BODENMECHANIK UND FELSMECHANIKDruckverteilung im Baugrund Seite 6.1 ·1
6
6.1
6.1.1
Druckverteilung im Baugrund
Spannungen und Verformungen infolge einer an der Oberflächeangreifenden lotrechten Einzellast
Lösung von Boussinesq
Voraussetzungen: 1. Der Halbraum ist homogen, E und ~ sind bei gleichbleibenderRichtung in jedem Punkt des Halbraumes gleich groß.
2. Der Halbraum ist isotrop, E und U sind in jeder Richtung gleichgroB.
3. Der Halbraum ist elastisch, das Hooke' sche Gesetz gilt ohneEinschränkungen. Dies bedeutet, daß auch Zugspannungen aufgenommen werden und einzelne Lastfälle linear superponiert werdenkönnen.
4. Der Halbraum ist gewichtslos.5. Die ersten Ableitungen der ve r ac nf.e bunge'n p und S sind klein im
Vergleich zu 1.
Bezeichnungen:
Spannungen im Punkt N im
elastisch-isotropen Halbraurn
infolge der Einzellast P
PLastr Radius (waagrechter Abstand von
der Lastachse)
~ Winkel zwischen Radiusvektor ON
und Lastachse
z lotrechter Abstand von der
Oberfläche des Halbraurnes
a z lotrechte Normalspannung
a r waagrechte radiale Normalspan
nungat waagrechte tangentiale Normal
spannung
~rz Schub spannung in Richtung
von r und zVPoissonzahl: des den Halbraum
erfüllenden Stoffes
~ Verschiebung in lotrechter
Richtung
Q Verschiebung in radialer Rich
tung
Die Poissonzahl liegt bei Gültigkeit des Hookeschen Gesetzes im Bereich
o s v s; 0, 5.
Eine Poissonzahl von 0,5 bedeutet, daß sich ein Bodenelement volumenkonstant
verformt. Es ist auch gebräuchlich, den Kehrwert m der Poissonzahl als Maß für die
Querdehnung zu verwenden. Es gilt:
1m=-.
v
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5.1.1.1 Ausgangsgleichungen
a ) . Gleichgewichtsbedingungen am Raumelement
dr
Oz It '!zr..
r
Seite 6.1 - 2
T,~zjDr
ih: Abb, 2dr
l:rz +~ dr
dz Aufriß rz -Ebene..OOr
1 0r +vr dr (Meridianschnitt)
()l:zr ..
1Oz''tz r +~dzÜO z15Z dz
z
;)0dr + uf- dr-
---I........ rAbb, 3
Grundriß z ~ const.
Wegen der Syrnrn e tr i e von System und Belastung werden in den Meridianebenen als Symmetrie
ebenen keine Schubspannungen übertragen. Für eine beliebige Ebene (rz) ergeben sich folgende
Gleichgewichts aus sagen:
1. Gl e ichge wic ht gegen Verdrehen:
'rz: = 'zr = 1: (zugeordnete Schubspannungen)
2. Gleichgewicht gegen Verschieben in Richtung z:
DOz . r + .Q!. . r + 1: = 0Oz: ur
3. Gleichgewicht gegen Verschieben in Richtung r:
VOr D't--' r + 0r + - • r ~ 0t = 0ur uz:
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(1 )
(2)
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b) Verträglichkeit der Formänderungen (Geometrie)
VI e gen des rotationssyrnmetrischen Verformungs zustaride s treten senkrecht zur rz -Ebene (d , h , in
tangentialer 'Richtung) keine Ve r schfebunge n auf. Durch die Funktionen p ( r, z ) und ~ (r, z) sind die
Verschiebungen eines bel i e b i ge n Punktes N (r , z) somit eindeutig beschrieben,
Für die geometrische Verträglichkeit der Formänderungen ergeben sich folgende Bedingu;'gen:
Yrz =Y =Y1 + Y2
y=~+~
r ( p )
Abb, 4
dr--lf---- r--+-
z ( ~ )
Tz
J1
p
----'""'\\ \\pdlfl \\ I-l--+- r ( p )
Abb. 5
Wie vorausgesetzt, sind die Verschiebungen klein im Vergleich zu den Abmessungen:
Er =up
0;:-
EZ = iJ~
DiAus den obigen Abbildungen folgt: (3 )
Et = .e,r
y = 1l~ iJp-+
Jzur
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c) 'Werkstoffgesetz (Hooke)
Seite 6.1 ·4
, Das Hookesche Ge setz verknüpft die Verzerrungen mit den Spannungen wie folgt (Spannungs-
(4)
Yrz
Für die Volumendehnung (Dilatation) gilt:
e = [E = Er + Et + Ez: (5)
Der Zusammenhang zwischen Schubmodul und Elastizitätsmodul ist gegeben durch:
G =E mE
2 (1 + J.1) = 2 (rn- 1)
(6)
E 2Gm+1
= m
Mit (5) und (6) lassen sich aus (4) die Spannungen durch die Verzerrungen ausdrücken:
( Er +e
C1r = 2G iTi""=2 )
2G ( Et +e
C1t = rn:2 )
(7)
2G ( Ez: +eC1z = m - 2 )
t = G 'Y
6.1.1.2 Spannungs-Verformungs-Beziehungen am Bodenelement
Aus den Spannungs - Verzerrungs -Gleichungen (7) erhält man mit den Verträglichkeitsbedingun-
gen (3) die spannungs-Verformungs-Gleichungen.
C1r 2G (~ +e )= m-2ur
C1t = 2G (..e.. + m:2 )r(8)
C1 z = 2G ( D~ + _e_ )TIZ. m- 2
t = G ( Dp + .E.I )Jz ur
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Durch Einsetzen .vo n (8) in die Gleichgewichtsbedingungen (1) und (2) ergeben sich mit dem drei
dimensionalen Laplaceschen Operator I:!. (oder 'VV = V 2 ) fUr rotationssymmetrische Proble'me in
Zylinderkoordinaten
i)2 1 il i)2tJ. = DrY
. - """[i; • 0?r
die "elastischen Grundgleichungen":
tJ.~m De
0+ rn:2'" ""ITZ =
tJ.p m 1)e p0+~ ur -
~ =
(9)
(10)
Diese Gleichungen stellen die von den beiden Verschiebungen r; und p innerhalb des Kontinuums
(Halbraum) zu erfüllenden Bedingungen dar. Die Aufgabe ist eindeutig gelöst, wenn die Verfor- _
mungen den elastischen Grundgleichungen genügen und die mit Hilfe der Verformungen aus (8)
errechneten Spannungen die Randbedingungen des jeweiligen Problems befriedigen.
6.1.1.3 Randbedingungen
1. In der Grenzfläche des mit einer Einzellast belasteten Ha1braumes (z = 0) können mit Ausnahme
des Lastangriffpunktes weder Schubspannungen erz noch lotrechte Normalspannungen Oz auf
treten.
2. Der Lastangriffspunkt ist ein singulärer Punkt. Wegen der Definition der Einzellast muß dort
Oz.=OO sein.
3. In jedem horizontalen Schnitt z = const. muß die äußere Last P übertragen werden (Gleichge
wicht).
