Einleitung.

Wir pflegen Zeit und Raum als die Existenzjormen der realen Welt, die Materie als ihre Substanz aufzufassen. Ein bestimmtes Materiestuck erfiillt in einem bestimmten Zeitmoment einen bestimmten Raumteil: in der daraus resultierenden Vorstellung der Bewegung gehen jene drei Grimdbegriffe die innigste Verbindung ein. Von Descartes wurde es als Programm der exakte'n Naturwissen~chaft aufgestellt, alles Geschehen von diesen Grundbegriffen aus zu konstruieren und damit auf Bewegung zu­ruckzufiihren. - Die tiefe Ratselhaftigkeit des Zeitbewujltseins, des zeit­lichen Ablaufs der Welt, des Werdens, ist vom menschlichen Geist, seit er zur Freiheit erwachte, immer empfunden worden; in ihr liegt eines jener letzten metaphysischen Probleme, urn dessen Klarung und Losung Philo sophie durch die ganze Breite ihrer Geschichte unablassig gerungen hat. Der Raum ward durch die Griechen zum Gegenstand einer Wissen­schaft von hOchster Klarheit und Sicherheit. An ihm hat sich in der antiKen Kultur die Idee der rein en Wissenschaft entfaltet, die Geometrie wurde zu einer der machtigsten Kundgebungen des jene Kultur beseelen­den Prinzips der Souveranitat des Geistes. An die Geometrie hat sich, als die kirchlich-autoritative Weltanschauung des Mittelalters in die Bruche ging und die Wogen des Skeptizismus alles Feste liinwegzureil3en drohten, der Wahrheitsglaube wie an einen Fels geklammert; und es konnte als das hochste Ideal aller Wissenschaft aufgestellt werden, »more geometrico« betrieben zu werden. Was endlich die Materie betrifft, so glaubten wir zu wissen, daJ3 aller Veranderung eine Substanz, eben die Materie, zu­grunde liegen musse, daB jedes Stuck der Materie als ein Quantum sich messen lasse und ihr Substanzcharakter seinen Ausdruck finde in dem Gesetz von der Erhaltung des in allen Veranderungen sich gleich blei­benden Materiequantums. Dieses unser bisheriges Wissen von Raum und Materie, durch die Philosophie vielfach als apriorische Erkenntnis von un­bedingter Allgemeinheit und Notwendigkeit in Anspruch genommen, ist heute vollstandig ins Wanken geraten. Nachdem die Physik unter den Randen Faradays und Maxwells der Materie als eine Realitat anderer Kategorie das Feld gegenubergestellt hatte, nachdem auf der andern Seite die Mathematik durch ihre logische Minierarbeit im letztvergangenen Jahr­hundert in aller Heimlichkeit das Vertrauen in die Evidenz der Eukli­dischen Geometrie untergraben hatte, kam in- unsern Tagen der revolu­tionare Sturm zum Ausbruch, der jene Vorstellungen liber Raum, Zeit

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1993H. Weyl, Raum · Zeit · Materie

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und Materie, welche bis dahin als die festesten Stiitzen der Naturwissen­schaft gegolten hatten, stiirzte; doch nur, urn Platz zu schaffen flir eine freiere und tiefere Ansicht- der Dinge. Diese Umwalzung wurde im we­sentlichen vollzogen durch die Gedankenarbeit eines einzigen Mannes, Albert Einstein. Reute scheint die Entwicklung, was die Grundideen betrifft, zu einem gewissen AbschluB gekommen zu sein j doch einerlei ob wir bereits vor einem neuen Definitivum stehen oder nicht - auf jeden Fall muE man sich mit dem Neuen, das da emporgekommen ist, auseinandersetzen. Auch gibt es kein Zuriick j die Entwicklung des wisseri­schaftlichen Gedankens mag iiber das jetzt Erreichte abermals hinaus­gehen, aber eine Riickkehr zu dem alten engen und starren Schema ist ausgeschlossen.

