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Schwach-Flache ModulnHelmut Zöschinger aa Mathematisches Institut der Universität München , München , GermanyPublished online: 23 Sep 2013.

To cite this article: Helmut Zöschinger (2013) Schwach-Flache Moduln, Communications in Algebra, 41:12, 4393-4407, DOI:10.1080/00927872.2012.699570

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Communications in Algebra®, 41: 4393–4407, 2013Copyright © Taylor & Francis Group, LLCISSN: 0092-7872 print/1532-4125 onlineDOI: 10.1080/00927872.2012.699570

SCHWACH-FLACHE MODULN

Helmut ZöschingerMathematisches Institut der Universität München, München, Germany

Let R be a commutative, noetherian ring, and let M be an R-module. M is calledweakly flat if the kernel of any epimorphism Y � M is closed in Y . Equivalently, aconsequence of M/U being singular is that U is essential in M , or that AnnR��� ·Mis essential in AnnM��� for all � ∈ AssR�M�. For a series of important module classeswe give an explicit description of their weakly flat objects, and in the local case weinvestigate the connection between the weak flatness of M and the weak injectivity ofthe Matlis dual M�. Finally, we characterize those rings R over which every weaklyflat R-module is already flat.

Key Words: Coassociated primes; Matlis duality; Quasi-Frobenius and distributive rings; Singularsubmodule; Semi-artinian and coatomic modules; Weakly complemented modules.

2010 Mathematics Subject Classification: 13C11; 13E10; 13F05; 13J10.

EINLEITUNG

Über einem beliebigen Ring R heißt ein R-Modul M schwach-injektiv [10],wenn für jede Modulerweiterung M ⊂ X gilt: M ist koabgeschlossen in X. Dualnennen wir M schwach-flach (siehe [11, p. 41]), wenn für jeden Epimorphismus g �Y � M gilt: Kern�g� ist abgeschlossen in Y . Ist R kommutativ und noethersch,geben wir im ersten Abschnitt der vorliegenden Arbeit eine Reihe von Beispielenfür schwach-flache Moduln und zeigen, daß ein beliebiger R-Modul M genau dannschwach-flach ist, wenn für jedes � ∈ AssR�M� gilt: AnnR��� ·M ist groß in M���. Imzweiten Abschnitt untersuchen wir über jedem noetherschen, lokalen Ring �R���mit Vervollständigung R̂, wann für einen schwach-flachen R-Modul M das Matlis-Duale M� = HomR�M�E�R/��� als R̂-Modul oder als R-Modul schwach-injektivist. Im dritten Abschnitt charakterisieren wir diejenigen kommutativen noetherschenRinge, über denen jeder schwach-flache Modul bereits flach (bzw. schwach-injektiv)ist: Sie sind von der Form A× B, wobei A ein Quasi-Frobeniusring ist und Bdistributiv (bzw. B artinsch und Ra�B�2 = 0).

Alle modultheoretischen Bezeichnungen und Grundtatsachen sind so, wiesie in [10, pp. 107–108] vereinbart wurden. Insbesondere benützen wir für jedesIdeal � von R und jeden R-Modul M die Abkürzung M��� = AnnM��� = �x ∈ M � �

Received August 17, 2011; Revised May 4, 2012. Communicated by T. Albu.Address correspondence to Helmut Zöschinger, Mathematisches Institut der Universität

München, Theresienstr. 39, München D-80333, Germany; E-mail: zoeschinger@mathematik.uni-muenchen.de

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x = 0�. Damit ist So�M� = ∑�M��� �� ∈ Max�R�� der Sockel von M und Z�M� =∑

�M��� �� ist groß in R� der singuläre Untermodul von M . Im Spezialfall M = Rist bekanntlich N = Z�R� das Nilradikal von R. Ein R-Modul M heißt koatomar,wenn jeder Untermodul U � M in einem maximalen Untermodul von M liegt. Dasist, falls �R��� lokal ist, nach [7, Satz 2.4] äquivalent damit, daß es ein n ≥ 1 gibtmit M/M��n� endlich erzeugt. Schließlich heißt eine Teilmenge X ⊂ Spec�R� diskret,wenn aus � ⊂ �, beide Elemente in X, stets folgt � = �.

1. SCHWACH-FLACHE MODULN

Stets sei in dieser Arbeit R ein kommutativer noetherscher Ring. Weiles in jedem R-Modul M auf Grund des Zorn’schen Lemmas genügend vieleabgeschlossene Untermoduln gibt, konnten wir in [11, Lemma 4.1] zeigen: Genaudann ist M schwach-flach, wenn für jeden singulären Faktormodul M/U gilt, daß Ugroß in M ist. Damit erhielten wir in [11, Folgerung 4.2]: Ein injektiver R-Modul Mist genau dann schwach-flach, wenn AssR�M� ⊂ Ass�R� ist.

Wir wollen in diesem ersten Abschnitt für weitere Modulklassen eine expliziteBeschreibung der Eigenschaft ”schwach-flach” angeben, z.B. wenn M halbartinschist (1.1), wenn M koatomar ist (1.4) oder wenn AssR�M� diskret und endlich ist (1.8).Das im letzten Satz (1.16) angegebene Kriterium gilt für beliebige R-Moduln und istunerläßlich für die folgenden Untersuchungen.

Satz 1.1. Ein halbartinscher R-Modul M ist genau dann schwach-flach, wennSo�M� = So�R� ·M ist.

Beweis. (a) Für jeden schwach-flachen R-Modul M und jedes Ideal � von R ist

AnnR��� ·M großin M���

Zum Beweis sei f � F � M eine freie Darstellung von M�K = Kern�f� und L/K =�F/K����. Wir müssen dann zeigen, daß AnnR��� · F/K groß in L/K ist, d.h. weil Kabgeschlossen in L ist, F���+ K groß in L. Nun ist stets L���+ �L groß in L, so daßwegen L��� = F��� und � · L/K = 0 die Behauptung folgt.

(b) Für jeden schwach-flachen R-Modul M ist So�M� = So�R� ·M , denn zu� ∈ Max�R� ist M��� halbeinfach, also in (a) AnnR��� ·M = M���, d.h. M��� ⊂So�R� ·M , also insgesamt So�M� ⊂ So�R� ·M .

