GGrundlagen des Lichts
2. VorlesungPhotorealistische ComputergrafikPhotorealistische Computergrafik
Thorsten Grosch
Was ist Licht ?Was ist Licht ?Einfache Beschreibung– Helligkeit oder Energie
Sehr ungenau, tatsächlich gibt es mind. 5 g , gverschiede Größen zur Beschreibung von Licht– Jede dieser Grundgrößen kann bezogen auf die Jede d ese G u dg öße a be oge au d e
jeweilige Anwendung sinnvoll seinIn dieser VorlesungIn dieser Vorlesung– Vorstellung aller Grundgrößen und deren
Zusammenhänge g– Diese einfachen Zusammenhänge werden in der
Vorlesung immer wieder benötigt
Was sieht das Auge ?Was sieht das Auge ?Licht = elektromagnetische WelleWelleLichtquelle versendet permanent kleine Wellenzüge (Photonen)(Photonen)Die Photonen werden (mehrfach) auf den Oberflächen der Objekte reflektiert undder Objekte reflektiert und nehmen dabei die Objektfarbe anGGelangt ein Photon ins Auge, so wird ein Rezeptor auf der Netzhaut aktiviertDieses Signal wird ans Gehirn weitergeleitet Das Bild entsteht
PhysikPhysikLicht hat Eigenschaften von Wellen und von Teilchen
– Kein perfektes ModellWelle
– Beugung– Beugung– Interferenz– Maxwell-Gleichungen
TeilchenTeilchen– Quantisierungseffekte
Diese Vorlesung– Praktisch keine Wellen (ausser
heute ☺), da diese Effekte in der Praxis nur selten auftretenPraxis nur selten auftreten
– Licht wird beschrieben in Form von Teilchen, Strahlen, „diffuser“ Strahlung, …
StrahlungStrahlungAus dem gesamten St hl kt i t
GK
Strahlungsspektrum ist nur ein kleiner Teil für das menschliche Auge
WechselsR
undfuM
ikrowe
Infraro
Ultravio
Gam
ma S
tK
osmischemenschliche Auge
sichtbar (380 – 780 nm)– Innerhalb dieses Bereichs
380 780
stromnk elleot lettrahlene S
tr.
][nmλwird jede Wellenlänge als eine andere Farbe wahrgenommen λ
][nmλ
wahrgenommen
Nicht sichtbar ist z.B. – UV-Licht (λ < 380 nm) fc ⋅= λUV Licht (λ 380 nm)– Infrarot-Licht (λ > 780 nm)
sek )gen /(SchwingunFrequenz:eWellenläng:
)/103( windigkeitLichtgesch: 8
f
smcλ
⋅
sek.)gen / (SchwingunFrequenz:f
Gewichtungsfunktion des AugesGewichtungsfunktion des Auges
1 0„V-Lambda“ KurveG t K d 1.0
0.8
0 6 )(λV
Genormte Kurve des menschlichen Auges– Mittelwert über viele 0.6
0.4
0.2
)(λVTestpersonenJede sichtbare Wellenlänge wird mit
500 600 700 8004000 λ [nm]violett blau grün gelb orangerot infra-rot
Wellenlänge wird mit unterschiedlicher Helligkeit wahrgenommen z B
Spektraler Hellempfindlichkeitsgrad von Testpersonen, 1924: “internationaler Standard-
wahrgenommen, z.B.– Gelb, Grün : Hell– Blau, Rot : Dunkel
Beobachter”, Deutschland: DIN 5031Normierung– Maximalwert = 1
Gewichtungsfunktion des AugesGewichtungsfunktion des Auges… ist unterschiedlich für:
V(λ): Tagessehen 1 0
)(λV)(λeqV)(λV ′
V(λ): Tagessehen (photopischer Bereich, nur Zapfen werden angeregt),
L 10 d 2
