dωij = −∑k

ωik ∧ ωkj +1

2

∑kl

Rijklωk ∧ ωl. (5)

Fur die zweiten und dritten Ableitungen von a mit symmetrischem∇a geltendie folgenden Permutationsregeln:

aijkl = aijlk +∑m

amjRmikl +∑m

amiRmjkl, (6)

aijklm = aijkml +∑r

arjkRrilm +∑r

arikRrjlm +∑r

arijRrklm. (7)

Bei der Betrachtung eines einzelnen Punktes p konnen o.B.d.A immer die eiso gewahlt werden, dass h in p diagonal ist, d.h. es gilt hij = δijλi, wobei dieλi die Eigenwerte von h sind. Dann hat (1) fur h die Form

hijk = (hij)k + (λj − λi)ωij(ek),

(3) die FormRijkl = (δikδjl − δilδjk)(c+ λiλj)

und (6) die Formhijkl = hijlk + (λi − λj)Rijkl.

7

2 DIFFERENTIALGEOMETRISCHE GRUNDLAGEN

2.2 Krummungsgroßen

Im Folgenden wird h mit seiner darstellenden linearen Abbildung bezuglichder induzierten Metrik, also dem Weingartenoperator, identifiziert.

Die Eigenwerte λi : M → R von h sind die Hauptkrummungen. Dann sinddie mittlere Krummung H und die Gauß-Kronecker-Krummung K von Mdefiniert durch

H :=1

nspur(h) =

1

n

∑i

λi, K := det(h) =∏i

λi.

Fur 1 ≤ r ≤ n definiert man die r-te mittlere Krummung oder mittlereKrummung r-ten Grades σr als

σr :=

(n

r

)−1 ∑i1<...<ir

λi1λi2 · · ·λir ,

also bis auf einen Vorfaktor als das r-te elementarsymmetrische Polynomin den Hauptkrummungen. Die σr sind eine Verallgemeinerung der mittle-ren Krummung und der Gaußkrummung im zweidimensionalen Fall; es giltσ1 = H und σn = K.

Ebenfalls eine wichtige Rolle spielen die folgenden symmetrischen Polynomein den Hauptkrummungen:

S := ||h||2 =∑i

λ2i , fr := spur(hr) =∑i

λri .

Die fr lassen sich unabhangig von der Wahl der ei als

f3 =∑ijk

hijhjkhki, f4 =∑ijkl

hijhjkhklhli etc.

darstellen. Fur verschiedene Rechnungen sind außerdem folgende Definitio-nen nutzlich:

A :=∑ijklm

hkmhmlhijlhijk, B :=∑ijklm

hjlhkmhijkhilm.

In einem Punkt, in dem h als diagonal angenommen wird, gilt

A =∑ijk

λ2ih2ijk, B =

∑ijk

λiλjh2ijk.

8

2 DIFFERENTIALGEOMETRISCHE GRUNDLAGEN

Fur Hyperflachen mit konstanter mittlerer Krummung H erhalt man aus (6)

1

2∆S =

∑ijk

h2ijk − (S − n)S + nHf3 − n2H2. (8)

Die Skalarkrummung κ vonM ist definiert als Mittelwert der Schnittkrummun-gen, d.h.

κ =1

n(n− 1)

∑ij

Rijij,

also erhalt man aus (3)

κ = c+ σ2 = c+n

n− 1H2 − 1

n(n− 1)S.

Fur konstantes H ist κ bzw. σ2 also genau dann konstant, wenn S konstantist. Außerdem gilt

f3 = n3H3 − 3

2n2(n− 1)Hσ2 +

1

2n(n− 1)(n− 2)σ3,

also ist fur n ≥ 3 und konstantes H und κ (bzw. σ1 und σ2) f3 genau dannkonstant, wenn σ3 konstant ist. Fur H = 0 stimmen die Funktionen sogarbis auf einen Faktor uberein.

Die Hyperflache M ist genau dann minimal immersiert, d.h. ein Minimumdes Flachenfunktionals, wenn H = 0 gilt.

9

2 DIFFERENTIALGEOMETRISCHE GRUNDLAGEN

2.3 Isoparametrische Hyperflachen

In allgemeinen Riemannschen Mannigfaltigkeiten bezeichnet man eine Hy-perflachenfamilie {Mt} als isoparametrisch, wenn sie durch die Hohenflacheneiner reellwertigen Funktion f gegeben ist, so dass ||∇f || und ∆f auf jedemMt konstant sind. Aquivalent dazu ist die Bedingung, dass die Mt parallelzueinander sind, d.h. sie gehen durch Verschiebung in Normalenrichtung in-einander uber, und ihre Hauptkrummungen Ht konstant sind.

Die Betrachtung dieser Flachenfamilien geht ursprunglich auf Fragestellun-gen der geometrischen Optik und ihre Klassifikation im dreidimensionaleneuklidischen Raum zuruck.

In einer Riemannschen Mannigfaltigkeit konstanter Krummung lasst sich ei-ne Hyperflache M genau dann zu einer isoparametrischen Familie fortsetzen,wenn alle ihre Hauptkrummungen λi konstant sind. Ist dies der Fall, bezeich-net man M als isoparametrisch.

Ein wichtiges Resultat zur Klassifikation dieser Hyperflachen wurde von Car-tan in [5] bewiesen. Sind die λi die Hauptkrummungen einer isoparametri-schen Hyperflache, die in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit konstanterKrummung c immersiert ist, so gilt fur alle i∑

j 6=i

1 + λiλjλi − λj

= 0.

Cartan gibt weiter alle isoparametrischen Flachenfamilien in euklidischenund hyperbolischen Raumen an. Fur alle diese Flachen gilt, dass die Anzahlder paarweise verschiedenen Hauptkrummungen entweder 1 oder 2 ist. Z. B.ist im Rn jede isoparametrische Flache eine Hyperebene, eine Hypersphareoder ein verallgemeinerter Zylinder, also eine Hyperflache mit konstantemAbstand zu einem affinen Unterraum.

Die Klassifikation isoparametrischer Hyperflachen in Spharen ist ein kompli-zierteres Problem, fur das bislang keine vollstandige Losung existiert. Einwesentliches Resultat wurde von Munzner in [18] bewiesen. Dort werdenisoparametrische Flachenfamilien als Hohenflachen von Polynomen, die be-stimmten Differentialgleichungen genugen, charakterisiert, und es ergebensich unter anderem die folgenden Eigenschaften:

Sei {Mt} eine isoparametrische Familie von Hyperflachen in Sn+1 parametri-

10

2 DIFFERENTIALGEOMETRISCHE GRUNDLAGEN

siert durchMt = (cos t)M0 + (sin t)N0,

wobei N0 ein Einheitsnormalenvektorfeld von M0 ist. Dann ist die Anzahl derpaarweise verschiedenen Hauptkrummungen fur jede Flache gleich derselbenKonstante g (die Mt heißen dann isoparametrisch vom Typ g). Dabei kanng nur die Werte 1, 2, 3, 4 oder 6 annehmen.

Seien λ1(t) < ... < λg(t) die verschiedenen Hauptkrummungen von Mt, danngilt

λi(t) = cot

(arccot λ1(0)− i− 1

gπ + t

)(9)

und die Vielfachheiten mi der Hauptkrummungen sind alternierend, d.h.mi = mi+2 (mit zyklischer Addition).

Setzt man nun eine solche Flachenfamilie auf ein maximales Intervall vonWerten fur t fort, so folgt aus (9), dass die mittlere Krummung Ht einemonoton fallende Funktion von t ist, die an den Rander des Intervalls gegen+∞ bzw. −∞ geht. Also enthalt die Familie {Mt} genau eine minimaleHyperflache Mt0 . Aus (9) und der Bedingung H = 0 erhalt man die λi(t0)dann explizit als Nullstellen eines Polynoms, und man kann nachrechnen,dass fur Mt0

S = n(g − 1) (10)

gilt.

Einen historischen ’Uberblick uber isoparametrische Hyperflachen und ihreVerallgemeinerungen und eine Zusammenfassung der bislang erzielten Er-kenntnisse zur Klassifikation isoparametrischer Hyperflachen findet man in[27]. Fur Hyperflachen mit drei oder weniger paarweise verschiedenen Haupt-krummungen ist diese Klassifikation vollstandig; allgemein sind die moglichenVielfachheiten fur die Hauptkrummungen isoparametrischer Hyperflachenebenfalls vollstandig klassifiziert.

Als Beispiel seien hier die isoparametrischen Flachenfamilien in S4 und ihreminimalen Reprasentanten (bis auf Isometrien) gegeben:

g=1 :Die Flachen sind Hyperspharen der Form

Mr = {r} × S3(√

1− r2),

11

2 DIFFERENTIALGEOMETRISCHE GRUNDLAGEN

−1 < r < 1, und die Minimalflache ist ein verallgemeinerter Großkreis

M0 = {0} × S3(1)

mit λ1 = λ2 = λ3 = 0 und S = 0 (bzw. κ = 1).

g=2 :Die Flachen sind Tori der Form

Mr = S1(r)× S2(√

1− r2),

0 < r < 1, und die Minimalflache ist ein Clifford-Minimaltorus

M 1√3

= S1

(√1

3

)× S2

(√2

3

)

mit λ1 = λ2 = −12

√2, λ3 =

√2 und S = 3 (bzw. κ = 1

2).

g=3 :Die Flachen sind die auf S4 eingeschrankten Hohenflachen des in [5] gegebe-nen Cartanschen Polynoms

P (x) = x35 +3

2(x21 + x22)x5 − 3(x23 + x24)x5 +

3√

3

2(x21 − x22)x4 + 3

√3x1x2x3

und die Minimalflache istM0 = P−1(0)

mit λ1 = −√

3, λ2 = 0, λ3 =√

3 und S = 6 (bzw. κ = 0).

12

2 DIFFERENTIALGEOMETRISCHE GRUNDLAGEN

2.4 Chern-Vermutung und Resultate

Man erhalt nun Formulierungen der Chern-Vermutung, die nur von denHauptkrummungen oder den mittleren Krummungen abhangen:

Vermutung. Sei M ⊂ Sn+1 geschlossene Hyperflache mit∑

i λi = 0 und∑i λ

2i = const. Dann sind alle λi konstant.

bzw.

Vermutung. Sei M ⊂ Sn+1 geschlossene Hyperflache mit σ1 = 0 undσ2 = const. Dann sind alle σr konstant.

In der letzten Formulierung wurde die Tatsache benutzt, dass die σr bis aufFaktoren die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms von h sind; fallssie also alle konstant sind, so auch die λi als Nullstellen des Polynoms. Furden einfachsten Fall n = 2 sieht man nun, dass die Vermutung trivialerweiseerfullt ist.

Die ursprungliche Formulierung der Chern-Vermutung durch Chern in [9] undChern, do Carmo und Kobayashi in [10] geht zuruck auf die Betrachtung desfolgenden Satzes:

Satz. Sei M ⊂ Sn+1 geschlossene minimale Hyperflache. Dann gilt∫M

(S − n)S ≥ 0,

ist also insbesondere S ≤ n, so gilt entweder S = 0 oder S = n auf ganz M .Im ersten Fall ist M geodatisch (verallgemeinerter Großkreis), im zweitenFall ein Clifford-Minimaltorus

M = Cm,n−m = Sm(√

m

n

)× Sn−m

(√n−mn

)fur ein m < n (und damit isoparametrisch).

Eine Folgerung des Satzes ist, dass fur geschlossene minimale Hyperflachenmit konstantem S ≤ n fur S nur die Werte 0 und n moglich sind. Dar-auf aufbauend stellte Chern die Vermutung auf, dass die moglichen Wertefur S eine diskrete Menge bilden. Die hier betrachtete starkere Version derChern-Vermutung wurde in der Folge zuerst von Verstraelen, Montiel, Rosund Urbano formuliert (siehe [28]).

Die ersten darauf aufbauenden Resultate beschaftigten sich weiter mitden moglichen Werten, die S unter diesen Voraussetzungen annehmen kann:

13

2 DIFFERENTIALGEOMETRISCHE GRUNDLAGEN

Satz (Peng, Terng 1983 [20]). Zu jedem n ≥ 3 existiert ein maximalesC(n) mit: Sei M ⊂ Sn+1 geschlossene minimale Hyperflache mit konstantemS > n. Dann folgt S ≥ n+ C(n). Es gilt: C(3) = 3, C(n) ≥ 1

12n.

Die bislang starkste weitergehende Abschatzung fur die moglichen Werte vonS wurde aufbauend auf Resultaten von Yang und Cheng ([29],[30].[31]) vonSuh und Yang bewiesen:

Satz (Suh, Yang 2007 [25]). Sei M ⊂ Sn+1 geschlossene minimale Hyper-flache mit konstantem S > n. Dann folgt S > 10

7n.

Fur den ersten nichttrivialen Fall n = 3 ist eine allgemeinere Form der Chern-Vermutung bewiesen:

Satz (Almeida, Brito 1990 [3]; Chang 1993 [6]). Sei M ⊂ S4 geschlosseneHyperflache mit konstanter mittlerer Krummung H und konstanter Skalar-krummung κ. Dann ist M isoparametrisch.

