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Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben

Lösungen der Übungsaufgaben zu 1.1

1. Ist eine komplexe Zahl z in der Normalform z = a + ib, a, b E R, gegeben, so ist a = Re z und b = Im z. Hat sie nicht diese Gestalt, so muß man sie häufig in diese Form bringen:

also ist

Ähnlich zeigt man

i - 1 i - 1 -i + 1 2i . --=--'--=-=1 i + 1 i + 1 -i + 1 2 '

i -1 Re-. -1 =0, 1+

i -1 Im-.-=l.

1+ 1

3 + 4~ = -1 + 2i. 1-21

Wegen i4 = 1 nimmt in nur die Werte 1,i, -1, -i an, je nachdem n von der Form 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + 3 ist. Wegen

l+i 1Ti .. 1Ti (}:= .;2 = cos '4 + 1 sm '4

ist (} eine achte Einheitswurzel. Der Wert von (}n hängt also nur von n modulo 8 ab. Berechnet man die Werte für n = Obis n = 7, so erhält man die Realteile 1, .;2/2, 0, -.;2/2, -1, -.;2/2, 0, .;2/2.

Man behandelt analog die sechste Einheitswurzel (1 + iV3)/2 .

Die Zahl (1- i)/.;2 ist ebenfalls eine achte Einheitswurzel. Die Summe über alle achten Einheitswurzeln ist 0.

Der Wert des letzten Ausdrucks ist 2.

2. Der Betrag ist immer leicht auszurechnen, man benutzt die Formel Izl = .,fii. Das Argument ist häufig schwieriger zu berechnen, da man Winkelfunktionen umkehren muß. Eine allgemeine geschlossene Formel wird in Aufgabe 21 aus 1.2 angegeben. Beispielsweise ist für reelle positive a

1 +ia 1- a2 Arg -- = arccos -- = 2 arctan a.

1- ia 1 + a2

3. Ein einfacher Beweis, welcher auf der Ungleichung IRe zl ::; Izl beruht, ergibt sich aus

458 Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben

Iz + wl 2 = (z + w)(z + w) = Izl 2 + 2 Re(zw) + Iwl 2

:5 Izl 2 + 21zllwl + Izl 2 = (Izl + Iw1)2. Das Gleichheitszeichen gilt, wenn zw reell und nicht negativ ist.

4. Alle Behauptungen ergeben sich durch direktes Nachrechnen. Es ist beispielsweise

(z, W)2 + (iz, W)2 = (Re(zw»2 + (- Im(zw»)2 = Izwl 2 = Izl2 1wl2 ,

da (iz, w) = - Im(zw) gilt.

Die Formel (z, w) . (iz, w) zw Izllwl + 1 Izllwl = Izllwl

zeigt, daß w(z,w) nichts anderes ist als der Hauptwert des Arguments von w/z.

5. Man gehe aus von der Doppelsumme n n n n

L L Izvw" - z"wv l2 = L L(zvw" - z"wJ(zvw" - z"wJ,

zerlege sie in 4 Doppelsummen, welche sich als Produkte von einfachen Summen schreiben lassen.

6. a) Go stellt eine Gerade dar, G+ und G_ sind die angrenzenden Halbebenen.

b) K ist eine Kreislinie.

c) L ist eine Lemniskate, welche wie 00 aussieht.

7. Der Ansatz c = a + ib = Z2 = (x + iy)2 führt auf x2 - y2 = a und 2xy = b. Zusammen mit x 2 + y2 = Icl erhält man 2x2 = Icl + a und 2y 2 = Icl - a. Hierdurch sind x und y bis auf das Vorzeichen bestimmt. Es gibt also im Prinzip 4 Möglichkeiten, welche durch die Bedingung 2xy = b eingegrenzt werden. xy muß dasselbe Vorzeichen wie b haben. Man erhält die Lösungen

z = ± ( -21 (Icl + a) + ie J -21 (lcl- a»), e = { 1, falls b ~ 0, -1, falls b< o.

Zur Lösung der quadratischen Gleichung Z2 + az + ß = 0 verwende man die auf die BabyIonier zurückgehende Identität

2 (a)2 4ß-a2 z + az + ß = z + "2 + 4 .

8. Siehe Satz 1. 7.

9. Die Lösungen sind Zv = ei(t+~v), v = 0,1,2.

10. Wenn die Koeffizienten reell sind, gilt P(z) = P(z).

-1 -z Imz 11. a) Es gilt Im - = Im - = --2 .

Z zz Izl

b) Man verifiziere die Gleichungen mittels der Formel Iwl2 = ww.

12. Nach Quadrieren sind die Ungleichungen trivial.

Lösungen der Übungsaufgaben zu 1.1 459

13. Ist z = x+iy E C, so muß ep(z) = x+ep(i)y = x±jy gelten, wobei j eine imaginäre Einheit in C ist, und durch diese Formel wird tatsächlich ein Isomorphismus definiert. Im Spezialfall C = C erhält man die Automorphismen z I--t z und z I--t z, welche lR elementweise festlassen.

Ist ep ein Automorphismus des Körpers der reellen Zahlen, so muß zunächst ep(l) ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation sein. Es folgt ep(l) = 1. Hieraus folgt ep(x) = x für alle rationalen Zahlen x. Ein Automorphismus von lR führt Quadrate in Quadrate und damit positive Zahlen in positive Zahlen über. Ist x eine beliebige reelle Zahl, so gilt für jedes Paar rationaler Zahlen a, b mit a < x < b auch a = ep(a) < ep(x) < ep(b) = b. Hieraus folgt ep(x) = x.

14. Der Schnittpunkt der Geraden durch -1 und z mit der imaginären Achse berechnet sich zu

iA=~. l+x

Bringt man umgekehrt die Gerade durch iA und -1 mit der Einheitskreislinie zum Schnitt, so erhält man den Schnittpunkt

1 - A2 2A x = 1 + A2' Y = 1 + A2'

15. a) Schreibt man z in Polarkoordinaten, z = rei'f', so ist

1 1 i'f' = = -e . z r Der Punkt l/z liegt also auf der Geraden durch 0 und z und hat den Betrag I/T. Hieraus leitet man folgende geometrische Konstruktion ab. Sei 0 < Izl < 1. Man errichte auf der Geraden durch 0 und z in z das Lot und schneide es mit der Einheitskreislinie. Die Tangenten in den Schnittpunkten schneiden sich in l/z (vgl. die rechte Abbildung auf Seite 8).

b) Man konstruiere l/z und spiegele an der reellen Achse.

16. a) Trivialerweise gilt ab E Wen) und a- 1 E Wen) für a, bE Wen).

b) Man kann ( = exp(2rri/n) nehmen. Die Zuordnung n f-+ (n ist ein surjektiver Homomorphismus Z --+ W (n) mit Kern nZ.

Genau dann ist (d eine primitive n-te Einheitswurzel, wenn n und d teilerfremd sind. Die Anzahl der primitiven n-ten Einheitswurzeln ist also

epen) := #{ dj 1::; d::; n, ggT(d, n) = 1}. 17. Man verifiziere, daß C bezüglich Addition und Multiplikation von Matrizen abge

schlossen ist. Daher ist C ein Ring. Die Abbildung

C -+ C, a + ib r-+ (~ -!) ist ein Isomorphismus.

Man kann unabhängig von der Kenntnis von C nachrechnen, daß C die Axiome für "den" Körper der komplexen Zahlen erfüllt.

18. Der Restklassenring K := lR[X]/(X2 + 1) ist ein Körper, da X 2 + 1 ein Primelement in lR[X] ist. Dies muß man beweisen. Bezeichnet man mit l K das Bild der


Eins und mit iK das Bild von X in K, so gilt K = RIK + RiK . Die Bedingungen für einen Körper komplexer Zahlen sind nun offensichtlich. Beispielsweise gilt ii = -IK ·

19. Man rechnet wie in Aufgabe 17 direkt nach, daß 11. ein Ring ist. Einheitselement ist die Einheitsmatrix. Die Formel

( z _W)-l 1 (z w) W Z = Izl 2 + IwI2 -w z

zeigt, daß 11. ein Schiefkörper ist.

20. Die Bilinearität ist klar. Man muß also nur die Nullteilerfreiheit zeigen. Dazu verwende man die Konjugation (z, w) := (z, -w) auf C. Eine einfache Rechnung zeigt u(uv) = p,(u)v, wobei p,(u) die Summe der Quadrate der 8 reellen Komponenten in bezug auf die naheliegende R-Basis ist. Im Falle uv = 0 gilt also v = 0 oder p,(u) = o. Im letzteren Fall gilt u = o.


1. Vollzieht man auf beiden Seiten den Grenzübergang n --+ 00, so sieht man, daß als mögliche Grenzwerte nur ±1 in Frage kommen. Liegt Zo in der rechten Halbebene Xo > 0, so liegen auch alle zn in der rechten Halbebene, wie man leicht durch Induktion nach n sieht. Entsprechendes gilt, wenn Zo in der linken Halbebene liegt. Ein Sonderfall liegt vor, wenn Zo auf der imaginären Achse liegt. Dann liegen auch alle nachfolgenden zn auf der imaginären Achse, wenn sie von 0 verschieden sind. Die Folge kann nicht gegen ±1 konvergieren. Wird (für rein imaginäres zo) ein Folgenglied zn gleich 0, so ist zn+! nicht mehr definiert. Wir nehmen nun o.B.d.A. an, daß der Startwert Zo in der rechten Halbebene liegt. Die angegebene Hilfsfolge (wn ) erfüllt die Rekursion wn+! = w!. Wegen Iwlo < 1 ist (wn ) eine Nullfolge. Aus IZn + 11 ;?: 1 folgt, daß Zn gegen 1 konvergiert.

2. Man reduziert auf den Fall a = 1 (Aufgabe 1).

3. Für eine CAUCHYfolge (zn) sind auch (xn ) und (Yn ) CAUCHYfolgen.

4. a) Einfache Abschätzungen zeigen

lexp(z) - 11 :5 f: Izl;' = exp(lzl) - 1 = Izl (1 + f: ( Izl" )') v. v+ 1. ,,=1 ,,=1

:5lzl f: Izl; = Izl exp Izl· v. ,,=0 b ) Man schätze den Reihenrest mittels der geometrischen Reihe ab.

5. Wir lösen exemplarisch die Gleichung cos z = a. Sie bedeutet eine quadratische Gleichung für q = exp(iz), nämlich q2 - 2aq + 1 = O. Man erhält die Lösungen

z == -ilog( a ± .Ja2'=1) mod 211".


Für konkrete Werte von a kann man die Wurzel gemäß Aufgabe 7 aus §1 in Realund Imaginärteil aufspalten.

6. Die Aussage a) ist trivial. Die restlichen Behauptungen folgen hieraus und den entsprechenden Eigenschaften für cos und sin.

7. Die Aussage a) gilt, da die Koeffizienten in den definierenden Potenzreihen reell sind. Die Aussage b) folgt mittels Aufgabe 6a) aus dem üblichen Additionstheorem.

Die Ungleichung Isinzl :::; 1 ist gleichbedeutend mit lyl :::; Arsinhlcosxl. Für n kann man [log 20 000] + 1 nehmen.

8. Man drücke sin und cos durch die Exponentialfunktion aus.

9. Die Umkehrabbildung ist gegeben durch

ao = So' an = Sn - Sn_1 (n ~ 1).

10. Es gilt

,,=0 11. Die Konvergenz folgt mit Hilfe das Quotientenkriteriums. Die angegebene Funk

tionalgleichung ist gleichbedeutend mit

Dieses Additionstheorem beweist man durch Induktion nach n.

12. Man differenziere die geometrische Reihe k-mal.

13. Man trage die Summendarstellung von A" auf der rechten Seite ein und streiche überflüssige Terme.

14. Man wende ABELsche partielle Summation an (Aufgabe 13).

15. Aus der Voraussetzung folgt zunächst, daß (An) und (bn) konvergieren. Insbesondere gilt b). Wir wollen zeigen, daß die Reihe in a) sogar absolut konvergiert. Da die Folge (An) beschränkt ist, genügt es zu zeigen, daß die Reihe E Ibn - bn+11 konvergiert. Wegen der Monotonie der Folge (bn ) kann man die Betragsstriche weglassen. Die Behauptung folgt dann unmittelbar aus der Konvergenz von (bn ).

16. Wir nehmen an, daß L: an absolut konvergiert. Mit

gilt

n n n

An = ~ak' Bn = ~blc' Cn = ~Clc k=O k=O k=O

n

Cn = aOBn + a 1 B n_1 + ... + anBO = ~ a;Bn_; ;=0

und daher mit B = limBn


n

j=O

Sei e > 0 beliebig vorgegeben. Da die Reihe (An) absolut konvergiert, existiert ein N mit der Eigenschaft Lj>N laj I < e. Da die Reihe (Bn) konvergiert, ist die Folge (B - Bn) beschränkt, IB - Bnl SM. Für n > N folgt

N

IAnB - Cnl S L lajllB - Bn_jl + Ce. j=O

Ist n hinreichend groß, so folgt mit M' = M + L;':o laj I IAnB-Cnl S M'e.

17. Man kann o.B.d.A. S = 0 annehmen. Zu gegebenem e > 0 wähle man eine natürliche Zahl N mit der Eigenschaft ISnl Se für n > N. Aus der Formel

So+",+SN SN+l+",+ Sn 0' = +.....:..:.~--_..:.:.

n n+l n+l folgt

ISol+···+ISNI n-N 10' I< +e--n- n+l n+l

und hieraus die Behauptung.

18. Man ersetze in der geometrischen Summenformel

~ n _ l_ qn+1

L..Jq - l-q 11=0

den Wert q durch exp(1I'irp) und zerlege in Real- und Imaginärteil.

19. Aus der angegebenen Hilfsformel folgt n-l

zn - 1 = II(z _ ("), z"l- 1. z-1

11=1

Grenzübergang z -+ 1 ergibt

11=1

Dies ist bis auf eine kleine Umformung die behauptete Formel, man ersetze in ihr sinz= (exp(iz) -exp(-iz»)/2i.

20. Wir beschränken uns auf b):

(i(i _1»)i = e31t'/4ei log V2", ii(i _1)i = e-51t'/4ei log V2".

Die Beträge der beiden Zahlen sind also verschieden.

21. Es genügt, sich auf den Fall Izl = 1 zu beschränken. Dann ist lxi S 1, und es existiert ein a E [0,11'] mit cosa = x, d.h. a = arccosx. Es folgt sina = ±y. Im Falle z = -1 ist a = 11' und man hat Argz = 11'. Im Falle z "I- -1 hat man zu unterscheiden, ob z in der abgeschlossenen oberen oder in der unteren Halbebene liegt. Im ersten Fall ist Arg z = a, im zweiten Fall Arg z = -a.


22. Die ganze Zahl k(z, w) ist so zu bestimmen, daß die rechte Seite im Streifen -71" < y :::; 71" enthalten ist.

23. Es wird die Formel (ezt = e{z2) (für z = 1 + 271"in) verwendet, welche allgemein falsch ist.


Die Übungsaufgaben 1 bis 5, 7 und 8 dienen lediglich als Erinnerung an aus der reellen Analysis bekannte Tatsachen. Wenn man zu ihrer Lösung Hilfe braucht, so konsultiere man einschlägige Lehrbücher der Analysis.

6. Für den ersten Teil der Aufgabe nutzt man die Identität

expz - (1+ ~r = ~ (exP(~~ -1 -1) ~exp (~r-l-V (1+ ~r. v=o

Hieraus folgert man leicht die Abschätzung

lexpz - (1 +~) nl :::; 'z'lexP(~~ -1 -11 exp Izl.

Der auftretende Quotient konvergiert gegen die Ableitung von exp an der Stelle 0, also gegen 1. Der gesamte Ausdruck konvergiert somit gegen o. Derselbe Beweis liefert auch die Verallgemeinerung.

9. Wenn es eine solche Funktion gibt, gilt

1 = 1(1)2 = 1(1)/(1) = 1(1 . 1) = 1(1).

Wegen -1 = 1(-1)2 = 1(-1)/(-1) = 1{(-1)(-1)) = 1(1)

erhält man den Widerspruch -1 = 1.

10. Es genügt, a) zu beweisen. Sei a E C, a f: 0, fest. Die Funktion

g(z) := l(a)/(z) (z f: 0) I(az)

nimmt nur die Werte ±1 an. Sie ist aus Stetigkeitsgrunden konstant. Der Wert dieser Konstanten ist g(l) = 1(1) = ±1. Da man 1 durch -I ersetzen kann, dürfen wir annehmen, daß 1(1) = +1 gilt. Es folgt l(a)/(z) = I(az), und wir können die vorhergehende Aufgabe anwenden.

11. Man wende Aufgabe 10 auf die Funktion I(z) = v1zf exp(icp(z)j2) an.

12. Man wende Aufgabe 10 auf die Funktion I(z) = exp(l(z)j2) an.

13. Man schließt wie in Aufgabe 9.

14. Man vergleiche mit Aufgabe 10.



1. Wir beweisen exemplarisch die Produktregel. Nach Voraussetzung gilt

j(z) = j(a) + <p(z)(z - a), g(z) = g(a) + "p(z)(z - a)

mit in a stetigen Funktionen <p, "p mit den Funktionswerten <p(a) = f'(a), "p(a) = g'(a). Durch Produktbildung folgt j(z)g(z) = j(a)g(a) + X(z)(z - a) mit

X(z) = <p(z)g(a) + j(a)"p(z) + <p(z)"p(z)(z - a).

Die Funktion X ist in a stetig mit dem Funktionswert

x(a) = <p(a)g(a) + j(a)"p(a) = j'(a)g(a) + j(a)g'(a).

2. Alle Funktionen sind stetig. Die Funktion j(z) = zRez ist nur im Nullpunkt komplex differenzierbar und hat dort die Ableitung O. Die Funktion j(z) = z ist nirgends komplex differenzierbar. Dies sieht man, indem man den Differenzenquotienten auf Parallelen zu den Koordinatenachsen einschränkt. Die Funktion j(z) = zz ist nur im Nullpunkt komplex differenzierbar und hat dort die Ableitung O. Die letzte Funktion aus a) ist nirgends komplex differenzierbar.

Die komplexe Differenzierbarkeit der Exponentialfunktion führt man mittels der Funktionalgleichung auf die komplexe Differenzierbarkeit im Nullpunkt zurück. Man führt die Behauptung auf den Fall der reellen Exponentialfunktion mit Hilfe der Abschätzung

1 exp z - 11 < exp Izl - 1 z - Izl

zurück. Diese ergibt sich unmittelbar über die Potenzreihe.

3. Wir nehmen an, daß j nur reelle Werte annimmt. Der Differenzenquotient

j(a + h) - j(a) h

ist reell bzw. rein imaginär, je nachdem ob h reell oder rein imaginär ist. Die Ableitung ist somit sowohl reell als auch rein imaginär und damit O. Es folgt nun auch, daß die partiellen Ableitungen von j nach x und y verschwinden. Die Funktion j ist damit konstant, wie aus der reellen Analysis bekannt.

4. Die Behauptung ergibt sich direkt mittels des Differenzenquotienten.

5. Seien z, a E D z f:. a. Wir setzten b = j(a) und w = j(z). Es gilt

j(z) - j(a) w - b 1 z - a = g(w) - g(b) = g(w)-g(b)'

w-b

Wir nehmen den Grenzübergang z ~ a vor. Wegen der Stetigkeit von j gilt w ~ b, und es folgt die Behauptung.

6. Der Logarithmus ist Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Man wende die Aufgaben 2b) und 5 an.

Lösungen der Übungs aufgaben zu 1.5 465


1. Die CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen sind für f(z) = zRez nur im Nullpunkt erfüllt, für f(z) = z nirgends, für f(z) = zz nur im Nullpunkt, für f(z) = z/ Izl (z #- 0) nirgends und für f(z) = expz in der komplexen Ebene.

2. Die CAUCHy-RIEMANNschen Differentialgleichungen sind nur auf den Koordinatenachsen erfüllt. Insbesondere gibt es keine nicht leere offene Menge, auf der sie erfüllt sind.

3. Man benutze die Formeln aus den Übungsaufgaben zu 1.2.

4. Die Funktion 1 ist offenbar außerhalb des Nullpunkts analytisch. Sie ist in keiner Umgebung des Nullpunkts beschränkt, wie man sieht, wenn man z = c(1 + i) betrachtet. Sie kann also nicht in der ganzen Ebene analytisch sein. Dennoch existieren die partiellen Ableitungen in o. Sie sind 0, die CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen sind also in ganz C erfüllt. Der Grund liegt darin, daß die Einschränkung von f auf die bei den Achsen bei Annäherung an 0 rapide abklingt.

5. Die partiellen Ableitungen im Nullpunkt existieren und sind o. Die komplexe Ableitung im Nullpunkt existiert jedoch nicht. Dies sieht man, indem man den Differenzenquotienten auf der Folge zn = (1 + i)/n betrachtet.

6. Die Teilaufgaben a) und b) folgen aus den CAucHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen in Verbindung mit Bemerkung 5.5. Um Teil c) zu beweisen, betrachte man mit 1 = u+iv die konstante Funktion 111 2 = U 2 +V2 • Wir können annehmen, daß diese Konstante von 0 verschieden ist. Man differenziert diesen Ausdruck nach x und y und erhält unter Verwendung der CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen das Gleichungssystem

uu'" - vUy = 0, uUy + vu'" = o. Hieraus folgt u'" = uy=O.

7. Die gesuchten Funktionen sind Z3 + 1, 1/z, zexpz und Vi (Hauptzweig).

8. Aus der Kettenregel folgt 8U 8u 8u . 8r = 8x cos ep + 8y sm ep.

Nochmalige Anwendung der Kettenregelliefert

~:~ = (::~ cos ep + ::;y sin ep ) cos ep + (::;y cos ep + ::~ sin ep) sin ep.

Zweimalige Anwendung der Kettenregel in Verbindung mit der Produktregelliefert

82U . [82U. 82u ] 8u 8ep2 = -r sm ep - 8x2 r sm ep + 8x8y r cos ep - 8x r cos ep+

[ 82u. 82u ] 8u . rcosep - 8x8yrslllep+ 8y2rcosep - 8yrslllep.

Die behauptete Formel folgt durch Zusammenfassen.


9. Unter Benutzung der vorhergehenden Aufgabe zeigt man, daß u(x, y) = alogr+b mit reellen Konstanten a, b die einzigen Lösungen sind.

10. Man muß ähnlich wie in Aufgabe 8 mehrfach die Kettenregel anwenden.

11. Man differenziere f(z) exp( -Cz).

12. Wenn die Funktion X differenzierbar ist, so folgt leicht

X'(x) = CX(x) mit C = x'(O).

Nach der vorhergehenden Aufgabe gilt X(x) = Aexp(Cx). Dieser Ausdruck soll für alle x den Betrag 1 haben und der angegebenen Funktionalgleichung genügen. Dies ist nur möglich, wenn A = 1 gilt und wenn C rein imaginär ist.

Die Differenzierbarkeit von X folgt aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung mit Hilfe der Formel

a a x+a x

X(x) J X(t) dt = J X(x + t) dt = J X(t) dt - J X(t) dt,

o 0 0 0

wobei man a so wählt, daß das Integral auf der linken Seite von 0 verschieden ist.

14. Das Bild ist der geschlitzte Kreisring

f(D) = { w E Ci 1 < Iwl < expb, -7r < Argw < 7r }.

15. Setzt man z = rexp(iip), f = u + iv, so folgt

u = ~ (r + ~) cos ip, v = ~ (r - ~) sin ip.

Daher ist das Bild der Kreislinie Cr für r =f. 1 eine Ellipse mit Brennpunkten ±1 und den Halbachsen !(r +~) bzw. ~Ir - H Im Fall r = 1 entartet die Ellipse in das Intervall [-1,1].

Analog rechnet man aus, daß das Bild der Halbgeraden ein Ast der Hyperbel

u2 v 2 -----=1 cos2 ip sin 2 ip

ist.

Die Funktion f bilqet sowohl D 1 als auch D 2 bijektiv, sogar konform, auf die geschlitzte Ebene C - [-1, I] ab.