1.0
0.8
0 6– L > 10 cd · m-2
(Computerbildschirme sind in diesem Bereich)
V (λ) Dämmer ngssehen
0.6
0.4
0.2Veq(λ): Dämmerungssehen (mesopischer Bereich),
– L ≈ 10 cd · m-2500 600 700 8004000 λ [nm]
violett blau grün gelb orangerot infra-rot
V´(λ): Nachtsehen (skotopischer Bereich, nur farbuntüchtige Stäbchen werden angeregt),
– L < 10-5 cd · m-2
StrahlungsspektrumStrahlungsspektrumIn der Realität gibt es nur selten monochromatisches 1 0selten monochromatisches Licht– Ausnahme: Laser
1.0
0.8
0 6 )(λVEine Lichtquelle hat ein (Emissions-)Spektrum L(λ)Für die jetzt
0.6
0.4
0.2
)(λV)(λL
Für die jetzt wahrgenommene Helligkeit gilt
500 600 700 8004000 λ [nm]violett blau grün gelb orangerot infra-rot
– „Das Auge integriert“– Jeder Wellenlängenbereich
L(λ) wird mit V(λ) gewichtet ( ) ( ) gund „aufsummiert“Gesamthelligkeit
Photometrie und RadiometriePhotometrie und RadiometrieIm Auge passiert folgendes
Die spektrale Größe L(λ) wird– Die spektrale Größe L(λ) wird V(λ)-gewichtet integriert zu einer wellenlängen-unabhängigen Größe L ( ) ( ) λλλ dVLKL
nm
∫ ⋅=780
– Photometrie (Lichttechnik)Einheiten: Lumen, Candela,Lux…
( ) ( ) λλλ dVLKLnm
m ∫=380
– Im Gegensatz dazu gibt es die Radiometrie (Strahlungsphysik)( g p y )
– Hier wird L berechnet aus der gesamten Strahlung, auch nicht-sichtbare Bereiche, ohne V(λ)- ( ) λλ dLL ∫
+∞
=Gewichtung
Einheiten: Watt, Joule, …
( )∫∞−
Umrechnung Radiometrie - PhotometrieUmrechnung Radiometrie PhotometrieFestlegen des Einheitensystems war komplexer St d di i ßStandardisierungsprozeß– Seit 1967 ist die standardisierte Größe die Candela
Seit Oktober 1979 orientiert sich ihre Definition an dem Licht von– Seit Oktober 1979 orientiert sich ihre Definition an dem Licht von erstarrendem Platin
Photometrisches Strahlungsäquivalent (für oto et sc es St a u gsäqu a e t ( üTagessehen):
1683 −⋅= WlmK
– Km = „Wieviel Lumen ist ein Watt“
683= WlmKm
– Km = Maximale „Lichtausbeute“ für einen Laser mit 555 nm– Lichtquellen haben oft kleinere Werte, z.B. Glühbirne ~ 15 lm / W
FarbeFarbeZwei Arten von Rezeptoren auf der Netzhautauf der Netzhaut
Stäbchennur Helligkeitswahrnehmung, aktiv in dunkler Umgebungaktiv in dunkler Umgebung
ZapfenFarbwahrnehmungN i h ll ktiNur im hellen aktiv3 verschiedene Typen von Zapfen (LMS), jeder mit eigener spektraler [W ki & Stil 1982]eigener spektraler Hellempfindlichkeit [Wyszecki & Stiles 1982]
L: long (rot)M: medium (grün)S h t (bl )S: short (blau)
CIE XYZ-FarbsystemCIE XYZ FarbsystemRegelung der rgb-Werte, um eine beliebige, spektrale Farbe F nachzubilden
r g b F645 nm 526 nm 444 nm
g F
Jede sichtbare Farbe kann aus 3 Komponenten zusammengesetzt werden, aber evtl negative Anteile Normspektralkurvenaber evtl. negative Anteile
Dies führte (nach Umformung) zu den xyz-Basisfunktionen.