An den Problemen, die hier aufgeworfen werden, haben Philosophie, Mathematik und Physik ihren Anteil .. Uns solI aber vor allem die mathe­matisch-physikalische Seite der Fragen beschiiftigen; auf die philo­sophische werde ich nur ganz nebenher eingehen, aus dem einfachen Grunde, weil in dieser Richtung etwas irgendwie Endgiiltiges bisher nicht vorliegt und ich seIber auch nicht imstande bin, auf die hergehorigen erkenntnistheoretischen Fragen solche Antworten zu geben, die ich VOl

meinem Erkenntnisgewissen voll verantworten konnte. Die Ideen, welche es hier darzustellen gilt, sind nicht aus einer spekulativen Versenkung in die Grundlagen physikalischer Erkenntnis hervorgegangen, sondern haben. sich im Ausbau der lebendig vorwarts drangenden Wissenschaft, der die alte Schale zu eng wurde, an konkreten physikalischen Problemen entwickelt; eine Revision der Prinzipien wurde jedesmal erst nachtraglich vollzogen und nur so weit, als es gerade die neu aufgetauchten Ideen er­heischten. Wie die Dinge heute liegen, bleibt den Einzelwissenschaften nichts anderes iibrig, als in diesem Sinne dogmatisch zu verfahren, d .. h. in gutem Glauben den Weg zu gehen, auf den sie durch vemiinftige, im Rahmen ihrer eigentiimlichen Methoden emporkommende Motive ge­drangt werden. Die philosophische Klarung bleibt eine groBe Aufgabe von vollig anderer Art, als sie den Einzelwissenschaften zufallt j da sehe nun der Philosoph zu; mit den Kettengewichten der in jener Aufgabe liegenden Schwierigkeiten behiinge und behind ere man aber nicht das V orwartsschreiten der konkreten Gegenstandsgebieten zugewandten Wissen­schaften.

Gleichwohl beginne ich mit einigen philosophischen Erorterungen. Als Menscnen in der natiirlichen Einstellung, in der wir unser tagliches Leben fUhren, stehen uns in Akten der Wahmehmung leibhaftig wirkliche Korper­dinge gegeniiber. Wir schreiben ihnen reale Existenz zu und wir nehmen sie hin als prinzipiell so beschaffen, so gestaltet, so gefarbt usw., wie sie uns da in der Wahmehmung erscheinen (prinzipiell, d. h. vorbehalt­lich aller als moglich zugegebenen Sinnestauschungen, Spiegelungen, Traume, RalIuzinationen usf.). Sie sind umgeben und durchsetzt von einer ins Unbestimmte verschwimmenden Mannigfaltigkeit analoger Wirk-

Einleitung. 3

lichkeiten, die sich aIle zusammenftigen zu einer einzigen, immerdar vor­handenen raumlichen Welt, zu der ich seIber mit meinem Einzelleib gehore. Es handle sich hier nur urn diese korperlichen Dinge, nicht urn all die Gegenstandlichkeiten andrer Art, die wir als naturliche Men­schen sonst noch uns gegenUber haben: Lebewesen, Personen, Gebrauchs­gegenstande, Werte, solche Wesenheiten wie Staat, Recht, Sprache u. dgl. W ohl bei jedem theoretisch gerichteten Menschen beginnt die philo­sophische Selbstbesinnung damit, daJ3 er irre wird an dieser Weltanschau­ung des naiven Realismus, auf die ich da eben kurz hingewiesen habe. Man sieht ein, dalil eine solche Qualitat wie etwa »grii-n« nur als Kor­relat der Grtin-Empfindung an dem in der Wahmehmung sich gebenden Gegenstande Existenz besitzt, dalil es aber sinnlos ist, sie als eine Be­schaffenheit an sich daseienden Dingen an sich anzuhangen. Diese Er­kenntnis von der Subjektivitat der Sinnesqualitaten tritt bei Galilei (wie bei Descartes und Hobbes) in engster Verbindung auf mit dem Grund­satz der mathematisch-konstruktiven Methode unserer heutigm qualitats­losen Physik, nach der z. B. die Farben »in Wirklichkeit. Atherschwin­gungen, also Bewegungen sind. Erst Kant volizog innerhalb der Philo­sophie mit volliger Klarheit den weiteren Schritt zu der Einsicht, daJ3 nicht nur die sinnlichen Qualitaten, sondem auch der Raum und die raumlicheri Merkmale keine objektive Bedeutung im absoluten Sinne be­sitzen, dalil auch der Raum nur eine Form unserer Anschauung ist. Inner­halb der Physik ist es vielleicht erst durch die Relativitatstheorie ganz deutlich geworden, daJ3 von dem uns in der Anschauung gegebenen Wesen von Raum und Zeit in die mathematisch konstruierte physikalische Welt nichts eingeht. Die Farben sind also .in Wirklichkeit. nicht ein­mal Atherschwingungen, sondem mathematische Funktionsverlaufe, wobei in den Funktionen, den drei Raum- und der einen Zeitdimension ent­sprechend, vier unabhangige Argumente auftreten.