Dabei zeigten Almeida und Brito in [3] diesen Satz zunachst unter der Vor-aussetzung nicht negativer Skalarkrummung. Die dabei verwendete Methodebasiert auf der Anwendung des Satzes von Stokes auf eine von den Haupt-krummungsrichtungen abhangigen Differentialform. Der Fall negativer Ska-larkrummung wurde von Chang in [6] behandelt.

Fur den nachsthoheren Fall n = 4 existiert durch Anwendung der Methodevon Almeida und Brito zumindest folgendes Teilresultat:

Satz (Lusala, Scherfner, Sousa Jr. 2005 [13]). Sei M ⊂ S5 geschlosse-ne minimale Willmoreflache mit konstanter positiver Skalarkrummung. Dannist M isoparametrisch.

In [13] stellen Lusala, Scherfner und Sousa diese Behauptung auch ohne dieAnnahme auf, dass die Skalarkrummung von M positiv ist. Allerdings ist derdort gegebene Beweis fehlerhaft. Eine korrigierte Version des Beweises, diediese Lucke schließt, soll demnachst veroffentlicht werden ([22]).

Weitere bekannte Resultate zur Chern-Vermutung und ihrer Verallgemeine-rungen werden in den folgenden Abschnitten vorgestellt, in denen auf ihnenaufgebaut wird.

14

3 HYPERFLACHEN MIT VORGEGEBENER ZAHL ANHAUPTKRUMMUNGEN

3 Hyperflachen mit vorgegebener Zahl an

Hauptkrummungen

3.1 Die Chern-Vermutung fur Flachen mit drei Haupt-krummungen

Da die Anzahl g der paarweise verschiedenen Hauptkrummmungen fur isopa-rametrische Hyperflachen nur bestimmte Werte annehmen kann (siehe oben),ist es naheliegend, die Chern-Vermutung unter dieser zusatzlichen Vorausset-zung zu betrachten. So wie n = 3 der erste nichttriviale Fall fur die Dimen-sion ist, ist auch hier g = 3 der erste nichttriviale Fall. Fur diesen wurde dieChern-Vermutung von Chang bewiesen:

Satz (Chang 1994 [8]). Sei M ⊂ Sn+1 geschlossene Hyperflache mit kon-stanter mittlerer Krummung und konstanter Skalarkrummung, die in jedemPunkt genau drei paarweise verschiedene Hauptkrummungen hat. Dann istM isoparametrisch.

Ein fur diesen Beweis wichtiges Lemma, auf das auch im Folgenden mehrmalsBezug genommen werden wird, lautet wie folgt:

Lemma 1 (Otsuki 1970 [19]). Sei M Hyperflache in einer n+1-dimensionalenRiemannschen Mannigfaltigkeit konstanter Krummung Rn+1 und seien dieVielfachheiten der verschiedenen Hauptkrummungen von M konstant.Dann ist zu jeder Hauptkrummung die Distribution der zugehorigen Haupt-krummungsvektoren integrabel. Ist die Vielfachheit einer Hauptkrummunggroßer als 1, so ist diese auf den zugehorigen Integralmannigfaltigkeiten kon-stant.

15

3 HYPERFLACHEN MIT VORGEGEBENER ZAHL ANHAUPTKRUMMUNGEN

3.2 Hyperflachen mit konstanter Gauß-Kronecker-Krummung

Eine der Chern-Vermutung verwandte Fragestellung ist die nach der Klas-sifikation von Hyperflachen konstanter mittlerer Krummung und konstanterGauß-Kronecker-Krummung K. Fur den dreidimensionalen Fall existiert hierfolgendes Resultat:

Satz (Almeida, Brito 1997 [4]). Sei M ⊂ S4 geschlossene Hyperflachekonstanter mittlerer Krummung H und konstanter Gauß-Kronecker-KrummungK 6= 0. Fall HK−1 ≥ −1 gilt, ist M isoparametrisch.

Fur K = 0 folgt in diesem Fall H = 0 ([12]); dann existieren auch Beispielefur nicht isoparametrische Hyperflachen ([2], siehe auch [21]).

Untersucht man jedoch den Fall g = 3 und n > 3, so lasst sich die Frage-stellung durch Anwendung eines ahnlichen Ansatzes wie in dem von Changbewiesenen Satz wie folgt vollstandig beantworten:

Satz 1. Fur n > 3 sei M ⊂ Sn+1 geschlossene Hyperflache mit konstantermittlerer Krummung und konstanter Gauß-Kronecker-Krummung, die in je-dem Punkt genau drei paarweise verschiedene Hauptkrummungen hat. Dannist M isoparametrisch.

Beweis. Seien die voneinander verschiedenen Hauptkrummungen λ, µ und νmit jeweiligen Vielfachheiten r1, r2 und r3. Aus r1 + r2 + r3 = n und den De-finitionen von H und S erhalt man dann ein Gleichungssystem mit stetigenKoeffizienten, das von den ri eindeutig gelost wird. Die ri sind also stetigeFunktionen und somit konstant.

Lokal wahlt man die ei so, dass h in jedem Punkt diagonal ist und be-zeichnet mit eA, ea und eα die zu den drei Hauptkrummungen gehorigenHauptkrummungsrichtungen. Aus (1) folgt fur λi = λj

hijk = δij(λi)k (11)

und fur λi 6= λj

ωij(ek) =1

λj − λihijk. (12)

Es wird zunachst angenommen, dass K von Null verschieden ist. Fur dieRichtungsableitungen der Hauptkrummungen gilt dann

r1λk + r2µk + r3νk = r11

λλk + r2

1

µµk + r3

1

ννk = 0. (13)

16

3 HYPERFLACHEN MIT VORGEGEBENER ZAHL ANHAUPTKRUMMUNGEN

Nun findet eine Fallunterscheidung uber die Vielfachheiten der Hauptkrummun-gen statt. Sei o.B.d.A. r1 ≥ r2 ≥ r3.

Fall 1. r1, r2, r3 > 1.Dann folgt aus Lemma 1, dass λA = µa = να gilt, und durch Einsetzen in(13) erhalt man, dass alle Richtungsableitungen der Hauptkrummungen ver-schwinden.

Fall 2. r1, r2 > 1, r3 = 1.O.B.d.A. sei α = n. Aus Lemma 1 und (13) folgt, dass die Ableitungen derHauptkrummungen nach eA und ea verschwinden. Durch Einsetzen von (11)und (12) in (2) erhalt man dann

hAaBa = (hAaB)a +∑m

hmaBωAm(ea) +∑m

hAmBωam(ea)

+∑m

hAamωBm(ea)

=2

ν − λhaAnhaBn + δAB

λnµnν − µ

,

hAaaB =2

ν − µhaAnhaBn + δAB

λnµnν − λ

.

Nach (6) gilt

hAaBa − hAaaB = (λ− µ)RAaBa = δAB(λ− µ)(1 + µλ),

also ergibt sich

haAnhaBn =z12δAB, (14)

wobei

z1 := (ν − λ)(ν − µ)(1 + λµ) + λnµn.

Ist va der Spaltenvektor der haAn fur ein a, kann man dies in der Matrixglei-chung

vavta =

z12id

zusammenfassen, und da die linke Seite nur Rang 0 oder 1 haben kann,folgt z1 = 0 und somit auch haAn = 0 fur alle a und A. Sei nun p einMaximum oder Minimum einer Hauptkrummung, dann verschwinden in pdie Richtungsableitungen aller Hauptkrummungen und aus (14) folgt

1 + λ(p)µ(p) = 0. (15)

17

3 HYPERFLACHEN MIT VORGEGEBENER ZAHL ANHAUPTKRUMMUNGEN

Analog erhalt man aus (6) in p

λnn = (λ− ν)(1 + λν)

µnn = (µ− ν)(1 + µν).

Da λ − ν auf ganz M von Null verschieden ist und nicht das Vorzeichenwechselt, wahrend λnn im Maximum und Minimum von λ entgegengesetzteVorzeichen hat, muss also auch 1 + λν das Vorzeichen wechseln, d.h. es gibteinen Punkt q auf M mit λ(q)ν(q) = −1. Insbesondere haben λ und ν in qund damit wegen K 6= 0 auch auf ganz M entgegengesetzte Vorzeichen. Dasgleiche gilt fur µ und ν, also haben λ und µ das gleiche Vorzeichen, was einWiderspruch zu (15) ist, also tritt dieser Fall nicht ein.

Fall 3. r1 > 1, r2 = r3 = 1.O.B.d.A. sei a = 1 und α = n. Dann verschwinden die Ableitungen derHauptkrummungen nach ea und eA, und analog zu Fall 2 erhalt man

hA1B1 = δAB

(λ11 +

λnµnν − µ

)+

2

ν − λh1Anh1Bn,

hA11B = δAB

(λ1µ1

µ− λ+λnµnν − λ

+ 2λ21

λ− µ

)+

2

ν − µh1Anh1Bn

und somit

h1Anh1Bn =z22δAB, (16)

wobei

z2 := λnµn +µ− λ

(ν − µ)(λ− µ)

(λ11 +

λ1µ1

λ− µ− 2

λ21λ− µ

+ (µ− λ)(1 + λµ)

).

Wie in Fall 3 folgt h1An = 0 fur alle A. In einem kritischen Punkt einerHauptkrummungsfunktion gilt somit

λ11 = (λ− µ)(1 + λµ),

λnn = (λ− ν)(1 + λν),

µnn − ν11 = (µ− ν)(1 + µν)

und analog zu Fall 1 erhalt man, dass µ und ν auf M zu λ entgegengesetztesVorzeichen haben. O.B.d.A sei nun ν < µ < 0 < λ. Sei p ein Punkt, in demµ ein Maximum hat. Aus (13) folgt

ν1 =ν

µ

λ− µν − λ

µ1

18

3 HYPERFLACHEN MIT VORGEGEBENER ZAHL ANHAUPTKRUMMUNGEN

und insbesondere in p

ν11 =ν

µ

λ− µν − λ

µ11.

Also gilt µnn(p) ≤ 0 und wegen µ11(p) ≤ 0 und der letzten Gleichung auchν11(p) ≥ 0. Es folgt

0 ≥ µnn(p)− ν11(p) = (µ(p)− ν(p))(1 + µ(p)ν(p)),

also erhalt man mit µ−ν > 0, dass µ(p)ν(p) ≤ −1 gilt, was ein Widerspruchzu ν, µ < 0 ist.

Damit ist die Behauptung fur K 6= 0 gezeigt. Fur den Fall K = 0 sei o.B.d.Aλ = 0 und r2 ≥ r3. Es gilt

λi = 0, r2µi + r3νi = 0.

Es genugt nun zu zeigen, dass die hAaα verschwinden. In einem kritischenPunkt p von µ verschwinden dann wieder alle Koeffizienten von ∇h und aus(2) und (6) erhalt man dann

µAA = µAA − λaa = haAaA − haAAa = (µ− λ)(1 + λµ) = µ,

also muss µ auf M das Vorzeichen wechseln, was ein Widerspruch zur An-nahme ist. Man unterscheidet erneut mehrere Falle fur die Vielfachheiten derHaupkrummungen.

Fall 1. r1 > 1, r2 ≥ r3 > 1.In diesem Fall folgt die Behauptung aus Theorem I in [14] und [15], welchesfolgendes aussagt: Sei M ⊂ Sn+1 geschlossene Hyperflache mit konstantermittlerer Krummung und drei paarweise verschiedenen Hauptkrummungen,die alle mehrfach vorkommen. Dann ist M isoparametrisch.

Fall 2. r1 > 1, r2 > r3 = 1.O.B.d.A sei α = n. Dann gilt

hAaAb = δab2

µµ2A +

2

νhAanhAbn

hAabA = δab

(µAA +

∑B

µBωAAB

)+

2

ν − µhAanhAbn,

also folgt wieder

hAanhAbn = zAδab

19

3 HYPERFLACHEN MIT VORGEGEBENER ZAHL ANHAUPTKRUMMUNGEN

fur ein von a und b unabhangiges zA und somit hAan = 0 fur alle A und a.

Fall 3. r1 > 1, r2 = r3 = 1.Fur diesen Fall folgt der Beweis einem Schritt im Beweis von Theorem II in[14]. Nach Definition des Krummungstensors gilt

Rijkl = (ωkl(ej))i − (ωkl(ei))j +∑r

(ωkr(ei)ωlr(ej)− ωkr(ej)ωlr(ei))

+∑r

ωkl(er)(ωrj(ei)− ωri(ej)). (17)

O.B.d.A sei a = 1 und α = n. Angenommen, es gabe A mit h1An 6= 0 ineinem Punkt. Sei G := {p ∈ M |∃A : h1An 6= 0}. Dort kann man eA parallelzur Projektion von ∇e1en auf den Eigenraum zu 0 wahlen, so dass h1Bn = 0fur alle B 6= A gilt. Aus (17) folgt weiter

0 = RB1nC = ωnA(e1)ωAC(eB) = −h1Anν

ωAC(eB),

also gilt in G fur B,C 6= A ωAC(eB) = 0. Dann ist die Distribution der eBmit B 6= A integrabel und vollstandig geodatisch in Sn+1. Man betrachte nuneinen Punkt p in G und die durch ihn gehende Geodate γ in Richtung eB.Sei eB der Tangentialvektor auf ganz γ, dann folgt dort aus (17)

1 = RB11B = (ω1B(e1))B − (ω1B(e1))2.

