Anhang A Lösungen zu den Übungsaufgaben
Lösungen zu Kapitel I 1.1 a) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} b) 0 1.2 (i) An B = {x: 1 $X< 2}, (ii) Au B = {x: 0 <X$ 3},
(iii) A x B = {(x,y): 0 < x < 2 und 1 $ y $ 3}, (iv) A\B = {x: 0 < x < 1}. 1.3 a) M1 U M2 = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, ... }
M1 n M2 = {6, 12, 18, ... }, M1 \M2 = {2, 4, 8, 10, 14, 16, ... } M2\M1 = {3, 9, 15, 21, ... } b) M1 = {1, -2}, M2 = {1, 2}, M1 n M2 = {1}, M1 U M2 = {1, 2, -1, -2}, M1 \M2 = { -2}, M2 \M1 = {2}
1.7 a) 1, 1, 3, 3, 1, 4, 6, 4, 1 b) 108 243 216
1 9 ( n ) 1 - _n_l - 1 - 1 1·2· ... ·(n-k) (n-k+1)• ... •(n) < .1. . 1 ' k ~ - (n-k)! k! ~ - k! 1 2 ( k) k - kl . · ... · n- . ~
1.10
1.11 1.12 1.13
1.14
1.15 1.16 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24
(n-k) Zahlen
x5 + 20x4 + 160x3 + 640x2 + 1280x + 1024 625y4 - 500y3 + 150y2 - 20y + 1 a6 - 6 a4 b + 12 a2 b2 - 8 b3
sum(k~2+1, k=71..125); sum(k~3, k=l..n)=normal(sum(k~3, k=l..n)); a) (~)2x4a-3y b) a3 + a2b + ab2
2z 2z2 -3r2 ~-_,...."-....". a) r 2 _"2 b) k2 / .j(x- k)2 + x2 c) 3(x- 1)
a) ab b) a2/3 c) ab4/3 d) a13/S e) a1S/32
k Zahlen
a) 1/2, 3 b) 3/2, -1/3, 12 c) n~1 loga- m(;+l) 1ogb a)L={-5,3} b)L=0 c)L={i,!} d)L={-2} e)L={-1} c= -2 a)L={0,2} b)L={±2,±3} c)L={-3,±J2,±5} a) L={3.5} b) L=0 c) L=0 d) L={-1} a) L = {-4.424, 5.424} b) L = {-2, 1} a) L = (8, oo) b) L = R c) L = 0 d) L = (-2.562, 1.562) a) x1 = x2 = X3 = 1 b) x1 = 1, x2 = 3, X3 = 2 c) L = 0
496 Anhang A: Lösungen zu den Übungsaufgaben
1.25 •) L ~ { (x,, x,, x,) E R' ; x ~ ( 1~ ) + A ( ~ ) }
b>L~{xER' x~ (!)+>CD ,>ER} c) L = 0
1.26 •) L ~ {XE R' X~ ( g ) + > ( - ~ ) + " ( -~ ~ ) ; A, " E R}
b) L = { ;E R 3 :;= ( ~ ) + A ( -~ ) + ~ ( i ) ; A, ~ E R}
c) L = 0 1.27 Die homogenen Systeme sind immer lösbar.
Lösungen zu Kapitel II
b) 72 = ( -2i ) ; 1721 = 24.59
c) 73 = ( -~~ ) ; 1731 = 46.27 d) 74 = ( ~~~ ) ; 1741 = 184.66 -22 -40
2.1 a) 71 = ( 2~ ) ; 1711 = 26.92 -18
2.2 F = -(H + F2 +Fa+ F4) = ( =~~~ ) N
2.3 ~a = * ( ~) ~b = ~ ( -~) ~c = ~ ( ~~) 2.4 ~ = -~ = i ( ~ ) 2.5 r' (Q) = r' (P) + 10 ~ = ( =~:~~ )
-1.08
( 0.5) 26 ->() -> ) 1--+ . r Q = r (P1 + 2 P1 P2 = 3.5 2.5
2.7 a) 4 b) 96 c) 22 2.8 a) cp = 48.47° b) cp = 156.5°
2.10 c+ = a' + b a'. b = 0 2.11 a)la'I=J3,o=ß=!=54,74°
b) Ia' I = V30, o = 24.09°, ß = 111.42°, 1 = 79.48° 2.12 la'l = BC = 2v'6 lbl =AC= 2VI4 IC'I =AB= 2Vl4
Q = 38.21° ß = 70.89° / = 70.89°
2.13
2.14 2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
2.22
2.23
2.24
2.25
2.26
2.27
2.28
2.29
2.30
2.31
2.32 2.33
Lösungen zu Kapitel II
ba = t ( -~~ ) ba = ~ ( -~: ) 11 -14
Es ist 'Y = 90° , a., = 8.66 , ay = 5 , az = 0. a) a = 103.6° ß = 76.37° 'Y = 19.47°
::rr)· ~r~i~Y=c:n d) c:n FR= E:=l F; = ( -~~~:~~ ) IF Rl = 224N, Q = 41.6°
a) IFI = 30N JaJ = 3 b) r.p = 63.61°
c) Fa = 4.444 ( j ) I Fa I = 13.33 d) 0: · b = 0
a) r.p = 60° b) M = ( =~ ) Nm; IMI = 5.2Nm c) Fr=~ ( r ) N
F · s> = 4 Nm F S 1 + F S 2 = 4 Nm => Die Arbeit ist wegunabhangig.
( 4 ) ( -1 ) >. = 1 : Q1 = (3, 0, 2)
9 : X: = 0 + >. 0 ; >.: 2 : ~2 = ~2, 0, 1) 3 -1 >.- -5. Q3- (9, 0, 8)
• .:~(j)+>C~) Jo>!~(D+>CD;l\ Ad
:~;·:· ( n +> r ~) a) 91 und 92 sind winds~ief; d = 2.04. --b) Geraden sind parallel, da a II b ; d = 1.79 c) Geraden schneiden sich genau in einem Punkt S = (5, 2, 10); a = 32.4° 91 und 92 sind windschief zueinander; d = 2.85.
E ~ ( ~ ) + A ( : ) +" ( ~ ) ; -.t ~ ( =: ) ; Q ~ (10, 9, 11)
497
r+(P)=r\+>.(r>2-r+!)+~-t(r>3-r\)= (! )+>. ( -~ )+~-t ( i) Jd~(:)+>(_:)+"( -D~( ~D~h~."~3 4x+3y+z=54 a) 9 und E schneiden sich, da Tt · 0: = 2 f:: 0. Schnittpunkt>.. = 4.5 => S = (18.5, 5.5, 11). Schnittwinkel r.p = 9.27°
498
2.34
2.35
2.36 2.37 2.38 2.39 2.40 2.41
3.1
3.2
3.3
Anhang A: Lösungen zu den Übungsaufgaben
b) giiE, da rt · 0: = 0; Abstand d = 1.51
c) E = ( =~ ) + A ( -~ ) + ~ ( -~ ) ; rt = ( =i ) , g = ( ~ ) +
A ( 1~5 ) . =} SchnittpunktS= (1, -2, -2); Schnittwinkel cp = -22.79°
....,-+
EdE2, da n1 x n2 = 0 ;Abstand d = 3.74
E, ~ E,, SohiDttgernde >" ~ i ( ~ ) + > ( =~ ) , Sohnittwiokel ~ ~ 27.2'
Nein: 0:3 = 0:1 + 0:2: die Vektoren sind linear abhängig. Ja. b = 0:1+ 0:2-20:3-0:4. Linear abhängig, da det(O: 1, 0:2,0:3, 0:4, 0: s) = 0.
--7 --+ --+ --+ a) b = a 1 + a 2 + a 3· b) Nein. d = -20:1+ 0:2-0:3.
Lösungen zu Kapitel 111
a) ( 1~ 32 ) ( -7 -3) ( 29 23 1~ ) d) ( J 1; ) 13 b) ~ -: c) 11 18 -8 7
( -2 4 -!) ( -2 9) e) 9 2 0 4 2 -3 4
a) A2 = ( ~ 18 3 ) ( 3 -6 -:). 16 5 , B2 = -4 7
0 1 4 -6
( -1 6
-~ ) , B · A = ( -~ 3 j) A-B= -~ 5 5
-3 -9
( 0
2 0 _;) b) A-B= ( ~ 2~ )
-2 -1 0 B · A = 1~ 18 0 23
7 0 8
( -1 -1
5 ) b) B-1 = 1 ( 1 -!) a)A-1=i ~ 3 -6 11 -10
3 -1
C' 1 -3 -3)
c) c-1 = ~ -~ 3 -3 -6 1 0 0
-1 -1 0 3 -1 C' ~ ) • (18, 22, 38). 3.5 A = ~ 1 2
5 1
3.6 3.8 3.9
3.10 3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
5' 0' >. -12' -21' -53 a)O, -1 b)1, 2, 3 a) 142 b) 180
Lösungen zu Kapitel IV
det A = -8, (x1, x2, xa) = ( -3, 3, 0)
A-1 = ~ ( -! -! -~ ) n-1 = ~ ( ~ -~ -~ ) 2 11 -10 -1 3 -11
Rang (A) = 3 Rang (B) = 3 Rang (C) = 3 Rang(D) = 3.
det ( : ~ D ~. #. .. ~ CD a) Rang (A) = 2 Rang (A/b) = 3:::} nicht lösbar. b) Rang (A) = 2 =Rang (A/b) :::} lösbar, nicht eindeutig z.B. (-2, 1, -1) ist Lösung.
a) det t(t, b, r!~ = 0 :::} linear abhängig --+ --+ --+ --+ --+ --+ --+ b) det a, b , c :f:. 0:::} linear unabhängig, d = -3 a + b + 2 c .
a) detA = -8:::} eindeutig lösbar mit (x1, x2, xa) = (-3, 3, 0) b) det A = 62:::} eindeutig lösbar mit (x1, x2) = (~~, ; 1)
n-1 = ~ ( -! -! -~ ) 2 11 -10
·> ~ ( D b) ; ( -D ,) i CD ( ~ ~ ~I~~~):::}(~~~
0 1 -2 0 0 1 0 0 1
Lösungen zu Kapitel IV
499
4.1 a) D = {x: lxl ~ 1} W = R~o b) D =IR\ 0 W = R c)D=IR\{-2,2} W=(-oo,O]u(t,oo) d)D=R\-1 W=IR\1 e) D= IR W= R~1 0 D= R W= (-t, +t)
4.2 a) gerade b) ungerade c) ungerade d) gerade e) gerade 0 -4.3 a) streng monoton fallend in IR~o ; streng monoton wachsend in IR~o
b) streng monoton wachsend c) streng monoton wachsend e) streng monoton wachsend
4.4 a) y = 21"' D = IR>o b) y = i x2 D = IR~o c)y=lnx+0,5-ln2 D= R>o d)y=-~ D=(-oo, 1)
4.5 y=-2x+5 4.6 a) 1 2 - 5 b) -1 c) 0 2 5 - 5
500 Anhang A: Lösungen zu den Übungsaufgaben
4.7 a) f (2) = -5 b) f (3) = 49.1 4.8 Ja: z.B. x2 + 1 4.9 y = x3 - 2 x + 1
4.10 a) -1 (doppelt), 1 b) ±2, ±3 4.11 f(x)=!x 3 +!x+1 4.12 factor(",x) 4.13 fsolve(" ,x) 4.14 unapply 4.15 plot 4.16 factor, convert(", 'homer'), degree 4.17 a) NS : -2, 1 b) NS : 3, 4 c) NS : 1
Pol : 2 Pol: -1, 0 Pol: -1
4.18 a) NS : ±2 b) NS : 2 doppelt Pol:- Pol:-2 Asymptote : y = 1 Asymptote : x - 6
c) NS : 1 d) NS : 1 doppelt Pol : 2 Pol : -1 doppelt Asymptote : y = 1 Asymptote : y = 1
plot, numer, denom, factor, normal, asympt, solve t = 2.3RC t = 1.5s a = 8 b = 0.4159
d) NS:Pol: ±1
4.19 4.21 4.22 4.23 4.24 a) x1 = -0.3012 b) Subtitution t = e"'. x1 = 0, x2 = 0.693.
