Die Gaußverteilung

Inhalt

Spezielle Verteilungen:

1. Die Gaußverteilung (Normalverteilung)

2. Die Poisson-Verteilung

Die Gauß-Verteilung

Man nimmt mit Gauß an:• jede Messung zeigt zufällige Abweichungen von einem

unbekannten idealen, wahren Wert, dem „Mittelwert“• Die Anzahl der Messwerte mit zunehmendem Abstand

vom idealen Wert nimmt gemäß der Gauß-Verteilung ab

• Gaußkurve mit μ = 3, σ = 1

Die Gaußverteilung φ(x)

2

2

2

)(

2

1)(

x

exMittelwert der

Messungen μ = 0, Standard-

abweichung σ = 1

2

2

2

)(

2

1)(

x

ex

Mittelwert µ

Standard-abweichung σ

Die Gauß-Verteilung ist durch zwei Parameter definiert: Den Mittelwert μ der Messungen und deren Standardabweichung σ

Die Standard-abweichung zeigt

die halbe Breite der Gaußkurve bei 60% ihrer max.

Höhe

Gaußverteilung φ(x) und Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - σ) < x < (µ + σ) zu erhalten

2

2

2

)(

2

1)(

x

exMittelwert der

Messungen μ = 0, Standard-

abweichung σ = 1

2

2

2

)(

2

1)(

x

ex

Mittelwert µ

…. einen Wert zwischen (µ - σ) und (µ + σ) zu messen. Sie entspricht 68% der gesamten Fläche unter der Gaußkurve

Standard-abweichung σ

Diese Fläche zeigt die

Wahrscheinlichkeit…

Gaußverteilung φ(x) und Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - 2σ) < x < (µ + 2σ) zu erhalten

2

2

2

)(

2

1)(

x

exMittelwert der

Messungen μ = 0, Standard-

abweichung σ = 1

2

2

2

)(

2

1)(

x

ex

Mittelwert µ

…. einen Wert zwischen (µ - 2σ) und (µ + 2σ) zu messen. Sie entspricht 95% der gesamten Fläche unter der Gaußkurve

Standard-abweichung σ

Diese Fläche zeigt die

Wahrscheinlichkeit…

Gaußverteilung φ(x) und Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - 3σ) < x < (µ + 3σ) zu erhalten

2

2

2

)(

2

1)(

x

exMittelwert der

Messungen μ = 0, Standard-

abweichung σ = 1

2

2

2

)(

2

1)(

x

ex

Mittelwert µ

…. einen Wert zwischen (µ - 3σ) und (µ + 3σ) zu messen. Sie entspricht 99,7% der gesamten Fläche unter der Gaußkurve

Standard-abweichung σ

Diese Fläche zeigt die

Wahrscheinlichkeit…

Intervallbreite um den Mittelwert µWahrscheinlichkeit einen

Messwert innerhalb dieses Intervalls zu erhalten

±1 σ 68%

±2 σ 95%

±3 σ 99,7%

Wahrscheinlichkeiten, Messwerte innerhalb eines Intervalls von ±1, ±2, ±3 Standardabweichungen um den Mittelwert

zu erhalten

Beispiel: Bei 1000-facher Wiederholung der gleichen Messung sind 997 Messwerte innerhalb eines Intervalls der Breite von ± drei Standard-Abweichungen um den Mittelwert zu erwarten, nur 3 mit einem größeren Abstand

Standardabweichung der Messwerte

Bei Normal-verteilten Daten ist die Standardabweichung σ ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, in einer weiteren Messung einen Messwert im Intervall ±σ um den Mittelwert μ zu erhalten

Standardabweichung der N Messwerte xn

N

nnxN 1

2

1

1

Standardabweichung des Mittelwerts zu N Messwerten xn

Standardabweichung des Mittelwerts

N

Folge: Um die Standardabweichung des Mittelwerts auf die Hälfte zu reduzieren, ist die vierfache Anzahl von Beobachtungen erforderlich

Zusammenfassung

Bei Normal-verteilten Messwerten gilt:• Legt man ein Intervall der Breite ± N·σ um den

Mittelwert µ, dann erwartet man bei mehrfacher Wiederholung der Messung für– N=1 68 % – N=2 95 % – N=3 99,7 % der Messwerte innerhalb, den Rest außerhalb des

Intervalls

• Die Standardabweichung σµ des Mittelwerts ist

– σµ = σ / Wurzel(N)

Das heißt, um σµ auf die Hälfte zu reduzieren bedarf es der 4-fachen Anzahl der Messwerte!

finis

• Quelle: http://www.diss.fu-berlin.de/diss/servlets/MCRFileNodeServlet/FUDISS_derivate_000000002900/1_Kapitel_1.pdf

Q: Welche medizinisch relevante Information zeigt die Folge der Histogramme?

A: Bei etwa konstantem Mittelwert steigt die Breite der Verteilung: Das heißt, sie zunehmend ältere, aber auch jüngere Patienten erhalten Hüftendoprothesen