Normspektralkurven
[Wyszecki & Stiles 1982]
CIE XYZ-FarbsystemCIE XYZ Farbsystem
780( ) ( )λλV( ) ( ) λλλ dxLX
nm
nm∫ ⋅=
780
380
( ) ( )λλ yV =
( ) ( ) λλλ dyLYnm
∫ ⋅=780
380nm380
( ) ( ) λλλ dzLZnm
∫ ⋅=780
Normspektralkurven
nm∫
380
Die Farbe trägt die photometrische Information (Y Helligkeit)(bis auf Skalierung mit Km)Die Kurven haben keine negativen Werte g
Trennung Farbort und Helligkeit (xyY)Trennung Farbort und Helligkeit (xyY)
ZYXXx
++=
ZYXYy
++=
yxz −−=1
Angabe einer Farbe möglich als Farbort xy und Helligkeit Y
[Wyszecki & Stiles 1982]
Im weiteren Verlauf der Vorlesung: Licht wird als skalare Größe L betrachtet,obwohl es eigentlich ein Spektrum L(λ) ist bzw. als 3-komponentige Farbe LRGBg p ( ) p gbeschrieben werden müsste.
Photometrische GrundgrößenPhotometrische GrundgrößenZunächst anschauliche Definitionen der fünf wichtigsten GrößenGrößen– nicht immer 100% korrekt
Fü j d d G öß ibtFür jede der Größen gibt es– Eine radiometrische und eine photometrische Bezeichnung
In dieser Vorlesung werden die photometrischen Bezeichnungen verwendet
Recht verwirrend, da in der Literatur auch oft die englischen Begriffe verwendet werden 4 x 5 = 20englischen Begriffe verwendet werden 4 x 5 20 versch. Bezeichnungen, teilweise mit unterschiedlicher Notation
Strahlungsmenge Q(λ) Lichtmenge QStrahlungsmenge Q(λ), Lichtmenge QSo eine Definition sieht man häufig…– Die Lichtmenge Q ist die V(λ)-bewertete Strahlungs-menge Q(λ);
Q(λ) bezeichnet den gesamten Energie-verlust, den die Quelle durch die Strahlung erleidetg
– Die Einheit der Strahlungsmenge ist das Joule (J)Lichtmenge ist Lumen · Sekunde (lm · s)
( ) ( ) λλλ dVQKQnm
m ∫ ⋅=780
( ) ( )nm
m ∫380
(… das, was man bezahlt…)
Nicht intuitiv zu verstehen, daher erstmal eine anschauliche Beschreibung
Lichtmenge QLichtmenge QVorstellung
Ei Li ht ll d t λchfhEp
⋅=⋅=
– Eine Lichtquelle sendet permanent Photonen in alle Richtungen aus
λ
– Jedes Photon hat die Energie Ep
h: Planck Konstante Jsh 3410626.6 −⋅=
c: Lichtgeschwindigkeit
– Die Lichtmenge Q ist die Summe aller Photonen-Su e a e oto eEnergien
Selten verwendete (zeitabhängige) Größe(zeitabhängige) Größe…– Wird aber zur Definition
wichtigerer Größen benötigtEinheit der Lichtmenge istLumen · Sekunde (lm · s)
Lichtstrom φLichtstrom φInteressanter ist, wieviele Photonen pro Zeit von der t
QΔΔ
=φPhotonen pro Zeit von der Lichtquelle emittiert werdenDiese Größe wird als
tΔQΔ
Lichtstrom bezeichnetLichtstrom = Lichtmenge pro Zeit tΔZeit– Summe der Photonen-
Energien, die pro Zeitraum Δtemittiert werdenemittiert werden