4.25 4.26 4.27
4.28
4.30
4.32 4.33 4.34
4.35 4.36 4.37
X2 = 2.3012 x=2. 'Y = ~ ln z{~~~) = 100 in 2.
Grad 40, 36° 81, 19° -322, 08° 278, 19° Bogen 0, 7044 1.4171 -5.6213 4.8553
cos (x1 - x2) = cos x1 cos x2 + sin x1 sin x2 x1 = x2 = x => cos (0) = 1 = cos2 x + sin2 x
Amplitude Phasenverschiebung Periode a) 2 -i] 3 11'
b) 5 2.1 11'
~ 10 -3 2 d) 2.4 -i !11'
11'/2, 11'/4, -11'/3, 0.5018, 11'/3, 11'/6, 11', 0.5489, 11'/4, -11'/3, 211'/3, 11'/3 0.7071, 0.9792, 0.5225, -4.455, 0.8776 y = arccos(x) '---+ x = cosy v'1- x2 = J1- cos2 y = siny = sin (arccos (x)) analog 6.8. x, x, v'1- x2, v'1- x2, xj..ff'+X'I, ..;r:::x'ijx a)D=[-1, 1], W=[l, 11'- 1), b)D=[O, 1], W=[O, 11'/2 + 1], c)D=[O, 2], W=[O, 11']
5.1 5.2
5.3 5.4
5.5 5.6
Lösungen zu Kapitel V
Lösungen zu Kapitel V a) 6eif b) 2.J2e;t". c) 2e;!". d) 5e0; e) 5e;t". t) e;".
a) 3 .J2 ( cos i + i sin i) = 3 + 3 i b) 2 ( cos ~ 1r + i sin ~ 1r) = -1 + v'3 i c) 1 ( cos 1r + i sin 1r) = -1 d) 4 ( cos t 1r + i sin t 1r) = -2 - 2 .J3 i a)3-.J2i b)4(cos125°-isin125°) c)5e-;t". d)y'3e-i0. 734
501
a) 2 (cos j 7r + i sin j 1r) b) .J2 (cos 135° + i sin 135°} c) 2(cos45° +i sin45°} d) 5(cos 233.13° + i sin 233.13°) a) 1- 4i b) -9- 46i c) ~1 - ~ i d) -1 e) ;~ t) 1
56 - ~ i
a) -1- 4i b) 170 c) -1024i d) 12 e) ~
0-t g)-7+3v'3+v'3i h)765+128v'3 i) <6 v;+4) 5. 7 a) -512 + 512 .J3 i b) 8 ( cos 135° + i sin 135°} c) -46 656
d) 27 e; 1.66 ". = 2 e; 5.21
5.8 a) 3e;"" mit t.p = i. ~ 1r, ~ 1r, ~ 1r
5.9 5.11
5.12
5.13 5.14 5.15 5.16 5.17
5.18
5.19 5.20 5.22 5.23
5.24
3 ( cos t.p + i sin t.p) mit t.p = 45°, 135°, 225°, 315° b) a'2 ei"" mit ," = .!!: .1 7r 17!" !2 7r ll 7r ll 7r v~ T 9'9 •9 • 9 • 9 • 9
{/2 ( cos t.p + i sin t.p} mit t.p = 20°, 80°, 140°, 200°, 260°, 320° a) 1, 1, 2,-1 ± i b) 1, -2, ~ i, -~ i evalc (Re((-2+7*1 ) I (15*1))); etc. evalc (lm((-2+7*1) I (15*1))); etc. abs ( " ) --+ Betrag argument ( " ) --+ Winkel evalc evalc solve (z "3 = I, z) bzw. fsolve ( ... , z) fsolve ( " , z, complex)
a) R = 1000 + i (199999.95} 0::::? R = IR.I = 199999.980 b) R. = 86.21 o + i34.480::::? R =IR. I= 92.850 )R• R (wL)2 ·R2 · wLR~ b)R• 609361"\ "497111"\ a = 1 + (wL)2+R~ +~ (wL)2+R~ 9 = · u+~ · u
u = 231.77 V· sin (wt + 0.48} y = 22.37 cm · cos (wt + 5.74) a) R = 1.4, w9 = 1.9 b) R = 1.3, w9 = 1.3. c) C = 3.4 J.LF, L = 0.5 H
a) R = 0.80, w9 = 0.74~ b) L = 0.0925H, C = 0.592-10-7 F c) R = 592 0, L = 0.0476
a)
Lk = ck = 1 Lk = o.5 , ck = 2 Lk = 2 , ck = o.5
Ropt
1.3 0.9 1.8
0.52 0.6 0.4
1.9 1.6 2.4
b) C in [p.F] 2.47 1.44 4.32
Lin[mH] 14.6 17.8 13.3
502 Anhang A: Lösungen zu den Übungsaufgaben
Lösungen zu Kapitel VI 6.1 a) n > 103 b) n > 104 c) n ~ 1010
602 a) ~ b) oo c) 1 d) 5 e) ~ f) ~ g)t h) 3 i) sin ~ = 1
603 Ia - 11 < € {=> n > ...l.. n 2 4<
6.4 a) ~ b) Mit q := I a:!1 I folgt [an[~ qn-1 [a1[----> 0 für n----> OOo
605 L1: [an+ bn- (a + b)[ ~ [an- a[ + [bn- b[ n~ 0 L2: [an ° bn- a 0 b[ = [an (bn- b) +(an- a) b[
~ [an[ [bn - b[ + [b[ [an- a[ n~ 0
606 a) Iimit (1 I n * sum(1 I i, i = 1oon), n = infinity) b) Iimit (n I sqrt[n] (n!), n = infinity)
607 a) 7 b) -~ c) 0 608 a) 0 b) -7 c) 2 ctH eH f) 1 609 !im f(x) = 2
x-1 6.10 !im f (x- h) = 0 ~!im f (x + h) = -2
h-o h-o 6011 !im f (xo + h) = 2 = f (xo) =lim f (xo- h)
h-o h-o 6012 Ja: ](1) := ~
6013
6014
6015
6016 6017
6.18
6.19 6020
6021
6022
a) y1 = 56x6 - 30x2 - 30x-4 + 56x-8 b) y1 = 9x-t- 4x_, + 11 + 12x-~ ) I _ ...!..z-~ d) I_ -13o9 -.lf c Y -so Y - 2 a
e) y 1 = 2 b x ( c + e x) 3 + ( a + b x2) 0 3 ( c + e x) 2 0 e
f) y1 = l x~ + ~ x~ g) y1 = (a + ß) x"+ß- 1
a) 10 ";3Cxl- 30 "~4(x) b) cos2(x)- sin2(x) c) nxn- 1ex + xnex d) (x__::-170)2
) -1 f) 4 2t2-t+1 ) x2-2 h) _xex(-2ex+2+x) e 1-cos(<p) - U+1)2(t-1)(t2-1) g - (x2+2)2 (eX-1)2 i) _ln(x)+1-x+x ln(xJ
(x-1)3
a) y 1 (x) =- sin (3x + 2) 0 3 b) y 1 (x) = 3 (3x- 2)2 o 3
c) Y1 (x) = 15 cos(5x) d) y 1 (x) = (8x- 3) e4x2- 3x+2
e) y 1 (x) = 1~;2 f) X 1 (t) = Aw cos (wt + rp) ) 1 (x) = cos(2 x-3) 0 2 h) 1 (x) = 1 1 0 2 x
g Y sin(2x-3) Y 2 V ( 2 ) x2-1 ln x -1
a) y1 (x) =XX (Inx + 1) b) y' (x) = x•inx 0 X cosx l;x+sinx
a) y1 = x<xx) o xx ((Inx + 1) lnx + ~) b) y1 = (xx)"' o x (21nx + 1)
c)y1 =x<xa)+a- 1 (a!nx+1) d)y1 =x(a"')ax (lna!nx+~)
e) y 1 = a<xx) 0 xx (Inx + 1) lna X 2 2
a) t b) 2 X C) x+13 d) aln(x-3) Jn a e) e -X f) 1 ~ x4-1 x2-4x-5 x-3 (1-x) 1-x2
sinh1 (x) = cosh (x) , cosh1 (x) = sinh (x) , tanh1 (x) = cos{2(x)
arcsin1 (x) = ~, arccos' (x) = ---:-6 y 1_-x2 y 1-x2
arctan1 (x) = x2~ 1 , arccot' (x) = - x2+1 arsinh1 (x) = ~, arcosh1 (x) = ~
yx2+1 yx2-1 y (x) = xn '--> 1n y = n Inx '--> y 1 = y o n ~ = n xn- 1
6.23
6.24 6.25
6.26
6.27 6.28 6.29
-2 ain(2 x)-e"' Y ·y- .U:, a) e"'"·x+3y2 lnx a;
c) --.2..1L._ d) ~ y-2v'ii cos y-x
y' (4) = -0.436
i)
f !'
df = !' (x) dx
ii) df (xo) = !' (xo) dx iii) Yt = f (xo) + df (xo) iv) v)
Linearisierung f (xo +c) ~
exakt Punkt (xo, yo)
a) x(t) = Ae-..,t cos(wt)
Lösungen zu Kapitel VI
y·lny·exy_~
v1 +x4
2 x3
J1+x4
2 "' 3 dx J1+x4
.J2dx .J2x .J2x
1.4283 1.4142 (1, .J2)
a ln (1 + 3x5 ) 45x4
1+3x0
45x4 d 1+3x0 X
4.993dx 4.993x + 4.8 4.993x + 4.8
19.8289a 19.8289s
(3, 19.779)
x(t) = -1Ae-..,t cos(wt) -wAe_..,t sin( .. ,t) x (t) = A 12 e-..,t cos (wt) + A rwe_..,t sin (wt)-
Aw2 e-"1 t cos (wt) + A /W e-7 t sin (wt)
2 cosx
-2 sinx
-2 sinxdx
503
.J2dx 1.414 X - 0.3034 1.414x + 0.3034
1.428 1.400
Ct . .J2)
b) x (t) = 0 '* -1 cos (wt)- w sin (wt) = 0 '* tan (wt) = -= V' (a) = 0 mit V" (a) = ~ > 0 relativer Fehler d: = 3.9 · 10-3 ~ 4 ° /oo a) Minimum ( -~; -5) Maximum (1.5; 27) b) Maximum (0; 16) Minimum (±2; 0) c) Maximum (0; 2) d) Maximum (1; 0.368) e) Maxima Xk = '7 + k · 1r Yk = 0.5 k E Z Minima Xk = ~ 1r + k · 1r Yk = -0.5 k E 2Z f) Minimum (0, 5; -0.08)
6.30 a) y = "':.s: D = R \ {3}, W = ( -oo, -0.325] U 12.325, oo), Pol: x = 3, Vertikale Asymptote x = 3, Asymptote im Unendlichen y = x + 3, Extremwerte: Max ( -0.162, -0.325) Min (6.162, 12.325).
