Multiplikative Gruppen algebraischer Funktionen Von BRUNO SCHOENEBERG in Hamburg

Herrn E. ARTIN zum 50. Geburtstag gewidmet

Die Teilwerte der p-Funktion fur den Teilungsgrad N sind be­kanntlich ganze Modulformen der Dimension -2 und der Stufe N. Integriert man solche Formen nach T, so erhalt man Integrale 3.Gat­tun~, deren logarithmische Verzweigungen ausschlieBlich in den ratio­nalen Spitzen des Fundamentalbereichs der Hauptkongruenzgruppe r(N) liegen. Wie E. HECKEl) gezeigt hat, gibt es in der linearen Schar der p-Teilwerte der Stufe N genau (J(N) -llinearunabhangige Formen, wo (J (N) die Anzahl der rationalen Spitzen des Fundamentalbereichs ist. Ferner gilt der fundament ale Satz, daB die lineare Schar ihrer Integrale identisch ist mit den linearen Verbindungen der Logarithmen derjenigen Funktionen von r(N), die ihre Nullstellen und Pole nur in den Spitzen haben. Das bedeutet eine besondere Eigenschaft der Punktgruppe, die aus den (J (N) Spitzen des Fundamentalbereichs besteht.

In der vorliegenden Note solI dies Ergebnis in einen allgemeinen Zusammenhang gestellt werden. Es ergeben sich dann einige Folge­rungen fur die r(N). Gewisse auch bei HECKE auftretende Linear­kombinationen der p-Teilwerte, die nur in zwei Spitzen ein von 0 verschiedenes Residuum haben, sind namlich selbst schon bis auf einen konstanten Faktor Logarithmen von Korperfunktionen. Diese Funk­tionen, die gemaB ihrer Herkunft in einer Spitze eine Nullstelle, in einer andern einen Pol besitzen, sonst regular und von Null verschieden sind, erzeugen mit der absoluten Invarianten j(r) den zu r(N) ge­horigen Korper a.Igebraischer Funktionen. Damit wird ein Ergebnis, das HECKE fur irgendeine Kongruenzgruppe r] (N) des Geschlechts Null gewonnen hat, auf Gruppen beliebigen Geschlechts ubertragen. Es folgt dann noch auf Grund des ABELschen Theorems eine Aussage uber die Werte der Integrale 1. Gattung in den Spitzen.

1. l'1' l'2' ... , \,,, seien (J verschiedene Primdivisoren eines algebraische

" a

Gebildes. Die Funktionen von der Form II\'ii (Vi ganz rational, '2 Vi = 0) i=1 i-I

1) E. HECKE, Theorie der EISENSTEINSchen Reihen hoherer Stufe und ihre An­wendung auf Funktionentheorie und Arithmetik, Abh. a. d. Math. Sem. d. Hamb. Universitat Bd. V (1927).

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bilden eine unendliche multiplikative ABELelsche Gruppe & mit hoch­stens (J -1 Erzeugenden. Es sind dies bis auf einen konstanten Faktor diejenigen Funktionen, die ihre Nullstellen und Pole in den \)i haben. Die Erzeugenden lassen sich, evtl. nach Umnumerieren der Primdivi­soren, in folgender Weise wahlen:

ill = o

Dabei ist e < (J, J;Vik = O. Erreichen laBt sich noch Vii> 0, k=i

o <Vik < Vkk fur i < k. Eine Funktion unserer Gruppe @ ist durch die Exponenten von \)1' ... , \)11 bestimmt. Unter den Funktionen aus & gibt es solche, fur die Vik = 0 bei i < k < e. Falls nun, was, wie wir sehen werden, wirklich vorkommt, Q den maximalen Wert (J - 1 annimmt, gibt es also Funktionen der Form

(2) i = 1, ... , (J - l.

e = (J - 1 ist demnach gleichbedeutend damit, daB' es zu je zweien der \)i eine Funktion des Gebildes gibt, die in dem einen Punkt ihre Nullstelle und in dem andern ihren Pol hat und sonst regular und von

1

Null verschieden ist. 1m Falle der Gleichung (2) hat man in g/'i Funk­tionen, die in \)i' \)0 einen Pol bzw. eine Nullstelle 1. Ordnung besitzen und bei Fortsetzung langs geschlossener Wege eine fli-te Einheitswurzel als Faktor aufnehmen. Uberdies ist nach dem ABELschen Theorem fur aIle Differentiale 1. Gattung dw.

p"

(3) Jdw = ~ II (w) Pi

Pi

bei simultanen Perioden II. Daraus folgt auch, daB e = (J - 1 nicht immer gilt. Denn bei einer solchen Punktgruppe gilt (2) und damit (3). In (3) sind aber auf der rechten Seite der Gleichung mir abzahlbar viele Werte moglich, wahrend es auf der linken kontinuierlich viele sind.

