GGrundlagen des Lichts

2. VorlesungPhotorealistische ComputergrafikPhotorealistische Computergrafik

Thorsten Grosch

Was ist Licht ?Was ist Licht ?Einfache Beschreibung– Helligkeit oder Energie

Sehr ungenau, tatsächlich gibt es mind. 5 g , gverschiede Größen zur Beschreibung von Licht– Jede dieser Grundgrößen kann bezogen auf die Jede d ese G u dg öße a be oge au d e

jeweilige Anwendung sinnvoll seinIn dieser VorlesungIn dieser Vorlesung– Vorstellung aller Grundgrößen und deren

Zusammenhänge g– Diese einfachen Zusammenhänge werden in der

Vorlesung immer wieder benötigt

Was sieht das Auge ?Was sieht das Auge ?Licht = elektromagnetische WelleWelleLichtquelle versendet permanent kleine Wellenzüge (Photonen)(Photonen)Die Photonen werden (mehrfach) auf den Oberflächen der Objekte reflektiert undder Objekte reflektiert und nehmen dabei die Objektfarbe anGGelangt ein Photon ins Auge, so wird ein Rezeptor auf der Netzhaut aktiviertDieses Signal wird ans Gehirn weitergeleitet Das Bild entsteht

PhysikPhysikLicht hat Eigenschaften von Wellen und von Teilchen

– Kein perfektes ModellWelle

– Beugung– Beugung– Interferenz– Maxwell-Gleichungen

TeilchenTeilchen– Quantisierungseffekte

Diese Vorlesung– Praktisch keine Wellen (ausser

heute ☺), da diese Effekte in der Praxis nur selten auftretenPraxis nur selten auftreten

– Licht wird beschrieben in Form von Teilchen, Strahlen, „diffuser“ Strahlung, …

StrahlungStrahlungAus dem gesamten St hl kt i t

GK

Strahlungsspektrum ist nur ein kleiner Teil für das menschliche Auge

WechselsR

undfuM

ikrowe

Infraro

Ultravio

Gam

ma S

tK

osmischemenschliche Auge

sichtbar (380 – 780 nm)– Innerhalb dieses Bereichs

380 780

stromnk elleot lettrahlene S

tr.

][nmλwird jede Wellenlänge als eine andere Farbe wahrgenommen λ

][nmλ

wahrgenommen

Nicht sichtbar ist z.B. – UV-Licht (λ < 380 nm) fc ⋅= λUV Licht (λ 380 nm)– Infrarot-Licht (λ > 780 nm)

sek )gen /(SchwingunFrequenz:eWellenläng:

)/103( windigkeitLichtgesch: 8

f

smcλ

⋅

sek.)gen / (SchwingunFrequenz:f

Gewichtungsfunktion des AugesGewichtungsfunktion des Auges

1 0„V-Lambda“ KurveG t K d 1.0

0.8

0 6 )(λV

Genormte Kurve des menschlichen Auges– Mittelwert über viele 0.6

0.4

0.2

)(λVTestpersonenJede sichtbare Wellenlänge wird mit

500 600 700 8004000 λ [nm]violett blau grün gelb orangerot infra-rot

Wellenlänge wird mit unterschiedlicher Helligkeit wahrgenommen z B

Spektraler Hellempfindlichkeitsgrad von Testpersonen, 1924: “internationaler Standard-

wahrgenommen, z.B.– Gelb, Grün : Hell– Blau, Rot : Dunkel

Beobachter”, Deutschland: DIN 5031Normierung– Maximalwert = 1

Gewichtungsfunktion des AugesGewichtungsfunktion des Auges… ist unterschiedlich für:

V(λ): Tagessehen 1 0

)(λV)(λeqV)(λV ′

V(λ): Tagessehen (photopischer Bereich, nur Zapfen werden angeregt),

L 10 d 2

1.0

0.8

0 6– L > 10 cd · m-2

(Computerbildschirme sind in diesem Bereich)