In prinzipieller Allgemeinheit: die wirkliche Welt, jedes ihrer Be­standstticke und aIle Bestimmungen an ihnen, sind und konnen nur ge­geben sein als intentionale Objekte von Bewuliltseinsakten. Das schlecht­hin Gegebene sind die BewuJiltseinserlebnisse, die ich habe - so wie ich sie habe. Sie bestehen nun freilich keineswegs, wie die Positivisten vielfach behaupten, aus einem bloJ3en Stoff von Empfindungen, sondem in einer Wahmehmung z. B. steht in der Tat leibhaft flir mich da ein Gegenstand, auf welchen jenes Erlebnis in einer jedermann bekannten, aber nicht naher beschreibbaren, vollig eigentumlichen Weise bezogen ist, die mit Brentano durch den Ausdruck »intentionales Objekt« be­zeichnet sein soIl. Indem ich wahmehme, sehe ich etwa diesen Stuhl, ich bin durchaus auf ihn gerichtet. Ich .habe« die Wahrnehmung, aber erst wenn ich diese Wahmehmung seIber wieder,- wozu ich in einem freien Akt der Reflexion imstande bin, zum intentionalen Objekt einer neuen, inneren Wahmehmung mache, .weiji« ich von ihr (und nicht bloB von dem Stuhl) etwas und stelle dies fest, was ich da eben gesagt

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habe. In diesem zweiten Akt ist das intentionale Objekt ein immanentes, namlieh wie der Akt seIber ein reelles Bestandstiick meines Erlebnis­stromes; in dem primaren Wahrnehmungsakt aber ist das Objekt trans­zendent, d. h. zwar gegeben in einem Bewu6tseinserlebnis, aber nicht reelles Bestandstiick. Das Immanente ist absolut, d. h. es ist genau das, als was ieh es da habe, und dieses sein Wesen kann ich mir eventuell in Akten der Refiexion zur Gegebenheit bringen. Hingegen haben die transzendenten Gegenstande nur ein phiitlomenales Sein, sie sind Erschei­nendes - in mannigfaltigen Erscheinungsweisen und »Abschattungen e. Ein und dasselbe Blatt sieht so oder so groB aus, erscheint so oder so gefarbt, je nach meiner Stellung und der Beleuchtung; keine dieser Er­scheinungsweisen kann fiir sich das Recht beanspruchen, das Blatt so zu geben, wie es »an siehe ist. - In jeder Wahrnehmung liegt nun weiter unzweifelhaft die Thesis der Wirklichkeit des in ihr erscheinenden Ob­jekts, und zwar als Teil und inhaltliche Fortbestimmung der General­thesis einer wirklichen Welt. Aber indem wir von der natiirlichen zur philosophischen Einstellung iibergehen, machen wir, iiber die Wahrneh­mung refiektierend, diese Thesis sozusagen nicht mehr mit; wir kon­statieren kiihl, da6 in ihr etwas als wirklich »vernleinte ist. Der Sinn und das Recht dieser Setzung wird uns jetzt gerade zum Problem, das von dem Bewu6tseins-Gegebenen aus seine Losung finden muB. Ich meine also keineswegs, daB die Auffassung des Weltgeschehens als eines vom Ich produzierten BewuBtseins - Spiels gegeniiber dem naiven Realismus die hohere Wahrheit enthalte; im Gegenteil. Nur darum han­delt es sieh, daB man einsehe, das BewuBtseins-Gegebene ist der Aus­gangspunkt, in den wir uns stellen miissen, urn Sinn und Recht der Wirklichkeitssetzung auf eine absolute Weise zu begreifen. Analog steht es auf logischem Gebiet. Ein Urteil, das ich faIle, behauptet einen Sachverhalt; es setzt diesen Sachverhalt als wahr. Aueh hier entsteht die philosophische Frage nach dem Sinn und Recht dieser Wahrheits­thesis; auch hier leugne ich nieht die Idee der objektiven Wahrheit, aber sie wird zum Prqblem, das ich von dem absolut Gegebenen aus zu begreifen habe. - Das »reine BeWlilltsein« ist der Sitz des philosophi­schen a priori. Hingegen muB und wird die philosophische Klarung der Wirklichkeitsthesis ergeben, da6 keiner jener erfahrenden Akte der Wahrnehmung, Erinnerung usw., in denen ieh Wirklichkeit erfasse, ein letztes . Recht dazu gibt, dem wahrgenommenen Gegenstande Existenz und die wahrgenommene Beschaffenheit zuzuschreiben; dieses Recht kann von einem auf andere Wahrnehmungen usw. sich stiitzenden immer wieder iiberwogen werden. Es liegt im Wesen eines wirklichen Dinges, ein Un­erschopfliches zu sein an Inhalt, dem wir uns nur durch immer neue, zum Teil sich widersprechende Erfahrungen und deren Abgleieh un­begrenzt nahern konnen. In diesem Sinne ist das wirkliche Ding eine Grenzidee. Darauf beruht der empirische Charakter aller Wirklichkeits­erkenntnis 1).