(x-1)2 ] [ b)y= x+1 :D=IR\{1},W=(-oo,-8UO,oo), Pol: x = -1, Vertikale Asymptote x = -1; Asymptote im Unendlichen y = x-3, Extremwerte: Max ( -3, -8) Min (1, 0). c) y = 11:,"': D = (0, oo), W = (-oo, 0.368), Nullstellen: x = 1, Pol: x = 0, Asymptote fur x --+ oo: y = 0, Extremwert: Max (2.71, 0.368), Wendepunkt: (4.48, 0.335). d) y = sin2 x : D = IR, W = [0, 1] , Periodizität 1r, Nullstellen: Xk = k 1r, Extrema: Max (xk =% + k1r; Yk = 1) Min (xn = k1r; Yk = 0), Wendepunkte Xk = 7 + k · % Yk = ~ .
6.31 a) 2 a b) 2 c) 2 d) 1~ e) 0 f) _!2 g) 1 h) ea
6.32 rightbox (sqrt(x), x = 0 .. 2, 1 0) rightsum (sqrt(x), x = 0 .. 2, 1 0) 6.33 a) "'66 + C b) -~ + C c) ~ z~ + C
504 Anhang A: Lösungen zu den Übungsaufgaben
d)3xi+C e)fx3 -!x2 +3x+C t)fx~-~x~+C 6.34 a)1 b)27r2 +2 c)Ina 6.35 a) x sinx+cosx+C b) ~ sin2x+C c) -x2 cosx+2x sinx+2 cosx+C
d) i x 3 In x - t x 3 + C e) x ex - ex + C f) x 2 ex - 2 x ex + 2 ex + C 6.36 a)lnlx+2I+C bHinjx2 -1j+C c)--!Inj1-2x3j+C
d) !- i (3s + 4)9 + C e) -t cos (wt + rp) + C f) i sin (3t) + C g)-e-x+C h)-Inlcosti+C i)Inlxexi+C j) ~ sin2x+C k) ~i (4+3x)~ +C
6.37 Nachrechnen durch Differenzieren der rechten Seite 6.38 a) -i x JX + x + 2 JX- 2 In (1 + JX) + C b) -t v'1- x23 + C 6.39 a) fv1+x3 +C (u=1+x3) b) -fgv'5x+123 +C (u=5x+12)
c)-~{/(1-t)4 +C (u=1-t) d)O (u=cosx) e) ~ arctan2(z)+C (u=arctanz) f)Injx2 +6x-12j+C (u=x2 +6x-12) g)Iniin(x)I+C (u=Inx) h)-~cos(x2)+C (u=x2 )
iHinj2x3 -4x+2j+C (u=2x3 -4x+2) j)O (u=1+t2) k)0.47 (u=3t-"i) 1)2.055 (u=5-x) m)iex3 - 2 +C (u=x3 -2) n)~tan2 (z+5)+C (u=tan(z+5))
o) _v'4;x2 - arcsin (~) + C (x = 2 sinu) 6.40 a)~x2 Inx-±x2 +C b)x·sinx+cosx+C c)tint-t+C
d) -t x cos (3 x) + !- sin (3 x) + C e) x arctan x- ~ In (1 + x2) + C f) ~ ( t - t sin ( wt) cos ( wt)) g) ~ ex ( sin x + cos x) + C h) -x2 e-x- 2xe-x- 2e-x + C
6.4I a) 21a (lnlx-ai-Inlx+ai)+C b)2lnlx+1l+f Inlx-11-~ lnlx+21+ C+4x c) l ln I z- 1 ~- 2 - 1- + C d) ll In lx - 91 + .!§. In lx + 71 + C 3 z+2 z+2 8 8
e) t ln x~3 - 3 (L3) + C 6.42 aH (lnx)~+C b)Inlsinxi+C c)xsinh(x)-cosh(x)+C
d) -ecosx + C e) X+± In lx- 11- ~In lx + 11- ~ x~ 1 + C f)x-5Inlx+11 g>±(lnx)4 +C h) 2 in j2 x3 - 1j + C i) ~ ( x 2 + 1) arctan x - ~ x + C
6.43 ln(x + v'1 + x2) x - v'1 + x2
6.44 ~ - h/1 + y'X(2 - JX) +C 6.45 convert ( " , x, parfrac) 6.46 a) 0 b) 0 c) 0 fUr n :f. m; 1r fUr n = m
d) 0 fUr n :f. m; 1r fUr n = m e) 0 6.47 a) ~ b) % c) ~ d) _;+• e) 82~a2 f) .::h 6.49 P = ~ uo io cos rp 6.60 X 8 = ~ a Ys = ~ h 6.61 M = 37.7, V= 19.73
Lösungen zu Kapitel VII
Lösungen zu Kapitel VII 7.1 a) 2::;:'=1 '7n = 2::;:'=1 j- '*Satz: Divergenz
b) Quotientenkriterium =* Konvergenz c) l•:,n1 ::; -;!,: '* Majorantenkriterium: Konvergenz d) 2 :+1 ----> ~ '* Koeffizienten keine Nullfolge '* Divergenz
n->oo e) Quotientenkriterium '* Konvergenz f) Quotientenkriterium '* Konvergenz g) Quotientenkriterium '* Konvergenz h) Leibnizkriterium '* Konvergenz i) Leibnizkriterium '* Konvergent j) Quotientenkriterium '* Konvergenz k) Quotientenkriterium '* Divergenz I) Majorantenkriterium ::; -;!,:
7.2 a) 6 b) e c) 6 7.4 5, 1, ~. 4 7.5 a) K = (-2, 2) b) K = [-1, 1] c) K = (--1, 1) d) K = (-1, 1]
e)K=(-2,2) f)K=(-1,1) g)K=R h)K=(-~,~) 7.6 a)K=(-e+4,e+4) b)(-1,3) c)K='R d)K=R 7. 7 siehe §3 Tabelle I
505
7.8 f (x) = -1 + (x- 1)2 - 2 (x- 1)3 + 3 (x- 1)4 - ... ± (n- 1) (x- 1)n ± ... =-1+2::;:'=2 (n-1) (x-1t (-1)n+1 ; K=(0,2]
7.9 siehe §3 Tabelle I 7.1 0 siehe § 3 Tabelle I 7.11 siehe §3 Tabelle I 7 12 ( ) 1 ""oo 1.::.l..L, (x _ 2!:)2n l VJ'"'oo (-l)n+I (x _ 2!:)2n+1 · f X = 2 Lm=O (;n}! 3 + 2 Lm=O (2n+l}! 3
K=R 7.14 f (x) = x- x2 + ~ x3 +Ra (x) mit IRa (x)l ::; t lxl 4
7.15 Rn (x) = ~ ~ 1'3· .. ·~t;n-a) (1- e)_ 2n2- 1 xn::; 10-4 fur e E (0, 0.05)
7.18 7.19
7.20
7.21
7.22 7.23
7.24
'* n = 5 F (x) = ""oo 1.::.l..L. x2 n+1
L..m=O 2n+1 taylor (m I k * ln(cosh(sqrt(k * g Im) * t)), k = 0, 3); l g t2 - ..l.. ll k + ..l.. ~ k2 + 0 (k3 ) 2 12 m 45 ----;n'T
• ( ) x3 x5 x 7 SlnC X = X -(! 3 + 5! 5 - 7! 7 ± ...
( ) 2 x x 3 x 5 x 7 ) erf X = ~ T - m + 2! 5 - 3! 7 ± ... ) 3 _ 3 3 2 + · (3 2 3) b) 1 _ 1-z + · 11 a Z -X - XY t X Y- Y 1_" - (l-z)2+y2 t (1-z)2+y2
c) e3 z = e3"' cos 3 y + i e3"' sin 3 y jeizJ = 1 e-3VS
a) /; (x) = 3 (1 + i)3 x2; J:; (x) = 3 (1 + i) e3<1+i)z b) J f; (x) dx = (1 + i)3 i x4 + c; J f;; (x) dx = a(l1+i) e3<1+i)z + c
RL = iwL
506 Anhang A: Lösungen zu den übungsaufgaben
Lösungen zu Kapitel VIII 8.1 Nullstelle: 2. 79771 nach 19 Iterationen 8.2 7 Iterationen 8.3 0.73908 8.4 -0.6037 8.5 {~Ci ist NS von f (x) = x3 - a. Newton-Iteration Xn+l = i Xn + i ::T.
?'2 ~ 1.2599, {14 ~ 1.5874, {/8 ~ 2.0000 "'n 8.6 -0.6625 8.7 fsolve (x"5 + 3 * x"3 + 1 = 0, x, complex)
-0.6625 , -0.0544 - 1. 7380 I , -0.0544 + 1. 7380 I , 0.3857- 0.5919 I, 0.3857 + 0.5919 I
8.8 a) xo = 2.2407 b) xo = 1.6764 8.9 a) X = 3.1415 b) X= 0.1941
8.10 a = 34.46° 8.11 z = 4.965 8.12 Kl = 42 K2 = 7.~53 K3 = wi99
Lösungen zu Kapitel IX h
10 9.1 J'(x)=exp(xlnx)(lnx+1); !'(3)=56.66; 10_2
h Fehler 10 10.247 9.2 exakter Wert -98.0748; 10_2 0_088
10-3 0.00084 9.3 Ab gewissem h vergrößert sich der Fehler wieder. 9.4 Ordnung 2.
10-3
Fehler 0.506 0.00505 0.00005
9.5 a) DiftFormel (t, s, 2, 3), wenn t := [tl, t2, t3, t4, t5J und s := [s1, s2, s3, s4, s5J. b) !" (x2) ~ -{2 ;!T (fo- 16/1 +30/2 -16/a + /4)
9.6 a) f~ (2) ~ -0.92872 bei h = 10-2 b) f~ (2) ~ -1.20524 bei h = 10-2
c) f~ (2) ~ 112.0000 bei h = 10-2 d) f~ (2) ~ 1.32410 bei h = 10-2
9.9 m n h hrapez Is;m on 2 4 0.25 0.52327 0.52267 4 8 0.125 0.52281 0.52266 8 16 0.062 0.52270 0.52266 16 32 0.031 0.52267 0.52266 32 64 0.015 0.52267 0.52266 64 128 0.007 0.52266 0.52266
9.10 a) 11.07831 b) 0.19043 c) 4.06206 9.12 a) 2.27931 b) 1.19113 c) 15.067 d) -4.07552
Anhang B Einführung in MAPLE
Grundlegendes
Nach dem Starten von MAPLE unter Windows erscheint die Benutzeroberfläche des elektronischen Arbeitsblattes (Worksheets) mit der Eingabeaufforderung
> Nach dieser Aufforderung kann eine Eingabe entsprechend der MAPLE-Syntax gemacht werden, auf die MAPLE antwortet. Die Eingabe muß mit einem ; oder : abgeschlossen und durch DrUcken der Return-Taste bestätigt werden. Ein Beispiel: > 5*4;
20
Die Ausgabe erscheint versetzt eine Zeile tiefer und zentriert. Anschließend erscheint wieder die Eingabeaufforderung.