Die Einheit des Lichtstroms ist das Lumen (lm)
Radiometrische Einheit: Watt
Raumwinkel ωRaumwinkel ωDer Raumwinkel ω ist eine räumliche Erweiterung desräumliche Erweiterung des zweidimensionalen Winkels im Bogenmaß. Er ist definiert durch d V hält i d b d kt
2rAk=ω
das Verhältnis der bedeckten Kugeloberfläche (Kugelkalotte) zum Quadrat des Kugelradius.– Größe der „Tüte“
Hilf öß D fi itiHilfsgröße zur Definition richtungsabhängiger Lichtverteilungen
Die Einheit des Raumwinkels ist Steradiant (sr)Steradiant (sr)
Winkel RaumwinkelWinkel, Raumwinkel
Radiant SteradiantRadiant Steradiant
Winkel: Bogenlänge auf Einheitskreis
Raumwinkel: Fläche auf Einheitskugel
Beispiel: Winkel Halbkreis = π, voller Kreis = 2π
Beispiel: Raumwinkel Halbkugel = 2π sr, volle Kugel = 4π srvoller Kreis 2π volle Kugel = 4π sr
Lichtstärke ILichtstärke ILichtquellen geben den Lichtstrom typischerweise nicht
φΔΔ
=IωΔ
Lichtstrom typischerweise nicht gleichmäßig in alle Richtungen ab
ωΔφΔ
– z.B. Spotlicht
Um festzulegen, wieviel Lichtstrom in eine „Richtung“
0=ILichtstrom in eine „Richtung fliegt, wird die Lichtstärke als Lichtstrom pro Raumwinkel definiertdefiniertVorstellung– Wieviele Photonen sind in der Die Einheit der Lichtstärke ist die
Tüte Candela (cd)
1 cd = 1 lm / sr
Beleuchtungsstärke EBeleuchtungsstärke EWieviel Licht kommt beim Empfänger anp g
Definition: Beleuchtungsstärke =
AE in
ΔΔ
=φ
φΔ– Beleuchtungsstärke = Ankommender Lichtstrom φ pro Empfängerfläche ΔA
inφΔ
Der Lichtstrom kommt dabei aus allen Richtungen AΔ
E ist unabhängig vom Empfängermaterial
Die Einheit der Beleuchtungsstärke ist das
Lux (lx)Vorstellung– Wieviele Photonen kommen
(pro Zeit) auf der Fläche an
Lux (lx)
1 lx = 1 lm / m²
(pro Zeit) auf der Fläche an
Radiosity BRadiosity BWieviel Licht sendet eine Fläche ab
Definition: Radiosity = Versendeter
AB out
ΔΔ
=φ
φΔ– Radiosity = Versendeter Lichtstrom φ pro Senderfläche ΔA
outφΔ
Der Lichtstrom geht dabei in alle Richtungen AΔ
Gleiche Definition wie E, aber Bist eine Sendergröße
Die Einheit der Radiosity ist lm / m²
Vorstellung– Wieviele Photonen werden (pro
Zeit) von der Fläche versendetZeit) von der Fläche versendet
Leuchtdichte LLeuchtdichte LAlle bisherigen Größen sind unsichtbar und sagen i.A. ωθ
φΔ⋅⋅Δ
Δ=
cosAL
unsichtbar und sagen i.A. nichts über die Helligkeit von Fläche bzw. Lichtquelle aus
φ
ωθ ΔΔ cosAωΔ
Definition der Leuchtdichte– Versendeter Lichtstrom Δφ pro
( i htb ) E fä flä h
outφΔ
θ
(sichtbarer) Empfängerfläche ΔAcosθ und Raumwinkel Δω
– entspricht der gesehenen Helligkeit
AΔHelligkeit
– Lichtstrom dabei nur in Richtung Auge
h i i t G öß