Einleitung. 5

Die Urform des BewuBtseinstromes ist die Zeit. Es ist eine Tat­sache, sie mag so dunkel und ratselhaft fUr die Vernunft sein wie sie will, aber sie Hi6t sich nicht wegleugnen und wir mtissen sie hinnehmen, daB die Bewu6tseinsinhalte sich nicht geben als seiend schlechthin (wie etwa Begriffe, Zahlen u. dgl.) , sondern als jetzt-seiend, die Form des dauernden Jetzt erfUllend mit einem wechselnden Gehalt; so daB es nicht heiBt: dies ist, sondern: dies ist jetzt, doch jetzt nicht mehr. Rei6en wir uns in der Reflexion heraus aus diesem Strom und stellen uns seinen Gehalt als ein Objekt gegentiber, so wird er uns zu einem zeitlicllen Ablauj, dessen einzelne Stadien in der Beziehung des jriiher und spiiter zueinander stehen.

Wie die Zeit die Form des BewuBtseinstromes, so, darf man mit Fug und Recht behaupten, ist der Rau11l die Form der korperlichen Wirklichkeit. Alle Momente korperlicher Dinge, wie sie in den Akten auBerer Wahrnehmung gegeben sind, Farbe z. B., haben das Auseinander der raumlichen Ausbreitung an sich. Aber erst indem sich aus allen unseren Erfahrungen eine einzige zusammenhangende reale Welt aufbaut, wird die in jeder Wahrnehmung gegebene raumliche Ausbreitung zu einem Teil des einen und selben Raumes, der alle Dinge umspannt. Dieser Raum ist Form der AuBenwelt; das will sagen: jedes korperliche Ding kann, ohne irgendwie inhaltlich ein anderes zu sein als es ist, ebenso­gut an jeder anderen RaumsteIle sein als gerade an dieser. Damit ist zugleich die Homogenitiit des Raumes gegeben, und hier liegt die eigent­liche Wurzel des Kongruenzbegriffs.

Ware es nun so, daB die Welt des Bewu6tseins und der transzen­denten Wirklichkeit vollig voneinander geschieden sind oder vielmehr nur das stille Hinblicken der Wahrnehmung die Brticke zwischen ihnen spannt, so bliebe es wohl dabei, wie ich es eben dargestellt habe: auf der einen Seite das in der Form des dauernden Jetzt sich wandelnde, aber raumlose BewuBtsein, auf der andern die raumlich ausgebreitete, aber zeitlose Wirklichkeit, von der jenes nur ein wechselndes Phanomen enthalt. Ursprtinglicher aber als aile Wahrnehmung ist in uns das Er­leben von Streben und Widerstand, des Tuns und Leidens *). Ftir einen in nattirlicher Aktivitat lebenden Menschen dient die Wahrnehmung vor all em dazu, ihm den bestimmten Angriffspunkt seiner gewollten Tat und den Sitz ihrer Widerstande in bildhafter Klarheit vor das BewuBtsein zu rticken. 1m Erleben des Tuns und Erleidens werde ich selbst mir zu einem einzelnen Individuum von psychischer Realitat, gekntipft an einen Leib, der unter den korperlichen Dingen der AuBenwelt seine Stelle im Raum hat und durch den hindurch ich mit andern Individuen meines­gleichen in Verbindung stehe; wird das BewuBtsein, ohne doch seine Immanenz preiszugeben, zu einem Stuck def. Wirklichkeit, zu diesem be-

*) Unsere Grammatik hat nur die Verbformen des activum und passivumj es gibt keine zum Ausdruck eines Geschehens, geschweige denn eines SachverhaIts.