Diese Gleichung gilt auch außerhalb von G, da dort immer noch h1Bn = 0gilt. Da γ geschlossen ist, gibt es darauf einen Punkt mit (ω1B(e1))B = 0;dann erhalt man einen Widerspruch. Also gilt h1An = 0 fur alle A.

Fall 4. r1 = 1, r2 > r3 ≥ 1.Aus Lemma 1 folgt dann µa = νa = 0. Es gilt

haαbα = δab

(µαα −

1

νµAνA

)− 2

µhAaαhAbα,

haααb = −δab(

1

µµAνA +

1

µ− νµανα +

2

ν − µµ2α

)− 2

νhAaαhAbα,

und es folgt wieder hAaα = 0 fur alle a und α.

20

3 HYPERFLACHEN MIT VORGEGEBENER ZAHL ANHAUPTKRUMMUNGEN

3.3 Die lokale Version der Chern-Vermutung

Eine naheliegende Verallgemeinerung der Chern-Vermutung ist ihre loka-le Version. Gemeint ist die Vermutung ohne die Annahme, dass die be-trachtete Hyperflache geschlossen ist, so dass die Fragestellung auf beliebigeFlachenstucke in der Hypersphare bezogen wird. Insbesondere wurde dieseVermutung fur Bryant fur den Fall n = 3 aufgestellt:

Vermutung (Bryant). Sei M ⊂ S4 minimale Hyperflache mit konstanterSkalarkrummung. Dann ist M isoparametrisch.

Resultate existieren hierzu bislang kaum. Selbst fur den dreidimensionalenFall ist nur dann ein Beweis bekannt, wenn in einem Punkt der Hyperflachezwei Hauptkrummungen ubereinstimmen (sieh [7]). Folgender Satz, der dieVermutung fur Hyperflachen mit drei verschiedenen Hauptkrummungen undn > 3 bestatigt, stellt somit einen ersten Schritt in diese Richtung dar:

Satz 2. Sei n > 3 und M ⊂ Sn+1 Hyperflache mit konstanter mittlererund Skalarkrummung, die in jedem Punkt genau drei paarweise verschiedeneHauptkrummungen hat. Dann ist M isoparametrisch.

Beweis. Seien die voneinander verschiedenen Hauptkrummungen λ, µ und νmit jeweiligen Vielfachheiten r1, r2 und r3. Aus r1 + r2 + r3 = n und den De-finitionen von H und S erhalt man dann ein Gleichungssystem mit stetigenKoeffizienten, das von den ri eindeutig gelost wird. Die ri sind also stetigeFunktionen und somit konstant.

Lokal wahlt man die ei so, dass h in jedem Punkt diagonal ist. Fur dieRichtungsableitungen der Hauptkrummungen gilt

r1λk + r2µk + r3νk = r1λλk + r2µµk + r3ννk = 0. (18)

Man bezeichne mit eA, ea und eα die zu den drei Hauptkrummungen gehori-gen Hauptkrummungsrichtungen. Aus (1) folgt fur λi = λj

hijk = δij(λi)k (19)

und fur λi 6= λj

ωij(ek) =1

λj − λihijk. (20)

Nun findet eine Fallunterscheidung uber die Vielfachheiten der Hauptkrummun-gen statt. Sei o.B.d.A. r1 ≥ r2 ≥ r3.

21

3 HYPERFLACHEN MIT VORGEGEBENER ZAHL ANHAUPTKRUMMUNGEN

Fall 1. r1, r2, r3 > 1.Dann folgt aus Lemma 1, dass λA = µa = να gilt, und durch Einsetzen in(18) erhalt man, dass alle Richtungsableitungen der Hauptkrummungen ver-schwinden.

Fall 2. r1, r2 > 1, r3 = 1.O.B.d.A. sei α = n. Aus Lemma 1 und (18) folgt, dass die Ableitungen derHauptkrummungen nach eA und ea verschwinden. Durch Einsetzen von (19)und (20) in (2) erhalt man dann

hAaBa = (hAaB)a +∑m

hmaBωAm(ea) +∑m

hAmBωam(ea)

+∑m

hAamωBm(ea)

=2

ν − λhaAnhaBn + δAB

λnµnν − µ

,

hAaaB =2

ν − µhaAnhaBn + δAB

λnµnν − λ

.

Nach (6) gilt

hAaBa − hAaaB = (λ− µ)RAaBa = δAB(λ− µ)(1 + µλ),

also ergibt sich

haAnhaBn =z12δAB, (21)

wobei

z1 := (ν − λ)(ν − µ)(1 + λµ) + λnµn.

Ist va der Spaltenvektor der haAn fur ein a, kann man dies in der Matrixglei-chung

vavta =

z12id

zusammenfassen, und da die linke Seite nur Rang 0 oder 1 haben kann, folgtz1 = 0 und somit auch haAn = 0 fur alle a und A.Aus (18) folgt

λn =1

r1

ν − µµ− λ

νn, µn =1

r2

ν − λλ− µ

νn

22

3 HYPERFLACHEN MIT VORGEGEBENER ZAHL ANHAUPTKRUMMUNGEN

und man hat∑ijk

h2ijk = 3∑A

h2AAn + 3∑a

h2aan + h2nnn = 3r1λ2n + 3r2µ

2n + ν2n

=

(3

r1

(ν − µ)2

(µ− λ)2+

3

r2

(ν − λ)2

(λ− µ)2+ 1

)ν2n

= (3r2(ν − µ)2 + 3r1(ν − λ)2 + r1r2(λ− µ)2)1

r1r2

1

(λ− µ)2ν2n.

Andererseits folgt aus z1 = 0

1

r1r2

1

(λ− µ)2ν2n = − λnµn

(ν − µ)(ν − λ)= 1 + λµ

und es gilt

r2(ν − µ)2 + r1(ν − λ)2 + r1r2(λ− µ)2 =1

2

∑ij

(λi − λj)2

= nS −H2.

Einsetzen von (8) ergibt schließlich

(S − n)S + n2H2 = (1 + λµ)(3nS − 3H2 − 2r1r2(λ− µ)2) + nHf3. (22)

Andererseits hat man aus

r1λ+ r2µ+ ν = nH, r1λ2 + r2µ

2 + ν2 = S

die Gleichung

r1(1 + r1)λ2 + r2(1 + r2)µ

2 + n2H2 − 2nHr1λ− 2nHr2µ+ 2r1r2λµ− S = 0

Aufgelost nach λ erhalt man

λ =nH − r2µ

1 + r1+ w,

wobei

w := ±

√−nr2µ2 + 2nr2Hµ+ (1 + r1)S − n2H2

r1(1 + r1)2

Falls auf einer offenen Umgebung w = 0 gilt, folgt, dass dort µ und somitauch λ und ν konstant sind. Es reicht also, die Behauptung fur Umgebungen

23

3 HYPERFLACHEN MIT VORGEGEBENER ZAHL ANHAUPTKRUMMUNGEN

zu zeigen, auf denen das Vorzeichen von w gleich bleibt. Man berechnet

1 + λµ =nHµ− r2µ2

1 + r1+ 1 + wµ

(λ− µ)2 =

(nH − µ1 + r1

+ w

)2

= n2µ2 − 2Hµ+H2

(1 + r1)2+ 2n

H − µ1 + r1

w + w2

=n2r1 − nr2r1(1 + r1)2

µ2 +2nH(r2 − nr1)r1(1 + r1)2

µ+S

r1(1 + r1)

+n2H2(r1 − 1)

r1(1 + r1)2+ 2n

H − µ1 + r1

w

f3 = r1λ3 + r2µ

3 + ν3

= r1(1− r21)λ3 + r2(1− r22)µ3 + n3H3 − r32µ3 − 3n2H2r1λ

−3n2H2r2µ+ 3nHr21λ2 + 3nHr22µ

2 − 3r21r2λ2µ− 3r1r

22λµ

2

+6nHr1r2λµ

= . . . µ3 + . . . µ2 + . . . µ+ · · ·+ wµ(. . . µ+ . . . )

also

(1 + λµ)(3nS − 3H2 − 2r1r2(λ− µ)2) + nHf3 = P1(µ) + P2(µ)w,

wobei P1 und P2 Polynome mit konstanten Koeffizienten sind. Man berechnet

P2(t) = . . . t3 + . . . t2 + . . . t− 4nr1r2H

1 + r1,

also ist P2 nicht das Nullpolynom, wenn H 6= 0 gilt. Fur den Fall H = 0 folgtdas Gleiche aus

P2(t) = . . . t3 +(3n+ 3nr1 − 2r2)S + 4nr1r2

1 + r1t

mit3n+ 3nr1 − 2r2 ≥ 3n− 2r2 ≥ n > 0.

Also erhalt man w −R(µ) = 0 fur eine rationale Funktion R. Die Funktion

F (t) := ±

√−nr2t2 + 2nr2Ht+ (1 + r1)S − n2H2

r1(1 + r1)2−R(t)

ist analytisch und nicht konstant. Also folgt aus F (µ) = 0, dass µ konstantist. Dann sind auch λ und ν konstant und es folgt die Behauptung.

24

3 HYPERFLACHEN MIT VORGEGEBENER ZAHL ANHAUPTKRUMMUNGEN

Fall 3. r1 = n− 2 > 1, r2 = r3 = 1.O.B.d.A sei a = 1 und α = n. Dann verschwinden die Ableitungen derHauptkrummungen nach eA, und analog zu Fall 2 erhalt man

hAnBn = δAB

(λnn +

λ1ν1µ− ν

)+

2

µ− λh1Anh1Bn,

hAnnB = δAB

(ν1λ1µ− λ

+νnλnν − λ

+2λ2nλ− ν

)+

2

µ− νh1Anh1Bn

und somit

h1Anh1Bn =z22δAB, (23)

wobei

z2 := λ1ν1 +(µ− λ)(µ− ν)

λ− ν

((λ− ν)(1 + λν)− λnn +

λnνnν − λ

+2λ2nλ− ν

).

Wie in Fall 2 folgt h1An = 0 fur alle A. Aus z2 = 0 hat man dann

λnn = (λ− ν)(1 + λν) +λnνnν − λ

+2λ2nλ− ν

+λ− ν

(µ− λ)(µ− ν)λ1ν1

= (λ− ν)(1 + λν)− (n− 2)λ− ν

(µ− ν)2λ21

+(n+ 1)µ− ν − nH

(λ− ν)(µ− ν)λ2n (24)

und analog

λ11 = (λ− µ)(1 + λµ) +(n+ 1)ν − µ− nH

(λ− µ)(ν − µ)λ21

−(n− 2)λ− µ

(ν − µ)2λ2n. (25)

Ebenso erhalt man aus ha1an − ha1na = 0

λ1n =(n− 2)(λ− µ)2(λ− ν) + n(n− 1)(µ− ν)2(λ−H)

(µ− ν)2(λ− µ)(λ− ν)λ1λn (26)

und analog

λn1 =(n− 2)(λ− ν)2(λ− µ) + n(n− 1)(µ− ν)2(λ−H)

(µ− ν)2(λ− µ)(λ− ν)λ1λn. (27)

25

3 HYPERFLACHEN MIT VORGEGEBENER ZAHL ANHAUPTKRUMMUNGEN

(8) hat die Form

|∇h|2 = 3(n− 2)λ21 + µ21 + 3ν21 + 3(n− 2)λ2n + 3µ2

n + ν2n

=

(3(n− 2) + (n− 2)2

(λ− ν)2

(ν − µ)2+ 3(n− 2)2

(λ− µ)2

(µ− ν)2

)λ21

+

(3(n− 2) + 3(n− 2)2

(λ− ν)2

(ν − µ)2+ (n− 2)2

(λ− µ)2

(µ− ν)2

)λ2n,

also

(ν − µ)2|∇h|2 = (3(n− 2)(nS −H2)− 2(n− 2)2(λ− ν)2)λ21+(3(n− 2)(nS −H2)− 2(n− 2)2(λ− µ)2)λ2n. (28)

Falls λ1 = 0 auf einer Umgebung gilt, erhalt man aus (25) und (28)

|∇h|2 = (3nS − 3H2 − 2(n− 2)(λ− µ)2)(1 + λµ)

und wie im Fall 2 folgt, dass die Hauptkrummungen auf dieser Umgebungkonstant sind. Das Gleiche gilt fur λn = 0, man kann also im Folgendenannehmen, dass λ1 6= 0 und λn 6= 0 gilt. Ableiten von (28) in Richung e1ergibt

2(ν − µ)(ν1 − µ1)|∇h|2 + (ν − µ)2(|∇h|2)1= −4(n− 2)2(λ− ν)(λ1 − ν1)λ21

+2(3(n− 2)(nS −H2)− 2(n− 2)2(λ− ν)2)λ1λ11

−4(n− 2)2(λ− µ)(λ1 − µ1)λ2n

+2(3(n− 2)(nS −H2)− 2(n− 2)2(λ− µ)2)λnλn1.

und mit

ν1 − µ1 = n(n− 2)λ−Hµ− ν

λ1

(|∇h|2)1 = −nH(f3)1 = −3n(n− 2)H(λ− µ)(λ− ν)λ1

erhalt man

n|∇h|2(H − λ)− 3n

2H(µ− ν)2(λ− µ)(λ− ν)

= −2n(n− 2)(µ−H)λ− νµ− ν

λ21 − 2n(n− 2)(ν −H)λ− µν − µ

λ2n

+(3nS − 3H2 − 2(n− 2)(λ− ν)2)λ11

+(3nS − 3H2 − 2(n− 2)(λ− µ)2)λnλ1λn1. (29)

26

3 HYPERFLACHEN MIT VORGEGEBENER ZAHL ANHAUPTKRUMMUNGEN

Einsetzen von (25) und (27) in (29) ergibt

n|∇h|2(H − λ)− 3n

2H(µ− ν)2(λ− µ)(λ− ν)

−(3nS − 3H2 − 2(n− 2)(λ− ν)2)(λ− µ)(1 + λµ)

= X1λ21 +Xnλ

2n. (30)

wobei

X1 = −2n(n− 2)(µ−H)λ− νµ− ν

+(3nS − 3H2 − 2(n− 2)(λ− ν)2)(n+ 1)ν − µ− nH

(λ− µ)(ν − µ)

Xn = −2n(n− 2)(ν −H)λ− µν − µ

−n− 2

µ− ν(3nS − 3H2 + 2(n− 2)(λ− µ)(λ− ν))

+(3nS − 3H2 − 2(n− 2)(λ− µ)2)n(n− 1)(λ−H)

(λ− µ)(λ− ν).

