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Lyce technique des Arts et Mtiers
K O M P L E X E R E C H N U N G I N D E R
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1. Komplexe Zahl Z
bjaZ !+=
a: Realteil der komplexen Zahl Z
b: Imaginrteil der komplexen Zahl Z
j: komplexer Operator mit j2 = -1
Im, Re: komplexe Ebene oder Gausche Ebene
Im
Rea
b
Z
!
22baZ +=
a
btg =!
Z : komplexe Zahl
Z : Betrag der komplexen Zahl Z (Betrag ist immer positiv)
! > 0 : wird im mathematisch positiven Sinn (Gegen-Uhrzeigersinn) eingetragen.
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Lyce technique des Arts et Mtiers
2. Darstellung einer komplexen Zahl Z
2.1 Komponentenschreibweise
bjaZ !+=
a, b: coordonnes cartsiennes
2.2 Trigonometrische Schreibweise
bjaZ !+= mit !"= cosZa
!"= sinZb
a
btg
baZ
)sinj(cosZZ
22
=!
+=
!"+!"=
Z, !: coordonnes polaires
2.3 Exponential Form
Formel nach EULER: !"+!=!
sinjcose j
!"=jeZZ
2.4 Versor Schreibweise
!"=jeZZ
!"= ZZ
Bemerkung:
Z : komplexe Zahl
Z : Betrag der komplexen Zahl Z (Betrag ist immer positiv)
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Lyce technique des Arts et Mtiers
Beispiele:
coordonnes cartsiennes coordonnes polaires
Z1 = 8 + 4j Z1 = .......................................................
Z2 = 1 + j Z2 = .......................................................
Z3 = -j Z3 = .......................................................
Z4 = -2 + 3j Z4 = .......................................................
Z5 = 4 - 2j Z5 = .......................................................
Z6 = ....................................................... Z6 = 1 "180
Z7 = ....................................................... Z7 = 1 "-180
Z8 = ....................................................... Z8 = 4 "90
Z9 = ....................................................... Z9 = 5 "270
Z10 = ....................................................... Z10 = 4 ej45
Trage die komplexen Zahlen Z1 bis Z10 in die Gausche Ebene ein.
Re
Im
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Bemerkung: Vorzeichen von tg!
Im
Re!
a
b
Z
II I
I I I IV
!
!==!cos
sin
a
btg
Quadrant I a # 0 und b # 0 $ 0 % ! % 90
Quadrant II a % 0 und b # 0 $ 90 % ! % 180
Quadrant III a % 0 und b % 0 $ 180 % ! % 270 bzw -180 % ! % -90
Quadrant IV a # 0 und b % 0 $ 270 % ! % 360 bzw -90 % ! % 0
Beispiel
a = 2 und b = -4 $ tg! = -4/2 = -2
$ ! = 116,56 falscher Winkel obschon tg116,56 = -2 (II Quadrant)
$ ! = 116,56 - 180 = -63,43 richtiger Winkel, IV Quadrant, a # 0 und b % 0)
3. Konjugiert-komplexe Zahl Z*
Z = a + jb $ Z* = a - jb
Z = Z ej! $ Z* = Z e
-j!
Z = Z "! $ Z* = Z "-!
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Lyce technique des Arts et Mtiers
Aufgabe Rechne Z Z*.
Wozu dient diese Multiplikation?
4. Rechenoperationen mit komplexen Zahlen
Z1 = a1 + jb1 = Z1 "!1 = Z1 ej!1
Z2 = a2 + jb2 = Z2 "!2 = Z2 ej!2
4.1 Gleiche komplexe Zahlen
212121
212121
undZZZZ
bbundaaZZ
!=!="=
=="=
4.2 Addition und Subtraktion von 2 komplexen Zahlen
(Komponentenschreibweise)
)bb(j)aa(ZZ 212121 !+=
4.3 Multiplikation und Division von 2 komplexen Zahlen
(Exponentialform)
!!+!"=""="j)21(j
2121 eZeZZZZ
21
21ZZZ
!+!=!
"=
!!"!#=#=j)21(j
2
1
2
1 eZeZ
Z
Z
Z
21
2
1
Z
ZZ
!"!=!
=
4.4 Potenzieren und radizieren
(Exponentialform)
!"#= nZZ nn
n/ZZn/1n/1 !"=
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Lyce technique des Arts et Mtiers
Beispiele: Z = a + jb = Z "!