4. Für R = CD müssen alle Spannungen (und Verschiebungen) verschwinden.
6.1.1.4 Lösung des Gleichungssystems
Für die unbekannten Verschiebungen r; (r.z ) und p ( r.z ) erhält Boussinesq die nachstehenden Be
ziehungen:
~P m +1
[2m-1 1 zZ ] ( 11)= 2 TC E
-- R +"fPm m
p P rn v t [- m- 2 r r· z J (12)= 2TC E t z • R) R • RYm m
mit R = Y r Z • zZ
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Dur-ch Einsetzen von (11), (12) in (9) und (10) kann der unmitte.lbare Nachwe is geführt werden, daß
die Verschiebungen den elastischen Grundgleichungen genügen. Somit sind im Inneren des Kontinu
ums sowohl die Gleichgewichtsbedingungen erfüllt als auch die Verträglichkeit der elastischen Form
änderungen gewährleistet.
Die vier unbekannten Spannungen können mit Hilfe der Verschiebungen (11), (12) aus den Spannungs
Verschiebungs -Gleichungen (8) berechnet werden. Sie ergeben sich zu:
P [3r2Z m-2 R]°r =~ . R3 - --;:n- z. R
P m-2[ z ~ R - ~ Jot = 21t R2 m
P 3 Z3Oz. : 21t R2 . R3
P rz. 2'trz : 21tR2,3 R!"
(13 )
Mit dem Winkel ljJ des Radiusvektors R gegen die Lastachse können die Gleichungen für die Ver
schiebungen und Spannungen wie folgt geschrieben werden:
Mit
sin ljJ r=T
folgt:
cos ,I. = Z'!' R
P m.1: 21tE m [
=..2.:...(:.:..m:.:..-..,.:1....:,} ]co:s2 ljJ • ~m
(11 a)
p P= 2Tt E
m.1m
cos ljJ - m- 2 ~in ljJ 1m 1. cos ljJ
(12a)
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P[ 3 sin2 ljJ cos ljl m-2 1 ]°r =
21t R2 - --m 1. ccs e
ctP m- 2
[ 1.~ ljJ cos ljJ J= 21t R2 -- -m(13a)
Oz3P coS3 ljJ=
21t R2
3P . ~ coillj!'trz. = ~.sln21tR
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Nachweis der Randbedingungen:
1. HalbraumoberDäche mit Ausnahme des Lastangriffspunktes (z = 0 ; tlJ = ~ R r-).
Aus (13) b zw, (1301) folgt unmittelbar: dZ = 0
"trz= 0
2. Lastangriffspunkt (R = 0)
lim dzR_O
00 für tjJ :;:..TI.2
3. Die Resultierende aller in einer waagrechten Ebene (z const. ) wirkenden dz - Spannungen
muß gleich der äußeren Last P sein.
p
r p : J Oz • dF
F
mit dF = r dtp dr
Aus: ~(R) rdr R
erh ä It man
dF : R dR dtp
Mit 0'l.3P 'l.3
2 TC R2 R3 (13)
wird
co 2Tt
P ~'l.3 J dR J dtp2TC R:fZ 0
P 3P 3 12Tt--z . 3"Z'J2TC
P P
I---j---_.. r
Abb. 6
4. Aus (11 a, 1201, 1301) folgt, daß für R = co alle Verschiebungen U:nd Spannungen zu Null werden.
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6.~.1.5 Einflußwerte
Seite 6.1 - 8
Die Spannungen crz infolge einer lotrechten Einzellast P können durch die Aus
wertung von Einflußtafeln (sog. i-Tafeln) ermittelt werden, in denen die Be-
ziehungen nach (13) in Form von Kurven aufbereitet sind (s. S. 6.4. -1 ff).
Die Einflußwerte i l = ~;( cos5 ljJ fü::.- die lotrechten j·iormalspannungen sind in Ab
hängigkeit' von i in Tafel 1 dargestellt.
Für raumbeständiges :;:aterial ((I = 0,5) wird: 0t = O. Werden für diesen Sonderfall
die Hauptspannungen des in der r-z-Ebene wirkenden zweiachsigen Spannungszustandes
ermittelt, so ergibt sich eine dieser Hauptspannungen zu Null, die andere beträgt:
Die Hauptspannung 01 ist auf den Lastangriffs~unkt 0 hin gerichtet. Die Hauptspan
nungstrajektorien für diesen Sonderfall sind also Strahlen, die vom Lastangriffs
punkt ausgehen (geradlinige Druckausbreitung).
Verschiebungen:
(1 -V)]
Q = 27/. R • 1 E+ (J Icos ", - (1 - 2(1) 1 ] . ,I,L 't' 1 + cos ip • s an 't'
In der Oberfliiche des Halbraumes (ljJ = 90 0, cos ljJ = 0, sind ljJ = 1, R = r ) betragen
die Verschiebungen:
~o = --p- I _ (J 2
n r E·
p 1 - lJ - 2U2 ..QO = 2n Er
6.1.1.6 Besonderheiten des Spannungs- und Verformungszus.tandes
a) Halbraumobeffläche (Lastangriffspunhc.t ausgenommen)
Verschiebungen:p m2 - 1 1
~ = nE ~ r
p (m.1)(m-2) 1p = -2TtE m 2 r
( 11
(l2
Die radialen Verschiebungen p der in der Grenzfläche liegenden Punkte sind für In = 2 Null und
für m > 2 negativ, d, h. sie sind zum Lastangriffspunkt gerichtet.
Die lotrechten Verschiebungen S der Grenzfläche (Setzungen) s irid für jedes m positiv. Der Einfluß
der Querdehnungszahl (2 !. m s co ) auf die Setzungen ist geringer als auf die radialen Verschiebun-
gen.
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b) lforizontalschnitte (z = const.)
Die Spannungen Oz und -erz sind unabhängig von der Querdehnungszahl. Sie unterscheiden sich nur
durch die Ausdrücke cos tjJ bzw. sin tjJ ,die die ltichtungskosinus des Radiusvektors R darstellen.
F'ür- die Lastachse (Symmetrieachse) wird -erz zu Null; die lotrechte Normalspannung Oz ist damit
in der Lastachse (tjJ = 0) eine Ilauptspannung.
2
z = 2.0 mz = 1.5 mz = 1.0 mz = 0.5 m
o-1-2 b.======:.:L.. ----"=='--C:...L-"""-'~"_"'=_LJ.~oC.L=====_=d
-2
---
Abstand r[m] von der Lastachse
Abb. 7: Verlauf der vertikalen Normalspannungen cr z in verschiedenenHorizontalschnitten
Abb. 7 zeigt den Verlauf der vertikalen Spannungen crz infolge einer Einzellast P
an der Geländeoberfläche in verschiedenen Horizontalschnitten. Es sei darauf
hingewiesen, daß sich über die Tiefe lediglich der Verlauf der Spannungen im
jeweils betrachteten Horizontalschnitt ändert, das Fächenintegral über die
Spannungen in der horizontalen Ebene jedoch wegen des Gleichgewichts der
Vertikalkräfte unverändert bleibt.
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c) Meridianschnitte (rz-Ebene)
Seite 6.1 -10
Da die Meridianebenen schubspannungsfrei sind, ist die senkrecht auf die rz-Ebene wirkende tangen
tiale Normalspannung 0t (13a) eine llauptspannung; sie wird für m = 2 zu Null.
Unabhängig von m wird o t zu Null, wenn:
cos lj!,
- t)i,
1= 1 • cos lj!,
= 51,8 0
Das bedeutet, daß innerhalb eines Kegels mit dem Öffnungswinkel 2' 51,80
= 103,60
, dessen
Achse mit der Lastachse zusammenfällt, die Spannung o t eine Zugspannung (0 t < 0) ist, Während
sie außerhalb dieses Kegels in der Nähe der Halbraumoberfläche eine Druckspannung ist.