(c) Ist umgekehrt So�M� = So�R� ·M und M halbartinsch, folgt aus demzweiten Z�M� = M�So�R��, aus M/U singulär also So�R� ·M/U = 0, mit der erstenBedingung also So�M� ⊂ U , d.h. U groß in M . �

Folgerung 1.2. Ist R beliebig und I ein artinsches, schwach-flaches Ideal von R, soist I bereits direkter Summand.

Beweis. Sei im 1. Schritt R beliebig, M ein R-Modul und U ⊂ Ra�M� Dann folgtaus U ⊂ �M , daß AnnR��� · U = 0 ist für alle � ∈ Max�R�, d.h. So�R� · U = 0.War U schwach-flach, folgt nach (1.1.b) sogar So�U� = 0.

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Ist im 2. Schritt I wie angegeben, so gilt für jedes � ∈ Max�R�, daß I� als R�-Modul wieder artinsch und schwach-flach, also nach dem 1. Schritt Null oder ganzR� ist. Weil also alle �R/I�� als R�-Moduln flach sind, ist es auch R/I als R-Modul,d.h. I ⊂⊕ R. �

Folgerung 1.3. Ist R beliebig, I ⊂ R Produkt von endlich vielen maximalen Idealenund R/I als R-Modul schwach-flach, so ist I bereits direkter Summand.

Beweis. Wie eben genügt es zu zeigen, daß R/I als R-Modul flach ist, unddazu können wir gleich annehmen, daß �R��� lokal und I = �e ist für ein e ≥ 1.Nach (1.1,b) ist So�R/I� = So�R� · R/I , also �e−1 ⊂ So�R�+ I��e−1 = So��e−1�+I� sodaß nach Nakayama folgt �e−1 = So��e−1�� I = 0. �

Satz 1.4. Ein koatomarer R-Modul M ist genau dann schwach-flach, wenn �M großin M ist für jedes große Ideal � von R.

Beweis. “⇒” Für jeden schwach-flachen R-Modul M und jedes große Ideal � vonR ist M/�M singulär, also �M groß in M .

“⇐” Sei im 1. Schritt M/U singulär und uniform. Aus Ass�M/U� = ��� folgtZ�M/U� = �M/U��AnnR����, also AnnR��� ·M/U = 0 Nun ist M/U koatomar, alsonach [7, Lemma 1.2] �n ·M/U = 0 für ein n ≥ 1, für das große Ideal � = �n +AnnR��� gilt dann �M ⊂ U , so daß mit �M auch U groß in M ist.

Sei im 2. Schritt M/U nur singulär. Wäre U nicht groß in M , also X ∩ U = 0 füreinen Untermodul X R/�, folgte mit einem maximalen Element V0 in der Menge�U ⊂ V ⊂ M �X ∩ V = 0�, daß M/V0 singulär und uniform, also nach dem 1. SchrittV0 groß in M wäre, also der Widerspruch X = 0. �

Ist ein koatomarer R-Modul zusätzlich halbartinsch, so ist er nach [10,Beispiel 1.6] genau dann schwach-injektiv, wenn sein singulärer Untermodul Z�M�klein in M ist. Mit dem in [9, p. 3389] eingeführten Funktor C�M� = ⋂

�U ⊂M �M/Ustkosingulär� lautet die dazu duale Aussage:

Folgerung 1.5. Ein koatomarer, halbartinscher R-Modul M ist genau dann schwach-flach, wenn C�M� groß in M ist.

Beweis. “⇒” Für jeden R-Modul M gilt nach [9, Lemma 1.1], daß C�M� =⋂��M � � groß in R� ist, also So�R� ·M ⊂ C�M�. War M halbartinsch und schwach-

flach, ist So�M� = So�R� ·M groß in M , also auch C�M�.

“⇐” Für jedes große Ideal � von R ist nach Voraussetzung �M groß in M ,also der koatomare R-Modul M nach (1.4) schwach-flach. �

Lemma 1.6. Für jeden schwach-flachen R-Modul M gilt:

(a) Ist M1 ⊂ M abgeschlossen, so ist auch M/M1 schwach-flach;(b) Ist M ⊂ X und X/M schwach-flach, so ist auch X schwach-flach;(c) Jede wesentliche Erweiterung von M ist schwach-flach.

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Beweis. (a) Ist M1 ⊂ U ⊂ M und M/U singulär, so ist nach Voraussetzung Ugroß in M , wegen der Abgeschlossenheit von M1 also auch U/M1 groß in M/M1.

(b) Wir müssen für jeden Epimorphismus g � Y � X zeigen, daß K = Kern�g�abgeschlossen in Y ist: Es gibt einen Zwischenmodul K ⊂ Y1 ⊂ Y mit Y1/K M , und weil M und X/M schwach-flach sind, ist K abgeschlossen in Y1 und Y1abgeschlossen in Y , also auch K abgeschlossen in Y .

(c) Ist M ⊂ X eine wesentliche Erweiterung und X/X1 singulär, so ist auchM/M ∩ X1 singulär, also nach Voraussetzung M ∩ X1 groß in M , dann X1 groß in Xwie verlangt. �

Lemma 1.7. Für jeden schwach-flachen R-Modul M gilt:

(a) � ∈ Ass�M� �⇒ � ∈ Ass�R� und �M �= M;(b) M ist torsionsfrei, und aus rM = M folgt M�r� = 0;(c) Mit � = ⋂

�� � � ∈ Ass�M�� ist AnnR��� ·M groß in M .

Beweis. Vorbemerkung: Für jeden R-Modul M gilt mit � = ⋂�� � � ∈ Ass�M��,

daß M/AnnR��� ·M und M�AnnR���� singulär sind. Weil es nämlich zu jedem x ∈M ein n ≥ 1 gibt mit �nx = 0, wird x̄ ∈ M/AnnR��� ·M durch das große Ideal �n +AnnR��� annulliert, so daß auch AnnR�x̄� groß in R ist. War aber x ∈ M�AnnR����,folgt aus AnnR��� ⊂ AnnR�x� sogar AnnR�x� groß in R.