Z/j = ....................................................................................................................................................................................
Z j = ....................................................................................................................................................................................
Z/-j = ....................................................................................................................................................................................
Z Z* = ....................................................................................................................................................................................
Z + j = ....................................................................................................................................................................................
Z - j = ....................................................................................................................................................................................
5. Komplexe Darstellung von Wechselgren
Allgemeine Darstellung einer sinusfrmigen Wechselspannung:
)tsin(U2)tsin()t(u !+"##=!+"#=
In der Elektrotechnik werden die Wechselgren durch den Effektivwert und durch
ihre Phasenlage als komplexe Wechselgren dargestellt. Die Winkelgeschwindigkeit
& sowie die Zeit t werden nicht bercksichtigt.
Komplexe Spannung U:
!"= UU
U: Effektivwert der Spannung u
!: Phasenlage der Spannung u
Beispiel: Wie lauten die komplexen Gren eines Drehstromsystems?
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6. Widerstand- und Leitwert-Operatoren
6.1 Operator des Wirkwiderstandes und des Wirkleitwertes: R und G
Fr den Wirkwiderstand R sind Spannung und Strom in Phase: die Phasenlage der
Spannung !u ist also gleich der Phasenlage des Stromes !i.
!u = !i = !
Der Operator des Wirkwiderstandes hat also die Phasenlage 0.
IRU !=
!"#=!"$ IRU
0RR
0I
UR
I
UR
!="
!="
#!
#!="
0RR !=
GR
1
0R
1
R
1G ==
!==
R
1G0GG ==!=
RI
U
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6.2 Operator des induktiven Blindwiderstandes und des induktiven
Blindleitwertes: XL und YL
Der induktive Blindwiderstand ist durch eine Phasenverschiebung zwischen
Spannung und dem nacheilenden Strom von 90 gekennzeichnet: !i = !u - 90.
IXUL!=
iLuIXU !"#=!"$
LLL
iuL
Xj90X90I
UX
I
UX
!="="=#
$%$"=#
!="#=#= 90XLjXjX LLL
!"=#!=#
== 90X
1
X
1j
Xj
1
X
1Y
LLLL
L
!"=#$!=$!= 90
X
1
L
1jYjY
L
LL
6.3 Operator des kapazitiven Blindwiderstandes und des kapazitiven
Blindleitwertes: XC und YC
Der kapazitive Blindwiderstand ist durch eine Phasenverschiebung zwischen
Spannung und dem voreilenden Strom von 90 gekennzeichnet: !i = !u + 90.
IXUC!=
iCuIXU !"#=!"$
XLI
U
XCI
U
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CCC
iuC
Xj90X90I
UX
I
UX
!"="#="#=$
%"%#=$
!"=#$!=$!= 90XC
1jXjX CCC
!="="#
== 90X
1
X
1j
Xj
1
X
1Y
CCCC
C
!="#=#= 90X
1CjYjY
C
CC
Beispiel: Stelle die einzelnen Operatoren in der Gauschen Ebene dar.
Re
Im
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7. Scheinwiderstand- und Scheinleitwert-Operatoren
7.1 Scheinwiderstand und Scheinleitwert einer RLC-Reihenschaltung
RI
UR
UL
UC
XL
XC
Scheinwiderstand der RLC-Reihenschaltung
CLRUUUU ++=
IXjIXjIRU CL !!"!!+!=
[ ] IZI)XX(jRU CL !=!"!+=
ZCL Z)XX(jRZ !"=#$+=
ZZXjRZ !"=#+=
R
XXarctg
)XX(RZ
C
1LjRZ
CLZ
2CL
2
!="
!+=
#$%
&'(
)!)*+=
XL > XC $ !z > 0 $ induktives Verhalten
XL < XC $ !z < 0 $ kapazitives Verhalten
XL = XC $ !z = 0 $ rein ohmsches Verhalten
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Lyce technique des Arts et Mtiers
I
R
jXL
Z
-jXC
jX = j(XL - X
C)
!Z
X < 0
jX = j(XL - X
C)
IR
jXL
Z
!Z
-jXC
X > 0
Beispiel
R = 100', XL = 400', XC = 200'
U = 220V"45
Bestimme den Scheinwiderstand Z der RLC-Reihenschaltung und trage R, XL,
XC und Z in die komplexe Ebene ein.
Bestimme den Strom I = I"!i sowie alle Teilspannungen.