16. a) Wir wissen, daß sin surjektiv ist. Wegen der Periodizitätseigenschaften nimmt sin alle Werte schon im Bereich -7r /2 ~ Re z ~ 7r /2 an. Die beiden Randgeraden werden auf ]-00, -1] bzw. [1,00[ abgebildet. Man rechnet leicht nach, daß im Innern des Streifens nur reelle Werte angenommen werden, welche in ]-1, 1[ liegen.

b) Man benutzt die Darstellung

t .1 - exp(2iz) anz = 1 . .

1 + exp(21z)

Der Tangens setzt sich also aus den vier Abbildungen l-z

z t--t 2iz, exp z, 1 + z' iz


zusammen. Man rechnet die Bilder nacheinander aus und erhält die 4 Gebiete

-7r<lmz<7r, C_, C-{tElR, Itl~l}, C-{it, tElR, Itl~l}.

Alle vier Abbildungen sind konform.

Die Umkehrabbildung erhält man, indem man jede der vier Abbildungen einzeln umkehrt.

17. Wenn z in der oberen Halbebene liegt, so liegt z näher bei i als bei -i. Insbesondere ist f(z) im Einheitskreis enthalten. Ähnlich zeigt man, daß g(w) := i~!: in der oberen Halbebene enthalten ist, wenn w im Einheitskreis liegt. Die beiden Abbildungen kehren sich gegenseitig um.

18. Die Eigenschaft b) sei erfüllt. Indem man T mit einer geeigneten Drehstreckung zusammensetzt, kann man annehmen, daß T(I) = 1 gilt. Das Dreieck mit den Ecken 0, 1, i muß auf ein Dreieck mit denselben Winkeln abgebildet werden. Da der rechte Winkel des Dreiecks erhalten bleibt, muß T(i) rein imaginär sein. Da auch die Winkel mit 45 Grad erhalten bleiben, muß T(i) = ±i gelten. Aus Orientierungsgründen muß das Pluszeichen gelten, T ist also die Identität.

19. Zunächst einmal wird in der Aufgabe stillschweigend von der einfachen Tatsache Gebrauch gemacht, daß sich jedes reelle Polynom u : lR x lR -+ lR eindeutig zu einem komplexen Polynom C x C -+ C fortsetzen läßt. Diese Fortsetzung wird wieder mit u bezeichnet. Erst nach dieser Vorüberlegung ist f definiert. Es ist klar, daß f analytisch ist. Es muß nur gezeigt werden, daß Re f(x + iy) = u(x, y) gilt. Zum Beweis kann man man von der Tatsache Gebrauch machen, daß jede harmonische Funktion u in C Realteil einer analytischen Funktion ist. Der Beweis zeigt, daß diese analytische Funktion ein Polynom in z ist, wenn u ein Polynom in x und y ist. Man kann sich daher auf den Fall

u(x, y) = Re(x + iyt = L (-1)" ( : ) XV y21' 1I+2JL=n

beschränken. Die Behauptung reduziert sich dann auf eine elementare Summenformel für Binomialkoeffizienten.

20. Dies ist nichts anderes als eine Umschreibung der CAucHy-RIEMANNschen Differentialgleichungen 5.3.


1. Eine mögliche Parameterdarstellung auf dem Parameterintervall [0,4] ist

a(t)=ik +(ik+l- ik)(t-k), k:$t:$k+l, k=0,1,2,3.

Das Kurvenintegral berechnet sich zu 3 k+l 1 '" J i-I d 4' J 2 d . L...J 1 + (i _ 1)(t _ k) t = 1 (2t _ 1)2 + 1 t = 2m.

k=O k 0


2. a stellt einen vom Punkt z = 1 zum Punkt z = -1 in der oberen Halbebene verlaufenden Halbkreisbogen dar. ß ist ein Streckenzug von 1 über -i nach -1. Das Kurvenintegral hat den Wert rri bzw. -rri.

3. Mit Hilfe der Substitutionsregel erhält man b 'I'(b) J f(T/)dT/= J f((ao<p)(t)a'(<p(t))<p'(t)dt= J f(a(s))a'(s)ds

a0'l' a 'I'(a)

d

= J f(a(s))a'(s)ds = J f(() d(.

c

4. Das Bild von a hat die Form einer liegenden Acht.

5. Der Integrand besitzt die Stammfunktion F(z) = t exp(z2). Daher ist der Wert beider Kurvenintegrale gleich F(l + i) - F(O).

6. Eine Stammfunktion ist - cos z. Der Wert des Integrals ist 1 - cos( -1 + i). 7. Eine solche affine Abbildung ist

<p(t) = d-c t + cb-ad. b-a b-a

8. Die Gleichungen beinhalten in etwas veränderter Schreibweise die bekannten Orthogonalitätsrelationen für das System der Funktionen exp(illt), 11 E Z, bezüglich des Skalarprodukts

2,.. J f(t)g(t) dt.

o

9. Durch Aufspalten in Real- und Imaginärteil kann man den Satz auf die bekannte Approximation des reellen Integrals durch RIEMANNsche Summen zurückführen.

10. Die angegebene Formel erhält man sofort nach Zerlegen in Real- und Imaginärteil.

11. Der orientierte Winkel zwischen zwei "Vektoren" Z,W E C· ist nichts anderes als das Argument Arg(w/z). Sei nun z = a'(O), w = ß'(O). Aus der Kettenregel folgt (f 0 a)'(O) = f'(a)a'(O), (f 0 ß)'(O) = f'(a)ß'(O). Es ist daher

Arg (~~:~n~~) = Arg (~:~~~).


1. Die Teilmengen b), c), e) und f) sind Gebiete.

2. Wenn sich je zwei Punkte durch einen Polygonzug verbinden lassen, ist D bogenweise zusammenhängend und nach 2.2 zusammenhängend. Zum Beweis der


Umkehrung wähle man einen festen Punkt a E D und betrachte die Teilmenge U c D aller Punkte, welche sich innerhalb D durch einen Streckenzug mit a verbinden lassen. Die FUnktion f : D -+ C, welche auf U den Wert 1 und im Komplement den Wert 0 annimmt, ist auf jeder Kreisscheibe in D konstant, also insbesondere lokal konstant. Wenn D zusammenhängend ist, folgt U = D.

3. Man kann leicht je zwei Punkte durch einen Streckenzug, welcher aus nicht mehr als zwei Strecken besteht, verbinden.

Ist f : D' -+ C eine lokal konstante FUnktion, so kann man sie nach dem ersten Teil zu einer lokal konstanten FUnktion auf ganz D fortsetzen.

4. Man kann nach einer Translation und Streckung annehmen, daß der abgeschlossene Einheitskreis in D enthalten ist. Man rechnet nach, daß das Integral von -1 bis +1 längs der reellen Achse reell, längs der Kreislinie jedoch imaginär ist.

5. Die Integrale a) und b) sind O. Die Abschätzung c) folgt aus der Standardabschätzung 1.5,2) wegen 14 + 3z1 ~ 4 - 31z1 ~ 1. In Wahrheit gilt mehr. Das Integral ist O.

6. Der Wert ist 21ri.

7. Man zerlegt die Kurve a und entsprechend ß, a = a+ Ef) a-, a+ = al[O, 1/2], a- = al[1/2, 1] und zeigt mit Hilfe des CAucHYschen Integralsatzes, daß schon die Integrale längs der Teilkurven übereinstimmen. Dazu schlitze man die Ebene längs der positiven bzw. negativen imaginären Achse.

Die Formel in b) erhält man aus a) und 1.7.

8. Die Aussagen sind evident.

9. Nur der Bereich b) ist ein Sterngebiet. Bei allen drei Gebieten handelt es sich um "Sichelbereiche" . Um zu entscheiden, ob ein Sichelbereich ein Sterngebiet ist, muß man die Tangenten von den beiden Ecken an den konkaven Randkreis legen. Ein Sterngebiet liegt vor, wenn sich diese innerhalb des Sichelbereichs schneiden. Der Schnittpunkt ist dann ein möglicher Sternmittelpunkt. Alle möglichen Sternmittelpunkte sind gegebenenfalls das Kompaktum, welches von einem Mittelstück das konvexen Randkreises und Stücken der beiden Tangenten berandet wird.

10. Der Sichelbereich wird durch die konforme Abbildung z t-+ 1/(1 - z) auf einen (konvexen) Parallelstreifen abgebildet.

11. Man schreibt das Kurvenintegral über f in der Parameterdarstellung und benutzt

R + reit . it R 2 - r 2

Im ( ') .le = 2 2' R - re,t e,t R - 2Rrcost + r Der Wert des Integrals ergibt sich über die Partialbruchzerlegung. Für das zweite Integral verwendet man anstelle von f die FUnktion 1/(R - z).

12. Sei Q(z) = P(z) - anzn . Aus der Dreiecksungleichung folgt für Izl ~. {! n-l

IQ(z)1 $; (~)a"I)lzln-l $; la;llzln. ,,=0


Nochmalige Anwendung der Dreiecksungleichung liefert

lanllzln -IQ(z)1 ~ IP(z)1 ~ lanllzln + IQ(z)l·

Beide Ungleichungen zusammen ergeben die Behauptung.

13. Die Standardabschätzung für Kurvenintegrale in Verbindung mit dem Wachstumslemma liefert

21aol 211" ~ 211" R R lan I Rn .

Diese Ungleichung ist jedoch für große R falsch.

14. Der Betrag von j(z) klingt auf 0:2 und 0:4 exponentiell gegen 0 ab für IRI --t 00. Die Bogenlänge der beiden Vertikalkanten ist konstant a. Die Standardabschätzung liefert das gewünschte Grenzwertverhalten.

Nimmt man den Realteil von I(a), so ergibt sich die Folgerung.

15. Man trage die Parameterdarstellung des Kurvenintegrals ein und benutze

ei (H7r) = _eit sowie j(ei(t+7r») = j(eit ).

16. a) Die Funktion l(z) -l(z) nimmt nur Werte aus 211"iZ an. Aus Stetigkeits- und Zusammenhangsgründen ist sie konstant.

b) Da dies eine lokale Aussage ist, kann man annehmen, daß in D ein analytischer Zweig des Logarithmus existiert und daß dieser als Ableitung 1/ z hat. Man wende etwa den Satz über implizite Funktionen (oder Aufgabe 5 aus 1.4) an. Die Funktion I unterscheidet sich wegen a) von dieser analytischen Funktion um eine additive Konstante.

c) Die eine llichtung wurde bereits in b) gezeigt. Sei I eine Stammfunktion von 1/ z. Man kann nach Abändern um eine additive Konstante annehmen, daß I auf einer kleinen nicht leeren offenen Menge ein Zweig des Logarithmus ist. Die Gleichung exp(l(z») = z gilt dann auf ganz D.

d) Der Hauptwert des Logarithmus entstand durch Umkehren der Einschränkung der Exponentialfunktion auf den Streifen -11" < Y < 11". Schränkt man stattdessen die Exponentialfunktion auf den Streifen 0 < Y < 211" ein, so erhält man einen analytischen Zweig des Logarithmus, welcher in der längs der positiven reellen Achse geschlitzten Ebene analytisch ist. Dieser Zweig und der Hauptwert stimmen in der oberen Halbebene überein. In der unteren unterscheiden sie sich um 211"i.


1. Die Werte der Integrale a)-d) sind 0, 1I"i/V2, e211"i, o. Zur Berechnung der Integrale b) und d) ist es zweckmäßig, eine Partialbruchzerlegung vorzunehmen. Das Integral e) ist 0 im Falle Ibl > T und 211"isinb im Falle Ibl < T.

2. Die Werte sind


-iei

-2-'

3. Die Werte der Integrale sind

ie- i

-2-' 2.

. .()m (n+m-2) 1 211m, 211"1 -1 n _ 1 (b _ a)n+m-1 .

471

4. Den Wert des Integrals erhält man über die Aufspaltung 1;z2 = -li (z:i - Z~i)' Für die Abschätzung verwende man die Standardmethode 1.5,2).

5. Der Wert des Integrals ist Null.

6. Die Funktion 9 ist nach Voraussetzung beschränkt und daher konstant. Aus 0 = g' = f' exp(f) folgt, daß I konstant ist.

7. Aus der Periodizität folgt, daß I schon alle seine Werte auf dem kompakten Parallelogramm {tw + t' w'; 0::;; t, t' ::;; 1} annimmt. Als stetige Funktion ist I dort und damit überhaupt beschränkt. I ist nach dem Satz von LIOUVILLE konstant.

8. Man schreibe P in der Form P(z) = CII(z-(,,) und verwende die Produktformel für die logarithmische Ableitung.

Zum Beweis des Satzes von GAuss-LuCAS kann man annehmen, daß die Nullstelle ( von P' nicht gleichzeitig eine Nullstelle von P ist. Sei

m" = I( _1(,,12 und m = t~· ,,=1 m"

Aus der Formel für P' / P folgt

,,=1 mit A" = m".

m

9. Man kann nach eventueller Kürzung annehmen, daß P und Q keine gemeinsame Nullstelle haben. Sei seine Nullstelle der Ordnung n von Q. Man ziehe von R den Partialbruch C(z - s)-n mit einer noch zu bestimmenden Konstanten C ab. Diese bestimme man so, daß der Zähler von

P(z) _C~ P(z) - CQ1 (z) _Q-=..;(,--,;z),...--;- - mit Q (z) = -;-Q(z) - (z - s)n - Q(z) 1 (Z - s)n

in s verschwindet. Dies ist möglich, da das Polynom Ql in s nicht verschwindet. Danach kann man Zähler und Nenner durch z - s teilen und kommt mit einem naheliegenden Induktionsbeweis zum Ziel.

Wenn die Koeffizienten reell sind, benutze man 2R(z) = R(z) + R(z) und erhält R als Linearkombination eines Polynoms mit reellen Koeffizienten sowie von Partialbrüchen (z - a)-n + (z - ä)-n. Diese sind für reelle z reell.

10. Eine einfache algebraische Umformung ergibt im Fall m = 1

F1(z) - F1(a) _ ~! IP«) d( = ~! IP«) d( z - a 211"i « - a)2 211"i « - a)2« - z) .


Dieser Ausdruck strebt gegen 0 für z --+ a. Den allgemeinen Fall erhält man durch Induktion nach m unter Benutzung der Identität

1 1 z - a « - z)m = « - z)m-1« - a) + -:-:«-_-z7"")m-;«-=-_--:-a)"

11. Nach dem Satz von MORERA genügt es zu zeigen, daß das Integral von f über jeden Dreiecksweg verschwindet, sofern die ganze Dreiecksfläche in D enthalten ist. Indem man das Dreieck in Teildreiecke zerlegt, kann man annehmen, daß das Dreieck entweder in der abgeschlossenen oberen oder unteren Halbebene enthalten ist. Mittels eines einfachen Approximationsarguments, bei welchem die Stetigkeit von f ausgenutzt wird, kann man annehmen, daß das Dreieck sogar in der offenen oberen oder unteren Halbebene enthalten ist. Jetzt kann man den CAUCHYSchen Integralsatz für Dreieckswege anwenden.

12. Die Funktion 1 ist offenbar stetig und ihre Einschränkungen auf D + bzw. D sind analytisch. Man kann Aufgabe 11 anwenden.

13. Die Aufgabe ist eine einfache Anwendung der LEIBNlzschen Regel.

14. Die Stetigkeit von <.p ist lediglich in den Diagonalpunkten (a, a) kritisch. Man wähle ein r > 0, so daß die abgeschlossene Kreisscheibe um a in D enthalten ist. Wenn z und ( (z =I- () im Innern dieser Kreisscheibe liegen, so gilt nach der CAUCHYSchen Integralformel

.:--f (=():---=fc....o.( z-'-) = 1 (- z 27ri

1'1-a l=r

Man kann unter dem Integralzeichen den Grenzübergang ( --+ a, z --+ a vornehmen und erhält nach der verallgemeinerten CAUCHYSchen Integralformel f'(a).

Zum Beweis des zweiten Teils kann man annehmen, daß Deine Kreisscheibe ist. Nach dem ersten Teil und nach 2.71 besitzt die Funktion f«) := <.p(<;' z) eine Stammfunktion und ist nach 3.4 analytisch.

15. Aus der Gleichung f2 + g2 = (f +ig)(f -ig) folgt, daß f +ig keine Nullstelle hat. Es gilt daher f + ig = eih mit einer ganzen Funkion h und als Folge f - ig = e- ih •

Man löse die beiden letzten Gleichungen nach fund 9 auf.

Lösungen der Übungsaufgaben zu III.l

1. Da Stetigkeit eine lokale Aussage ist, kann man annehmen, daß die Reihe gleichmäßig konvergiert und dann die Standardmethode der reellen Analysis anwenden.

2. Die Behauptung folgt aus 1.3 durch Induktion nach k.

3. Nach dem HEINE-BoRELschen Überdeckungssatz genügt es, zu jedem Punkt a E Deine c-Umgebung zu konstruieren, in welcher die Ableitungen (simultan) beschränkt sind. Man wählt c so klein, daß die abgeschlossene Kreisscheibe vom

Lösungen der Übungsaufgaben zu III.2 473

Radius 2c noch in D enthalten ist und erhält für z E U~(a) mittels der verallgemeinerten CAucHYschen Integralformel die Abschätzung

1/~(z)1 = 2~ <j 1<-al=2e

4. Im Bereich Izl ~ r < 1 wird das allgemeine Reihenglied durch (1 - r)-1 r 2v

majorisiert.

5. Schon im Nullpunkt konvergiert die Reihe nicht absolut (harmonische Reihe).

Da das allgemeine Reihenglied gegen 0 strebt, darf man für die weitere Konvergenzuntersuchung je zwei aufeinanderfolgende Reihenglieder zusammenfassen. Faßt man das erste mit dem zweiten, dritte mit dem vierten, u.s.w. zusammen, so erhält man eine neue Reihe, welche auf einem Kompaktum K C IC - N durch die Reihe mit allgemeinem Glied C(K)n- 2 majorisiert wird.

6. Es handelt sich um eine teleskopische Reihe (s. Aufgabe 10 aus 1.2) mit dem Grenzwert 1/(1 - z).

7. Wenn die Reihe konvergiert, muß zunächst einmal die Folge sin(nz)/2" beschränkt sein. Wenn z in der oberen Halbebene liegt, bedeutet dies, daß exp(ny)/2" beschränkt ist. Dies ist äquivalent mit y ~ log 2.

Die Zusatzfrage ist aus einem ähnlichen Grund zu verneinen. Die Reihe konvergiert nur für reelle z.

8. Das Integral über Ir verschwindet nach dem CAUCHYSchen Integralsatz. Für r = 1-1/n erhält man eine Folge, welche nach dem Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit auf dem abgeschlossenen Einheitskreis gleichmäßig gegen I konvergiert.


1. Die Konvergenzradien sind 0, e, 0 und 1/b.

2. Man muß zeigen, daß die Folge (nc"g,n) für jedes 0 < g' < g beschränkt ist, sofern die Folge (ncngn ) beschränkt ist. Die Folge n(g' / g)n ist beschränkt, da die Folge \I'1i gegen 1 konvergiert und somit \I'1ig' / g für fast alle n kleiner als 1 ist.

Im zweiten Teil ist die Stetigkeit der Reihe L: cn cP" (z) zu zeigen. Tatsächlich konvergiert sie nach dem ersten Teil normal, denn in einem Bereich Izl ~ g < r ist sie durch L: n Ic,,1 g" zu majorisieren.

3. Die folgenden Reihen mit Konvergenzradius 1 können genommen werden

a) L: n-2 zn.

b) L:z". c) Die Reihe L: n -1 z2n konvergiert für z = ±i und divergiert für z = ± 1.

4. Die Beispiele a), b) aus Aufgabe 3 können genommen werden.


5. Wir beschränken uns auf c). Man erhält die TAYLORentwicklung mittels der Partialbruchzerlegung

1 1 1 -=---- = -- - --Z2 - 5z + 6 z - 3 z - 2

und der geometrischen Reihe (und nicht etwa durch direktes Ableiten).

6. Wir behandeln stellvertretend eine Richtung von a). Wenn der angegebene Grenzwert existiert, gilt für jedes vorgegebene reelle 0 > 1/ R die Ungleichung lanl $ laolon mit Ausnahme endlich vieler n. Für beliebiges p, 0 < U < 1/0 ist daher (anpn) beschränkt, sogar eine Nullfolge. Der Konvergenzradius ist also mindestens ~ und daher mindestens R, da 0 beliebig nahe an 1/ R gewählt werden kann.

7. Nach dem allgemeinen Entwicklungssatz ist der Konvergenzradius mindestens T,

er kann natürlich nicht größer sein.

Als Beispiel für b) kann man den auf D = C _ definierten Hauptwert des Logarithmus nehmen. Für a nehme man einen Punkt im linken oberen Quadranten (Ima> O,Rea < 0). Offensichtlich ist der Konvergenzradius gleich T = lai. Die Konvergenzkreisscheibe enthält ein Stück der unteren Halbebene.

8. Dies ist eine triviale Folge aus dem Identitätssatz.

9. Über einen Potenzreihenansatz findet man die Lösungen

5e2z - 2z -1 4

10. Der Konvergenzradius ist gleich dem minimalen Betrag einer Nullstelle von cos, also 11'/2. Die Koeffizienten können rekursiv berechnet werden: Es ist Eo = 1 und

E2n = - ~(-lt-" (~~) E2v (n ~ 1).

Ihre Ganzzahligkeit folgt aus dieser Formel durch Induktion.

11. Der Konvergenzradius ist 11'/2. Die ersten 6 Koeffizienten sind 0,1,0,1/3,0,2/15.

12. a) Jeder Randpunkt sei regulär. Nach dem HEINE-BoRELschen Überdeckungssatz gibt es ein e > 0 und zu jedem Randpunkt U eine analytische Funktion 911

in Ue(U), welche in Ue(U) nD mit P übereinstimmt. Die Funktionen ge und 9~ stimmen im Durchschnitt Ue(u)nUe(u') überein. Folgedessen existiert eine analytische Fortsetzung von P auf den Bereich Du UQ Ue(U). Dieser Bereich enthält eine Kreisscheibe vom Radius R > T, der Konvergenzradius von P wäre mindestens R.

b) Vergleich mit der geometrischen Reihe zeigt, daß der Konvergenzradius mindestens 1 ist. Er kann natürlich nicht größer sein. Sei ( eine 2k -te Einheitswurzel für irgendeine natürliche Zahl. Die Potenzreihe ist auf der Strecke t(, o $ t < 1 offenbar unbeschränkt. Daher ist ( ein singulärer Randpunkt. Da die Menge dieser Einheitswurzein dicht auf der Einheitskreislinie liegt, sind alle Randpunkte singulär.

Lösungen der Übungsaufgaben zu IIL3 475

13. Die angegebene Reihe hat Konvergenzradius 00, wie ein Vergleich mit der Exponentialreihe zeigt. Die Differentialgleichung rechnet man unmittelbar nach. Sie liefert eine Rekursionsformel für die TAYLoRkoeffizienten.

14. Man vergleiche mit der Exponentialreihe.

15. Manintegriert die Doppelreihe

! l(z)/(z) = ! '" anamznzm z z~

n,m

gliedweise über die Kreislinie vom Radius {}. Die Terme mit m i= n verschwinden. Triviale Abschätzung des Integrals liefert das gewünschte Resultat. Die CAUcHYsche Ungleichung, welche man mit der Standardabschätzung einfacher direkt beweisen könnte, erhält man, indem man in der GUTZMERschen Reihe alle Glieder bis auf eines streicht.

16. Im Falle m = 0 ist dies der Satz von LIOUVILLE, 11.3.7. Der Beweis des allgemeinen Falles geht analog. Man beweist mit Hilfe der verallgemeinerten CAUCHYschen Integralformel, daß die (n + 1)-te Ableitung von 1 verschwindet. Man kann auch Aufgabe 15 anwenden.

17. Man setze 1 als Potenzreihe an und sieht sofort, daß der Koeffizient ao = 0, der Koeffizient a1 = ±1 ist. Indem man eventuell 1 durch g(z) = - I(z) ersetzt, kann man a1 = 1 annehmen. Man zeigt jetzt leicht durch Induktion nach n, daß alle an' n ~ 1, verschwinden. Man erhält I(z) = ±z als einzige Lösungen.