(a) Mit einer freien Darstellung f � F � M ist Kern�f� nach Voraussetzungabgeschlossen in F , also � ∈ Ass�F� = Ass�R�. Ist für die zweite Aussage X ⊂ Mmit X R/� und V0 ein Durchschnittskomplement von X in M , d.h. ein maximalesElement in der Menge �V ⊂ M �V ∩ X = 0�, so ist V0 nicht groß in M , also nachVoraussetzung M/V0 nicht singulär, d.h. Z�M/V0� � M/V0. Wegen Ass�M/V0� = ���ist aber nach der Vorbemerkung � ·M/V0 singulär, also � ·M/V0 � M/V0� �M � M .

(b) folgt allein aus (a), denn das erste ist klar, und zu M�r� �= 0 gibt es ein� ∈ Ass�M� mit r ∈ �, so daß aus �M �= M auch rM �= M folgt.

(c) Weil M��� groß in M ist, ist das ein Spezialfall von (1.1,a). �

Satz 1.8. Seien in Ass�M� = ��1� � �n� die �i paarweise unvergleichbar und � =⋂ni=1 �i. Genau dann ist M schwach-flach, wenn AnnR��� ·M groß in M ist.

Beweis. “⇒” Ist (1.7.c), und bei

“⇐” gilt mit der multiplikativen Teilmenge S = R\⋃ni=1 �i, daß der Ring RS

semilokal mit den paarweise verschiedenen maximalen Idealen �1RS� � �nRS ist,also Ra�RS� = �RS und So�RS� = AnnR��� · RS .

Wegen AssRS�MS� = Max�RS� ist der RS-Modul MS halbartinsch und nach

Voraussetzung So�RS� ·MS groß in MS , also nach (1.1) MS als RS-Modul schwach-flach. Das gilt dann auch für M als R-Modul: Ist M/U singulär, so auch MS/US alsRS-Modul, also US groß in MS und daher auch U groß in M , denn aus V ∩ U = 0folgt VS ∩ US = 0� VS = 0� weil S auf M injektiv operiert, schließlich V = 0. �

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Bemerkung 1.9. Für jeden R-Modul M gilt mit � = ⋂�� � � ∈ Ass�M�� nach der

Vorbemerkung in (1.7) M�AnnR���� ⊂ Z�M�. Darin gilt, falls wie in Satz 1.8 Ass�M�endlich und diskret ist, sogar Gleichheit, denn mit den dortigen Bezeichnungen folgtaus x ∈ Z�M�, daß AnnR�x� · RS den Sockel AnnR��� · RS enthält, also AnnR��� ⊂AnnR�x� ist, d.h. x ∈ M�AnnR����.

Die nächsten beiden Folgerungen sind vollkommen dual zu denentsprechenden schwach-injektiven Aussagen in [10, Satz 1.12 bzw. Satz 1.14]:

Folgerung 1.10. Sei M ein R-Modul, so daß Koatt�M� und Att�M� diskret sind, undsei � = √

AnnR�M�. Genau dann ist M schwach-flach, wenn AnnR��� ·M = M��� ist.

Beweis. Für jeden R-Modul M ist C�M� ⊂ AnnR��� ·M ⊂ M��� sowie M��� großin M .

Ist im 1. Schritt nur Koatt�M� diskret, d.h. jedes � ∈ Koatt�M� minimal überAnnR�M�, so folgt Ass�M� = Koatt�M� und � = �. Nach (1.8) ist dann M genaudann schwach-flach, wenn AnnR��� ·M groß in M��� ist.

Sind im 2. Schritt Koatt�M� und Att�M� diskret, erhält man durch Dualisierenvon [10, Lemma 1.11,c], daß M��� als R/�-Modul torsionsfrei und teilbar ist,sowie AnnR��� ·M ⊂⊕ M���. Genau dann ist also M schwach-flach, wenn in derangegebenen Inklusion Gleichheit gilt. �

Folgerung 1.11. Sei M ein R-Modul mit Primär- und Koprimärzerlegung. Genaudann ist M schwach-flach, wenn C�M� groß in M ist.

Beweis. “⇒” Für jeden R-Modul M , der Summe von beliebig vielen koprimärenUntermoduln ist, ist M/C�M� singulär (damit fertig):

Ist M sogar �-koprimär, d.h. Att�M� = ���, gilt nach [10, Lemma 1.11,a]C�M� = AnnR��� ·M , mit �nM = 0 also sogar C�M� = �M für das große Ideal � =�n +AnnR���. Ist M nur von der Form M = ∑

∈� V, alle V koprimär, haben inM/C�M� = ∑

∈��V + C�M��/C�M� alle Summanden einen großen Annullator, undM/C�M� ist singulär.

“⇐” Besitzt M sowohl eine Primär- als auch eine Koprimärzerlegung, ist Mnach [8, Satz 3.6] von der Form M = M1 ⊕ · · · ⊕Mn, in der jedes Mi �i-primär und�i-koprimär ist und nach Voraussetzung C�Mi� groß in Mi. Wir können also gleichn = 1 annehmen: Aus C�M� ⊂ AnnR��� ·M folgt, daß erst recht AnnR��� ·M großin M ist, also nach (1.8) M schwach-flach. �

Lemma 1.12. Für einen R-Modul M sind äquivalent:

(i) Jeder Untermodul von M ist schwach-flach;(ii) M ist schwach-flach und NM = 0;(iii) Jedes � ∈ Ass�M� ist nicht groß in R (d.h. es ist Z�M� = 0).

Beweis. �i ⇒ ii� Der Untermodul M1 = NM wird durch das große IdealAnnR�N� annulliert, ist also singulär. Nach Voraussetzung ist M1 schwach-flach, alsoNull.

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�ii ⇒ iii� Für jeden schwach-flachen R-Modul M gilt, daß NM groß in Z�M�ist (damit fertig): Zu 0 �= x ∈ Z�M� gibt es ein großes Ideal � von R mit x ∈ M���,nach (1.1,a) folgt 0 �= rx ∈ AnnR��� ·M , wegen AnnR��� ⊂ N also die Behauptung.