Wird statt der Return-Taste die Tastenkombination Shift zusammen mit Return betätigt, erhält man eine weitere Eingabeaufforderung, ohne daß der Befehl sofort ausgeführt wird. Erst wenn die gesamte Eingabe mit Return bestätigt wird, führt MAPLE alle Befehle in einem Befehlsblock aus. > 5**2; >4+%;
25 29
Zusammengehörende Teile sind durch eine Klammer am linken Rand gekennzeichnet. Durch die Funktionstaste F3 werden zwei MAPLE-Befehle getrennt; mit F4 werden zwei MAPLE-Befehle zu einem Block zusammengefügt.
Um Textstellen im Worksheet einzufügen, wird eine Eingabezeile mit der Funktionstaste FS in den Textmodus umgeschaltet. Eine neue Eingabezeile erhält man durchAnklicken des ">"-Symbols an der Koptleiste. Durch Markieren und Löschen können Befehls-, Ausgabe- oder Textzeilen wieder entfernt werden.
508 Anhang 8: Einführung in MAPLE
Symbolisches Rechnen und Graphik
Standardmäßig werden die MAPLE-Befehle zur Formelmanipulation in der MAPLESyntax eingegeben. Z.B. > int(x"2*sin(x), x);
-x2 cos(x) + 2 cos(x) + 2x sin(x)
berechnet zu x2 sin( x) eine Stammfunktion. Die Eingabe erfolgt dabei in der MAPLE-Notation. Alternativ kann man die symbolische Darstellung der Eingabe wählen, indem man an der oberen Leiste den x-Button aktiviert, dann lautet die Eingabezeile > I x2 sin(x) dx
Markiert man das Ergebnis der MAPLE-Rechnung und betätigt die rechte Mousetaste, werden mögliche Rechenoperationen vorgeschlagen, die auf das Ergebnis anwendbar sind. Z.B. Differentiate ---t x differenziert die Stammfunktion und liefert die MAPLE-Eingabezeile > x"2*sin(x); Markiert man nur einen Teil des Outputs und wählt mit der rechten Mousetaste wieder Differentiate ---t x, wird der Befehl als neue Eingabezeile in MAPLE-Syntax angegeben und ist anschließend ausführbar. > RO := diff(-x"2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin{x),x);
RO := x2 sin(x)
Wählt man statt dem Differenzieren mit der rechten Mousetaste Plots ---t 2D-Plot, so wird die Stammfunktion in einem Smartplot gezeichnet. Durch Anklicken der Graphik erscheint eine neue Toolbar, mit der man die Graphik interaktiv ändern kann. Alternativ steht wieder die rechte Mousetaste zur Verfügung. Ab MAPLE6 gibt es dadurch eine bequeme Möglichkeit Legenden zu beschriften, in die Graphik mit einzubinden sowie die Graphiken in einem der Formate <eps, gif, jpg, bmp, wmf> abzuspeichern.
Durch > plot(x"2, x=0 .. 2); wird direkt der plot-Befehl aktiviert, der den vorgegebenen Ausdruck im angegebenen Bereich zeichnet. Auch hier befinden sich die zusätzlichen Optionen zur Manipulation der Graphik nach dem Anklicken der Graphik am Kopf des Worksheets. Insbesondere um eine Animation, die durch animate oder display erzeugt wird, zu starten muß die Animation angeklickt und der Startbutton betätigt werden. Alternativ kann man nach dem Anklicken der Graphik zur Steuerung wieder die rechte Mousetaste nutzen.
Kommen wir nochmals auf unsere Integralaufgabe I x2 sin(x) dx zurück. Um das Ergebnis der Rechnung einer Variablen expr zuzuordnen, steht der %-Operator (ditto-Operator) zur VerfUgung
Spreadsheets 509
> expr := %: Anschließend können mit expr wieder Formelmanipulationen vorgenommen oder der Ausdruck kann durch > eval(expr, x=Pi/2);
an der Stelle x = ~ ausgewertet werden. Alternativ zum %-Operator hätte man auch direkt die Variable > expr := int(xA2*sin(x), x): definieren können.
Paletten
Um dem Anfänger das interaktive Arbeiten mit MAPLE zu erleichtern, steht zum einen die rechte Mousetaste zur Verfügung, mit der man jeweils den MAPLEOutput manipulieren kann. Andererseits bietet MAPLE drei sog. Paletten an, die an der oberen Taskleiste unter View -t Palettes <Symbol Palette, Expression Palette, Matrix Palette> angesteuert werden können. Symbol Palette. Oftmals verwendet man sowohl im Textmodus als auch im Eingabemodus griechische Buchstaben. Diese stehen direkt über die Symbol Palette zusammen mit e, oo, 1r und i zur Verfügung. Expression Palette. Häufig verwendete MAPLE-Operationen wie Integration, Differentiation, Summenbildung, Limesrechnung aber auch Grundrechenarten, Potenzen und Wurzeln sowie elementare Funktionen werden durch Anklicken des entsprechenden Symbols in MAPLE-Syntax umgesetzt. Die noch zu spezifizierenden Parameter des Befehls werden mit%? gekennzeichnet. Diese müssen anschließend gesetzt werden. Matrix Palette. Um die Eingabe von Matrizen zu erleichtern, gibt es die Matrix Palette. Dadurch können durch Auswahl des entsprechenden Symbols alle 4 x 4-Matrizen spezifiziert werden.
Spreadsheets
Zur Tabellenkalkulation stehen die sog. Spreadsheets zur Verfügung. Diese werden wie Tabellen z.B. in Excel bedient und benutzt. Das folgende Spreadsheet zeigt die Werte der Summen I:~=l k und I:~=l k2 in Abhängigkeit von n. Dazu wählen wir auf der oberen Taskleiste Insen -t Spreadsheet. Es erscheint im Arbeitsblatt eine Tabelle mit Zeilen A, B, C, ... und Spalten 1, 2, 3, ....
Zuerst wählen wir A an, schreiben in das grau markierte Feld n und bestätigen die Eingabe mit Return. Dann wählen wirB an, schreiben sum(k, k=l .. -Al) und bestätigen die Eingabe. Durch -AI wird bei der späteren Auswertung der Tabelle der aktuelle Wert des Parameters n aus der ersten Spalte genommen. In das Feld C
510 Anhang B: Einführung in MAPLE
schreiben wir sum(kA2, k=I .. -Al). Man beachte, daß MAPLE die Summen symbolisch in Abhängigkeit von n berechnet. In die Felder 2, 3, 4, 5 und 6 der Spalte A tragen wir 1, 2, 3, 10 und 100 ein. Nun Klicken wir die gesamte SpalteBan und wählen Spreadsheet --+ Fill --+ Down. Dann werden die zugehörigen Summenwerte in die zweite Spalte übertragen. Die Summen der dritten Spalte werden analog berechnet oder man wählt nach dem Markieren der Spalte das Ausführungssymbol an der oberen Taskleiste.
MAPLE als Textsystem
Mit der Funktionstaste FS kann man vom MAPLE-Input-Status in den Textmodus umstellen und in diese Zeile Text eingeben. Wie bei anderen Textsystemen kann man durch die Wahl von speziellen Buttons an der oberen Taskleiste den Text fett (B), kursiv (1) bzw. unterstrichen (u) darstellen. Mögliche Formate für den Absatz sind links- oder rechtsbündig oder Blocksatz. Eine sehr attraktive Möglichkeit Formeln einzugeben besteht in der folgenden Vorgehensweise: Im Textmodus (FS) klickt man das Summensymbol von MAPLE an. Es erscheint dann in der MAPLEOberfläche eine Eingabezeile und im Text ein ?. In die Eingabezeile kann man nun eine Formel in der MAPLE-Syntax eingeben. Im Text erscheint dann nach Betätigung der Return-Taste die Formel in symbolischer Schreibweise. Beispielsweise liefert int(sqrt(diff(y(x),x)'2+l),x=a .. b) die Formel
Ein Aufbau des Textsystems in der Form von aufklappbaren Buttons ist durch die Option Insert --+ Section oder Insert --+ Subsection möglich. Durch das Exportieren des Worksheets in . tex erhält man sowohl den Text als auch die Formeln in 15fP' und die Bilder als eps-Files. Durch das Exportieren des Worksheets in .htm erhält man den Text als html-File und sowohl die Formeln als auch die Bilder im gif-Format. Animationen werden als animated-gifs abgespeichert und werden bei der entsprechenden html-Seite als Animationen abgespielt. Ein Exportieren in das rif-Format ist ebenfalls möglich.
•
•
MAPLE Strukturen
MAPLE Strukturen
Operatoren
+ Addition < kleiner Subtraktion <= kleiner gleich
* Multiplikation > größer I Division :>= größer gleich
** Potenz gleich Potenz <> ungleich
Nulloperatoren
% %%
Zuweisung Befehlsende zur Ausführung und Darstellung des Ergebnisses Befehlsende zur Ausführung ohne Darstellung des Ergebnisses zuletzt berechneter Ausdruck (ditto-Operator) vorletzt berechneter Ausdruck An- und Abführungszeichen für Texte in MAPLE-Befehlen
511
• Schlüsselwörter, die vordefiniert und nicht als Variablenname zulässig sind
and by do done elif eise end fi for from if in intersect local minus mod not od option options or proc quit read save stop then to union while
• Vorbelegte Konstanten
false garnma infinity: 1: Pi:
true FAlL Catalan
00
Imaginäre Einheit A 7r = 3.14 ...
• Einfache Programmierstrukturen in MAPLE
Prozedur:
name:= proc (argument) local variable; befehlsfolge end;
512 Anhang 8: Einführung in MAPLE
if-Bedingung:
if bedingung then
end if;
Schleife:
elif else
befehlsfolge bedingung befehlsfolge
befehlsfolge
for var from exprl by expr2 to expr3 do
befehlsfolge end do;
Wiederholungsanweisung:
while expr do befehlsfolge end do;
Statt dem Abschluß der Schleifen durch end do kann auch das Kürzel od verwendet bzw. das Ende der if-Bedingung end if durch ti abgekürzt werden.
• Packages Da MAPLE beim Starten nur einen Grundumfang von Befehlen aktiviert, sind viele Befehle in sog. Packages aufgeteilt, die bei Bedarf mit > with(package): geladen werden müssen. Wichtige Packages sind
geometry Geometrie-Paket für R 2
geom3d Geometrie-Paket für R 3
linalg Package zur linearen Algebra LinearAlgebra Package zur linearen Algebra für große Matrizen MatLab Matlab Link plots Plot-Package für viele Graphikfunktionen powseries Package für Potenzreihen student Studenten-Package
Alle Packages können mit ?index,package und alle Befehle eines Packages mit with(package) oder ?package aufgelistet werden; die Hilfe zu den einzelnen Befehlen erhält man mit ?befehl.