6 Einleitung

sonderen Mensehen, der ieh bin, der geboren ward und sterben wird. Andererseits spannt aber dadureh aueh das BewuBtsein seine Form, die Zeit, tiber die Wirkliehkeit aus: in ihr seIber ist darum Veranderung, Bewegung, Ablauf, Werden und Vergehen; und wie mein Wille durch meinen Leib hindureh als bewegende Tat in die reale Welt wirkend hin­tibergreift, so ist sie seIber aueh wirkende (wie ihr deutscher Name • Wirk­lichkeitc besagt), ihre Erscheinungen stehen in einem durehgangigen Kausalzusammenhang untereinander. In der Tat zeigt sieh in der Physik, daB kosmische Zeit und Kausalitat nicht voneinander zu trennen sind. Die neue Weise, in der die Relativitatstheorie das Problem der Verkopp­lung von Raum und Zeit in der Wirklichkeit lOst, fallt zusammen mit einer neuen Einsieht in den Wirkungszusammenhang der Welt.

Der Gang unserer Betraehtungen ist damit klar vorgezeichnet. Was tiber die Zeit fur sich zu sagen ist und tiber ihre ~athematiseh-begriff­liche Erfassung, moge noch in dieser Einleitung Platz finden. Weit aus­ftihrlieher mtissen wir dann vom Raume handeln. Das I. Kapitel ist dem Euklidischen Raume gewidmet und seiner mathematisehen Konstruktion. 1m II. Kapitel werden die Ideen entwickelt, welche tiber das Euklidische Schema hinausdrangen und im allgemeinen Begri.f! des metrischen Konti­nuums (Riemannsehen Raumbegriff) ihren AbsehluB finden. Darauf wird in eihem III. Kapitel das eben erwahnte Problem der Verkopplung von Raum und Zeit in der Welt zu erortern sein; von hier ab spielen die Erkenntnisse der Meehanik und Physikeine wiehtige Rolle, weil dieses Problem seinem Wesen nach, wie bereits betont, an die Auffassung der Welt als einer wirkenden gekntipft ist. Die Syntbese der im II. und III. Kapitel enthaltenen Gedanken wird uns dann in dem abschlieBenden Kapitel IV zu Einsteins allgemeiner Relativitatstheorie ftibren, in der in physikalischer Hinsieht eine neue Theorie der Gravitation enthalten ist, und zu einer Erweiterung derselben, welche neb en der Gravitation die elektromagnetischen Erscheinungen mitumfaBt. Von den Umwalzungen, die unsere V orstellungen von Raum und Zeit darin erfahren, wird der Begriff der Materie sozusagen zwangslaufig mitergriffen werden; so daB, was dartiber zu sagen ist, an der gehorigen Stelle im III. und IV. Kapitel zur Sprache kommen solI. -

Urn an die Zeit matbematische Begriffe heranbringen zu konnen, mtissen wir von der ideellen Mogliehkeit ausgehen, in der Zeit mit beliebiger Genauigkeit ein punktuelles Jetzt zu setzen, einen Zeitpunkt zu fixieren. Von je zwei versehiedenen Zeitpunkten wird dann immer der eine der frUhere, der andere der spatere sein. Von dieser ,.Ordnungsbeziehungc gilt der Grundsatz: 1st A frtiher als B und B frtiber als C, so ist A friiher als C. Je zwei Zeitpunkte AB, von denen A der friihere ist, be­grenzen eine Zeitstrecke; in sie hinein fallt jeder Punkt, der spiiter als A, frtiber als B ist. DaB die Zeit Form des Erlebnisstromes ist, kommt in der Idee der Gleichheit zum· Ausdruek: der Erlebnisgehalt, welcher <l;ie Zeitstrecke A B erflillt, kann an sieh, ohne irgendwie ein anderer zu sein