Die Hauptspannungen des in jeder Meridianebene herrschenden zweiachsigen Spannungs zustandes
errechnen sich aus den Komponentenspannungen 0 z ' 0 rund 1:rz (13a) zu:
P { ( 3 cos l.jJ -m- 2 1 )0',2 =
4 Tt R2 -- ljlm 1. cos
-6cosljl( 2sin2 lj! -1)l}Vs cos2ljJ • m-2 1 [ m- 2 1:!. 1• cos ijj 1• cos ijjm m'
Für den Sonderfall m = 2 werden die J-Iauptspannungen:
(14)
0,3P
= 2lt R2 cos 4J(15)
Die Richtung von Cl1
ergiht sich gemäß
tg 2 tjJo
zu: tjJo
21: r z=
Clz - °r
In die sem Sonderfall herrscht also ein einachsiger Spannungs zustand , da alle Spannungen mit Aus
nahme der polar, 'd'.h. auf den Angriffspunkt der Einzellast, gerichteten Normalspannung 01 zu
Null werden. Die J-Iauptspannungstrajektorien sind Strahlen, die vom Lastangriffspunkt ausgehen.
Diese Hauptspannung wird in der Grenzebene (tjJ = ~) zu Null und erreicht in der Lastachse (tjJ =0)
ihren Größtwert.
Der aufgezeigte Sonderfall kennze ic h ne t die "geradlinige Druckausbreitung". Sie wird von
Fr ö h 1 ich als Näherung für den Baugrund angenommen und bildet somit die 0rundlage für sei
nen Ansatz der Druckverteilung. Die von Fröhlich aufgestellten Formeln für die Spannungen genü
gen den Gleichgewichtsbedingungen. Die Verträglichkeit der Formänderungen ist jedoch nur in Son
derfällen erfüllt.
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6. :1..2 Lösung von Fröhlich
Fröhlich nimmt die geradlinige Druckverteilung, die streng nur für den aus einem
raumbeständigen, elastischen, isotropen und homogenen Stoff gebildeten Halbraum
gilt, als Näherung für jeden Baugrund an. Dem Einfluß der Anisotropie und Inhomo
genität der Böden auf die Druckverteilung versucht er dadurch gerecht zu werden,
daß er als freien Parameter den Konzentrationsfaktor V~einführt.
Die Spannungen sind (Bezeichnungen nach Abb. 1):
Vut' p- • cos vl<l.jJ2n • R2
Vb(' P cosv\.(2 L/J • sin2 L/J2n • R2
o
1:tz 1: tr = 0
Die Hauptspannunc~n dieses Spannungszustandes sind:
VK' P2 cos"l<2 ljJ, ü2 = (J3 = 02n • R
Fröhlich betrachtet nun die Spannungsverteilung über eine aus dem Halbraum
herausgeschnittene Halbkugelschale infolge einer Einzellast P, wobei er von
folgenden Voraussetzungen ausgeht:
a) Geradlinige Spannungsausbreitung vom Lastangriffspunkt aus
b) Für die Spannungsverteilung cr(~/) über die Halbkugelschale wird eine
vom Konzentrationsfaktor uK abhängige Cosinusfunktion angesetzt.
t ~ ."'IKM('7/X"".(t'"l)""I"n(/""N"""I\'T'()""''''MC''I/\''''~'~ .
.. . '-6. "Y Abb. 8
Cosinusförmige Spannungsverteilung
über eine Halbkugelschale
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p p
1 "1v.=2z l<.
I
jz
p.=3I.(
J) =6L(
oZ
JJ=3l.(
v=6I..<:
Abb.;} Abb. -10Lotrechte Normalspannung in der isobaren für v =2,3
J<Tiefe z und 6
Kit grö!Ser werdendem Konzentrationsfaktor V~konzentrieren sich die Spannungen
st~rker um die Lastachse (vergI. Abb. ~). Die Linien gleicher lotrechter Normal
spannung (Isobaren oder Druckzwiebeln genannt) sind in Abb.~Odargestellt.
chungen.
~ie angegebenen Formeln stellen statisch mögliche und damit widerspruchsfreie
Spannungsverteilungen dar. Die Formänderungsbedingungen sind im allgemeinen nicht
erfüllt. Für V = 3 ergeben sich die für V = 0,5 gültigen BoussinesQ'schen GleiI(
Der Sinfluß der Inhomogenität auf die Druckverteilung läßt sich durch die Forde
rung, daß die als Funktion des Konzentrationsfaktors Vb(aufgefaßte Formänderungs
arbeit des Halbraumes zum Minimum wird, abschätzen. Aus dieser Forderung ergeben
sich für:
E EO const -----7 V. = 3lt(
E EO z -----7 VI(= 4
E BOlz -----7 VI(= 2
Für anisotrope Böden, die in horizontaler Richtung nachgiebiger sind als in ver
tikaler Richtung, zeigen die mit der mathematischen Elastizitätstheorie gewonnenen
Lösungen eine stärkere Konzentration der Spannungen um die Lastachse als im Falle
des elastisch isotropen Halbraumes. Die Quantitative Erfassung dieses Einflusses
ist jedoch nicht möglich, da die Gesetze iib er- das Forrnänderungsverhalten anisotro
per Böden noch nicht erforscht sind.
In den meisten praktischen F21len kann der Konzentrationsfaktor zwischen 3 und 4
Gewählt werden.
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6.2 Spannungsausbreitung infolge ausgedehnter Vertikallasten
Die von Boussinesg aufgestellten F'o r-rrie In sind für die Berechnung von Spannungen und Verformun
gen nicht direkt anwendbar, da die gesuchten Größen an der Lastangriffsstelle wegen der singulären
Krafteinleitung unbestimmte Werte annehmen. Im allgemeinen sind die Verschiebungen uZ;d Spannun
gen im Lastangriffspunkt unendlich groß, es können sich aber auch - entsprechend der Definition
des singulären Punktes - für ausgezeichnete Werte von tjJ beim Grenzübergang (R_o) von un
endlich abweichende Grenzwerte ergeben. Die Formeln von Boussinesq geben also nur einen Auf
schluß über die Verhältnisse in der Umgebung dieses Punktes.
Die Tatsache, daß ein .Las tkör-pe r den Boden nicht punktförmig, sonder flächenförrnig belastet, wird
durch Integration über unendlich kl e in e Flächenelemente , die dann als Punktlasten angesehen werden
können, berücksichtigt.
Diese Form der Superposition ist zulässig, da der Halbraum nach der Theorie von
Boussinesq als linear-elastisch angenommen wird.
Allen im Schrifttum angeführten Formeln für die Spannungsverteilung unter
ausgedehnten Lasten liegt die Halbraumtheorie nach Boussinesq zugrunde.
Für Lastflächen endlicher Größe ergeben sich stets eindeutige Werte für die
Spannungs- und Verschiebungsgrößen, wie nachstehend am Beispiel der gleich
mäßig belasteten, schlaffen Kreisplatte gezeigt wird.