�iii ⇒ i� Für jeden Untermodul U von M und jeden Epimorphismus g � Y �

U ist nach Voraussetzung Z�Y/Kern�g�� = 0, also Kern�g� abgeschlosssen in Y . �

Folgerung 1.13. Sei M ein koatomarer, halbartinscher R-Modul. Genau dann istjeder Untermodul von M schwach-flach, wenn jeder Faktormodul von M schwach-injektiv ist.

Beweis. Die zweite Eigenschaft ist nach [10, Folgerung 2.8] äquivalent mit Z�M� =0, d.h. mit der ersten. �

Folgerung 1.14. Für den Ring R sind äquivalent:

(i) Jeder Untermodul eines schwach-flachen R-Moduls ist wieder schwach-flach;(ii) Jeder torsionsfreie R-Modul ist bereits schwach-flach;(iii) R ist reduziert (d.h. es ist N = 0).

Beweis. �ii ⇒ i ⇒ iii� ist klar, und bei

�iii ⇒ ii� ist jedes große Ideal von R bereits regulär, also jeder singuläre R-Modul bereits torsion, so daß aus M torsionsfrei und M/U singulär stets folgt Ugroß in M . �

Im letzten Satz dieses Abschnittes wollen wir ein Kriterium für “schwach-flach” angeben, das im folgenden sehr nützlich ist und aus dem u.a. folgt, daß sich”schwach-flach” auf reine Untermoduln vererbt.

Lemma 1.15. Sei M ein R-Modul und � ein Ideal von R mit

AnnR��� ·M großin M���

Dann gilt:

(a) Für alle n ≥ 1 ist ��n +AnnR���� ·M groß in M;(b) Ist M ⊂ X eine wesentliche Erweiterung, so ist auch AnnR��� · X groß in X���;(c) Ist U ein reiner Untermodul von M , so ist auch AnnR��� · U groß in U���;(d) Ist U ein abgeschlossener Untermodul von M , so ist auch AnnR��� ·M/U groß in

�M/U����;(e) Ist M sockelfrei und M/U halbartinsch, so ist auch AnnR��� · U groß in U���.

Beweis. (a) Aus V ⊂ M und V ∩ ��n +AnnR���� ·M = 0 folgt V ∩ �nM = 0� V ⊂M��n�, wegen AnnR��� ·M groß in M��n� und V ∩AnnR��� ·M = 0 also V = 0.

(b) Aus 0 �= x ∈ X��� folgt 0 �= r1x ∈ M� 0 �= r2r1x ∈ AnnR��� ·M ⊂ AnnR��� ·X mit r1� r2 ∈ R.

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(c) Aus 0 �= u ∈ U��� folgt 0 �= ru ∈ AnnR��� ·M mit r ∈ R, wegen derReinheit also 0 �= ru ∈ AnnR��� · U .

(d) In der injektiven Hülle M ⊂ X gibt es bekanntlich einen direktenSummanden Y ⊂⊕ X mit U = Y ∩M . Nach (b) erfüllt auch M + Y die gewünschteEigenschaft, nach (c) auch der direkte Summand �M + Y�/Y M/U .

(e) In AnnR��� · U ⊂ (AnnR��� ·M� ∩ U��� ⊂ U��� ist nur noch die ersteInklusion zu betrachten: Mit I = AnnR��� = �r1� � rm� ist IM/IU als Faktormodulvon �M/U�m wieder halbartinsch, also IU groß in IM , also erst recht groß in IM ∩U���. �

Satz 1.16. Für einen R-Modul M sind äquivalent:

(i) M ist schwach-flach;(ii) Für jedes Ideal � von R ist AnnR��� ·M groß in M���;(iii) Für jedes � ∈ Ass�M� ist AnnR��� ·M groß in M���.

Beweis. Weil �i ⇒ ii� in (1.1,a) bewiesen wurde und �ii ⇒ iii� klar ist, bleibt�iii ⇒ i� zu zeigen.

1. Schritt: Jeder singuläre Modul M mit der Bedingung (iii) ist Null.Zum Beweis sei M ⊂ X eine injektive Hülle und X = ⊕

i∈I Xi eine Zerlegung inuniforme Moduln Xi. Wegen M ⊂ Z�X� = ⊕

i∈I Z�Xi� genügt es zu zeigen, daß alleZ�Xi� = 0 sind. Wäre ein A = Z�Xj� ungleich Null, also uniform und singulär, sofolgte mit Ass�A� = ���, daß AnnR��� · A = 0 ist, andererseits � ∈ Ass�X� = Ass�M�,also nach (1.15) AnnR��� · A groß in A���, also der Widerspruch A��� = 0.

2. Schritt: Sei jetzt M beliebig, aber M/U singulär. Wählt man einenZwischenmodul U ⊂ U1 ⊂ M� so daß U groß in U1 und U1 abgeschlossen in M ist, istnach (1.15,d) AnnR��� ·M/U1 groß in �M/U1���� für alle � ∈ Ass�M/U1� ⊂ Ass�M�.Nach dem ersten Schritt bedeutet das schon M/U1 = 0, d.h. U groß in M . �

Folgerung 1.17. Ist M schwach-flach und U ein reiner Untermodul von M , so ist auchU schwach-flach.

Beweis. Nach (1.15,c) gilt für alle Ideale � von R, daß AnnR��� · U groß in U��� ist,also U nach Satz 1.16 schwach-flach ist. �

Folgerung 1.18. Ist M schwach-flach, sockelfrei und M/U halbartinsch, so ist auchU schwach-flach.

Beweis. Wie eben mit Punkt (e) von Lemma 1.15. �

Bemerkung 1.19. Zur Inklusion AnnR��� ·M ⊂ M��� in Satz 1.16.In einigen Spezialfällen gilt schon Gleichheit, z.B. wenn M flach ist (hier

gilt bekanntlich M��� = AnnR��� ·M für alle Ideale �), oder wenn M schwach-flach,Koatt�M� und Att�M� beide diskret sind und � = √

AnnR�M� ist (1.10). Ist aber�R��� lokal und So�R� �= 0, gilt im schwach-flachen R-Modul M = E nur dannAnnR��� ·M = M���, wenn � ein Annullatorideal in R ist.

