Date post: | 06-Apr-2015 |
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Rückblick §3.2
€
rr =
r ′ r
€
y€
A
€
ˆ e x€
ˆ e z
€
ˆ e y
€
z
€
x
€
x − y − Ebene
€
rr t( ) = x t( ) ⋅ ˆ e x + y t( ) ⋅ ˆ e y + z t( ) ⋅ ˆ e z
€
rv t( ) =
dx
dt⋅ ˆ e x +
dy
dt⋅ ˆ e y +
dz
dt⋅ ˆ e z
€
r′ r t( ) = r t( ) = ′ x t( ) ⋅ ˆ ′ e x + ′ y t( ) ⋅ ˆ ′ e y + ′ z t( ) ⋅ ˆ ′ e z
€
r′ v t( ) =d ′
r r
dt=
d ′ x
dt⋅ ˆ ′ e x +
d ′ y
dt⋅ ˆ ′ e y +
d ′ z
dt⋅ ˆ ′ e z
Bsp.: Rotierende Bezugssysteme
O=O‘
€
rv ′ x , ′ y , ′ z ( ) =
d ′ x
dt⋅ ˆ ′ e x +
d ′ y
dt⋅ ˆ ′ e y +
d ′ z
dt⋅ ˆ ′ e z
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟+ ′ x
d ˆ ′ e xdt
+ ′ y d ˆ ′ e ydt
+ ′ z dˆ ′ e zdt
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟=
r ′ v +
r u
Der Beobachter im rotierenden System O‘ beschreibt A:
Für den Beobachter im ruhenden System O ändern sich auch die Einheitsvektoren des Rotienrenden Systems.
€
ˆ ′ e x€
ˆ ′ e z
€
ˆ ′ e y
€
′ z
€
′ y
€
′ x €
ω
€
′ x − ′ y − Ebene
Gaub 1WS 2014/15
Rückblick §3.2
€
d ˆ ′ e xdt
=r ω × ˆ ′ e x
€
d ˆ ′ e ydt
=r ω × ˆ ′ e y
€
d ˆ ′ e zdt
=r ω × ˆ ′ e z
Die Endpunkte der Einheitsvektoren im rotierenden System beschreiben Kreisbahnen:
€
=> r
u =r ω × ˆ ′ e x( ) ′ x +
r ω × ˆ ′ e y( ) ′ y +
r ω × ˆ ′ e z( ) ′ z
€
= rω × ˆ ′ e x ′ x + ˆ ′ e y ′ y + ˆ ′ e z ′ z ( )
€
= rω × r′ r
€
= rω × r
r
€
weilr r ≡
r ′ r
€
rv =
r ′ v +
r ω ×
r r ( )
Geschwindigkeit im rotierenden SystemGeschwindigkeit im ruhenden System
€
=>d
r r
dt=
dr ′ r
dt+
r ω ×
r r ( )
€
=>d
r L
dt=
dr ′ L
dt+
r ω ×
r L ( )
Gaub 2WS 2014/15
Die Euler‘schen Gleichungen
€
dr L
dt
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟R
=r D
R: Raumfestes System
€
=d
r L
dt
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟K
+r ω ×
r L R=K( )K: Körperfestes Hauptachsen-
System (rotiert mit )w
siehe Kapitel 3ausgeschriebenfür Achse a:
€
D =d
r L
dt
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟a
+r ω ×
r L ( )
a
€
=d
dtIa ωa( ) + ωb Lc −ωc Lb( )
€
=Ia
dωa
dt+ ωb Ic ωc −ωc Ib ωb
Euler‘sche Gleichungen:
€
Da = Ia
dωa
dt+ Ic − Ib( ) ωc ωb
Db = Ib
dωb
dt+ Ia − Ic( ) ωa ωc
Dc = Ic
dωc
dt+ Ib − Ia( ) ωb ωa
Im Allgemeinen sind w und L nicht colinear => Bewegung komplex!
3
Der kräftefreie symmetrische Kreisel
Kreisel ohne äußeres Drehmoment => L= const.Bsp.: Fahrradkreisel
€
rω ||r L
Ist der Körper rotationssymmetrisch bzgl. einer Achse c, so heißt sie Figurenachse. Dann ist .
Bei Rotation um die Figurenachse ist
€
Ia = Ib
Gaub 4WS 2014/15
Der kräftefreie symmetrische Kreisel
zu unterscheidende Achsen:
Drehimpulsachse (raumfest)
momentane Drehachse (nicht raumfest)
Figurenachse (nur raumfest wenn identisch mit Drehimpulsachse)
€
rc
€
rω
€
rL
Der kräftefreie symmetrische Kreisel
Drehimpulserhalt. =>
€
Lx2 + Ly
2 + Lz2 = const.
Die Gleichungen stellen eine Kugel und einen (um rotierenden) Ellipsoiden dar.
€
rL
€
La2
Ia
+Lb
2
Ib
+Lc
2
Ic
= const.Energieerhaltung =>
Beide Bedingungen müssen gleichzeitig erfüllt sein!
=> Die Spitze von L wandert auf der Schnittlinie beider Figuren
Da Trägheitsellipsoid körperfest und L raumfest wandert Figurenachse cim raumfesten System => Nutation
Sichtbarkeit der momentanen Drehachse =>
6
Der kräftefreie symmetrische Kreisel
Da gilt (Euler):
€
rD = 0
€
˙ ω a + Ω ωb = 0
˙ ω b − Ω ωa = 0
˙ ω c = 0
Nutationsfrequenz:
€
Ω=ωc
Ic − Ia
Ia
€
ωa = A cos Ωt( )
ωb = A sin Ωt( )
ωc = C
Sei Ia=Ib
Ansatz:
€
ωa2 +ωb
2 +ωc2 = A2 +C2
Winkel zwischen Figuren- und Drehimpulsachse:
Zerlegt man und w
€
rL
€
rL = Ia ω⊥
r e ⊥+ Ic ωc
r e c
€
tanα =Ia ω⊥
Ic ωc
=Ia A
Ic ωc
€
mitr e ⊥= cos Ωt( )
r e a +sin Ωt( )
r e b
Þ Die Figurenachse wandert auf dem Nutationskegel mit Öffnungswinkel 2α, die momentane Drehachse ω auf dem Rastpolkegel mit Öffnungswinkel 2( -b a) um die raumfeste Drehimpulsachse L.