Verhlt sich die Schaltung induktiv oder kapazitiv? Begrnde deine Antwort.
Scheinleitwert der RLC-Reihenschaltung
Y = Y"!y
Z
ZZ
1
Z
1
Z
1Y !"#=
!#==
ZY
Z
1Y
!"=!
=
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7.2 Scheinwiderstand und Scheinleitwert einer RLC-Parallelschaltung
RIR
U
IL
IC
XL
XC
Scheinleitwert der RLC-Parallelschaltung
CLRIIII ++=
UYjUYjUGI CL !!+!!"!=
[ ] UYU)YY(jGI LC !=!"!+=
YLC Y)YY(jGY !"=#$+=
L
1
X
1YC
X
1Y
R
1G
L
L
C
C!
==!===
LCYYB !=
YYBjGY !"=#+=
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G
YYarctg
)YY(GY
X
1
X
1j
R
1Y
)YY(jGBjGY
Xj
1
Xj
1
R
1Y
LCY
2LC
2
LC
LC
CL
!="
!+=
##$
%&&'
(!)+=
!)+=)+=)
!)
+=
YC > YL $ kapazitives Verhalten
YC < YL $ induktives Verhalten
YC = YL $ rein ohmsches Verhalten
U
G
jYC
Y
!Y
jB = j(YC - Y
L)
-jYL
B < 0
UG
Y
!Y
B > 0
jB = j(YC - Y
L)
-jYL
jYC
Scheinwiderstand der RLC-Parallelschaltung
Z = Z"!Z
Y
YY
1
Y
1
Y
1Z !"#=
!#==
YZ
Y
1Z
!"=!
=
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Komplexe Rechnung in der Elektrotechnik Seite 14
Lyce technique des Arts et Mtiers
Beispiel:
R = 500', XL = 200', XC = 400'
U = 220V"45
Bestimme den Scheinwiderstand Z sowie den Scheinleitwert Y der RLC-
Parallelschaltung und trage R, XL, XC und Z in die komplexe Ebene ein.
Bestimme den Strom I = I"!i sowie alle Teilstrme.
Verhlt sich die Schaltung induktiv oder kapazitiv? Begrnde deine Antwort.
CL Xj
1
Xj
1
R
1Y
!"
!+=
!!"
#$$%
&'(+=
LC X
1
X
1j
R
1Y
!"#
$%& '(+=
200
1
400
1j
500
1Y
)0050,00025,0(j0020,0Y !"+=
0025,0j0020,0Y !"=
34,51S0032,0Y !"=
34,5135,312ZY
1Z !"=#=
!"="#
"=$=$%= 34,6A70,0
34,5135,312
45V220I
Z
UIZIU
Die Schaltung zeigt induktives Verhalten:
der Strom eilt der Spannung um 45 - (-6,34) = 51,34 nach. !"= 34,5135,312Z
!=!"
!=#= 45A44,0
0500
45V220I
R
UI RR
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Komplexe Rechnung in der Elektrotechnik Seite 15
Lyce technique des Arts et Mtiers
!"="#
"=$= 45A10,1
90200
45V220I
X
UI L
L
L
!="!#
!=$= 135A55,0
90400
45V220I
X
UI C
C
C
Kontrolle:
CLRIIII ++=
!+"!+!= 135A55,045A10,145A44,0I
A)389,0j389,0(A)778,0j778,0(A)311,0j311,0(I !+"+!"+!+=
A)078,0j700,0(I !"=
!"= 34,6A7043,0I
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B E I S P I E L E :
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1. An einer reinen Induktivitt von 5mH liegt eine Spannung von 60V, 1500Hz.
Ermittle den Strom nach Betrag und Phase.
2. Eine Spule von R = 30! und L = 250mH liegt an 230V, 50Hz.
Ermittle den Strom nach Betrag und Phase. (" Ermittle den Strom I)
3. Eine Spule mit R = 20! liegt an 120V, 600Hz. Dabei wird ein Strom von 1,5A
gemessen.
Ermittle die Induktivitt der Spule sowie die Phasenverschiebung zwischen Strom und
Spannung. (L = 20,54mH, # = 75,5)
4. An einem Reihenschwingkreis aus R = 10!, L = 0,015mH, C = 1F liegt eine Span-
nung von 12V, 80kHz.
