Komplexe Rechnung in Der Elektrotechnik

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jb

Komplexe Rechnung in der Elektrotechnik Seite 1

Lyce technique des Arts et Mtiers

K O M P L E X E R E C H N U N G I N D E R

E L E K T R O T E C H N I K

1. Komplexe Zahl Z

bjaZ !+=

a: Realteil der komplexen Zahl Z

b: Imaginrteil der komplexen Zahl Z

j: komplexer Operator mit j2 = -1

Im, Re: komplexe Ebene oder Gausche Ebene

Im

Rea

b

Z

!

22baZ +=

a

btg =!

Z : komplexe Zahl

Z : Betrag der komplexen Zahl Z (Betrag ist immer positiv)

! > 0 : wird im mathematisch positiven Sinn (Gegen-Uhrzeigersinn) eingetragen.


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2. Darstellung einer komplexen Zahl Z

2.1 Komponentenschreibweise

bjaZ !+=

a, b: coordonnes cartsiennes

2.2 Trigonometrische Schreibweise

bjaZ !+= mit !"= cosZa

!"= sinZb

a

btg

baZ

)sinj(cosZZ

22

=!

+=

!"+!"=

Z, !: coordonnes polaires

2.3 Exponential Form

Formel nach EULER: !"+!=!

sinjcose j

!"=jeZZ

2.4 Versor Schreibweise

!"=jeZZ

!"= ZZ

Bemerkung:

Z : komplexe Zahl

Z : Betrag der komplexen Zahl Z (Betrag ist immer positiv)


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Beispiele:

coordonnes cartsiennes coordonnes polaires

Z1 = 8 + 4j Z1 = .......................................................

Z2 = 1 + j Z2 = .......................................................

Z3 = -j Z3 = .......................................................

Z4 = -2 + 3j Z4 = .......................................................

Z5 = 4 - 2j Z5 = .......................................................

Z6 = ....................................................... Z6 = 1 "180

Z7 = ....................................................... Z7 = 1 "-180

Z8 = ....................................................... Z8 = 4 "90

Z9 = ....................................................... Z9 = 5 "270

Z10 = ....................................................... Z10 = 4 ej45

Trage die komplexen Zahlen Z1 bis Z10 in die Gausche Ebene ein.

Re

Im


jb



Bemerkung: Vorzeichen von tg!

Im

Re!

a

b

Z

II I

I I I IV

!

!==!cos

sin

a

btg

Quadrant I a # 0 und b # 0 $ 0 % ! % 90

Quadrant II a % 0 und b # 0 $ 90 % ! % 180

Quadrant III a % 0 und b % 0 $ 180 % ! % 270 bzw -180 % ! % -90

Quadrant IV a # 0 und b % 0 $ 270 % ! % 360 bzw -90 % ! % 0

Beispiel

a = 2 und b = -4 $ tg! = -4/2 = -2

$ ! = 116,56 falscher Winkel obschon tg116,56 = -2 (II Quadrant)

$ ! = 116,56 - 180 = -63,43 richtiger Winkel, IV Quadrant, a # 0 und b % 0)

3. Konjugiert-komplexe Zahl Z*

Z = a + jb $ Z* = a - jb

Z = Z ej! $ Z* = Z e

-j!

Z = Z "! $ Z* = Z "-!


jb



Aufgabe Rechne Z Z*.

Wozu dient diese Multiplikation?

4. Rechenoperationen mit komplexen Zahlen

Z1 = a1 + jb1 = Z1 "!1 = Z1 ej!1

Z2 = a2 + jb2 = Z2 "!2 = Z2 ej!2

4.1 Gleiche komplexe Zahlen

212121

212121

undZZZZ

bbundaaZZ

!=!="=

=="=

4.2 Addition und Subtraktion von 2 komplexen Zahlen

(Komponentenschreibweise)

)bb(j)aa(ZZ 212121 !+=

4.3 Multiplikation und Division von 2 komplexen Zahlen

(Exponentialform)

!!+!"=""="j)21(j

2121 eZeZZZZ

21

21ZZZ

!+!=!

"=

!!"!#=#=j)21(j

2

1

2

1 eZeZ

Z

Z

Z

21

2

1

Z

ZZ

!"!=!