1. Die Potenzreihenentwicklung P von sin 1~z hat im Konvergenzkreis Izl < 1 unendlich viele Nullstellen. Sie stimmt also mit der Potenzreihe Q == 0 in unendlich vielen Punkten überein.

2. a) Da sich die Nullstellen von 11 (z)-2z gegen 0 häufen würden, müßte 11 (z) = 2z gelten. Diese Funktion hat aber nicht beide geforderte Eigenschaften. Es gibt also kein 11 ,

b) 12 (z) = Z2 erfüllt die Forderungen.

c) Der n-te TAYLORkoeffizient wäre n! . Die Potenzreihe hat aber den Konvergenzradius O.

d) Die Reihe 14 (z) = L: zn /n2 hat die gewünschte Eigenschaft.

3. Die Ableitungen im Nullpunkt sind alle reell.

4. Die Aufgabe soll nocheinmal klarstellen, daß "diskret in" in unserer Terminologie ein relativer Begriff ist. Die Menge der Stammbrüche ist diskret in C·, jedoch nicht in C. Die Eigenschaft b) kann man auch so aussprechen: Eine Teilmenge M C D ist genau dann diskret in D, wenn sie in D abgeschlossen ist und wenn die von D auf M induzierte Topologie die diskrete Topologie ist.


5. Es genügt zu zeigen, daß es eine Folge von kompakten Mengen gibt, welche D ausschöpft, D = Un K n · Man überlegt sich leicht, daß D die Vereinigung aller Kreisscheiben K C D ist, welche rationalen Radius haben und deren Mittelpunkte rationalen Real- und Imaginärteil haben. Das System dieser Kreise ist abzählbar.

6. Die Nullstellenmenge ist diskret. Man benutze Aufgabe 5.

7. Die Funktion 1 verschwindet auf dem Wertevorrat von g. Dieser ist offen, wenn 9 nicht konstant ist.

8. Aus dem Maximumprinzip folgt I/(z)/g(z)1 :5 1 und Ig(z)/I(z)1 :5 1, also 11 (z) / g( z) 1 = 1. Nach dem Satz von der Gebietstreue muß 1/ 9 konstant sein.

9. Man wende Hilfssatz 3.8 auf die Funktion 10 g-l an.

10. Die Maxima sind e, 2, v'5, 3. Die Funktion d) ist nicht analytisch.

11. Man kann annehmen, daß Deine Kreissscheibe ist. Dann ist u Realteil einer analytischen Funktion. Deren Wertevorrat ist nach dem Satz von der Gebietstreue offen. Projiziert man diesen Wertevorrat auf die reelle Achse, so erhält man ein offenes Intervall.

12. Da der Abschluß kompakt ist, existiert ein Maximum. Im Innern kann es nicht angenommen werden, es sei denn, 1 ist konstant.

13. Wegen Hilfssatz 3.9 kann man annehmen, daß einer der beiden Punkte Null ist, also 1(0) = O. Nach dem SCHwARzsehen Lemma gilt lI(z)/zl :5 1. Die Funktion g(z) = I(z)/z besitzt ein Betragsmaximum, wenn 1 einen von 0 verschiedenen Fixpunkt hat und ist dann nach dem Maximumprinzip konstant.

14. Ist b E C ein Randpunkt des Wertevorrats eines Polynoms P, so existiert eine Folge (an)' so daß P(an) -+ b. Nach dem Wachstumslemma ist die Folge (an) beschränkt und kann als konvergent angenommen werden, an -+ a. Wegen P(a) = b liegt b im Wertevorrat von P. Dieser ist also abgeschlossen und nach dem Satz von der Gebietstreue offen, aus Zusammenhangsgründen also ganz C.

Lös~.mgen der Übungsaufgaben zu 111.4

1. a) Aus a) folgt nach dem Hebbarkeitssatz ß) und trivialerweise auch ')'). Wenn ')') erfüllt ist, so folgt aus dem Hebbarkeitssatz zunächst, daß g(z) := (z - a)/(z) eine heb bare Singularität hat. Mittels der Potenzreihenentwicklung zeigt man, daß 9 durch z - a teilbar ist.

b) Wenn der Limes existiert, so besitzt gin a eine hebbare Singularität, und man kann den Zusatz zu 4.4 anwenden.

2. Man verwende den Zusatz zu 4.4.

3. Wie in den beiden vorhergehenden Aufgaben verwende man die Charakterisierung der Ordnung aus dem Zusatz zu 4.4.

4. Die Funktionen b) und d) haben hebbare Singularitäten im Nullpunkt.


5. Die Polordnungen sind 2, 7, 3.

6. Sei U eine beliebig kleine punktierte Umgebung von a. Wenn a eine wesentliche Singularität von f ist, so ist f(U) dicht in C. Es folgt, daß der Abschluß von exp(t(U») gleich dem Abschluß von exp(C), also ganz C ist. Wenn a einen Pol hat, existiert nach dem Satz von der Gebietstreue ein r > 0, so daß der Bereich B = {z; Izl > r} in f(U) enthalten ist. Die Exponentialfunktion nimmt aus Periodizitätsgründen jeden ihrer Werte schon in Ban.

7. Man schreibe f (und analog g) in der Form f(z) = (z - a)k fo{z). Aus der TAYLORSchen Formel folgt fo(a) = f(k){a)/k! .

8. Die Singularitäten liegen in 1 + 4l. Außer der Stellen z = 1 und z = -3, wo es sich um hebbare Singularitäten handelt, liegen Pole erster Ordnung vor.

9. Man benutze partielle Integration mit u = sin2{x) und v = -l/x. Wegen u' = sin(2x) wird man auf das bekannte DIRlcHLETintegral Jooo si~'" dx = ~ geführt.

10. Mittels der Formel sin2 2x = 4(sin2 x - sin4 x) führt man das Integral auf das Integral in der vorhergehenden Aufgabe zurück.

Lösungen der Übungsaufgaben zu III.5

1. Mittels der geometrischen Reihe erhält man

_Z_=~_l_+~~ -1 n(z-it 1 + Z2 2 z - i 2 L.".( ) (2i)n+l·

n=O

In z = i liegt ein Pol erster Ordnung vor.

2. Mittels der Partialbruchzerlegung f(z) = 1/(1 - z) - 1/{2 - z) erhält man

0< Izl < 1,

~ -n ~ zn = - L..-t z - L..-t 2n +1 ' 1< Izl < 2,

n=l n=O 00

2< Izl < 00.

n=2

Die Entwicklung um die Punkte a = 1 und a = 2 erhält man analog.

3. Man benutze die Partialbruchzerlegung 1 1 -1 -1

--,----,--,--c- = - + -- + --. z(z - l)(z - 2) 2z z - 1 z - 2

4. Die Identität gilt nur für Izi < 1 und 11/zl < 1, also auf der leeren Menge.

5. Die rationale Funktion läßt sich in einer Umgebung des Nullpunkts in eine Potenzreihe P entwickeln. Wertet man die Relation (1 - z - Z2)p(Z) = 1 aus, so


sieht man, daß die Koeffizienten von P denselben Relationen genügen wie die Koeffizienten In. Sie stimmen daher mit diesen überein.

Die explizite Formel für In erhält man aus der Partialbruchzerlegung

1 = ~ (_1 ___ 1_) mit W 12 = -1 ± v'5 1 - Z - Z2 v'5 Z - w2 Z - w1 I 2

mittels der geometrischen Reihe.

6. Die Aussage ist klar für das Polynom P(z) = zm und folgt dann allgemein. Man wende 4.6 an.

7. a) Die Funktion I ist invariant gegenüber z t-+ -1/z und ebenfalls invariant gegemüber z t-+ -z und w t-+ -wo

b) Die Formel ergibt sich aus der Integraldarstellung der LAURENTkoeffizienten (Zusatz zu 5.2), indem man die Parameterdarstellung des Kurvenintegrals benutzt.

c) Substituiert man im Integral für die LAURENTkoeffizienten die Integrationsvariable ( durch 2(/w, so erhält man mit Integration über die Einheitskreislinie

Jn(w) = 2~i Gf P C n - 1 exp (( - :;) d(.

Mittels der Exponentialreihe erhält man hieraus

1 00 (_I)m (w)n+2m ~ et: Jn(w) = 211"i :L: --;nr- 2" 'j' (n+m+1 d(.

m=O

Das Integral hat den Wert 211"i/(n + m)!. Dies sieht man, indem man die Potenzreihenentwicklung von e' einträgt und gliedweise integriert.

d) Man verifiziert die Differentialgleichung durch gliedweises Ableiten der Reihe.

8. Die Funktion z t-+ l/z bildet die Kreisscheibe (um 0) vom Radius r auf das Komplement der Kreisscheibe vom Radius 1/r ab. In diesem Komplement sind horizontale Parallelstreifen der Breite 211" enthalten. Die Exponentionalfunktion nimmt in solchen Parallelstreifen schon jeden ihrer Werte an.

9. Sonst wäre das Integral der Funktion l/z über eine Kreislinie um den Nullpunkt gleich O.

10. In der oberen Halbebene gilt mit q = e2 ... iz , Im z > 0:

t COS1l"Z. q + 1 . 211"i . .:L:oo n 1I"CO 1I"Z = 11" -.-- = 11"1-- = 11"1- -- = 11"1- 211"1 q.

sm 1I"Z q - 1 1- q n=O

Lösungen der Übungsaufgaben zum Anhang zu 111.4 und 111.5

1. Das Wesentliche ist, daß man die Summe 1+ g und das Produkt Ig von meromorphen Funktionen I, g erst einmal streng definiert. Dies ist für endliche Gebiete

Lösungen der Übungsaufgaben zum Anhang zu 111.4 und 111.5 479

D C C durchgeführt worden. Wenn 00 im Definitionsbereich enthalten sein sollte, so definiert man (f + g)(oo) und (f . g)(oo) am besten dadurch, daß man im Definitionsbereich die Substitution z I-t 1/ z durchführt und sich dadurch auf den bereits behandelten Fall z = 0 anstelle z = 00 berufen kann.

2. Dies wurde übrigens beim Beweis von A2 (Invertieren einer meromorphen funktion) stillschweigend benutzt. Zunächst mache man sich klar, daß D nach Herausnahme einer diskreten Menge (in unserem Fall der Polstellenmenge) zusammenhängend bleibt. Folgedessen können sich die Nullstellen nach dem gewöhnlichen Identitätssatz nirgends im Komplement der Polstellenmenge häufen. Auch die Pole selbst können keine Häufungspunkte von Nullstellen sein, da bei Annäherung an einen Pol die Funktionswerte über alle Grenzen wachsen.

3. Hebbarkeit bedeutet die Beschränktheit von j(z) für Izl ~ C, C hinreichend groß. Ein Pol liegt vor, falls lim1zl-+oo Ij(z)1 = 00 gilt. Eine wesentliche Singularität liegt vor, falls der Bereich Iz ~ C (z f:. 00) für beliebig große C durch j auf eine dichte Teilmenge von C abgebildet wird.

4. Man verifiziert die Formeln durch direkte Rechnung.

5. Das Innere des Einheitskreises wird nach dem Satz von der Gebietstreue auf einen offenen Teil der Ebene abgebildet. Das Äußere des Einheitskreises wird wegen der Injektivität auf das Komplement dieser offenen Menge abgebildet. Daher ist 00

keine wesentliche Singularität von j. Somit ist j ganz rational, d.h. ein Polynom. Wegen der Injektivität ist der Grad 1.

6. Die einzigen Lösungen sind j(z) = z und j(z) = -z + b mit einer Konstanten b. Aus der Funktionalgleichung folgt, daß j injektiv ist. Nach der vorhergehenden Aufgabe ist j ein lineares Polynom.

7. Jede meromorphe Funktion auf ganz C ist rational (Satz A6). Wenn eine rationale Funktion bijektiv ist, so hat sie genau eine Nullstelle und genau einen Pol. In einer gekürzten Darstellung als Quotient zweier Polynome können sowohl der Nenner als auch der Zähler höchstens den Grad 1 haben. Nun folgen a) umd b) aus Satz A9.

8. Die Fixpunkgleichung ist eine quadratische Gleichung, az + b = (cz + d)z.

9. Wenn a, b, c von 00 verschieden sind, leistet das Doppelverhältnis das Gewünschte. Allgemein definiere man das Doppelverhältnis durch einen naheliegenden Grenzübergang.

10. Der Satz ist klar für Translationen und Drehstreckungen, also für obere Dreiecksmatrizen. Er ist auch klar für die Substitution z I-t 1/ z. Dies sieht man für die Kreisgleichung (z - a) (z - a) = r 2 und die Geradengleichung az + b-Z = c unmittelbar durch Einsetzen. Eine beliebiges M läßt sich aus den beiden Typen zusammensetzen: Wenn M selbst keine obere Dreiecksmatrix ist, so ist a := M 00

von 00 verschieden. Die Matrix


hat ebenfalls die Eigenschaft Noo = o'. Folgedessen gilt M = NP mit einer oberen Dreiecksmatrix P.

11. Dies folgt aus Aufgabe 9, wenn man benutzt, daß drei Punkte in genau einer verallgemeinerten Kreislinie enthalten sind.

12. Man unterscheide, je nachdem, ob M einen oder zwei Fixpunkte hat. Im ersten Fall wähle man A so, daß der Fixpunkt in 00 abgebildet wird. Die Matrix AM A -1 hat dann den Fixpunkt 00 und hat die Wirkung z t-+ az + b. Da sie nur den Fixpunkt 00 hat, muß a gleich 1 sein. Die zugehörige Matrix ist eine obere Dreiecksmatrix mit gleichen Diagonalelementen. Wenn zwei verschiedene Fixpunkte vorhanden sind, kann man diese nach 0 und 00 werfen. Die Matrix wird dann eine Diagonalmatrix.

13. Eine Dreiecksmatrix, welche keine Diagonalmatrix ist und welche gleiche Diagonalelemente hat, ist nicht von endlicher Ordnung. Wegen Aufgabe 12 kann man daher annehmen, daß Meine Diagonalmatrix ist.


1. Wir behandeln exemplarisch e). Bei z = 1 liegt ein Pol zweiter Ordnung vor. Das Residuum ist gleich dem ersten TAYLORkoeffizienten von exp(z) an der Stelle z = 1, also e.

2. Die Ableitung von Fist o. Mithin ist F konstant und insbesondere F(l) = F(O). Es folgt, daß G(l) ein ganzzahliges Vielfaches von 211"i ist. Die Umlauf zahl ist gerade G(1)/211"i.

3. a) Die Funktion X(o', z) ist stetig und nimmt nur ganze Werte an.

b) Die Formeln ergeben sich unmittelbar aus der Definition des Kurvenintegrals.

c) Die Funktion

1 J z h(z) = X(o'; l/z) = 211"i (z -1 d( Q

ist zunächst analytisch in der Menge aller z i= 0, so daß 1/ z nicht im Bild von 0' liegt. Sie ist analytisch in den Nullpunkt durch 0 fortsetzbar. Da sie lokal konstant ist, muß sie in einer vollen Umbebung des Nullpunkts verschwinden.

d) Dies wurde schon beim Beweis von c) gezeigt.

e) Aus der gegebenen Anleitung folgert man, daß es zwei (möglicherweise verschiedene) Logarithmen ' 1 und 12 von 0'(0) = 0'(1) gibt, so daß 211"ix(O';a) = II - l2 gilt.

4. a) Man führt in der Integraldarstellung die Substitution ( t-+ 1/( durch. Diese gewinnt man leicht über die Parameterdarstellung des Kurvenintegrals.

b) Die Funktion fez) = z hat im Nullpunkt eine hebbare Singularität und dort sogar eine Nullstelle!


5. Man wähle R in 4a) so groß, daß alle Pole von 1 den Betrag< R haben. Die Behauptung folgt aus dem Residuensatz und aus 4a).

6. Die Integrale können mit dem Residuensatz berechnet werden. Man verwendet zweckmäßigerweise die Geschlossenheitsrelation aus Aufgabe 5. Im Falle a) ist das Residuum in 00 gleich 0, an der Stelle z = 3 gleich (313 - 1)-1. Mit Hilfe der Geschlossenheitsrelation folgt, daß das Integral den Wert -27ri(313 - 1)-1 hat.

7. Da Ig höchstens einen Pol erster Ordnung hat, kann man die Formel 6.4 1) anwenden.

8. Eine LAuRENTreihe, deren Koeffizient a_ 1 verschwindet, kann gliedweise integriert werden.

9. Gliedweise Differentiation einer LAURENTreihe liefert eine LAURENTreihe, für welche der Koeffizient a_ 1 verschwindet.

10. Die Transformationsformel erhält man, indem man die Parameterdefinition des Kurvenintegrals einsetzt und die gewöhnliche Substitutionsregel anwendet. Die Residuenformel ist ein Spezialfall.


1. Im ersten Beispiel liegt eine Nullstelle im Innern des Einheitskreises, keine liegt auf dem Rand. Die anderen drei Nullstellen liegen außerhalb. Dies zeigt man, indem man den Satz von ROUCHE 7.7 auf I(z) = -5z und g(z) = 2z4 +2 anwendet. Bei der zweiten Gleichung existieren 3 Lösungen mit Izl > 1. Die dritte Gleichung hat 4 Lösungen in dem Kreisring.

2. Man orientiere sich an dem Beispiel 2) auf S. 173.

3. Man wendet den Satz von ROUCHE 7.7 mit j(z) = z - A und g(z) = exp(-z) an. Als Integrationslinie nimmt man das Rechteck mit den Ecken -iR, R - iR, R + iR, iR für beliebig großes R. Für hinreichend großes R gilt die Ungleichung Ig(z)1 < I/(z)1 auf der Integrationslinie.

4. Die Funktion lexp(z)I hat auf einer vorgegebenen Kreisscheibe Izl :5 R ein positives Minimum m. Da die Exponentialreihe gleichmäßig auf jedem Kompaktum konvergiert, existiert eine natürliche Zahl no mit

len(z) - exp(z)1 < m :5 lexp(z) I für n ~ no und Izl:5 R.

Insbesondere ist en(z) für n ~ no und Izl :5 R von 0 verschieden.

5. Man wende den Satz von ROUCHE 7.7 an und reduziere die Behauptung auf den trivialen Fall j == o.

6. Die einzige Singularität das Integranden in Ue(a) ist in (= r 1 (w). Das Residuum ist

lim (( _ r1(w») (!'«() = r 1(w)!'(r1(w») = r 1(w). (-+f-l(w) j«() - 1(j-l(W») f'(j-l(w»)


7. Man orientiere sich an dem Beweis für die Partialbruchentwicklung des Kotangens 7.13 und betrachte das Integral von 9 bzw. h über die Kontur QN' Der Grenzwert dieses Integrals verschwindet für N ~ 00. Die Behauptung folgt aus dem Residuensatz. Die Singularitäten von 9 bzw. h liegen in ganzen Zahlen n E Z. Die Residuen sind f(n) bzw. (-It f(n).

8. Man wende Aufgabe 8 auf die Funktion f(z) = I/z2 an.

9. Für das erste Integral muß man nach Satz 7.9 die Residuen der rationalen Funktion

z6 + 1

z3(2z - I)(z - 2)

im Einheitskreis bestimmen. Im Nullpunkt liegt ein Pol dritter Ordnung mit Residuum 21/8 vor, im Punkt 1/2 ein Pol erster Ordnung mit Residuum -65/24. Der Pol bei z = 2 liegt außerhalb des Einheitskreises. Man erhält

2,..

J cos3t dt = ~. 5 - 4cost 12

o Mit derselben Methode erhält man

,.. 2,..

J 1 dt = ! J 1 dt = 1I'a . (a+cost)2 2 (a+cost)2 (a2 -I)v'a2 -1

o 0

Bei den Aufgaben 10)-13) verifiziert man die angegebenen Resultate mit den Standardmethoden.

14. Sei' = exp(211'i/5). In dem Kreissektor, welcher von den beiden Halbgeraden und dem Kreisbogen zwischen T, r > 1, und r( begrenzt wird, hat (1 + Z5)-1

genau eine Singularität, nämlich '" = exp(1I'ij5). Es ist' = ",2. Das Residuum von (1 + Z5)-1 in z = '1/ ist (5",4)-1 = -'1//5. Da das Integral über den Kreisbogen für r ~ 00 gegen 0 konvergiert, folgt aus dem Residuensatz, daß die Differenz der beiden Integrale längs der beiden Halbgeraden gleich dem 211'i-fachen dieses Wertes ist. Man erhält also

00 00

J 1 J 1 211'i 1 + x 5 - ( 1 + x 5 = -5""

o 0

Die Formel bleibt gültig, wenn man 5 durch eine ungerade Zahl> 1 ersetzt.

15. Die Integrale sind an beiden Grenzen uneigentlich. Um den Residuensatz anwenden zu können, muß ein geeigneter Logarithmuszweig definiert werden. Man nimmt log z = log Izl + icp mit -11'/2 < cp < 311'/2. Dieser Zweig ist in der längs der negativen imaginären Achse geschlitzten Ebene analytisch. In diesem Gebiet verläuft der folgende Integrationsweg 0: Man wählt 0 < c < r. Der Integrationsweg wird zusammengesetzt aus der Strecke von -r bis -c, dem Halbkreis in der oberen Halbebene von -c bis c und der Strecke von c bis r. Aus dem Residuensatz folgt mit Standardabschätzungen

lim J (log z )2 dz = _ 11'3 . r-too 1 + Z2 4

Lösungen der Ühungsaufgaben zu IV.1 483

Nun nutzt man loge-x) = logx + 7ri für x > 0 aus. Vollzieht man den Grenzübergang e -+ 0, so erhält man

~ ~ ~

2j(10gX)2 dX+27rij logx dX_7r2j~=_7r3. 1 + x 2 1 + x 2 1 + x 2 4

o 0 0

Der Wert des dritten Integrals ist bekanntlich 7r /2.

16. Da der Integrand eine gerade Funktion von x ist, braucht man nur das Integral von -00 bis 00 zu bestimmen. Man betrachte den Imaginärteil der Formel aus Satz 7.1.

17. Die Funktion fez) hat einen Pol erster Ordnung hei z = a/2 und dies ist die einzige Singularität, welche von der Integrationskurve umlaufen wird. Das Residuum ist 2i~. Der Wert des Kurvenintegrals von f ist das 27ri-fache dieses Werts, also Vi. Die Summe der Integrale über die heiden horizintalen Linien ergibt f~Rexp(-t2)dt. Die beiden Integrale von a nach R+a und von -R nach -R+a konvergieren gegen 0 für R -+ 00.

Lösungen der Übungsaufgaben zu IV.l

1. Das Produkt a) divergiert. Das Produkt b) konvergiert. Der Wert ist 1/2, was man aus den Partialprodukten

N N rr (1 - -.!:..) = rr (v - l)(v + 1) = ! N + 1 1/2 v2 2 N

v=2 v=2

ablesen kann. Das Produkt c) konvergiert ebenfalls. Das N-te Partialprodukt ist !(1 + -k). Der Wert des Produkts ist also 1/3. Das letzte Produkt konvergiert ebenfalls und zwar gegen 2/3. Das N-te Partialprodukt ist H1 + N{J+1»).

2. Die zugehörige Reihe ist eine Teilreihe der geometrischen Reihe und konvergiert für Izl < 1. Der Wert ergibt sich aus der Formel

(1 - z) rr (1 + Z2") = 1- Z2"+1.

v=O

3. Die Monotonie folgt aus der trivialen Ungleichung log(1 + l/n) > 1/(1 + n), die Beschränkung durch 0 mittels f1'" ~,indem man die Summe über I/v als Integral über eine Treppenfunktion deutet.

4. Man orientiere sich am Beweis von 1.9 und verwende die dort angegebene Umformung von Gn .

5. Nach der STIRLINGSchen Formel ist der Grenzwert gleich

. (z+ny+n-1/2e-(z+n) -z. ( z)n lim =e hm 1+- =1. n-+~ n Z nn-1/2e-n n-+~ n


6. Aus a) folgert man zunächst, daß 9 = f / r eine ganze Funktion mit Periode 1 ist. Wegen b) und Aufgabe 5 gilt

g(z) = g(z + n) = lim g(z + n) = 1. g(l)g(n) n-+oo g(n)

7. Die Formel folgt aus der LEGENDRESchen Verdoppelungsformel1.12 in Kombination mit derm Ergänzungssatz durch die Spezialisierung z = 1/3.