Einleitung. 7

als er ist, in irgend eine andere Zeit fallen; die Zeitstrecke, die er dort erfiillen wlirde, ist der Strecke A B gleich. In der Physik ergibt sich daraus fUr die Gleichheit von Zeitstrecken der objektiven Zeit, unter Hinzuziehung des Kausalitatsprinzips, das folgende objektive Kriterium. Kehrt ein vollstandig isoliertes (keine Einwirkung von auBen erfahrendes) physikalisches System einmal genau zu demselben Zustand zurlick, in dem es sich bereits in einem friiheren Moment befand, so wiederholt sich von da ab die gleiche zeitliche Zustandsfolge, und der Vorgang ist ein zyklischer. Ein solches System nennen wir allgemein eine Uhr. Jede Periode hat die gleiche Zeitdauer.

Auf diese beiden Relationen, frliher-spater und gleich, stlitzt sich die mathematiscbe Erfassung der Zeit durch das Messen. Wir versuchen, das Wesen des Messens kurz anzudeuten. Die Zeit ist homogen, d. h. ein einzelner Zeitpunkt kann nur durch individuelle Aufweisung gegeben werden, es gibt keine im allgemeinen Wesen der Zeit grlindende Eigen­schaft, welche einem Zeitpunkt zukame, einem andern aber nicht; insbe­sondere: jede auf Grund der erwahnten beiden Urrelationen rein logisch zu definierende Eigenschaft kommt entweder allen Zeitpunkten oder keinem zu. Ebenso steht es noch mit den Zeitstrecken oder Punktepaaren: es ist ausgeschlossen, da.13 eine auf Grund jener beiden Urrelationen definierte Eigenscbaft nicht fUr jedes Punktepaar AB (A frliher als B) erfiillt ist, wenn sie flir ein solcbes besteht. Anders wird die Sache aber, wenn wir zu drei Zeitpunkten libergehen. Sind irgend zwei Zeitpunkte OE, von denen 0 der frliqere ist, gegeben, so ist es moglich, weitere Zeitpunkte P relativ zu der Einheitsstrecke OE auf begriffliche Weise festzulegen. Dies geschieht dadurch, daB rein logisch aus den Urrelationen eine Beziehung t

zwischen drei Punkten konstruiert wird, fUr welche folgendes gilt: zu je zwei Punkten 0 und E, von denen 0 der frlihere ist, gibt es einen und nur einen Punkt P, so daB zwiscben 0, E und P die Beziehung t statthat, in Zeichen:

OP= t· OE. (Z. B. bedeutet OP = 2' OE die Relation OE = EP.) Die Zahl ist nicbts anderes als ein zusammengedrangtes Symbol fUr eine derartige Relation t und ihre logische Definition auf Grund der Urbeziehungen. P ist der »Zeitpunkt mit der Abszisse t im Koordinatensystem (relativ zu der Einheitsstrecke) OEc. Zwei verschiedene Zahlen t, t* fUhren not­wen dig im selben Koordinatensystem immer zu zwei verschiedenen Punkten; denn sonst kame wegen der Homogenitat des Kontinuums aller Zeit­strecken die durcb

t·AB=t*·AB erklarte Eigenschaft, wie der Zeitstrecke A B = 0 E, so j eder Zeitstrecke zu; und die Gleichungen

AC=t·AB und AC=t*·AB drlickten beide dieselbe Relation aus, d. h. es ware t = t*. - Die Zahlen geben uns die Moglichkeit, relativ zu einer Einheitsstrecke OE aus dem Zeitkontinuum einzelne Zeitpunkte auf begriffliche und daher objektive

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und vollig exakte Weise herauszulosen. Aber diese Objektivierung durch Ausschaltung des Ich und seines unmittelbaren Lebens der Anschauung gelingt nicht restlos, das nur durch eine individueile Handlung (und nur approximativ) aufzuweisende Koordinatensystem bleibt als das notwendige Residuum dieser Ich-Vernichtung.