Ermittle den Strom nach Betrag und Phase. (I = 1,05A$-29)
5. Berechne Z, #, I, UR und UL fr folgende RL-Reihenschaltungen:
a) R = 20!, XL = 15!, U = 230V$0, f = 50Hz
b) R = 100!, L = 500mH, U = 230V$90, f = 50Hz
6. Berechne die Spannung U, damit fr die RL-Reihenschaltung (R = 40!, XL = 30!)
der Strom I = 2A$30 betrgt.
7. Berechne Z, #, I, UR, UL und UC fr folgende RLC-Reihenschaltungen:
a) R = 20!, XL = 30!, XC =0 15!, U = 230V$-120, f = 50Hz
b) R = 100!, L = 250mH, C = 500F, U = 230V$-240, f = 50Hz
c) R = 50!, XL = 20!, XC = 20!, U = 230V$0, f = 50Hz
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Beispiele: Komplexe Rechnung in der Elektrotechnik Seite 2
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8. Berechne Z, Y, #, I, IR, IL und IC fr folgende RLC-Parallelschaltungen:
a) R = 20!, XL = 30!, XC = 15!, U = 100V$0, f = 50Hz
b) R = 100!, L = 250mH, C = 500F, U = 100V$0, f = 50Hz
c) R = 50!, XL = 20!, XC = 20!, U = 100V$0, f = 50Hz
9. Berechne fr folgende Schaltung I, I1, I2, I3 und Z und bestimme die Ersatzschaltung.
I1
I2
I3
I
U
R1
R2
R3
XL
XC
XC = 6!R
1 = 10!
R2 = 3!
R3 = 8!
XL = 4!
10. Berechne nach der Methode der Ersatzspannungsquelle den Strom IL und die Span-
nung UL folgender Schaltung:
RL
RL
U IL
CL
CUL
L = 1H, R = 100!, C = 10-6
F, CL = 0,1F, RL = 100!, U = 100V$0, f = 100Hz
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11. Berechne den Scheinwiderstand folgender Schaltung:
Verhlt sich die Schaltung kapazitiv oder induktiv?
R1
XC
XL
R2
R1 = 150!, R2 = 100!, L = 0,8H, C = 15F, f = 50Hz
12. Ermittle den Strom I sowie die Ersatz-Reihenschaltung.
R1
XC
XL
R2
R1 = 6,1!, R2 = 3,2!, XC = 1,4!, XL = 7,4!, U = 20V, f = 50Hz
13. Ermittle den Strom I sowie die Ersatz-Reihenschaltung.
R1
L1
R2
R1 = 100!, L1 =50mH, R2 = 100!, U = 200V$0, f = 50Hz
14. Ermittle den Strom I sowie die Ersatz-Reihenschaltung.
R1
C1
R2
R1 = 100!, C1 =20F, R2 = 100!, U = 200Vej0
, f = 50Hz
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15. Ermittle den Strom I sowie die Ersatz-Reihenschaltung.
R L
C
R = 100!, L = 500mH, C =20F, U = 200V$0, f = 50Hz
16. Ermittle die Ersatz-Reihenschaltung.
R1
R2
XL2
XC1
R3
XL3
XC3
R1 = 6!, XC1 = 2!, R2 = 3!, XL2 = 7!, R3 = 5!, XL3 = 8!, XC3 = 10!
17. Ermittle die Ersatz-Reihenschaltung, den Gesamtstrom, die Teilstrme sowie die
Teilspannungen.
R1
XC2
XL1
R3
XL4
XC4
R2
R4
R1 = 40!, XL1 = 100!
R2 = 30!, XC2 = 60!
R3 = 100!
R4 = 10!, XL4 = 20!, XC4 = 10!
U = 230V$0
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18. Rechne den Wert von XL4 fr den der Strom gegenber der Spannung um 60
nacheilt. EXAMEN 1985
U
R1
R2
XL2
R3
XL4
R1 = 500!, R2 = 400!, XL2 = 100!, R3 = 200!
19. Der durch die Schaltung flieende Strom soll trotz Ab- und Zuschalten von R2 seine
Strke nicht ndern. Welchen Wert mu R2 haben?
R1
XL
R2
I
R1 = 40!, XL = 20!
20. Welchen Strom nimmt folgende Schaltung auf? EXAMEN 1983
XC
XLa
R31
R12
Ra
R32
U
R12 = 50!, Ra = 20!, R32 = 30!, R31 = 40!, XC = 50!, XLa = 60!
