Date post: | 06-Apr-2015 |
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€
rAB = rA − rB
€
rv A =
dr r A
dt;
€
rv B =
dr r B
dt
€
rv AB =
dr r AB
dt=
r v A −
r v B
€
rv BA = vB − vA = −
r v AB
€
z
€
rr AB
€
rr A
€
rr B
€
x
€
y€
A
€
B
§3 Bewegte Bezugssysteme
Relativkoordinate:
Relativgeschwindigkeit:
§3.1 Relativbewegung
E1 WS14/15
€
′ y €
z
€
€
ru ⋅ t
€
x
€
y
€
z′
€
€
′ x
€
A
€
rv =
dr r
dt
€
r′ v =d
r ′ r
dt
€
′ rv =r v −
r u
€
′ ra =d ′
r v
dt=
dr v
dt=
r a
€
r = x, y,z{ }
€
′ r = ′ x , ′ y , ′ z { }
€
′ rr =r r −
r u ⋅ t
€
′ x (t) = x(t) − ux ⋅ t
′ y (t) = y(t) − uy ⋅ t
′ z (t) = z(t) − uz ⋅ t
′ t = t
⎧
⎨ ⎪ ⎪
⎩ ⎪ ⎪
⎫
⎬ ⎪ ⎪
⎭ ⎪ ⎪
€
rr = ′
r r +
r u t
r v = ′
r v +
r u ⇒
r a = ′
r a und
r F = ′
r F
t = ′ t
§3.2 Inertialsysteme
O
O‘
O‘ bewege sich mit konstanter Geschwindigkeit u bezüglich O
u << c
u=const
Zwischen den in den beiden Inertial-systemen O und O‘ gemessenen Grössen für die Bewegung des Massenpunktes A gelten die Galilei-Transformationen
Beide Beobachter kommen in Inertialsystemenzu den gleichen physikalischen Gesetzenz.B. freier Fall
€
z = h −1
2gt 2
€
′ z = h −1
2gt 2
€
x = u ⋅t
€
′ x = 0z‘
h
x‘
€
u
AA
zh
x
Inertialsysteme sind für die Beschreibung physikalischer Gesetze äquivalent
E1 WS14/15
€
z
€
z′
€
rr
€
x
€
r′ r
€
′ x €
′ S
€
y
€
S
€
A
€
′ y
€
x = ′ x + u0t + 12 at 2
y = ′ y
z = ′ z
t = ′ t
€
x ′ 0 t( )( ) = u0t + 12 at 2
€
a = dudt
§ 3.3 Beschleunigte Bezugssysteme
Bsp.: Geradlinig beschleunigte Bezugssysteme
Bsp.: Fahrstuhlexperimente
O‘ kein Inertialsystem!Auftreten von Scheinkräften!!
E1 WS14/15
Scheinkräfte im beschleunigtenFahrstuhl
E1 WS14/15
€
rr =
r ′ r
€
y€
A
€
ˆ e x€
ˆ e z
€
ˆ e y
€
z
€
x
€
x − y − Ebene
€
rr t()=xt()⋅ˆ e x+yt()⋅ˆ e y+zt()⋅ˆ e z
€
rv t()=
dx
dt⋅ˆ e x+
dy
dt⋅ˆ e y+
dz
dt⋅ˆ e z
€
r′ r t()=rt()=′ x t()⋅ˆ ′ e x+′ y t()⋅ˆ ′ e y+′ z t()⋅ˆ ′ e z
€
r′ v t()=
d′ r r
dt=
d′ x
dt⋅ˆ ′ e x+
d′ y
dt⋅ˆ ′ e y+
d′ z
dt⋅ˆ ′ e z
Bsp.: Rotierende Bezugssysteme
O=O‘
€
rv ′ x , ′ y , ′ z ( ) =
d ′ x
dt⋅ ˆ ′ e x +
d ′ y
dt⋅ ˆ ′ e y +
d ′ z
dt⋅ ˆ ′ e z
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟+ ′ x
d ˆ ′ e xdt
+ ′ y d ˆ ′ e ydt
+ ′ z dˆ ′ e zdt
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟=
r ′ v +
r u
Der Beobachter im rotierenden System O‘ beschreibt A:
Für den Beobachter im ruhenden System O ändern sich auch die Einheitsvektoren des Rotienrenden Systems.