Das LinearAlgebra Package 513
Das Linear Algebra Package
Eine der größten Änderungen von MAPLE6 gegenüber älteren Releases besteht im neuen LinearAlgebra Package, das für die numerische Berechnung großer Matrizen und Gleichungssysteme entwickelt wurde. Durch die Integration der NAG Bibliothek stehen numerisch genaue, schnelle und ausgereifte Algorithmen für die Lineare Algebra zur Verfügung. Im Unterschied zum linalg Package beginnen die MAPLE-Befehle mit Großbuchstaben und werden in der Regel ausgeschrieben. Da die grundlegende Datenstruktur des LinearAlgebra Package durch Vektoren und Matrizen gegeben ist, werden die Rechenoperationen direkt ausgeführt; der Befehl evalm ist daher nicht mehr nötig.
Definition der Objekte. Ein Zeilenvektor wird definiert durch > restart: with(linearAigebra): > v:=<1121314>;
V:= [1,2,3,4]
bzw. in der ausführlichen Syntax durch Vector[row]([l,2,3,4]). Einen Spaltenvektor erhält man durch > v:=<1 ,2,3>;
bzw. in der ausführlichen Syntax durch Vector([ 1 ,2,3]). Auf analoge Weise werden Matrizen erklärt. Entweder über den Matrix-Befehl oder kurz spaltenweise durch > M:=< <1 ,2,3> I <4,5,6> >;
M '~ [ ~ i l bzw. zeilenweise durch > M:=< <11213>, <41516> >;
M ·- [ 1 2 3] .- 4 5 6
Die Konvertierung von Matrizen und Vektoren des LinearAlgebra Paketes nach linalg erfolgt durch convert( .. ,vector) bzw. convert( .. ,matrix). Umgekehrt werden Matrizen und Vektoren des linalg Paketes durch convert( .. , Vector) bzw. convert( .. ,Matrix) umgewandelt.
Rechenoperationen mit Matrizen. Addition und Subtraktion von Matrizen sowie die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalaren werden mit +, - und * gekennzeichnet; die Matrizenmultiplikation wird durch Multiply oder durch Punkt "." ausgeführt; Potenzen von Matrizen werden mit""'' berechnet.
514 Anhang B: Einführung in MAPLE
> A:=< <112>, <314>, <516> >, > 8:=< <31512>, <-11-110> >;
A '~ [ ~ : ] • B '~ [ !1 !1 ~ l > A.B, Multiply(A,B);
u :11~]· [i :11~] Die Bestimmung der transponierten Matrix erfolgt durch Transpose und die Inverse einer Matrix ist mit dem Befehl Matrixinverse zu berechnen. Die Determinante einer Matrix wird durch den Determinant-Befehl bestimmt. > C:=< <31512>, <-11110>, <-11-110> >: > Matrixlnverse(C);
[ 0 -1/2 -1/2 ] 0 1/2 -1/2
1/2 -1/2 2 Lösen von Linearen Gleichungssystemen. Das Lösen von linearen Gleichungssystemen erfolgt mit LinearSolve, das zahlreiche zusätzliche Optionen besitzt, die man über die Hilfe erhalten kann. > A := <<1,0,0>1<2,1,0>1<1,0,0>1<-1,-1,-3>>: > b := <2,-1 ,-9>: > LinearSolve(A, b, free=s);
Der Rang einer Matrix A bzw. der erweiterten Matrix Alb erhält man durch > Rank(A), Rank( <AI b> ):
Vektorrechnung. Die Befehle zur Vektorrechnung sind analog zu den Befehlen aus dem Paket linalg zu gebrauchen Es wird dabei nicht zwischen Spalten- und Zeilenvektoren unterschieden. Folgende Tabelle gibt eine kurze Zusammenfassung der wichtigsten Befehle
with(LinearAigebra): v:=<1,2,3,4> a:=<112l3> whattype(v) CrossProduct(a, b) DotProduct(a, b) Norm(a, 2) ScalarMultiply(a, Iambda) VectorAngle(a, b)
Laden des LinearAlgebra Paketes Definition eines Zeilenvektors v Definition eines Spaltenvektors a Abfrage nach dem TYP des Vektors Kreuzprodukt der Vektoren a und b Skalarprodukt der Vektoren a und b Betrag des Vektors a Skalare Multiplikation des Vektors a mit .X Winkel zwischen den Vektoren a und b
Häufig benutzte Befehle mit Beispielen 515
Häufig benutzte Befehle mit Beispielen
Algebra Befehle
denom evalb evalc evalf evalm expand
factor fsolve
numer simplify solve subs
Zähler eines Quotienten Logische Auswertung Komplexe Auswertung Floating-point-Auswertung Matrizen-Auswertung Ausmultiplizieren eines Ausdrucks Faktorisieren eines Ausdrucks Näherungsweises Lösen einer Gleichung Nenner eines Quotienten Vereinfachen eines Ausdrucks Exaktes Lösen einer Gleichung Ersetzt erste Argumente in letztes Argument
> denom(5*x/(2*xA2-3*x+5)); > evalb(5*4>40); > evalc( (4+3*1)/(1-1) ); > evalf( (3/4f5 - 4); > evalm(A&*B); > expand((3-x)*(S*xA2+3));
> factor(xA2-3*x-4); > fsolve(xA2-3*x-5=0, x);
> numer(S*x/(2*xA2-3*x+5)); > simplify(1/x- 3/(x+2)); > solve(xA2-3*x-4=0, x); > subs({x=2,y=3}, 2*xA3+y);
Lineare Algebra Befehle aus dem linalg-Package
augment ZusammenfUgen zweier > augment(matrix([[3, 1 ],[4,3]]), Spalten matrix([ [6,4], [1, 1] ]) );
backsub Rückwärtsauflösen einer > backsub(A); Matrix
crossprod Kreuzprodukt > crossprod(v, w); det Determinante einer Matrix > det(A); dotprod Skalarprodukt > dotprod(v, w), evalm Auswerten einer Matrix- > evalm(A&*B);
operation gausselim Gauß-Elimination einer > gausselim(A);
Matrix inverse Inverse Matrix > inverse(A); linsolve Lösen eines linearen > linsolve(A,v);
Gleichungssystems matrix Matrix-Befehl > matrix([ [1 ,2], [4,8], [9,2] ]); transpose Transponieren einer Matrix > transpose(A); vector Vektor-Befehl > vector([3,2,7,4]); &* Matrizenmultiplikation > A&*v; A&*B
A, B: Matrizen, v,w: Vektoren
516 Anhang 8: Einführung in MAPLE
Graphik Befehle
plot
plot3d
display
animate
animate3d
point polar
numpoints
title
Plot-Befehl fUr zwei- > plot(xA2,x=0 .. 4); dimensionale Graphen > plot(tan(x),x=-Pi..Pi,y=-1 0 .. 1 0);
> plot( { sin(x),cos(x) },x=0 .. 2*Pi); Plot-Befehl fur drei- > plot3d(sin(x+y),x=O .. Pi,y=-7 . .4); dimensionale Graphen > plot3d(1/(xA2+yA2),X=-2 .. 2,
Y=-2 .. 2,view=0 .. 1 0); Darstellung von Graphen> display([p1 ,p2],insequence=false); bzw. Sequenzen > display([p1 ,p2],insequence=true); Animation einer Funktion> animate(sin(x+e*t),x=0 .. 2*Pi,
t=0 .. 1 O,frames=20); 3d-Animation > animate3d(sin(x*y+c*t),x=0 .. 2*Pi,
y=0 .. 2*Pi, t=0 .. 1 O,frames=20); Punkt-Option > plot(xA2,x=0 . .4, style=point); Polarkoordinaten-Option > plot([1-sin(t),t,t=0 .. 2*Pi],
coords=polar); Anzahl von Kurven- > plot(Heaviside(x), X=-5 .. 5 punkten, Default=49 numpoints=300); Überschrift des Graphen > plot3d(sin(x)*cos(y),x=0 .. 3,y=1 .. 5
title= 'Schwingung');
Rechenbefehle
changevar Variablentransformation
ditT Ableitung eines Ausdrucks
D Ableitung einer Funktion
int Integration eines Ausdrucks
intparts Partielle Integration Iimit Grenzwertberechnung
sum Summationsbefehl
series Reihenentwicklung taylor Taylorreihenentwicklung
> changevar(x=sin(u), > lnt(sqrt(1-xA2),x=a .. b),u); > diff( sin(5*x), x); > diff( cos(3*x), x$1 0); > D( sin ); > (0@ @3)(cos)(O); > int( tan(x), x=0 .. 1 ); > int( exp(x), x); > intparts(lnt(xA2*1n(x},x}, ln(x}}; > limit(sin(x)/x, x=O); > Iimit( (1 + 1/nrn, n=infinity}; > sum( 1/nl, n=O .. infinity); > sum( nA2, n=1 .. N}; > series(ln(x}, x=1, 1 0}; > taylor(exp(x}, x=O, 10);
Anhang C Die CD-ROM
Auf der CD-ROM befinden sich
• alle Worksheets, wie sie im Text beschrieben sind, inclusive aller erstellten MAPLE-Prozeduren für MAPLE6 - MAPLE8;
• viele zusätzliche MAPLE-Prozeduren zur Visualisierung mathematischer Begriffe;
• alle Worksheets auch für MAPLE V Release 5.1; • Pascal-Quellprogramme zu den numerischen Algorithmen.
Alle Dateien auf der CD-ROM sind schreibgeschützt; selbst wenn sie auf die Festplatte kopiert werden. Der Schreibschutz für auf die Festplatte kopierte Dateien kann unter Windows aufgehoben werden, wenn z.B. im Explorer die Option Datei - Eigenschaften gewählt und der Menuepunkt schreibgeschatzt durch Mouseklick deaktiviert wird. Es kann auch ein gesamtes Verzeichnis selektiert und anschließend mit obigem Verfahren für alle Dateien der Schreibschutz aufgehoben werden.
Die getesteten Systemvoraussetzungen für den Gebrauch der CD-ROM sind
• Intel 486 DX oder Pentium; • empfehlenswert mind. 64 MB Festplattenplatz; • empfehlenswert mind. 32 MB RAM; • Windows NT 4.0, Windows 9x und höher.
Voraussetzungen
• MAPLE6, MAPLE7 oder MAPLE8 ist auf dem Rechner installiert. • .mws ist je nach Version mit dem ausführbaren Programm wmaple.exe,
maplew.exe bzw. maplew8.exe im MAPLE-bin-Verzeichnis verknüpft.
518 Anhang C: Die CD-ROM
Aufbau der CD-ROM Die Struktur der Verzeichnisse auf der CD-ROM ist wie folgt:
index.mws
\wrksheet\
\Rel5\ wrksheet\
\Pascal\
read.me
Inhaltsverzeichnis der Worksheets.
enthält alle Worksheets nach Kapiteln gegliedert.
enthält index.mws und alle Worksheets für MAPLE V Rel. 5.1.