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2. MATLIS-DUALITÄT

Stets sei in diesem Abschnitt �R��� ein noetherscher, lokaler Ring mitVervollständigung R̂� E eine injektive Hülle des Restklassenkörpers k = R/� undM� = HomR�M�E� das Matlis-Duale des R-Moduls M . Durch den artinschen R-Modul E trägt M� auch eine R̂-Struktur, und für bestimmte Dualitätsfragen ist esentscheidend, ob man M� als R̂- oder als R-Modul betrachtet. Bekanntlich ist einR-Modul M genau dann injektiv, wenn M� als R-Modul flach ist, aber als R̂-Modulmuß M� nicht flach sein. Umgekehrt gilt für einen beliebigen R-Modul M , daß einUntermodul U genau dann klein in M ist, wenn AnnM��U� R̂-groß in M� ist, aberAnnM��U� muß nicht R-groß in M� sein.

Unsere beiden Sätze (2.3) und (2.5) behandeln die Frage, wann für einenschwach-flachen R-Modul M das Matlis-Duale M� als R̂-oder als R-Modulschwach-injektiv ist.

Lemma 2.1. Für einen Untermodul U von M sind äquivalent:

(i) U ist groß in M;(ii) Für jeden flachen R-Modul A ist A

⊗R U groß in A

⊗R M;

(iii) R̂⊗

R U ist R̂-groß in R̂⊗

R M .

Beweis. Klar ist �ii ⇒ iii�, ebenso �iii ⇒ i�, denn aus V ∩ U = 0 in M folgt�R̂

⊗R V� ∩ �R̂

⊗R U� = 0 in R̂

⊗R M , also R̂

⊗R V = 0� V = 0.

Für �i ⇒ ii� sei f � F � A eine freie Darstellung von A. Im kommutativenDiagramm

ist dann 1⊗ i als direkte Summe von wesentlichen Monomorphismen wiederwesentlich [2, Proposition 1.1], außerdem Kern�f ⊗ 1� rein, insbesondereabgeschlossen in F

⊗R M , also Bild�f ⊗ i� = Bild�1A ⊗ i� groß in A

⊗R M . �

Folgerung 2.2. Für einen Untermodul U von M sind äquivalent:

(i) U ist abgeschlossen in M;(ii) Für jeden flachen R-Modul A ist A

⊗R U abgeschlossen in A

⊗R M;

(iii) R̂⊗

R U ist R̂-abgeschlossen in R̂⊗

R M .

Beweis. �i ⇒ ii� Sei V0 ein Durchschnittskomplement von U in M . Dannist V0 → M → M/U ein wesentlicher Monomorphismus, also auch A

⊗R V0 →

A⊗

R M → A⊗

R M/U , d.h. A⊗

R U ein Durchschnittskomplement von A⊗

R V0 inA⊗

R M wie behauptet.

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SCHWACH-FLACHE MODULN 4401

�ii ⇒ i� Aus U groß in U1 ⊂ M folgt nach (2.1) R̂⊗

R U R-groß in R̂⊗

R U1 ⊂R̂⊗

R M , also nach Voraussetzung R̂⊗

R U = R̂⊗

R U1� U = U1.

�i ⇔ iii� Ebenso. �

Satz 2.3. Für einen R-Modul M betrachten wir die folgenden drei Eigenschaften:

(i) M ist schwach-flach;(ii) R̂

⊗R M ist als R̂-Modul schwach-flach;

(iii) M� ist als R̂-Modul schwach-injektiv.

Dann gilt �iii ⇒ ii ⇔ i�, und falls M schwach-komplementiert ist, auch �ii ⇒ iii�.

Beweis. �i ⇔ ii� Mit einer freien Darstellung f � F � M von M ist 1⊗ f �R̂⊗

R F � R̂⊗

R M eine R̂-freie Darstellung von R̂⊗

R M und nach (2.2) Kern�f�genau dann abgeschlossen in F wenn Kern�1⊗ f� R̂-abgeschlossen in R̂

⊗R F ist,

d.h. (i) äquivalent mit (ii).

�iii ⇒ ii� Weil M� HomR̂�R̂⊗

R M�E� als R̂-Modul schwach-injektiv, alsodas über R̂ Biduale nach [11, Lemma 4.4] schwach-flach ist, ist es nach (1.17) auchder R̂-reine Untermodul R̂

⊗R M .

�ii ⇒ iii� Ein R-Modul M heißt schwach-komplementiert, wenn es zu jedemUntermodul U von M einen Untermodul V von M gibt mit V + U = M und V ∩ Uklein in M . Nach [6, Theorem 3.1] ist das äquivalent damit, daß M einen koatomarenUntermodul B besitzt, so daß M/B artinsch ist. Weil dann auch R̂

⊗R M als

R̂-Modul schwach-komplementiert ist, wollen wir gleich R als vollständig annehmen.

Ist V0 ein Durchschnittskomplement von L�M� = ∑i≥1 M��i� in M , folgt aus

dem wesentlichen Monomorphismus L�M� ↪→ M/V0, daß auch M/V0 halbartinsch(und schwach-flach) ist. Andererseits ist M/L�M� schwach-flach und M/V0 ⊕ L�M�halbartinsch, also nach (1.18) auch V0 schwach-flach (und sockelfrei). Wir wollenalso gleich M sockelfrei oder halbartinsch annehmen.

1. Fall M ist sockelfrei. Dann ist M Erweiterung eines endlich erzeugtendurch einen artinschen R-Modul, d.h. minimax, wegen der Vollständigkeit von Rsogar reflexiv, und aus M M�� schwach-flach folgt wieder nach [11, Lemma 4.4],daß M� schwach-injektiv ist.

2. Fall M ist halbartinsch. Dann ist M/M��n� artinsch für ein n ≥ 1, also M�

koatomar. Weil M schwach-flach, also nach (1.1,b) So�M� = So�R� ·M ist, folgt ausRa�M�� = M��So�R�� nach [10, p. 109], daß M� schwach-injektiv ist. �

Bemerkung 2.4. Ohne Zusatzbedingung an M gilt in �iii ⇒ ii� keine Umkehrung:Ist So�R� �= 0 und dim�R� ≥ 2, so ist der R-Modul M = E��� schwach-flach, aberM� R̂� als R̂-Modul nicht schwach-injektiv, denn KoassR̂�M

�� = Spec�R̂� istunendlich.

