Synchronisation

Vortrag von Johannes Dörr und Thomas WanschikFachpraktikum Nichtlineare Dynamik, Universität Göttingen

Beispiele Metronome Orgelpfeifen Glühwürmchen Millennium Bridge Tagesrhythmus

Gegenbeispiel Wolf-Hase-System

Was ist Synchronisation?

Globale Synchronisation (all-to-all)

Einseitige Synchronisation (Master/Slave)

Was ist Synchronisation?

Voraussetzungen Selbsterregte Schwingungen

Dissipation Stabilität, Nichtlinearität

Keine zu starke Kopplung Gegenbeispiel:

Was ist Synchronisation?

Relevante Größen

Phase frei bei selbsterregten Schwingungen Anschaulich: Schiefe Ebene

Amplitude Stabil Anschaulich: Minimum

Was ist Synchronisation?

Relevante Größen

Frequenzen Eigenfrequenzen (ohne Kopplung): Frequenzdifferenz: Beobachtete Frequenz (mit Kopplung):

Definition von Synchronisation „Feste“ Phasendifferenz (Phase Locking) „Festes“ Frequenzverhältnis (Frequency Locking)

...,, )2(0

)1(0

)2(0

)1(0

...,, )2()1(

Einseitige Synchronisation

Mathematische Beschreibung:

Periodische, externe Kraft mit Periodendauer T

)...,,,(),,()(d

d21 Mxxxt

t xxpxf

x

Externe Kraft

klein

Einseitige Synchronisation

Definition der Phase

Problem: System nie genau auf Limit Cycle Lösung: Isochronen definieren Phase an

jedem Ort

Eigenfrequenz:

0}*)(lim|{*))((

)()()()(

0

xxxx

xxxn

n

I

Ttt

0d

)(d

t

x

Einseitige Synchronisation

Phasendynamik

Man erhält für Änderung der Phase:

Es folgt für die Phasendifferenz:

),(d

d0 tQ

t

tqt

,mit)(

d

d000

2π-periodisch, T-periodisch

2π-periodisch

Einseitige Synchronisation

Phasendynamik

sin

d

d

t

Einfachster Fall: Störung q Sinus-förmig Adler-Gleichung:

Einseitige Synchronisation

Phasendynamik

Wenn gilt: Phasendifferenz wird konstant (Phase Locking)

)(d

d q

t

maxmin qq

0

stabil instabil

Einseitige Synchronisation

Phasendynamik

Arnold-Zunge

Einseitige Synchronisation

Phasendynamik

Übergang zur Synchronisation

Beat Frequency:

Einseitige Synchronisation

Phasendynamik

Vorstellung als Potential Ohne Kopplung

Synchronisation

Kopplung zu schwach

Synchronisation höherer Ordnung

Stroboskopische Beobachtung

Bisher: Synchronisation auf selbe Frequenz Auch möglich: rationales Verhältnis Betrachtung: Stroboskopisch

Zeitintervall wie Periode T des antreibenden Systems

)(01 nnn FT

Synchronisation höherer Ordnung

Impulsanregung

Synchronisation höherer Ordnung

Arnoldzungen für höhere Ordnungen

Synchronisation höherer Ordnung

„Teufelstreppe“

Synchronisation höherer Ordnung

Genauere Definition von Synchronisation

Frequency Locking:

Phase Locking:

mn

const. mtn

Globale Synchronisation

Eigenschaften Oszillatoren „einigen“ sich auf gemeinsame

Frequenz Quenching möglich: „Tod der Oszillationen“

Globale Synchronisation

Kuramoto-Modell Für zwei Oszillatoren:

Änderung der Phase für N Oszillatoren:

),()(d

d),,()(

d

d )1()2()2()2()2()2(

)2()1()1()1()1()1(

xxpxfx

xxpxfx

tt

N

jkjk

k

Nt 1

)sin(d

d

Globale Synchronisation

Änderung der Phase bei N Oszillatoren ergibt sich zu:

Oszillator wird von einem „mittlerem Feld“ getrieben Mittlere Amplitude: Mittlere Phase:

)sin(d

dkk

k Kt

K

Chaotische Oszillatoren

Phasensynchronisation

Problem: Wie führen wir die Periodendauer ein?

/)(20 N

Chaotische Oszillatoren

Ähnelt einem Oszillator überlagert mit Rauschen Potentialbild:

Kraft darf nicht zu groß aber auch nicht zu klein sein!

Chaotische Oszillatoren

Complete Synchronization

Betrachte zwei identische Systeme

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