=

4.4 Potenzieren und radizieren

(Exponentialform)

!"#= nZZ nn

n/ZZn/1n/1 !"=


jb



Beispiele: Z = a + jb = Z "!

Z/j = ....................................................................................................................................................................................

Z j = ....................................................................................................................................................................................

Z/-j = ....................................................................................................................................................................................

Z Z* = ....................................................................................................................................................................................

Z + j = ....................................................................................................................................................................................

Z - j = ....................................................................................................................................................................................

5. Komplexe Darstellung von Wechselgren

Allgemeine Darstellung einer sinusfrmigen Wechselspannung:

)tsin(U2)tsin()t(u !+"##=!+"#=

In der Elektrotechnik werden die Wechselgren durch den Effektivwert und durch

ihre Phasenlage als komplexe Wechselgren dargestellt. Die Winkelgeschwindigkeit

& sowie die Zeit t werden nicht bercksichtigt.

Komplexe Spannung U:

!"= UU

U: Effektivwert der Spannung u

!: Phasenlage der Spannung u

Beispiel: Wie lauten die komplexen Gren eines Drehstromsystems?


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6. Widerstand- und Leitwert-Operatoren

6.1 Operator des Wirkwiderstandes und des Wirkleitwertes: R und G

Fr den Wirkwiderstand R sind Spannung und Strom in Phase: die Phasenlage der

Spannung !u ist also gleich der Phasenlage des Stromes !i.

!u = !i = !

Der Operator des Wirkwiderstandes hat also die Phasenlage 0.

IRU !=

!"#=!"$ IRU

0RR

0I

UR

I

UR

!="

!="

#!

#!="

0RR !=

GR

1

0R

1

R

1G ==

!==

R

1G0GG ==!=

RI

U


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6.2 Operator des induktiven Blindwiderstandes und des induktiven

Blindleitwertes: XL und YL

Der induktive Blindwiderstand ist durch eine Phasenverschiebung zwischen

Spannung und dem nacheilenden Strom von 90 gekennzeichnet: !i = !u - 90.

IXUL!=

iLuIXU !"#=!"$

LLL

iuL

Xj90X90I

UX

I

UX

!="="=#

$%$"=#

!="#=#= 90XLjXjX LLL

!"=#!=#

== 90X

1

X

1j

Xj

1

X

1Y

LLLL

L

!"=#$!=$!= 90

X

1

L

1jYjY

L

LL

6.3 Operator des kapazitiven Blindwiderstandes und des kapazitiven

Blindleitwertes: XC und YC

Der kapazitive Blindwiderstand ist durch eine Phasenverschiebung zwischen

Spannung und dem voreilenden Strom von 90 gekennzeichnet: !i = !u + 90.

IXUC!=

iCuIXU !"#=!"$

XLI

U

XCI

U


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CCC

iuC

Xj90X90I

UX

I

UX

!"="#="#=$

%"%#=$

!"=#$!=$!= 90XC

1jXjX CCC

!="="#

== 90X

1

X

1j

Xj

1

X

1Y

CCCC

C

!="#=#= 90X

1CjYjY

C

CC

Beispiel: Stelle die einzelnen Operatoren in der Gauschen Ebene dar.

Re

Im


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7. Scheinwiderstand- und Scheinleitwert-Operatoren

7.1 Scheinwiderstand und Scheinleitwert einer RLC-Reihenschaltung

RI

UR

UL

UC

XL

XC

Scheinwiderstand der RLC-Reihenschaltung

CLRUUUU ++=

IXjIXjIRU CL !!"!!+!=

[ ] IZI)XX(jRU CL !=!"!+=

ZCL Z)XX(jRZ !"=#$+=

ZZXjRZ !"=#+=

R

XXarctg

)XX(RZ

C

1LjRZ

CLZ

2CL

2

!="

!+=

#$%

&'(

)!)*+=

XL > XC $ !z > 0 $ induktives Verhalten

XL < XC $ !z < 0 $ kapazitives Verhalten

XL = XC $ !z = 0 $ rein ohmsches Verhalten


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I

R

jXL

Z

-jXC

jX = j(XL - X

C)

!Z

X < 0

jX = j(XL - X

C)

IR

jXL

Z

!Z

-jXC

X > 0

Beispiel

R = 100', XL = 400', XC = 200'

U = 220V"45

Bestimme den Scheinwiderstand Z der RLC-Reihenschaltung und trage R, XL,

XC und Z in die komplexe Ebene ein.