θcos⋅ΔA : Gesehene Fläche
Die Einheit der– schwierigste Größe…Vorstellung– Wieviele Photonen fliegen ins
Die Einheit der Leuchtdichte ist cd / m²
gAuge (pro Zeit und pro gesehener Fläche)
ZusammenfassungZusammenfassung
Ph t t i h R di t i h V i f htPhotometrischeBezeichnung Einheit Radiometrische
Bezeichnung Einheit Vereinfachter Zusammenhang
Q Lichtmenge Strahlungsmenge Q g(luminous energy)
g g(radiant energy)
φ Lichtstrom(luminous flux) lm Strahlungsfluß
(radiant flux) WtQ
ΔΔ
=φ( ) ( )
I Lichtstärke(luminous intensity) cd Strahlstärke
(radiant intensity) W / srωφ
ΔΔ
=I
tΔ
ΔφE Beleuchtungsstärke
(illuminance) lx Bestrahlungsstärke(irradiance) W / m²
B Radiosity lm / m² Radiosity W / m²
eAE
ΔΔ
=φ
B Δ=
φB Radiosity lm / m Radiosity W / m
L Leuchtdichte(luminance) cd / m² Strahldichte
(radiance) W / m²sr
sAΔ
ωθφ
Δ⋅⋅ΔΔ
=cosA
L
Beispiele (Größenordnungen)Beispiele (Größenordnungen)Lichtstrom Glühlampe 1000 lmp
Leuchtstofflampen 2000 lm
Leuchtdichte Nachthimmel 10-11 cd/m2Leuchtdichte NachthimmelBildschirmLeuchtstoffröhre
10 cd/m200 cd/m2
1.000 cd/m2
Sonne 109 cd/m2
Beleuchtungsstärke Vollmondnacht 0 2 lxBeleuchtungsstärke VollmondnachtSchreibtischSupermarkt
0,2 lx400 lx1000 lx
Im FreienBei Sonnenschein
10.000 lx100.000 lx
S. Müller - 26 -
Lambert Emitter Johann Heinrich Lambert EmitterIst eine Fläche aus jeder Betrachterrichtung gleich hell
Lambert
1728-1777
Betrachterrichtung gleich hell ( L(θ) = const. ), so spricht man von einem Lambert Emitter
Für eine konstante Leuchtdichte muß die Lichtstärke mit cos(θ)
θ θcosAΔ
AΔmuß die Lichtstärke mit cos(θ)abfallen (genauso wie die gesehene Fläche) θθ cos)( 0II =
AΔ
Dann gilt
)( 0
cos)( 00 III ⋅Δ θθφ .coscos
cos)(
cos)( 00 const
AI
AI
AI
AL =
Δ=
⋅Δ=
⋅Δ=
Δ⋅⋅ΔΔ
=θθ
θθ
ωθφθ
Lambert EmitterLambert Emitter
PhotonenverteilungLichtstärke oto e e te u gLichtstärke
outφΔ
AΔ
Die Leuchtdichte ist die Lichtstärke pro gesehener Fläche
Leuchtdichte
θθθcos
)()(⋅Δ
=AIL
Invarianz der LeuchtdichteInvarianz der LeuchtdichteBewegt man eine Lichtquelle von einer weißen Wand weg, so nimmt die Leuchtdichte (Helligkeit) der Wand quadratisch mit demnimmt die Leuchtdichte (Helligkeit) der Wand quadratisch mit dem Abstand ab
Bewegt sich der Betrachter von der Wand weg, so bleibt die Leuchtdichte konstant
I i d L htdi ht Di L htdi ht tl dInvarianz der Leuchtdichte: Die Leuchtdichte entlang des Sichtstrahls ist konstant (im Vakuum)
ZusammenhängeZusammenhänge Zwischen den Grundgrößen gibt es einige ZusammenhängeDiese beschreiben eine einfache Form der Lichtübertragung und kommen in ähnlicher Form immer wieder vorIm folgenden betrachten wir zwei Flächen mit der Lambert Eigenschaftder Lambert Eigenschaft