Analog gilt

n|∇h|2(H − λ)− 3n

2H(µ− ν)2(λ− µ)(λ− ν)

−(3nS − 3H2 − 2(n− 2)(λ− µ)2)(λ− ν)(1 + λν)

= Y1λ21 + Ynλ

2n (31)

mit

Y1 = −2n(n− 2)(µ−H)λ− νµ− ν

−n− 2

ν − µ(3nS − 3H2 + 2(n− 2)(λ− µ)(λ− ν))

+(3nS − 3H2 − 2(n− 2)(λ− ν)2)n(n− 1)(λ−H)

(λ− µ)(λ− ν)

Yn = −2n(n− 2)(ν −H)λ− µν − µ

+(3nS − 3H2 − 2(n− 2)(λ− µ)2)(n+ 1)µ− ν − nH

(λ− ν)(µ− ν).

27

3 HYPERFLACHEN MIT VORGEGEBENER ZAHL ANHAUPTKRUMMUNGEN

Aus (28) hat man

(n− 2)λ2n =(ν − µ)2|∇h|2

3nS − 3H2 − 2(n− 2)(λ− µ)2

−3(n− 2)(nS −H2)− 2(n− 2)2(λ− ν)2

3nS − 3H2 − 2(n− 2)(λ− µ)2λ21. (32)

Wie in Fall 2 erhalt man aus

(n− 2)λ+ µ+ ν = nH, (n− 2)λ2 + µ2 + ν2 = S,

dass

λ =1

n− 1(nH − ν)− 1

n− 2w, µ =

1

n− 1(nH − ν) + w (33)

mit

w := ±√n− 2

n− 1

√−nν2 + 2nHν + (n− 1)S − n2H2 (34)

gilt. Dabei kann das Vorzeichen von w wie in Fall 2 als konstant angenommenwerden. Aus (30), (31) und (32) erhalt man fur λ, µ und ν die Bedingung

A1(λ, µ)A2(λ, µ, ν)A3(λ, µ, ν) + A1(λ, ν)A2(λ, ν, µ)A3(λ, ν, µ)

= |∇h|2(µ− ν)2A3(λ, µ, ν)A3(λ, ν, µ), (35)

wobei

A1(x, y) := 3nS − 3H2 − 2(n− 2)(x− y)2

A2(x, y, z) := (y − z)(x− z)(n(n− 2)|∇h|2(x−H)(x− y)A1(x, z)

+3

2n(n− 2)H(y − z)2(x− y)2(x− z)A1(x, z)

+(n− 2)(1 + xy)(x− y)2A1(x, z)2

+2n(n− 2)|∇h|2(y −H)(x− y)(x− z)(z − y)

+|∇h|2((n+ 1)z − y − nH)(z − y)A1(x, z))

A3(x, y, z) := −2(n− 2)2n(y −H)(x− y)(x− z)2A1(x, y)

+(n− 2)2(x− y)(x− z)(3nS − 3H2

+2(n− 2)(x− y)(x− z))A1(x, y)

+n(n− 1)(n− 2)(x−H)(y − z)A1(x, y)A1(x, z)

−2n(n− 2)2(z −H)(x− y)2(x− z)A1(x, z)

−(n− 2)(x− y)((n+ 1)y − z − nH)A1(x, y)A1(x, z).

28

3 HYPERFLACHEN MIT VORGEGEBENER ZAHL ANHAUPTKRUMMUNGEN

Durch Einsetzen von (33) und (34) erhalt man die Terme in (35) als Polynomein v und w mit folgenden Leitkoeffizienten:

A1(λ, µ) = 2nν2 − 4nHν + (n+ 2)S + (2n2 − 3)H2

A1(λ, ν) = −2(n− 2)n2 − n

(n− 1)2ν2 + · · · −

(4n

n− 1ν + . . .

)w

A2(λ, µ, ν) = −8n4(7n6 − 42n5 + 57n4 + 44n3 − 79n2 − 18n− 1)

(n− 2)(n− 1)8ν10 + . . .

+

(8n4(n6 − 6n5 − 9n4 + 68n3 − 41n2 − 46n+ 1)

(n− 2)(n− 1)7ν9 + . . .

)w

A2(λ, ν, µ) =8n4(3n2 − 6n+ 1)

(n− 1)4ν10 + · · ·+

(8n4(n2 − 2n+ 3)

(n− 1)3ν9 + . . .

)w

A3(λ, µ, ν) = −2(n− 2)n3(7n3 − 17n2 − 19n+ 1)

(n− 1)3ν6 + . . .

+

(−2n2(12n3 − 20n2 + 3n+ 1)

(n− 1)2ν5 + . . .

)w

A3(λ, ν, µ) =8(n− 2)n3(n4 − 4n3 − 2n2 + 12n+ 1)

(n− 1)4ν6 + . . .

+

(4n3(6n4 − 9n3 − 25n2 + 29n+ 15)

(n− 1)3ν5 + . . .

)w

Einsetzen in (35) ergibt

Q1(ν) +Q2(ν)w = 0, (36)

wobei Q1 und Q2 Polynome mit konstanten Koeffizienten sind. Fur den Leit-koeffizienten von Q1 erhalt man dabei

Q1(t) =32(n− 2)n8

(n− 1)11(73n10 − 709n9 + 2273n8 − 1255n7 − 7101n6

+12067n5 − 1089n4 − 6461n3 + 1048n2 + 134n− 4)t18 + . . . .

Durch Einsetzen niedriger Werte fur n und eine geeignete Abschatzung siehtman leicht, dass dieser Leitkoeffizient fur kein mogliches n verschwindet,also ist Q1 nicht das Nullpolynom. Aus (36) erhalt man w = R(ν) fur einerationale Funktion R oder Q1(ν) = 0; in beiden Fallen folgt die Behauptung.

29

3 HYPERFLACHEN MIT VORGEGEBENER ZAHL ANHAUPTKRUMMUNGEN

3.4 Hyperflachen mit vier Hauptkrummungen

Der nachste interessante Fall fur die Anzahl der Hauptkrummungen ist g = 4.Wie beim vierdimensionalen Fall bietet es sich hier bei Betrachtung derChern-Vermutung an, zusatzliche Krummungsfunktionen wie die Summe derdritten Potenzen der Hauptkrummungen f3 oder die Gauß-Kronecker-KrummungK als konstant vorauszusetzen.

Tatsachlich ist ein Beweis der Chern-Vermutung unter diesen Voraussetzun-gen moglich, der sich zum großten Teil auch auf Hyperflachen konstantermittlerer Krummung ubertragen lasst:

Satz 3. Sei n > 5 und M ⊂ Sn+1 geschlossene Hyperflache mit konstantermittlerer Krummung H und konstanter Skalarkrummung, die in jedem Punktgenau vier paarweise verschiedene Hauptkrummungen hat. Sei weiter f3 oderdie Gauß-Kronecker-Krummung K 6= 0 konstant.Falls H = 0 gilt oder mindestens zwei Hauptkrummungen nicht einfach vor-kommen, ist M isoparametrisch.

Beweis. Seien die voneinander verschiedenen Hauptkrummungen λ, µ, ν undσ mit jeweiligen Vielfachheiten r1, r2, r3 und r4. Aus r1+r2+r3+r4 = n undden Definitionen von H, S und f3 erhalt man dann ein Gleichungssystem mitstetigen Koeffizienten, das von den ri eindeutig gelost wird. Die ri sind alsostetige Funktionen und somit konstant.

Lokal wahlt man die ei so, dass h in jedem Punkt diagonal ist. Fur dieRichtungsableitungen der Hauptkrummungen gilt

r1λk + r2µk + r3νk + r4σk = 0

r1λλk + r2µµk + r3ννk + r4σσk = 0 (37)

r1λ2λk + r2µ

2µk + r3ν2νk + r4σ

2σk = 0

fur konstantes f3 bzw.

r11

λλk + r2

1

µµk + r3

1

ννk + r4

1

σσk = 0

r1λk + r2µk + r3νk + r4σk = 0 (38)

r1λλk + r2µµk + r3ννk + r4σσk = 0

fur konstantes von Null verschiedenes K und mit Lemma 1 folgt, dass wenndie Richtungsableitung einer Hauptkrummungsfunktion nach ek verschwin-det, dies auch fur die anderen Hauptkrummungen gilt. Man bezeichne mit

30

3 HYPERFLACHEN MIT VORGEGEBENER ZAHL ANHAUPTKRUMMUNGEN

eA, ea, eα und eℵ die zu den vier Hauptkrummungen gehorigen Haupt-krummungsrichtungen. Aus (1) folgt fur λi = λj

hijk = δij(λi)k (39)

und fur λi 6= λj

ωij(ek) =1

λj − λihijk. (40)

Nun findet eine Fallunterscheidung uber die Vielfachheiten der Hauptkrummun-gen statt. Sei o.B.d.A. r1 ≥ r2 ≥ r3 ≥ r4.

Fall 1. r4 > 1.Dann verschwinden alle Richtungsableitungen der Hauptkrummungen undes folgt die Behauptung.

Fall 2. r3 > 1, r4 = 1.Dann verschwinden die Ableitungen der Haupkrummungen in die RichtungeneA, ea und eα. O.B.d.A sei ℵ = 1. Dann ist der Gradient von λ parallel zue1, also liegen die eA, ea und eα im Tangentialraum an die Hohenflachen vonλ. Also gilt dies auch fur ihren Kommutator, d.h.

0 = 〈[ea, eA], e1〉 = 〈∇eaeA −∇eAea, e1〉= ω1A(ea)− ω1a(eA)

=

(1

λ− σ− 1

µ− σ

)h1Aa

und somit h1Aa = 0 in Punkten mit ∇λ 6= 0. Analog erhalt man dort auchh1Aα = 0 und h1aα = 0. Da ∇λ nicht auf einer offenen Umgebung verschwin-den kann (sonst ware diese Umgebung ein isoparametrisches Flachenstuck,was nach der Klassifikation von Munzner bei den angenommenen Vielfach-heiten unmoglich ist), gilt dies auf ganz M . Andererseits gilt nach (2)

haAaB = (haaA)B + 2∑m

hmAaωam(eB) +∑m

haamωAm(eB)

=2

ν − µ∑α

hAaαhBaα + δABλ1µ1

σ − λ,

haABa =2

ν − λ∑α

hAaαhBaα + δABλ1µ1

σ − µ,

also mit (6)

1

(ν − µ)(ν − λ)

∑α

hAaαhBaα =1

2δAB

(1 + λµ+

λ1µ1

(σ − λ)(σ − µ)

).

31

3 HYPERFLACHEN MIT VORGEGEBENER ZAHL ANHAUPTKRUMMUNGEN

Sei fur festes a und α vaα der Spaltenvektor der hAaα. Dann kann man diesin der Matrixgleichung

1

(ν − µ)(ν − λ)

∑α

vaαvtaα =

1

2

(1 + λµ+

λ1µ1

(σ − λ)(σ − µ)

)id

zusammenfassen. Da die linke Seite der Gleichung hochstens Rang r3 unddie rechte Seite Rang 0 oder r1 hat, folgt fur r1 > r3, dass vaα = 0 gilt,also verschwinden alle hAaα. Sei nun p ein kritischer Punkt von f3 (falls Kkonstant ist) oder f4 (falls f3 konstant ist). Dann gilt ∇h(p) = 0. Ist f3konstant oder H = 0, so folgt aus (8), dass |∇h|2 konstant ist und somit dieBehauptung. Fur konstantes K und H 6= 0 folgt aus (8), dass f3 in seinemMaximum und Minimum den gleichen Wert annimmt, also konstant ist, undsomit ebenfalls die Behauptung.Fur den Fall r1 = r2 = r3 =: r betrachte man einen kritischen Punkt p von λ.In p verschwinden die Ableitungen der Hauptkrummungen und man erhaltaus (2)

h1A1A(p) = 0, h1AA1(p) = λ11(p),

also

λ11 = (λ− σ)(1 + λσ) (41)

in p. Entsprechende Formeln gelten fur µ und ν. Ist f3 konstant, erhalt manaus den Gleichungen (37) auf M

λ1 = −(µ− ν)(µ− σ)

(λ− ν)(λ− σ)µ1

und durch nochmaliges Ableiten in p auch

λ11 = −(µ− ν)(µ− σ)

(λ− ν)(λ− σ)µ11.