Verzeichnis mit den Pascal-Programmen.
letzte Änderungen, die nicht mehr im Text aufgenommen werden konnten.
Durch Doppelklicken der Datei index.mws öffnet man das Inhaltsverzeichnis, wie es auszugsweise in der nebenstehenden Abb. angegeben ist. Durch Öffnen des entsprechenden Kapitels und anschließendes Anklicken des gewünschten Abschnitts wird das zugehörige MAPLE Worksheet gestartet und ist dann interaktiv bedienbar. Mit der "+-"-Taste der oberen Taskleiste kommt man vom Worksheet zum Inhaltsverzeichnis zurück. Die einzelnen Worksheets sind aber auch separat anwählbar, indem man in das entsprechende Verzeichnis wechselt und es von dort aus startet.
Alle MAPLE Worksheets sind ebenfalls unter MAPLE V Release 5.1 abgespeichert und können durch Doppelklick auf die Datei index.mws im Verzeichnis \Rel5\ geöffnet werden. Um zukünftig mit neuen MAPLE-Versionen Schritt zu halten, werden Updates der Worksheets unter
http:llwww.jh-karlsruhe.deFweth0002/buecher/bandl/start.htm unter der Angabe des Paßwortes (ISBN-Nummer dieses Buches) zur Verfügung gestellt.
Einige der Prozeduren liegen übersetzt im MAPLE-internen m-Format vor. Falls einzelne Worksheets auf die Festplatte kopiert werden, empfiehlt es sich, die save-Befehle im Worksheet zu aktivieren, die momentan durch ein # kommentiert sind. Zum Speichern vorgesehen ist das temp-Verzeichnis auf der C-Festplatte. Es kann aber auch jedes andere Verzeichnis gewählt werden.
Aufbau der CD-ROM
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Mathematik für Ingenieure mit Maple- Band 1 lAuOage ~~:· Spring~r
Inhaltsverzeichnis
Kapitel I: Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme
Kapitel II: Vektorrechnung
Kapitel ill: Matrizen und Determinanten
Kapitel IV: Elementare FUnktionen
Kapitel V: Die komplexen Zahlen
Kapitel VI: Differential- und Integralrechnung
§I. Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion Zahlenfolgen mit Maple Funktionsfolgen Berechnung von Funktionsgrenzwerten
§2. Differentialrechnung Begriffsbildung der Ableitung Differentiation mit Maple Einfache Differentialionsregeln Logarithmische Differentiation Implizite Differentiation Die Regeln von !'Hospital Magnetfeld von Leiterschleifen
§3. Integralrechnung Begriffsbestimmung des bestimmten Integrals Integration mit Maple Integrationsmethoden
( 1.) Partielle Integration (2.) Integration durch Substitution (3.) Partialbruchzerlegung
Anwendungen Mittelungseigenschaft des Integrals Bogenlänge und Krummung Volumen von Rotationskörpern
Lösungen zu den Aufgaben
Kapitel VII: Funktionenreihen
Kapitel Vill: Numerisches Lösen von Gleichungen
Kapitel IX: Numerische Differentiation und Integration
519
520 Anhang C: Die CD-ROM
Die Pascal-Programme
Die folgende Liste enthält eine Aufstellung aller auf der CD-ROM befindlichen Pascal-Programme. Die Programme sind sowohl unter dem Format .pas als PascalQuellprogramme als auch als ausfUhrbare Programme im Format .exe abgespeichert. Sie befinden sich im Verzeichnis \pascal\
banach.pas
banach2d.pas
bise.pas
diff.pas gauban.pas
gaussl.pas
gauss2.pas
genau.pas integral.pas newipol.pas
newton.pas
pegasus.pas
refa.pas
rhaps.pas
wurzel.pas
Banachverfahren zur Bestimmung eines Fixpunktes einer Funktion Bestimmung der Gleichgewichtslage des 2-FedernMasse-Systems mit dem 2d Fixpunktverfahren Bestimmung der Nullstelle einer Funktion mit der Bisektionsmethode Programm zur numerischen Differentiation Lösen eines quadratischen LGS mit dem GaußBanachiewicz-Algorithmus (LR-Zerlegung der Matrix) Programm zum Lösen von quadratischen LGS mit dem Gauß-Algorithmus Programm zum Lösen von quadratischen LGS mit dem Gauß-Algorithmus (Pivotisierung der Matrix) Programm zur Bestimmung der Rechengenauigkeit Programm zur numerischen Integration Bestimmung des Interpolationspolynoms zu gegebenen Wertepaaren Bestimmung einer Nullstelle einer Funktion mit dem Newton-Verfahren Bestimmung einer Nullstelle einer Funktion mit dem Pegasus-Verfahren Bestimmung einer Nullstelle einer Funktion mit dem Verfahren der regula falsi Bestimmung einer Nullstelle eines Polynoms mit dem Newton-Rhapson-Verfahren Bestimmung der Quadratwurzel einer positiven reellen Zahl
Literaturverzeichnis
Das folgende Literaturverzeichnis enthält eine (keineswegs vollständige) Aufstellung von LehrbUchern zur Ergänzung und Vertiefung der Ingenieurmathematik, Aufgabensammlungen, Handbücher sowie Literatur Uber MAPLE und Uber das Textverarbeitungssystem IMJ3X.
Lehrbücher lngenieurmathematik:
Ayres, F.: Differential- und Integralrechnung. McGraw-Hill 1975.
Brauch, W., Dreyer, H.J., Haacke, W.: Mathematik fUr Ingenieure. Teubner, Stuttgart 1990.
Bronstein, I.N., Semendjajew, K.A.: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, Thun/Frankfurt 1989.
Burg, K., Haf, W., Wille, F.: Höhere Mathematik fUr Ingenieure I-IV. Teubner, Stuttgart 1985-90.
Engeln-MUllges, G., Reutter, F.: Formelsammlung zur Numerischen Mathematik. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim 1985.
Fetzer, A., Fränkel, H.: Mathematik 1+2. Springer 1997+99.
v. Finckenstein, K.: Grundkurs Mathematik fur Ingenieure. Teubner, Stuttgart 1986.
Fischer, G.: Lineare Algebra. Vieweg, Braunschweig 1986.
Forster, 0.: Analysis 1. Vieweg, Braunschweig 1983.
Hainzel, J.: Mathematik fUr Naturwissenschaftler. Teubner, Stuttgart 1985.
Hohloch, E., Kümmerer, H.: BrOcken zur Mathematik 1-7, Comelsen 1989-96.
Meyberg, K., Vachenauer, P.: Höhere Mathematik 1+2. Springer 1999+97.
Papula, L.: Mathematik fUr Ingenieure 1+2. Vieweg, Braunschweig 1988.
Spiegel, M.R.: Höhere Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler. McGraw-Hill 1978.
Stingl, P.: Mathematik fUr Fachhochschulen. Carl Hanser 1992.
Werner, W.: Mathematik lernen mit Maple. dpunkt 1996.
Westermann, T., Buhmann, W., Diemer, L., Endres, E., Laule, M., Wilke, G.: Mathematische Begriffe visualisiert mit MAPLE. Springer 2001.
522 Anhang : Literaturverzeichnis
Literatur zu MAPLE:
Burkhardt, W.: Erste Schritte mit Maple. Springer 1996.
Char, B.W. et al: MapleV: First Leaves. Springer 1991.
Char, B.W. et al: MapleV: Library Reference Manual. Springer 1991.
Devitt, J.S.: Calculus with Maple V. Brooks/Cole 1994.
Dodson, C.T.J., Gonzalez, E.A.: Experiments In Mathematics Using Maple. Springer 1995.
Ellis, W. et al: Maple V Flight Manual. Brooks/Cole 1996.
Heal, K.M. et. al: Maple V: Learning Guide. Springer 1996.
Heck, A.: Introduction to Maple. Springer 1996.
Heinrich, E., Janetzko, H.D.: Das Maple Arbeitsbuch. Vieweg, Braunschweig 1995.
Kofler, M.: Maple V Release 4. Addison-Wesley 1996.
Komma, M.: Moderne Physik mit Maple. Iot. Thomson Publishing 1996.
Lopez, R.J.: Maple via Calculus. Birkhäuser, Boston 1994.
Redfern, D.: Maple Handbook. Springer 1994.
Literatur zu ~:
Dietsche, L., Larnmarsch, J.: Latex zum Loslegen. Springer 1994.
Kopka, H.: LateX. Addison-Wesley 1994.