Satz 2.5. Für einen R-Modul M betrachten wir die folgenden drei Eigenschaften:

(i) M ist schwach-flach;

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4402 ZÖSCHINGER

(ii) M� ist als R-Modul schwach-injektiv;(iii) M�� ist als R-Modul schwach-flach.

Dann gilt �ii ⇒ i� und �iii ⇒ i�. Ist M koatomar, so gilt beide Male die Umkehrung.

Beweis. �ii ⇒ i� 1. Schritt Für jeden schwach-injektiven R-Modul X und jedesIdeal � von R ist X/�X � X/X�AnnR���� ein wesentlicher Epimorphismus. DerBeweis verläuft (auch im nichtlokalen Fall) dual zu dem von (1.1,a): Mit einerinjektiven Hülle X ⊂ Y folgt

X�AnnR�����X

⊂ Y�AnnR�����X

= � · Y

�X�

so daß X�AnnR����/�X, weil durch � annulliert, klein in Y/�X ist, also (weil Xschwach-injektiv war), sogar klein in X/�X.

2. Schritt Ist jetzt der schwach-injektive R-Modul X von der Form X = M�,folgt mit den kanonischen Isomorphismen X/�X �M����� und X/X�AnnR���� �AnnR��� ·M��, daß auch

�M����� � �AnnR��� ·M��

ein wesentlicher R-Epimorphismus ist und daher AnnR��� ·M groß in M���. Weil dasfür alle Ideale � von R galt, ist M nach (1.16) schwach-flach.

�iii ⇒ i� Als reiner Untermodul von M�� ist auch M nach (1.17) schwach-flach.

�i ⇒ ii� Jeder koatomare R-Modul ist schwach-komplementiert, so daß M�

nach (2.3) als R̂-Modul schwach-injektiv ist. Er ist es dann auch über R, d.h. miteiner R-injektiven Hülle M� ⊂ X müssen wir zeigen, daß M� R-koabgeschlossen inX ist:

Mit M� ist auch X halbartinsch, trägt also eine natürliche R̂-Struktur: ∈ R̂und x ∈ X ⇒ · x = rkx mit = cl��rn�n≥1� und x ∈ X��k�. Bekanntlich ist dannM� ⊂ X auch eine R̂-injektive Hülle und jeder R-Untermodul von X auch einR̂-Untermodul. Bleibt zu zeigen, daß die jetzt eingeführte R̂-Struktur auf M� =HomR�M�E� mit der von E induzierten f übereinstimmt: ∈ R̂ und f ∈ M� ⇒mit = cl��rn�n≥1� und f ∈ �M����k� ist � f��u� = f�u� = rkf�u� = �rkf��u� für alleu ∈ M , d.h. f = rkf = · f wie behauptet.

�i ⇒ iii� Ist V0 ein Durchschnittskomplement von L�M� in M , folgt wie imBeweis von (2.3), daß V0 und M/V0 schwach-flach sind. Wir wollen also wieder Msockelfrei oder halbartinsch annehmen, außerdem nach Voraussetzung M koatomar.

1. Fall M ist sockelfrei, d.h. schon endlich erzeugt. In einer freien Darstellungf � F � M ist dann Kern�f� abgeschlossen in F , also nach (2.2) auch R̂

⊗R

Kern�f� R-abgeschlossen in R̂⊗

R F , d.h. R̂⊗

R M M�� (siehe [5, Theorem 3.7])schwach-flach.

2. Fall M ist halbartinsch, d.h. schon �n ·M = 0 für ein n ≥ 1. Nach �i ⇒ii� ist X = M� schwach-injektiv, also Ra�X� = X�So�R�� nach [10, p. 109], So�X�� =

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SCHWACH-FLACHE MODULN 4403

So�R� · X�, und weil auch �n · X� = 0 ist, bedeutet das nach (1.1), daß X� = M��

schwach-flach ist. �

Bemerkung 2.6. Selbst wenn M artinsch ist, muß weder �i ⇒ ii� noch �i ⇒ iii�gelten: Ist R abzählbar und dim�R� ≥ 2, gilt für jedes Primideal � �= �, daß R/�unvollständig, also KoassR�R̂� = Spec�R� unendlich ist. Bei So�R� �= 0 ist also M =E schwach-flach, aber M� R̂ nicht schwach-injektiv und M�� nicht schwach-flach.

3. QUASI-FROBENIUSRINGE

Wir wollen in diesem letzten Abschnitt die (nicht notwendig lokalen) RingeR charakterisieren, über denen jeder schwach-flache R-Modul M bereits flach ist.Das gilt offenbar über jedem Quasi-Frobeniusring, denn dort folgt mit einer freienDarstellung f � F � M , daß F auch injektiv, also der abgeschlossene Kern bereitsdirekter Summand und deshalb M flach ist. Es gilt auch über jedem distributivenRing, denn über ihm ist jeder abgeschlossene Untermodul auch koabgeschlossen(3.1), also der Kern nach [10, A.3] sogar rein in F und damit M wieder flach.Unser Hauptergebnis (3.2) besagt, daß jeder Ring R, über dem die schwach-flachenR-Moduln flach sind, bereits von der Form A× B ist mit einem QF -Ring A undeinem distributiven Ring B. Eine entsprechende Lösung finden wir in (3.8) für dasProblem, wann jeder schwach-flache R-Modul auch schwach-injektiv ist.

Lemma 3.1. Für einen Ring R sind äquivalent:

(i) In jedem R-ModulM sind die abgeschlossenen Untermoduln auch koabgeschlossen;(ii) In jedem R-ModulM sind die koabgeschlossenen Untermoduln auch abgeschlossen;(iii) R ist distributiv.

Beweis. �i ⇒ iii� Ein Ring R heißt distributiv (oder arithmetisch), wenn für alleIdeale �� �� � von R gilt ��+ �� ∩ � = � ∩ �+ � ∩ �. Das ist äquivalent damit, daß fürjedes � ∈ Max�R� der lokale Ring R� distributiv ist, d.h. das maximale Ideal �R�

zyklisch ist (siehe [3, Theorem 1]).Nun ist in M = R/�2 jeder abgeschlossene Untermodul nach Voraussetzung

auch koabgeschlossen, also schon trivial, d.h. M ist uniform und So�M� einfach.Aus �̄ ⊂ So�M� folgt �̄ = �x̄� für ein x ∈ ��� = �x�+�2, also nach Nakayama�R� = xR� wie behauptet.