8. Die beiden Formeln folgen aus dem Ergänzungssatz 1.11 mittels

r(iy)r(l - iy) = -iyr(iy)r( -iy), r( -iy) = r(iy),

r(1/2 + iy)r(1/2 - iy) = r(1/2 + iy)r(l- (1/2 + iy»).

9. Daß 9 ein Polynom vom Grad höchstens zwei ist, folgt z.B. aus den Produktentwicklungen für r(z), r(z + 1/2) und r(2z). Die Konstanten ermittelt man durch Spezialisierung auf z = 1 und z = 1/2.

10. Man muß den Hilfssatz auf 9 := f / r anwenden. Zum Beweis des Hilfssatzes zeigt man, daß die Ableitung der logarithmischen Ableitung h(z) = (g' / g)' (z) verschwindet. Sie genügt der Funktionalgleichung 4h(2z) = h(z) + h(z + 1/2). Ihr Maximum M ~ 0 auf ganz R existiert wegen der Periodizität und genügt der Ungleichung 2M :5 M. Es folgt M = 0 und daher h = O.

11. Die Funktionalgleichung und die Beschränktheit im Vertikalstreifen sind evident. Die Normierungskonstante kann man mit Hilfe der STIRLINGSchen Formel oder Aufgabe 19 aus 1.2 ablesen.

12. a) Da das Integral an beiden Grenzen uneigentlich ist, müssen Konvergenz und Stetigkeit begründet werden. Zunächst ist das eigentliche Integral

I-I/n

Bn(z, w) = f t Z - I (l_ t)W-I dt

Iln

stetig. Man orientiere sich nun an der Untersuchung der r-Funktion an der unteren Grenze und zeige, daß Bn in dem angegebenen Bereich lokal gleichmäßig gegen B konvergiert.

b) Man verwende die Argumentation aus a)

c) Die Funktionalgleichung folgt durch partielle Integration. Im Falle z = 1 besitzt der Integrand eine einfache Stammfunktion.

d) Die Voraussetzung der Beschränktheit in einem geeigneten Vertikalstreifen ist offensichtlich. Normierung und Funktionalgleichung folgen aus c).

e) Man substituiere s = t/(l - t).

f) Man substituiere t = sin2 <p.

Lösungen der Übungsaufgaben zu IV.l 485

13. Sei allgemeiner Itn(r) das Volumen einer n-dimensionalen Kugel vom Radius r. Eine einfache Integraltransformation zeigt Itn(r) = rnltn(1). Aus dem Satz von FUBINI für mehrfache Integrale folgt

1

Itn(l) = J Itn_1(...;'1=t2)dt.

-1

Hieraus folgt die Rekursionsformel. Das auftretende Integral wird nach der Variablensubstitution t = Vx ein Betaintegral und damit ein Gammaintegral.

14. a) Die Singularitäten von 'IjJ sind die Null- und Polstellen der Gammafunktion. Man benutze die RechenregelII1.6.4,3).

Es ist nun geschickt, gleich e) zu beweisen. Dazu wende man den Zusatz zu 1.7 an. Die Aussagen c), f), g) sind eine unmittelbare Folge. Für c) benutze man die Partialbruchentwicklung des Kotangens. Die letzte Aussage g) ist wegen logr(x}' = 'IjJ(x) klar. Für positives x ist r(x) positiv, und man kann problemlos logarithmieren.

15. Wir können /(1) = 1 annehmen. Wegen der Funktionalgleichung genügt es, die Identität f(x} = r(x} für 0 < x < 1 zu zeigen. Zweimalige Anwendung der logarithmischen Konvexität führt auf die Einschließung

n!(n + X}",-1 ~ f(n + x} ~ n!n"'-1,

woraus sich mittels der Funktionalgleichung

n!n'" (1 X)'" < f( ) < n!n'" (1 X) x(x + 1) ... (x + n) + n - x - x(x + 1) ... (x + n) + n

ergibt. Die Behauptung ergibt sich durch Grenzübergang n --+ 00. Man verifiziert leicht, daß r tatsächlich logarithmisch konvex ist (vgl. 14g».

16. Man erhält die Identität, indem man r(n - 0') nach iterierter Anwendung der Funktionalgleichung in r( -0') überführt. Die asymptotische Formel folgt mittels Aufgabe 5.

17. Zunächst einmal muß klar gestellt werde, daß w- z := exp(-zlogw} über den Hauptwert des Logarithmus definiert ist. Der Integrand ist auf dem ganzen Integrationsweg stetig. Außerdem gilt bei dieser Wahl des Logarithmus

Iw-zewi ~ e1r1y1Iwr'" eRew •

Der Integrand klingt also für Re w --+ -00 rapide ab, die absolute Konvergenz des Integrals ist somit klar. Indem man das Integral analog zum EULERSchen Gammaintegral durch eigentliche Integrale approximiert, sieht man, daß das Integral eine ganze Funktion ist. Eine Besonderheit ist der Fall z = -n, n E N. In diesem Fall ist der Integrand eine ganze Funktion in w und man erhält aus dem CAUCHYschen Integralsatz den Wert 0 für das HANKELintegral an der Stelle z = -n, nE No. Mittels des Residuensatzes erhält man den Wert 21ri an der Stelle z = 1.

Es ist günstiger, eine Variante der HANKELschen Formel zu beweisen, nämlich

r(z} = 2' .1 J wz - 1ew dw. Ism 1rZ


Die rechte Seite ist analytisch für x > 0, da dort die Nullstellen des Sinus von Nullstellen des Integrals kompensiert werden.

Die beiden Darstellungen sind wegen des Ergänzungssatzes äquivalent. Man beweist nun die charakterisierenden Eigenschaften der Gammafunktion für das zweite HANKELintegral:

Mittels partieller Integration beweist man die Funktionalgleichung. Die Beschränktheit im Streifen 1 ~ x ~ 2 folgt aus der angegebenen Abschätzung des Integranden sowie Standardabschätzungen des Sinus. Die Normierung ergibt sich über die erste Darstellung.

Lösungen der Übungsaufgaben zu IV.2

1. Die Formel für die Ableitung ergibt sich durch Anwenden der Produktformel. Die Ableitung des Exponenten ist nach der geometrischen Summenformel gleich (zk - 1)/(z - 1). Aus der Formel für die Ableitung E~ liest man ab, daß Ek reelle nicht negative Entwicklungskoeffizienten hat. Der Vorfaktor Zk sorgt dafür, daß die ersten k verschwinden. Die Aussage b) für Eie gewinnt man durch gliedweise Integration.

Zum Beweis von c) betrachte man die ganze Funktion

I() 1 - Ek(z) ~ " . z = Zk+l = L...J cnz mIt c" ~ o.

n=O

Schätzt man die Reihe durch ihre Betragsreihe ab, so folgt wegen cn ~ 0 die Abschätzung I/(z)1 ~ 1(1) = 1 für Izl ~ 1.

2. Man trage in der Produktentwicklung des Sinus z = 1/2 ein und bilde den Kehrwert.

3. a) Man benutze die Produktentwicklung des Sinus sowie die Gleichung

2 cos 7I"Z sin 7I"Z = sin 271"z.

b) Man benutze Teil a) sowie das Additionstheorem

71" . 71" (71" 71") cos '4 z - sm '4 z = cos '4 z + 2" .

4. Man konstruiere zunächst eine ganze Funktion 0, welche genau in den Polen von 1 eine Nullstelle oder einen Pol hat, je nachdem ob das Residuum positiv oder negativ ist. Die Vielfachheit sei genau durch das Residuum gegeben. Eine solche Funktion verschafft man sich in naheliegender Weise als Quotient zweier WEIERSTRAssprodukte. Die Funktion 1 - 0' /0 ist ganz. Wenn es gelingt, sie in der Form ß' /ß zu schreiben, ist man fertig, denn dann gilt 1 = (oß)' /(oß). Man kann also von vornherein annehmen, daß 1 eine ganze Funktion ist. Dann besitzt 1 eine Stammfunktion Fund exp F löst das Problem.

Lösungen der Übungsaufgaben zu IV.3 487

5. a) Man schließt indirekt und nimmt an, daß endlich viele Funktionen 11 , ••• , In existieren, welche das Ideal erzeugen. Es gibt eine natürliche Zahl m, so daß alle I j in mZ verschwinden. Dann müßte jede Funktion aus dem Ideal in mZ verschwinden. Es lassen sich jedoch leicht Funktionen angeben, deren genaue Nullstellenmenge 2mZ ist.

b) Die Funktionen mit genau einer Nullstelle, wobei diese noch von erster Ordnung sein muß, sind prim bzw. unzerlegbar.

c) Genau die Funktionen ohne Nullstelle sind invertierbar.

d) Nur die Funktionen mit endlich vielen Nullstellen sind Produkte von endlich vielen Primelementen. Die ganze Funktion sin 1rZ läßt sich nicht als Produkt endlich vieler Primelemente darstellen.

e) Durch Induktion nach der Anzahl der Erzeugenden reduziert man die Behauptung auf den Fall eines Ideals, welches von zwei Elementen I, 9 erzeugt wird. Mit Hilfe des WEIERSTRASsschen Produktsatzes konstruiert man eine ganze Funktion 0, welche genau in den gemeinsamen Nullstellen von I und 9 verschwindet, wobei die Vielfachheit das Minimum der Vielfachheiten von I und 9 sei. Ziel ist es zu zeigen, daß I und 9 das Hauptideal 0 erzeugen. Äquivalent hierzu ist, daß 1/0 und g/o das Einheitsideal erzeugen. Man kann also von vornherein annehmen, daß lund 9 keine gemeinsame Nullstelle haben. Findet man eine Funktion h, so daß die im Ansatz angegebene Funktion A keinen Pol hat, ist man fertig, denn dann gilt AI + Bg = 1 mit B = -ho Man muß also h so konstruieren, daß 1 + hg in den Nullstellen s von I in genügend großer Ordnung verschwindet. Dies beinhaltet Gleichungen für endlich viele TAYLORkoeffizienten von h, welche sich wegen g(8) -::j:. 0 induktiv lösen lassen.


1. Sei h eine Lösung des angegebenen MITTAG-LEFFLERproblems. Man bestimmt für jede natürliche Zahl N in der Kreisscheibe Izi < N die analytische Funktion gN so, daß die logarithmische Ableitung von

IN = exp(gN(Z)) II (z - sn)mn (Izl ~ N) B",5,N

gleich h in der Kreisscheibe ist. Dies ist eine Bedingung an die Ableitung von gN. Man kann gN noch um eine additive Konstante abändern und damit erreichen, daß alle IN in einem festem Punkt a, in dem / 1 von 0 verschieden ist, übereinstimmen. Dann stimmen aber IN+1 und IN in ganz Izi < N überein. Die Funktionenfolge IN verschmilzt somit zu einer ganzen Funktion.

2. Man verwende die Partialbruchzerlegung des Kotangens in der Form 00

1 L 2z 1r cot 1rZ = - + -2--2.

Z Z -n n=1


3. Man benutze die Partialbruchentwicklungen des Tangens und des Kotangens sowie die Formeln

7r 1 . (1 ) cot7rz+tan-z= -.-, COS7rZ=Sln7r -2 -z . 2 SlDZ

Die Formel für 7r/4 erhält man durch Spezialisieren auf Z = o.

4. Eine Lösung ist die Partialbruchreihe

~ ( Vii + 1 + -=- + Z2) • L..J z-Vii Vii n n=l

5. Der Ansatz ist f = gh mit einem WEIERSTRAssprodukt 9 und einer Partialbruchreihe h. Wir wählen einen festen Punkt 8 E S und nehmen der Einfachheit halber an, daß es der Nullpunkt ist. Wir wollen f so konstruieren, daß die ersten LAURENTkoeffizienten gleich aN' aN+ll ... , aM sind. Alle Koeffizienten unterhalb N sollen verschwinden. Dabei kann M positiv sein. Es ist natürlich M > N. Die Funktion 9 wird so konstruiert, daß ihre Ordnung M' im Nullpunkt mindestens gleich M + 1 ist. Dies ist nur eine Bedingung, wenn M nicht negativ ist. Die Funktion h wird so konstruiert, daß sie einen Pol der Ordnung N - M' im Nullpunkt erhält. Man kann ihre LAURENTkoeffizienten cN_M" ... ' c_ 1 vorgeben. Bezeich-net man die TAYLORkoeffizienten von 9 mit bM"bM'+l' ... ' so erhält man für die Koeffizienten CII Bedingungen

L: c",bll = an für N:5 n :5 M.

In der Summe taucht der Term bM,cn auf. Alle anderen Terme sind mit CII'

v < n - M', behaftet. Es handelt sich also um eine lineares Gleichungssystem in Dreiecksform, welches man induktiv auflösen kann (wegen bM , f= 0).


1. Durch die Zuordnung Z t-+ 1/ Z wird D auf ein beschränktes Gebiet abgebildet. Eine analytische Abbildung von C· auf ein beschränktes Gebiet ist nach dem RIEMANNschen Hebbarkeitssatz auf ganz C analytisch fortsetzbar und nach dem Satz von LIOUVILLE konstant. Eine konforme Abbildung kann es also nicht geben.

2. Die konforme Abbildung erfolgt druch eine Streckung, Z t-+ TZ.

3. Durch Z t-+ (z+1)/(z-1) wird der Einheitskreis konform auf die rechte Halbebene abgebildet. Diese wird durch w t-+ w2 in die geschlitzte Ebene aufgebogen.

4. Die Abbildung rp läßt sich aus vier konformen Abbildungen zusammensetzen: Die Abbildung w = Z2 bildet den Viertelkreis auf die obere Hälfte des Einheitskreises ab. Diese wird durch Z t-+ ~ konform auf den Quadranten Re z > 0, Im z > 0 abgebildet. Der Quadrant wird durch z t-+ Z2 auf die obere Halbebene und diese schließlich durch z t-+ :+: auf den Einheitskreis abgebildet.

Lösungen der Übungsaufgaben zu IV.4 489

5. Das Gebiet D wird von einem Hyperbelast mit der Gleichung xy = 1 begrenzt. Das Bild dieses Hyperbelastes unter der Abbildung z ~ Z2 = x2 - y2 + 2ixy ist die Gerade Im w = 2. Der Bildpunkt von 2 + 2i E D ist 8i. Es folgt, daß D durch ! auf die Halbebene Re w > 2 konform abgebildet wird.

6. Ist cp : D -+ D* eine konforme Selbstabbildung, so definiert "/ ~ cp,,/cp-l einen Isomorphismus von Aut D auf Aut D* .

7. Ist 'I/! eine zweite konforme Selbstabbildung mit der angegebenen Eigenschaft, so ist 'l/!cp-l eine konforme Selbstabbildung des Einheitskreises mit Fixpunkt 0 und somit die Multiplikationsabbildung mit eine komplexen Zahl ( vom Betrage eins. Diese ist 1, wenn sie positiv ist.

8. Die Funktion cp ist in ganz C mit Ausnahme der beiden Nullstellen des Nenners ±F1 analytisch. Man rechnet leicht cp(zo) = 0 und cp'(zo) > 0 nach. Ähnlich wie in Aufgabe 4 setzt man cp durch einfache bekannte konforme Abbildungen zusammen,

1 + Zl 2 Z3 - i zl=iz, Z2= l-z =Z2' Z3=Z2' cp(Z) = z +i·

2 3

Aus dieser Darstellung liest man ab, daß D konform auf den Einheitskreis abgebil-det wird. Der Abschluß von D wird aus Stetigkeitsgründen auf den abschlossenen Einheitskreis abgebildet. Nach dem Maximumprinzip muß der Rand auf den Rand abgebildet werden. Es ist zu zeigen, daß cp auf dem Rand injektiv ist. Verfolgt man die Abbildung des Randes gemäß der Zerlegung in Einzelabbildungen, so sieht man, daß 8D - {i, -i} topologisch auf 8JE - {i, -i} abgebildet wird. Wegen cp(±i) = ±i wird der Rand von D sogar bijektiv auf die Einheitskreislinie abgebildet. Die Abbildung cp bildet also D stetig und bijektiv auf jE ab. Da es sich um kompakte Mengen handelt, ist auch die Umkehrabbildung stetig.

9. Sei wn = !(zn). Die Behauptung lautet, daß jeder Häufungswert dieser Folge vom Betrag 1 ist. Wenn dies nicht der Fall ist, existiert ein Häufungswert W E JE. Nach Übergang zu einer Teilfolge können wir annehmen, daß wn gegen w konvergiert. Da f topologisch ist, muß zn = f-1(w n ) gegen z = f-l(W) konvergieren.

Ein Beispiel ist die geschlitzte Ebene D = C_. Als Abbildungsfunktion nehme man w = (iy'Z + i)(iy'Z - i)-l. Die Bildfolge von -1 + (-1ti/n hat zwei Häufungspunkte.

10. Man betrachtet die Kette von Transformationen 2 2 _ Z5 - i

zl=-iz, z2=Zl' ,Z3=Z2- 1, z4=VZ;, z5=iz4, Z6---.· z5 + 1

Die konformen Abbildungen von D auf die obere Halbebene bzw. den Einheitskreis werden durch z ~ Z5 bzw. z ~ Z6 geliefert.

11. Es ist lediglich zu zeigen, daß durch die Transformation z r-+ (z - .\)(z - X)-l eine konforme Abbildung von der oberen Halbebene auf den Einheitskreis definiert wird, da man dann wie beim Beweis von II1.3.10 argumentieren kann. Bei dieser Transformation werden offenbar reelle z auf den Rand des Einheitskreises abgebildet. Nach dem Satz von der Gebietstreue kann diese Transformation die obere Halbebene nur auf das Innere oder auf das Äußere des Einheitskreises abbilden. Der zweite Fall ist leicht auszuschließen, da .\ auf 0 abgebildet wird.


Lösungen der Übungsaufgaben zu den Anhängen A, Bund C

1. Da zwei Unterteilungen eine gemeinsame Verfeinerung besitzen, muß man nur den Fall behandeln, daß zu einer vorgegebenen Unterteilung ein weiterer Punkt hinzugenommen wird. Dieser Punkt und die beiden Nachbarpunkte liegen in einer Kreisscheibe, welche ganz im Definitionsbereich D enthalten ist. Die Aussage ist nun zurückgeführt auf den CAucHYschen Integralsatz für Dreieckswege.

2. Man führt die Behauptung auf folgende Aussage zurück. Sei ß : [0,1] -+ C· eine Kurve, deren Anfangs- und Endpunkt a = ß(O) und b = ß(I) auf der reellen Achse liegen und welche außer a und b keinen weiteren Punkt mit der reellen Achse gemeinsam hat. Die Kurve ist dann ganz in der oberen oder unteren abgeschlossenen Halbebene enthalten. Der Wert des Integrals Jß dz/z ist logb-loga, wobei allerdings die Werte des Logarithmus genau festgelegt werden müssen. Wenn die Kurve in der oberen Halbebene verläuft, so nimmt man den Hauptwert des Logarithmus, denn dieser ist stetig in der abgeschlossenen oberen Halbebene. Verläuft die Kurve in der unteren Halbebene, so nimmt man für log diejenige stetige Funktion auf der abgeschlossenen unteren Halbebene, welche auf der offenen unteren Halbebene mit dem Hauptwert übereinstimmt. Sie unterscheidet sich auf der negativen reellen Achse von dem Hauptwert um 21ri. Für den Wert des Integrals mache man sich ein Tabelle, je nachdem ß in der oberen oder unteren Halbebene verläuft und je nachdem welche der Punkte a, b auf der negativen reellen Achse liegen. Das Umlaufintegral von a ist eine endliche Summe von Integralen diesen Typs.

3. Seien a, ß : [0, 1] -+ D zwei nicht notwendig geschlossene Kurven mit demselben Anfangspunkt a und Endpunkt b in einem einfach zusammenhängenden Gebiet. Die geschlossene Kurve

{ a(2t) ° :5 2t :5 1, 'Y(t) = ß(2 - 2t) 1:5 2t :5 2

ist nach Voraussetzung nullhomotop. Es gibt also eine stetige Schar 'Y. von Kurven alle mit demselben Anfangs-und Endpunkt a, durch welche 'Y = 'Yo in die konstante Kurve 'Yl (t) = a deformiert wird. Die entsprechende Homotopie sei H(t,8) = 'Y.(t). Wir bilden nun das Einheitsintervall stetig auf den Rand des Homotopiequadrats [0,1] x [0,1] ab,

cp: [0, 1] ~ 8([0, 1] x [0,1]),

{ (0,48) 0:5 48:5 1,

cp(8):= (28 - 1/2, 1) 1:5 48 :5 3, (1,4-48) 3:548:54

und benutzen diese, um eine Homotopie G zu konstruieren, welche a in ß (unter Festhaltung des Anfangspunkts a und des Endpunkts b) deformiert:

G(t, 8) = H((I- t)cp(8) + t(1/2, 0)).

Lösungen der Übungs aufgaben zu V.1 491

4. Man kann die Behauptung leicht auf den Fall einer einzigen Kurve zurückführen, indem man einen festen Punkt a aus D wählt, diesen mit dem Basispunkt von 01 verbindet, danach 01 durchläuft, danach zu a in umgekehrter Richtung nach a zurückläuft und von dort aus zur Kurve 02' u.s.w.

5. Bei der Anwendung des Satz von MORERA wird lediglich die Unabhängigkeit eines Doppelintegrals von der Integrationsreihenfolge verwendet. Dieses Argument ist strukturell einfacher als die Anwendung des LEIBNlzschen Kriteriums, wo eine Ableitung im Spiel ist.

6. Die Beweisschritte finden sich an verschiedenen Stellen im Text.

Lösungen der Übungsaufgaben zu V.I

1. Die Behauptung folgt unmittelbar aus der bekannten Tatsache, daß es zu jeder reellen Zahl x eine ganze Zahl n mit 0 ::; x - n ::; 1 gibt.

2. Die Gruppeneigenschaft ist klar. Zum Beweis der Diskretheit betrachte man die Funktion g(z) = f(z) - f(a) für ein festes a, welches kein Pol von f ist. Die Perioden sind Nullstellen dieser Funktion. Wenn sie einen Häufungspunkt in C besitzen, so ist dieser sicher kein Pol. Aus dem Identitätssatz folgt dann 9 = o.

3. Der erste Teil (L n lRw l = Z·w1) folgt leicht aus folgender Aussage: Sind a, b zwei von 0 ·verschiedene reelle Zahlen mit lai< Ibl, so existiert eine ganze Zahl n mit Ib - nal < lai. Im zweiten Teil ist zu zeigen, daß ein beliebiges Element w E L ganzzahlige Linearkombination von w1 und w2 ist. Jedenfalls gilt w = t1w1 + t2w2

mit reellen t1, t2 • Nach ganzzahliger Abänderung von t ll t 2 können wir -1/2 ::; t1 , t 2 ::; 1/2 annehmen. Wir wollen indirekt schließen und dürfen nach dem ersten Teil annehmen, daß t 1, t 2 beide von Null verschieden sind. Dann gilt

1 1 Iwl < It1w11 + It2w21 ::; 2(1w11 + Iw2 1) ::; 2(1w21 + Iw2 1) = Iw21 im Widerspruch zur Minimalität von Iw2 1.

4. Die Anzahl der Minimalvektoren ist immer gerade, da mit a auch -a ein Minimalvektor ist. Da das Problem gegenüber Drehstreckung invariant ist, können wir annehmen, daß 1 ein Minimalvektor ist. Sei wein nicht reeller Vektor minimaler Länge des gegebenen Gitters L. Wir wissen aus der Lösung der Aufgabe 3, daß L von 1 und werzeugt wird. Im Falle Iwl > 1 sind die einzigen Minimalvektoren ±1, ihre Anzahl ist also 2. Wir können somit Iwl = 1 annehmen. Im Falle w = ±i gibt es genau vier Minimalvektoren ±1, ±i. Wir wollen nun annehmen, daß mehr als 4 Minimalvektoren existieren. Dann ist der Realteil von w von 0 verschieden. Ein weiterer Minimalvektor ist von der Form n + mw mit ganzen n, m, welche beide von 0 verschieden sind. Aus der verschärften Dreiecksungleichung folgt Ilnl-lmll < In + mwl = 1 und hieraus Inl = Iml. Dabei muß sogar Inl = Iml = 1 gelten. Wir sehen somit, daß 1 + w oder 1 - w den Betrag 1 hat. Da w selbst den


Betrag 1 hat, folgt, daß der Realteil von w gleich ±1/2 ist. Dann ist aber weine von ±1 verschiedene sechste Einheitswurzel. Die Minimalvektoren sind in diesem Falle die sechsten Einheitswurzein. Beispiele für die drei Typen sind

Z+2iZ, Z+iZ, Z+e~Z. 5. Im Falle a) ist die Differenz, im Falle b) der Quotient eine ganze elliptische funk

tion und somit konstant.

