Peter H. Richter

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Quasikristalle: Theoretische Physik für Studierende des Lehramts

Peter H. Richter

12. Januar 2012

Inauguration der Wilhelm und Else Heraeus-Seniorprofessur für die Weiterentwicklung der Lehrerausbildung im Fachbereich Physik

Peter H. Richter

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Laue-Beugungsbilder

Kristall

- beobachten und beschreiben- fragen, diskutieren, weiterfragen, Interesse wecken- elementare Erklärungen versuchen, Analogien und Verallgemeinerungen - verstehen: gewöhnen und einordnen- tieferes Verständnis: Methoden erarbeiten und üben

Quasikristall

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Bausteine 1

72o

36o

1

1

2D

je 10 dicke und 10 flache Rhomboeder Diagonalenverhältnis g = 1/G

3D

...03618.02

15

g

Gg

g 1:

1

1

1

Keplers Triakontaeder (ein Catalanischer Körper)

G

g1

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Wellen, BeugungFourier-Transformation

Goldener Schnitt, KunstZahlentheorie

GitterstrukturenVektoren, Projektoren

Bausteine

Platonische u.a. Körper

Symmetrie, SymmetriebrechungGruppentheorie

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Der goldene Schnitt g

...],1,1,1,0[

...11

1

11

11

10

1

1

g

g

...,,,:

...1

11

210

32

1

0 www

ww

wwW

Kettenbruchdarstellung einer Zahl W

n

nnn q

pwwwW ...,,, 10

Kettenbruchapproximationen

...,8

5,5

3,3

2,2

1,1

1,1

0

1n

nn F

Fg

Fibonacci-Reihe, Farey-Summe

21

5/1

n

n Fgg g und G sind die irrationalsten Zahlen!!!

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Der goldene Schnitt in Natur und Kunst

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Bausteine 2

Platonische Körper

Mysterium Cosmographicum Geodesic Dome

Archimedische

Körper

Catalanische

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Diskrete Symmetriegruppen

• Allgemeine Eigenschaften – Erzeugung, Zerlegung, Faktorgruppe, Äquivalenzklassen

– Permutationsgruppen

– Gruppentafeln • Gitter-Translationen: abelsche Gruppe• Drehungen: 2-, 3-, 4-, 5-, 6-zählige Achsen und Spiegelungen• Beispiele:

– S3 gleichseitiges Dreieck (mit Spiegelungen)

– A4 Tetraeder (ohne Spiegelungen)

– Würfel: 24 Drehungen

– 7 Punktgruppen der Bravaisgitter

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Symmetrien von Kristallen und Quasikristallen

• Bravais-Gitter – 3D-Pflasterung mit nur

einem Baustein

– 2-, 3-, 4-, 6-zählige Achsen

– 3fach-periodische Anordnung der Elementarzelle

– Gittertranslationssymmetrie

– Orientierungsordnung

• Quasikristall-Gitter – 3D-Pflasterung mit zwei

Bausteinen

– auch 5-zählige Achsen

– aperiodische Anordnung der Elementarzellen

– keine Translationssymmetrie

– Orientierungsordnung

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• Vektoren und ihre Darstellung in einer Basis – Dirac-Notation, bra- und ket-Vektoren bzw.

– Skalarprodukt und Operatorprodukt bzw.

• Operatoren und ihre Darstellung als Matrix– Projektoren

– Drehungen

– symmetrische Operatoren

– Eigenwerte, Eigenvektoren

Gittervektoren und Operatoren

a b

ba ba

ii

i eeP ˆ PP 2

ii

i eeD ˆ TDD 1

jijji

i eSeS ,

ˆ TSS

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Projektion aus höheren Dimensionen 1

2D →1D

aperiodisch periodisch

3D →2D

aperiodisch periodisch in x, aperiodisch in y

periodisch in beiden Richtungen

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Projektion aus höheren Dimensionen 2

1111

1111

1111

1111

4

14P

3111

1311

1131

1113

4

11 44 PQ

4D3D1D

3

3

3

3

3

5

15

gGGg

ggGG

GggG

GGgg

gGGg

Q

2

2

2

2

2

5

15

gGGg

ggGG

GggG

GGgg

gGGg

P

5D3D2D

rhombisches Dodekaeder aus 4 gleichen Rhomboedern

rhombisches Triakontaeder aus 10 x 2 Rhomboedern

Penrose-Zelle aus 5 x 2 Rhomben

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Wellen, BeugungFourier-Transformation

Goldener Schnitt, KunstZahlentheorie

GitterstrukturenVektoren, Projektoren

Bausteine

Platonische u.a. Körper

Symmetrie, SymmetriebrechungGruppentheorie

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Zusammenfassung

• Wir gehen aus von einfachen Fragen, hier: was hat es mit den Quasikristallen auf sich? wieso ein Nobelpreis dafür?

• Wir ordnen sie ein in einen größeren Kontext, der durch das Thema seine Kohärenz erhält.

• Wir folgen nicht einer Fachsystematik, sondern erlauben uns, vom geraden Weg abzuweichen und hier und da ein Blümchen zu pflücken. Nach Möglichkeit arbeiten wir mit allen Sinnen.

• Wir lernen Methoden nach Bedarf und gehen in die Tiefe, wo es sich auch für andere Zwecke lohnt. Hier setzt der Wille zu engagierter Mitarbeit ein Vertrauen in die Kompetenz des Lehrers voraus.

• Wir gehen bis an Grenzen unserer individuellen Fähigkeiten, gelegentlich vielleicht auch des verfügbaren Wissens (denn die Fragen der Schüler und Studenten gehen gerne darüber hinaus).

• Ich glaube, dass man analog auch in der Schule vorgehen kann, wenn auch mit anderem Tempo und auf anderem Niveau.