�iii ⇒ i� Sei U ⊂ M abgeschlossen. Für jedes � ∈ Max�R� ist dann U� ⊂M� R�-abgeschlossen, und könnten wir zeigen, daß es auch R�-koabgeschlossen ist,folgte nach [10, A.6] auch U koabgeschlossen in M .

Sei also gleich R lokal und das maximale Ideal � zyklisch. Aus Uabgeschlossen in M folgt bekanntlich �M/U���� = �M���+ U�/U , mit � = �x� alsoauch U ∩�M = �U , denn in u = xv ist v̄ ∈ �M/U����, also v ∈ M���+ U� x�v−u1� = 0� u = xu1. Nun ist R ein diskreter Bewertungsring oder einreihig, also U nach[10, A.3] koabgeschlossen in M .

�ii ⇔ iii� entsprechend. �

Satz 3.2. Für einen Ring R sind äquivalent:

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4404 ZÖSCHINGER

(i) Jeder schwach-flache R-Modul ist bereits flach;(ii) Jeder schwach-injektive R-Modul ist bereits injektiv;(iii) R A× B, wobei A ein QF-Ring ist und B distributiv.

Beweis. �iii ⇒ i� wurde in der Einführung gezeigt, und �iii ⇒ ii� istebenso einfach: Ist M schwach-injektiv, also in seiner injektiven Hülle M ⊂ Xkoabgeschlossen, so ist im QF-Fall X auch projektiv, also M sogar rein in X [10,A.3], im distributiven Fall M nach (3.1) auch abgeschlossen in X, also beide MaleM = X.

Zur Umkehrung betrachten wir folgende (scheinbaren) Abschwächungen

(i’) Jeder endlich erzeugte schwach-flache R-Modul ist bereits flach,

(ii’) Jeder artinsche schwach-injektive R-Modul ist bereits injektiv,

und müssen dann nur noch �ii′ ⇒ i′ ⇒ iii� beweisen.

�ii′ ⇒ i′� Wir zeigen im 1. Schritt für jedes � ∈ Max�R�, daß der lokale RingR� wieder �ii′� erfüllt. Für jeden artinschen, injektiven R�-Modul X gilt, daß X auchals R-Modul injektiv ist [1, p. 118, Proposition 4.1.3], außerdem �-torsion, also jederR-Untermodul von X automatisch ein R�-Untermodul. Damit ist auch RX artinsch,jeder R�-koabgeschlossene Untermodul Y von X ist dann auch als R-Untermodulkoabgeschlossen, also nach Voraussetzung direkter Summand, und das gilt dannauch über R�.

Sei im 2. Schritt M ein endlich erzeugter, schwach-flacher R-Modul, o.B.d.A.nach dem 1. Schritt R lokal. Dann ist M� artinsch und nach (2.5) schwach-injektiv,also nach Voraussetzung sogar injektiv, und das bedeutet die Flachheit von M .

�i′ ⇒ iii� Weil L�R� abgeschlossen, also R/L�R� schwach-flach, ja sogar flachist, folgt L�R� ⊂⊕ R� d.h. R A× B mit A artinsch und B sockelfrei. Wir könnenalso gleich R artinsch oder sockelfrei annehmen.

Im 1. Fall ist R Produkt von endlich vielen lokalen Ringen, also o.B.d.A.bereits R artinsch und lokal. Weil dann jedes abgeschlossene Ideal wie eben direkterSummand, also 0 oder R ist, ist R uniform, d.h. ein QF-Ring.

Im 2. Fall sind nach (1.18) alle maximalen Ideale � von R schwach-flach, jasogar flach, so daß �R� als R�-Modul frei, ja sogar zyklisch ist, also insgesamt Rdistributiv. �

Bemerkung 3.3. Ein R-Modul M heißt bekanntlich extending (siehe [4]), wennjeder abgeschlossene Untermodul bereits direkter Summand in M ist. Die in Satz 3.2beschriebenen Ringe R sind also nach �i′� genau diejenigen, bei denen alle Rn�n ≥ 1�extending sind.

Nach dem letzten Satz ist klar, daß über einem QF-Ring die schwach-flachen Moduln mit den schwach-injektiven übereinstimmen. Aber auch über jedemartinschen Ring R mit Ra�R�2 = 0 gilt diese Aussage (3.5), und unser letztesErgebnis besagt folgende Umkehrung: Stimmen über einem Ring R die beidenModulklassen überein, so ist R von der Form A× B, wobei A ein QF-Ring ist undB artinsch mit Ra�B�2 = 0.

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SCHWACH-FLACHE MODULN 4405

Lemma 3.4. Sei �R��� artinsch und lokal mit �2 = 0�� �= 0. Dann sind für einenR-Modul M äquivalent:

(i) M ist schwach-flach;(ii) M ist schwach-injektiv;(iii) Ra�M� = So�M�.

Sind diese äquivalenten Bedingungen erfüllt, so ist ein Untermodul U von M genau dannschwach-flach, wenn U koabgeschlossen in M ist.

Beweis. Weil der angegebene Ring nur zwei große Ideale besitzt, nämlich R und� (alle Ideale �= � sind sogar abgeschlossen), folgt für jeden R-Modul M nachDefinition Z�M� = So�M� und C�M� = Ra�M�. Stets gilt Ra�M� ⊂ So�M�, so daß Mnach (1.5) genau dann schwach-flach ist, wenn Ra�M� = So�M� ist, und das ist nach[10, Beispiel 1.6] äquivalent damit, daß M schwach-injektiv ist.

Der Zusatz ist klar: U ⊂ M ist genau dann schwach-injektiv, wenn Ukoabgeschlossen in M ist. �

Weil über einem beliebigen Ring R ein Modul M genau dann schwach-flach(schwach-injektiv) ist, wenn es alle M� als R�-Moduln sind (� ∈ Max�R�), erhältman sofort

Folgerung 3.5. Sei R ein artinscher Ring mit Ra�R�2 = 0. Dann stimmen dieschwach-flachen R-Moduln mit den schwach-injektiven überein.