Bestimme den Strom I = I"!i sowie alle Teilspannungen.

Verhlt sich die Schaltung induktiv oder kapazitiv? Begrnde deine Antwort.

Scheinleitwert der RLC-Reihenschaltung

Y = Y"!y

Z

ZZ

1

Z

1

Z

1Y !"#=

!#==

ZY

Z

1Y

!"=!

=


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7.2 Scheinwiderstand und Scheinleitwert einer RLC-Parallelschaltung

RIR

U

IL

IC

XL

XC

Scheinleitwert der RLC-Parallelschaltung

CLRIIII ++=

UYjUYjUGI CL !!+!!"!=

[ ] UYU)YY(jGI LC !=!"!+=

YLC Y)YY(jGY !"=#$+=

L

1

X

1YC

X

1Y

R

1G

L

L

C

C!

==!===

LCYYB !=

YYBjGY !"=#+=


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G

YYarctg

)YY(GY

X

1

X

1j

R

1Y

)YY(jGBjGY

Xj

1

Xj

1

R

1Y

LCY

2LC

2

LC

LC

CL

!="

!+=

##$

%&&'

(!)+=

!)+=)+=)

!)

+=

YC > YL $ kapazitives Verhalten

YC < YL $ induktives Verhalten

YC = YL $ rein ohmsches Verhalten

U

G

jYC

Y

!Y

jB = j(YC - Y

L)

-jYL

B < 0

UG

Y

!Y

B > 0

jB = j(YC - Y

L)

-jYL

jYC

Scheinwiderstand der RLC-Parallelschaltung

Z = Z"!Z

Y

YY

1

Y

1

Y

1Z !"#=

!#==

YZ

Y

1Z

!"=!

=


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Beispiel:

R = 500', XL = 200', XC = 400'

U = 220V"45

Bestimme den Scheinwiderstand Z sowie den Scheinleitwert Y der RLC-

Parallelschaltung und trage R, XL, XC und Z in die komplexe Ebene ein.

Bestimme den Strom I = I"!i sowie alle Teilstrme.

Verhlt sich die Schaltung induktiv oder kapazitiv? Begrnde deine Antwort.

CL Xj

1

Xj

1

R

1Y

!"

!+=

!!"

#$$%

&'(+=

LC X

1

X

1j

R

1Y

!"#

$%& '(+=

200

1

400

1j

500

1Y

)0050,00025,0(j0020,0Y !"+=

0025,0j0020,0Y !"=

34,51S0032,0Y !"=

34,5135,312ZY

1Z !"=#=

!"="#

"=$=$%= 34,6A70,0

34,5135,312

45V220I

Z

UIZIU

Die Schaltung zeigt induktives Verhalten:

der Strom eilt der Spannung um 45 - (-6,34) = 51,34 nach. !"= 34,5135,312Z

!=!"

!=#= 45A44,0

0500

45V220I

R

UI RR


jb



!"="#

"=$= 45A10,1

90200

45V220I

X

UI L

L

L

!="!#

!=$= 135A55,0

90400

45V220I

X

UI C

C

C

Kontrolle:

CLRIIII ++=

!+"!+!= 135A55,045A10,145A44,0I

A)389,0j389,0(A)778,0j778,0(A)311,0j311,0(I !+"+!"+!+=

A)078,0j700,0(I !"=

!"= 34,6A7043,0I


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Beispiele: Komplexe Rechnung in der Elektrotechnik Seite 1


B E I S P I E L E :

K O M P L E X E R E C H N U N G I N D E R

E L E K T R O T E C H N I K

1. An einer reinen Induktivitt von 5mH liegt eine Spannung von 60V, 1500Hz.

Ermittle den Strom nach Betrag und Phase.

2. Eine Spule von R = 30! und L = 250mH liegt an 230V, 50Hz.

Ermittle den Strom nach Betrag und Phase. (" Ermittle den Strom I)

3. Eine Spule mit R = 20! liegt an 120V, 600Hz. Dabei wird ein Strom von 1,5A

gemessen.