U = 25V ej0
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21. Gegeben ist folgende Schaltung: EXAMEN 1987
C
U
L R
R = 100!, L = 0,1H, C = 1F
a) Stelle die Formel auf zur Berechnung der Impedanz Z = Re(Z) + jIm(Z)
b) Bei welcher Frequenz wird Z reell?
c) Berechne die Impedanz der Schaltung mit den gegebenen Werten bei der unter
punkt b berechneten Frequenz.
22. Welchen Wert mu C haben, damit zwischen U1 und U2 eine Phasenverschiebung von
90 entsteht? EXAMEN 1987
C
U1
R U2
R
C
R = 300!, f = 50Hz
23. Gegeben ist folgende Schaltung:
R1 = 200!, R2 = 120!
L1 =750mH, C2 = 10F, f = 50Hz
a) Bestimme den Scheinwiderstand.
b) Verhlt sich die Schaltung induktiv oder
kapazitiv? Begrnde deine Antwort.
L1
R1
C2
R2
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24. Gegeben ist folgende Schaltung:
L
R XC
R = 100!, XL = 150!, XC =200!, f = 50Hz
a) Bestimme den Scheinwiderstand.
b) Verhlt sich die Schaltung induktiv oder kapazitiv? Begrnde deine Antwort.
25. Welchen Wert mu XL4 haben, damit I gegen U um 60 nacheilt?
R1
R2
R3
XL4
XC2
U
I
R1 = 50!, R2 = 30!, R3 = 20!, XC2 =70!
26. Gegeben ist folgende Schaltung: EXAMEN 1988
XC = 40!, XL = 80!
a) Stelle die Gleichung I = f(U, R, XL, XC) auf.
b) Fr welchen Wert von R sind U und I in Phase?
c) Wie gro mu R sein, damit I gegen U um 45
voreilt?
RXL
I
U
XC
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27. Gegeben ist folgende Schaltung: EXAMEN 1982
XL
R1
R2
U
I
R1 = 200!, XL = 300!, U = U$0
Bestimme R2, damit I = I$-20
28. Gegeben ist folgende Schaltung: EXAMEN 1984
R1
U
I
XL1
R3
XL3
XC2
R1 = 50!, XL1 = 60!, XC2 = 70!, R3 = 20!
Bestimme XL3, damit der Strom der Spannung um 30 nacheilt.
29. Gegeben ist folgende Schaltung: EXAMEN 1985
R1 = 500!, R2 = 400!,
XL2 = 500!, R3 = 20!
Bestimme XL4, damit der
Strom I der Spannung U
um 60 nacheilt.
R1
U
I
XL2
R2
R3
XL4
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Beispiele: Komplexe Rechnung in der Elektrotechnik Seite 9
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30. Gegeben ist folgende Schaltung: EXAMEN 1989
R1
U
XL2
XL3
XC1
R3
U3
R1 = 40!, XC1 = 70!, XL2 = 50!, R3 = 80!, U = 100V$0
Bestimme XL3, damit U3 gegenber U um 50 voreilt.
Wie gro ist in diesem Fall U3?
31. Gegeben ist folgende Schaltung: EXAMEN 1992
R1
U
I
XL1
R3
XC3
XC2
R1 = 100!, XL1 = 50!, R3 = 25!, XC3 = 25!
Bestimme XC2, damit Zges real wird.
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32. Gegeben sind R = 30! und XC = 20!. EXAMEN 2000
a) Rechne XL damit der Strom I mit der
anliegenden Gesamtspannung U in Phase
ist und ermittle fr diesen Fall den
Gesamtwiderstand der Schaltung.
b) Rechne mit den Werten aus Punkt a die
Strme IR und IC nach Betrag und Phase
wenn U = 24Vejo
.
33. Gegeben ist folgender Spannungsteiler:
L
UIR
C R
U1
U2
U = 1V $0, f = 5kHz
Dimensioniere L und C, damit IR = 100A betrgt, unabhngig vom Belastungs-
widerstand R.
34. Die Boucherot-Schaltung (Paul BOUCHEROT, ingnieur franais, 1869 - 1943)
U = 120V, f = 600Hz,
UG = 12V, PG = 3W
Dimensioniere die Schaltung so,
da an jeder Lampe 12 Volt abfal-
len, unabhngig von der Anzahl
der Lampen.
R
XLI
U
XC
IR
IC
L
U UP
UG
UG
UG
C