V (λ) Dämmer ngssehen

0.6

0.4

0.2Veq(λ): Dämmerungssehen (mesopischer Bereich),

– L ≈ 10 cd · m-2500 600 700 8004000 λ [nm]

violett blau grün gelb orangerot infra-rot

V´(λ): Nachtsehen (skotopischer Bereich, nur farbuntüchtige Stäbchen werden angeregt),

– L < 10-5 cd · m-2

StrahlungsspektrumStrahlungsspektrumIn der Realität gibt es nur selten monochromatisches 1 0selten monochromatisches Licht– Ausnahme: Laser

1.0

0.8

0 6 )(λVEine Lichtquelle hat ein (Emissions-)Spektrum L(λ)Für die jetzt

0.6

0.4

0.2

)(λV)(λL

Für die jetzt wahrgenommene Helligkeit gilt

500 600 700 8004000 λ [nm]violett blau grün gelb orangerot infra-rot

– „Das Auge integriert“– Jeder Wellenlängenbereich

L(λ) wird mit V(λ) gewichtet ( ) ( ) gund „aufsummiert“Gesamthelligkeit

Photometrie und RadiometriePhotometrie und RadiometrieIm Auge passiert folgendes

Die spektrale Größe L(λ) wird– Die spektrale Größe L(λ) wird V(λ)-gewichtet integriert zu einer wellenlängen-unabhängigen Größe L ( ) ( ) λλλ dVLKL

nm

∫ ⋅=780

– Photometrie (Lichttechnik)Einheiten: Lumen, Candela,Lux…

( ) ( ) λλλ dVLKLnm

m ∫=380

– Im Gegensatz dazu gibt es die Radiometrie (Strahlungsphysik)( g p y )

– Hier wird L berechnet aus der gesamten Strahlung, auch nicht-sichtbare Bereiche, ohne V(λ)- ( ) λλ dLL ∫

+∞

=Gewichtung

Einheiten: Watt, Joule, …

( )∫∞−

Umrechnung Radiometrie - PhotometrieUmrechnung Radiometrie PhotometrieFestlegen des Einheitensystems war komplexer St d di i ßStandardisierungsprozeß– Seit 1967 ist die standardisierte Größe die Candela

Seit Oktober 1979 orientiert sich ihre Definition an dem Licht von– Seit Oktober 1979 orientiert sich ihre Definition an dem Licht von erstarrendem Platin

Photometrisches Strahlungsäquivalent (für oto et sc es St a u gsäqu a e t ( üTagessehen):

1683 −⋅= WlmK

– Km = „Wieviel Lumen ist ein Watt“

683= WlmKm

– Km = Maximale „Lichtausbeute“ für einen Laser mit 555 nm– Lichtquellen haben oft kleinere Werte, z.B. Glühbirne ~ 15 lm / W

FarbeFarbeZwei Arten von Rezeptoren auf der Netzhautauf der Netzhaut

Stäbchennur Helligkeitswahrnehmung, aktiv in dunkler Umgebungaktiv in dunkler Umgebung

ZapfenFarbwahrnehmungN i h ll ktiNur im hellen aktiv3 verschiedene Typen von Zapfen (LMS), jeder mit eigener spektraler [W ki & Stil 1982]eigener spektraler Hellempfindlichkeit [Wyszecki & Stiles 1982]

L: long (rot)M: medium (grün)S h t (bl )S: short (blau)

CIE XYZ-FarbsystemCIE XYZ FarbsystemRegelung der rgb-Werte, um eine beliebige, spektrale Farbe F nachzubilden

r g b F645 nm 526 nm 444 nm

g F

Jede sichtbare Farbe kann aus 3 Komponenten zusammengesetzt werden, aber evtl negative Anteile Normspektralkurvenaber evtl. negative Anteile

Dies führte (nach Umformung) zu den xyz-Basisfunktionen.