6. Es müssen Gleichungen

w~ = awl + bw2 , w; = cw l + dw2 ,

wl = aw~ + ßw;, w2 = IW~ + ow;, mit ganzen Koeffizienten bestehen. Man rechnet nach, daß die beiden Matrizen

M=(~ :), N=(~ ~) zueinander invers sind. Das Produkt ihrer Determinanten ist 1. Sie müssen aus Ganzheitsgründen ±1 sein. Ist umgekehrt M eine ganze Matrix mit Determinante ±1, so ist ihre Inverse ebenfalls ganz.

7. Schreibt man wl = Xl + iYl! w2 = x2 + iY2' so erscheint die Grundmasche als lineares Bild eines Einheitsquadrats. Das Volumen ist gleich dem Betrag der transformierenden Matrix, also IX1Y2 - X2Yli im Einklang mit der Behauptung. Die Invarianz folgt aus Aufgabe 6.

8. Eine Untergruppe von R, welche nicht dicht ist, besitzt keinen einzigen Häufungspunkt. Wenn das Gitter Z + V2Z diskret wäre, würde eine Zahl a mit Z + y'2z = aZ existieren und y'2 wäre als Folge hiervon rational.

9. Der Grad von Pw ist unabhängig von w nach oben beschränkt, da das Gitter endlich erzeugt ist. Eine genügend hohe Ableitung von f ist daher eine ganze elliptische Funktion und somit konstant.

10. Die Funktion I' / f ist elliptisch. Ihre Pole sind die Nullstellen von f. Die Residuen an diesen Stellen sind gleich den Nullstellenordnungen, insbesondere positiv. Aus dem dritten LIOUVILLEschen Satz folgt, daß 1'/ f kein Pole haben kann, mithin konstant ist. Man wende jetzt Aufgabe 11 aus 1.5 an.

Lösungen der Übungsaufgaben zu V.2

1. Bis auf einen konstanten Faktor handelt es sich um die (n - 2)-te Ableitung der p-Funktion.

2. Ist weine Periode von p, so folgt speziell p(O) = p(w) und w ist ein Pol von p.

3. Dies folgt aus f(w/2) = f(w/2 - w) = f( -w/2) = - f(w/2).

4. Ist 1 die Anzahl der modulo L paarweise verschiedenen Pole (ausnahmsweise nicht mit Vielfachheit gerechnet), so ist n = m + I, da sich beim Ableiten die Ordnung

Lösungen der Übungsaufgaben zu V.3 493

eines Pols um 1 erhöht. Die Eckwerte I = 1 bzw. I = m werden realisiert durch die p-Funktion bzw. durch p'-I.

5. Die behauptete Bijektivität folgt aus Satz 2.10. Die r-invarianten meromorphen Funktionen sind genau die geraden elliptischen Funktionen. Im nächsten Abschnitt wird gezeigt (3.2), daß sie rational durch pausdrückbar sind. Ein anderer Beweis kann mit der angegebenen Bijektion geführt werden. Die geraden elliptischen Funktionen können als Funktionen auf C aufgefaßt werden. Man kann sich überlegen, daß diese Funktionen meromorph sind. Die meromorphen Funktionen auf C sind aber genau die rationalen Funktionen (III.A6).

Nach Definition der Quotiententopologie ist die angegebene bijektive Abbildung stetig. Eine stetige bijektive Abbildung zwischen kompakten topologischen Räumen ist topologisch.

6. Sei Lee ein Gitter. Dann ist

L Q := { aWj a E Q, W E L} ein zweidimensionaler Q-Vektorraum. Sind L' C L zwei ineinander liegende Gitter, so müssen die erzeugten Q-Vektorräume aus Dimensionsgründen übereinstimmen. Sowohl die Bedingung a) als auch die Bedingung b) impliziert daher, daß die von L und L' erzeugten Q-Vektorräume übereinstimmen. Wir zeigen, daß aus dieser Bedingung umgekehrt folgt, daß sowohl a) als auch b) richtig ist. Zum Beweis kann man annehmen, daß L und L' in Q2 enthalten sind. Ist allgemein L C Q2 ein rationales Gitter, so existiert eine natürliche Zahl n, so daß nZ2 C L C (1/n)Z2 gilt. Dies sieht man, indem man eine Gitterbasis (rational) durch die Einheitsvektoren ausdrückt. Damit sind a) und b) klar.

Wenn die beiden Körper eine gemeinsame nicht konstante elliptische Funktion besitzen, so ist L + L' ein Gitter.

7. Zieht man von einer vorgelegten Funktion der angegebenen Art ein geeignetes konstantes Vielfaches von p ab, so kann man einen eventuellen Pol zweiter Ordnung beseitigen und erhält eine elliptische Funktion der Ordnung ~ 1. Eine solche ist konstant.


1-1 p' 1. p = 3 ' 4p -92P-93

1-2 P = , 4p3 - 92P- 93

1

2. Man benutze Satz 3.2.

3. Am einfachsten ist es, zunächst Aufgabe 5 zu lösen. Durch Ableiten erhält man

p"(Z) = 2(p(z) - e1)(p(z) - e2 ) + (p(z) - e1)(p(z) - e3 ) + (p(z) - e2)(p(z) - e3».

Jetzt setze man z = wd2 ein und benutze p(wd2) = et .


4. Man wähle einen Punkt aus, in welchem f keinen Pol hat und in welchem die Ableitung von f nicht verschwindet. Im Bild f(U) einer kleinen offenen Umgebung U dieses Punktes existiert dann die lokale Umkehrfunktion g. Es existiert eine kleine offene Menge V, welche keinen Gitterpunkt enthält und so, daß p(V) in f(U) enthalten ist. In diesem V ist die Funktion h(z) = g(p(z» definiert. Aus der Gleichung f(h(z» = p(z) folgt j'(h(z»h'(z) = p'(z). Quadriert man und nutzt man die Differentialgleichungen für fund p aus, so folgt h'(Z)2 = 1. Die einzigen Lösungen dieser Gleichung sind h(z) = ±z - a. Es folgt f(±z - a) = p(z). Da p gerade ist, kann man z durch -z ersetzen, falls notwendig.

5. Aus der algebraischen Differentialgleichung der p-Funktion folgt, daß das Polymom P(X) := 4X3 - g2X - g3 die Nullstellen e1 , e2, e3 hat. Hieraus ergibt sich P(X) = 4(X - e1)(X - e2)(X - e3).

6. Man differenziere die LAURENTreihe der p-Funktion gliedweise zweimal. Danach quadriere man sie mittels des CAUCHYschen Multiplikationssatzes und nutze die Gleichung 2p"(z) = 12p(z)2 - g2 aus.

7. Man zeigt der Reihe nach:

a) => b): Man benutze Aufgabe 6.

b) => c): Die LAURENTkoeffizienten sind reell.

c) => d): Mit W ist auch wein Pol von p, da p reell ist. Die Gitterpunkte sind genau die Pole von p.

d) => a): In der Reihenentwicklung von Gn kommen nur Paare konjugiert komplexer Terme vor.

8. Rechteckige und rhombische Gitter sind trivialerweise reell. Wir zeigen die Umkehrung. Da mit W auch W + wund W - w Gitterpunkte sind, findet man in einem reellen Gitter stets von 0 verschiedene Punkte auf der reellen und auf der imaginären Achse. Die von allen reellen und imaginären Punkten des Gitters erzeugte Untergruppe ist selbst ein Gitter Lo. Es wird von einem reellen Punkt w1 und einem rein imaginären Punkt w2 erzeugt. Wenn L und Lo übereinstimmen, sind wir fertig. Andernfalls existiert ein Element W E L - Lo. Wir können annehmen, daß W in der von w 1' w2 aufgespannten Masche enthalten ist. Aus der Formel 2w = (w + w) + (w - w) folgt, daß 2w in Lo enthalten ist. Da w weder reell, noch rein imaginär ist, folgt 2w = w1 + w2. Das Gitter L wird von

1 1 w = 2"(w1 + w2) und w - w2 = 2"(w1 - w2) = W

erzeugt und ist damit rhombisch.

9. Ist t eine reelle Zahl, so gilt

p(twj ) = p(twj ) = p(±twj ) = p(twj ).

Daher nimmt p auf dem Rand nur reelle Werte an, wobei die Gitterpunkte natürlich stillschweigend ausgeschlossen wurden. Auf den Mittelgeraden schließt man ähnlich, beispielsweise gilt für reelle t

p(w1 /2 + tw2) = p(wd2 + tw2) = p(w1 /2 - tw2)

= p(-wd2 - tw2) = p(wd2 + tw2)·

Lösungen der Übungsaufgaben zu VA 495

10. Das Bild der Grundmasche ist die ganze Zahlkugel. Das Urbild der reellen Geraden einschließlich 00 enthält nach Aufgabe 9 den Rand und die Mittellinien der Grundmasche. Da die p-Funktion jeden Wert genau zweimal modulo L annimmt, ist das Urbild von C - IR in der Grundmasche die Vereinigung der vier offenen Quadranten der Grundmasche, welche man durch Halbieren der beiden Seiten erthält. Die p-Funktion bildet die Vereinigung der beiden linken offenen Quadranten bijektiv auf C - IR ab. Als bijektive und analytische Abbildung ist diese Abbildung konform. Aus Zusammenhangsgründen ist das Bild eines einzelnen Quadranten genau eine der Halbebenen. Aus der LAuRENTentwicklung von p liest man ab, daß p( t(l + i») für kleine positive t negativen Imaginärteil hat. Der linke untere Quadrant wird also konform auf die untere Halbebene abgebildet.

11. Der Körper der elliptischen Funktionen ist algebraisch über C(p).

12. Wenn man p und p' rational durch 1 ausdrücken kann, so existiert eine diskrete Teilmenge 8 C C, so daß aus der Gleichung I(z) = I(w) zumindest für z, w E C - 8 folgt, daß z == w mod L. Im Komplement der Menge 1(8) hätte jeder Punkt nur einen Urbildpunkt, 1 wäre eine elliptische Funktion der Ordnung 1.


1. Wie am Anfang von §4 ausgeführt, muß man den geraden und ungeraden Anteil der Funktion I(z) = p(z + a) getrennt behandeln. Wir behandeln den schwierigeren Fall des geraden Anteils. (Der ungerade Anteil ist p'(a)p'(z).) Der Ansatz ist

p(z + a) + p(z - a) [p(z) _ p(a)]2 = A + Bp(z) + Cp(Z)2 2

mit zu bestimmenden Konstanten A,B,C (welche von a abhängen dürfen). Man vergleicht die LAURENTkoeffizienten zu Z-4, Z-2, zO. (Ungerade Potenzen treten nicht auf.) Für die Rechnung benutzt man die Entwicklungen

1 2 p(z)=-+3G4z + ... Z2

2 1 p( z) = Z4 + 6G 4 + ...

1 2 p(z) - p(a) = Z2 - p(a) + 3G4z + ... 2 1 2p(a) 2

[p(z) - p(a)] = 4" - -2- + [p(a) + 6G4] + ... z z

p(z + a) + p(z - a) = p(a) + p"(a) i + p(4l (a) Z4 + .... 2 2 24

Mit Hilfe von diesen Anfangstermen erhält man die Koeffizienten

"(a) (4l (a) C = p(a), B = ~ - 2p(a)2, A = ~ - p(a)p"(a) + p(a)3.

Benutzt man die Formeln für die Ableitungen von paus §3, so vereinfachen sich die Darstellungen der Koeffizienten zu


C = p(a), B = p(a)2 - 15G4 , A = -15G4 p(a) - 70G6 .

Herauskommen sollte

p(z + a) + p(z - a) = !. p'(Z)2 + p'(a); _ p(z) _ p(a). 2 4 (p(z) - p(a»)

Mittels der algebraischen Differentialgleichung lassen sich die beiden Darstellungen ineinander überführen.

2. Ersetzt man in der analytischen Form 4.1 des Additionstheorems die Variable w durch -w und anschließend z durch z + w, so erhält man die Relation

( p'(Z) - P'(W») 2 = (-P'(Z + w) _ P'(W») 2

p(z) - p(w) p(z + w) - p(w)

Hieraus folgt mit einem von z und w unabhängigen Vorzeichen

p'(z) - p'(w) _ ± -p'(z + w) - p'(w) p(z) - p(w) - p(z + w) - p(w) .

Spezialisiert man w = -2z, so erhält man, daß das Vorzeichen + gilt. Diese Formel ist genau das Additionstheorem in der geometrischen Form 4.4.

3. Die Tangentengleichung ist y = 5x - 6. Die Gleichung (5x - 6)2 = 4x3 - 8x hat die Lösungen 2 (doppelt) und 9/4.

4. Man entwickle die in Satz 4.4 auftretende Determinante nach der dritten Spalte.

5. Die Funktionen J(z), J(w) sind in dem Körper K = C(p(z), p(w), p'(z), p'(w» enthalten. Nach dem Additionstheorem für die p-Funktion ist auch p(z + w) in diesem Körper enthalten. Es folgt, daß auch p'(z + w) und dann auch J(z + w) in K enthalten ist. Dieser Körper ist algebraisch über C(p(z), p(w». Die drei Elemente J(z), J(w), J(z + w) sind also algebraisch abhängig.


1. Wenn die Nullstellen reell sind, sind natürlich auch die Koeffizienten reell. Sei nun P ein reelles Polynom dritten Grades. Betrachtet man den Kurvenverlauf, so sieht man, daß genau dann drei reelle Nullstellen vorhanden sind, wenn zwischen den beiden Punkten mit waagrechter Tangente eine NUllste, liegt. Seien a, b die beiden Nullstellen der Ableitung (im vorliegenden Fall ± g2/12), so bedeutet dies P(a)P(b) ~ O. Dies führt ganau auf die Bedingung L1 ~ O.

2. Zunächst muß man sich überlegen, daß man die Kurve h bezüglich der p-Funktion zu einer Kurve ß : [0,1] --t C mit p(ß(z») = a(z) liften kann. Das Argument ist ähnlich wie bei der Liftung unter exp im Beweis von Satz A8 im Anhang A aus Kapitel IV. Sei ader Anfangspunkt von ß und b der Endpunkt von ß. Da a geschlossen ist, gilt b = ±a + w mit einem Gitterelement w. Aus Theorem 5.4 folgt nach eventueller Ersetzung von h durch -h die Relation


'" / o'(t) dt = ß(x) - ß(O)

VP(o(t)) o

zunächst für 0 < x ::5 e für geeignetes e und dann nach dem Prinzip der analytischen Fortsetzung für alle x. Im Falle x = 1 erhält man speziell b - a. Dieses Element liegt im Gitter L, sofern in der Gleichung b = ±a+w das Pluszeichen gilt. Daß dies tatsächlich der Fall ist, muß man aus der bislang noch nicht verwendeten Voraussetzung h(O) = h(1) folgern.

3. Die Formel gilt für 0 < x < 1. Es liegt in ihrer analytischen Natur, daß man sie nur für kleine x beweisen muß. Zum Beweis könnte man sich auf Bemerkung 5.2 stützen. Einfacher ist jedoch die Integraltransformation t = 8-1/ 2 . Sie führt auf

'" 00

/ 1 dt=/ 1 dt mit y=x-2 • Vf=ti ../ 4t3 - 4t

o y

Das Integral auf der rechten Seite ist in der Normalform (92 = 4 und 93 = 0). Die Behauptung folgt nun leicht mittels des Additionstheorems der p-Funktion.

4. Wir parametrisieren die Ellipse durch

o(t) = a sin t + ib cos t, 0::5 t ::5 27r.

Die Bogenlänge 1(0) ist bekanntlich 2". 2". "./2 J la'(t)1 dt= J va2 cos2 t+b2 sin2 tdt=4a J V1-k2sintdt.

o 0 0

Dabei ist ../a2 - b2

k = -'---a

die sogenannte Exzentrizität der Ellipse. Substituiert man x = sin t, so erhält man die andere angegebene Form des Integrals.


1. Man betrachtet ein verschobenes Periodenparallelogramm, so daß der Nullpunkt in seinem Innern liegt. Das Integral von «(z) über den Rand in der üblichen Orientierung ergibt nach dem Residuensatz 27ri. Man vergleicht nun die Integrale über gegenüberliegende Seiten und erhält aus der Formel «(z + wj ) = «(z) + l1j die behauptete Identität.

2. Diese Funktion wurde bereits im IV.1 im Zusammenhang mit mit dem WEIERsTRAssschen Produktsatz eingeführt. Sie kann auch als MITTAG-LEFFLERsche Partialbruchreihe (IV.2) gedeutet werden.

3. Da in der Fundamentalmasche des Gitters L.,. genau eine Nullstelle liegt (§6), muß man nur zeigen, daß die Thetareihe in z = ~ verschwindet. Dies sieht man, indem man in der Thetareihe den Summationsindex n durch -1- n ersetzt.


4. Auf beiden Seiten steht bei festem a eine elliptische Funktion mit denselben Nullstellen (±a) und Polstellen. Daher stimmen sie bis auf einen konstanten Faktor überein. Für die Normierung benutzt man die Beziehung limz -+o z2(p(z)-p(a») = 1. Daß auf der rechten Seite dasselbe herauskommt, folgt aus den Relationen u(a) = -u(-a) und limz-+o(u(z)/z) = 1, welche unmittelbar aus der Definition folgen.

5. a) Da die Ableitung von ( periodisch ist, gilt (z + w) = (z) + 11", mit einer von z unabhängigen Zahl 11",.

b) Indem man von feine Linearkombination von Ableitungen p(m)(z-a), m ~ 0, abzieht, kann man erreichen, daß nur Pole erster Ordnung vorhanden sind. Mit Hilfe von ( (s. Teil a» beseitigt man auch diese und erhält schließlich eine elliptische Funktion ohne Pole, also eine Konstante.

6. Die Lösung ist fez) = 2p(z - bt ) + (z - bt ) - (z - b2).

7. a) Wegen der R-Bilinearität ist A durch die Werte A(I, 1), A(I, i), A(i, 1), A(i, i) eindeutig bestimmt. Da A alternierend ist, gilt A(I,I) = A(i, i) = 0 und A(I,i) = -A(i, 1). Daher ist A durch h = A(I,i) festgelegt.

b) Um h zu bestimmen, muß man 1 und i durch die Basis ausdrücken,

1 = ttWt + t2w2, i = 8t Wt + 82W2. Eine einfache Rechnung zeigt

I W2 __ 1_ d t (tt 8 t ) m - 2 2 e . W t 8 2 + t 2 t2 8 2

c) Im Falle e = ( wurde dies in Aufgabe 1 bewiesen. Der allgemeine Fall geht analog.

Lösungen der Übungsaufgaben zu V. 7

1. Einer der Einträge von M sei O. Nach eventueller Multiplikation von M mit S von rechts oder links oder von beiden Seiten kann man annehmen, daß c = 0 ist. Dann ist Moder -M eine Potenz von T. Man benutze noch, daß das Quadrat von S die negative Einheitsmatrix ist.

Seien nun alle Einträge von 0 verschieden, It minimal. Man kann annehmen, daß I' = lei gilt. Multipliziert man M von links mit TZ, so wird a durch a+xc ersetzt. Nach dem euklidischen Algorithmus kann man x E Z so finden, daß la + xci< It im Widerspruch zur Wahl von It gilt.

2. M = ST-3 ST-4 ST2• Die Darstellung ist nicht eindeutig.

3. Nur die Potenzen von S bzw. ST sind mit S bzw. ST vertauschbar.

4. Die Ordnung ist n = 6.

5. Das Gitter L = Z + iZ ist invariant gegenüber Multiplikation mit i. Es folgt Gk(L) = Gk(iL) = ikG(L). Insbesondere ist G2k (i) = 0 für ungerade k, also


93(i) = O. Das Gitter L = Z + e 2;. Z ist invariant gegenüber Multiplikation mit 2n'i . 2n'i . ..

e""3. Man schließt G k (e""3) = 0, falls k nIcht durch 6 teIlbar 1st.

6. Die letzte entscheidende Aussage kann man ohne Rechnung folgendermaßen auf den Einheitskreis zurückführen. Zu jeder komplexen Zahl ( vom Betrag 1 gibt es genau eine konforme Selbstabbildung des Einheitskreises, welche den Nullpunkt fest läßt und welche die Ableitung (hat. Diese Eigenschaft überträgt sich auf (lHI, i) anstelle von (JE,O), da es eine konforme Abbildung von lHI auf JE gibt, welche i in 0 überführt. Die Ableitung der angegebenen orthogonalen Matrix ist (cos cp + isincp)-2. Jede komplexe Zahl vom Betrag 1 ist von dieser Form. Da Mund -M dieselbe Substitution liefern, muß man noch beachten, daß auch die negative Einheitsmatrix orthogonal ist.


1. Der erste Punkt ist äquivalent mit i, der zweite mit 1/2 + 2i.

2. Man sollte sich klar machen, daß die obere Halbebene zusammenhängend ist, in dem Sinne, daß sie außer der leeren Menge und sich selbst keine in lHI offenen und abgeschlossenen Teile enthält. Außerdem wird benutzt, daß eine Menge A gen au dann abgeschlossen ist, wenn sie folgen abgeschlossen ist, wenn also der Grenzwert jeder in lHI konvergenten Folge schon in A enthalten ist.

3. Die behaupteten Formeln liest man unmittelbar aus der Definition (s. 8.2) der EISENsTEINreihe und aus den Transformationsformeln 8.3 ab. Insbesondere gilt

Gk(iy + 1/2) = Gk(iy -1/2) = Gk(iy + 1/2).

Die EISENSTEINreihen und j sind somit reell auf ReT = 0 und ReT = 1/2. Da die j-Funktion noch invariant unter r I--t -l/r ist, und da auf dem Rand des Einheitskreises -l/r = -7' gilt, folgt, daß j auch auf dem Rand des Einheitskreises reell ist.

4. Es gilt lim lJ.(r)/q = a1•

Imr-+CXJ

Da lJ.(r) und q auf der imaginären Achse reell sind, muß auch a l reell sein. Wenn a1 positiv ist, folgt

lim j(iy) = +00, lim j(iy + 1/2) = -00. Y-+OO Y-+OO

Die Behauptung folgt aus dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen. Im Falle a1 < 0 würde man analog schließen. (Er tritt aber nicht ein.)

5. Man benutze Aufgabe 5 aus §7.

6. Der Beweis gilt wörtlich, wenn man r = SL(2, Z) durch die von den beiden Matrizen erzeugte Untergruppe ersetzt.


Lösungen der Übungsaufgaben zu VI.l

1. Es gilt Mi = i {:::::::} (ai + b) = i(ci + d) {:::::::} a = d, b = -co

Wegen der Formel

M- 1 = (-~ -!) ist dies gleichbedeutend mit M' = M- 1 •

2. a) Man kann w = i annehmen und benutzt die Formel

i = (~-1 Jv) (~ -~) z. b) Die Wohldefiniertheit und Injektivität folgt aus Aufgabe 1, die Surjektivität

aus 2a).

Die Abbildung ist stetig nach Definition der Quotiententopologie. Um nachzuweisen, daß sie topologisch ist, muß man zeigen, daß sie offen ist. Aus Transitivitätsgründen genügt es zu zeigen, daß das Bild einer Umgebung U von E E SL(2, IR) unter der Abbildung M t-+ Mi eine Umgebung von i E lHI enthält. Zum Beweis braucht man nur die Dreiecksmatrizen (c = 0) in U zu betrachten.