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6.2.16.2.1.1
a)
Kreis1.asten
Anwendung der Halbraumtheorie
Gleichrn~ßig belastete, schlaffe Kreisplatte (EI = 0)
- Berechnung der lotrechten Normalspannungen 0 unter der Plattenmitte.z
-t---- r
p = co n s t ,
r ( p )
N
Abb. -1
dF
cos ljJ
R
rd<p . dr
zR
Vr2 • Z2
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Ein mit p belastetes Flächenelement dF ruft in der Tiefe z unter der Plattenmitte die Spannung
d (1 hervor:z
Nach (13a):
d Oz (z, r: 0) 3p: 21t R2 cos 3 q, dF
Durch Integration über die Kreisfläche ergibt sich für die Gesamtspannung (1 z
a
(1z ( z, r = 0) : f daz0
2Tt a~ z3 fJ r
dr dlj>: (1'2 • Z2 )5"221t00
[ 11 ]Oz ( Z, r = 0 ) : p -
[1.( ~ n:llz
Für die Halbraumoberfläche:
oz- ( Z = r :0 ) : lim Oz ( z, r = 0 )2 __ 0
oz (2=r:O) : p
(16)
(16a)
(17)
Für die Halbraumoberfläche:
!: (2=r=0) : lim ~ ( z , r = 0 )2_0
c 2P'Q rn2 -1
(2=r=0) : E'rnr (17a)
Die Berechnung der Spannungen und Verschiebungen für beliebige Punkte, die außerhalb der Platten
mitte liegen (r t 0), ist grundsätzlich auf dieselbe Weise möglich. Allerdings ergeben sich in einigen
Fällen größere mathematische Schwierigkeiten, w e i1 die für beliebige Punkte entstehenden Funktionen
auf elliptische Inte grale führen. Ihre numerische Auswertung liefert jedoch ebenfalls endliche Werte.
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b) Gleichmäßig belastete, starre Kreisplatte (EI ~ 00)
Seite 6.2·4
Die ':starre Gründungsplatte erzwingt gte iche Setzungen 1: der Halbraumoberfläche für alle Punkte
innerhalb der Lastiläche. Bei der mathematischen Behandlung gilt es hier - im Gegensatz zur
schlaffen Lastplatte - in Abhängigkeit von der vorgegebenen Belastung p eine Verteilung der Sohl
spannungen q (r) zu finden, die der Verformungsbedingung 1: = const. für .alle Werte 0 ~ r s a
genügt. Als Lösung einer Integralgleichung erhält B 0 u s s i ne s q die folgende Bezie~ung für die
Sohlpressung:
(18)
wobei P = p F
Mit (18) lassen sich die Setzungen 1: innerhalb und außerhalb der Kreisfläche errechnen. Beschränkt
~an sich auf die Setzungsermittlung innerhalb der Lastfläche ( 1: = c onstv ) , so vereinfacht sich der
,mathematische Aufwand wegen der Rotationssymmetrie des Problems beträchtlich. Für die Platten
mitte gilt nach (11 a)
d 1: (x,r 0 0 ) -} [cos2 ljJ + 2 m;; 1 ] d F (11 a)
Für die Halbraumoberfläche (tjJ = ~ ) folgt daraus:
dt; ( 2 • ro 0)q t r ) m+1 1 m-1
:2rtE'
-_. 2 --. r d<p' drm r m
nf-12Tt a
1: (xoroo) 1 2 11 q (r ) dr d<p: ---nT2TtE0 0
m2-1a
12 J q (r) dr: E' --rnr
0
Mit (18\ erhält man
( xo'roO )P 1 rn2 - 1
= 20' E . --n:iT" (gültig tür 0 s r ,!, 0 ) (19)
Zwischen der Sohlpressung q(r) und der Setzung 1: der starren Kreisplatte besteht damit folgender
Zusammenhang:
q (r)m2
E' --m2 - 1
(20)
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6.2.1.2 Vergleich schlaffe und starre Lastfläche
Seite 6.2·5
Abb , Z zeigt den theoretischen Verlauf der Sohlspannungen q und der Setzungen 1:: für die beiden
'Grenzfälle der Steifigkeit des Gründungskörpers:
1. schlaffe Kreisplatte (EI = 0)
2. starre Kreisplatte (EI ......ro)
schlaffe Kreisplalle
<,
A~.c
o~ \
)/
Grundriss
s t c rr-e Kreisplalle .
r
t- a-
rep) r (p)
p = co ns t .
EI =0
Mcrid ianschni lt
Belaslung p
Gründungskörper
ze~)
p = const.
EI = co
q = p
0,845· a 0,645· a
Sohl pressu n g q
Selzung ~
q = q ( r )
nach (18)
Af:,iJ.2
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Die nachfolgend angegebenen ZaWenwerte für
die Setzungen einiger ausgezeichneter Punkte
der Halbraumoberfläche erhält man durch Aus
wertung vollständiger elliptischer Integrale
(Plattenmitte aus genommen).
Die Setzungen aller Punkte der Halb
raumoberfläche , die innerhalb der
Lastfläc he He gen, errechnen sich
nach (19).
r : 0,50 : ~ : 2· If!f. ~ .1,4675 : 2 ~a . 0,934
pa 2r : 0,8450 : ~ : 2 . M' n' 1,233
Abkürzung : tv1 Em2
:m 2 -1
O~r~a : ~p
:p . Tt a2
:2atv1 2a tv1 (19)
pa rt: 2"1'1' 4
~ : 2 ~. 0785/vi '
:2.e.::..1000/vi '
: 2 pa. 0785tv1 '
tv1 :Abkürzung :
r: 0
: ~ :2' ~a . 2: 2 pa .0637r : 0
rt /vi '
1,50 : ~pa 2.. .03719 2 pa, 0355r : :2' M :
Tt ' /vi '
Im kennzeichnenden Punkt (0,845 . a) stimmt die Setzung des starren Lastkörpers mit der Setzung
der schlaffen Lastfläche überein.
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BODENMECHANIK UND FELSMECHANIKDruckverteilung im Baugrund
6.2.1.3 Spannungs ermittlung für verschiedene Lastbilder
Seite 6.2 - 7
a) Spannungen innerhalb und außerhalb einer kreisförmigen Flächenlast
- nach Fröhlich
Abb..3
Nach Fröhlich ist die Spannung in dei
LaBtflächenachBe in der Tiefe z :
- nach Lorenz und Neurneuer
i{ach Lorenz und lfeumeuer ist die Spannung unter einigen ausgewählten Punkten
innerhalb und außerhalb der Lastfläche in der Tiefe z
G z = i 5 • P
Der Einflußwert i 5 kann in der Tafel 4 für die im Bild angegebenen Junkte
abgelesen werden
Abb.l.f 1--------- 3,0' r ..I2,5' r :'1
1------- 2,0' r1----- 1,5' r -i
1,D'''~
p
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bl Spannungen infolge einer dreieckförmig verteilten Last
Seite 6.2 - 8
5 z Po' i
A lastfreier Punkt
B mit Po belasteter Punkt
Die lotrechte Spannung in der Tiefe z ist:
Abb ..5'
unter dem Punkt A :
A i Einflußwert für z/r
Die Einflußwerte i l o können in der Tafel 9 abgelesen werden.
unter dem Punlct B :
Die Einflußwerte i l l können in der Tafel 9 abgelesen werden.
cl Spannungen im kennzeichnenden Punkt eines Kreisfundamentes
/-----~
/ \I r \
r ~O'845.r-1\ /\ /
"'" /'----- ---Abb. f:,
Die Lage des kennzeichnenden Punktes C er
mittelte Graßhoff im Abstand 0,845 • r vom
:~reismi ttelpunkt.
Die lotrechten Sp31illungen unter dem kenn
zeichnenden Punkt sind :
Die Einflußwerte i 1 4 werden mit der Kurve 5
auf Tafel 4 erhalten.
