BWL III – Rechnungswesen/ Investition und Finanzierung
Ak. OR Dr. Ursel Müller
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Übersicht
Methoden der Investitionsrechnung
3 klassische finanzmathematische Methoden der Investitionsrechnung
Der Kapitalwert Die Annuitätenmethode Der interne Zinsfuß
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2. Methoden der Investitionsrechnung
Zu (1) Die Kapitalwertmethode
Investitionen sind Zahlungsreihen Typisch: Beginn mit Auszahlung und danach nur
Einzahlungen
t0 t1 t2 t3
-100 + 50 + 50 + 50
Ermittlung des Barwertes für jeden beliebigen Zeitpunkt durch Auf- oder Abzinsen!
Barwert: Gegenwartswert einer Zahlungsreihe Kapitalwert: besonderer Gegenwartswert
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2. Methoden der Investitionsrechnung Kapitalwert: besonderer Gegenwartswert Bezugszeitpunkt hier: A0 in t0
Verwendung des „richtigen“ Kalkulationszinsfußes zur Diskontierung
Einheitszinssatz i (vollkommener und vollständiger Kapitalmarkt)
n Et n At
Ko = ∑ - ∑ t=0 (1 + i)t t=0 (1 + i)t
Für Normalinvestitionen: n Et
Ko = ∑ - A0 t=0 (1 + i)t
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2. Methoden der Investitionsrechnung
Rente: mehrere gleiche Einzahlungen, in gleichem zeitlichen Abstand, Einzahlung jeweils am Ende der Periode
jährlich nachschüssige Rente (über n Perioden)
Der Gegenwartswert der Rente (E) über n Perioden:
K0 = E x RBWF – A0
Der Gegenwartswert einer ewigen RenteE
K0 = - A0
i Ertragswert: Gegenwartswert der Netto-Einzahlungen bezogen auf
den Zeitpunkt t0
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2. Methoden der Investitionsrechnung
Interpretation von Kapitalwert und Ertragswert
Wahl: Durchführung der Investition oder Unterlassung
(Ja-Nein-Entscheidung) Nein: Verzicht auf die Investition
Bedeutet:
Keine Kreditaufnahme zu i bzw.
Einsatz der Mittel in der besten alternativen Verwendung
a) Anlage am Kapitalmarkt zu i
b) Durchführung einer anderen Investition
c) Konsum
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2. Methoden der Investitionsrechnung
Ökonomische Interpretation de Kapitalwertes: Der Kapitalwert ist eine Vermögensmehrung im Zeitpunkt des
Investitionsbeginns t0
oder derjenige Betrag, den der Investor in t0 zusätzlich konsumieren
kann (oder anlegen), wenn er z.B. einen Kredit aufnimmt zum Zinssatz i, die Investition durchführt und mit den Einzahlungen daraus den Kredit einschließlich der Zinsen zurückzahlt
oder derjenige Betrag, den man maximal für die Möglichkeit, die
Investition durchzuführen, bezahlen kann, ohne sich finanziell schlechter zu stellen als bei Verzicht auf die Investition
K0 = der Grenzpreis der Investitionsmöglichkeit
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2. Methoden der Investitionsrechnung
Die Reinvestitions- und Finanzierungsannahmen(1) Beschaffung von finanziellen Mitteln zum Zinssatz i(2) Anlage der Mittel zum Zinssatz i(3) Vollkommener Kapitalmarkt, Sicherheit, flache
Zinsstruktur, konstanter Zinssatz(4) Vollständiger Kapitalmarkt, beliebige Teile können
angelegt und zurückgezahlt werden(5) Einzahlungen aus dem Investitionsprojekt können
jederzeit zu i zurückgezahlt werden. Implizit notwendige Annahme des vollst. und vollk. Kapitalmarktes. Bei Wideranlage zu einem anderen Zinssatz ändert sich der Kapitalwert.
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2. Methoden der Investitionsrechnung
Das Entscheidungskriterium (auch für den Mehr-Perioden-Fall)
K0 ist positiv: die Investition ist vorteilhaft
K0 ist null: die Investition ist weder vorteilhaft, noch von Nachteil
K0 ist negativ: die Investition führt zu einer Verringerung des Vermögens
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2. Methoden der Investitionsrechnung
(2) Die Annuitätenmethode Änderung der Struktur einer Zahlungsreihe, keine Änderung des
Kapitalwertes (im vollk. Kapitalmarkt) Annuitätenmethode
Ungleich strukturierte Zahlungsreihe 1 mit K01 wird überführt in
Eine Reihe von gleich großen Zahlungen mit gleichem Abstand und gleichem Kapitalwert ≡ äquivalente Annuität a der Zahlungsreihe 1
Zahlungen erfolgen nachschüssig, erster Zahlungstermin ist t1
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Gegeben ist die Zahlungsreihe einer Investition
t0 t1 t2 t3
- 100 + 68,18 + 30 + 50
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2. Methoden der Investitionsrechnung
3 Möglichkeiten zur Ermittlung der Annuität
(1) vom Kapitalwert her
a = K0 x WGF (n,i), a = K0 x i (ewige Rente)
(2) Annuität der Auszahlungsreihe – Annuität der Einzahlungsreihe
= Ø Einzahlungsüberschüsse = Gewinnannuität
(3) vom Barwert tn
durch Multiplikation mit dem Tilgungsfaktor i / (1+i)n - 1
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Aufzinsungsfaktor Aufzinsung einer Zahlung von t < tn auf tn
Abzinsungsfaktor Abzinsung einer Zahlung von t > t0 auf t0
Rentenendwertfaktor(REWF)
Aufzinsung jeder Zahlung auf tn und Addition der Einzelwerte
Rentenbarwertfaktor(RBWF)
Abzinsung jeder Zahlung auf t0 und Addition der Einzelwerte
Tilgungsfaktor(TF)
Gleichmäßige Verteilung des Barwertes in tn auf n Perioden
Wiedergewinnungsfaktor(WGF)
Gleichmäßige Verteilung des Barwertes in t0 auf n Perioden
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2. Methoden der Investitionsrechnung
Interpretation
Annuität: finanzmathematisch richtig berechnete Durchschnitt von
Zahlungen Verteilung der Anschaffungsauszahlung und der
Nettoeinzahlungen auf die Rentendauer
Gewinnannuität: Ø Überschuss der Nettoeinzahlungen über die auf die Nutzungsdauer der Investition verteilte
Anschaffungsauszahlung
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2. Methoden der Investitionsrechnung
Entscheidungskriterium
Eine Investition ist vorteilhaft, wenn die Gewinnannuität positiv ist. Von alternativen Projekten ist das mit der höchsten Gewinnannuität zu wählen
Die Investition ist weder vorteilhaft, noch unvorteilhaft, wenn die Gewinnannuität einen Wert von 0 hat
Eine Investition sollte nicht durchgeführt werden, wenn die Gewinnannuität negativ ist
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2. Methoden der Investitionsrechnung
(3) Der interne Zinsfuß
Keine Abwandlung der Kapitalwertmethode, eigenständiges Kriterium!
Interner Zinsfuß r : Zinsfuß bei dessen Verwendung als Kalkulationszinsfuß der Kapitalwert einer Investition Null wird
Für eine „Normalinvestition“ gilt:n Et
∑ - A0 = 0t=1 (1 + r)t
Bei endlichen Renten gilt: E x RBWF – A0 = 0 E
Bei ewigen Renten gilt: r = A0
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2. Methoden der Investitionsrechnung
Beispiel: Eine Normalinvestition, r = 23,37
t0 t1 t2 t3
- 100 + 50 + 50 + 50
1 2 3 4 5 6
Jahre Gebundenes Kapital am Ende des Vorjahres
Zinsen
(2 x r)
Rückflüsse Kapital-freisetzung
(4) – (3)
Gebundenes Kapital am Jahresende
1
2
3
100
73,37
40,52
23,37
17,15
9,47
50
50
50
26,63
32,85
40,52
73,37
40,52
0
∑ 213,89/3 ∑ 49,99/3
= 71,30 = 16,66
16,66/71,30 = 23,37 = interner Zins
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2. Methoden der Investitionsrechnung
Fazit: Der interne Zinsfuß entspricht der Verzinsung des
durchschnittlich gebundenen Kapitals, nicht dagegen der Verzinsung des eingesetzten Kapitals
Anschaffungsauszahlung durch Kredit finanziert: r = der Sollzinsfuß, bei dessen Verwendung die Rückflüsse gerade ausreichen, den Kredit samt Zinsen zurückzuzahlen
r = kritischer Zinssatz; der Zinssatz bei Fremdfinanzierung darf nicht mehr als r kosten, wenn die Investition vorteilhaft sein soll
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2. Methoden der Investitionsrechnung
Die Refinanzierungsannahmen(1) Kreditrückzahlungen sind jederzeit in dem Maße
möglich, wie Einzahlungen aus dem Investitionsprojekt vorhanden sind
(2) Einzahlungen können zum Zinssatz r angelegt werden (Wiederanlageprämisse)
(3) Zusätzliche Mittel kosten r
Merke: Annahme (2) und (3) unterscheiden sich von der Kapitalwertmethode und der Annuitätenmethode
Geldanlage und –aufnahme sind hier zum Kalkulationszinsfuß möglich
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2. Methoden der Investitionsrechnung
Entscheidungskriterium für eine Normalinvestition
r > i KW0 > 0
r = i KW0 = 0
r < i KW0 < 0
Der Interne Zinsfuß allein liefert keine eindeutige Entscheidung
Vergleich mit dem Kalkulationszinsfuß!
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2. Methoden der Investitionsrechnung
Entscheidungskriterium für Normalfinanzierung
r < i Finanzierung ist vorteilhaft r = i Finanzierung ist weder vorteilhaft, noch nachteilig r > I Finanzierung sollte man unterlassen
Merke: aus Nicht-Normalinvestitionen (mehr als ein Vorzeichenwechsel) kann man aus der Methode des internen Zinsfußes kein eindeutiges Kriterium ableiten
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2. Methoden der Investitionsrechnung
Die Kapitalwertfunktion (einer Normalinvestition)
Beispiel (Schulte, Seite 41) t0 t1 t2 t3 t3
-1.000 +500 +400 +300 +450
K0 = - 1.000 + 500 (1+r)-1 + 400 (1+r)-2 + 300 (1+r)-3 + 450 (1+r)-3 = 0
r = 0,275
i 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,275 0,50 1,0
KW 650 487 349 230 128 0 -267 -556
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2. Methoden der Investitionsrechnung
Co
-Co
-ao-1000
i
650
r=0,275
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2. Methoden der Investitionsrechnung
Der Zusammenhang der drei Methoden bei Ja-Nein-Entscheidungen
Kapitalwertmethode und Annuitätenmethode führen immer zu gleichen Ergebnissen, übereinstimmende Annahme über Geldaufnahme und –anlage am Kapitalmarkt
Kapitalwertmethode und interner Zinsfuß-Methode führen nur bei „Normalinvestitionen“ zum gleichen Ergebnis
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2. Methoden der Investitionsrechnung
Auswahlentscheidungen
Regeln: mehrere sich gegenseitig ausschließende Investitionsprojekte
Wahl des IP mit dem höchsten KW Wahl des IP mit dem höchsten internen Zinsfuß
Bei Widersprüchen ist immer die KW-Methode vorzuziehen
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2. Methoden der Investitionsrechnung
Investitions- und Finanzierungsprobleme auf einem unvollkommenen Kapitalmarkt
a) Endwertmethode / vollständiger Finanzplan
b) Methode des Capital Budgeting (Dean-Modell)
c) Ermittlung endogener Grenzzinsfüße als theoretisch richtige Lenkpreise zur optimalen Steuerung des Investitions- und Finanzierungsverhaltens (Hering, 2008, S. 136 -142)
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Vollständiger Finanzplan
Der Einzelunternehmer, Herr Knacks zerbricht sich den Kopf und bittet deshalb um ihre Mithilfe. Er hat folgende drei Handlungsmöglichkeiten in t0:
Er hat 1.800€ übrig. Die Sparkasse bietet ihm 6 % p.a. (Festgeld über 3 Jahre)
Realinvestition mit dreijähriger Nutzungsdauer. A0 = 2.700. Die fehlenden 900€ würde ihm die Sparkasse als Kredit mit 10% Zinsen p.a. einräumen bei jährlicher Tilgung von 300€. Erwartete Zahlungsüberschüsse aus der Investition: t1: 1.170€, t2: 1.080€, t3: 990€
Von der Betriebsgründung hat Herr Knacks noch eine Darlehensschuld gegenüber seinem Onkel in Höhe von 1.800€. Bei 8 % Zinsen p.a. wurde „Tilgung nach Möglichkeit“ vereinbart.
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Aufgaben
1) Die Alternative A (1) bezeichnet eine Finanzinvestition mit der folgenden Zahlungsstruktur:
t1 t2 t3
A0 = -1000 +100 +100 +100 Einlösung:
+ 1.000Alternative A (2) ist eine Realinvestition mit derfolgenden Zahlungsstruktur:
t1 t2 t3
A0 = -1.000 PÜ = 450 PÜ = 450 PÜ = 450
a) Ermitteln Sie Ertrags- und Kapitalwert als Abzinsungsrechnungb) Ermitteln Sie den Vermögens-Endwert und Überschuss per t3 als
Aufzinsungsrechnungc) Ermitteln Sie den internen Zinsfuß
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Aufgaben
2) Gegeben sind folgende zwei Investitionsobjekte:
Zeitpunkt t0 t1 t2 t3 ...
Investition 1 Auszahlung
Einzahlung
-100
+ 10 + 10 + 10 ...
Investition 2 Auszahlung
Einzahlung
- 100
+ 115,5
a) Berechnen Sie die jeweiligen Kapitalwerte und die internen Zinssätze bei i = 0,05 %
b) Diskutieren Sie den Widerspruch zwischen den beiden Methoden
Lösungshinweise: Schmidt/Terberger, S. 158ff.
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Aufgaben
3) Der Anschaffungspreis des Investitionsprojektes M ist 48.000. die Nutzungsdauer ist 6 Jahre. Die Einzahlungsüberschüsse betragen in den ersten drei Jahren je 15.000, ab dem 4. Jahr je 10.000. Der Restwert zu t = 6 wird dem Schrottwert von 2.000 entsprechen, i = 0,10.
Ermitteln Sie den Kapitalwert, die Gewinnannuität und den internen Zinsfuß