AnordnungAnordnung
eθsθ
dsAΔ deAΔ
s
Die Flächen befinden sich im Abstand d und sind um die Winkel θs und θe zur Verbindungsachse gedreht
Photometrisches GrundgesetzPhotometrisches GrundgesetzAndere Interpretation der Leuchtdichte eθsθLeuchtdichte
Für den Lichtstrom ΔφseeeA θcosΔ
deAΔ
sAΔ
ssA θcosΔFür den Lichtstrom Δφse
der von s nach e gelangt, gilt
Prop zu beiden Flächen 2
coscosd
AA eessse
θθφ Δ⋅Δ∝Δ
– Prop. zu beiden Flächen– Umgekehrt prop. zum
Quadrat des Abstands
d
coscos AA θθ Δ⋅ΔDie Leuchtdichte ist der Propotionalitätsfaktor
2
coscosd
AAL eessse
θθφ ΔΔ⋅=Δ
p
sss
se
eess
se
Ad
AALωθ
φθθ
φΔ⋅Δ
Δ=
Δ⋅ΔΔ
=coscoscos
2d
Photometrisches 2
cosd
A ees
θω Δ≈Δ
Entfernungsgesetz d
eeA θcosΔeθsθ
dsAΔsωΔ
seI φθ Δ=)(
deAΔ
s
Für die Lichtstärke gilts
sIω
θΔ
=)(
2cos)(
dAI se
s θφθ
ΔΔ
≈Einsetzen des Raumwinkels liefert
Für die Lichtstärke gilt
cos dA ee θΔse
AE
ΔΔ
=φ
sdEIθ
θcos
)(2⋅
≈Mit der Beleuchtungsstärke gilt somit eAΔ eθcos
20
2
coscoscos)(d
Id
IE eses θθθθ ⋅⋅=
⋅≈Die Beleuchtungsstärke lässt
sich also auch so schreiben ddsich also auch so schreiben
Andere Variante 2
cosd
A sse
θω Δ≈ΔAndere Variante d
eθsθ
dsAΔeωΔ
φΔ
deAΔ
s
2coscos
dAAL
eess
se
θθφ
⋅Δ⋅⋅ΔΔ
≈Ausgehend von der Leuchtdichte
se
AE
ΔΔ
=φ
d
wird Δωe und die Beleuchtungsstärke eingesetzt:EL
ωθ Δ⋅≈
coseAΔ
eeLE θω cos⋅Δ⋅≈Die Beleuchtungsstärke lässt sich also auch schreiben als
ee ωθ Δcos
auch schreiben als
Vergleich BeleuchtungsstärkeVergleich Beleuchtungsstärke
2
cosd
IE eθ⋅≈
Quadratische Abnahme der Beleuchtungsstärke mit der Entfernung
Photometrisches Entfernungsgesetz
eLE θω cos⋅Δ⋅≈Die Beleuchtungsstärke ergibt sich aus der Leuchtdichte des Senders
mal dem Raumwinkel unter dem dermal dem Raumwinkel, unter dem der Sender gesehen wird
(Die quadratische Abnahme mit der Entfernung ist hi i ht ff i htli h )hier nicht so offensichtlich…)
Korrekte DefinitionenKorrekte DefinitionenDie bisherige Beschreibung der Grundgrößen ist vereinfacht daGrundgrößen ist vereinfacht, da sie auf endlichen Größen basiertDie mathematisch korrekte Beschreibung benötigt infinitesimal kleine Größen QdQ ΔSo gilt z.B. für den Lichtstrom
tQ
dtdQ
ΔΔ
≈=φ
Die unendlich kleine Lichtmenge dQ pro unendlich kleinem Zeitintervall dt ist somit
dtdQ ⋅= φkleinem Zeitintervall dt ist somitDie gesamte Lichtmenge Qergibt sich dann als Integration
∑∫∫ Δ⋅≈⋅==i
i tdtdQQ φφ
Warum infinitesimal“? QdQ const ΔWarum „infinitesimal ?Falls der Lichtstrom über die Zeit konstant ist so kann die einfache tQ
tQ
dtdQ const
Δ⋅=ΔΔΔ
==