Normspektralkurven

[Wyszecki & Stiles 1982]

CIE XYZ-FarbsystemCIE XYZ Farbsystem

780( ) ( )λλV( ) ( ) λλλ dxLX

nm

nm∫ ⋅=

780

380

( ) ( )λλ yV =

( ) ( ) λλλ dyLYnm

∫ ⋅=780

380nm380

( ) ( ) λλλ dzLZnm

∫ ⋅=780

Normspektralkurven

nm∫

380

Die Farbe trägt die photometrische Information (Y Helligkeit)(bis auf Skalierung mit Km)Die Kurven haben keine negativen Werte g

Trennung Farbort und Helligkeit (xyY)Trennung Farbort und Helligkeit (xyY)

ZYXXx

++=

ZYXYy

++=

yxz −−=1

Angabe einer Farbe möglich als Farbort xy und Helligkeit Y

[Wyszecki & Stiles 1982]

Im weiteren Verlauf der Vorlesung: Licht wird als skalare Größe L betrachtet,obwohl es eigentlich ein Spektrum L(λ) ist bzw. als 3-komponentige Farbe LRGBg p ( ) p gbeschrieben werden müsste.

Photometrische GrundgrößenPhotometrische GrundgrößenZunächst anschauliche Definitionen der fünf wichtigsten GrößenGrößen– nicht immer 100% korrekt

Fü j d d G öß ibtFür jede der Größen gibt es– Eine radiometrische und eine photometrische Bezeichnung

In dieser Vorlesung werden die photometrischen Bezeichnungen verwendet

Recht verwirrend, da in der Literatur auch oft die englischen Begriffe verwendet werden 4 x 5 = 20englischen Begriffe verwendet werden 4 x 5 20 versch. Bezeichnungen, teilweise mit unterschiedlicher Notation

Strahlungsmenge Q(λ) Lichtmenge QStrahlungsmenge Q(λ), Lichtmenge QSo eine Definition sieht man häufig…– Die Lichtmenge Q ist die V(λ)-bewertete Strahlungs-menge Q(λ);

Q(λ) bezeichnet den gesamten Energie-verlust, den die Quelle durch die Strahlung erleidetg

– Die Einheit der Strahlungsmenge ist das Joule (J)Lichtmenge ist Lumen · Sekunde (lm · s)

( ) ( ) λλλ dVQKQnm

m ∫ ⋅=780

( ) ( )nm

m ∫380

(… das, was man bezahlt…)

Nicht intuitiv zu verstehen, daher erstmal eine anschauliche Beschreibung

Lichtmenge QLichtmenge QVorstellung

Ei Li ht ll d t λchfhEp

⋅=⋅=

– Eine Lichtquelle sendet permanent Photonen in alle Richtungen aus

λ

– Jedes Photon hat die Energie Ep

h: Planck Konstante Jsh 3410626.6 −⋅=

c: Lichtgeschwindigkeit

– Die Lichtmenge Q ist die Summe aller Photonen-Su e a e oto eEnergien

Selten verwendete (zeitabhängige) Größe(zeitabhängige) Größe…– Wird aber zur Definition

wichtigerer Größen benötigtEinheit der Lichtmenge istLumen · Sekunde (lm · s)

Lichtstrom φLichtstrom φInteressanter ist, wieviele Photonen pro Zeit von der t

QΔΔ

=φPhotonen pro Zeit von der Lichtquelle emittiert werdenDiese Größe wird als

tΔQΔ

Lichtstrom bezeichnetLichtstrom = Lichtmenge pro Zeit tΔZeit– Summe der Photonen-

Energien, die pro Zeitraum Δtemittiert werdenemittiert werden

Die Einheit des Lichtstroms ist das Lumen (lm)

Radiometrische Einheit: Watt

Raumwinkel ωRaumwinkel ωDer Raumwinkel ω ist eine räumliche Erweiterung desräumliche Erweiterung des zweidimensionalen Winkels im Bogenmaß. Er ist definiert durch d V hält i d b d kt