Also gilt in p

(λ− σ)(1 + λσ) = λ11 = −(µ− ν)(µ− σ)

(λ− ν)(λ− σ)(µ− σ)(1 + µσ),

d.h.

(λ− σ)2(λ− ν)(1 + λσ) = −(µ− σ)2(µ− ν)(1 + µσ).

32

3 HYPERFLACHEN MIT VORGEGEBENER ZAHL ANHAUPTKRUMMUNGEN

Wiederum gilt diese Gleichung auch fur alle anderen Permutationen von µ,ν und λ. Sei nun o.B.d.A. λ < µ < ν. Dann folgt aus der obigen Gleichung,dass 1 + λ(p)σ(p) und 1 + µ(p)σ(p) entgegengesetztes Vorzeichen haben.Durch Permutation der Rollen von λ, µ und ν erhalt man aber ebenso, dass1 +λ(p)σ(p) und 1 + ν(p)σ(p) das gleiche und 1 +µ(p)σ(p) und 1 + ν(p)σ(p)entgegengesetztes Vorzeichen haben. Insbesondere gilt σ(p) 6= 0. Je nachVorzeichen von σ(p) gilt nun entweder

1 + λ(p)σ(p) < 1 + µ(p)σ(p) < 1 + ν(p)σ(p)

oder

1 + λ(p)σ(p) > 1 + µ(p)σ(p) > 1 + ν(p)σ(p).

Also haben alle drei Terme das gleiche Vorzeichen und es gilt 1+µ(p)σ(p) 6= 0.Also mussen sowohl 1 + λ(p)σ(p) als auch 1 + ν(p)σ(p) verschwinden, wasein Widerspruch ist.Ist K 6= 0 konstant, so folgt aus (41), dass 1 + λσ auf M das Vorzeichenwechselt; also gilt λσ = −1 in einem Punkt und wegen K 6= 0 haben λ undσ auf ganz M verschiedenes Vorzeichen. Das gleiche gilt fur µ und ν, alsohaben λ, µ und ν das gleiche Vorzeichen. Aus den Gleichungen (38) folgt,dass in einem kritischen Punkt von λ

λ11 = −λ(µ− ν)(µ− σ)

µ(λ− ν)(λ− σ)µ11.

gilt und man erhalt dort

µ(λ− σ)2(λ− ν)(1 + λσ) = −λ(µ− σ)2(µ− ν)(1 + µσ),

wobei λ und µ das gleiche Vorzeichen haben. Entsprechende Formeln geltenfur alle Permutationen von λ, µ und ν und die Behauptung folgt dann wiefur konstantes f3.

Fall 3. r2 > 1, r3 = r4 = 1.Dann verschwinden die Ableitungen der Hauptkrummungen in die Richtun-gen eA und ea. O.B.d.A sei α = 1 und ℵ = 2. Es gilt

haAaB =2

ν − µh1Aah1Ba +

2

σ − µh2Aah2Ba + δAB

(1

ν − λλ1µ1 +

1

σ − λλ2µ2

),

haABa =2

ν − λh1Aah1Ba +

2

σ − λh2Aah2Ba + δAB

(1

ν − µλ1µ1 +

1

σ − µλ2µ2

)

33

3 HYPERFLACHEN MIT VORGEGEBENER ZAHL ANHAUPTKRUMMUNGEN

und somit

2Xh1Aah1Ba + 2Y h2Aah2Ba = δABZ

wobei

X :=µ− λ

(ν − λ)(ν − µ), Y :=

µ− λ(σ − λ)(σ − µ)

,

Z := Xλ1µ1 + Y λ2µ2 + (1 + λµ)(µ− λ).

Seien va und wa die Spaltenvektoren der h1Aa bzw. h2Aa fur ein a. Dann kannman dies in der Matrixgleichung

2Xvavta + 2Y waw

ta = Zid (42)

zusammenfassen. Da die Ableitungen von λ in Richtung eA und ea verschwin-den, liegen diese Hauptkrummungsrichtungen immer im Tangentialraum andie Hohenflachen von λ. Also gilt dies auch fur ihren Kommutator, d.h.

0 = 〈[ea, eA],∇λ〉 = 〈∇eaeA −∇eAea, λ1e1 + λ2e2〉= λ1(ω1A(ea)− ω1a(eA)) + λ2(ω2A(ea)− ω2a(eA))

= Xλ1h1Aa + Y λ2h2Aa. (43)

Insbesondere sind in einem Punkt, in dem nicht alle Ableitungen der Haupt-krummungen verschwinden, va und wa linear abhangig. Da die linke Seitevon (42) somit nur Rang 0 oder 1 haben kann, folgt dann Z = 0. Da Z nachDefinition auf der Menge, auf der alle Ableitungen der Hauptkrummungenverschwinden, lokal konstant ist, hat man also Z = 0 und somit

Xλ1µ1 + Y λ2µ2 = (1 + λµ)(λ− µ), (44)

Xh21Aa + Y h22Aa = 0 (45)

auf ganz M . Definiere die offene Menge U := {p ∈ M |∃A, a : h1Aa(p) 6= 0}.Dort folgt aus (43)

λ1 = −YX

h2Aah1Aa

λ2

und analog

µ1 = −YX

h2Aah1Aa

µ2,

34

3 HYPERFLACHEN MIT VORGEGEBENER ZAHL ANHAUPTKRUMMUNGEN

also

Xλ1µ1 + Y λ2µ2 = λ2µ2

(XY 2

X2

h22Aah21Aa

+ Y

)=

λ2µ2

h21Aa

Y

X

(Y h22Aa +Xh21Aa

),

und durch Einsetzen von (44) und (45) folgt

1 + λµ = 0

auf U . Also gilt

r1λ−r2λ

+ ν + σ = nH

r1λ2 +

r2λ2

+ ν2 + σ2 = S

r1λ3 − r2

λ3+ ν3 + σ3 = f3

(−1)r2λr1−r2νσ = K

und mit

ν3 + σ3 = −1

2(ν + σ)3 +

3

2(ν + σ)(ν2 + σ2)

νσ =1

2(ν + σ)2 − 1

2(ν2 + σ2)

folgt

r1λ3 − r2

λ3− f3 =

1

2

(nH − r1λ+

r2λ

)3− 3

2

(nH − r1λ+

r2λ

)(S − r1λ2 −

r2λ2

)bzw.

(−1)r2λr1−r2((

nH − r1λ+r2λ

)2−(S − r1λ2 −

r2λ2

))= 2K.

Sowohl fur konstantes f3 als auch fur konstantes K 6= 0 erhalt man dannλ als Nullstelle eines nicht mit Null identischen Polynoms mit konstantenKoeffizienten. Dann ist die Menge der moglichen Werte von λ diskret, alsoist λ auf U lokal konstant und somit auch alle anderen Hauptkrummungen.Das gleiche gilt fur die Menge V , die analog uber die h2Aa definiert ist. Furden Fall U ∪ V = M folgt die Behauptung; ansonsten betrachte man einenPunkt p, in dem f4 bzw. f3 (fur konstantes K) sein Maximum oder Minimumannimmt. O.B.d.A kann p 6∈ U ∪ V angenommen werden (nimmt f4 bzw. f3

35

3 HYPERFLACHEN MIT VORGEGEBENER ZAHL ANHAUPTKRUMMUNGEN

in U ∪V sein Maximum an, dann auch auf dem Rand von U ∪V ). Dann giltin p, dass alle hijk außer den h12a und h12A verschwinden, also

h1A1B =2

σ − νh12Ah12B

h1AB1 = δABλ11 +2

σ − λh12Ah12B

und man erhalt wieder h12A = 0. Analog folgt h12a = 0 und somit schließlichdie Behauptung.

Fall 4. r1 > 2, r2 = r3 = r4 = 1.Dann verschwinden die Ableitungen der Hauptkrummungen in die Richtun-gen eA. O.B.d.A sei a = 1, α = 2 und ℵ = 3. Es gilt

h1A1B =2

ν − µh12Ah12B +

2

σ − µh13Ah13B

+δAB

(µ1λ1µ− λ

+µ2λ2ν − λ

+µ3λ3σ − λ

+λ21

λ− µ

),

h1AB1 =2

ν − λh12Ah12B +

2

σ − λh13Ah13B + δAB

(λ11 +

λ2µ2

ν − µ+

λ3µ3

σ − µ

).

Sei nun v der Spaltenvektor der h12A, w der Vektor der h13A und x der Vektorder h23A. Dann hat man

1

(ν − µ)(ν − λ)vvt +

1

(σ − µ)(σ − λ)wwt = z1id

fur geeignetes z1. O.B.d.A sei σ < ν so, dass weder σ < λ < ν noch σ < µ < νgilt. Dann haben (ν − µ)(ν − λ) und (σ − µ)(σ − λ) das gleiche Vorzeichen.Da r1 > 2 gilt und die linke Seite der Gleichung hochstens Rang 2 hat, erhaltman z1 = 0; und da die summierten Matrizen beide positiv semidefinit odernegativ semidefinit sind, folgt v = w = 0. Durch Betrachtung von h2A2B undh2AB2 erhalt man dann

xxt = z2id,

also folgt auch x = 0. Somit gilt h12A = h13A = h23A = 0.Sei nun p ein Maximum oder Minimum von λ. Ist f3 konstant, dann gilt

0 =∑ij

λ2jhiijj =∑ij

λ2j(hjjii + (λi − λj)(1 + λiλj))

= −2∑ijk

λih2ijk + nHS − nf3 + Sf3 − nHf4.

36

3 HYPERFLACHEN MIT VORGEGEBENER ZAHL ANHAUPTKRUMMUNGEN

Da in p alle hijk außer h123 verschwinden, gilt dort also

nHf4(p)− (S − n)f3 − nHS = 4h123(p)2(rλ(p)− nH).

Man beachte, dass h123(p)2 = 1

6|∇h|2 im Maximum und Minimum von λ den

gleichen Wert annimmt. Fur H = 0 folgt also, dass h123(p) = 0 gilt oderMinimum und Maximum von λ ubereinstimmen. In beiden Fallen folgt dieBehauptung.Fur konstantes K 6= 0 gilt

0 =K

|K|∇(log |K|) =

∑ij

1

λihiijj −

∑ijk

1

λiλjh2ijk

=∑ij

1

λi(hjjii + (λi − λj)(1 + λiλj))−

∑ijk

1

λiλjh2ijk

= n2 − nH∑i

1

λi+ n2H2 − nS −

∑ijk

1

λiλjh2ijk,

also hat man in p

n(n− S)− nH∑i

1

λi(p)+ n2H2 =

2

Kλ(p)r1(nH − r1λ(p))h123(p)

2.

Fur H = 0 ist |∇h|2 konstant, also hat wieder h2123 im Minimum und Maxi-mum von λ den gleichen Wert. Fur h123(p) = 0 folgt sofort die Behauptung;sonst folgt aus der obigen Gleichung, dass λr1+1 im Minimum und Maximumvon λ den gleichen Wert hat, und da λ nicht das Vorzeichen wechselt, folgtebenfalls die Behauptung.

37

4 DUPINSCHE HYPERFLACHEN

4 Dupinsche Hyperflachen

4.1 Definition und Klassifikation

Eine Verallgemeinerung isoparametrischer Hyperflachen sind die sogenanntenDupinschen Hyperflachen, die wie folgt definiert sind:

Definition. Eine Hyperflache M ⊂ Rn+1 heißt Dupinsche Hyperflache, wennihre Hauptkrummungen in Richtung der zugehorigen Hauptkrummungsrich-tungen konstant sind (d.h. es gilt (λi)i = 0 fur alle i).

Bezuglich der moglichen Anzahl und Vielfachheit der Hauptkrummungen ge-schlossener Dupinscher Hyperflachen in Spharen existieren analoge Resultatezu denen fur isoparametrische Hyperflachen (lokal lassen sich Hyperflachenmit beliebigen Vielfachheiten konstruieren). Insbesondere zeigte Thorbergs-son in [26], dass die Anzahl der paarweise verschiedenen Hauptkrummungeng auch hier nur die Werte 1, 2, 3, 4 oder 6 annehmen kann und ihre Vielfach-heiten mi alternierend sind.

Von Miyaoka ([15]) stammt der Beweis, dass jede Dupinsche Hyperflachenmit g = 3 das Lie-geometrische Bild einer isoparametrischen Hyperflache ist.Grove und Halperin zeigten in [11] unter anderem, dass fur g = 6 entwederm1 = m2 = 1 oder m1 = m2 gelten muss und dass dies auch fur g = 4und unter der Voraussetzung m1 = m2 die einzigen Moglichkeiten sind. VonStolz ([24]) stammt schließlich die Vervollstandigung der Klassifikation dermoglichen Vielfachheiten.

Fur Dupinsche Hyperflachen konstanter mittlerer Krummung existiert fol-gendes Resultat fur den Fall g = 3.

Satz (Miyaoka 1987 [14],[16]). Sei M ⊂ Sn+1 eine geschlossene Dupin-sche Hyperflache mit drei paarweise verschiedenen Hauptkrummungen undkonstanter mittlerer Krummung. Dann ist M isoparametrisch.

