DSP-2-Komplexe Zahlen 1

Komplexe Zahlen

DSP-2-Komplexe Zahlen 2

Real- und Imaginärteil

( , ) Re{ } Im{ }z x y x jy z j z= + = +

DSP-2-Komplexe Zahlen 3

Zeiger ≠ Vektor

• Vektor: gerichtete GrößeKraft, Beschleunigung, Impuls

• Zeiger: Darstellung einer komplexenZahl

• Rechenregeln nur teilweise gleich (z.B. Addition) nicht bei der Multiplikation (z.B. äußeres und inneres Produkt)

DSP-2-Komplexe Zahlen 4

Betrag und Winkel (Phase)z r ϕ= ∠

compass(z)

ϕ

r

DSP-2-Komplexe Zahlen 5

Winkel: Rechnung Vorstellung

• Rechnen im Bogenmaß• Vorstellung im Gradmaß

360 2

Darstellung: =45 180

[rad] [°]

ππα

° =

⋅

DSP-2-Komplexe Zahlen 6

Kartesische polare Darstellung

( )2 2

cos sin cos sinImaginärteil tan arctan

Realteil

x r y r z r j ry yr x yx x

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

= = = +

= + = = =

DSP-2-Komplexe Zahlen 7

☺ kartesisch ☺ polar

• Addition• Subtraktion• konjugiert

• Multiplikation• Division• Potenz• Wurzel• konjugiert

DSP-2-Komplexe Zahlen 8

Achtung Phase (1)

[ ][ ]

Imaginä

11

11

rteilRealteil

sin( /180)

arctan Division duch Null! nur für 90 90 definiert

Grad

arctan 0.7854 45

arcta

-/Bogenmaß:

Realteil 0:arctan

n( ) 0.7854

45

rad

rad

α π

ϕϕ

ϕ

ϕ −−

° ⋅

= ⇒

−

= = = °

= = =

° ≤ ≤ °

° = 135− °

DSP-2-Komplexe Zahlen 9

Achtung Phase (2)Phase von 0 2 definiertphysikalisch aber oft: 2n

ϕ πϕ π ϕ

≤ ≤+ ⋅ =

unwrap(phase)

DSP-2-Komplexe Zahlen 10

Achtung Phase (3)

und stellt dieselbe Phase dar

Amplitude NullPhase keine Bedeutun

.Durch Rundungsfehler kann es zuPhasensprüngen kommen.

Wenn die (oder sehr klein) ist,hat die !g

π π

π π−

− →

DSP-2-Komplexe Zahlen 11

Der Betrag ist positiv!

DSP-2-Komplexe Zahlen 12

Matlab (1)MATLAB kennt komplexe Zahlen:

3 + 4i oder 3 + 4j

Achtung bei der Verwendung von i oder j als Variable:i=3; i = 4+3*i 13aber 4+3i 4.00 + 3.00i

Wiederherstellen von i als imaginäre Einheit: i = sqrt(-1)

Schreibweise 4 + 3*1i verwenden.

DSP-2-Komplexe Zahlen 13

Matlab (2)

real(z) Realteil von z real(3-4i) 3imag(z) Imaginärteil von z imag(3-4i) -4abs(z) Betrag von z abs(3-4i) 5angle(z) Winkel von z angle(3-4i) -0.9273conj(z) Konjugierte von z conj(3-4i) 3+4i

angle(z) von -180° bis 180° definiert.

Achtung bei transpose z' :z.' ist das nichtkonjugierte transposez' ist das konjugierte transpose

DSP-2-Komplexe Zahlen 14

Euler (1)

z r ϕ= ∠ cos sinje jϕ ϕ ϕ= +

DSP-2-Komplexe Zahlen 15

Euler (2)

c

2 3 4 5

2 3 4 2 4 3

2

os s n

4 3

i

12! 3! 4! 5!

5 51 1 ( )2! 3! 4! 5! 2! 4! 3! 5!

5cos 1 sin 2! 4! 3! 5!

j

x

j

x x x xe x

e j j j j

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

+

= + + + + + +

= + − − + + + = − + − + − + −

= − + − = − + −

Beweis algebraisch!

Algebra Geometrie

DSP-2-Komplexe Zahlen 16

Euler (3)cos sincos sin2cos

j

j

j j

e je j

e e

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

−

−

= +

= −

+ =

cos2

sin2

j j

j j

e e

e ej

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

−

−

+=

−=

DSP-2-Komplexe Zahlen 17

Matlab (3)

3*exp(i*45*pi/180) 2.1213 + 2.1213i 3.6056*exp(2.1588i)*10.8167*exp(-0.9828i) 15.00 +36.00icompass(exp((i*30*pi/180)*(0:11)))

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

MATLAB gibt immer in kartesischer Darstellung aus, eingeben kann man aber auch in Euler‘scherForm.

abs(3*exp(i*45*pi/180)) 3(180/pi)*angle (3*exp(i*45*pi/180))

45.00

DSP-2-Komplexe Zahlen 18

Rechnen mit komplexen Zahlen (1)

Addition Subtraktion

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )z z x jy x jy

x x j y y+ = + + +

= + + +1 2 1 1 2 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )z z x jy x jy

x x j y y− = + − +

= − + −

DSP-2-Komplexe Zahlen 19

Rechnen mit komplexen Zahlen (2)

Multiplikation Division

1 2

1 2

1 2 1 2( )

1 2

j j

j

z z r e r e

r r e

ϕ ϕ

ϕ ϕ+

× = ×

=

1

2

1 2

11 2

2

( )1

2

j

j

j

r ez zr er er

ϕ

ϕ

ϕ ϕ−

÷ =

=

DSP-2-Komplexe Zahlen 20

Rechnen mit komplexen Zahlen (3)

1

2

3

4

5

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

Konjugiert komplex bzw. transpose

1 1 1 1

1 1

( ) ( )z z x jy

x jy

′∗ ∗= = += −

( )1

1

1 1

1

j

j

z r e

r e

ϕ

ϕ

∗∗

−

=

=

DSP-2-Komplexe Zahlen 21

Rechnen mit komplexen Zahlen (4)

( )NN j N jNz re r eϕ ϕ= =

Potenz

DSP-2-Komplexe Zahlen 22

Rechnen mit komplexen Zahlen (4)

2

1 0,1, 2,..., 1

j nNN e

n N

π

== −

Wurzel

2( )

0,1, 2,..., 1

nN NjN j Nz re re

n N

ϕ πϕ += == −