2rAk=ω

das Verhältnis der bedeckten Kugeloberfläche (Kugelkalotte) zum Quadrat des Kugelradius.– Größe der „Tüte“

Hilf öß D fi itiHilfsgröße zur Definition richtungsabhängiger Lichtverteilungen

Die Einheit des Raumwinkels ist Steradiant (sr)Steradiant (sr)

Winkel RaumwinkelWinkel, Raumwinkel

Radiant SteradiantRadiant Steradiant

Winkel: Bogenlänge auf Einheitskreis

Raumwinkel: Fläche auf Einheitskugel

Beispiel: Winkel Halbkreis = π, voller Kreis = 2π

Beispiel: Raumwinkel Halbkugel = 2π sr, volle Kugel = 4π srvoller Kreis 2π volle Kugel = 4π sr

Lichtstärke ILichtstärke ILichtquellen geben den Lichtstrom typischerweise nicht

φΔΔ

=IωΔ

Lichtstrom typischerweise nicht gleichmäßig in alle Richtungen ab

ωΔφΔ

– z.B. Spotlicht

Um festzulegen, wieviel Lichtstrom in eine „Richtung“

0=ILichtstrom in eine „Richtung fliegt, wird die Lichtstärke als Lichtstrom pro Raumwinkel definiertdefiniertVorstellung– Wieviele Photonen sind in der Die Einheit der Lichtstärke ist die

Tüte Candela (cd)

1 cd = 1 lm / sr

Beleuchtungsstärke EBeleuchtungsstärke EWieviel Licht kommt beim Empfänger anp g

Definition: Beleuchtungsstärke =

AE in

ΔΔ

=φ

φΔ– Beleuchtungsstärke = Ankommender Lichtstrom φ pro Empfängerfläche ΔA

inφΔ

Der Lichtstrom kommt dabei aus allen Richtungen AΔ

E ist unabhängig vom Empfängermaterial

Die Einheit der Beleuchtungsstärke ist das

Lux (lx)Vorstellung– Wieviele Photonen kommen

(pro Zeit) auf der Fläche an

Lux (lx)

1 lx = 1 lm / m²

(pro Zeit) auf der Fläche an

Radiosity BRadiosity BWieviel Licht sendet eine Fläche ab

Definition: Radiosity = Versendeter

AB out

ΔΔ

=φ

φΔ– Radiosity = Versendeter Lichtstrom φ pro Senderfläche ΔA

outφΔ

Der Lichtstrom geht dabei in alle Richtungen AΔ

Gleiche Definition wie E, aber Bist eine Sendergröße

Die Einheit der Radiosity ist lm / m²

Vorstellung– Wieviele Photonen werden (pro

Zeit) von der Fläche versendetZeit) von der Fläche versendet

Leuchtdichte LLeuchtdichte LAlle bisherigen Größen sind unsichtbar und sagen i.A. ωθ

φΔ⋅⋅Δ

Δ=

cosAL

unsichtbar und sagen i.A. nichts über die Helligkeit von Fläche bzw. Lichtquelle aus

φ

ωθ ΔΔ cosAωΔ

Definition der Leuchtdichte– Versendeter Lichtstrom Δφ pro

( i htb ) E fä flä h

outφΔ

θ

(sichtbarer) Empfängerfläche ΔAcosθ und Raumwinkel Δω

– entspricht der gesehenen Helligkeit

AΔHelligkeit

– Lichtstrom dabei nur in Richtung Auge

h i i t G öß

θcos⋅ΔA : Gesehene Fläche

Die Einheit der– schwierigste Größe…Vorstellung– Wieviele Photonen fliegen ins

Die Einheit der Leuchtdichte ist cd / m²

gAuge (pro Zeit und pro gesehener Fläche)