Ermittle die Induktivitt der Spule sowie die Phasenverschiebung zwischen Strom und

Spannung. (L = 20,54mH, # = 75,5)

4. An einem Reihenschwingkreis aus R = 10!, L = 0,015mH, C = 1F liegt eine Span-

nung von 12V, 80kHz.

Ermittle den Strom nach Betrag und Phase. (I = 1,05A$-29)

5. Berechne Z, #, I, UR und UL fr folgende RL-Reihenschaltungen:

a) R = 20!, XL = 15!, U = 230V$0, f = 50Hz

b) R = 100!, L = 500mH, U = 230V$90, f = 50Hz

6. Berechne die Spannung U, damit fr die RL-Reihenschaltung (R = 40!, XL = 30!)

der Strom I = 2A$30 betrgt.

7. Berechne Z, #, I, UR, UL und UC fr folgende RLC-Reihenschaltungen:

a) R = 20!, XL = 30!, XC =0 15!, U = 230V$-120, f = 50Hz

b) R = 100!, L = 250mH, C = 500F, U = 230V$-240, f = 50Hz

c) R = 50!, XL = 20!, XC = 20!, U = 230V$0, f = 50Hz


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8. Berechne Z, Y, #, I, IR, IL und IC fr folgende RLC-Parallelschaltungen:

a) R = 20!, XL = 30!, XC = 15!, U = 100V$0, f = 50Hz

b) R = 100!, L = 250mH, C = 500F, U = 100V$0, f = 50Hz

c) R = 50!, XL = 20!, XC = 20!, U = 100V$0, f = 50Hz

9. Berechne fr folgende Schaltung I, I1, I2, I3 und Z und bestimme die Ersatzschaltung.

I1

I2

I3

I

U

R1

R2

R3

XL

XC

XC = 6!R

1 = 10!

R2 = 3!

R3 = 8!

XL = 4!

10. Berechne nach der Methode der Ersatzspannungsquelle den Strom IL und die Span-

nung UL folgender Schaltung:

RL

RL

U IL

CL

CUL

L = 1H, R = 100!, C = 10-6

F, CL = 0,1F, RL = 100!, U = 100V$0, f = 100Hz


jb



11. Berechne den Scheinwiderstand folgender Schaltung:

Verhlt sich die Schaltung kapazitiv oder induktiv?

R1

XC

XL

R2

R1 = 150!, R2 = 100!, L = 0,8H, C = 15F, f = 50Hz

12. Ermittle den Strom I sowie die Ersatz-Reihenschaltung.

R1

XC

XL

R2

R1 = 6,1!, R2 = 3,2!, XC = 1,4!, XL = 7,4!, U = 20V, f = 50Hz


R1

L1

R2

R1 = 100!, L1 =50mH, R2 = 100!, U = 200V$0, f = 50Hz


R1

C1

R2

R1 = 100!, C1 =20F, R2 = 100!, U = 200Vej0

, f = 50Hz


jb




R L

C

R = 100!, L = 500mH, C =20F, U = 200V$0, f = 50Hz

16. Ermittle die Ersatz-Reihenschaltung.

R1

R2

XL2

XC1

R3

XL3

XC3

R1 = 6!, XC1 = 2!, R2 = 3!, XL2 = 7!, R3 = 5!, XL3 = 8!, XC3 = 10!

17. Ermittle die Ersatz-Reihenschaltung, den Gesamtstrom, die Teilstrme sowie die

Teilspannungen.

R1

XC2

XL1

R3

XL4

XC4

R2

R4

R1 = 40!, XL1 = 100!

R2 = 30!, XC2 = 60!

R3 = 100!

R4 = 10!, XL4 = 20!, XC4 = 10!

U = 230V$0


jb



18. Rechne den Wert von XL4 fr den der Strom gegenber der Spannung um 60

nacheilt. EXAMEN 1985

U

R1

R2

XL2

R3

XL4

R1 = 500!, R2 = 400!, XL2 = 100!, R3 = 200!

19. Der durch die Schaltung flieende Strom soll trotz Ab- und Zuschalten von R2 seine

Strke nicht ndern. Welchen Wert mu R2 haben?