3. Eine Richtung ist trivial: Wenn M elliptisch ist, so besitzt M einen Fixpunkt und dieser ist auch Fixpunkt jeder Potenz von M. Die Umkehrung ist etwas schwieriger. Man muß sich zunächst überlegen, daß Eigenwerte elliptischer Matrizen stets den Betrag 1 haben. Dies zeigt beispielsweise die Eigenwertgleichung

(a - .\)(d - .\) - bc = 0

unter Verwendung von ad - bc = 1 und la + dl < 2. Sei nun MI elliptisch und von ±E verschieden. Wir betrachten einen Eigenwert ( von M. Dann ist (I ein Eigenwert von MI. Dieser und damit auch ( selbst hat den Betrag 1. Da die Eigenwerte der reellen Matrix M ein Paar konjugiert komplexer Zahlen bilden, sind ( und (= Cl die bei den Eigenwerte von M. Wegen

Iq(MI)1 = 1,1 + tl < 2

ist ( von ±1 verschieden. Es folgt

Iq(M)1 = I( + (I< 2

und M ist elliptisch.

4. Man kann annehmen, daß i der Fixpunkt ist. Die Behauptung lautet, daß jede endliche Untergruppe von SO(2, IR) zyklisch ist. Diese Gruppe ist isomorph zur Gruppe SI der komplexen Zahlen vom Betrag 1, wie die Zuordnung

i<p (cos t.p sin t.p ) e I--t . -Slllt.p cost.p

zeigt. Die Gruppe SI ist isomorph zur Gruppe IR/&:. Ist G C SI eine endliche Untergruppe, so ist ihr Urbild in IR eine diskrete Untergruppe. Die Behauptung folgt nun aus der einfachen und bekannten Tatsache, daß jede diskrete Untergruppe von IR zyklisch ist.

Lösungen der Übungsaufgaben zu VI.3 501

Lösungen der Übungsaufgaben zu VI.2

1. Aus I(z) = I(Mz) folgt mittels der Kettenregel

j'(z) = j'(Mz)M' (z) = j'(Mz)(cz + d)-2.

2. Es gilt I' 9 - g' 1 = _12 (J ) , 3. Eine analytische Funktion 1 : D ~ C ist genau dann in einer geeigneten Umge

bung eines Punktes a E U injektiv, falls ihre Ableitung in a nicht verschwindet (111.3). Die j-Funktion ist injektiv modulo SL(2, Z). Sie ist daher in einer kleinen Umgebung eines vorgegebenen Punktes a E H genau dann injektiv, wenn dieser kein Fixpunkt der elliptischen Modulgruppe ist.

4. Eine bijektive Abbildung topologischer Räume ist genau dann topologisch, wenn sie stetig und offen ist. Nach Definition der Quotiententopologie definiert die jFunktion eine stetige Abbildung von Hlr auf C. Die Offenheit folgt aus dem Satz von der Gebietstreue.

5. Nennt man zwei Punkte aus dem Fundamentalbereich äquivalent, wenn sie durch eine Modulsubstitution ineinander überführt werden können, so erhält man eine Äquivalenzrelation auf:F. Zunächst ist klar, daß der Quotientenraum von :F nach dieser Äquivalenzrelation und HI r topologisch äquivalent sind. Die Äquivalenzen innerhalb des Fundamentalbereichs kennen wir. Man kann den Fundamentalbereich topologisch auf ein Quadrat abbilden, dem eine Ecke fehlt. Je zwei angrenzende Kanten sind miteinander zu verheften. Aus der Topologie ist bekannt, daß man so aus einem abgeschlossenen Quadrat ein Modell der Kugel erhält. Läßt man eine Ecke weg, so erhält man ein Modell der Ebene.

Dies ist zugegebenermaßen trotz anschaulicher Evidenz nur mühselig in einen exakten Beweis umzusetzen. Insofern ist die Aufgabe unfair. Im zweiten Band werden wir im Zusammenhang mit der topologischen Klassifikation der Flächen ein Instrumentarium entwickeln, solche Fragen anzugehen.

6. Am einfachsten argumentiert man mit Hilfe der j-Funktion. Wegen j(z) = j( -z) ist der Quotientenraum topologisch äquivalent mit dem Quotientenraum von C, den man erhält, wenn man w mit w identifiziert. Die obere und die untere Halbebene werden also längs der reellen Achse zusammengeklappt. (Im Gegensatz zur Aufgabe 5 ist es kein Problem, streng zu zeigen, daß das Resultat eine abgeschlossene Halbebene ist.)


1. Man schließt durch Induktion nach dem Gewicht. Als Induktionsbeginn kann das Gewicht 0 genommen werden. Bei dem Induktionsschritt nutzt man aus, daß jede Modulform positiven Gewichts ohne Nullstelle in der oberen Halbebene notwendig eine Spitzenform sein muß. Sie kann dann durch Ll geteilt werden.


2. Man studiert die Abbildung [r, k] --t Cdk , bei welcher einer Modulform das Tupel der ersten dk Entwicklungskoeffizienten zugeordnet wird. Die Behauptung lautet, daß diese Abbildung bijektiv ist. Da beide Seiten dieselbe Dimension haben, genügt es zu zeigen, daß sie injektiv ist. Ist f im Kern enthalten, so ist f j Lldk eine ganze Modulform vom Gewicht k-12dk . Aus der Formel für dk folgert man, daß in diesem Gewicht keine von 0 verschiedene ganze Modulform existiert.

3. Da j unendlich viele Werte annimmt, hat P unendlich viele Nullstellen. Dasselbe gilt (mit demselben Argument oder als Folge hiervon) für die Funktion G!jG~.

Sei L4a+6ß=k CaßG~G~ eine nichttriviale lineare Relation. Indem man mit einem geeigneten festen Monom multipliziert, kann man erreichen, daß k durch 6 teilbar ist. Dividiert man durch G~/6, so erhält man eine lineare Relation zwischen Potenzen von G! j G~.

4. Der Ansatz G~ - CLl führt zum Ziel.

5. Da eine meromorphe Modulform f nur endlich viele Pole im Fundamentalbereich hat, existiert nach Aufgabe 4 eine ganze Modulform h, so daß fh im Fundamentalbereich und damit in ganz JH[ keinen Pol hat. Nimmt man in h eine geeignete Potenz der Diskriminante auf, so kann man erreichen, daß 9 = hf auch in ioo regulär ist.

6. Man stelle eine vorgegebene Modulfunktion f gemäß Aufgabe 5 als Quotient f = gjh zweier ganzer Modulformen g, h gleichen Gewichts dar. Man kann erreichen, daß das Gewicht von 9 und h durch 6 teilbar ist. Es sei 6k. Wegen der Formel gjh = (gjG~)(hjG~)-l kann man h = G~ annehmen. Drückt man 9 als Polynom in G 4 und G6 aus, so sieht man, daß sich jede Modulfunktion als rationale Funktion in GVG~ und damit in j ausdrücken läßt.


1. Man benutze das Transformationsverhalten für den Imaginärteil V.7.1.

2. Wenn feine Spitzenform ist, so ist exp( -27riz)f(z) beschränkt in Bereichen y ~ ö > o.

3. Aus der Integraldarstellung

folgt konkret

1

an = J f(z)e-2rrinz dx

o

I I <C' 2rr k/2 an _ e n .

4. Eine einfache Abschätzung zeigt, daß die rechte Seite in der behaupteten asymptotischen Formel größer als Önm / 2- 1 mit geeignetem Ö > 0 ist. Die Differenz der

Lösungen der Übungsaufgaben zu VIA 503

beiden Seiten ist nach Aufgabe 3 von kleinerer Größenordnung, nämlich O{nfn / 4 ).

Wegen m ~ 8 gilt m/4 <: m/2 - 1.

5. Zieht man von einer Modulform ein geeignetes konstantes Vielfaches der EISENSTEINreihe ab, so erhält man eine Spitzenform. Wegen Aufgabe 3 muß man die Behauptung nur für die EISENSTEINreihe beweisen. Sie folgt leicht aus der in Aufgabe 4 angegebenen Formel.

6. Die Zeilen orthogonaler Matrizen haben die euklidische Länge 1. Wenn sie ganzzahlig sind, so sind es bis aufs Vorzeichen Einheitsvektoren. Man bekommt alle ganzen orthogonalen U dadurch, daß man die n Einheitsvektoren in beliebiger Reihenfolge untereinander schreibt und beliebige Vorzeichen anbringt. Es gibt 2n n! Möglichkeiten.

7. Man muß von folgendem Sachverhalt Gebrauch machen: Ist A eine ganze n x nMatrix mit von 0 verschiedener Determinante, so ist L = AZn ein Untergitter von zn vom Index Idet AI. Das Quadrat hiervon ist die GRAMsche Determinante einer assozüerten quadratischen Form.

a) Man betrachtet zunächst Ln zn. Dies ist der Kern des Homomorphismus

Zn -t Z/2Z, X I---t Xl + ... + X n mod 2,

und daher ein Untergitter vom Index 2 von zn. Für ungerades n ist Ln C Zn, die Determinante einer GRAMmatrix also 22 = 4. Wenn n gerade ist, liegt der Vektor e = (1/2, -1/2, ... ,1/2, -1/2) in Ln' und jeder Vektor a von Ln ist von der Form a = b oder a = e + b mit bELn n zn. Der Index von Ln n zn in Ln ist also 2, die Determinante einer GRAMmatrix somit 1. Das Gitter Ln ist also genau dann vom Typ 11, wenn n gerade ist und wenn (a, a) für alle a E Ln gerade ist. Mit a = e + b gilt offenbar (a, a) = n/4 mod 2. Das Gitter Ln ist also genau dann vom Typ 11, wenn n durch 8 teilbar ist.

b) Es gibt zwei Typen von Minimalvektoren:

Die ganzen Minimalvektoren enthalten zweimal den Eintrag ±1 und sonst lauter Nullen. Die nicht ganzen Minimalvektoren existieren nur im Falle n = 8. Sie enthalten nur ±1/2. Die Anzahl der positiven (negativen) Einträge muß gerade sein.

c) Einfacher als der Lösungshinweis ist folgendes Argument: Ls und damit auch Ls x Ls wird von Minimalvektoren erzeugt, Ll6 jedoch nicht.

8. Man drückt iJa,b durch die JAcoBlsche Thetafunktion (V.6) aus, . 2

iJa,b(Z) = e"'Q iJ(Z, b + za)

und nutzt aus, daß man deren Nullstellen kennt (Aufgabe 3 zu V.6). Wenn die Reihe verschwindet, so muß

a ß b+za="2+"2z, a=ß=1mod2,

gelten. Genau dieser Fall wurde ausgeschlossen.

9. Wenn man b modulo 1 abändert, so ändert sich die Thetareihe überhaupt nicht. Die Abänderung a 1--+ a + a, a E Z, wälzt man auf den Summationsindex ab, n 1--+ n - a. Die Reihe nimmt den Faktor exp( - 27riab) auf.


Man drücke wie bei der Lösung von Aufgabe 8 den Thetanullwert durch die JACOBIsche Thetareihe aus und wende die JACoBIsche Thetatransformationsformel an.

10. Sei M die angegebene endliche Menge von Paaren (a, b). Man zeigt zunächst: Zu jeder Modulsubstitution M existiert eine bijektive Selbst abbildung (a,b) 1-+ (a,ß) von M mit der Eigenschaft

iJa,b(Mz) = v(M,a,b)v'cz + diJa,(j(z)

mit einer achten Einheitswurzel v(M,a,b). Dies braucht man nur für die Erzeugenden der Modulgruppe nachzuweisen. Für die Involution folgt es aus (beiden Teilen von) Aufgabe 9. Mit (a, b) ist ein geeignetes ganzzahliges Translat von (b, -al in M enthalten. Für die Translation ist die Behauptung elementar. Eine gewisse Potenz von Lln(z) ist eine Modulform ohne Nullstellen und daher nach Aufgabe 1 aus §3 ein konstantes Vielfaches einer Potenz der Diskriminante. Daher ist eine Potenz von f = Ll!4/tl4n2 - 1 und damit f selbst konstant,

tln (Z)24 = Gtl(z)4n2 -1.

Zur Ermittlung der Konstanten G fasse man beide Seiten als Potenzreihen in exp ( ~~) auf und vergleiche die niedrigsten Koeffizienten. Dabei benutze man, daß der niedrigste Koeffizient eines Produktes von Potenzreihen gleich dem Produkt der niedrigsten Einzelkoeffizienten ist. Man erhält so

G. (211/2(4n2-1) = II (1 + e-1rib/ n) 24 = (2n)24. O<b<2n

b;o!n

11. Beim Auswerten der Quadratwurzel muß man beachten, daß der Hauptwert zu nehmen ist, wie in der Thetainversionsformel gefordert. Demnach ist v'1 = +1 und

(!; ~ ff+i ~ l+i 1I"i/4 --. ·vl+l= --·vl+I=--=e . I-I 2 v'2

Es ist e21rin/8 = 1 genau dann, wenn 8 ein Teiler von n ist.


1. Sei G q die von den beiden angegebenen Matrizen erzeugte Untergruppe. Es genügt zu zeigen, daß es zu jeder Matrix M E SL(2,R) eine Matrix N E Gq gibt, so daß die erste Spalte von NM der erste Einheitsvektor ist, denn dann ist NM eine Translationsmatrix. Wir wollen voraussetzen, daß dieses Resultat im Falle R = Z (q = 0) bekannt ist. Seien a, c E Z Repräsentanten der ersten Spalte von M. Aus der Determinantenbedingung folgt, daß (a, b, q) teilerfremd sind. Mit einem Schluß der elementaren Zahlentheorie zeigt man, daß schon a, c nach eventueller Abänderung modulo q teilerfremd sind. Dann läßt sich die aus a, c gebildete Spalte zu einer Matrix aus SL(2, Z) ergänzen und man nimmt für N ihre Inverse.


2. Man benutze die Aufgabe 1.

3. Der Ring Z/pZ ist für Primzahlen p ein Körper. Es gibt p2 - 1 von (0,0) verschiedene Paare. Um ein solches Paar zu einer invertierbaren Matrix zu ergänzen, muß man allen Paaren ausweichen, welche von diesem linear abhängig sind, also den p Vielfachen. Es gibt also (p2 - p) Ergänzungsmöglichkeiten.

Die Gruppe SL(2, R) ist der Kern des surjektiven Homomorphismus

GL(2, R) -4 R X , M t---+ det M.

4. Der Kern des Homomorphismus

Z/pm+1Z -4 Z/pmZ (m;::: 1)

besteht aus allen Elementen der Form apm, a E Z/pm+1z. Die Zuordnung apm 1-+ a, wobei a die Restklasse von a modulo p bezeichne, definiert einen Isomorphismus des Kerns auf Z/pZ. Diese Überlegungen übertragen sich auf die Gruppe GL(2), wenn man beachtet, daß eine 2 x 2-Matrix mit Koeffizienten aus Z/pm+1z genau dann invertierbar ist, wenn ihr Bild in Z/pmZ invertierbar ist. Da man Invertierbarkeit mit Hilfe der Determinante testen kann, folgt dies daraus, daß ein Element aus Z/pm+1z genau dann eine Einheit ist, wenn sein Bild in Z/pmZ eine Einheit ist.

Die angegebene Formel für die Ordnung von GL folgt nun durch Induktion nach m, die für SL hieraus mittels des Determinantenhomomorphismus.

5. Generell gilt GL(n,R1 ) x GL(n,~) = GL(n,R1 x ~).

6. Man zerlege q in Primfaktoren und benutze die Aufgaben 3 bis 5.

7. Aus JH[ = UMer MF folgt h

JH[ = U U MM .. F= U MFo· Mero .. =1 Mero

Für S kann man die Vereinigung der Ränder der M .. F nehmen.

8. Sei I eine Funktion auf der oberen Halbebene, so daß das Integral

I(f):= J I(z) d:~Y H

im LEBESGUESchen Sinne existiert. Aus der Transformationsformel für zweifache Integrale folgt

(*) I(f) = I(fM) mit IM (z) = I(Mz) (M E SL(2, IR»). Der Grund liegt darin, daß die in der allgemeinen Transformationsformel auftretende reelle Funktionaldeterminante von M gleich Icz + dl- 4 ist und sich genau gegen den Faktor weghebt, der bei der Transformation von y- 2 entsteht. Ist speziell I die charakteristische Funktion einer Menge AC JH[, so folgt v(A) = v(M(A». Insbesondere folgt in den Bezeichnungen von Aufgabe 7

v(Fo) = hv(F) = [r : rolv(F).

Eine elementare Rechnung zeigt, daß das Integral von y-2 über den Fundamentalbereich F erstreckt, genau den Wert 11"/3 hat.


Es bleibt die Invarianz des Integrals zu zeigen. Hierzu werden gewisse Grundkenntnisse über Integration benötigt:

Seien also Fo und F~ zwei Fundamentalbereiche von ro' Ausnahmemengen im Sinne von Aufgabe 7a) bezeichnen wir mit So und S~. Wir wollen

!/(Z)dXdY = !/(Z)dXdY

y2 y2 :Fo :F~

für eine gewisse Klasse von ro-invarianten Funktionen / zeigen. Diese Klasse bestehe aus allen stetigen ro-invarianten Funktionen mit folgenden beiden Eigenschaften:

a) Der Träger der Einschränkung von / auf:Fo - So ist kompakt.

b) Dasselbe gilt für (F~, S~) anstelle von (:Fo' So),

Mit Hilfe einer Zertrümmerung reduziert man nun die Behauptung auf den Fall, daß der Träger von / in folgendem Sinne klein ist: Es existiert eine Substitution ME ro, so daß das Bild des Trägers von / unter M in (F~, S~) enthalten ist. In diesem Fall kann man (*) anwenden. Die Zertrümmerung konstruiert man mit Hilfe eines Quadratenetzes wie in der Anleitung angedeutet, besser noch mit Hilfe der Technik der Zerlegung der Eins.

9. Zunächst operiert die volle Modulgruppe r auf K(ro)' Da der Normalteiler ro trivial operiert, wird eine Operation der Faktorgruppe induziert. Aus der Algebra weiß man, daß ein Körper stets endlich algebraisch über dem Fixkörper einer endlichen Gruppe von Automorphismen ist.

10. Man benutze die Erläuterungen zu Aufgabe 11 aus V.3.

11. Modulo q handelt es sich um Gruppen von Dreiecksmatrizen. Die Konjugation kann durch die Involution S erfolgen. Der Zusammenhang mit der Thetagruppe im Falle q = 2 folgt aus A5.5.

12. Man überlegt sich zunächst, daß r°[p] in der vollen Modulgruppe den Index p+ 1 hat:

SL(2, Z) = r°[p] (~ -~) u Q r°[p] (~ ~). Alle Translationsmatrizen führen zu einer Spitzenklasse.


1. Man hat zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem q gerade oder ungerade ist. Wenn q gerade ist, so kann r[q,2q] durch die Bedingungen a:= d:= Omodq und b := c := 0 mod 2q definiert werden. Es ist leicht nachzurechnen, daß hierdurch eine Gruppe definiert wird. Wenn q ungerade ist, so gilt r[q,2q] = r[q] n r[1, 2]. Man muß also nur wissen, daß r[I,2] eine Gruppe ist. Dies ist aber genau die Thetagruppe.


2. Transformiert man die Thetafunktionen {), i, i mit einer Modulsubstitution M E SL(2, Z), so wird das Tripel dieser drei Funktionen bis auf gewisse elementare Faktoren permutiert. Kodiert man die drei angegebenen Thetafunktionen in der angegebenen Reihenfolge mit den Ziffern 1,2,3, so erhält man einen Homomorphismus SL(2, Z) -+ 83 . Die Involution entspricht dabei der Transposition, welche 2 mit 3 vertauscht. Die Translation entspricht der Transposition, welche 1 mit 2 vertauscht. Da 83 von diesen beiden Transpositionen erzeugt wird, ist der Homomorphismus surjektiv. Da die drei Thetareihen Modulformen zur r[2] sind, ist diese Gruppe im Kern enthalten. Der induzierte Homomorphismus SL(2, Z/2Z) -+ 83

ist surjektiv und daher ein Isomorphismus aus Ordnungsgründen. Beide Gruppen haben die Ordnung 6.

3. Man nehme das Urbild der alternierenden Gruppe A3 bei dem in Aufgabe 2 beschriebenen Homomorphismus.

4. Die Zwischengruppen entsprechen genau den Untergruppen von SL(2, Z/2Z). Da diese Gruppe die Ordnung 6 hat, gibt es nur Untergruppen von den Ordnungen 1, 2, 3 und 6. Es gibt genau eine Untergruppe der Ordnung 1, drei konjugierte Untergruppen der Ordnung 2 und einen Normalteiler der Ordnung 3. Die Untergruppen der Ordnung 2 entsprechen in der Gruppe 83 unter dem angegebenen Isomorphismus den von den drei Transpositionen erzeugten Gruppen. Es gibt also genau 6 Zwischengruppen r[2] C r C r[l], nämlich r[2] selbst, die drei Konjugierten der Thetagruppe, die angegebene Untergruppe vom Index 2 und die volle Modulgruppe.

5. Die Behauptung ist eine unmittelbare Folgerung aus Theorem 6.3, da man weiß, wie sich die drei Basisthetafunktionen unter den Erzeugenden von riJ umsetzen.

6. Man verifiziert durch Überprüfen des Transformationsverhaltens und der konstanten Entwicklungskoeffizienten die Identitäten

G4 = «4)({)8 +:OS +J8), G6 = «6)({)4 + i 4 )({)4 +J4)(i4 - J\ 7. Seien

K := { (X, Y) E C x Cj X 4 + y 4 = 1, XY =1= o} und

{) i /= ß' g= ß·

Es ist zweckmäßig, die Funktion h := /8l zu betrachten. Diese Funktion ist invariant unter der Thetagruppe. Sie besitzt keine Nullstelle und definiert daher eine Abbildung

h:H/riJ ~C·. Man zeigt zunächst, daß diese Abbildung bijektiv ist. Dies kann analog zur Bijektivität der j-Funktion dadurch bewiesen werden, daß man man eine zur k/12-Formel analoge Formel für die Thetagruppe ableitet. Man kann das Resultat auf die Bijektivität der j-Funktion mit einem ähnlichen Schluß, wie er nun folgt, zurückführen. Wir führen die Einzelheiten nicht aus und nehmen an, die Bijektivität von h sei bewiesen. Man betrachte das kommutative Diagramm


H/ r[4, 8] <.!.:!; K (X, Y)

1 1 I H/re ~ C. XSyS

und berechne die Anzahl der Urbildpunkte unter den beiden Vertikalpfeilen. Die behauptete Bijektivität ist eine unmittelbare Folgerung aus dieser Anzahlbestimmung.

Lösungen der Übungsaufgaben zu VII.1

1. Das Gewicht ist 14. Es muß daher j'(zP(z) = CG4(Z)2Ga(Z) mit einer Konstanten C gelten. Diese kann man durch Vergleich der konstanten Entwicklungskoeffizienten ermitteln. Dazu braucht man die FORIERentwicklung der EISENSTEINreihen (1.3), vgl. auch Aufgabe 5 unten. Man erhält

2. Es muß

(211'i)13 C=

1728.8(4)2(6) .

G~2,d - G12,d' = AG!G~ + BG:Ga mit gewissen Konstanten A, B gelten. Diese können mittels der Entwicklungskoeffizienten der EISENSTEINreihen berechnet werden. Am besten geht man wie folgt vor: Da es sich um eine Spitzenform handelt, muß G~2,d-G12,d' = C,dG~Ga gelten. Man muß nur C bestimmen, da man weiß, wie sich L1 in G4 und Ga schreibt. Vergleich des ersten Entwicklungskoeffizienten zeigt

2(~~?25 _ 2(12)(211'i)13 = C(211')12 .8«4)2(6).

3. Sowohl der Struktursatz zusammen mit bekannten Werten der Zetafunktion als auch die Rekursionsformel aus Aufgabe 6 in V.3 führen zu der Formel

13· llG12 = 2 . 32G: + 52G~. 4. Über die Identität mit der EISENSTEINreihe erhält man für die Anzahl 240u3(5) =

30240.