38

4 DUPINSCHE HYPERFLACHEN

4.2 Die Chern-Vermutung fur Dupinsche Hyperflachen

Man betrachtet nun die Chern-Vermutung unter der zusatzlichen Voraus-setzung, dass die betrachtete Hyperflache Dupinsch ist. Fur g ≤ 3 ist dieseVermutung trivialerweise erfullt, es bleiben also noch die Falle g = 4 undg = 6 zu betrachten. Fur n = 4 lasst sich mit Hilfe der zuerst von Almeidaund Brito in [3] eingefuhrten Methode folgendes Resultat beweisen:

Satz (Almeida, Brasil 1998 [1]). Sei M ⊂ R5 eine geschlossene Du-pinsche Hyperflache mit konstanter mittlerer Krummung H und konstanterSkalarkrummung κ ≥ 0. Dann ist M isoparametrisch.

Fur die hoherdimensionalen Unterfalle von g = 4 bietet es sich an, die Ver-mutung als ein Analog der von Miyaoka (s.o.) untersuchten Fragestellung fureine Hauptkrummung mehr und eine zusatzlich als konstant angenommeneKrummunsfunktion zu betrachten und mit ahnlichen Methoden vorzugehen.Tatsachlich lasst sich die Vermutung dadurch bis auf einzelne niedrigdimen-sionale Falle fur die Vielfachheiten beweisen:

Satz 4. Sei n > 6 und M ⊂ Sn+1 Dupinsche Hyperflache mit vier verschiede-nen Hauptkrummungen und konstanter mittlerer und Skalarkrummung. Fallsnicht alle Hauptkrummungen Vielfachheit 2 haben, ist M isoparametrisch.

Dazu zeigen wir zunachst folgendes Lemma:

Lemma 2. Sei M ⊂ Sn Dupinsche Hyperflache mit vier verschiedenenHauptkrummungen λ, µ, ν, σ und konstanter mittlerer und Skalarkrummung.Wenn λ mit Vielfachheit großer als zwei vorkommt oder alle Hauptkrummun-gen die gleiche Vielfachheit haben und D eine zu λ gehorige Krummungsman-nigfaltigkeit ist, so sind µ, ν und σ auf D konstant oder es gilt

3λ2 − 2λ(µ+ ν + σ) + µν + µσ + νσ = 0

auf ganz D.

Beweis des Lemmas. Wahle lokal eine Orthonormalbasis ei so, dass h dia-gonal ist. Bezeichne mit eA, ea, eα und er die zu λ, µ, ν bzw. σ gehorigenHauptkrummungsrichtungen und mit r1, r2, r3 und r4 ihre jeweiligen Viel-fachheiten. Aus λA = 0 und der Konstanz von H und S folgt

r2µA =σ − νµ− σ

r3νA =ν − σµ− ν

r4σA. (46)

39

4 DUPINSCHE HYPERFLACHEN

Schreibe im Folgenden ωkij := ωij(ek). Sei A 6= B. Aus (2) folgt

hAaaB = µAB +∑C

µCωBAC +

2

ν − µ∑α

hAaαhBaα +2

σ − µ∑r

hAarhBar,

hAaBa =2

µ− λµAµB +

2

ν − λ∑α

hAaαhBaα +2

σ − λ∑r

hAarhBar

also mit (6)

µAB −2

µ− λµAµB +

∑C

µCωBAC = 2

λ− µ(ν − µ)(ν − λ)

∑α

hAaαhBaα

+2λ− µ

(σ − µ)(σ − λ)

∑r

hAarhBar

und analoge Gleichungen fur νAB und σAB. Die rechte Seite der Gleichungist dann unabhangig von a, definiert man also

x :=1

λ− µ

(1

(ν − µ)(ν − λ)

∑aα

hAaαhBaα +1

(σ − µ)(σ − λ)

∑ar

hAarhBar

),

y :=1

λ− ν

(1

(µ− ν)(µ− λ)

∑aα

hAaαhBaα +1

(σ − ν)(σ − λ)

∑αr

hAαrhBαr

)

und beachtet

x+y = − 1

λ− σ

(1

(µ− σ)(µ− λ)

∑ar

hAarhBar +1

(ν − λ)(ν − σ)

∑αr

hAαrhBαr

),

so erhalt man

µAB =2

µ− λµAµB −

∑C

µCωBAC +

2

r2(λ− µ)2x (47)

νAB =2

ν − λνAνB −

∑C

νCωBAC +

2

r3(λ− ν)2y (48)

σAB =2

σ − λσAσB −

∑C

σCωBAC −

2

r4(λ− σ)2(x+ y). (49)

Einsetzen in

r2µAB + r3νAB + r4σAB = 0

r2µµAB + r3ννAB + r4σσAB = −r2µAµB − r3νAνB − r4σAσB

40

4 DUPINSCHE HYPERFLACHEN

ergibt

0 =r2

µ− λµAµB +

r3ν − λ

νAνB +r4

σ − λσAσB

+(λ− µ)2x+ (λ− ν)2y − (λ− σ)2(x+ y)

0 = r23µ− λµ− λ

µAµB + r33ν − λν − λ

νAνB + r43σ − λσ − λ

σAσB

+2µ(λ− µ)2x+ 2ν(λ− ν)2y − 2σ(λ− σ)2(x+ y).

Lost man dieses Gleichungssystem nach x auf, erhalt man mit (46)

Gµνσx = FµAµB, (50)

wobei

Gµνσ = (ν(λ− ν)2 − σ(λ− σ)2)((λ− µ)2 − (λ− σ)2)

−((λ− ν)2 − (λ− σ)2)(µ(λ− µ)2 − σ(λ− σ)2)

= −(ν − µ)(µ− σ)(σ − µ)(3λ2 + 2(µ+ ν + σ)λ− µν − µσ − νσ)

und F eine rationale Funktion in den Hauptkrummungen ist. Sei nun r1 > 2und p ein Punkt, in dem Gµνσ 6= 0 gilt und seien eA und eB mit A 6= B in psenkrecht zum Gradienten von µ, d.h. µA(p) = µB(p) = 0. Sei γ die durch pgehende Geodate der Sphare D in Richtung eB. Setzt man eA und eB langsγ parallel (bezuglich D) fort, erhalt man aus (47) und (50), dass langs γ

µAB = F1µAµB

gilt, wobei F1 wieder eine rationale Funktion in den Hauptkrummungenist. Da M als Hyperflache konstanter mittlerer Krummung in Sn analy-tisch ist ([17]), sind auch die Hauptkrummungen analytische Funktionen. DaµA(p) = 0 gilt, folgt dann µA = 0 langs γ. Sei D1 die von den γ aufgespanntegeodatische Sphare in D, dann hangt µ also auf D1 nur vom Abstand von pab. Aus (6) erhalt man

(λ− µ)(1 + λµ) = λaa − µAA +∑c

λcωaac −

∑C

µCωAAC +

2

µ− λ(µ2

A + λ2a)

+µ− λ

(ν − µ)(ν − λ)

∑α

µανα +µ− λ

(σ − µ)(σ − λ)

∑r

µrνr

+2λ− µ

(ν − λ)(ν − µ)

∑α

h2Aaα + 2λ− µ

(σ − λ)(σ − µ)

∑r

h2Aar

41

4 DUPINSCHE HYPERFLACHEN

und eine entsprechende Gleichung fur B. Setzt man eA auf einer Umgebungvon γ geeignet fort. gilt µAA = 0, und durch Vergleich der beiden Gleichungenhat man

µBB = µBωAAB −

2

λ− µµ2B + 2

µ− λ(ν − λ)(ν − µ)

∑α

(h2Aaα − h2Baα)

+2µ− λ

(σ − λ)(σ − µ)

∑r

(h2Aar − h2Bar).

Entsprechende Formeln gelten fur ν und σ, und durch das gleiche Argumentwie zuvor erhalt man, dass auch µB langs γ verschwindet. Also ist µ (undebenso ν und σ) konstant auf D1. Sei nun q ein anderer Punkt mit Gµνσ 6= 0,dann erhalt man ebenso eine geodatische Sphare D2 durch q, auf der dieHauptkrummungen konstant sind. Da sich D1 und D2 in D schneiden, habendie Hauptkrummungen in p und q den gleichen Wert. Gibt es also einensolchen Punkt p, so sind die Hauptkrummungen auf einer Umgebung von pin D konstant, also auf ganz D. Fur r1 > 2 ist damit die Behauptung gezeigt.Fur r1 = r2 = r3 = r4 gilt

3λ2 − 2λ(µ+ ν + σ) + µν + µσ + νσ

= −3λ2 + 2λ(4H − λ)− 1

2(4H − λ)2 +

1

2

(4

nS − λ2

),

also verschwindet Gµνσ entweder auf ganz D oder nirgends. Ist letzteres derFall, betrachtet man einen Punkt p, in dem µ auf D sein Maximum annimmt.Dort gilt dann µA = 0 fur alle A, und durch die gleichen Argumente wiezuvor erhalt man, dass µA langs allen von p ausgehenden Geodaten von Dverschwindet, also ist µ auf D konstant.

Beweis von Satz 4. Wahle wieder lokal eine Orthonormalbasis ei so, dass hdiagonal ist und bezeichne mit eA, ea, eα und er die zu den Hauptkrummun-gen λ, µ, ν bzw. σ gehorigen Hauptkrummungsrichtungen und mit r1, r2, r3und r4 ihre jeweiligen Vielfachheiten. Nach [26] alternieren die Vielfachhei-ten; o.B.d.A. sei m1 := r1 = r2, m2 := r3 = r4 und m1 ≥ m2. Es werden diefolgenden Falle unterschieden:

Fall 1. m1 > m2.Aus n > 6 folgt dann m1 > 2, also lasst sich das Lemma auf λ und µanwenden. Man beachte, dass sich in diesem Fall

3λ2 − 2λ(µ+ ν + σ) + µν + µσ + νσ

42

4 DUPINSCHE HYPERFLACHEN

auf einer Krummungsmannigfaltigkeit D von λ als Polynom 2. Grades vonµ mit konstanten Koeffizienten schreiben lasst; ist es also konstant auf D, soauch µ. Aus dem Lemma folgt also in jedem Fall, dass die Hauptkrummun-gen auf D konstant sind. Es wird nun weiter nach den moglichen Werten furm2 unterschieden:

Fall 1a. m1 > m2 = 1.Aus dem Lemma folgt dann, dass die Ableitungen der Hauptkrummungen indie Richtungen eA und ea verschwinden. Also ist der Gradient von ν parallelzu er. Somit liegen die eA, ea und eα im Tangentialraum an die Hohenflachenvon ν. Dies gilt dann auch fur ihren Kommutator, d.h.

0 = 〈[eA, ea], er〉 = 〈∇eAea −∇eaeA, er〉= ωAra − ωarA

=

(1

µ− σ− 1

λ− σ

)hAar

und somit hAar = 0 in Punkten mit ∇ν 6= 0. Angenommen, ν ware nicht aufganz M konstant. Aufgrund der Analytizitat von ν ist das Innere der Mengeder kritischen Punkte von ν leer, also gilt hAar = 0 auf ganz M . Analog folgthAαr = 0 und haαr = 0. Dann erhalt man aus (2)

hAaAb = δab

(λαµαν − µ

+λrµrσ − µ

)+

2

ν − λhAaαhAbα

hAabA = δab

(λαµαν − λ

+λrµrσ − λ

)+

2

ν − µhAaαhAbα.

Einsetzen in (6) ergibt dann

hAaαhAbα = zδab

fur eine Funktion z. Sei fur festes A vA der Spaltenvektor der hAaα. Dannkann man dies in der Matrixgleichung

vAvtA = zid

zusammenfassen. Da die linke Seite nur Rang 0 oder 1 und die rechte Seitenur Rang 0 oder m1 haben kann, folgt z = 0, also hAaα = 0. Sei nun p einMinimum oder Maximum von f3. Dann verschwinden alle Richtungsablei-tungen der Hauptkrummungen in p, also gilt ∇h(p) = 0. Aus (8) folgt dannfur H = 0, dass ∇h = 0 auf ganz M gilt, und fur H 6= 0, dass f3 in seinemMaximum und Minimum den gleichen Wert annimmt, also konstant ist. In

43

4 DUPINSCHE HYPERFLACHEN

beiden Fallen folgt, dass M isoparametrisch ist, und das ist ein Widerspruch.Also ist ν konstant auf M . Genauso folgt, dass σ konstant ist, und damit dieBehauptung.

Fall 1b. m1 > m2 = 2Wiederum folgt aus dem Lemma, dass die Ableitungen der Hauptkrummun-gen in die Richtungen eA und ea verschwinden. O.B.d.A sei

∇ν = νr, ∇σ = σα, νs = σβ = 0.

Wie in Fall 1a folgt nun

hAar = hAαr = hAβr = 0

in allen Punkten mit ∇ν 6= 0. Aus (2) hat man

hArAr = λrr + hAAαωrrα = λrr +

λασαν − σ

hArrA = hαrrωAAα + 2hAArω

ArA =

σαλαν − λ

+ 2λ2r

λ− σ,

also

λrr = (λ− σ)(1 + λσ) +σαλαν − λ

+ 2λ2r

λ− σ− λασαν − σ

.