ZusammenfassungZusammenfassung

Ph t t i h R di t i h V i f htPhotometrischeBezeichnung Einheit Radiometrische

Bezeichnung Einheit Vereinfachter Zusammenhang

Q Lichtmenge Strahlungsmenge Q g(luminous energy)

g g(radiant energy)

φ Lichtstrom(luminous flux) lm Strahlungsfluß

(radiant flux) WtQ

ΔΔ

=φ( ) ( )

I Lichtstärke(luminous intensity) cd Strahlstärke

(radiant intensity) W / srωφ

ΔΔ

=I

tΔ

ΔφE Beleuchtungsstärke

(illuminance) lx Bestrahlungsstärke(irradiance) W / m²

B Radiosity lm / m² Radiosity W / m²

eAE

ΔΔ

=φ

B Δ=

φB Radiosity lm / m Radiosity W / m

L Leuchtdichte(luminance) cd / m² Strahldichte

(radiance) W / m²sr

sAΔ

ωθφ

Δ⋅⋅ΔΔ

=cosA

L

Beispiele (Größenordnungen)Beispiele (Größenordnungen)Lichtstrom Glühlampe 1000 lmp

Leuchtstofflampen 2000 lm

Leuchtdichte Nachthimmel 10-11 cd/m2Leuchtdichte NachthimmelBildschirmLeuchtstoffröhre

10 cd/m200 cd/m2

1.000 cd/m2

Sonne 109 cd/m2

Beleuchtungsstärke Vollmondnacht 0 2 lxBeleuchtungsstärke VollmondnachtSchreibtischSupermarkt

0,2 lx400 lx1000 lx

Im FreienBei Sonnenschein

10.000 lx100.000 lx

S. Müller - 26 -

Lambert Emitter Johann Heinrich Lambert EmitterIst eine Fläche aus jeder Betrachterrichtung gleich hell

Lambert

1728-1777

Betrachterrichtung gleich hell ( L(θ) = const. ), so spricht man von einem Lambert Emitter

Für eine konstante Leuchtdichte muß die Lichtstärke mit cos(θ)

θ θcosAΔ

AΔmuß die Lichtstärke mit cos(θ)abfallen (genauso wie die gesehene Fläche) θθ cos)( 0II =

AΔ

Dann gilt

)( 0

cos)( 00 III ⋅Δ θθφ .coscos

cos)(

cos)( 00 const

AI

AI

AI

AL =

Δ=

⋅Δ=

⋅Δ=

Δ⋅⋅ΔΔ

=θθ

θθ

ωθφθ

Lambert EmitterLambert Emitter

PhotonenverteilungLichtstärke oto e e te u gLichtstärke

outφΔ

AΔ

Die Leuchtdichte ist die Lichtstärke pro gesehener Fläche

Leuchtdichte

θθθcos

)()(⋅Δ

=AIL

Invarianz der LeuchtdichteInvarianz der LeuchtdichteBewegt man eine Lichtquelle von einer weißen Wand weg, so nimmt die Leuchtdichte (Helligkeit) der Wand quadratisch mit demnimmt die Leuchtdichte (Helligkeit) der Wand quadratisch mit dem Abstand ab

Bewegt sich der Betrachter von der Wand weg, so bleibt die Leuchtdichte konstant

I i d L htdi ht Di L htdi ht tl dInvarianz der Leuchtdichte: Die Leuchtdichte entlang des Sichtstrahls ist konstant (im Vakuum)

ZusammenhängeZusammenhänge Zwischen den Grundgrößen gibt es einige ZusammenhängeDiese beschreiben eine einfache Form der Lichtübertragung und kommen in ähnlicher Form immer wieder vorIm folgenden betrachten wir zwei Flächen mit der Lambert Eigenschaftder Lambert Eigenschaft

AnordnungAnordnung

eθsθ

dsAΔ deAΔ

s

Die Flächen befinden sich im Abstand d und sind um die Winkel θs und θe zur Verbindungsachse gedreht