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6.2.2 Linienlasten
unendlich lange Linienlast:
Die Spannungen im Punkt N in der Ent-
fernung x von der Lastebene sind:
2 L cos4 LjJ°z TI Z
2 L 2 sin2 tjJ°x TI z cos LjJ'
2 L 20y = TI z l.L c o s tjJ
2 L cos3 LjJ' sin LjJl:xz TI Z
Die Spannungen im elastisch-isotropen
Halbraurn infolge einer unendlich langen
geraden Linienlast p' {kN/m} auf der
Oberfläche des Halbraurnes werden für
den ebenen Formänderungszustand be
rechnet.
p'
-Ix---
Abb.-"
xDie Einflußwerte i2
sind in Abhängigkeit von z auf Tafel 1 aufgetragen.
begrenzte Linienlast:
Abb. 57
II
------j·1
pi
Für eine Linienlast mit begrenzter
Länge (y) ist:
p ' .5" z = z . ~3
Die Einflußwerte i3
sind in Abhängig
keit von ~ und ~ auf Tafel 2 aufgetra-z zgen.
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6.2.3 Rechtecklasten
6.2.3.1 Gleichmäßig verteilte Last
a ) unendlich lange Streifenlast
Abb.~
Seite 6.2 - 10
Die Spannungen im Punkt N sind
b z ~' [sin V· cos Y + y] I~:
E) x '= ~ • [ - s in y. co s v + 1.(JIY;r.
'lxz'=.~ [8in2yJ~~. y,
b) rechteckige Flächenlast
unter dem Eckpunkt der rechteckigen Flächenlast:
Abb.'10
8 E F cateinbrenner erhält die Spannung in der Tie~e zunter dem Eckpunkt einer rechteckigen Lastfläche
mit den Seiten a und b fUr a > b durch Integration der Gleichungen von Boussinesq für die Span
nungen infolge einer Einzellast.
V 2'Mit R '= x2 + y2 + z wird die lotrechte Span-
nung:
co '=zL [ . b a(a2+b2)_2 a .z(R-z) + b • z • a(R
2+ z2) ]
-"2n are tg (z· 2 2 2 ~ 2' 2(a+1i)(R-z)-z(R-z) b+z (a +z)·R
aDiese Gleichung ist in Tafel 3 ausgewertet. Aus dem Verhältnis 0
z. .' 1 E' fl ß t i4
_- S-pZ ermittelt.und b w~rd der d~mene~ons ose ~n u wer
Die lotrechte Spannung ist : (5z '= i 4 • p
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unter einem Punkt innerhalb der rechteckigen Flächenlast:
Seite 6.2· 11
~r die Ermittlung der lotrechten Span
nung ()~ in der Tiefe z unter dem Punkt N
wird das Rechteck in die 4 Teilflächen
I - IV unterteilt. Die Spannung unter dem
gemeinsamen Eckpunkt N wird für jede Teil
fläche nach Tafel 3 berechnet. Die Summe
dieser Spannungen ergibt die gesuchte lot
rechte Spannung:b= Schma.ls12.ite
i II + i III+4 4
. IV)~4
unter einem Puru{t außerhalb der rechteckigen Flächenlast:
Die Spannung in der Tiefe z unte+ dem
Pull1{t N'wird durch Superposition der Span
nungen unter dem gemeinsamen Eckpunkt der
4 Teilflächen ermittelt:
Abb.12-
A
D
a.F
E
B
[ i 4 ( ABU' D)
i (FBU'E)4
+ i (JHN'E). 4
i (GHN']))]- 4
pn1:er d"'m kPDnZeichn?nden Punkt einer Rorhtc,cklas-l.
Am kennzeichnenden Punkt haben die Setzungen unter einer starren und einerschlaffen Lastfläche dieselbe Größe.
I...
Abb. -13
-'-rr
C = kennzeichnender Punkt nach Graßhoff/Kany
Die lotrechten Spannungen in der Tiefe z un
ter dem kennzeichnenden Punkt sind :
Die Binflußwerte i1 3
können der Tafel 11 ent
nommen werden.
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Beispiel für die spannungsausbreitung
unter einer schlaffen Lastfläche
I I
I 1
V1\JE 'RI 1I /
/'
\A I /
1/l/M
1 //
/1 I /JVIJ
"!1
Ir11I,
o 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0oty
E
.1. 0a=b
0,52
R A·-y--x
1-0II
2 I 1,01
I I
1 1
I ... -\ ~,..1
I lb lb lb 1 1,5I 2 2 2 1I
II
I1
2,0
·M R,E A
iz2,5
zlb
Abb.14:Verlauf der Spannungen über die Tiefe unter verschiedenen Punktenunter einer schlaffen Rechtecklast
6.2.3.2 Dreieckförmig verteilte Last
Abb.1'5Mit der Seite NaN wird die Seite
bezeichnet, längs der die Span
nung von Po auf 0 abnimmt.
Die lotrechte Spannung in der
Tiefe z ist :
p • io
i Einflußwert für Z und'1ib aa bzw. 'E
Für die unendlich lange Streifen
last ist b = = zu setzen. Die
mit den Einflußwerten erhalte
nen Spannungen sind zuverdop-pe Ln , .
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unter dem Punkt A
Po~
bCJAa.
unter-oem Punkt B
a
a > b
Ein~lußwe:r;'te i 6siehe Tafel 5
a > b
Einflußwerte i 8siehe Tafel 7
b > aEinflußwerte i
7siehe Tafel 6
b > aEinflußwerte i
9'
siehe Tafel 8
unter einem Punkt innerhalb der Lastflächeo,
Abb.16 [p ·e ] [p .e JG z i S/ 9 ~,e,f,z + i S/ 9 -7,e, (b-f) ,zb-f
[P ·e ] r.e ]+ i 4 ~' (a-e),f,z + i 4 -7, (a-e) , (b-f).zf
+ i 6/ 7[Po( a-e)
(a-e) , r , z]a '
[Po( a-e)(b-f) , zJ+ i 6/ 7 a ' (a-e),
unter einem Punkt außerhalb der Lastfläche in Richtung von zunehmendem p :
e.- 0.
. [po~e ] [pooe ]~S/9 ---a-,e,f,z - i S/ 9 ---a-' e,(f-b), z
unter einem Punkt außerhalb der Lastfläche in Richtung von abnehmendem p:
(e-a), (f-b), z]
e-a.
I Po' eI 0.L _ •
a.i 4 [po,e,f,z]
_ i8/9
[ p 0 ~e , e , f ,z ]
+ i S/ 9 [po:e,e, (f-b) , zJ
. [po(e-a)~8/9 a '
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BODENMECHANIK UND FELSMECHANIKDruckverteilung im Baugrund Seite 6.2 - 14
6.2.3.3 Sohlspannungsverteilung unter starren Lastflächen
Man beachte, daß die Spannungen am Rand des Fundamentstreifens(f = 1) theoretisch Uz = OJ sind. Im Boden treten diese Spannungen
. -. wegen· Last-uml agerung ni cht auf.
Bei den schlaffen Lastkörpern entspricht die Sohldruckverteilung deraufgebrachten Lastvertetlung, Anders ist dies bei starren Fundamenten: Bei mittiger Belastung eines Streifens der Breite b ergibt sichnach Boussinesq (1885) die Sohldruckverteilung mit
2'xf = -b-
p
zu
Gz(z=O)2'P 1
f'i."7
Verteilung des Sohl drucksunter einem starrenFundamentstreifen
Bel ausmltti oer Last ist di e Sohldruckverteil ung nach8orowlcka:
b
e
p
e > b/4
e ::;; b/4
für
für
e'~1+4·-
b
2P 1 + ~1O'z = --.
H·b ~1_~2. 1
2PO'z =--.