Die Logarithmen der Funktionen von & sind Integrale 3. Gattung, die ihre logarithmischen Verzweigungen in den Punkten \)1' \)2' ... , \)0 haben. Sie und ihre Linearkombinationen nennen wir nach HEeKE "spe­zielle Integrale 3. Gattung zur Punktgruppe \)], .j)2' ... , \)0". Ihre Dif­ferentiale nennen wir spezielle Differentiale 3. Gattung. Die Anzahl der linear unabhangigen unter ihnen ist e, wie man ohne weiteres einsieht.

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II.

Gehen wir nun zur Betrachtung des zur Hauptkongruenzgruppe F(N) geh6rigen algebraischen Gebildes tiber. Ais Punktgruppe wahlen wir die rationalen Spitzen des Fundamentalbereichs Sl' S2' ... , S(j(N)' In

den p-Teilwerten p (a1 T:; ae ; 1', 1) mit ganzen rationalen aI' a2 sind

ganze Modulformen der Dimension - 2 gegeben, die nur in den Sj ein von Null verschiedenes Residuum besitzen. Die Anzahl der linear-unab­hangigen unter ihnen ist a(N) - 1. Ihre line are Schar ist aquivalent mit der linearen Schar der Modulformen

2"i

b1, b2 ganz rational, C = eN. Von diesen hat HEeKE gezeigt, daB ihre Integrale bis auf einen konstanten Faktor die Logarithmen von explizit angegebenen Funktionen der F(N) sind. Die Punktgruppe Sl' S2' •.. , S(j(N) besitzt also die Eigenschaft (J = a '- 1. Danach gibt es Modulfunktionen der Stufe N, die in z\vei beliebigen Spitzen 0 und 00

werden und sonst regular und von 0 verschieden sind. Jede dieser Funktionen erzeugt mit der absoluten Invariant en j (1') das algebraische Gebilde zu r(N). Sie lassen sich bis auf eine ganzzahlige Konstante, die die Ordnung der Nullstelle bzw. des Pols bestimmt, angeben. Denn in den Formen

(5)

wo a; (1'; G.t, a2, N) durch den Wert der in 8 analytischen Funktion

(() ) ~ mi~ ai(N) mI, m2 =l= 0,0 (mlo m2)= 1

1 fur 8 = 0

definiert ist, besitzen wir ganze Modulformen, die nur in den Spitzen

- a2 llIld _ a: ein von Null verschiedenes Residuum, namlich + 1 bzw. a l a l

-1 haben (N > 2). Ihre Schar ist der Schar der p-Teilwerte linear­aquivalent. Die Funktion

(7)

stellt also bei geeignetem ganzzahligen, von dem Spitzenpaar S = _ a1 , ao , -

S' = - a: abhangigen fl eine Modulfunktion der Stufe N dar, die in a 2 , den Spitzen - at und _ a; den Wert 0 bzw. 00 annimmt, sonst regular

a2 a 2

und von 0 verschieden ist und mit j (1') die Modulfunktionen der Stufe N

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erzeugt. Die in (7) fur ein Spitzenpaar S, S' moglichen fl sind ganz­zahlige Vielfache eines kleinsten positiven flo (S, S').

Gleichung (3) liefert jetzt mit Pi = Si (i = 1, 2, ... , a(N) - 1), p" = 00 den Satz: Die durch w (00) = 0 normierten Integrale 1. Gat­tung haben in den Spitzen Sj (i = 1, 2, ... , a (N) - 1) den Wert

1 (8) w(Sj) = /1-0 iSj,oo) J/(w) ,

wo J/ zwar von Sj abhangt, aber fur aIle Differentiale 1. Gattung simultan gebildet wird. flo ist das minimale positive fl(Sj, 00) aus (7).

Auch fUr eine beliebige Kongruenzgruppe r 1(N) der Stufe N besitzt die durch (7) dargestellte Funktion die fur r(N) bewiesene Eigenschaft, wenn man dort nur den Integranden durch die lineare Verbindung von p-Teilwerten ersetzt, die schon zu r 1(N) gehort und in zwei Spitzen des Fundamentalbereichs von r 1(N) die Residuen +1 bzw. -1 und sonst das Residuum 0 hat.

Die Bestimmung des Wertes von flo(S, S') fuhrt auf die Reihen 2'Jl~~) n=== ± leN)

wo fl(n) die MOBlussche Funktion ist. Diese Reihen treten auf, wenn man die Differenz der G; als Linear kom bina tion der p-Teil werte schreibt. Fur die Hauptkongruenzgruppe r(q), wo q eine Primzahl ist, UiBt sich noch in einfacher Weise zeigen, daB flo(S, S') fur aIle Spitzenpaare den gleichen Wert hat. Bei ro (q), definiert durch c === 0 (mod. q), wo es nur die Spitzen 0 und 00 und damit nur flo(O, 00) gibt, ist dieser Wert

ein Teiler von q - 1. Denn in .1,,(qTl besitzt man eine Funktion von LA (r)

ro(q), die in 00 einen Pol und in 0 eine Nullstelle der Ordnung q - 1 hat und sonst regular und von Null verschieden ist.