DSP-2-Komplexe Zahlen 1
Komplexe Zahlen
DSP-2-Komplexe Zahlen 2
Real- und Imaginärteil
( , ) Re{ } Im{ }z x y x jy z j z= + = +
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Zeiger ≠ Vektor
• Vektor: gerichtete GrößeKraft, Beschleunigung, Impuls
• Zeiger: Darstellung einer komplexenZahl
• Rechenregeln nur teilweise gleich (z.B. Addition) nicht bei der Multiplikation (z.B. äußeres und inneres Produkt)
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Betrag und Winkel (Phase)z r ϕ= ∠
compass(z)
ϕ
r
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Winkel: Rechnung Vorstellung
• Rechnen im Bogenmaß• Vorstellung im Gradmaß
360 2
Darstellung: =45 180
[rad] [°]
ππα
° =
⋅
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Kartesische polare Darstellung
( )2 2
cos sin cos sinImaginärteil tan arctan
Realteil
x r y r z r j ry yr x yx x
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
= = = +
= + = = =
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☺ kartesisch ☺ polar
• Addition• Subtraktion• konjugiert
• Multiplikation• Division• Potenz• Wurzel• konjugiert
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Achtung Phase (1)
[ ][ ]
Imaginä
11
11
rteilRealteil
sin( /180)
arctan Division duch Null! nur für 90 90 definiert
Grad
arctan 0.7854 45
arcta
-/Bogenmaß:
Realteil 0:arctan
n( ) 0.7854
45
rad
rad
α π
ϕϕ
ϕ
ϕ −−
° ⋅
= ⇒
−
= = = °
= = =
° ≤ ≤ °
° = 135− °
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Achtung Phase (2)Phase von 0 2 definiertphysikalisch aber oft: 2n
ϕ πϕ π ϕ
≤ ≤+ ⋅ =
unwrap(phase)
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Achtung Phase (3)
und stellt dieselbe Phase dar
Amplitude NullPhase keine Bedeutun
.Durch Rundungsfehler kann es zuPhasensprüngen kommen.
Wenn die (oder sehr klein) ist,hat die !g
π π
π π−
− →
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Der Betrag ist positiv!
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Matlab (1)MATLAB kennt komplexe Zahlen:
3 + 4i oder 3 + 4j
Achtung bei der Verwendung von i oder j als Variable:i=3; i = 4+3*i 13aber 4+3i 4.00 + 3.00i
Wiederherstellen von i als imaginäre Einheit: i = sqrt(-1)
Schreibweise 4 + 3*1i verwenden.
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Matlab (2)
real(z) Realteil von z real(3-4i) 3imag(z) Imaginärteil von z imag(3-4i) -4abs(z) Betrag von z abs(3-4i) 5angle(z) Winkel von z angle(3-4i) -0.9273conj(z) Konjugierte von z conj(3-4i) 3+4i
angle(z) von -180° bis 180° definiert.
Achtung bei transpose z' :z.' ist das nichtkonjugierte transposez' ist das konjugierte transpose
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Euler (1)
z r ϕ= ∠ cos sinje jϕ ϕ ϕ= +
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Euler (2)
c
2 3 4 5
2 3 4 2 4 3
2
os s n
4 3
i
12! 3! 4! 5!
5 51 1 ( )2! 3! 4! 5! 2! 4! 3! 5!
5cos 1 sin 2! 4! 3! 5!
j
x
j
x x x xe x
e j j j j
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ
+
= + + + + + +
= + − − + + + = − + − + − + −
= − + − = − + −
Beweis algebraisch!
Algebra Geometrie
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Euler (3)cos sincos sin2cos
j
j
j j
e je j
e e
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
−
−
= +
= −
+ =
cos2
sin2
j j
j j
e e
e ej
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
−
−
+=
−=
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Matlab (3)
3*exp(i*45*pi/180) 2.1213 + 2.1213i 3.6056*exp(2.1588i)*10.8167*exp(-0.9828i) 15.00 +36.00icompass(exp((i*30*pi/180)*(0:11)))
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
MATLAB gibt immer in kartesischer Darstellung aus, eingeben kann man aber auch in Euler‘scherForm.
abs(3*exp(i*45*pi/180)) 3(180/pi)*angle (3*exp(i*45*pi/180))
45.00
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Rechnen mit komplexen Zahlen (1)
Addition Subtraktion
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )z z x jy x jy
x x j y y+ = + + +
= + + +1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )z z x jy x jy
x x j y y− = + − +
= − + −
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Rechnen mit komplexen Zahlen (2)
Multiplikation Division
1 2
1 2
1 2 1 2( )
1 2
j j
j
z z r e r e
r r e
ϕ ϕ
ϕ ϕ+
× = ×
=
1
2
1 2
11 2
2
( )1
2
j
j
j
r ez zr er er
ϕ
ϕ
ϕ ϕ−
÷ =
=
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Rechnen mit komplexen Zahlen (3)
1
2
3
4
5
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
Konjugiert komplex bzw. transpose
1 1 1 1
1 1
( ) ( )z z x jy
x jy
′∗ ∗= = += −
( )1
1
1 1
1
j
j
z r e
r e
ϕ
ϕ
∗∗
−
=
=
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Rechnen mit komplexen Zahlen (4)
( )NN j N jNz re r eϕ ϕ= =
Potenz
DSP-2-Komplexe Zahlen 22
Rechnen mit komplexen Zahlen (4)
2
1 0,1, 2,..., 1
j nNN e
n N
π
== −
Wurzel
2( )
0,1, 2,..., 1
nN NjN j Nz re re
n N
ϕ πϕ += == −