φ
φ
konstant ist, so kann die einfache Formel verwendet werden, hier gilt einfach
Q(t)
tQ ⋅= φ
Di Li ht Q i t kti h di
tQ ⋅= φ
Die Lichtmenge Q ist praktisch die Rechteckfläche im φ-t Diagramm
φ(t)t
Die Lichtmenge Q wächst linear mit der Zeit an
φ( )
φ
ttΔ
Warum infinitesimal“?Warum „infinitesimal ?Wenn sich der Lichtstrom zeitlichändert dann gilt die einfache
∑∫ Δ⋅≈⋅=i
i tdttQ φφ )(ändert, dann gilt die einfache Formel nicht mehr Q(t)
Allgemein gilt: Die Lichtmenge Q(t)ist die Fläche unter der Kurve von φ(t)φ(t)
Vorstellung φ(t)t
g– Summe von Rechteckflächen– Annahme, daß φ innerhalb eines
kleinen Zeitraums Δt konstant ist
φ( )
1φ
2φkleinen Zeitraums Δt konstant ist 2φ
∑ Δ⋅N
i tφ ∫ ⋅max
)(t
dttφ0, →Δ∞→ tN
ttΔ
∑=i 1
∫0
LichtstärkeLichtstärkeDie Lichtstärke I ist der infinitesimale Lichtstrom dφ pro
φφ Δ≈=
dIinfinitesimale Lichtstrom dφ pro infinitesimalem Raumwinkel dω ωω Δd
I
Für den Lichtstrom dφ gilt somit ωφ dId ⋅=
Oder: Der Lichtstrom ergibt sich als Integral der Lichtstärke über alle Richtungen
∫∫ ⋅==srsr
dId 4 4 ππ
ωφφa e c tu ge
LichtstärkeLichtstärke1φΔ
ωφ Δ=Δ IGegeben ist eine nicht-uniforme Verteilung der Lichtstärke
1I2I
2φΔωφ Δ⋅=Δ ii IVerteilung der Lichtstärke
Zur Berechnung des gesamten Lichtstroms müssen wir alle Teil-
Nπω 4
=ΔLichtströme aufsummieren
∑ ΔN
∫ )( ωω dI v0, →Δ∞→ ωN
Wie integriert man über alle
∑=
Δ⋅i
iI1
ω ∫ ⋅sr 4
)(π
ωω dI,
∑∑ Δ⋅≈Δ≈NN
I ωφφWie integriert man über alle Richtungen, also über die Kugel ?Wie integriert man über eine
∑∑==
Δ⋅≈Δ≈i
ii
i I11
ωφφ
Fläche ?
Integration über FlächeIntegration über FlächeVorstellung: Bewege ein kleines Flächenelement dA
ii
ii
i yxAA ∑∑ ΔΔ=Δ≈y
kleines Flächenelement dAüber die gesamte Fläche und summiere die Anteile
2
dy
Schreibweisex
∫A
dAyxf ),( dxdy
Bsp.: Flächenberechnung3
A
[ ]( ) [ ]( ) 623333 20
2
0
2
0
2
0
30
2
0
3
0
2
0
3
0
=⋅=====⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⋅== ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ydydydyxdydxdydxdAA
A
„Bewege dich von 0 bis 2 in y-Richtung, dabei jeweils von 0 bis 3 in x-Richtung und summiere alle dA´s“
Polarkoordinaten in 2DPolarkoordinaten in 2Dy
( )θ 20
P
y
P
( )πθ 2,0∈
( )∞∈ ,0r
x0
θ r
xx x
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
=x
P ⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
=Pθ
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
=y
PKart. ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
=r
Ppolar
Z I t ti üb di K l b öti i iZur Integration über die Kugel benötigen wir eine Parametrisierung der Kugeloberfläche. Dies
geschieht über Polarkoordinaten.