R1

XL

R2

I

R1 = 40!, XL = 20!

20. Welchen Strom nimmt folgende Schaltung auf? EXAMEN 1983

XC

XLa

R31

R12

Ra

R32

U

R12 = 50!, Ra = 20!, R32 = 30!, R31 = 40!, XC = 50!, XLa = 60!

U = 25V ej0


jb



21. Gegeben ist folgende Schaltung: EXAMEN 1987

C

U

L R

R = 100!, L = 0,1H, C = 1F

a) Stelle die Formel auf zur Berechnung der Impedanz Z = Re(Z) + jIm(Z)

b) Bei welcher Frequenz wird Z reell?

c) Berechne die Impedanz der Schaltung mit den gegebenen Werten bei der unter

punkt b berechneten Frequenz.

22. Welchen Wert mu C haben, damit zwischen U1 und U2 eine Phasenverschiebung von

90 entsteht? EXAMEN 1987

C

U1

R U2

R

C

R = 300!, f = 50Hz

23. Gegeben ist folgende Schaltung:

R1 = 200!, R2 = 120!

L1 =750mH, C2 = 10F, f = 50Hz

a) Bestimme den Scheinwiderstand.

b) Verhlt sich die Schaltung induktiv oder

kapazitiv? Begrnde deine Antwort.

L1

R1

C2

R2


jb



24. Gegeben ist folgende Schaltung:

L

R XC

R = 100!, XL = 150!, XC =200!, f = 50Hz

a) Bestimme den Scheinwiderstand.

b) Verhlt sich die Schaltung induktiv oder kapazitiv? Begrnde deine Antwort.

25. Welchen Wert mu XL4 haben, damit I gegen U um 60 nacheilt?

R1

R2

R3

XL4

XC2

U

I

R1 = 50!, R2 = 30!, R3 = 20!, XC2 =70!


XC = 40!, XL = 80!

a) Stelle die Gleichung I = f(U, R, XL, XC) auf.

b) Fr welchen Wert von R sind U und I in Phase?

c) Wie gro mu R sein, damit I gegen U um 45

voreilt?

RXL

I

U

XC


jb




XL

R1

R2

U

I

R1 = 200!, XL = 300!, U = U$0

Bestimme R2, damit I = I$-20


R1

U

I

XL1

R3

XL3

XC2

R1 = 50!, XL1 = 60!, XC2 = 70!, R3 = 20!

Bestimme XL3, damit der Strom der Spannung um 30 nacheilt.


R1 = 500!, R2 = 400!,

XL2 = 500!, R3 = 20!

Bestimme XL4, damit der

Strom I der Spannung U

um 60 nacheilt.

R1

U

I

XL2

R2

R3

XL4


jb




R1

U

XL2

XL3

XC1

R3

U3

R1 = 40!, XC1 = 70!, XL2 = 50!, R3 = 80!, U = 100V$0

Bestimme XL3, damit U3 gegenber U um 50 voreilt.

Wie gro ist in diesem Fall U3?


R1

U

I

XL1

R3

XC3

XC2

R1 = 100!, XL1 = 50!, R3 = 25!, XC3 = 25!

Bestimme XC2, damit Zges real wird.


jb



32. Gegeben sind R = 30! und XC = 20!. EXAMEN 2000

a) Rechne XL damit der Strom I mit der

anliegenden Gesamtspannung U in Phase

ist und ermittle fr diesen Fall den

Gesamtwiderstand der Schaltung.

b) Rechne mit den Werten aus Punkt a die

Strme IR und IC nach Betrag und Phase

wenn U = 24Vejo

.

33. Gegeben ist folgender Spannungsteiler:

L

UIR

C R

U1

U2

U = 1V $0, f = 5kHz

Dimensioniere L und C, damit IR = 100A betrgt, unabhngig vom Belastungs-

widerstand R.

34. Die Boucherot-Schaltung (Paul BOUCHEROT, ingnieur franais, 1869 - 1943)

U = 120V, f = 600Hz,

UG = 12V, PG = 3W

Dimensioniere die Schaltung so,

da an jeder Lampe 12 Volt abfal-

len, unabhngig von der Anzahl

der Lampen.

R

XLI

U

XC

IR

IC

L

U UP

UG

UG

UG

C

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