H·b
bzw.
xC7lC::J1I11I1
E ~-8 0-
:c0
LIl
~QJ
:t:'E
\\ \~\
I/-..) 10 l-1~..>J,,~r.......+I--+----'-_ Qj
K k=O,2'b . ~r-t-'\e=o.125·b '\f::\\ 1\rT~e= 0 ,W \
" '\ d=0,325'b l-
i"'-- e=O,25'b-1---\ t"">o..,
a)3.0
Abb.20mit
2x + b - 4e~1 = -2-b---4-e-
verteilung des Sohldrucks bei ausmittiger Last
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6.2.4 Verfahren von Newrnark und .Salas
Anwendung: Ermittlung der Spannungen unter einem Punkt innerhalb undaußerhalb einer beliebig begrenzten und belasteten Fläche
Verfahren von Newmark:
Seite 6.2· 15
Zur Ermittlung der Spannungen wird um den Grundriß der spannungserzeugenden
Lastfläche ein Einflußnetz aus konzentrischen Kreisen konstruiert. Für jede
untersuchte Tiefe muß entweder ein neues Einflußnetz gezeichnet (oder der
Grundriß der Lastfläche in einem anderen Maßstab in das Netz eingezeichnet
werden). Das Verfahren ist u.a. in der DIN 4019, Abschn. 7 beschrieben.
Verbessertes Newrnark'sches Verfahren nach Salas:
Das Verfahren von Salas erfordert nur ein einziges Einflußnetz.
nie ·lotrechte Normalspannung in der Tiefe z unter dem Mittelpunkt einer
gleichförmigen Kreislast mit dem Radius R beträgt
mit (1)
Die lotrechte Normalspannung infolge einer kreisringförmigen, zwischen den
Radien R· + 1:J. Rund R liegenden Lastfläche ergibt sich aus der Differenz zweier
Kreisflächen zu
(2)
mit
z3
2J372+ z
f--R+AR---1
r- R -l
tz
Abb.21
p( (1m 2)
",I U~I
Die Formel (2) gilt fUr den Fall,
daß die ßesam~e Kreisringfläche
belastet ist. Ein nur teilweise
belasteter Kreisrine erzeuet im
Punkt P (Abb.~1) die Spannung
A = Irrh. d. belast. Kreisrin~flächeInh. d. gesamt. Kreisrin8flnche
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mit p voll belasteter Kreisring (A::: 1)
Abb.1B
Seite 6.2 - 16
Anwendung:
Um den Punkt P, in de~ die Spannung
az ermittelt werden soll, zeichnet
man im Grundriß ein'Netz konzentri
scher Kreise. Es muß alle Fundamente
überdecken, deren Einfluß auf 0z
erfaßt werden soll (Abb. 13). Die
Größe von 0z erh~lt man durch Über
laeerung:
:::
all~
I<.r~isrin~p
[, L (Pj . Aj ) . i 12 ]J = 1,2 ....
Näherungsweise wird der Wert A eines Ringes durch Abzählen der belasteten
Feld er bestimmt:
Anzahl der durch Pj belasteten Felder
a Anzahl der Felder eines Kreisrinßes
Dami t ist
:::
o/llKr eisr trvs e
[ L (p. . .:.L.)} 0
} = ,,2 .... (4)
EinfluSwerte i 1 2 sind in den Tafeln 10 angegeben.
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Beispiel:
Gegeben:
PI 10 kN/m2
P2 20 kN/m2
P3 30 kN/m2
Gewähl t:
Rl 2 m
a 40
Gesucht:
Vertikale Spannung a zunter dem Punkt P",in10 mund 20 ci Tiefe
Spannungsermittlung
Seite 6.2 - 17
Abh.L?>
R1 '" Radius des innersten Kreises z 5 10 m ~~10 z",20mR1 '" z '"
x.Ring P j x j
-.-J.'" Aj Pj , A
j I(P j, Aj ) i 1 2 Ipj'A j'i1 2 i 12 Ipj'Aj'i1 240
kN/m2 kN/m2,kN/m2 kN/m2 kN/m2
1 ° 0,0571 ° 0,014-82-1 ° 0,1425 ° 0,04233-2 30 8 0,200 6,0 6,0 0,1699 1,02 0,0641 0,394-3 20 5 0,125 2,50
11 30 12 0,300 9,0 11,50 0,1544 1,78 0,0783 0,9005-4 20 6,5 0,162 3,24
11 30 9 0,225 6,75 9,99 0,1226 1,23 0,0849 0,856-5 20 3,5 0,088 1,76
11 30 5,5' 0,138 4,14 5,90 0,0912 0,54 0,0850 0,507-6 30 4,5 0,113 3,39 3,39 0,0660 0,22 0,0807 0,288-7 30 4 0,100 3,00 3;00 0,0475 0,14 0,0737 0,229-8 30 2 0,050 1,50 1,50 0,0343 0,05 0,0655 0,10
10-9 10 8 0,200 2,00 2,00 0,0251 0,05 0,0571 0,1112-10 10 12 0,300 3,00 3,00 0,0325 0,10 0,0912 0,2714-12 10 10 0,250 2,50 2,50 0,0189 0,05 0,0660 0,1716-14 10 5 0,125 1,25 1,25 0',0115 0,01 0,0475 0,06
az '" 5,2 a z '" 3 ,8--- === .
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BODENMECHANIK UND FELSMECHANIKDruckverteilung im Baugrund
6.3 Spannungen infolge Horizontallasten
Seite 6.3-1
a) Spannungen infolge einer waagrechten Einzellast auf der Oberfächedes Halbraums
T
//
y/
/
. /~----
z
-/1
,Abb. 1: Spannungen infolge einer waagrechten Einzellastauf der Oberfläche des Halbraums
Nach Cerutti lautet für den elastischen Halbraum der Spannungs zustandinfolge einer waagrechten Einzellast T (s. Abb. 1):
3T X z2a =----
z 21TR2 R3
T [ 3~ - (1 - 2v) ~ (1 _ 3 R2 + x2
(z + 3 R)) ]a x 21T R2 R3 R (z + R)2 '" (z+R)3
T [ X y2 X ( R2 y2(Z+3R))]a y 21T R23--(1-2v)-
1 - (z + R)2 + (z + R)3R3 R
T xyzT y Z -- 3--
21T R2 ' R3
T x 2 ZTx z 3-
21T R2 R3
TXYT [3 x
2Y 1 2 Y R ( 1 x
2(z + 3R))]
21TR2 R'3+( - V)(Z+R)2 -(z+R)R3
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BODENMECHANIK UND FELSMECHANIKDruckverteilung im Baugrund Seite 6.3·2
b) Spannungen infolge einer Linienlast T quer zur x-Achse mit Kraftrichtungparallel zur x-Achse
y
/-
R.-/T
I+z O'z
Abb. 2: Vertikale Normalspannung infolge einer waagrechtenLinienlast auf der Oberfläche des Halbraums.
Nach MicheIl gilt für die Vertikalspannung (s. Abb. 2): - 2o =2T~
Z tr R R3
Man beachte, daß die Normalspannung crz auf der lastabgewandten Seite (x negativ)eine Zugspannung ist.
c) Spannungen infolge eines unendlich langen Laststreifens mitder Schubspannung ~O
Für die Vertikalspannung gilt (s. Abb. 3):
TO. .Oz = - sin a sm2 ß.
. 'Ir
z
Abb. 3: Vertikale Normalspannung infolge eines unendlichlangen Laststreifens mit der Schubspannung '0
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BODENMECHANIK UND FELSMECHANIKDruckverteilung im Baugrund
d) andere Lastbilder
Seite 6.3 - 3
Für rechteckige Lastflächen mit gleichmäßiger oder dreieckförmiger Belastungexistieren Lösungen in FOl~ von Tabellen und Kurven. Für einen Fall vondreieckförmiger Belastung ist der theoretische Hintergrund in DIN 4019 dargeteIlt.