Die Lösungen der Gleichung x~ + ... + x~ = 10 mit x E Ls (s. §4) sind:

7168 Lösungen, welche einmal ±2, sechsmal ±1 und einmal 0 entalten. 6720 Lösungen, welche zweimal ±2, zweimal ±1 und viermal 0 enthalten. 224 Lösungen, welche einmal ±3, einmal ±1 und sechsmal 0 enthalten. 7168 Lösungen, welche einmal ±5/2, einmal ±3/2 und sechsmal ±1/2 enthalten. Ein Vorzeichen ist durch die restlichen festgelegt. 8960 Lösungen, welche viermal ±3/2 und viermal ±1/2 enthalten. Ein Vorzeichen ist durch die restlichen festgelegt.

Es gilt tatsächlich

30240 = 7168 + 6720 + 224 + 7168 + 8960.

Lösungen der Übungsaufgaben zu VII.2 509

5. Trägt man die FouRIERentwicklungen der EISENSTEINreihen ein und benutzt man die Kongruenz

5d3 + 7d5 == Omod 12, so erhält man die Ganzzahligkeit der r(n). Die Ganzzahligkeit der c(n) ist eine Folge.

6. Die logarithmische Ableitung eines normal konvergenten Produkts ist gleich der Summe der logarithmischen Ableitungen der einzelnen Faktoren:

'I1'(z) = 1l'i _ ~ 21l'inexp21l'inz. 'I1(z) 12 L..J 1 - exp 21l'inz

n=1

Entwickelt man (1 - exp(21l'inz))-1 in die geometrische Reihe, so erhält man (41l')-IG2 in der Form 1.3.

Die beiden logarithmischen Ableitungen sind 'I1'(z)/'I1(z) + 1/(2z).

7. Aus Aufgabe 6 folgt, daß 'I1(Z)24 eine Spitzenform vom Gewicht 12 ist.

8. Die 24. Potenzen der beiden Seiten stimmen jedenfalls überein. Der Quotient der beiden Seiten ist eine analytische Funktion, welche nur 24. Einheitswurzeln als Werte annehmen kann. Aus Stetigkeitsgründen ist er konstant. Die Konstante ist 1 (q -+ 0).

9. Zunächst einmal ist N N

II<l- qn) = L n=1 k=O l$nt <···<n,.$N

Sortiert man nach festen n 1 + ... + nk und vollzieht man den Grenzübergang N -+ 00, so erhält man die behauptete Formel.


1. Zum Beweis der Aufgabe benötigt man die Abschätzung

In-s -m-si :51;;lln-CT _m-CTI, welche man unmittelbar aus der Integraldarstellung

m

-s -s Jt- S dt n -m =8

n

ableitet, indem man den Vorfaktor 8 durch 181 und den Integranden durch t- CT abschätzt.

Wir nehmen nun an, daß die DIRICHLETreihe in einem Punkt 8 1 konvergiert. Wir müssen die Konvergenz in der Halbebene 0" > 0"1 beweisen. Nach einer Variablentranslation dürfen wir wir 81 = 0 annehmen. Die Reihe ~ an konvergiert in diesem Falle.


Wir wollen das CAUCHYkriterium für unendliche Reihen anwenden und müssen hierzu für (große) m > n

m

abschätzen. Abelsche partielle Summation liefert m-I

S(n,m) = L A(n,v)(v-a - (v+ l)-a) +A(n,m)m- S

v=n

mit

Zu vorgegebenem e > 0 kann man wegen der Konvergenz von L: an ein N finden, so daß IA(n, m)l $ e für m > n 2: N. Mittels der eingangs formulierten Ungleichung erhält man

IS(n, m)1 :5 e (1+ 1;1 ~ {v-- - (v + 1)--») ~ e (1+ 1;1 (n-- - m--») .

Hieraus folgt die gleichmäßige Konvergenz in Bereichen, in denen Isl /0' nach oben beschränkt ist.

Zusatz. Die Ungleichung 0'0 2: 0'1 ist trivial. Wenn die Reihe in einem Punkt s konvergiert, so ist die Folge (ann- a ) beschränkt. Dann konvergiert die DIRICHLETreihe im Punkt s + 1 + e für beliebiges positives e absolut. Hieraus ergibt sich die zweite Ungleichung.

2. Man muß diese Relationen für die Teilerpotenzsummen a(n) == O'k_l(n) beweisen. Die Relation a) folgt aus der Tatsache, daß die Teiler von mn genau die Teiler von mund n sind und daß außer 1 kein gemeinsamer Teiler von mund n existiert.

Für die Relation b) benutze man, daß die Teiler von p'" gerade die p-Potenzen pi, j $ v, sind.

Entwickelt man (1 - p-S)-I und (1 - pk-I-B)-I jeweils in eine geometrische Reihe und multipliziert die beiden miteinander, so erhält man eine Reihe der Form L:::ob(p"')p-"'s. Man rechnet direkt b(p"') == O'k_1(P"') nach. Der Rest ergibt sich analog zur Produktentwicklung der Zetafunktion.

3. Die Matrix berechnet sich zu

( -v ~). -p JL

4. Man prüft das Transformationsverhalten unter den Erzeugenden nach. Bei der Translation z t-+ z + 1 bleibt f(pz) unverändert, die Terme in der Summe werden permutiert. Um das Verhalten unter der Involution zu bestimmen, schreibt man besser


Bis auf die notwendigen Vorfaktoren werden bei der Involution die beiden ersten Terme vertauscht, während die Terme der Summe wegen Aufgabe 3 permutiert werden.

5. Zum Beweis setze man die Formel aus Aufgabe 4 ein und verwende p-l

!. '" e2"~n,, = {l falls n == Omodp, p L...J 0 sonst.

11=0

6. Die Behauptung besagt, daß die Entwicklungskoeffizienten der normierten EISENSTEINREIHE einer Relation

a(pn) + pk-la(n/p) = A(p)a(n)

genügen. Nach Aufgabe 2 gilt diese Relation tatsächlich und zwar mit den Eigenwerten A(p) = a(p). Wenn p und n teilerfremd sind, handelt es sich um die Relation a), andernfalls muß man noch die Relation b) benutzen.

7. Man wende Aufgabe 5 zunächst für n = 1 an, danach für beliebiges n.

8. Die Konvergenz folgt aus der Abschätzung la(n)1 ~ Cnk - 1 (Aufgabe 5 aus VIA).

Aus der Rekursionsformel für a(pll) aus Aufgabe 7 folgt durch Ausmultiplizieren

(1 - a(p)x + p'-'.') (1+ ~ a(p")x" ) = 1.

Die auftretende Potenzreihe konvergiert für lxi < 1. Die Produktzerlegung D(s) = TI Dp(s) folgt aus der Relation a(nm) = a(n)a(m) für teilerfremde n, m durch gliedweises Ausmultiplizieren. Ähnlich wie bei der Produktentwicklung der Zetafunktion ist das formale Ausmultiplizieren des unendlichen Produkts zu rechtfertigen.

9. Daß Spitzenformen durch T(P) in Spitzenformen überführt werden, folgt unmittelbar aus der Definition (Aufgabe 4) durch Grenzübergang y -+ 00.

10. Aus der Formel für T(p) (Aufgabe 4) folgt

l1<z)1 ~ pk-11/(Pz)1 + ~ ~ 1I (z; v) I

und hieraus

Ig(z)1 ~ p~-1 Ig(pz)1 + pi-1 ~ Ig ( z; v) I. Es folgt Ig(z) I ~ pt- 1(l + p)m und die gewünschte Abschätzung. Ist 1 eine nicht identisch verschwindende Eigenform, so gilt m = A(p)m. Es folgt die gesuchte Abschätzung für A(p).

Wenn man zwei Nichtspitzenformen hat, so kann man eine Linearkombination bilden, welche Spitzenform ist. Wenn die beiden Nichtspitzenformen Eigenformen eines T(p) sind, so stimmen die Eigenwerte überein. Folgedessen ist auch die kombinierte Spitzenform eine Eigenform zu demselben Eigenwert 1 + pk-l. Sie muß daher Null sein, denn für k ~ 4 und beliebiges p gilt pt -1 < 1 + pk-l.



1. Die Reihe liegt in dem Raum {1,2k,(-1)k}. Nach dem Hauptsatz 3.4 ist dieser isomorph zu [1, 2k, (_1)k]. Dies ist der Raum der Modulformen vom Gewicht 2k. Im Falle k = 1 verschwindet dieser, in den Fällen k = 2, 3, 4 ist er eindimensional und wird von der EISENSTEINreihe aufgespannt. Jetzt kann man sich auf Aufgabe 2 aus VII.2 stützen.

2. Der Beweis erfolgt ähnlich wie der von Aufgabe 1. Man muß neben 3.9 eine Charakterisierung von iJk, k < 8, benutzen, wie sie sich etwa aus Aufgabe 5 in VI.6 ergibt.

3. Die Diskriminante ist bis auf einen konstanten Faktor die einzige Modulform vom Gewicht 12, deren Entwicklungskoeffizienten von der Größenordnung O(n11 ) sind.

4. In der ersten Reihe stimmen die Teilreihen von 0 bis 00 und -1 bis -00 überein, wie die Substitution n -+ -1-n zeigt. Die Terme mit geradem n = 2m der zweiten Reihe ergeben die Terme von 0 bis 00 der dritten Reihe. Entsprechend ergeben die Terme mit ungeradem n = 2m + 1 die Terme der dritten Reihe von -1 bis -00.

Die Darstellung von j als Ableitung der JACoBIschen Thetafunktion ausgewertet an der Stelle w = 1/4 ist über die dritte Formel für j klar. Jetzt differenziere man die Thetatransformationsformel nach w und spezialisiere anschließend w = 1/4.

5. Man schreibt j in der Form

00 2"'(2n+1)2

j(z) = ~) -1)n(2n + 1)e 8

n=O

und erhält die assoziierte DIRICHLETreihe in der Form 00 00

n=O n=O

Die Funktionalgleichung für D E {8,3/2, 1} gemäß 3.2 ist identisch mit der gesuchten Funktionalgleichung für L.

6. Die Funktionalgleichung der RIEMANNschen Zetafunktion und die Funktionalgleichung für L(s) aus Aufgabe 5 in Verbindung mit der LEGENDRESchen Relation IV.1.12 der Gammafunktion ergeben die gewünschte Funktionalgleichung für «(s)L(s). Der Normierungsfaktor ergibt sich durch Grenzübergang u -+ 00.


1. Man definiert zunächst J.t(n) durch die angegebenen Formeln. Die Konvergenz der DIRICHLETreihe mit Koeffizienten p,(n) für u > 1 ist klar. Wegen der Eindeutigkeit der Entwicklung in DIRICHLETreihen lautet die Behauptung

~ ~ . ~ J.t(n) = 1. L..J n B L..J nS

n=l n=l

Lösungen der Übungs aufgaben zu VIIA 513

Dies bedeutet, daß C(N) = Z=:=1P,(n) im Falle N = 1 gleich 1 ist und im Falle N > 1 verschwindet. Wegen der offensichtlichen Relationen p,(nm) = p,(n)p,(m) und C(nm) = C(n)C(m) für teilerfremde m,n kann man sich aufPrimzahlpotenzen N = p'" beschränken. Im Falle m > 0 besteht die Summe aus zwei Termen 1 und -l.

2. Wenn die behauptete Formel für die Intervalle [x, y] und [y, z] bewiesen ist, so gilt sie auch für das Intervall [x, z]. Aus diesem Grunde genügt es, die Formel für solche Intervalle zu beweisen, in deren Innerem keine natürliche Zahl enthalten ist. Dann ist die Funktion A(t) im Innern dieses Intervalls konstant und die Behauptung leicht zu verifizieren.

3. In §4 wurde gezeigt, daß die ersten beiden Formen äquivalent sind und daß die dritte aus den ersten beiden folgt. Wenn man den Beweis genau analysiert, wird auch die Umkehrung klar.

4. Die Konvergenz der DIRICHLETreihe mit den Koeffizienten cp(n) für (J' > 2 folgt aus der trivialen Abschätzung cp(n) ~ n. Die behauptete Identität

00 00 00

n=1 n=1 n=1 ist äquivalent mit der bekannten Relation

LCP(d) = n. dln

5. Eine formale Rechnung, welche nachträglich gerechtfertigt wird, ergibt

Llog(1-p-S) = LP-s + LL ~p-V8. p P v2:2

Die Doppelreihe konvergiert sogar im Bereich (J' > 1/2, wie ein Vergleich mit der Zetafunktion zeigt. Die erste Reihe auf der rechten Seite wird durch die nach Voraussetzung konvergente Reihe Z=p-1 majorisiert. Insgesamt bleibt diese Reihe bei Annäherung an 1 beschränkt. Da sie ein Logarithmus der Zetafunktion ist, bliebe auch die Zetafunktion selbst bei Annäherung an 1 beschränkt.

6. Im Bereich (J' > 1 gilt die Identität

(1- 21- 8 )((8) = ~ (-1t- 1

L...J n S

n=1 Nach dem LEIBNIzschen Konvergenzkriterium für alternierende Reihen konvergiert die rechte Seite für reelle (J' > o. Aus Aufgabe 1 von VII.2 folgt, daß durch die rechte Seite sogar eine analytische Funktion in (J' > 0 definiert wird. Nach dem Prinzip der analytischen Fortsetzung gilt diese Identität auch in dieser Halbebene.

Die alternierende Reihe ist im Intervall] 0, 1[ stets positiv, der Vorfaktor vor der Zetafunktion negativ.

7. Aus dem Primzahlsatz folgt zunächst leicht

lim log7r(x) =l. "'-400 logx


Setzt man in dieser Relation für x die n-te Primzahl Pn ein, so folgt wegen lI"(Pn ) = n

lim nlogn = 1. n-+oo Pn

Sei nun umgekehrt diese Relation erfüllt. Zu vorgegebenem x > 2 betrachten wir die größte Primzahl Pn unterhalb x. Es gilt also Pn :5 x < Pn +1. Aus der Annahme folgt leicht

() lim _x_= lim x =1. * :c-+oonlogn :c-+ooll"(x)logll"(x) Durch Logarithmieren folgt

lim (logll"(x) + log log 11" (x) -logx) = o. "'-+00

Dividiert man durch log lI"(X) , so erhält man

1· log X 1 1m = 0:-+00 log 11" (x)

und mit (*) den Primzahlsatz.


1. Die LAuRENTentwicklung existiert nach dem allgemeinen Entwicklungssatz 5.2 aus Kapitel 111. Es bleibt zu zeigen, daß 'Y := lims-+1 (((s) - .':1) die EULERMASCHERoNIsche Konstante 'Y (s.S.198) ist. Nach Hilfssatz 5.2 gilt

00 1 1 / ß(t)

1= 2" - F(I) = 2" - t2 dt.

1

Die Behauptung folgt nun aus der Formel N N

" .!. -log N = .! + _1 - f ß(t) dt ~ n 2 2N t2 n=1 1

durch Grenzübergang N -* 00. Die benutzte Formel beweist man durch partielle Integration (vgl. mit dem Beweis von 5.2).

2. Die beiden Umformungen (im Konvergenzbereich (J' > 1) sind klar. Die Reihe E(-1)n-1n-8 konvergiert nach dem LEIBNIzkriterium für alternierende Reihen zunächst für reelle s > o. Nach Aufgabe 1 aus VII.2 konvergiert sie dann in der Halbebene (J' > 0 und stellt dort eine analytische Funktion dar. Daher ist (s) in den Bereich (J' > 0 mit Ausnahme der Nullstellen von 1 - 21-. fortsetzbar. Mit Hilfe von Q(s) zeigt man ähnlich die Fortsetzbarkeit in (J' > 0, wobei jetzt die Nullstellen von 1 - 31-. auszuschließen sind. Die einzige gemeinsame Nullstelle ist s = 1. Das Residuum ist

lim s -1 00 (-lt- 1

8-+1 1 - 21-. L n n=l


Der Wert der alternierenden Reihe ist bekanntlich log 2, der gesamte Limes wird somit 1.

3. Aus der Funktionalgleichung in symmetrischer Form

71'-!y re; S)({1_ s) = 71'-!r(i)((s) und dem Ergänzungssatz für die Gammafunktion in der Form

r(.!..±!.)r(~) _ 71' 2 2 -sin(';s+~)

folgt

((1 - s) = r(Dr( s; 1 )71'-.-t sin (~s + ~:) ((s). Die Behauptung ergibt sich nun aus der Verdoppelungsformel (IV.1.12).

4. a) Der Pol von ((s) wird durch den Vorfaktor s - 1 kompensiert. Der Pol von r(s/2) bei 0 durch den Vorfaktor s, die restlichen Pole durch die Nullstellen der Zetafunktion (Aufgabe 3).

b) Dies ist die Funktionalgleichung der Zetafunktion, wenn man beachtet, daß der Vorfaktor s(s - 1) derselben Funktionalgleichung genügt.

c) Man zeige 4>('8) = 4>(s) und benutze die Funktionalgleichung.

d) Man benutze ((0) = -1/2 sowie lims-to sr(s/2) = 2.

e) Keiner der Faktoren hat eine Nullstelle im Bereich 0' ~ 1, s =f:. 1. Wegen d) hat also 4> in der abgeschlossenen Halbebene 0' ~ 1 keine Nullstelle. Aus der Funktionalgleichung folgt, daß auch in 0' ~ -1 keine Nullstelle vorhanden ist. Die Symmetrien folgen aus der Funktionalgleichung in Verbindung mit 4>('8) = 4>(s).

5. Man orientiere sich an dem ersten Teil des Beweises von Theorem 3.4.

6. Da die Funktion t(l- e-t)-l nach oben beschränkt ist, folgt die Konvergenz des Integrals aus der des Gammaintegrals. Zum Beweis der Formel entwickle man (1 - e-t)-l in eine geometrische Reihe und integriere gliedweise, was sich leicht rechtfertigen läßt. Der n-te Term ergibt gerade r(s)n- s •

7. Man benutze die HANKELsche Integraldarstellung der Gammafunktion (Aufgabe 17 aus IV.l) und gehe ähnlich wie in Aufgabe 6 vor.


1. In Aufgabe 1 aus VII.4 wurde die MÖBIUSfunktion und ihr Zusammenhang mit dem Inversen der Zetafunktion eingeführt. Die Voraussetzungen des TAUBERsatzes sind erfüllt:

Zunächst sind die Koeffizienten an := /L( n) + 1 tatsächlich nicht negativ. Zu I muß man neben der analytischen Fortsetzung der Zetafunktion benutzen, daß ((s) auf Res = 1 keine Nullstelle hat. 11 folgt aus den Abschätzungen 5.1 der Zetafunktion nach oben und unten. Das Residuum {! ist 1.


2. Man will den Residuensatz anwenden. Im Falle 0 < y ~ 1 klingt der Integrand stark ab für 10"1 ~ 00, 0" > O. Da in diesem Bereich der Integrand analytisch ist, verschwindet das Integral. Im Falle y ~ 1 hat man das Abklingen in 0" ~ 2. Das Integral ist also gleich dem Residuum des Integranden an der Stelle s = O. Dieses Residuum ist gleich log y, wie man mittels der Reihenentwicklung yS = 1 + slogy + ... zeigt.

3. Dies ist der Spezialfall k = 0 von 6.7. Man kann ihn nocheinmal direkt mit Hilfe der vorhergehenden Übungsaufgabe ableiten.

4. Der Beweis von 3.4 läßt sich problemlos übertragen.

5. Wie in Aufgabe 4 orientiere man sich am Beweis von 3.4. Die benötigte Thetatransformationsformel findet man in VI.4.8.

6. Der Beweis beruht auf der Formel 00

(' (s) J t/J(x) d fü' 1 - «s) = s x s+1 x r 0" > ,

1 welche man mittels der ABELschen Identität aus Aufgabe 2 in VII.4 beweisen kann. Eine einfache Umformung ergibt

00

4'(8) := - ('(s) __ 1_ = J t/J(x) - x dx für 0' > 1. s«s) s - 1 x s+1

1

Aus dem Primzahlsatz in der Form t/J(x) = x + o(x) folgert man aus dieser Integraldarstellung für festes t

lim (0' - 1)4'(0' + it) = O. 0'-+0

Hätte die Zetafunktion eine Nullstelle bei s = 1 + it, so hätte 4' an dieser Stelle einen Pol erster Ordnung im Widerspruch zu dieser Grenzwertaussage.

7. Die summatorisehe Funktion Sr(n) := Ar (1) + ... + Ar(n) ist gleich der Anzahl der Gitterpunkte 9 E zr, welche in der (abgeschlossenen) Kugel vom Radius ..j1i enthalten sind. Man legt an jeden dieser Gitterpunkte einen Einheitswürfel [91,91 + 1] x ... x [9r,9r + 1]. Sei Vr(n) die Vereinigung dieser Würfel. Das Volumen von v,,(n) is gerade Sr(n). Offenbar ist v,,(n) in der Kugel vom Radius ..j1i + y'r enthalten und enthält die Kugel vom Radius .fii - y'r. Asymptotisch sind die Volumina dieser Kugeln gleich dem Volumen der Kugel vom Radius ..j1i, also Vr ..j1i r •

Nun betrachte man die EpSTEINsche Zetafunktion zur r-reihigen Einheitsmatrix E,

00

(E(S) = L(9~ + ... + g~)-S = L Ann-·. n=1

Die DIRICHLETreihe D(s) := (E(s/2) erfüllt die Voraussetzungen des TAUBERsatzes mit (s. Aufgabe 5)

7rr / 2 7rr / 2

(! = r(r/2)r/2 = r(r/2 + 1)'

Literatur

Die folgende Auswahl von Lehrbüchern erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Weiterführende und ergänzende Literatur, sowie Orginalarbeiten und Literatur zur Geschichte der Funktionentheorie werden in getrennten Abschnitten zusammengestellt.