Durch diese prinzipieile Formulierung des Messens, meine ich, wird es begreiflich,. wie die Mathematik zu ihrer Rolle in den exakten Natur­wissenschaften kommt. Fiir das Messen wesentlich ist der Unterschied zwischen dem »Geben« eines Gegenstandes durch indiz!iduelle Aufweisung einerseits, auf begrifflichem Wege anderseits. Das letzte ist immer nur relativ zu Gegenstanden moglich, die unmittelbar aufgewiesen werden miissen. Deshalb ist mit dem Messen immer eine Relativitiitstheorie ver­kniipft. Ihr Problem stellt sich allgemein fUr ein beliebiges Gegenstands­gebiet so: I} Was muB aufgewiesen werden, urn relativ dazu auf begriff­lichem Wege einen einzelnen, bis zu jedem beliebigen Grad der Genauig­keit willkiirlichen Gegenstand P aus dem in Frage stehenden, kontinuierlich ausgebreiteten Gegenstandsgebiet herauslOsen zu konnen? Das Aufzuwei­sende heiBt das Koordinatensystem, die begriffliche Definition die Koordinate (oder Abszisse) von P in jenem Koordinatensystem. Zwei verschiedene Koordinatensysteme sind objektiv vollig gleichwertig, es -gibt keine begriff­lich zu erfassende Eigenschaft, welche dem einen zukame, dem andern nicht; denn dann ware zu viel unmittelbar ·aufgewiesen. 2} Welcher gesetzmaBige Zusammenhang findet zwischen den Koordinaten eines und desselben willkiir­lichen Gegenstandes P in zwei verschiedenen Koordinatensystemen statt?

Hier im Gebiet der Zeitpunkte beantwortet sich die erste Frage dahin: das Koordinatensystem besteht aus einer Zeitstrecke 0 E (Anfangspunkt und MaBeinheit); die zweite abet durch die Transformationsformel

t = al'+ b (a>o),

in welcher a, b Konstante sind und I, I' die Koordinaten desselben will­kiirlichen Punktes P in eirrem ersten, • ungestrichenen«, und einem zweiten, • gestrichenen« Koordinatensystem. Dabei konnen als charakteristische Zahlen a, b der Transformation fUr aIle moglichen Paare von Koordinaten­systemen aile moglichen reellen Zahlen auftreten, mit der Beschrankung, dall a stets positiv ist. Die Gesamtheit dieser Transformationen bildet, wie das irn Wesen der Sache liegt, eine Gruppe; d. h.

I) die »Identitat« I = t' ist in ihr enthalten; 2) 'mit jeder Transformation tritt ihre Inverse in der Gruppe auf,

d. h. diejenige, welche die erstere gerade wieder riickgangig macht. Die Inverse der Transformation (a, b):

t = at' + b

'1st - --: . (I b) a ' a

Eiuleitung. 9

3) mit zwei Transfonnationen ist in der Gruppe auch immer diejenige enthalten, welche durch Hintereinanderausfiihrung jener beiden Trans­fonnationen hervorgeht. In der Tat: durch Hintereinanderausfiihrung der beiden Transfonnationen

t= at'+b, t' = a't" + b' entsteht

t = a* t" + b* , wo

a* = a . a' , b* = (ab') + b

ist; und wenn a und a' positiv sind, ist auch ihr Produkt positiv. Die in Kap. III und IV behandelte Relativitatstheorie wirft das Re­

lativitiitsproblem auf nicht bloB fiiI die Zeitpunkte, sondern fiiI die ge­samte physische Welt. Es stellt sich aber heraus, daB es gelOst ist, sobald es einmal ftir die Formen dieser Welt, Raum und Zeit, seine Losung gefunden hat: auf Grund eines Koordinatensystems fiiI Raum und Zeit liiBt sich auch das physikalisch Reale in der Welt nach allen seinen Be­stimmungen begrifflich, durch Zahlen, festlegen. -

AIle Anfange sind dunkel. Gerade dem Mathematiker, der in seiner aus­gebildeten Wissenschaft in strenger und fonnaler Weise mit seinen Begriffen operiert, tut es not, von Zeit zu Zeit daran. erinnert zu werden, daB die Ursprtinge in dunklere Tiefen zurtickweisen, als er mit seinen Methoden zu erfassen vermag. Jenseits aHes Einzelwissens bleibt die Aufgabe, zu begreifen. Trotz des entmutigenden Hin- und- Herschwankens der Philo­sophie von System zu System konnen wir nicht darauf verzichten, wenn sich nicht Erkenntnis in ein sinnloses Chaos verwandeln solI.