Photometrisches GrundgesetzPhotometrisches GrundgesetzAndere Interpretation der Leuchtdichte eθsθLeuchtdichte

Für den Lichtstrom ΔφseeeA θcosΔ

deAΔ

sAΔ

ssA θcosΔFür den Lichtstrom Δφse

der von s nach e gelangt, gilt

Prop zu beiden Flächen 2

coscosd

AA eessse

θθφ Δ⋅Δ∝Δ

– Prop. zu beiden Flächen– Umgekehrt prop. zum

Quadrat des Abstands

d

coscos AA θθ Δ⋅ΔDie Leuchtdichte ist der Propotionalitätsfaktor

2

coscosd

AAL eessse

θθφ ΔΔ⋅=Δ

p

sss

se

eess

se

Ad

AALωθ

φθθ

φΔ⋅Δ

Δ=

Δ⋅ΔΔ

=coscoscos

2d

Photometrisches 2

cosd

A ees

θω Δ≈Δ

Entfernungsgesetz d

eeA θcosΔeθsθ

dsAΔsωΔ

seI φθ Δ=)(

deAΔ

s

Für die Lichtstärke gilts

sIω

θΔ

=)(

2cos)(

dAI se

s θφθ

ΔΔ

≈Einsetzen des Raumwinkels liefert

Für die Lichtstärke gilt

cos dA ee θΔse

AE

ΔΔ

=φ

sdEIθ

θcos

)(2⋅

≈Mit der Beleuchtungsstärke gilt somit eAΔ eθcos

20

2

coscoscos)(d

Id

IE eses θθθθ ⋅⋅=

⋅≈Die Beleuchtungsstärke lässt

sich also auch so schreiben ddsich also auch so schreiben

Andere Variante 2

cosd

A sse

θω Δ≈ΔAndere Variante d

eθsθ

dsAΔeωΔ

φΔ

deAΔ

s

2coscos

dAAL

eess

se

θθφ

⋅Δ⋅⋅ΔΔ

≈Ausgehend von der Leuchtdichte

se

AE

ΔΔ

=φ

d

wird Δωe und die Beleuchtungsstärke eingesetzt:EL

ωθ Δ⋅≈

coseAΔ

eeLE θω cos⋅Δ⋅≈Die Beleuchtungsstärke lässt sich also auch schreiben als

ee ωθ Δcos

auch schreiben als

Vergleich BeleuchtungsstärkeVergleich Beleuchtungsstärke

2

cosd

IE eθ⋅≈

Quadratische Abnahme der Beleuchtungsstärke mit der Entfernung

Photometrisches Entfernungsgesetz

eLE θω cos⋅Δ⋅≈Die Beleuchtungsstärke ergibt sich aus der Leuchtdichte des Senders

mal dem Raumwinkel unter dem dermal dem Raumwinkel, unter dem der Sender gesehen wird

(Die quadratische Abnahme mit der Entfernung ist hi i ht ff i htli h )hier nicht so offensichtlich…)

Korrekte DefinitionenKorrekte DefinitionenDie bisherige Beschreibung der Grundgrößen ist vereinfacht daGrundgrößen ist vereinfacht, da sie auf endlichen Größen basiertDie mathematisch korrekte Beschreibung benötigt infinitesimal kleine Größen QdQ ΔSo gilt z.B. für den Lichtstrom

tQ

dtdQ

ΔΔ

≈=φ

Die unendlich kleine Lichtmenge dQ pro unendlich kleinem Zeitintervall dt ist somit

dtdQ ⋅= φkleinem Zeitintervall dt ist somitDie gesamte Lichtmenge Qergibt sich dann als Integration