Analog folgt

µrr = (µ− σ)(1 + µσ) +σαµαν − µ

+ 2µ2r

µ− σ− µασαν − σ

.

Nahert man sich nun einem Punkt p an, in dem ∇f3 = 0 gilt (so dass in palle Richtungsableitungen verschwinden), so gilt

λrr −ν − µλ− ν

µrr → 0,

und mit den obigen Gleichungen erhalt man, dass in p

(λ− ν)(λ− σ)(1 + λσ) = −(µ− ν)(µ− σ)(1 + µσ)

gilt. Analog folgt

(λ− ν)(λ− σ)(1 + λν) = −(µ− ν)(µ− σ)(1 + µν),

44

4 DUPINSCHE HYPERFLACHEN

also gilt in p

(1 + λσ)(1 + µν) = (1 + µσ)(1 + λν)

⇒ λσ + µν = λν + µσ

⇒ λ(σ − ν) = µ(σ − ν),

und das ist ein Widerspruch. Also ist ν konstant auf M . Genauso folgt, dassσ konstant ist, und damit die Behauptung.

Fall 1c. m1 > m2 > 2.In diesem Fall lasst sich das Lemma auch auf ν und σ anwenden, und dieBehauptung folgt unmittelbar.

Fall 2. m1 = m2 =: m.Aus [11] hat man dann, dass m = 1 oder m = 2 gilt; beide Falle werden vonden Voraussetzungen ausgeschlossen.

45

5 UNTERMANNIGFALTIGKEITEN HOHERER KODIMENSION

5 Untermannigfaltigkeiten hoherer Kodimen-

sion

5.1 Untermannigfaltigkeiten in Spharen

Es liegt nahe, die Frage zu stellen, inwieweit sich die Chern-Vermutung bzw.ahnliche Aussagen von Hyperflachen auf beliebige Untermannigfaltigkeitenin Spharen ubertragen lassen. Im Folgenden werden die Grundlagen aus Ab-schnitt 2 fur diesen allgemeineren Fall rekapituliert, einschließlich einer all-gemeineren Definition des Begriffes der Isoparametrie. In den anschließendenUnterabschnitten werden dann verschiedene Verallgemeinerungen der Chern-Vermutung untersucht.

Sei also M ⊂ Sn+p eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Lokal wahltman einen orthonormalen Rahmen {e1, ..., en+p} von Sn+p, so dass einge-schrankt auf M die e1, ..., en tangential an M sind. Im Folgenden seien dieIndizes A,B,C,D zwischen 1 und n + p, die Indizes i, j, k, l,m zwischen 1und n und die Indizes α, β zwischen n+1 und n+p. Sei {ωA} die duale Basiszu {eA}. Die Strukturgleichungen von Sn+p sind

dωA = −∑B

ωAB ∧ ωB, ωAB + ωBA = 0, (51)

dωAB = −∑C

ωAC ∧ ωCB +1

2

∑CD

RABCDωC ∧ ωD, (52)

wobeu R der Riemannsche Krummungstensor

RABCD = δACδBD − δADδBC

ist und die ωij die Komponenten des Zusammenhangs sind. Nun schranktman alle Tensoren auf M ein. Dann gilt ωα = 0 und somit 0 = dωα =∑

i ωαi ∧ ωi. Nach Cartans Lemma schreibt man

ωα =∑j

hαijωj, hαij = hαji,

wobei

h =∑ijα

hαijωiωjeα

46

5 UNTERMANNIGFALTIGKEITEN HOHERER KODIMENSION

die zweite Fundamentalform von M ist bzw. (hαij)ij die Matrixdarstellung desWeingartenoperators Aeα bezuglich der ei. Auf M hat man

dωi = −∑j

ωij ∧ ωj, ωij + ωji = 0 (53)

dωij = −∑k

ωik ∧ ωkj +1

2

∑kl

Rijklωk ∧ ωl, (54)

wobei R der Riemannsche Krummungstensor von M mit

Rijkl = δikδjl − δilδjk +∑α

(hαikhαjl − hαilhαjk) (55)

ist. Ebenso gilt

dωiα = −∑j

ωij ∧ ωjα −∑β

ωiβ ∧ ωβα (56)

dωαβ = −∑γ

ωαγ ∧ ωγβ +1

2

∑ij

Θαβijωi ∧ ωj, (57)

wobei Θ der Krummungstensor des Normalenbundels mit

Θαβij =∑k

hαikhβjk − h

βikh

αjk (58)

ist. Die ersten und zweiten kovarianten Ableitungen ∇h und ∇2h von h mitKomponenten hαijk bzw. hαijkl sind definiert durch∑

k

hαijkωk = dhαij +∑k

hαkjωik +∑k

hαikωjk +∑β

hβijωαβ (59)∑l

hαijklωl = dhαijk +∑l

hαljkωil +∑l

hαilkωjl +∑l

hαijlωkl

+∑β

hβijkωαβ. (60)

Es gilt die Codazzi-Gleichung

hαijk = hαjik = hαikj (61)

und fur die Komponenten von ∇2h zusatzlich die Permutationsregel

hαijkl = hαijlk +∑m

hαimRmjkl +∑m

hαmjRmikl −∑β

hβijΘαβkl. (62)

47

5 UNTERMANNIGFALTIGKEITEN HOHERER KODIMENSION

Aus (58) folgt, dass das Normalenbundel von M genau dann flach ist, wenndie Weingartenoperatoren Aeα in jedem Punkt parallel diagonalisierbar sind.

Sei nun v ein paralleles Normalenvektorfeld, so dass Av n verschiedenen Ei-genwerte λi (die zu v gehorigen Hauptkrummungen) hat. O.B.d.A kann mandann v = en+1 und hn+1

ij = δijλi annehmen und erhalt fur α > n + 1 ausωα(n+1) = 0, (57) und (58), dass (λj − λi)hαij = 0 gilt, also sind die Aeα dia-gonal bezuglich der ei, d.h. das Normalenbundel von M ist flach.

Im Folgenden wird angenommen, dass das Normalenbundel von M flach ist.Dann existiert eine Orthonormalbasis von parallelen Normalenvektorfelderneα und eine Orthonormalbasis von Tangentialvektorfeldern ei (den Haupt-krummungsrichtungen), so dass

hαij = δijλαi (63)

gilt. Dann hat (55) die Form

Rijkl = (δikδjl − δilδjk)

(1 +

∑α

λαi λαj

), (64)

(59) die Formhαijk = (hαij)k + (λαj − λαi )ωij(ek) (65)

und (62) die Formhαijkl = hαijlk + (λαi − λαj )Rijkl. (66)

Die Skalarkrummung κ von M ist gegeben durch

κ =1

n(n− 1)

∑ij

Rijij = 1 +1

n(n− 1)

∑α

∑i 6=j

λαi λαj , (67)

der mittlere Krummungsvektor H durch

H =∑iα

λαi eα. (68)

Eine UntermannigfaltgkeitM heißt isoparametrisch, wenn ihr Normalenbundelflach ist und fur jedes parallele Normalenvektorfeld v die Eigenwerte von Avkonstant sind, bzw. aquivalent dazu alle λαi konstant sind.

48

5 UNTERMANNIGFALTIGKEITEN HOHERER KODIMENSION

5.2 Die Chern-Vermutung fur Normalenvektorfelder

Eine mogliche Verallgemeinerung der Chern-Vermutung besteht nun darin,an Stelle der Hauptkrummungen als Eigenwerte des Weingartenoperators dieEigenwerte von Av fur ein ausgewahltes paralleles Normalenvektorfeld v zubetrachten. Die zugehorige Vermutung lautet wie folgt:

Vermutung. Sei M ⊂ Sn+p eine geschlossene n-dimensionale Untermannig-faltigkeit und sei v ein paralleles Normalenvektorfeld auf M , so dass tr Avund |Av|2 konstant sind. Dann sind die Eigenwerte von Av konstant.

Fur den ersten nichttrivialen Fall n = 3 lasst sich diese Vermutung fur Un-termannigfaltigkeiten nicht negativer Skalarkrummung mit Hilfe der von Al-meida und Brito in [3] eingefuhrten Methode beweisen:

Satz 5. Sei M ⊂ S3+p eine geschlossene 3-dimensionale Untermannigfaltig-keit mit uberall nicht negativer Skalarkrummung κ und sei v ein parallelesNormalenvektorfeld auf M , so dass tr Av und |Av|2 konstant sind. Dann sinddie Eigenwerte von Av konstant.

Beweis. Seien λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 die Eigenwerte vonAv sowieX := {p ∈M |λ2 = λ3},Z := {p ∈ M |λ1 = λ2} und Y := M \ (X ∪ Z). Definiere µi := λi − 1

3tr Av,

S =∑

i µ2i und f :=

∑i µ

3i , dann ist S konstant und es gilt

X = f−1

−S√S

6

, Z = f−1

S√S

6

.

Es wird nun gezeigt, dass f auf Y konstant ist; dann ist f auf ganz M kon-

stant, also auch die µi bzw. λi. Setze C := S√

S6

und nehme an C 6= 0 (sonst

folgt die Behauptung unmittelbar).

Da v parallel ist und Av auf Y drei verschiedene Eigenwerte hat, ist dasNormalenbundel eingeschrankt auf Y flach. Wahle auf Y die ei lokal wieoben, d.h.

hαij = δijλi (69)

und definiere die 2-Form ψ auf Y durch

ψ := ω1 ∧ ω32 + ω2 ∧ ω13 + ω3 ∧ ω21. (70)

Durch Einsetzen von (53), (54) und (65) erhalt man

dψ =

(3κ−

∑i

hjjihkki(λi − λj)(λi − λk)

)vol,

49

5 UNTERMANNIGFALTIGKEITEN HOHERER KODIMENSION

wobei j = i + 1, k = i + 2 mit zyklischer Addition. Da∑

i λi und∑

i λ2i

konstant sind, kann man dies umformen zu

dψ =

(3κ+

1

9D2|∇f |2

)vol, (71)

wobei D := (λ3 − λ2)(λ3 − λ1)(λ2 − λ2). Weiter gilt

df ∧ ψ =∑i

uif2i vol, (72)

wobeiui :=

µi(λi − λj)2(λj − λk)2

wieder mit j = i+ 1, k = i+ 2 und zyklischer Addition. Sei

Xε := f−1(−C,−C + ε), Zε := f−1(C − ε, C), Yε := Y \ (Xε ∪ Zε).

Fur hinreichend kleines ε gilt auf auf Xε u2, u3 > 0, |u1| < 1 und auf Zεu1, u2 < 0, |u3| < 1. Sei ηε : R 7→ [0, 1] eine glatte, auf R≤0 monoton steigendeund auf R≥0 monoton fallende Funktion, so dass ηε(t) = 0 fur |t| ≥ C − ε

3

und ηε(t) = 1 fur |t| ≤ C− ε gilt. Dann ist ηε(f)ψ eine auf ganz M definierte3-Form und durch Anwendung des Satzes von Stokes auf diese erhalt man:

0 ≤∫Y

ηε(f)dψ = −∫Y

η′ε(f)df ∧ ψ = −∫

Xε∪Zε

η′ε(f)∑

uif2i vol

≤∫

Xε∪Zε

|η′ε(f)||∇f |2vol.

Sei die glatte Funktion ξε : R 7→ [0, 1] definiert durch ξε(t) := ηε(t) − 1 furt ≤ 0, ξε(t) := 1 − ηε(t) fur t ≥ 0. Dann gilt ξ′ε = |η′ε| und der Trager von ξεist in Xε ∪ Zε enthalten. Erneute Anwendung des Satzes von Stokes auf

div(ξε(f)∇f) = ξ′ε(f)|∇f |2 + ξε(f)∆f

ergibt∫Xε∪Zε

|η′ε(f)||∇f |2vol ≤

∣∣∣∣∣∣∫M

ξε(f)∆fvol

∣∣∣∣∣∣ ≤∫M

|ξε(f)||∆f |vol ≤∫

Xε∪Zε

|∆f |vol.

Fur ε→ 0 geht der rechte Term gegen 0, also folgt∫Y

ηε(f)dψ −→ 0 fur ε→ 0.

50

5 UNTERMANNIGFALTIGKEITEN HOHERER KODIMENSION

Mit (71) und κ ≥ 0 folgt dann, dass auf Y der Gradient ∇f verschwindet,und damit die Behauptung.

In diesem Zusammenhang stellt sich naturlich die Frage, welche Schlussfolge-rungen sich aus der Existenz eines parallelen Normalenvektorfelds mit dieserEigenschaft ziehen lassen. Eine Antwort darauf gibt der folgende Satz:

Satz 6. Sei M ⊂ Sn+p eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit und v einparalleles Normalenvektorfeld auf M , so dass Av n paarweise verschiedene,konstante Eigenwerte hat. In jedem Punkt gibt es dann ein m ≤ n, so dassnach geeigneter Wahl der Indizes der Eigenvektoren folgendes gilt:1. Fur jedes paralleles Normalenvektorfeld w sind die Eigenwerte von Aw,die zu den Eigenvektoren e1, ..., em gehoren, konstant.2. Die em+1, ..., en sind parallele Vektorfelder, die e1, ..., em nicht.3. Es gilt entweder m = 0 und p ≥ n− 1 oder m ≥ max (3, n+ 1− p).