Für die wichtigsten Lastbilder sind Kurven für die Ermittlung von Einflußfaktorenin Kapitel 6.4 zusammengestellt.
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BODENMECHANIK UND FELSMECHANIKDruckverteilung im Baugrund Seite 6.4·1
6.4
6.4.1
Tafeln zur Spannungsermittlung
Einflußwerte für die lotrechten Normalspannungen im elastisch
isotropen Halbraum infolge vertikaler Lasten
Tafel 1
Tafel 2 :
Tafel 3 :
Tafel 4 :
Tafel 5bis Tafel 8 :
Tafel 9 :
Tafel 10a :bis Tafel lOb
Tafel 11 :
- Einzellast
- unendlich lange Linienlast
begrenzte Linienlast
rechteckige Flächenlast (Eckpunkt)
kreisförmige Flächenlast
dreieckförmig verteilte Last(rechteckige Lastfläche)
dreieckförmig verteilte Last(kreisförmige Lastfläche)
kreisringförmige Flächenlast
rechteckige Flächenlast(kennzeichnender Punkt)
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BODENMECHANIK UND FELSMECHANIKDruckverteilung im Baugrund Seite 6.4·2
' .. Tofel1Ein flußwerte für die lotrechten NormalspannungenIm elastisch - isotropen l-lolbrourn infolge einerEinzellost P bzw. cirier unendlich longen lotrechtenLinil2:nlost pI.
X·U.-
Z
2p,\,
1,6
\\
1,6
\ P (pI)
r.~\
\ Ir
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I\ \
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z'2und = (Q~. ~LA ::. G~"-=- L')
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BODENMECHANIK UND FELSMECHANIKDruckverteilung im Baugrund Seite 6.4 - 3
Tafel 2
Eiriflußwerte für. die lotrechten .Normalsponnungen imelastisch-isotrDpen I-Ialbrourn infolge· einer begrenztenLotrechten linienlost. pI. .
y.Z
V'[3 C/-l1
0,12
/T / q:n ~
0//0,30
1/ -,t ' C2: tp9 . v/(.-~z 1/ tp4. 11 /. -----1/,' Cf752: / I 11 V v~.x~ ""ql6
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BODENMECHANIK UND FELSMECHANIKDruckverteilung im Baugrund Seite 6.4 - 4
Tafel 3Einflußwertefür die lotrechten Normalspannungenim e.lostisch - isotropen I-lalbrourn unter demEd<pun\..\t einer rechteckigen Flächenlost p.
/:lOS o,} 0)5
5
0,5
1,0
1,5 ,
2,5
0.2-0,2 0lS b
. 5 zL4"' -'P
0,150,05
/
-:::~ :::;:::::I- --: :::::::~ A:-- I:.--:: :;:::;-a.~k :::::::-t::::~~ .... VI'6":" ,.-:. ,;.
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I/.} ~ 'l''l / jf'11 / / /i / ~
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/
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I / ./ 1/ //I 1 ./ / //
/ / 'l/ 1,5 /2 '/ ~ I
/ 1/ / //1 I/ / :Y/t
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/ I1 / //111 1/ Vl/to
1 11 1 /;,11 1 1//
1 I 1/ f//2 n- I1 11 / / I 1
/ / IJ~I, / f!
/ / 1U '. rI / 1 j rI 1/ /0 1 I.J 1,
/ / 11/1 Q
I / :$/ / '11, I/ / ~
I / I! ",
2,0
16,0
10.0
6,0
8,0
12,0
1+,0
20,0
22fJ
10.0
16,0
23,0
12,0
N,O
1 ..,0
33,0
16,0
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Seite 6.4·5
Tafel 4
Einflußwerte für die lotrechten NormCllspannungenim elastisch - isotropen J-lCllbraurn infolge. eine.rkreisförlTligen. FLächenlast unter verschiedene.nPunkten innerhalb u. Clußerhalb der LastflÖche.
/
o Ma.ßsta.b f.l<urvid-6 0,25o I I
'[\....Ha.8st.f. kurve 7-10 dos
\\ ~"-
1\
\\
.. \ /I!~
/I.'
qs .i
/0, 0
/v
V
II
.0,75
vv
/
//7
//
11
v3.0 -1---1--H-.HHflf---!--H--l---H--1--l--r-+--l--+--+--t---l--1r---+--+-+--i
z~
r
Kurve 5 (Abstand 0)845- r ): l-<ennzeiChnende:r Punkt fürdas .stcrre ~reisfundament..
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BODENMECHANIK UND FELSMECHANIKDruckverteilung im Baugrund Seite 6.4 - 6
TafelS
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Seite 6.4·7
Tafel 6
Einflußwerrl2. für die lotrechten Normalspannungenim elastisch - isotropen l-l cilbr'ciurri infolge einerdrei ecl-<förrnig verteilten Lost unter dem Punl-<tA( b >OJ.
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Tafel 7-
Einflußwerte für die -lotrechten Norrnolspannunge.nim elastisch - i5otrOpen ~albro.urn 'info\ge einerdreiecKförITlig verteilten Lo s t unter d err-, Punlxt B(a.?' b).
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TafelS
Einflußw~rte für dil2. lotre.chten Norrnalspo.nnungl2.nim e.lastisch - isotropen l-Ialbraurn infolge e.inerdreieckförITlig ve.rteilten last unter dem Punl.<tB(b 7 a. ) .
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Tafel 9-
Einflu ßwertl2. für die lotrechten N ornlolspann unQe.nim elostisch - isotropen ~a\braum infolge. e.iner'drei e.ckförrT1 ig verteilten Last unter den PunlAhz.nA und B einer \.-< r ei e Förrnigen Lastfl ö.criz.
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Cf)~ 18 - .16 0.0117 0.0168 0.0225 0.0284 0.0343 0.0655 0.0564 0.0421 0.0310 0.0233 0.0180 0.0143 0.0115 0.0095 0.0025 Srn
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9 -~ 8 0.0453 0.0541 0.0603 0.064-0 0.0655 0.0421 0.0233 0.0143 0.0095 0.0067 0.0050 0.0039 0.0031 0.0025 0.0007;:;:
S-8 - 7 0.0596 0.0680
0.0060 0.0045 0.0034 0.0027 . .0.0022 0.0005...., 0.0727 0.0743 0.0737 0.0404 0.0215 0.0129 0.0085c:-.
7 - 6 0.0779 0.0841 0.0858 0.0193 0.0114. 0.0053 0.0039 0.0030 0.0024- 0.0019 0.0005~ 0.0842 0.0807 0.0379 0.0075(1)
6 - 5 0.0998 0.1011 0.0978 0.0920 0.0850 0.0343 0.0169 0.0098 0.0064 0.0045 0.0033 0.0026 0.0020 0.0016 0.0004~Cf)
0-4:(1) 5 - 4 0.1227 0.1157 0.1057 0.0951 0.0849 0.0299 0.0142 0.0082 0.0053 0.0037 0.0027 0.0021 0.0017 0.0013 0.0004c:J
4 - 3 0.1395 0.1220 0.1053 0.0907 0.0783 0.0243 0.0113 0.0064- 0.0041 0.0029 0.0021 0.0016 0.0013 0.0011 0.00020..