Lemma 3.6. Sei �R��� artinsch und lokal, d = Länge�R/So�R�� und M ein endlicherzeugter R-Modul. Dann gilt:

(a) Genau dann ist jede wesentliche Erweiterung von M schwach-injektiv, wennLänge�M� = d · dim�M����+ dim�M/�M� ist;

(b) Genau dann ist jede wesentliche Überdeckung von M schwach-flach, wennLänge�M� = dim�M����+ d · dim�M/�M� ist.

Beweis. (a) Sei M endlich erzeugt, s = dim�M���� und M ⊂ X eine injektiveHülle. Mit X Es und �E = E�So�R�� �R/So�R��� ist dann Länge��X� = s ·Länge��E� = s · d. Es folgt Länge�M� ≤ s · d + dim�M/�M�, und genau dann giltGleichheit, wenn �M = �X ist.

Bei “⇒” gilt für jeden Zwischenmodul M ⊂ A ⊂ X, daß A nach Voraussetzungkoabgeschlossen in X ist, also in X/M jeder Untermodul koabgeschlossen, d.h. X/Mhalbeinfach ist, �X ⊂ M . Aus M ∩�X = �M folgt daher �X = �M .

Bei “⇐” gilt nach Voraussetzung A ∩�X = A ∩�M = �A für jedenZwischenmodul M ⊂ A ⊂ X, d.h. A ist koabgeschlossen in X und deshalb schwach-injektiv.

(b) Genau dann ist jede wesentliche Überdeckung von M schwach-flach,wenn jede wesentliche Erweiterung von M� schwach-injektiv ist, d.h. nach (a), wennLänge�M�� = d · dim�M�����+ dim�M�/� ·M�� ist. Wegen M���� �M/�M��

und M�/� ·M� �M����� folgt die Behauptung. �

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4406 ZÖSCHINGER

Folgerung 3.7. Sei �R��� artinsch und lokal, �2 �= 0 und M ein endlich erzeugterR-Modul. Dann gilt:

(a) Ist jede wesentliche Erweiterung von M schwach-injektiv, so folgt dim�M���� ≤dim�M/�M�;

(b) Ist jede wesentliche Überdeckung von M schwach-flach, so folgt dim�M/�M� ≤dim�M����.

Beweis. (a) Wegen �2 �= 0 ist So�R� � �, also d = Länge�R/So�R�� ≥ 2. Mits = dim�M����� r = dim�M/�M� und l = Länge�M� gilt nach (3.6,a) l = ds + r.Stets ist l ≤ s + dr, so daß aus ds + r ≤ s + dr� �d − 1��s − r� ≤ 0 wegen d ≥ 2 folgts ≤ r.

(b) Weil jede wesentliche Erweiterung von M� schwach-injektiv ist, gilt nach(a) dim�M����� ≤ dim�M�/� ·M��, also dim�M/�M� ≤ dim�M����. �

Satz 3.8. Für einen Ring R sind äquivalent:

(i) Jeder schwach-flache R-Modul ist auch schwach-injektiv;(ii) Jeder schwach-injektive R-Modul ist auch schwach-flach;(iii) R A× B, wobei A ein QF-Ring ist und B artinsch mit Ra�B�2 = 0.

Beweis. Sowohl über einem QF-Ring A als auch über einem artinschen Ring Bmit Ra�B�2 = 0 stimmen nach dem Vorhergehenden die schwach-flachen Modulnmit den schwach-injektiven überein. Es ist also nur noch �i ⇒ iii� und �ii ⇒ iii� zuzeigen, und dazu betrachten wir analog zu (3.2) die (scheinbaren) Abschwächungen

(i’) Jeder endlich erzeugte schwach-flache R-Modul ist auch schwach-injektiv,

(ii’) Jeder artinsche schwach-injektive R-Modul ist auch schwach-flach.

Bei �i′ ⇒ iii� ist zuerst R artinsch: Weil R/L�R� schwach-flach, also nachVoraussetzung auch schwach-injektiv ist, folgt wegen So�R� ⊂ L�R� nach [10,Folgerung 1.2] sogar L�R� = R. Sei also jetzt �R��� artinsch und lokal. Falls �2 =0, ist man fertig. Falls �2 �= 0, ist jede wesentliche Erweiterung von R endlicherzeugt und nach (1.6) schwach-flach, also nach Voraussetzung auch schwach-injektiv. Nach (3.7,a) folgt dim�So�R�� = 1, d.h. R uniform wie behauptet.

Auch bei �ii′ ⇒ iii� ist zuerst R artinsch: Weil in jedem injektiven artinschenR-Modul M der größte radikalvolle Untermodul P�M� koabgeschlossen ist (dennM/P�M� ist endlich erzeugt), ist P�M� schwach-injektiv, also nach Voraussetzungauch schwach-flach, so daß nach dem 1. Schritt in (1.2) folgt P�M� = 0. Also istsogar jeder artinsche R-Modul endlich erzeugt, jeder R-Modul koatomar, Spec�R� =Max�R� wie behauptet.

Sei also jetzt �R��� artinsch und lokal sowie gleich �2 �= 0. Weil jedewesentliche Überdeckung von E nach [10, A.5] schwach-injektiv, also nachVoraussetzung auch schwach-flach ist, gilt nach (3.7,b) dim�E/�E� = 1, d.h.dim�So�R�� = 1, so daß wieder R uniform ist. �

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SCHWACH-FLACHE MODULN 4407

Bemerkung 3.9. Bekanntlich ist R genau dann ein QF-Ring, wenn der Ring Rinjektiv ist. Man kann zeigen, daß die in (3.8,iii) beschriebene Verallgemeinerungäquivalent damit ist, daß jede wesentliche Erweiterung von R schwach-injektiv ist.

LITERATUR

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Appl. Algebra 74:281–305.[7] Zöschinger, H. (1980). Koatomare Moduln. Math. Zeitschrift 170:221–232.[8] Zöschinger, H. (1992). Die Lasker-Bedingung für nicht endlich erzeugte Moduln. Per.

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