Beweis. Aus der Existenz von v folgt, dass das Normalenbundel von M flachist. Wahle dann eine Orthonormalbasis von parallelen Normalenvektorfeldernv = en+1, en+2,...en+p und eine Basis von Tangentialvektorfeldern e1,...,en,bezuglich der alle Aeα diagonal sind. Aus (65) hat man

hn+1iij = (λn+1

i )j = 0

hn+1iij = (λn+1

j − λn+1i )ωij(ei),

also folgt wegen λn+1i 6= λn+1

j , dass ωij(ei) = 0 und somit

(λαi )j = hαiij = (λαj − λαi )ωij(ei) = 0

fur alle i 6= j und α > n+1 gilt. Angenommen, ein Eigenwert λαi ist auf einerUmgebung eines Punktes p nicht konstant. Dann kommt dieser Eigenwertdort einfach vor und seine einzige nicht verschwindende Richtungsableitungist (λαi )i = hαiii 6= 0, d.h. ei ist parallel zum Gradienten von λαi . Seien nun jund k zwei Indizes. Fur λn+1

j = λn+1k , j = i oder j = k gilt hn+1

ijk = 0; sonstsind ej und ek auf einer Umgebung von p tangential an die Hohenflachen vonλαi , also gilt dies auch fur ihren Kommutator, d.h.

0 = 〈[ej, ek], ei〉 = 〈∇ejek −∇ekej, ei〉= ωik(ej)− ωij(ek)

=λn+1j − λn+1

k

(λn+1i − λn+1

k )(λn+1i − λn+1

j )hn+1ijk .

also gilt dann ebenfalls hn+1ijk = 0. Fur jedes i tritt also (lokal) einer der fol-

genden zwei Falle ein:

51

5 UNTERMANNIGFALTIGKEITEN HOHERER KODIMENSION

1. λαi ist konstant fur alle α.2. Es existiert ein α, so dass λαi nicht konstant ist; dann gilt hn+1

ijk = 0 fur allej und k.Im zweiten Fall folgt ωij(ek) = 0 fur alle j und k, also ist ei ein parallelesVektorfeld. O.B.d.A seien nun em+1, ..., en parallel und e1, ..., em nicht paral-lel, d.h. λαi ist konstant fur alle α und i ≤ m. Offensichtlich sind dann dieBedingungen 1 und 2 erfullt. Angenommen, es gilt m 6= 0. Insbesondere exi-stiert dann ein nicht paralleles ei und somit auch j und k, so dass ωij(ek) 6= 0bzw. hn+1

ijk 6= 0 gilt. Dann mussen i, j und k drei verschiedene Indizes kleinergleich m sein, d.h. es gilt m ≥ 3.Definiere nun fur jedes i den p+ 1-Vektor wi durch wi := (1, λn+1

i , ..., λn+pi ).Aus (64) folgt 〈wi, wj〉 = Rijij fur i 6= j. Insbesondere gilt fur i ≤ m undj 6= i 〈wi, wj〉 = 0. Sei nun V der von den wi mit i ≤ m und W der vonden wi mit i > m aufgespannte Raum. Dann stehen V und W senkrechtaufeinander und die wi mit i > m sind eine orthogonale Basis von W , alsogilt dim W = n − m. Außerdem hat man dim V ≥ 2, da m > 1 gilt undzwei verschiedene wi immer linear unabhangig sind (da dies fur (1, λn+1

i ) und(1, λn+1

j ) mit i 6= j gilt). Also folgt

n−m+ 2 ≤ dim V + dim W ≤ p+ 1,

d.h. m ≥ n + 1 − p. Fur m = 0 folgt aus der gleichen Uberlegung n =dim W ≤ p+ 1.

Damit erhalt man nun das folgende Korollar:

Korollar 1. Sei M ⊂ S3+p eine geschlossene 3-dimensionale Untermannig-faltigkeit mit uberall nicht negativer Skalarkrummung κ und sei v ein par-alleles Normalenvektorfeld auf M , so dass tr Av und |Av|2 konstant sind.Wenn Av in einem Punkt drei paarweise verschiedene Eigenwerte hat, dannist M isoparametrisch oder eine flache Untermannigfaltigkeit mit parallelenHauptkrummungsrichtungen.

52

5 UNTERMANNIGFALTIGKEITEN HOHERER KODIMENSION

5.3 Die Chern-Vermutung fur Untermannigfaltigkei-ten mit parallelem mittleren Krummungsvektor

Eine weitere mogliche Verallgemeinerung der Chern-Vermutung auf Unter-mannigfaltigkeiten betrachtet keinen ausgewahlten Normalenvektor, sonderngeht von konstanten Krummungsfunktionen aus. Dabei entspricht der Vor-aussetzung konstanter mittlerer Krummung die eines parallelen mittlerenKrummungsvektors. Aufgrund der Folgerungen, die sich daraus (abhangigvon den Hauptkrummungen) bereits fur die Krummung des Normalenvek-torbundels ergeben, liegt es nahe, zusatzlich ein flaches Normalenvektorbundelvorauszusetzen.

Es lasst sich also nun folgende Vermutung formulieren:

Vermutung. Sei M ⊂ Sn+p eine geschlossene n-dimensionale Untermannig-faltigkeit mit flachem Normalenvektorbundel, parallelem mittleren Krummungs-vektor und konstanter Skalarkrummung. Dann ist M isoparametrisch.

Fur p > 1 ist hier bereits der zweidimensionale Fall nicht trivial, lasst sichaber wie folgt vergleichsweise einfach beweisen:

Satz 7. Sei M ⊂ S2+p ein Flachenstuck mit flachem Normalenvektorbundel,parallelem mittleren Krummungsvektor und konstanter Skalarkrummung. Dannist M isoparametrisch.

Beweis. Wahle eine Orthonormalbasis von parallelen Normalenvektorfelderne3, e4,...e2+p und eine Basis von Tangentialvektorfeldern {e1, e2}, bezuglichder alle Aeα diagonal sind. Da H parallel ist, ist λα1 + λα2 konstant fur jedesα, also gilt hα111 = −hα221 und hα222 = −hα112. Da κ konstant ist, ist

∑α λ

α1λ

α2

konstant, also gilt weiter

0 =∑α

(hα111λα2 + hα221λ

α1 ) =

∑α

(λα1 − λα2 )hα221

0 =∑α

(hα112λα2 + hα222λ

α1 ) =

∑α

(λα2 − λα1 )hα112

Sei nun o.B.d.A 3 ≤ m ≤ 3+p so, dass fur 3 ≤ α < m λα1 = λα2 und fur m ≤ αλα1 6= λα2 gilt. Fur α < m folgt dann hα111 = hα221 = 0 und hα222 = hα112 = 0.Fur m = 3 + p folgt unmittelbar die Behauptung. Sonst folgt wegen

hα12k = (λα2 − λα1 )ω12(ek),

dass

hα12k =λα2 − λα1λβ2 − λ

β1

hβ12k

53

5 UNTERMANNIGFALTIGKEITEN HOHERER KODIMENSION

fur alle β ≥ m gilt. Dann hat man

0 =hβ112

λβ2 − λβ1

∑α

(λα2 − λα1 )2

0 =hβ221

λβ2 − λβ1

∑α

(λα2 − λα1 )2,

also gilt hβ112 = hβ221 = 0 und es folgt die Behauptung.

Fur den dreidimensionalen Fall lasst sich durch Anwendung der Methode vonAlmeida und Brito folgendes zeigen:

Satz 8. Sei M ⊂ S3+p eine geschlossene dreidimensionale Untermannigfal-tigkeit mit flachem Normalenvektorbundel, parallelem mittleren Krummungs-vektor und konstanter Skalarkrummung κ ≥ 0. Falls in jedem Punkt von Mein Normalenvektor v existiert, so dass Av drei paarweise verschiedene Ei-genwerte hat, ist M isoparametrisch.

Beweis. Wahle lokal eine Orthonormalbasis von parallelen Normalenvektor-feldern e4, e5,...e3+p und eine Basis von Tangentialvektorfeldern {e1, e2, e3},bezuglich der alle Aeα diagonal sind. Dabei ist aufgrund der Voraussetzungdie Wahl der Basis von Tangentialvektoren eindeutig. Da H parallel und κkonstant ist, sind λα1 +λα2 +λα3 und

∑α λ

α1λ

α2 +λα1λ

α3 +λα2λ

α3 konstant; letzteres

ist dann aquivalent zu konstantem S =∑

α λα12 + λα2

2 + λα32.

O.B.d.A kann man voraussetzen, dass M orientierbar ist. Durch Wahl einerOrientierung ist fur positiv orientierte {e1, e2, e3} durch

ψ := ω1 ∧ ω32 + ω2 ∧ ω13 + ω3 ∧ ω21 (73)

eindeutig eine 2-Form ψ auf M definiert. Durch Einsetzen von (53), (54) und(65) erhalt man

dψ =

(3κ−

∑i

Ii

)vol,

wobei lokal fur ein α mit paarweise disjunkten λαi

Ii =hαjjih

αkki

(λαi − λαj )(λαi − λαk )

mit j = i + 1, k = i + 2 und zyklischer Addition gilt. In der Umgebungeines Punktes seien o.B.d.A. die λ4i paarweise disjunkt. Fur i 6= j gilt hαjji =

54

5 UNTERMANNIGFALTIGKEITEN HOHERER KODIMENSION

(λαj − λαi )ωij(ej), also insbesondere

hαjji =λαi − λαjλ4i − λ4j

h4jji. (74)

Seien wieder j = i + 1, k = i + 2 mit zyklischer Addition. Da der mittlereKrummungsvektor parallel ist, gilt

hαiii = −λαj − λαiλ4j − λ4i

h4jji −λαk − λαiλ4k − λ4i

h4kki. (75)

Da S konstant ist, gilt

0 =∑α

λαi hαiii + λαj h

αjji + λαkh

αkki

=h4jji

λ4j − λ4i

∑α

(λαj − λαi )2 +h4kki

λ4k − λ4i

∑α

(λαk − λαi )2

und es folgt

Ii =h4jji

λ4i − λ4j· h4kkiλ4i − λ4k

≤ 0.

Durch Anwendung des Satzes von Stokes folgt Ii = 0 auf ganz M und somitdie Behauptung.

55

6 UBERBLICK

6 Uberblick

Die folgenden Tabellen fassen die Ergebnisse dieser Arbeit zusammen undordnen sie in den Kontext der bereits bekannten Resultate ein. Dabei sinddie neuen Erkenntnisse hervorgehoben.

Fur (geschlossene) Hyperflachen in Spharen mit drei paarweise verschiedenenHauptkrummungen erhalt man folgendes:

g = 3 n = 3 n > 3

H, κ konstant isoparametrisch isoparametrisch([3], [6]) ([8])

H, κ konstant - isoparametrisch(nicht geschlossen) (Dieser Fall ist auch (Satz 2)

als”Bryant-Vermutung“ bekannt)

H, K 6= 0 konstant isoparametrisch, isoparametrischwenn HK−1 ≥ −1 ([4]) (Satz 1)

H 6= 0 tritt nicht ein ([12]) isoparametrischH, K = 0 Fur H = K = 0: (Satz 1)

nicht isoparametrische Beispiele ([2], [21])

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6 UBERBLICK

Fur den Fall von vier paarweise verschiedenen Hauptkrummungen sieht dieentsprechende Tabelle wie folgt aus:

g = 4 n = 4 n > 4

isoparametrisch, isoparametrischH = 0, κ konstant, f3 = 0 wenn κ ≥ 0 ([1]) (Satz 3)

(fur κ < 0 nach [22])

H = 0, κ, f3 konstant - isoparametrisch(Satz 3)

isoparametrisch,H, κ, f3 konstant - wenn nicht 3 einfache λi

(Satz 3)

H = 0, κ, K 6= 0 konstant - isoparametrisch(Satz 3)

isoparametrisch,H, κ, K 6= 0 konstant - wenn nicht 3 einfache λi

(Satz 3)

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6 UBERBLICK

Die folgende Tabelle sagt aus, fur welche der moglichen Falle der Anzahlg der paarweise verschiedenen Hauptkrummungen bzw. ihrer alternierendenVielfachheiten m1 und m2 die Chern-Vermutung fur Dupinsche Hyperflachengezeigt werden kann:

g ≤ 3 g = 4 g = 6

m1 = 1 m1 = 1 m1 = 2 m1 ≥ 2m2 = 1 m2 > 1 m2 = 2 m2 > 2

Ja Wenn κ ≥ 0 Ja - Ja -(trivial) ([1]) (Satz 4) (Satz 4)

Schließlich fasst diese Tabelle die Resultate fur Verallgemeinerungen derChern-Vermutung auf (geschlossene) Untermannigfaltigkeiten M ⊂ Sn+1 zu-sammen:

Voraussetzungen Fall Resultat

Eigenwerte von Av konstantv par. Normalenvektorfeld n = 3 (Satz 5)|Av|, tr Av konstant ⇒ M isoparametrisch oder flach

(Korollar 1 mit Satz 6)

M isoparametrisch,n = 2 auch wenn nicht geschlossen

(Satz 7)Flaches Normalenvektorbundel

H parallel, κ konstantM isoparametrisch, wenn κ ≥ 0 und

n = 3 uberall v existert, so dassAv verschiedene drei Eigenwerte hat

(Satz 8)

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LITERATUR

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