5: 3 - 2 0.1383 0.1124- 0.0922 0.0764 0.0641 0.0180 0.0082 0.0046 0.0030 0.0021 0.0015 0.0012 0.0009 0.0008 0.0002(1)o:::r 2 - 1 0.1059 0.0812 . 0.0639 0.0516 0.0423 .0.0111 0.0050 0.0028 0.0018 0.0012 0.0009 0.0007 0.0006 0.0005 0.0001Q):J
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BODENMECHANIK UND FELSMECHANIKDruckverteilung im Baugrund Seite 6.4 - 13
Tafel 11
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Einflußwerte für die lotrechten Normalspo.nnungenim e.la.stisch - isotropen I-lalbraum _unter demkennzeichnenden Punkt eines Rechtee"" -
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6.4.2 Einflußwerte für die lotrechten Normalspannungen im elastisch-
isotropen Halbraum infolge horizontaler Lasten
Tafel Wl :
Tafel W2 :
Tafel w3 :
Tafel W4 bisTafel W5 :
Streifenlast mit gleichmäßiger Belastungsfläche
Rechtecklast mit gleichmäßiger Belastungsfläche
Streifenlast mit dreieckförmiger Belastungsfläche
Rechtecklast mit dreieckförmiger Belastungsfläche
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Ta fe J \r" 1
D,7 0,2
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2 t--j-+-~=-t--t--+-+--+----j-if--+--+--+----l--+--l
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,; (5 H-J---J---I----l
b =Breite des gedrückten Teilesder Sohle
8 H--I---!---+--! z z: Tiefe unter der Gründungssohlebei entgegengesetzter Richtung
701--J---J---l----lvon wändern sich die Richtungenvon ~z b
72 t--+---+---!--! 1-i------+----,-_+_
z
- a'z Or-r- -+-_-'-_---()+ a'zZug Druck
//A"V/,..A0Y/A:\Y~V/AV/A'VVA" "-
II
Ier =0i z ,I
74 I---t--t--t----i
75 I---t--t--t----i
20 f---'----'---.J....--'-----"'--- -----l
z/b
(J"
Beiwerte '.: = ~ für die Berechnung der lotrechten Spannungen (J"z in der Tiefe z unterw
den Randpunkten einer waagerechten rechteckförmigen Streifenlast w außerhalb derAngriffsebene im elastisch-isotropen Halbraum nach OHDE (1939)
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0,05 0,70 0,75
Ta fe I
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\A' "'"vv ~
7,0
2,0
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5.0
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z/b
..-..~~/ 0,2..- 11
\ ---~ ::::::::::~ .-~
?f)J:~~ ,o/\~ cP A 0,4
I/Aj\)~~V-
IVI ~V// / ~
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/ /J O'z=.tw·/ wr - 7,2/; f/ b
/ V/I 1 r I--
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I--- II I/I
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- 02 t t+Uz I-- 7,6/ ~!j Zug Druck -
/ I/I ib t 7.8/ /
1/ -
-I // - 2,0
t:J
z/b
cBeiwerte iw r = .2. für die Berechnung der lotrechten Spannungen (fz in der Tiefe z unter
wden Eckpunkten einer waagerechten rechteckigen Flächenlast w unterhalb der Angriffsebene im elastisch-isotropen Halbraum nach SIEMER (1967). Die linke Skala ist für dielinke Kurvenschar, die rechte Skala für die rechte Kurvenschar zu benutzen
i = f (=- ~) = Cfz
wr b' b w
. w ( a(f =+-.
z - 2n Va2 +Z2
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I I
o/b =CXJ 1--+-+--+---1--+---+-+-+--4
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D,J 0.2 0.3
Seite 6.4 - 17
Tafel \l\l3
6f1--+-+--+--+--+-+-J--/--+-+-+---+-+--+--+-J
bei entgegengesetzter Richtung von w8 öndern sich die Richtungen von O'z1 -
und rYz 2 I--
70b
I----
7 .. 2 =t f---
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74/.5'.; ~ I--
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76 .0; I--+(]'z2
-rYz 3Druck I-
78 Zug--uz 1
I Zug I--
2D I
r/b ecot ß
(}z1. 0" 2 0" 3Beiwerte iwd 1 = w' 'wd2 = : und iWd3 = ~ für die Berechnung der lotrechten Span-
nungen O"zl' O"z2 und O"z3 in der Tiefe z unter den Randpunkten und dem Mittelpunkt einerwaagerechten dreieckförmigen Streifenlast w unterhalb der Angriffsebene im elastischisotropen Halbraum nach Schultze (TEFERRAI SCHULTZE 1988)
. (z) (}z1'wd1 = f b =--;;
iw d 2 = f (;)(}z2
W
iw d 3 = f (;)(}z3
-W
w - Z(}z1 = -- . (ß1 - sin ß1 • cos ß1) = W· iW d 1b'n .
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BODENMECHANIK UND FELSMECHANIKDruckverteilung im Baugrund Seite 604 ·18
Ta fe I ,,,, A
VV "+
0 0,05 0,70 0)5 l wd l0 <, -r----.......-. --- -
<,"-. h ~7,0
~\..:-;~ ~OJ
f-
~f/,t~c9 ~2,0 OAV/ cl\) \\I
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0.6(/{O / 'h
0.8//15,0 /'1/ 7,0
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'";;-::: 8o-ZI=W-iwd l 7,2~ I -
':J'JII. 'f bI ~ ~7,0 1 t - 7,1,V/I ~8,0 11/ t+O-zl - 7,6/ 1/// Druck
I 'I ib t
J9,0 7,81
-
70.0 11 2.0-CJ
z/b r/b
J
CfBeiwerte iwd 1 = -.:2 für die Berechnung der lotrechten Spannungen Cfz 1 in der Tiefe z unter
wden Eckpunkten der Ordinate 0 einer waagerechten Dreieckslast w auf rechteckigerGrundfläche unterhalb der Angriffsebene im elastisch-isotropen Halbraum nach SIEMER(1967). Die linke Skala ist für die linke Kurvenschar, die rechte Skala für die rechte Kur-venschar zu benutzen
i = f (~ ~) = Cfz 1
(2 )wdl b' b w
wCf ~
zl - 2. ti : b
{11. Z2 a . b '- Z. arctan [a ~ b . Va 2 + b
2 + Z2J}. "2' Z- b 2 + Z2 . Va2 + b2 + Z2
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Ta fe I \A 1 5vv
0 0,05 0,7 0,75 i wd20
J-- V V--~po- V
7,0 ~ -:::- VI-- ,'\ /~
V 1/v 0,2
2,019rt/ A VIJ/;::7 0,4
3,0 I Y'I W 0,6
I IAI"O~if 0,8
5,0 !::J1!IytB 7,0
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6,0() ~
O'z =W·iWd 21/ () f-- 7,2
1b
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7,0 I- 7,4I~t~
II--
8,011
t+O'z f-- 7,6Druck
I1 b f--
9,0 1 127,8I
I--
I--
JO,D I1 l--.. 2,0C:J
z/b r/b
2
erBeiwerte i
Wd 2= --E. für die Berechnung der lotrechten Spannungen erz 2 in der Tiefe z unter
wden Eckpunkten mit der vollen Ordinate w einer waagerechten Dreieckslast auf recht-eckiger Grundfläche unterhalb der Angriffsebene im elastisch-isotropen Halbraum nachSIEMER (1967). Die linke Skala ist für die linke Kurvenschar, die rechte Skala für dierechte Kurvenschar zu benutzen
. ea) erz 2I w d 2 = f t; =-;-
Die Formel für iw d 2 ist aus den Formeln für iw r (1 ) 'und i.: (2 } zusammenzusetzen.
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BODENMECHANIK UND FELSMECHANIKDruckverteilung im Baugrund
6.5 Li teratur
Anmerkung: In Kapitel 1 bereits genannte Literatur bleibt nachfolgendunberücksichtigt.
Seite 6.5·1
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