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Index

Abbildungseigenschaften 119 ff Abel, N. H. 26, 251, 295, 302 abelsche Gruppe 380 Abelsche Identität 434 - partielle Summation 26 Abelsches Theorem 295,343 abgeschlossen 31, 32 abgeschlossene Hülle 33 Ableitung der GammaIunktion 191 absolut konvergent 18, 117, 405 - konvergentes Produkt 196 absolute Invariante 310, 311, 312,

316, 318, 321, 337, 338, 403 Additionstheorem 251 - der p-Funktion 282 - - elliptischen Funktionen 286 - - Exponentialfunktion 19 - für p' 286 Additionstheoreme der hyperbolischen

Funktionen 24 - - Winkelfunktionen 7, 20 Aerodynamik 59 affine Kurve 385 affiner Raum 276 Algebra der Modulformen 339, 342 algebraische Differentialgleichung 272 - - der p-Funktion 272,280 - Kurve 273ff allgemeine Cauchysche Integralformel

240 - Version des Residuensatzes 244 analytisch 45 analytische Fortsetzung 120, 435 - Landschaft 56,433 - Quadratwurzel 245 - Zahlentheorie 386 analytischer Logarithmus 245

- Zweig des Logarithmus 79 analytisches Gebirge 56 Anschmiegungssatz von Mittag-LefHer

222 Anzahl der Nullstellen 169 Anzahlformel für Null- und Polstellen

170 äquivalente Gitter 305 Äquivalenzklassen von Gittern 305,

309 Argument 7 Argumentprinzip 171 Assoziativgesetz 2 Äußeres einer geschlossenen Kurve

162 außerwesentlich singulär in ioo 330 außerwesentliche Singularität 131,

155 Automorphiefaktor 360 Automorphismengruppe 127,232 - der Einheitskreisscheibe 127 - - oberen Halbebene 313 - - Zahlenebene 158 - - Zahlkugel 158 - eines Gebietes 224

Babylonische Identität 351 Berechnung der Umlaufzahl 249 - uneigentlicher Integrale 176 Bergsteiger 57 Bernoulli, J. 115 Bernoullische Zahlen 115, 184 Besselfunktion 118, 151 Besselsche Differentialgleichung 151 Bestimmung der Umlaufzahl 162 BetaIunktion 207 Betrag 5

526

Binet, J. P. M. 151 Binetsche Formel 151 Binomialreihe 26 binomische Formel 8 Bogenlänge 65 bogenweise zusammenhängend 70 Bohr, H. 208 Bolzano, B. 33 Borei, E. 32, 99 Brücke 413

Caratheodory, C. 125 Casorati, F. 134 Cauchy, A.-L. 11, 19, 24, 61, 77, 87,

106,107, 108, 110, 117, 163 Cauchy-Hadamardsche Formel 117 Cauchy-Riemannsche Differential

gleichungen 40,43, 57, 108 Cauchy-Riemannscher Zugang zur

Funktionentheorie 107 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung 11 Cauchyfolge 24 Cauchykern 107 Cauchysche Abschätzungsformeln

118, 143 - Integralformel 87 Cauchyscher Hauptwert 176 - Integralsatz 74, 141, 236, 240 - - ,Homologieversion 240 - - ,Homotopieversion 236 - - für Dreieckswege 74 - - für Ringgebiete 141 - - für Sterngebiete 77 - Multiplikationssatz für Reihen 19,

110 Cayley, A. 15, 60 Cayley-Zahlen 15 Cayleyabbildung 60, 232 Charakter 58, 361, 380 Charakterisierung der r-Funktion

194,206 - - Exponentialfunktion 58 - - Riemannschen (-Funktion 423,

424 - von {)T 394 Charakterrelation 381 Chinesischer Restsatz 374 Clausen, Th. 28 Conrey, J. B. 454 Cramersche Regel 352 Creile-Journal 28

Index

Darstellungsanzahlen quadratischer Formen 386

Darsteilungssatz 343 Dedekindsche 'f/-Funktion 404 definierende Relation 384 Deligne, P. 355 Determinante 306 dicht 134 Differentialgleichung 48 - der p-Funktion 251, 272, 280 - - Besselfunktionen 151 Dimension des Vektorraums der

Modulformen 341 Dimensionsformel 341 Dinghas, A. 249 Dinosaurier 250 Dirichlet, P. G. L. 26,452 Dirichlet-Integral 136 Dirichletreihe 405, 414, 443 - mit Funktionalgleichung 413 Dirichletscher Primzahlsatz 426 diskret 119 ff, 121, 128, 252, 260 Diskriminante 289, 310, 311, 312,

313,316,320,337,340,347,403,404 Distributivgesetz 2 Divisor 368 doppelt periodisch 253, 254 Drehstreckung 42, 52, 60, 252, 305 Dreiecksfläche 73 Dreiecksungleichung 5, 11 Dreiecksweg 73 Dritter Liouvillescher Satz 258

Ebene affine Kurve 273ff,275 - projektive Kurve 277 Eindeutigkeit der analytischen

Fortsetzung 120 - - Potenzreihenentwicklung 107 einfach zusammenhängend 81,236,

237, 245, 250 einfacher Pol 132 Einheitengruppe 217 Einheitskreislinie 10, 63 Einheitskreisscheibe 224, 245 Einheitswurzel 8, 328, 360 Eisenstein, F. G. M. 264, 391 Eisensteinreihe 268, 273 ff, 280, 311,

313,314,336,387,389,390 Elementargebiet 79, 80, 160, 223,

232, 233, 237, 244, 245 elliptisch 328

Index

elliptische Funktion 251, 253, 303 - Kurve 279 - Modulform 321 - Modulgruppe 305, 308, 312, 321,

322,329 elliptischer Fixpunkt elliptisches Integral

327 251, 287

287 - - erster Gattung Eistrodt, J. 413 endlich dimensional 340 endlicher Index 357 - Ordnung 413 - Teil 277 Epstein, P. 455 Epsteinsche (-Funktion 455 Erdös, P. 454 Ergänzungsformel 282 Ergänzungssatz der r-Funktion 200 Erster Liouvillescher Satz 254 Erzeugende der elliptischen Modul-

gruppe 312 - - Hauptkongruenzgruppe r[2]

373 - - Thetagruppe 361,371 Euklid 452 Euler, L. 185, 190, 198, 200, 207,

291, 405, 409, 410, 428, 452 Euler-Mascheronische Konstante 198,

205, 440 Eulerprodukt 428 Eulersche cp-Funktion 434 - Betafunktion 207 - Formeln für «(2k) 185 - Produktentwicklung 410 - Produktformel für 1/ r 206 - Zahlen 118 Eulersches Integral erster Gattung

207 - - zweiter Gattung 190 - Pentagonalzahlentheorem 405 Existenzsatz für analytische

Logarithmen 79 - - analytische Wurzeln 79 Exponentialfunktion 19, 20, 47, 58 Extremalproblem 227

Fagnano, G. C. Faktorgruppe faktoriell 217 Fakultät 193 Fermat, P. de

251,291 252,254

10

Fermatsche Primzahl 10 Fibonacci-Zahlen 151 Fixpunkte einer elliptischen Modul

substitution 328

527

- - konformen Selbstabbildung der Einheitskreisscheibe 126, 186

- - Möbiustransformation 159 Fixpunktgleichung 328 Folge der Partialsummen 17 folgenkompakt 33 Folgenkriterium 29 Formel von Cauchy-Hadamard 117 Fourieranalyse 136 Fourierentwicklung 149, 330, 344,

367 - der Diskriminante 320, 403 - - Eisensteinreihen 389 - - j-Funktion 403 - einer Modulform 331 Fourierkoeffizienten 149 Fourierreihe 149, 414 Fouriertransformierte 85 Fundamentalbereich 317,318,322,

337 - der Modulgruppe 317 Fundamentalmenge der Thetagruppe

370, 371, 395 Fundamentalsatz der Algebra 1, 10,

84, 92, 125, 129, 172 Funktionaldeterminante 43 Funktionalgleichung der Dirichletreihen

414 - - Epsteinschen (-Funktion 456 - - Exponentialfunktion 19 - - Gammafunktion 193 - - Riemannschen (-Funktion 423,

424,441,442

Gammafunktion 190, 221 Gammaintegral 191, 416 ganz rational 155 - transzendent 155 ganze Funktion 91, 155 - Modulform 335, 336, 364 Ganzzahligkeit der Umlaufzahl 167,

237 Gauß, C.F. 95,198,199,452 Gaußsche 'l/J-Funktion 207 - Multiplikationsformel 206 - Produktentwicklung der

Gammafunktion 199

528

- Zahlenebene 6 Gebiet 70, 123 gebrochen lineare Substitution 308 - - Transformation 157 geometrische Reihe 18 Gerade 283 gerade elliptische Funktion 270 - Matrix 352 geschlitzte Ebene 32, 38, 40, 48 geschlossene Kurve 73 Geschlossenheitsrelation 168 Gitter 214, 252, 253, 260, 305, 348,

354 Gitterpunktanzahlen 386 glatte Kurve 63 gleichgradig stetig 228 gleichmäßig konvergent 99 - stetig 33 gleichmäßige Approximation 99 Goursat, E. J.-B. 74 Grenzwertbegriffe 35 großer Satz von Picard 135 Grundmasche eines Gitters 254 Gruppe 157, 306 - der konformen Selbst abbildungen

127, 158, 224, 232 Gudermann, C. 202 Gudermannsche Reihe 202 Gutzmer, A. 118 Gutzmersche Ungleichung 118

Hadamard, J.L. 115,117,453 halbganzes Gewicht 357 Halbwerte der p-Funktion 266 Hamburger, H. L. 424 Hamilton, W. R. 15 Hamiltonsche Quaternionen 15 Hankel, H. 208 Hankeische Integraldarstellung von 1/ r

208 Hardy, G. H. 454 harmonische Funktion 48 ff, 129, 245 - Reihe 105 Häufungspunkt Häufungswert Hauptcharakter

32,34,252 33

361 Hauptideal 217 Hauptkongruenzgruppe 357 Hauptteil der Laurentzerlegung 140 Hauptteilverteilung 219 Hauptwert des Arguments 7,22

- - Logarithmus 23, 109 Hauptzweig des Arguments 30

Index

- - Logarithmus 21, 22, 30, 48, 67, 78, 195

hebbare Singularität 130, 135, 144, 155

Hecke, E. 355, 356, 386, 411, 415, 424,455

Heckeoperator 411, 413 Heine, H. E. 32, 33, 99 Heine-Borelscher Überdeckungssatz

99 holomorph 45 homöomorph 224, 237 homogen 277 homolog 243,250 Homologieversion des Cauchyschen

Integralsatzes 240 homotop 235 Homotopie 235 Homotopieversion des Cauchyschen

Integralsatzes 236 l'Hospital, G.-F.-A. de 138 Hurwitz, A. 170

Ideal 217 Identitätssatz für analytische

Funktionen 120 - - Potenzreihen 110 Igusa, J. 322, 377, 379 imaginäre Einheit 4 Imaginärteil 4 implizite Funktion 46 Index 160, 357, 525 Ineinandersetzen von Potenzreihen

112 Injektivität der j-Funktion 337 innerer Punkt 32 Inneres einer geschlossenen Kurve

162 Integralberechnung mit Hilfe des

Residuensatzes 174 Integralformel 87 Integrallogarithmus 432 Integralsatz 74, 77, 141, 236, 240 integrierbar 62 Integritätsbereich 123, 211, 217 Intervall 70 Intervallschachtelung 75 Inversion an der Einheitskreislinie 14 Invertieren von Potenzreihen 110

Index

irreduzibel 15, 217 isolierte Singularität 129 ff

Jacobi, C. G. J. 40, 251, 302, 344, 346, 399, 403

Jacobi-Abbildung 40, 52 Jacobi-Matrix 42 Jacobische Thetareihe 322, 350 - Thetarelation 378, 384 - Thetatransformationsformel 343,

344 j-Funktion 310, 311, 312, 316, 318,

337, 338, 403 Jordan, C. 328 Jordankurve 248 Jordansche Normalform 328 - Ungleichung 137 Jordanscher Kurvensatz 249 Joukowski, N. J. 59 Joukowski-Funktion 59 Joukowski-Kutta-Profile 59

Kern der Exponentialfunktion 20 Kettenregel 37 Klassifikation der Singularitäten 135,

144 klassische Stirlingsche Formel 205 Klein, F. 310 kleiner Riemannscher Abbildungssatz

223 Koinzidenzmenge 120, 121 kommensurable Gitter 269 Kommutativgesetz 2 Kommutatorgruppe 378 kompakt 31 - konvergent 99 komplex ableitbar 35 - differenzierbar 35 komplexe Exponentialfunktion 18 - Fourierreihe 149 komplexer Kosinus 18 - Sinus 18 komplexes Integral 61 - Kurvenintegral 61 konform 127, 223 - äquivalent 223, 231, 245 - im Großen 52, 81, 223 - - Kleinen 52 konforme Abbildung 52, 81 - Selbstabbildung der Einheitskreis

scheibe 126, 127

529

- - der oberen Halbebene 307, 313 - - der Zahlenebene 158 - - eines Gebietes 127, 224, 232 Kongruenzgruppe 358, 384, 385 Kongruenzklasse 354, 356 konjugiert 329 - harmonische Funktion 49,50 - komplexe Zahl 4 konjugierte Gruppe 358 konjugiertes Multiplikatorsystem

362,363 konvergentes Produkt 196, 197 Konvergenzabszisse 406 konvergenzerzeugende Faktoren 209,

211 - Summanden 218,263 Konvergenzhalbebene 406, 410 Konvergenzkreis 104 Konvergenzkreisscheibe 104 Konvergenzradius 104, 109 konvex 73 konvexe Hülle 73, 95 Körper 1, 153 - der elliptischen Funktionen 269 - - komplexen Zahlen 2, 13, 15 - - meromorphen Funktionen 154,

158, 211, 253 - - Modulfunktionen 338 - - rationalen Funktionen 338 Körperaxiome 2 Kosinussatz 11 Kotangens 25, 387 Kreisbogen 333 Kreisringsegment 77, 141 Kreisteilungsgleichung 10 kreisverwandt 159 Kühlturm 433 Kurve 63 Kurvenintegral 61, 64, 233 k/12-Formel 332

Lage von Nullstellen 173 Lagrange, J. L. 12,403 Lagrangesche Identität 12 Lambert, J. H. 115 Lambertsche Reihe 115 Landau, E. 102, 406, 429 Laplace-Operator 48 - in Polarkoordinaten 58 Laplacesche Differentialgleichung 48 Laurent, P. A. 140

530

Laurententwicklung 143 - der p-Funktion 267 Laurentreihe 143, 259 Laurentzerlegung 139, 140 Lebesgue, H. 416, 446, 449 Lebesguesche Zahl 229 Legendre, A.-M. 190, 201, 207, 452 Legendresche Relation 201 Leibnizsche Regel 88 Lemniskate 291 Leutbecher, A. 247 Levi, B. 416 Liouville, J. 91, 94, 156, 252, 254,

256, 258, 321, 332 logarithmische Ableitung 299 - Reihe 105 lokal gleichmäßig konvergent 99, 101,

229,230 - konstant 45,70 lokales Abbildungsverhalten 124 Lösbarkeit quadratischer Gleichungen

12 Lösung einer Hauptteilverteilung 219 - - Nullstellenverteilung 211 Lucas, F. 95

Mangoldt, H. von 454 Mangoldtsche Funktion 429 Mannigfaltigkeit 309 Matrizenmultiplikation 41 Maximumprinzip 124 - für beschränkte Gebiete 129 Mellin, H. 419 Mellin-Integral 418 Mellinsche Umkehrformel 419 meromorphe Funktion 152, 154, 156,

252 - Modulform 331,364 Mertens, 27 Minimumprinzip 125 Mittag-LefHer, M. G. 218 Mittag-LefHersche Partialbruchreihe

219 Mittelwertgleichung 88 Möbius, A.F. 434 Möbiussche /L-Funktion 434, 455 Möbiustransformation 157, 159, 306 Modulfigur 317,322,396 Modulform 321, 335, 343, 364, 385,

422 Modulfunktion 252, 313, 316, 337,

365 Modulgruppe 305, 322 Mollerup, J. 208 Monom 341, 378 Montel, P. A. A. 230 MordeIl, L. J. 413 Morera, G. 91, 108 Morera-Bedingung 108 multiplikative Eigenschaften 407 Multiplikatorsystem 359, 378

Nachbarbereich 326

Index

Nebenteil der Laurentzerlegung 140 Netz 234 Nichtspitzenform 340, 413 Niveaulinie 56 normal konvergent 98, 101, 143, 197 - konvergentes Produkt 197 Normalteiler 358, 377 Normgebiet 224 n-te Wurzel 12 Nullfolge 16 nullhomolog 239 nullhomotop 236, 239, 245 Nullstellen der (-Funktion 433, 441 - - Jacobischen Thetareihe 303 Nullstellen von p' 265 Nullstellenordnung 132, 258 - einer elliptischen Funktion 258 nullstellenzählendes Integral 172 nullteilerfrei 123, 217

Obere Halbebene 13, 306, 307, 309, 311,313,316,317,322,330

offen 31,32 Operation auf den Spitzen 358 - - der oberen Halbebene 322 Operation einer Gruppe 379 Ordnung 257, 327, 367 - einer elliptischen Funktion 257 - - Nullstelle 132, 258 - - Polstelle 132, 258 - - Singularität 132 - eines elliptischen Fixpunktes 3:;!7 orientierter Schnittwinkel 69 - Winkel 11 orientierungstreu 42, 52, 60, 69 orthogonale Matrix 354

Parallelogrammidentität 11 Parallelstreifen 149

Index

Partialbruchentwicklung des Kotangens 169, 182, 201

- von 1/ sin 219 Partialbruchreihe 262 Partialbruchsatz von Mittag-Leffier

218 Partialbruchzerlegung 95 - rationaler Funktionen 156 Partialsumme 17 partielle Ableitung 42 - Integration 63 Pentagonalzahl 347, 405 Periodengitter 260 Periodenparallelogramm 254 Periodentorus 254, 265 periodische Funktion 149 Permanenz der Funktionalgleichung

121 Permanenzeigenschaften der komplexen

Ableitung 36 Permutation 382 Petersson, H. 362 Pflasterung 247, 456 Picard, E. 135 Poincare, H. 60, 232 Pol 131, 135, 144, 155, 252 Polar koordinaten 6, 22 Polordnung 132 Polstelle 131 Polstellenordnung 132, 258 Polynom 1, 10, 13, 15, 30, 37, 92,

125, 129 Polynomring 342,385 positiv (definit) 349 Potentialfunktion 48 Potenzregeln 23 Potenzreihe 38, 104 Potenzreihenentwicklungssatz 106 Primelement 217 Primfaktorzerlegung 408 primitiv 14 primitive n-te Einheitswurzel 14 Primzahl 10, 408, 427, 452 Primzahlsatz 430, 431, 452, 453 Primzahlverteilung 427 Pringsheim, A. 74 Produktentwicklung der

Gammafunktion 195, 199 - - Sinusfunktion 200,214 projektiver Abschluß einer Kurve

278

- Raum 275, 276 Prym, F. E. 221 punktierte Kreisscheibe 129 punktweise Konvergenz 97

Quadratische Form 348 Quotientenkörper 153, 211 Quotiententopologie 339

Ramanujan, S. 413 Ramanujan-Petersson-Vermutung

355

531

Ramanujansche r-Funktion 403, 413, 425

Ramanujanvermutung 404, 413 Randpunkt 118 rationale Funktion 95, 153, 156 Raute 337 Realteil 4 Rechenregeln für das Berechnen

spezieller Residuen 165 =--- - das Rechnen mit Potenzreihen

110 - - die Umlaufzahl 167 Rechnen mit komplexen Potenzen 23 Rechteckgitter 280 reell-analytisch 122 Regel von de l'Hospital 138 Regelintegral 61 regulär 45,330, 423 reguläre Kurve 69 regulärer Randpunkt 118 Reihe 17, 18,25,26 rein imaginär 4 Residuenformel 163, 165 Residuensatz 160, 163 Residuum 163, 168 Restgliedabschätzung 432 Restklassenring 15 reziproke Kurve 71 Riemann, B.G.F. 102,107,130,224,

406,423,432,442,449,453 Riemann-Sphäre 157 Riemannsche (-Funktion 102, 185,

406,423,424,427,428 - Fläche 337, 359, 368 - Form 304, 305 - Vermutung 432, 454 - Zahlkugel 157, 245, 277, 338 Riemannscher Abbildungssatz 223,

224

532

- Hebbarkeitssatz 130 Riemannsches Integral 61 Ring der analytischen Funktionen

122,217 - - Modulformen 322 Ringgebiet 77, 139, 146, 231 RoucM, E. 172

Satz für implizite Funktionen 46, 171 - von Bohr-Mollerup 208 - - Bolzano-Weierstraß 33 - - Casorati-Weierstraß 134, 338 - - der Gebietstreue 123, 171 - - Fubini 90 - - Gauß-Lucas 95 - - Hecke 415, 442, 455 - - Heine 33 - - Heine-Borel 32 - - Liouville 91 - - Mertens 27 - - Mittag-Lefller 222 - - Montel 230 - - Morera 91 - - Picard 135 - - RoucM, E. 172 - - Siegel 355 Schiefkörper 15 Schwarz, H. A. 11, 95, 125 Schwarzsches Lemma 125 - Spiegelungsprinzip 95 Selberg, A. 454 Siegel, C. L. 355 Sigma-Funktion 216, 297, 304 singulärer Randpunkt 118 Singularität 129 ff, 130, 132 - in ioo 331 - - 00 154 Solidarität 121 Spiegelung an der Einheitskreislinie

14 Spitze 358, 423 Spitzen von Kongruenzgruppen 358 Spitzenform 339, 340, 364 Spitzenklasse 358, 359, 376 Sprachkunst 134 Stabilisator 323, 327 Stammfunktion 61, 72, 77, 245 Standardabschätzung für Integrale

65 Standardbilinearform 354 Standardskalarprodukt 52

Index

stereographische Projektion 157, 158 Sterngebiet 76, 77, 79, 83 Sternmittelpunkt 76 stetig 28 - differenzierbar 44 stetige Deformation 235 stetiger Zweig des Logarithmus 85 Stetigkeit 28, 29, 31 - der Umkehrfunktion 30,32 Stirlingsche Formel 201, 204 Struktursatz für K(L) 271 - - diskrete Untergruppen 260 - - Modulformen 341,379,385 - - Modulfunktionen 338 stückweise glatte Kurve 64, 65, 70 Substitutionsregel 63 summatorisehe Funktion 429, 434,

444, 448, 456 symmetrische Gruppe 83 385

Tangens 25 Tangentialabbildung 40 Taubersatz 443 Taylor 108 Taylorkoeffizient 106 Taylorreihe 106, 108 Taylorsche Formel 109 Teleskoptrick 25 Thetafunktion 251, 304 Thetagruppe 361, 369, 372, 376, 395 Thetamultiplikatorsystem 362 Thetanullwert 356 Thetareihe 300, 302, 343 topologisch äquivalent 224, 237 Torus 252, 255, 273 ff total ableitbar 40 - differenzierbar 40,42 totales Differential 40 Trümmerstück 375 Transformation durch reziproke Radien

14 Transformationsformel für Residuen

169 Transformationsinvarianz des

Kurvenintegrals 65 transitive Operation 329, 358 Translationsgitter 321 Tschebyscheff, P. L. 453 Tschebyscheff-Funktion 429 Tschebyscheffsche Thetafunktion 430 Typ-lI-Gitter 354, 355, 356

Index

Ufer 442 Uhrzeigersinn 66 Umgebung 32 Umkehren von Potenzreihen 113 Umkehrfunktion 30, 251, 287 - eines elliptischen Integrals 287,

290 Umlaufzahl 160, 167, 237, 249 Umordnen von Potenzreihen 112 Umordnung 390 uneigentlich integrierbar uneigentliches Integral unendlich ferner Punkt - - Teil 277 unendliche Reihe 17

190, 191 176 279,338

unendliches Produkt 195, 196 Unendlichkeitsstelle 252 unimodular 352 - äquivalent 352 unimodulare Klasse 352 - Matrix 352 Untergruppe 357 - von endlichem Index 357,361 unzerlegbar 217

V alh~e-Poussin, C. de la 433, 453 Variante des Ersten Liouvilleschen

Satzes 261 - - Liouvilleschen Satzes 156 Vektorraum 271, 339 verallgemeinerte Cauchysche

Integralformel 245 - - Integralformeln 90 verallgemeinerte Kreislinie 159 - Thetatransformationsformel 350 verallgemeinerter Cauchyscher

Integralsatz 245 Verallgemeinerung der Cauchyschen

Integralformel 165 - des Ersten Liouvilleschen Satzes

261 Verdoppelungsformel 206 - der p-Funktion 282 - für den Lemniskatenbogen 291 - von Fagnano C. 291 verschärfte Dreiecksungleichung 11 Vertauschbarkeit von Differentiation

und Grenzwertbildung 100 - - - und Summation 101 - - Integration und Limesbildung

100

Vertikalkante 333 Vertikalstreifen 414 Verzweigungspunkt 259, 267 Vogon 533

533

Volumen der Einheitskugel 207, 456 - - Grundmasche 261 Volumen des Fundamentalbereichs

374

Wachstum der r-Funktion 204,418 Wachstumslemma für Polynome 84 Wallis, J. 216 Wallissche Produktformel 216 Weierstraß, K. 33, 97, 100, 101, 107,

110, 111, 134, 140, 210, 216, 263, 264, 298

Weierstraßprodukt 211, 212, 298 Weierstraßsche u-Funktion 216, 297,

304 - p-Funktion 216, 221, 262, 264,

270, 290, 302 - (-Funktion 216, 302 - Elementarfaktoren 211, 216 - Normalform 289 Weierstraßscher Approximationssatz

100 - Doppelreihensatz 111 - Majorantentest 98, 101 - Produktsatz 210, 212 - Zugang zur Funktionentheorie 107 Werte der (-Funktion 185, 316 wesentliche Singularität 134, 135,

144, 155 Wieland, H. 194 Windungszahl 160 Winkel 7 Winkelbereich 202, 204 winkeltreu 42, 52, 60, 69 Wirtinger , W. 60 Wirtingerkalkül 60

Zaphod 533 Zerlegung von Prym 221 Zirkel und Lineal 10, 291 ZPE-Ring 217 zusammenhängend 46,70,246 Zusammenhangskomponente 246 Zwangsnullstelle 383 Zweig des Logarithmus 79 Zweiter Liouvillescher Satz 256 zyklische Gruppe 14, 260, 330

Date post:	30-Aug-2019
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Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben - link.springer.com978-3-662-07349-0/1.pdf ·...

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