∑∫∫ Δ⋅≈⋅==i

i tdtdQQ φφ

Warum infinitesimal“? QdQ const ΔWarum „infinitesimal ?Falls der Lichtstrom über die Zeit konstant ist so kann die einfache tQ

tQ

dtdQ const

Δ⋅=ΔΔΔ

==

φ

φ

konstant ist, so kann die einfache Formel verwendet werden, hier gilt einfach

Q(t)

tQ ⋅= φ

Di Li ht Q i t kti h di

tQ ⋅= φ

Die Lichtmenge Q ist praktisch die Rechteckfläche im φ-t Diagramm

φ(t)t

Die Lichtmenge Q wächst linear mit der Zeit an

φ( )

φ

ttΔ

Warum infinitesimal“?Warum „infinitesimal ?Wenn sich der Lichtstrom zeitlichändert dann gilt die einfache

∑∫ Δ⋅≈⋅=i

i tdttQ φφ )(ändert, dann gilt die einfache Formel nicht mehr Q(t)

Allgemein gilt: Die Lichtmenge Q(t)ist die Fläche unter der Kurve von φ(t)φ(t)

Vorstellung φ(t)t

g– Summe von Rechteckflächen– Annahme, daß φ innerhalb eines

kleinen Zeitraums Δt konstant ist

φ( )

1φ

2φkleinen Zeitraums Δt konstant ist 2φ

∑ Δ⋅N

i tφ ∫ ⋅max

)(t

dttφ0, →Δ∞→ tN

ttΔ

∑=i 1

∫0

LichtstärkeLichtstärkeDie Lichtstärke I ist der infinitesimale Lichtstrom dφ pro

φφ Δ≈=

dIinfinitesimale Lichtstrom dφ pro infinitesimalem Raumwinkel dω ωω Δd

I

Für den Lichtstrom dφ gilt somit ωφ dId ⋅=

Oder: Der Lichtstrom ergibt sich als Integral der Lichtstärke über alle Richtungen

∫∫ ⋅==srsr

dId 4 4 ππ

ωφφa e c tu ge

LichtstärkeLichtstärke1φΔ

ωφ Δ=Δ IGegeben ist eine nicht-uniforme Verteilung der Lichtstärke

1I2I

2φΔωφ Δ⋅=Δ ii IVerteilung der Lichtstärke

Zur Berechnung des gesamten Lichtstroms müssen wir alle Teil-

Nπω 4

=ΔLichtströme aufsummieren

∑ ΔN

∫ )( ωω dI v0, →Δ∞→ ωN

Wie integriert man über alle

∑=

Δ⋅i

iI1

ω ∫ ⋅sr 4

)(π

ωω dI,

∑∑ Δ⋅≈Δ≈NN

I ωφφWie integriert man über alle Richtungen, also über die Kugel ?Wie integriert man über eine

∑∑==

Δ⋅≈Δ≈i

ii

i I11

ωφφ

Fläche ?

Integration über FlächeIntegration über FlächeVorstellung: Bewege ein kleines Flächenelement dA

ii

ii

i yxAA ∑∑ ΔΔ=Δ≈y

kleines Flächenelement dAüber die gesamte Fläche und summiere die Anteile

2

dy

Schreibweisex

∫A

dAyxf ),( dxdy

Bsp.: Flächenberechnung3

A

[ ]( ) [ ]( ) 623333 20

2

0

2

0

2

0

30

2

0

3

0

2

0

3

0

=⋅=====⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅== ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ydydydyxdydxdydxdAA

A

„Bewege dich von 0 bis 2 in y-Richtung, dabei jeweils von 0 bis 3 in x-Richtung und summiere alle dA´s“

Polarkoordinaten in 2DPolarkoordinaten in 2Dy

( )θ 20

P

y

P

( )πθ 2,0∈

( )∞∈ ,0r

x0

θ r

xx x

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

=x

P ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

=Pθ

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=y

PKart. ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=r

Ppolar

Z I t ti üb di K l b öti i iZur Integration über die Kugel benötigen wir eine Parametrisierung der Kugeloberfläche. Dies

geschieht über Polarkoordinaten.