€
ω⊥ = ωa2 +ωb
2 = A
€
Ωt
a
b
w
€
sinβ =ω⊥
ω=
A
ω
Winkel zwischen Figuren- und moment. Drehsachse:
7
Der kräftefreie symmetrische Kreisel
Die Bewegung von Figuren- momentaner Drehachse lässt sich mit dem Gangpolkegel veranschaulichen:
Gaub 8WS 2014/15
Präzession des symmetrischen Kreisels
€
rD =
r r × m
r g
Auf einen symmetrischen Kreisel, der sich um seine Figurenachse dreht ( ω||L||r ) und der außerhalb seines Schwerpunkts unterstützt wird, wirkt das Drehmoment:
€
D =dL
dt= L
dϕ
dt
€
=>ωP =dϕ
dt=
D
L=
D
I ωPräzessionsfrequenz:
Daraus resultiert:
€
r L =r D ⊥
r L
=> nur die Richtung von L ändert sich:
Ist die Kreiselachse um den Winkel α gegen die Vertikale geneigt, so ist:
€
D = r m g sinα
€
dr L = L sinα dϕ=> wp unabhängig von der
räumlichen Orientierung der Kreiselachse, nur bestimmt durch L und D
€
ωP =r m g sinα
I ω sinα=
r m g
I ω
Ist ωp nicht mehr klein gegen ω, geht auch die Winkelgeschwindigkeit der Figurenachse mit in die Präzession ein:
Präzession des symmetrischen Kreisels
€
rω = rω F +r ω P
€
re F =
sinϑ cosϕ
sinϑ sinϕ
cosϑ
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
€
rω F =ωr e F
€
rω P = ˙ ϕ
0
0
1
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
€
=> rω =
ω sinϑ cosϕ
ω sinϑ sinϕ
ω cosϑ + ˙ ϕ
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
€
rω || =r e F
r e F
r ω ( ) =
r e F ω + ˙ ϕ cosϑ( )
€
=> rω ⊥ =
re F ×(
r ω ×
r e F ) = ˙ ϕ sinϑ
−cosϑ cosϕ
−cosϑ sinϕ
sinϑ
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
€
rω = rω || +r ω ⊥
Zerlegung von w bezgl. Figurenachse
Mit der Annahme, dass der Kreisel nicht „umkippt“( θ = const. ) und dass ω = const. gilt:
€
rD =
dr L
dt= I||
r e F ω + ˙ ϕ cosϑ( ) − mrs2 + I⊥( ) ˙ ϕ 2 sinϑ cosϑ
sinϕ
−cosϕ
0
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
€
r e F = sinϑ ˙ ϕ
−sinϕ
cosϕ
0
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
mit:
€
rD = I|| sinϑ ˙ ϕ
−sinϕ
cosϕ
0
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ω + ˙ ϕ cosϑ( ) − mrs
2 + I⊥( ) ˙ ϕ 2 sinϑ cosϑ
−sinϕ
cosϕ
0
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
Präzession des symmetrischen Kreisels
€
=> r
L = I||
r ω || + mrs
2 + I⊥( )r ω ⊥
€
=I||
r e F ω + ˙ ϕ cosϑ( ) + mrs
2 + I⊥( ) ˙ ϕ sinϑ
−cosϑ cosϕ
−cosϑ sinϕ
sinϑ
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
Gaub 11WS 2014/15
Präzession des symmetrischen Kreisels
€
rD = I|| sinϑ ˙ ϕ ω + ˙ ϕ cosϑ( ) − mrs
2 + I⊥( ) ˙ ϕ 2 sinϑ cosϑ( ) ˆ n
Einheitsvektor in Richtung des
Drehmoments
€
ˆ n =
−sinϕ
cosϕ
0
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
mit
€
rD = m g r sinϑ ˆ n
€
=>I|| ωP ω +ωP cosϑ( ) − mrs2 + I⊥( ) ωP
2 cosϑ = m g rs€
ωP = ˙ ϕ
€
I|| ωP ω + I|| − I⊥ − mrs2
( ) ωP2 cosϑ = m g rs
€
=>ωp =−I IIω ± I II
2ω2 + 4(I II − I⊥− mrS2 )mgrS cosϑ
2(I II − I⊥− mrS2 )cosϑ
Mathematica:
Gaub 12WS 2014/15
Überlagerung von Präzession und Nutation
Rotiert der Kreisel nicht um eine Symmetrieachse, tritt auch noch Nutation auf:
Die genaue Form der Bahn hängt von der Nutations- und der Präzessionsfrequenz ab.
Gaub 13WS 2014/15
Überlagerung von Präzession und Nutation
Demonstration der Überlagerung: der Kardankreisel
Gaub 14WS 2014/15
Die Erde als Kreisel
Präzession der Erdrotationsachse mit 1/w = 26.000 Jahre (Platonisches Jahr) Drehmoment durch Sonne und Mond
http://user.uni-frankfurt.de/~klaudius/Dateien/Pr%E4zession%20und%20Nutation.htm
Mehr zum Kreisel Erde: