BWL III – Rechnungswesen/ Investition und Finanzierung

Ak. OR Dr. Ursel Müller

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Übersicht

Methoden der Investitionsrechnung

3 klassische finanzmathematische Methoden der Investitionsrechnung

Der Kapitalwert Die Annuitätenmethode Der interne Zinsfuß

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2. Methoden der Investitionsrechnung

Zu (1) Die Kapitalwertmethode

Investitionen sind Zahlungsreihen Typisch: Beginn mit Auszahlung und danach nur

Einzahlungen

t0 t1 t2 t3

-100 + 50 + 50 + 50

Ermittlung des Barwertes für jeden beliebigen Zeitpunkt durch Auf- oder Abzinsen!

Barwert: Gegenwartswert einer Zahlungsreihe Kapitalwert: besonderer Gegenwartswert

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2. Methoden der Investitionsrechnung Kapitalwert: besonderer Gegenwartswert Bezugszeitpunkt hier: A0 in t0

Verwendung des „richtigen“ Kalkulationszinsfußes zur Diskontierung

Einheitszinssatz i (vollkommener und vollständiger Kapitalmarkt)

n Et n At

Ko = ∑ - ∑ t=0 (1 + i)t t=0 (1 + i)t

Für Normalinvestitionen: n Et

Ko = ∑ - A0 t=0 (1 + i)t

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2. Methoden der Investitionsrechnung

Rente: mehrere gleiche Einzahlungen, in gleichem zeitlichen Abstand, Einzahlung jeweils am Ende der Periode

jährlich nachschüssige Rente (über n Perioden)

Der Gegenwartswert der Rente (E) über n Perioden:

K0 = E x RBWF – A0

Der Gegenwartswert einer ewigen RenteE

K0 = - A0

i Ertragswert: Gegenwartswert der Netto-Einzahlungen bezogen auf

den Zeitpunkt t0

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2. Methoden der Investitionsrechnung

Interpretation von Kapitalwert und Ertragswert

Wahl: Durchführung der Investition oder Unterlassung

(Ja-Nein-Entscheidung) Nein: Verzicht auf die Investition

Bedeutet:

Keine Kreditaufnahme zu i bzw.

Einsatz der Mittel in der besten alternativen Verwendung

a) Anlage am Kapitalmarkt zu i

b) Durchführung einer anderen Investition

c) Konsum

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2. Methoden der Investitionsrechnung

Ökonomische Interpretation de Kapitalwertes: Der Kapitalwert ist eine Vermögensmehrung im Zeitpunkt des

Investitionsbeginns t0

oder derjenige Betrag, den der Investor in t0 zusätzlich konsumieren

kann (oder anlegen), wenn er z.B. einen Kredit aufnimmt zum Zinssatz i, die Investition durchführt und mit den Einzahlungen daraus den Kredit einschließlich der Zinsen zurückzahlt

oder derjenige Betrag, den man maximal für die Möglichkeit, die

Investition durchzuführen, bezahlen kann, ohne sich finanziell schlechter zu stellen als bei Verzicht auf die Investition

K0 = der Grenzpreis der Investitionsmöglichkeit

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2. Methoden der Investitionsrechnung

Die Reinvestitions- und Finanzierungsannahmen(1) Beschaffung von finanziellen Mitteln zum Zinssatz i(2) Anlage der Mittel zum Zinssatz i(3) Vollkommener Kapitalmarkt, Sicherheit, flache

Zinsstruktur, konstanter Zinssatz(4) Vollständiger Kapitalmarkt, beliebige Teile können

angelegt und zurückgezahlt werden(5) Einzahlungen aus dem Investitionsprojekt können

jederzeit zu i zurückgezahlt werden. Implizit notwendige Annahme des vollst. und vollk. Kapitalmarktes. Bei Wideranlage zu einem anderen Zinssatz ändert sich der Kapitalwert.

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2. Methoden der Investitionsrechnung

Das Entscheidungskriterium (auch für den Mehr-Perioden-Fall)

K0 ist positiv: die Investition ist vorteilhaft

K0 ist null: die Investition ist weder vorteilhaft, noch von Nachteil

K0 ist negativ: die Investition führt zu einer Verringerung des Vermögens

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2. Methoden der Investitionsrechnung

(2) Die Annuitätenmethode Änderung der Struktur einer Zahlungsreihe, keine Änderung des

Kapitalwertes (im vollk. Kapitalmarkt) Annuitätenmethode

Ungleich strukturierte Zahlungsreihe 1 mit K01 wird überführt in

Eine Reihe von gleich großen Zahlungen mit gleichem Abstand und gleichem Kapitalwert ≡ äquivalente Annuität a der Zahlungsreihe 1

Zahlungen erfolgen nachschüssig, erster Zahlungstermin ist t1

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Gegeben ist die Zahlungsreihe einer Investition

t0 t1 t2 t3

- 100 + 68,18 + 30 + 50

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2. Methoden der Investitionsrechnung

3 Möglichkeiten zur Ermittlung der Annuität

(1) vom Kapitalwert her

a = K0 x WGF (n,i), a = K0 x i (ewige Rente)

(2) Annuität der Auszahlungsreihe – Annuität der Einzahlungsreihe

= Ø Einzahlungsüberschüsse = Gewinnannuität

(3) vom Barwert tn

durch Multiplikation mit dem Tilgungsfaktor i / (1+i)n - 1

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Aufzinsungsfaktor Aufzinsung einer Zahlung von t < tn auf tn

Abzinsungsfaktor Abzinsung einer Zahlung von t > t0 auf t0

Rentenendwertfaktor(REWF)

Aufzinsung jeder Zahlung auf tn und Addition der Einzelwerte

Rentenbarwertfaktor(RBWF)

Abzinsung jeder Zahlung auf t0 und Addition der Einzelwerte

Tilgungsfaktor(TF)

Gleichmäßige Verteilung des Barwertes in tn auf n Perioden

Wiedergewinnungsfaktor(WGF)

Gleichmäßige Verteilung des Barwertes in t0 auf n Perioden

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2. Methoden der Investitionsrechnung

Interpretation

Annuität: finanzmathematisch richtig berechnete Durchschnitt von

Zahlungen Verteilung der Anschaffungsauszahlung und der

Nettoeinzahlungen auf die Rentendauer

Gewinnannuität: Ø Überschuss der Nettoeinzahlungen über die auf die Nutzungsdauer der Investition verteilte

Anschaffungsauszahlung

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2. Methoden der Investitionsrechnung

Entscheidungskriterium

Eine Investition ist vorteilhaft, wenn die Gewinnannuität positiv ist. Von alternativen Projekten ist das mit der höchsten Gewinnannuität zu wählen

Die Investition ist weder vorteilhaft, noch unvorteilhaft, wenn die Gewinnannuität einen Wert von 0 hat

Eine Investition sollte nicht durchgeführt werden, wenn die Gewinnannuität negativ ist

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2. Methoden der Investitionsrechnung

(3) Der interne Zinsfuß

Keine Abwandlung der Kapitalwertmethode, eigenständiges Kriterium!

Interner Zinsfuß r : Zinsfuß bei dessen Verwendung als Kalkulationszinsfuß der Kapitalwert einer Investition Null wird

Für eine „Normalinvestition“ gilt:n Et

∑ - A0 = 0t=1 (1 + r)t

Bei endlichen Renten gilt: E x RBWF – A0 = 0 E

Bei ewigen Renten gilt: r = A0

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2. Methoden der Investitionsrechnung

Beispiel: Eine Normalinvestition, r = 23,37

t0 t1 t2 t3

- 100 + 50 + 50 + 50

1 2 3 4 5 6

Jahre Gebundenes Kapital am Ende des Vorjahres

Zinsen

(2 x r)

Rückflüsse Kapital-freisetzung

(4) – (3)

Gebundenes Kapital am Jahresende

1

2

3

100

73,37

40,52

23,37

17,15

9,47

50

50

50

26,63

32,85

40,52

73,37

40,52

0

∑ 213,89/3 ∑ 49,99/3

= 71,30 = 16,66

16,66/71,30 = 23,37 = interner Zins

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2. Methoden der Investitionsrechnung

Fazit: Der interne Zinsfuß entspricht der Verzinsung des

durchschnittlich gebundenen Kapitals, nicht dagegen der Verzinsung des eingesetzten Kapitals

Anschaffungsauszahlung durch Kredit finanziert: r = der Sollzinsfuß, bei dessen Verwendung die Rückflüsse gerade ausreichen, den Kredit samt Zinsen zurückzuzahlen

r = kritischer Zinssatz; der Zinssatz bei Fremdfinanzierung darf nicht mehr als r kosten, wenn die Investition vorteilhaft sein soll

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2. Methoden der Investitionsrechnung

Die Refinanzierungsannahmen(1) Kreditrückzahlungen sind jederzeit in dem Maße

möglich, wie Einzahlungen aus dem Investitionsprojekt vorhanden sind

(2) Einzahlungen können zum Zinssatz r angelegt werden (Wiederanlageprämisse)

(3) Zusätzliche Mittel kosten r

Merke: Annahme (2) und (3) unterscheiden sich von der Kapitalwertmethode und der Annuitätenmethode

Geldanlage und –aufnahme sind hier zum Kalkulationszinsfuß möglich

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2. Methoden der Investitionsrechnung

Entscheidungskriterium für eine Normalinvestition

r > i KW0 > 0

r = i KW0 = 0

r < i KW0 < 0

Der Interne Zinsfuß allein liefert keine eindeutige Entscheidung

Vergleich mit dem Kalkulationszinsfuß!

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2. Methoden der Investitionsrechnung

Entscheidungskriterium für Normalfinanzierung

r < i Finanzierung ist vorteilhaft r = i Finanzierung ist weder vorteilhaft, noch nachteilig r > I Finanzierung sollte man unterlassen

Merke: aus Nicht-Normalinvestitionen (mehr als ein Vorzeichenwechsel) kann man aus der Methode des internen Zinsfußes kein eindeutiges Kriterium ableiten

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2. Methoden der Investitionsrechnung

Die Kapitalwertfunktion (einer Normalinvestition)

Beispiel (Schulte, Seite 41) t0 t1 t2 t3 t3

-1.000 +500 +400 +300 +450

K0 = - 1.000 + 500 (1+r)-1 + 400 (1+r)-2 + 300 (1+r)-3 + 450 (1+r)-3 = 0

r = 0,275

i 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,275 0,50 1,0

KW 650 487 349 230 128 0 -267 -556

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2. Methoden der Investitionsrechnung

Co

-Co

-ao-1000

i

650

r=0,275

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2. Methoden der Investitionsrechnung

Der Zusammenhang der drei Methoden bei Ja-Nein-Entscheidungen

Kapitalwertmethode und Annuitätenmethode führen immer zu gleichen Ergebnissen, übereinstimmende Annahme über Geldaufnahme und –anlage am Kapitalmarkt

Kapitalwertmethode und interner Zinsfuß-Methode führen nur bei „Normalinvestitionen“ zum gleichen Ergebnis

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2. Methoden der Investitionsrechnung

Auswahlentscheidungen

Regeln: mehrere sich gegenseitig ausschließende Investitionsprojekte

Wahl des IP mit dem höchsten KW Wahl des IP mit dem höchsten internen Zinsfuß

Bei Widersprüchen ist immer die KW-Methode vorzuziehen

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2. Methoden der Investitionsrechnung

Investitions- und Finanzierungsprobleme auf einem unvollkommenen Kapitalmarkt

a) Endwertmethode / vollständiger Finanzplan

b) Methode des Capital Budgeting (Dean-Modell)

c) Ermittlung endogener Grenzzinsfüße als theoretisch richtige Lenkpreise zur optimalen Steuerung des Investitions- und Finanzierungsverhaltens (Hering, 2008, S. 136 -142)

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Vollständiger Finanzplan

Der Einzelunternehmer, Herr Knacks zerbricht sich den Kopf und bittet deshalb um ihre Mithilfe. Er hat folgende drei Handlungsmöglichkeiten in t0:

Er hat 1.800€ übrig. Die Sparkasse bietet ihm 6 % p.a. (Festgeld über 3 Jahre)

Realinvestition mit dreijähriger Nutzungsdauer. A0 = 2.700. Die fehlenden 900€ würde ihm die Sparkasse als Kredit mit 10% Zinsen p.a. einräumen bei jährlicher Tilgung von 300€. Erwartete Zahlungsüberschüsse aus der Investition: t1: 1.170€, t2: 1.080€, t3: 990€

Von der Betriebsgründung hat Herr Knacks noch eine Darlehensschuld gegenüber seinem Onkel in Höhe von 1.800€. Bei 8 % Zinsen p.a. wurde „Tilgung nach Möglichkeit“ vereinbart.

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Aufgaben

1) Die Alternative A (1) bezeichnet eine Finanzinvestition mit der folgenden Zahlungsstruktur:

t1 t2 t3

A0 = -1000 +100 +100 +100 Einlösung:

+ 1.000Alternative A (2) ist eine Realinvestition mit derfolgenden Zahlungsstruktur:

t1 t2 t3

A0 = -1.000 PÜ = 450 PÜ = 450 PÜ = 450

a) Ermitteln Sie Ertrags- und Kapitalwert als Abzinsungsrechnungb) Ermitteln Sie den Vermögens-Endwert und Überschuss per t3 als

Aufzinsungsrechnungc) Ermitteln Sie den internen Zinsfuß

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Aufgaben

2) Gegeben sind folgende zwei Investitionsobjekte:

Zeitpunkt t0 t1 t2 t3 ...

Investition 1 Auszahlung

Einzahlung

-100

+ 10 + 10 + 10 ...

Investition 2 Auszahlung

Einzahlung

- 100

+ 115,5

a) Berechnen Sie die jeweiligen Kapitalwerte und die internen Zinssätze bei i = 0,05 %

b) Diskutieren Sie den Widerspruch zwischen den beiden Methoden

Lösungshinweise: Schmidt/Terberger, S. 158ff.

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Aufgaben

3) Der Anschaffungspreis des Investitionsprojektes M ist 48.000. die Nutzungsdauer ist 6 Jahre. Die Einzahlungsüberschüsse betragen in den ersten drei Jahren je 15.000, ab dem 4. Jahr je 10.000. Der Restwert zu t = 6 wird dem Schrottwert von 2.000 entsprechen, i = 0,10.

Ermitteln Sie den Kapitalwert, die Gewinnannuität und den internen Zinsfuß