Peter H. Richter

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Ordnung und Chaos im Sonnensystem

Peter H. Richter

22. Februar 2010

Vortrag im Deutschen Zentrum für Luft- und Raumfahrt Bremen

Peter H. Richter

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Keplers Ordnung

Ellipsen

Mysterium Cosmographicum 1597

Johannes Kepler 1571-1630

1990-2005

Astronomia Nova 1609

Harmonices Mundi 1619

Peter H. Richter

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• Geschichte

• Deterministisches Chaos

• Das eingeschränkte Dreikörperproblem

• Ist das Sonnensystem mechanisch stabil?

• Zusammenfassung

Meister aus 300 Jahren

Strömgren Chirikov

I. Newton C.G.J. JacobiP.S. de LaplaceJ. de LagrangeL. Euler

H. Poincaré G.D. Birkhoff E. Strömgren A.N. Kolmogorov V.I. Arnold J. Moser

Oskar II

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Preisfrage von König Oskar II. 1888

Für ein gegebenes System von n sich untereinander anziehenden Teilchen, die den Newtonschen Bewegungsgesetzen folgen, soll unter der Annahme, dass es zu keinem Zweierstoß kommt, eine allgemeine Lösung gefunden werden in Form einer Potenzreihe in den Zeit und Raumkoordinaten, die für alle Werte der Zeit und Raum Koordinaten gleichförmig konvergiert.

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Strömgrens periodische Bahnen 1925

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Deterministisches Chaos

• Kolmogorov-Arnold-Moser: hinreichend irrationale Tori überleben

sin,2,, Krrrr

Standard-Abbildung

• Standard-Abbildung

• Poincaré-Birkhoff: rationale Tori → Paare von Resonanzen, stabile elliptische Orbits und instabile hyperbolische

20 q

c

q

pW

rW 0

B. V. Chirikov

rrrr ,2,,

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Die zahlentheoretische Bedingung

...,,,:

...1

11

210

32

1

0 www

ww

wwW

n

nnn q

pwwwW ...,,, 10

Kettenbruchentwicklung gibt die besten rationalen Näherungen

21 nnn

n

qw

c

q

pW

Beste Approximation bis zu Nennern qn

J. Liouville

Geht es auch umgekehrt?

qpq

c

q

pW ,

C.L.Siegel

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Die irrationalsten Zahlen

...,8

5,5

3,3

2,2

1,1

1,1

0

1n

nn F

Fg

Goldener Schnitt g = 1/(1+g):

Alle noblen Zahlen w = [w0,…,wn,1,1,1,…] haben dieselben , c'.

...,1,1,0g

Quadratische Irrationalzahlen: periodische Kettenbrüche, = 2.

Algebraische Zahlen vom Grad k haben = k.

21

5/1

n

n Fggkleinstes , größtes c'

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Das eingeschränkte Dreikörperproblem

• Zwei Hauptkörper (Sonne und Jupiter) auf Kreisbahnen• Ein „infinitesimal kleiner“ dritter Körper in derselben Ebene• Zwei Bezugssysteme: ein ruhendes und ein mitrotierendes

Bezugssysteme

• „Energie“ im mitrotierenden System E = E0 – · L0 (Jacobi-Konstante)

• Windungszahl im Kepler-Grenzfall W = 1 – T/Tj = 1 – a3/2

• „Störung“: Jacobi-Potential

Poincaré-Schnitte

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Jacobi-Potential

0.000 03 0.000 003

0.5 0.1 0.01

0.000 03

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Stabile und instabile Bahnen

E = -1.5195

= 0.001

3:1 3:25:32:15:2

Demo-Programm

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Trojanerstabilität bei zunehmendem E = -1.5 + (1 - ) / 2

= 0.001

= 0.02429

= 0.00827

= 0.03 = 0.03852 = 0.04

= 0.02 = 0.01352 = 0.010913

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Verteilung der Asteroiden

Hilda-Gruppe 3:2

Kirkwood-Lücken 4:1,3:1,5:2,7:3,2:1

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Gemeinsame Entfaltung von Ordnung und Chaos

• Wachsendes E (und wachsendes verstärken Chaos und Ordnung

• Chaos bedeutet: Stoß mit Jupiter oder Ejektion, jedenfalls Putzen• Ordnung bedeutet: Nähe zu einer stabilen Resonanz oder kontrolliert

„irrationales“ Verhalten• Keplers harmonische Welt erscheint nun als Resultat einer Evolution

E = -1.5195 E = -1.4995

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Poincaré-Schnitte in Polarkoordinaten

• zeigen schön die Abhängigkeit von Jupiters Masse und der Energie• zeigen, welches Schicksal chaotische Bahnen früher oder später

erleiden: Absturz oder Auswurf

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Chaos schafft Ordnung: Keplers Harmonien?

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Das ganze Sonnensystem incl. Dissipation

J. Wisdom J. Laskar

alle 10 Körper

Gezeitenkräfte und –reibung

Eigenrotation der Planeten

Monde

Stabile Resonanzen

Resonanz-Katastrophen

Fehler verzehnfachen sich etwa alle 10 Millionen Jahre

Gezeitenreibung führte Merkur und die meisten Monde in stabile Resonanzen

Viel kleinskaliges Chaos im Verhalten von Exzentrizitäten und Bahnneigungen

Letzter Hit: parametrische Resonanz zwischen Jupiter und Merkur

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Laskar & Gastineau: mögliche Katastrophen

201 Merkur-Orbits 5 Mrd. Jahre lang

(ohne Mond und relativistische Effekte):

34 Kollisionen mit Sonne, 86 mit Venus

2501 Merkur-Orbits 5 Mrd. Jahre lang

(mit Mond und relativistischen Effekten):

3 Kollisionen mit Sonne, 1 mit Venus

1 Orbit mit 201 Variationen induziert nach 3.3 Mrd Jahren 33 Kollisionen Sonne-Merkur, 48 Sonne-Mars, 43 Merkur-Venus, je 1 Merkur-Erde/Mars, 18 Venus-Erde, 23 Venus-Mars, 29 Erde-Mars

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Zusammenfassung

• Die mechanische Stabilität des Sonnensystems bleibt ungeklärt• Die Blätterung des hochdimensionalen Phasenraums in invariante

Mengen, die unter dem Einfluss von Dissipation langsam evolvieren, ist ein hochkomplexes Gewebe regulärer und chaotischer Teile

• Das Studium des eingeschränkten Dreikörperproblems mit nur 2 Freiheitsgraden gibt allenfalls eine Ahnung von dieser Komplexität

• Es erlaubt immerhin das Studium interessanter Teilprobleme (Asteroidenverteilung, gebundene Rotation von Monden, parametrische Resonanz)

• Extrasolare Planeten sind das nächste Anwendungsfeld

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Stabile und instabile Orbits

Demo-Programm

E = -1.5195 E = -1.4995