Polarkoordinaten in 3DPolarkoordinaten in 3Dy
P
y
P
x0 ϕ
θ r
x0
z
x ϕ x
z
⎟⎞
⎜⎛ x
⎟⎞
⎜⎛θ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
zyPKart.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
rPpolar ϕ
⎠⎝
( )πθ ,0∈ ( )πϕ 2,0∈ ( )∞∈ ,0r⎠⎝ r
(gan e K gel )θ : Winkel zur y-Achse (Breitengrad)
ϕ: Rotation um y-Achse (Längengrad) (ganze Kugel…)ϕ: Rotation um y-Achse (Längengrad)
Polarkoordinaten in 3DPolarkoordinaten in 3D
yy
ϕ
θrθ
ϕ xx x
z
x
z
Festes ϕ, bewege θ Festes θ, bewege ϕ
Flächenelement auf einer Kugel
ϕθ dr ⋅⋅sinϕd
g
θsinr
dAθr
θr
ϕ θdr ⋅
ϕθθ ddrdA ⋅⋅⋅= sin2
θr θdϕθθω dddAd ⋅⋅== sin2r2
Beispiel Integration über KugelBeispiel Integration über KugelBerechne den Raumwinkel ωK der „Kugelkappe“ mit Öff i k l θÖffnungswinkel θ0
ϕθθω ddd ⋅⋅= sin∫=K dωω
ϕθθπ θ
dd ⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅= ∫ ∫
2
0 0
0
sin
K
0θ1
⎠⎝0 0
[ ] ϕθπ
θ d⋅−= ∫2
00cos∫
0
ϕθπ
d⋅−= ∫2
0)cos1(
( )0cos12 θπ −=
ϕ∫0
0)(
∫−=π
ϕθ2
0)cos1( d [ ] πϕθ 200)cos1( −=∫
00
Umrechnung ⎟⎟⎞
⎜⎜⎛θ
G bUmrechnung
yy⎟
⎟
⎠⎜⎜
⎝ rϕ :Gegeben
yθsin⋅r
P
θ r
P
θcos⋅rx0
ϕθ sinsin ⋅⋅r ϕθ cossin ⋅⋅r
θx
z
0ϕ x
z
0
z
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
⋅⋅⋅
=⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
θϕθ
coscossin
rr
yx
⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝ ⋅⋅⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝ ϕθ sinsinrzy
Photometrische GrößenPhotometrische GrößenDefinition von d Δφφ– Radiosity AdA
dB outout
ΔΔ
≈=φφ
d Δφφ– BeleuchtungsstärkeAdA
dE inin
ΔΔ
≈=φφ
d φφ Δ2
– Leuchtdichtesss
se
sss
se
AddAdL
ωθφ
ωθφ
Δ⋅ΔΔ
≈⋅
=coscos
2
BeleuchtungsstärkeBeleuchtungsstärkeFür einen endlich großen Sender gilt ωθω Δ⋅⋅≈ cos)( vLESender gilt
Für eine unendlich kleine
)(
θ dLdE )( vFür eine unendlich kleine Senderfläche gilt
ωθω dLdE ⋅⋅= cos)(
Die gesamte Beleuchtungsstärke erhält
d h I t tiωθω dLE ⋅⋅= ∫ cos)( v
man durch Integration über den Halbraum π sr
∫ )( 2
2L
1LωΔ
ωΔ
)(ωvL
E
Rendering EquationRendering EquationGlobale Beleuchtung
iiioiroeoo dxLxfxLxL ωωθωωωω ⋅⋅⋅+= ∫ ),(cos),,(),(),( vvvvv
srπ∫ 2
)(xL ωvEigenemssion
(nur Lichtquelle)
dE
)(xL ωv
),( ii xL ω
θ
( q )
x),( oo xL ω
rf : Reflexion an der Oberfläche,Gute Übersicht:
Global Illumination Compendiumgenaueres in der nächsten Vorlesung www.cs.kuleuven.be/~phil/GI