Mittelwert und Standardabweichung

Inhalt

• Verteilung, Histogramm• Mittelwert• Standardabweichung

– der Messwerte– des Mittelwerts

• Gauß- und Normalverteilung

Verteilung und Histogramm

• Trägt man die Anzahl der in einem Intervall einer ihrer Eigenschaften gefundenen Werte gegen die Intervalle der Eigenschaften auf, dann erhält man eine „Verteilung“ der Werte bezüglich der Eigenschaft bzw. ein „Histogramm“

Altersverteilung bei der Primärimplantation von Hüftendoprothesen (Datenquelle: Norwegisches Endoprothesenregister)

Mittelwert und Standardabweichung einer Verteilung

• Jede Verteilung ist durch ihren Mittelwert und ihre Standardabweichung charakterisiert

  Alter AnzahlAlter*

Anzahl

(Alter-Mittelwert)^2

*Anzahl

  55 19 1045 4447,7

  65 26 1690 730,3

  75 38 2850 839,4

  85 17 1445 3673,5

Summen   100 7030 9691,0

Mittelwert     70,3  

Standard-abweichung       9,9

Mittelwert zu N Messwerten xn

Varianz der N Messwerte xn

Standardabweichung der N Messwerte xn

Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung

N

nnxN 1

1

N

nnxN 1

22

1

1

N

nnxN 1

2

1

1

Standardabweichung der Messwerte

Die Standardabweichung σ ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, bei einer weiteren Messung einen Messwert im Intervall ±σ um den Mittelwert μ zu erhalten

Standardabweichung der N Messwerte xn

N

nnxN 1

2

1

1

Standardabweichung des Mittelwerts zu N Messwerten xn

Standardabweichung des Mittelwerts

N

Folge: Um die Standardabweichung des Mittelwerts auf die Hälfte zu reduzieren, ist die vierfache Anzahl von Beobachtungen erforderlich

Standardabweichung der N Messwerte xn

N

nnxN 1

2

1

1

Die Gauß-Verteilung

Man nimmt mit Gauß an:• jede Messung zeigt zufällige Abweichungen von einem –

unbekannten- idealen, wahren Wert• Die Anzahl der Messwerte mit zunehmendem Abstand

vom idealen Wert nimmt gemäß der Gauß-Verteilung ab

• Gaußkurve mit μ = 3, σ = 1

Die Gaußverteilung

Die Theorie beruht auf der Annahme, die Verteilung der Messwerte folge einer Gauß-Verteilung

2

2

2

)(

2

1)(

x

ex

Mittelwert µ

Standard-abweichung σ

In der Grafik: μ = 0, σ = 1

Von der Gaußverteilung zur Wahrscheinlichkeit

Die Gaußverteilung φ(x) zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichte. φ(x0)·Δx ist die Wahrscheinlichkeit, bei mehrfacher Wiederholung der gleichen Messung einen Messwert x im Intervall zwischen x0 - Δx/2 und x0 + Δx/2 zu erhalten

2

2

2

)(

2

1)(

x

exMittelwert der

Messungen μ = 0, Standard-

abweichung σ = 1

Wahrscheinlichkeit eines Messwerts

Die Wahrscheinlichkeit, einen Messwert zwischen 1,25 und 1,75 zu erhalten, beträgt 0,065

2

2

2

)(

2

1)(

x

ex

Intervall Δx = 0,5

φ(x0) = 0,13

-Bei 1000 „identischen“ Messungen werden 65 Messwerte zwischen 1,5 und 2 erwartet-

Mittelwert der Messungen μ = 0,

Standard-abweichung σ = 1

Messwert x0 = 1,5

Diese Fläche zeigt die

Wahrscheinlichkeit…

Normierte Gaußverteilung und ihr Integral, die „Normalverteilung“

Die Normalverteilung Φ(x) ist das Integral über die normierte Gaußverteilung φ(x). Φ(1,5) zeigt die Wahrscheinlichkeit, bei mehrfacher Wiederholung der gleichen Messung einen Messwert x kleiner als 1,5 zu erhalten

Messwert x0 = 1,5

Φ(x0) = 0,93Mittelwert der Messungen μ = 0,

Standard-abweichung σ = 1

Φ(x0) ist die Wahrscheinlichkeit,

x<x0 zu erhalten

Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - σ) < x < (µ + σ) zu erhalten

68 % der Messwerte werden innerhalb der einfachen Standardabweichung erwartet

68% für N = 1

Φ(1) - Φ(-1) = 0,68

Φ(1) = 0,84

Φ(-1) = 0,16

Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - N·σ) < x < (µ + N·σ) zu erhalten

68 % der Messwerte werden innerhalb der einfachen Standardabweichung erwartet

68% für N = 1

95% für N = 2

99,7% für N = 3

95 % innerhalb der zweifachen, 99,7% der dreifachen Standardabweichung

Intervallbreite um den Mittelwert µWahrscheinlichkeit einen

Messwert innerhalb dieses Intervalls zu erhalten

±1 σ 68%

±2 σ 95%

±3 σ 99,7%

Wahrscheinlichkeiten, Messwerte innerhalb eines Intervalls von ±1, ±2, ±3 Standardabweichungen um den Mittelwert

zu erhalten

Beispiel: Bei 1000-facher Wiederholung der gleichen Messung sind 997 Messwerte innerhalb eines Intervalls der Breite von ± drei Standard-Abweichungen um den Mittelwert zu erwarten, nur 3 mit einem größeren Abstand

Zusammenfassung• Die Messung eines Wertes x werde mehrfach wiederholt• Der Mittelwert µ ist ein Quotient,

– Zähler Summe über alle Messwerte x, – Nenner Anzahl der Messwerte

• Die Standardabweichung σ ist ein Quotient, – Zähler: Wurzel aus der Summe über alle Quadrate der

Differenzen zwischen den Messwerten x und dem Mittelwert µ,

– Nenner: Wurzel aus der Anzahl der Messwerte, -1• Legt man ein Intervall der Breite ± N·σ um den Mittelwert µ,

dann erwartet man bei mehrfacher Wiederholung der Messung für– N=1 68 % – N=2 95 % – N=3 99,7 % der Messwerte innerhalb, den Rest außerhalb des Intervalls

finis

• Quelle: http://www.diss.fu-berlin.de/diss/servlets/MCRFileNodeServlet/FUDISS_derivate_000000002900/1_Kapitel_1.pdf