Index
Ä Äquivalenzumformungen, 27
A Abbruchkriterium, 448 Abklingzeit, 190 Ableitung, 277
elementarer Funktionen, 279 Tabelle, 280 Umkehrfunktion, 287 zweite, 281
Abstand, 18 Ebene-Ebene, 7 4 Ebene-Gerade, 73-7 4 Gerade-Gerade, 66 Punkt-Ebene, 73 Punkt-Gerade, 66
Addition komplexe, 218 Matrizen, 108 Vektoren, 2D, 43 Vektoren, 3D, 50
Additionstheoreme, 198, 435 Additivität des Integrals, 339 Amplitude, 194 Anordnung, reeller Zahlen, 18 Arbeitsintegral, 363 Areafunktionen, 289 Arkusfunktionen, 199, 381 Assoziativgesetz, 14-15
Matrizen, 111 Vektoren, 2D, 45 Vektoren, n-dimensional, 86
Asymptoten, 180
B Balkenbiegung, 312 Banachscher Fixpunktsatz, 458 Banachverfahren, 455-456
2-D, 467
Bandpaß, 252 Bandsperre, 253 Basis, 95 Bernoullische Ungleichung, 19 Beschleunigung, 295 Betrag, 18, 50
eines Vektors, 43 komplexer, 211-212
Betragsfunktion, 147 Beweismethoden, 11 Bijektivität, 161 Billdungsgesetz bei Folgen, 262 Bildvektor, 118 Binominalkoeffizient, 9 Binomischer Lehrsatz, 10 Bisektionsverfahren, 44 7 Bogenlänge, 367 Bogenmaß, 192 Boyle-Mariottesches Gesetz, 336
c Cramersche Regel, 129
D Definitionsbereich, 146 Definitionslücken, 178, 27 4 Determinante, 122
Entwicklungssatz, 125 n-reihige, 125 zweireihige, 123
Differential, 298 abhängiges, 298 einer Funktion, 298 unabhängiges, 298
Differentialquotient, 278 Differentialrechnung, 277 Differentiation, 278
implizite, 293 implizite mit Maple, 294
524
komplexwertiger Funktionen, 437
Index
logarithmische, 290 logarithmische mit Maple, 291
Differentiationsregeln Faktorregel, 282 Kettenregel, 285 Potenzregel, 283 Produktregel, 283 Quotientenregel, 284 Summenregel, 282
Differenzenformeln, 4 78 einseitige, 4 79 erste Ableitung, 478 n-te Ableitung, 486 Ordnung, 483 zentrale, 4 79 zweite Ableitung, 485
Differenzenquotient, 278 zentraler, 481 zentraler, 2. Ableitung, 485
Differenzierbarkeit, 277 Dimension, 97 Diskriminante, 20 Distributivgesetz
Matrizen, 111 Vektoren, 2D, 45 Vektoren, 3D, 56
divergent, 263, 389 bestimmt, 390
Divergenz, 263 Dividierte Differenzen, 170 Division, komplexe, 221 Drehimpuls, 56 Drehmoment, 55 Durchschnitt von Mengen, 2
E e, 266 Ebenengleichung, 69 Effektivwert, 365 Eineindeutigkeit, 161 Einheitsvektor, 50 Einlesen von Daten, 154 Einschließungsalgorithmen, 448
Elektrische Schaltungen, 242 Elektrischer Vierpol, 120 Elektrisches Feld, 297 Elektrisches Netzwerk, 24 Elemente einer Menge, 1 Energie
relativistische, 425 Ruhe-, 425
Energieintegral, 363 Entladekurve, 189 Entwicklungspunkt, 401 Entwicklungssatz nach Laplace, 125 Erweiterung, stetige, 275 Erzeugendensystem, 92 Erzeugnis von Vektoren, 90 Eulersche Formel, 212, 433 Eulersche Zahl, 266 Existenz
der Eins, 15 der Null, 14
Exponentialform komplexe, 212
Exponentialfunktion, 148, 187, 315 allgemeine, 191
Extremalwerte relative, 304
Extremwertaufgaben, 310
F Fadenpendel, 138 Fakultät, 6 Falk-Schema, 110 Federn-Masse-System, 463 Fehler
Diskretisierungs-, 484 relativer, 302 Rundungs-, 484 Verfahrens-, 484
Fehlerrechnung, 301 Filterschaltungen, 242 Fixpunkt, 455-456 Fixpunktgleichung, 456 Flächenberechnung, 360 Fluchtgeschwindigkeit, 357 Folgen
Exponentialfolge, 265 Funktionsgrenzwerte, 268 Limesrechenregeln, 267
Folgenglieder, 262 Formeln
Eulersche, 212 Moivresche, 223
Frequenzband, 253 Fundamentalsatz
der Algebra, 226 der Differential- u. Integral
rechnung, 329 für LGS, 134
Funktionen, 146 Ableitung, 277 Arkus-, 199 Betrags-, 147 Differential, 298 diskrete, 262 echt gebrochenrationale, 177 einer Variablen, 146 Einlesen von Daten, 154 Exponential-, 187 Funktionsgrenzwert, 269 gebrochenrationale, 177 in Maple, 149 Integral-, 328, 330 komplexe Exponential-, 432 komplexe Kosinus-, 432 komplexe Sinus-, 432 komplexwertige, 431 Kosinus-, 192 Kosinus-Hyperbolikus, 436 Kotangens-, 197 Logarithmus-, 189 rationale, 177 reellwertige, 146 Sinus-, 192 Sinus-Hyperbolikus, 436 Stamm-, 331 stetige, 27 4 Tangens-, 197 trigonometrische, 192 Umkehr-, 158
Index
unecht gebrochenrationale, 177
Funktionenreihe, 401 Funktionseigenschaften, 155 Funktionsgrenzwert, 269
G
525
Ganzrationale Funktion, 163 Gauß-Algorithmus, 24, 27 Gauß-Jordan-Verfahren, 113 Gaußsehe Zahlenebene, 210 Gaußsches Eliminationsverfahren,
27 gebrochenrational
echt, 350 unecht, 350
Gebrochenrationale Funktionen, 17 Geometrie
Abstand Ebene-Ebene, 74 Abstand Ebene-Gerade, 74 Abstand Gerade-Gerade, 66 Abstand Punkt-Ebene, 73 Abstand Punkt-Gerade, 66 Ebene, 69 Gerade, 63 Hesse-Normalform, 70 Lage von Ebenen, 71 Schnittpunkt Gerade-Ebene,
75 Schnittwinkel Gerade-Ebene,
75-76 Schnittwinkel von Ebenen, 77 Schnittwinkel von Geraden,
67 windschief, 64
Geometrische Summe, 8, 12 Gerade, 48 Geradengleichung, 63 Geschwindigkeit, 295 Gestaffeltes System, 28 Gleichungen, 20
Betrags-, 22 quadratische, 20 Ungleichungen, 23 Wurzel-, 22
Gleichungssystem homogenes, 27
526
inhomogenes, 27 lineares, 24, 26
Gradmaß, 192 Graph, 146 Grenzfrequenz, 255 Grenzwert, 263, 269, 272
H
linksseitiger, 270 rechtsseitiger, 270
Häufungspunkt, 265 Halbwertszeit, 190 Harmonische Schwingung, 229 Harmonisches Pendel, 300 Hauptdiagonale, 107
Index
Hauptsatz der Differential- und In-tegralrechnung, 335
Hesse-Normalform, 48, 70 Hochpaß, 250 Hooksches Gesetz, 296 Horner-Schema, 166
doppeltes, 474 Hospitalsehe Regeln, 317 Hyperbelfunktionen, 289
I I, 215 Imaginäre Einheit, 209 imaginäre Einheit, 215 Imaginärteil, 211 Impedanz, 235
Längs-, 243 Quer-, 243
Implizite Differentiation, 293 Induktion, vollständige, 5 Induktionsgesetz, 296 Injektivität, 161 Integral
Additivität, 339 bestimmtes, 324, 335 Monotonie, 339 Riemann, 323 unbestimmtes, 328 uneigentliches, 357
Integralfunktion, 328, 330
Integration Integrationskonstante, 332 komplexwertiger Funktionen,
438 partielle, 340
Integrationsregeln Faktorregel, 338 partielle Integration, 340 Rechteckregel, 488 Simpson-Regel, 491 Substitutionsregel, 344 Summenregel, 338 Trapezregel, 490
Interpolationspolynom Lagranges, 164 Newtonsches, 170
Intervalle, 19 Intervallhalbierung, 447 Intervallschachtelung, 451 Inverse Matrix, 111, 128 Inverses Element, 14-15 Iteration, 448 Iterationsverfahren, 456 iterieren, 456
K Körper, 15 Kartesisches Produkt, 3 Kern, 131 Kettenkarussell, 444 Kettenregel, 285 Kettenschaltungen, 244 Kinematik, 361 Kirschhoffsehe Gesetze, 24 Knotensatz, 24 Koeffizienten bei LGS, 26 Koeffizientenmatrix, 27 Koeffizientenvergleich, 165 Kommutativgesetz, 14-15
Vektoren, 2D, 45 Vektoren, n-dimensional, 86
Komplement von Mengen, 2 Komplexe Amplitude, 230 Komplexe Umformungen, 213 Komplexe Zahlen, 209
Komplexer Widerstand, 235 Kondensatormikrophon, 297 Konjugiert komplexe Zahl, 214 Kontraktion, 458 konvergent, 263, 389
absolut, 389 Konvergenz, 263 Konvergenzbereich, 401 Konvergenzkriterien, 395 Konvergenzradius, 403, 432 Koordinatensystem
kartesisches, 41 Kosinusfunktion, 192 Kosinushyperbolikus, 289, 381 Kotangensfunktion, 197 Kotangenshyperbolikus, 289 Kräfteparallelogramm, 43 Krümmung, 369
Links-, 303 Rechts-, 303
Kreuzprodukt, 54, 130 Kurvendiskussion, 307
L
Index
l'Hospitalsche Regeln, 317 Lagrange Interpolation, 164 Laplacescher Entwicklungssatz, 125 Leitwert, 235 LGS, 26 Limes, 263 Limesrechenregeln, 267 Lineare Abbildungen, 118 Lineare Abhängigkeit, 92 Lineare Gleichungssysteme
Lösbarkeit, 131 lineare Ketten, 246 Lineare Unabhängigkeit, 92, 136 Linearfaktor, 166 Linearisierung, 299 Linearkombination, 90 Logarithmische Differentiation, 290 Logarithmus, 17 Logarithmusfunktion, 189 Lorentz-Kraft, 56
527
M Magnetfeld von Leiterschleifen, 312 Majorante, 395 Majorantenkriterium, 395 Mantelfl.äche, 372 Maple
Betragsgleichungen, 22 Differentiation, 281 Differentiationsbefehle, 379 Exponentialfunktion, 191 Filterschaltungen, 249 Funktionen, 149 Funktionsgrenzwerte, 271 Gleichungen, 20 implizite Differentiation, 294 Integralsubstitution, 349 Integration, 337 Integrationsbefehle, 379 Komplexe Rechnung, 227 Komplexe Zahlen, 215, 228 LGS, 33 Limesbefehle, 379 logarithmische Differentiati-
on, 291 Logarithmusfunktion, 191 numerische Integration, 489 Parallelkreis, 239 Partialbruchzerlegung, 355 partielle Integration, 342 Polynome, 173 Potenz-Wurzelfunktion, 187 Potenzreihen, 408, 440 rationale Funktionen, 182 RCL-Wechselstromkreis, 238 Reihen, 440 Schwingungen, 233 U mkehrfunktion, 162 Ungleichungen, 23 Vektorrechnung, 60 Vereinfachungsbefehle, 205 Wurzelgleichungen, 22 Zahlengrenzwerte, 267 Zahlenreihen, 393
Maschensatz, 24 Matrix, 27
528
Matrixelemente, 107 Matrizen
(m x n)-Matrix, 106 Addition, 108 Assoziativgesetz, 111 Determinante, 123 Diagonale, 107 Diagonalmatrix, 107 Distributivgesetz, 111 Einheitsmatrix, 107 Falk-Schema, 110 Gauß-Jordan-Verfahren, 113 Hauptdiagonale, 107 Inverse Matrix, 112 Multiplikation, 109 Nullmatrix, 108 obere Dreiecksmatrix, 107 Produkt, 110 quadratische, 107 Rang, 132 reguläre, 112 Sarrussche Regel, 127 Summe, 108 symmetrische, 107 transponierte, 109 Umkehrmatrix, 112 untere Dreiecksmatrix, 107