Polarkoordinaten in 3DPolarkoordinaten in 3Dy

P

y

P

x0 ϕ

θ r

x0

z

x ϕ x

z

⎟⎞

⎜⎛ x

⎟⎞

⎜⎛θ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyPKart.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

rPpolar ϕ

⎠⎝

( )πθ ,0∈ ( )πϕ 2,0∈ ( )∞∈ ,0r⎠⎝ r

(gan e K gel )θ : Winkel zur y-Achse (Breitengrad)

ϕ: Rotation um y-Achse (Längengrad) (ganze Kugel…)ϕ: Rotation um y-Achse (Längengrad)

Polarkoordinaten in 3DPolarkoordinaten in 3D

yy

ϕ

θrθ

ϕ xx x

z

x

z

Festes ϕ, bewege θ Festes θ, bewege ϕ

Flächenelement auf einer Kugel

ϕθ dr ⋅⋅sinϕd

g

θsinr

dAθr

θr

ϕ θdr ⋅

ϕθθ ddrdA ⋅⋅⋅= sin2

θr θdϕθθω dddAd ⋅⋅== sin2r2

Beispiel Integration über KugelBeispiel Integration über KugelBerechne den Raumwinkel ωK der „Kugelkappe“ mit Öff i k l θÖffnungswinkel θ0

ϕθθω ddd ⋅⋅= sin∫=K dωω

ϕθθπ θ

dd ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅= ∫ ∫

2

0 0

0

sin

K

0θ1

⎠⎝0 0

[ ] ϕθπ

θ d⋅−= ∫2

00cos∫

0

ϕθπ

d⋅−= ∫2

0)cos1(

( )0cos12 θπ −=

ϕ∫0

0)(

∫−=π

ϕθ2

0)cos1( d [ ] πϕθ 200)cos1( −=∫

00

Umrechnung ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛θ

G bUmrechnung

yy⎟

⎟

⎠⎜⎜

⎝ rϕ :Gegeben

yθsin⋅r

P

θ r

P

θcos⋅rx0

ϕθ sinsin ⋅⋅r ϕθ cossin ⋅⋅r

θx

z

0ϕ x

z

0

z

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

⋅⋅⋅

=⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

θϕθ

coscossin

rr

yx

⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝ ⋅⋅⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝ ϕθ sinsinrzy

Photometrische GrößenPhotometrische GrößenDefinition von d Δφφ– Radiosity AdA

dB outout

ΔΔ

≈=φφ

d Δφφ– BeleuchtungsstärkeAdA

dE inin

ΔΔ

≈=φφ

d φφ Δ2

– Leuchtdichtesss

se

sss

se

AddAdL

ωθφ

ωθφ

Δ⋅ΔΔ

≈⋅

=coscos

2

BeleuchtungsstärkeBeleuchtungsstärkeFür einen endlich großen Sender gilt ωθω Δ⋅⋅≈ cos)( vLESender gilt

Für eine unendlich kleine

)(

θ dLdE )( vFür eine unendlich kleine Senderfläche gilt

ωθω dLdE ⋅⋅= cos)(

Die gesamte Beleuchtungsstärke erhält

d h I t tiωθω dLE ⋅⋅= ∫ cos)( v

man durch Integration über den Halbraum π sr

∫ )( 2

2L

1LωΔ

ωΔ

)(ωvL

E

Rendering EquationRendering EquationGlobale Beleuchtung

iiioiroeoo dxLxfxLxL ωωθωωωω ⋅⋅⋅+= ∫ ),(cos),,(),(),( vvvvv

srπ∫ 2

)(xL ωvEigenemssion

(nur Lichtquelle)

dE

)(xL ωv

),( ii xL ω

θ

( q )

x),( oo xL ω

rf : Reflexion an der Oberfläche,Gute Übersicht:

Global Illumination Compendiumgenaueres in der nächsten Vorlesung www.cs.kuleuven.be/~phil/GI