Synchronisation schwach gekoppelter Oszillatoren

Teil 1: Theoretische Grundlagen

Seminar: Physik in der Biologie

Raphael Engesser

In der Biologie: Oszillatoren von grundlegender Bedeutung:

• Herzschlag

• Neuronen

• Parkinson

• Lotka – Volterra

• Glühwürmchen

• …

Ein Oszillator ist ein dynamisches System mit einem beschränkten periodischen Attraktor

Biologie: immer Dissipation und Fluktuation vorhanden

=> Es müssen aktive System sein (zB van der Pol)

Hamiltonsche Systeme:

• klingen ab oder

• laufen aus dem Ruder

Grenzzyklen

En

erg

ie

x

Dissipation Von außen

zugeführte Energie

• Amplitude unempfindlich gg Störungen

Von Interessere:

• nicht die Ursache einer Oszillation

• sondern Wechselwirkungen (Kopplungen) zwischen einzelnen Oszillatoren

Mögliche Effekte:

• Schwebungen

• Chaos

• Synchronisation

• …

Synchronisation

Anpassung der Frequenzen von periodisch schwingenden, selbständigen Systemen (Oszillatoren) aufgrund einer schwachen Wechselwirkung

• frequency entrainment

• phase locking

gleichphasig gegenphasig

Konstante Phasendifferenz keine Synchronistation

Beispiel: Millennium Bridge in London

Synchronisation in der Biologie

• Herz

• Neuronen

• Glühwürmchen

• Tausendfüssler

• Grillen

• …

Entdeckung durch Christian Huygens (1629 – 1695)

Arten von Kopplungen:

a) Unidirektionale Kopplung

Bsp: getriebener linearer Oszillator

Jahreszyklus der Bäume

b) Bidirektionale Kopplung

Bsp: Gekoppeltes Pendel (siehe AP I)

Kopplung von linearen Oszillatoren:

Beispiel:

Gekoppelte Federpendel (lineare Näherung)

Allg. Lösung: Überlagerung der Normalschwingungen Фgleich und Фgegen

X1(t) = Фgleich + Фgegen

X2(t) = Фgleich - Фgegen

• Schwebungen

• Maxima versetzt

• keine Synchronisation

Kopplung von nichtlinearen Oszillatoren

Beispiel:

Van-der-Pol Oszillator

• periodisches Störsignal

• unidirektionale Kopplung

)sin()1( 12

2212

21

txxxx

xx

Störsignal

Van-der-Pol ohne Störsignal

mit μ = 3

(a) ε = 0, d.h. ohne Kopplung

(b) ε = 0.24

Synchronisation eines periodisch getriebenen van-der-Pols

Das ganze bisschen mathematischer:

• Ein Oszillator ist ein dynamisches System

• Mit einem beschränktem periodischem Attraktor

• Periode T>0: kleinstes T für das gilt

m xxfx ),(

m

t.allefür ,)()( Ttt

Phasenbeschreibung

• Beschreibung eines Oszillators durch nur eine Variable

• definiere Transformation

• Θ bildet Lösungen x(t) € R auf Ф(t) € S1 ab

• Entspricht Parametrisierung des Grenzzyklus

1S :(x(t))

Eigenschaften von Φ(t):

• Koordinate entlang des Grenzzyklus

• steigt monoton an

• bei einem Umlauf um den Grenzzyklus um 2π

• gleichförmige Bewegung gemäß:

Tdt

d 20

Phasenbeschreibung sinnvoll da:

• Störungen wirken sich nur auf Phase aus

• Grenzzyklus: Amplitude ist stabil

• System nur eindimensional

),(

),(

122222

211111

xxpxfx

xxpxfx

ε)(dt

d

ε)(dt

d

Betrachte zwei miteinander gekoppelte Oszillatoren:

Frage: Wie sieht Phasenbeschreibung aus?

Wegen Störungen muss man die Phase auch auf einer Umgebung des Attraktors definieren

111 )(

dt

d x

121111 ),()(

xxfxx dt

d

Ungestörter Oszillator auf Umgebung des Attraktors

Kettenregel

),(

),()(

21111

2111111111

xxp

xxpxfxx

ε

ε)(dt

d

)(),(),(

)(),(),(

112222122

221111211

xxp

xxp

h

h

mit Kopplung

definiere 2π-periodische Funktionen h1,2

),(

),(

212222

211111

xxpxfx

xxpxfx

ε)(dt

d

ε)(dt

d

),(

),(

12222

21111

εhdt

d

εhdt

d

Dynamische System:

lässt sich überführen in:

betrachte Störung auf dem Grenzzyklus:

),(

),(

12222

21111

εhdt

d

εhdt

d

)(

)(

122122

211211

Hdt

d

Hdt

d

)(

)(

122122(2)

211211(1)

H

H

)()()( und

)(

122112

HHHmit

H

(2) – (1) ergibt Phasendifferenz ΔФ = Ф2 - Ф1

man erhält neue Koordinate ΔФ:

Fixpunkte ΔФ´ = 0:

)(

)(0

H

H

Annahme: identischen Oszillatoren und WW

)()H( und 012 H

ΔФ = 0 und ΔФ = π sind dann Fixpunkte.

Stabilitätsanalyse:

• System: ΔФ´=εH(ΔФ)

• Fixpunkt ΔФ*

• Stabil wenn H´(ΔФ*) < 0

Beispiel für H(Δφ) und H12(Δφ ) bzw. H21(Δφ)

Fixpunkt bei ΔФ = 0 stabil - gleichphasig

ΔФ = π instabil - antiphasig

Adler Gleichung

Zur Veranschaulichung:

wähle für H(ΔФ) = sin(ΔФ)

Adlergleichung:

)( H

)sin(

)(t

Adlergleichung – Lösungen für verschiedene ε

)sin(

)( H

„Washboard“ - Potential

KxVHd

dV

)( :Mech klass. gl. v,)(

)cos())(()())(()(0

dxxHV

Gleichung für Phasendifferenz

Rechte Seite als Potential:

V(ΔФ) ergibt sich mit H(ΔФ) = sin(ΔФ) als:

ΔФ

ΔФ

Untersuchung der Potentialgleichung:

)cos())(()( V

ΔФ

ΔФ

Fall 1: Änderung der Frequenzen

Fall 2: Änderung der Kopplungsstärke ε

Arnold Tongues

kleine Kopplungsstärken reichen schon

Weiterführendes:

• unterschiedliche Oszillatoren

• mehr als zwei: Ketten, Gitter, ….

• höhere Ordnung von Synchronisation

• Phasendifferenz muss nur beschränkt sein

• stochastische Effekte

• Kommunikation von Systemen

• Ordnung bringen in Systeme

• Verringerung der Komplexitität

• Wenn Eigenfrequenzen ungefähr stimmen, reicht schon

• Bringt Stabilität in die Systeme

Noch Fragen????