Maximum, relatives, 304 Meßdaten, 154 Mengen, 1 Mengenoperationen, 2 Minimum, relatives, 304 Minorantenkriterium, 393 Mittelpunktsregel, 489 Mittelungseigenschaft, 365 Mittelwert
integraler, 329 linearer, 364 quadratischer, 365
Mittelwertsatz, 317 Moivresche Formel, 223 Momentangeschwindigkeit, 277 Monotonie, 156
des Integrals, 339 Monotoniekriterium, 265
Index
Monotonieverhalten, 303 Multiplikation
N
komplexe, 219 Matrizen, 109
Näherungspolynome, 423 Natürliche Zahlen, 4 Newton-Rhapson, 476 Newton-Verfahren, 170, 468-469 Normalform
algebraische, 211, 215 Exponentialform, 212, 215 trigonometrische, 212, 215 Umformungen, 213
Nullfolge, 264 Nullphase, 195 Nullraum, 131 Nullstellen, 155, 178
Polynome, 167 Nullstellenproblem, 455 Nullvektor, 44 Numerische Differentiation, 478 Numerische Integration, 487
0 Optimierungsprobleme, 310 Ordnung, 480 Ortsvektor, 42, 50
p Partialbruchzerlegung, 350
mit Maple, 355 Partialsumme, 388 partielle Integration, 340 Peanosche Axiome, 4 Pegasus-Verfahren, 452-453 Pendel, harmonisches, 300 Periode, 194 Periodizität, 158 Permutation, 9 Phase, 195 Phasenverschiebung, 196 Plancksches Strahlungsgesetz, 320 Plattenkondensator, 297
Pole, 178 Polynomdivision, 168 Polynome, 163 Potenz, 16
komplexe, 223 Potenzfunktion, 185
allgemeine, 191 Potenzreihe, 401
Eigenschaften, 407 geometrische, 402 komplexe, 431
Potenzreihenentwicklung, 429 Primzahlen, 7, 12 Produktregel, 283 Produktzeichen, 6 Programme
Banachverfahren, 457 Banachverfahren 2-D, 467 Bisektionsverfahren, 44 7 Gauß-Algorithmus, 28 Interpolation, 171 Newton-Rhapson, 476 Newton-Verfahren, 469 Pegasus-Verfahren, 453 regula falsi, 4 7 4 Wurzeln, 4 72
Projektion, 53 Projektion eines Vektors, 53 Prozeduren
Q
kette, 249 bise, 449 bogen, 368 DiftFormeln, 486 geomet, 83 horn, 175 konv..radius, 406 newton, 471 poly, 175 quot..krit, 398 taylor_poly, 421 xrotate, 373 yrotate, 375
Quadratfunktion, 148
Index
Querschwingungen, 425 Quotientenkriterium, 396
Limesform, 396 Quotientenregel, 284
R Radioaktiver Zerfall, 188 Raketengleichung, 361 Rang, 132 Rationale FUnktionen, 177
529
RCL-Wechselstromkreis, 235, 310 Realteil, 211 Rechengenauigkeit, 448 Rechengesetze
für Vektorprodukt, 56 komplexe, 217 komplexer Zahlen, 222 reeller Zahlen, 14 Vektoren, 86 Vektoren, 2D, 42 Vektoren, 3D, 50
Rechenregeln der Differentiation, 282 für Funktionsfolgen, 272 für Grenzwerte, 267 für Matrizen, 108 für Spatprodukt, 58 für Vektoren, 50 Integration, 338
Rechteckregel, 488 Reelle Zahlen, 13 Regeln
Substitutionsregel, 34 7 von !'Hospital, 317
regula falsi, 473 Reihe, 389
alternierende, 398 alternierende harmonische, 399 arithmetische, 391 geometrische, 390 harmonische, 392, 394 komplexe geometrische, 433 MacLaurinsche, 414 Taylorreihe, 413 unendliche, 389
530
rektifizierbar, 367 rekursive Folge, 266 relative Extremalwerte, 304 relatives
Maximum, 304 Minimum, 304
relativistische Teilchen, 424 Resonanzschwingungen, 196 Richtungsvektor, 41, 50 Riemann-Integral, 323 Rohstofikette, 119 Rotationskörper, 371
Mantelfläche, 372 Volumen, 371
Rundungsfehler, 448
s S-Multiplikation, 86 Sarrus, 127 Sattelpunkt, 305 Satz von Rolle, 316 Schaltungen
II-Glieder, 242 T-Glieder, 242
Scheinwerferregelung, 426 Schwerpunkt, 376 Schwingungen, 229 Simpson-Regel, 491 Sinusfunktion, 148, 192
allgemeine, 194 Sinushyperbolikus, 289, 381 Skalarprodukt, 51
2D, 45 Spaltenrang, 131 Spaltenraum, 131 Spaltenvektor, 106 Spannungsintegral, 362 Spatprodukt, 58 Stammfunktion, 331 stetig, 273-274 stetige Erweiterung, 275 Stetigkeit, 273 Strahlender Körper, 320 Substitutionsregel, 344 Subtraktion
Index
komplexe, 218 Vektoren, 2D, 43 Vektoren, 3D, 50
Summe Links-, 488 Rechts-, 489 unendliche Reihe, 389
Summenzeichen, 6 Superposition, 89, 229 Surjektivität, 161 Symmetrie, 155
T Tangensfunktion, 197 Tangenshyperbolikus, 289, 381 Taylor
Polynom, 412 Satz von, 413 Taylorsche Formel, 413
Taylorreihe, 410 der Area-Funktionen, 418 der Binomischen Reihe, 416 Satz über, 413 von arctanx, 417 von cosx, 415 von lnx, 415 von sinx, 415 von ex, 414
Teilsummen, 388 Tiefpaß, 251 Trapezregel, 490 Trigonometrische Funktionen, 192
ü Überlagerung von Schwingungen,
229 Übertragungsfunktion, 241 Übertragungsverhältnis, 240
u Umkehrfunktion, 158 Umkehrmatrix, 111 Ungleichungen, 23 Untervektorraum, 89
V Variable
abhängige, 14 7 unabhängige, 147
Vektoren, 41 Vektoren, 2D, 42
Betrag, 43 Einheitsvektor, 44 Geraden-Darstellung, 48 Hesse-Normalform, 48 Komponenten, 42 Koordinatensystem, 42 Kräfteaddition, 43 Kräfteparallelogramm, 43 Länge, 43 Linearkombination, 44 Multiplikation mit Skalar, 42 Normalen-Einheitsvektor, 47 Nullvektor, 44 Ortsvektor, 42 Punktprodukt, 45 FUchtungsvektor, 42 Skalarprodukt, 45 Streckung, 42 Winkel, 46
Vektoren, 3D, 50 Addition, 50 antiparallel, 55 Arbeit, 54 Betrag, 50 Drehimpuls, 56 Drehmoment, 55 Einheitsvektor, 50 Kreuzprodukt, 54 Länge, 50 Linearkombination, 51 Lorentz-Kraft, 56 Multiplikation, 50 Multiplikation mit Skalar, 56 Orthonormalsystem, 52 Ortsvektor, 50 parallel, 55 Projektion, 53 Rechtssystem, 58 FUchtungskosinus, 52
Index
FUchtungsvektor, 50 Skalarprodukt, 51 Spatprodukt, 58 Vektorprodukt, 54
Vektoren, n-dimensional äußere Verknüpfung, 86 Addition, 86 Assoziativgesetz, 86 Basis, 95 Dimension, 97 Distributivgesetz 1, 86 Distributivgesetz 2, 86 Erzeugendensystem, 92 Erzeugnis, 90
531
Existenz des Nullvektors, 86 Gesetz der Eins, 86 innere Verknüpfung, 86 Inverser Vektor, 86 Kommutativgesetz, 86 linear abhängig, 92 linear unabhängig, 93 Linearkombination, 90 Operationen, 86 S-Multiplikation, 86 Superposition, 89 Untervektorraum, 89 Vektorraum, 85, 87
Vektorprodukt, 54, 130 Vektorraum, 85, 87 Venn-Diagramm, 2 Vereinigung von Mengen, 2 Vollständige Induktion, 5 Volumen
Rotationskörper, 371
w Weg-Zeit-Diagramm, 145 Weg-Zeit-Gesetze, 276 Wendepunkt, 305 Wertebereich, 146 Wheatstonesche Brückenschaltung,
302 Widerstand
Blind-, 237 komplexer, 236
532
ohmscher, 235 reeller Schein-, 237 Wirk-, 237
Index
Widerstandsanpassung, 311 Wiensehe Verschiebungsgesetz, 321 Winkelargument
komplexes, 212 Winkelfunktionen, 192 Wurzel, 472 Wurzelfunktion, 148, 186 Wurzelgleichungen, 22 Wurzeln
Einheitswurzel, 224 komplexe, 224
Wurzelziehen babylonisches, 266, 4 72
z Zahlen
komplex konjugierte, 214-215 komplexe, 209 natürliche, 4 reelle, 13
Zahlenebene Gaußsche, 210, 215
Zahlenfolge reelle, 262
Zahlengerade, 14 Zeiger
komplexer, 211 Zeilenrang, 131 Zeilenumformungen
elementare, 27 Zeilenvektor, 106 Zielbereich, 146 Zwischensumme, 324
Verzeichnis der MAPLE-Befehle
->, 149,267 @-Operator, 162
ABC abs, 215 addrow, 36, 141 angle, 61 arctan, 216 AreParallel, 80 args, 449 argument, 215 array, 116, 140 assign, 34 asympt, 183 augment, 35, 136, 140 backsub, 36, 140 band, 116 basis, 141 binomial, 10 bise, 449 bogen, 368 cartprod, 3 changevar, 349 close, 154 coeff, 173, 176 col, 141 collect, 173, 176 combine, 191, 204-205 complexplot, 217 conjugate, 216 convert, 62, 176, 216, 355, 412,
420, 422 coordinates, 80 cost, 174 crossprod, 62
DEF D, 281 degree, 173, 176 denom, 182
det, 129, 136, 140 detail, 79 diag, 116, 140 diff, 281, 291, 294, 314, 430 DiffFormeln, 486 Digits, 34 display, 152, 176, 257, 313, 326,
412 distance, 79 do, 449 dotprod, 61 draw, 80-81 else, 450 end,450 Equation, 78 eval, 116 evalc, 216, 227 evalf, 61, 150, 337 evalm, 61, 115, 140 expand, 11, 173, 176, 183, 191,
204-205 factor, 174, 176, 182, 228, 343 FindAngle, 80 for, 420 fsolve, 21, 174, 176, 228, 444
GHI gausselim, 140 gaussjord, 35, 140 gcd, 182 geomet, 83 horn, 175 if, 449 Im, 216 infinity, 393 inifcns, 149 insequence, 326 int, 337, 430 interp, 175-176 intersect, 3
534
intersection, 80 intparts, 342 inverse, 116, 140 isolate, 292, 343
KLM kernel, 141 kette, 249 leftbox, 325, 493 leftsum, 325, 493 limit, 267, 271, 320, 393 linalg, 35, 60, 115 line, 78 linsolve, 34, 134, 141 list, 176 ln, 18 local, 449 log, 18 loglogplot, 153 logplot, 153 lprint, 450 map, 117, 292 matrix, 35, 115, 140 member, 3 middlebox, 489, 493 middlesum, 489, 493 minus, 3 mulrow, 36, 141
NOP nops, 176 norm, 60 normal, 182 numer, 182 op, 343 parfrac, 355 plane, 79 plot, 22, 151, 257, 267, 313 plot options, 152 plot3d, 257, 373 point, 78 polar, 216 poly, 175 powcreate, 408 powseries, 408
MAPLE-Befehle
print, 80, 450 proc, 150, 449 product, 7
RST rank, 134, 141 Re, 216 readdata, 154 readlib(isolate), 292 rightbox, 489 rightsum, 489 row, 141 semilogplot, 153 seq, 176, 267, 313, 326 series, 422 simplify, 16, 187, 204-205 simplify, symbolic, 162, 187, 204 simpson, 492-493 solve, 20, 23, 33, 227, 294 sort, 173, 176 string, 412, 420 student, 325, 342, 493 subs, 176, 292 sum, 6, 393 swaprow, 36, 141 symbolic, 350 taylor, 422, 430 textplot, 152 tpsform, 408 transpose, 116, 141 trapezoid, 490, 493 type, 60
UVWXYZ unapply, 150, 162, 449 union, 3 value, 343, 349 vector, 35, 60, 140 view, 412, 420 whattype, 60 while, 449 writedata, 154 xrotate, 373 yrotate, 373 zip, 176