€
ˆ ′ e x€
ˆ ′ e z
€
ˆ ′ e y
€
′ z
€
′ y
€
′ x €
ω
€
′ x − ′ y − Ebene
E1 WS14/15
€
d ˆ ′ e xdt
=r ω × ˆ ′ e x
€
d ˆ ′ e ydt
=r ω × ˆ ′ e y
€
d ˆ ′ e zdt
=r ω × ˆ ′ e z
Die Endpunkte der Einheitsvektoren im rotierenden System beschreiben Kreisbahnen:
€
=> r
u =r ω × ˆ ′ e x( ) ′ x +
r ω × ˆ ′ e y( ) ′ y +
r ω × ˆ ′ e z( ) ′ z
€
= rω × ˆ ′ e x ′ x + ˆ ′ e y ′ y + ˆ ′ e z ′ z ( )
€
= rω × r′ r
€
= rω × r
r
€
weilr r ≡
r ′ r
€
rv =
r ′ v +
r ω ×
r r ( )
Geschwindigkeit im rotierenden System
Geschwindigkeit im ruhenden System
E1 WS14/15
€
ra =
dr v
dt=
dr ′ v
dt+
r ω ×
dr r
dt
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
dr ′ v
dt= ˆ ′ e x
dr ′ v x
dt+ ˆ ′ e y
dr ′ v y
dt+ ˆ ′ e z
dr ′ v z
dt
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟+
d ˆ ′ e xdt
r ′ v x +
d ˆ ′ e ydt
r ′ v y +
d ˆ ′ e zdt
r ′ v z
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
= r′ a +
r ω ×
r ′ v ( )
Für w = const:
€
ra =
dr v
dt=
r ′ a +
r ω ×
r ′ v ( ) +
r ω ×
r v ( )
€
ra =
r ′ a + 2
r ω ×
r ′ v ( ) + ω ×
r ω ×
r r ( )
€
r′ a =r a + 2
r ′ v ×
r ω ( ) +ω ×
r r ×
r ω ( )
€
r′ a =r a +
r a c +
r a zf
Der Beobachter in O‘ muss zur Beschrei-bung der Bewegung von A zusätzliche Beschleunigungsterme einführen!
CoriolisbeschleunigungZentrifugalbeschleunigung
E1 WS14/15
€
ra c = 2
r ′ v ×
r ω ( )
€
ra zf =
r ω ×
r r ×
r ω ( )
€
Fc = 2mr ′ v ×
r ω ( )
€
Fzf = m ⋅r ω ×
r r ×
r ω ( )
Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf dieMasse m in A
Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinaten-systems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf!
E1 WS14/15
€
ra c = 2
r ′ v ×
r ω ( )
€
ra zf =
r ω ×
r r ×
r ω ( )
€
Fc = 2mr ′ v ×
r ω ( )
€
Fzf = m ⋅r ω ×
r r ×
r ω ( )
Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf dieMasse m in A
Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinaten-systems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf!
€
′ y
€
rr
€
z′ = z
€
rω
€
′ x
€
A
€
rv
€
vC
€
v⊥
€
ra zf
€
ra c
€
a ′ y c
€
a ′ x c
E1 WS14/15
€
ra c = 2
r ′ v ×
r ω ( )
€
ra zf =
r ω ×
r r ×
r ω ( )
€
Fc = 2mr ′ v ×
r ω ( )
€
Fzf = m ⋅r ω ×
r r ×
r ω ( )
Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf dieMasse m in A
Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinaten-systems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf!
€
′ y €
z′ = z
€
′ x
€
rω
€
r′ v
€
rr
€
A
€
⋅
€
⋅
€
⋅
€
⋅
€
rr ×
r ω ( )
E1 WS14/15
€
ra c = 2
r ′ v ×
r ω ( )
€
ra zf =
r ω ×
r r ×
r ω ( )
€
Fc = 2mr ′ v ×
r ω ( )
€
Fzf = m ⋅r ω ×
r r ×
r ω ( )
Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf dieMasse m in A
Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinaten-systems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf!
€
′ y €
z′ = z
€
′ x
€
rr
€
A
€
ra zf
€
rω
€
r′ v ×
r ω ()
€
⋅
€
⋅
€
r′ v Zentrifugalkraft steht senkrecht auf w
E1 WS14/15
€
ra c = 2
r ′ v ×
r ω ( )
€
ra zf =
r ω ×
r r ×
r ω ( )
€
Fc = 2mr ′ v ×
r ω ( )
€
Fzf = m ⋅r ω ×
r r ×
r ω ( )
Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf dieMasse m in A
Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinaten-systems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf!
€
′ y €
z′ = z
€
′ x
€
rr
€
A
€
ra zf
Corioliskraft steht ebenfalls senkrecht auf , w tritt aber nur auf, wenn v‘ eine Komponente senkrecht zu w hat.
€
rω
€
r′ v
€
ra c
Zentrifugalkraft steht senkrecht auf w
E1 WS14/15
E1 WS14/15
€
tanα=FZ
FG
=dh
dr=
mrω
mg
2
=ω
g
2
r
Exp.: Rotierender Eimer
Im Gleichgewicht wirken keine tangentialen Kräfte mehr auf die Wasseroberfläche
€
=>h(r)=1
2
ω
g
2
r2
+h0r
FG
Fz
€
ω h
E1 WS14/15
Corioliskraft bestimmt den Drehsinn der Tiefdruckgebiete und Stürme
Hurricane Floyd
Typhoon Yasi