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15. Innere Schwarzschild-Metrik & Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV)-GleichungLösung der Einsteinschen Feldgleichungen (0.2),
mit dem Ansatz (7.2) für die Metrik (statischer, sphärisch symmetrischer Fall),
für Materieansammlung mit
Statisch, sphärisch symmetrisch
R,w=- 87yd ( Tau - Eggen) , 115.1)
( gµu)= diag ( Ber),- Acr) , -v2, - Tsin-0 ) , 115.2)
Tru = ( s + IT )quv - Pg,uu 45.3)
⇒ get,rT=gcr ) , Pct,r→=PCr1, Milt,Tl=0 45.4)
⇒ c2=gµvuMµV=goo(no )2"Bleep
⇒ µ0=§B , no =goµuM=goou°=cTB (15.5)
Gl. (15.2)
Gl. (15.1) mit Glgen. (6.12) - (6.16), (15.6), (15.8):
trivial erfülltdurch Gl. (15.11) erfüllt
⇒ ( Tru ) = diag ( ( steakB - PB , PA ,Pr'
,Pisin-0)[
= diaBPAPrP 45.6)
⇒ Cgm) = diag ( E ,- E , - Is , -1¥ ) as.rs
⇒ [T=TMµ=gMTµ = c⇒P Us.8)
⇒
i¥¥÷¥¥÷÷÷÷: ::::Rzz = - t - ZIA ( II - FI ) t at = - 41¥ (ga -P ) r2 115.11)
Rzz = Raz Sino = ( - 4M€ (ga-P ) r2 ) sin 45.12)↳
Ryun - O we# so ↳ 45.13)
Für
⇒ rz⇒ + RIA +7¥ h
=E+.BE#EIEI-Ea.-iIazi-EEEt-Ea.- I. - fast I3) + Ea
= - fat. - Ira + La = - 41¥ ( 9d-z3 + Mz + peep)Tcl 5.9) - 115.11 )
= - 8M€ g ( 15.14)
⇒ -
+ Ia = da Ia = 1 - 8t¥gr2 45.15)
ACO ) - • ⇒ I lr=o=O
⇒ Far, = Idr ' fi - 81¥ per 's n' 2) Iii'
2611 us .
CZ
⇒ acrj-fe-29.MY 45.177
Energie-Impulserhaltung:
O = TMT , u =TMYu try, TN + RITU" = fix TM) trna TN ( I 5.18)- -
=DTM = Deng
µ=r :
o
"
3¥, fragile +Eatin" - Pg")) trinket Esquire -Pg"]=0 cEµu0dw=ffg8w(15.4) (15.5)
= ¥+1 -Pg" ) + Nunc-Pg" ) + rfa C-Pg") + Moo Gtf)"I' C-Pg
'" ) , ,x + zBz ( peep)= -
g'tpin - Pg
''na + zBa↳ (geht) = Ia f P' tag (getP) ) ( 15.19)
- -
pl =D= In(15-7)
⇒ B¥=-g?I 45.20
nichtrelativistisch:
Gl. (14.6)!
Gl. (15.14):
Gl. (15.11):
13=1+297 , B÷= 20¥ , page"
g-'
= - Eg ⇐ P' = - got'
FEI - za - at) - steers''I'" FIEL - story =2¥z 45.21)
- LIEGE-Pir = - I + El- II) + Faiz + In- 115.17) - 7-
( 15.20) Tr pplIs.si,-1 + ECU- 4th + (1-2%1/11 -Ep )
= + off -4'¥sr ' -FI - U -EF)EIp--
⇒ 4'Pr2 = - GI- ( n - 29¥ ) ( STET're
'
r
⇒ vp' 4- 29ft ) = - 9¥ (1+4313-7) Getts)
Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV) - Gleichung
nichtrelativistisch:
Gl. (14.11)!
Bestimme B(r): Gl. (15.20) mit Gl. (15.22)
zusammen mit Gl. (15.17) bestimmt dies die innere Schwarzschild-Metrik (15.2).
⇒ de-dntfe-ci-qfy-iohlt-4IY-PJCpd-PU5.toGMFr
⇐ 1,Pss
Maz
4¥ aP ⇐ gc2
⇒ day = - offs
7dg -=¥enB=2¥Y ( 1+4%77-111 - 7¥)"
cases )
⇒ B.SE#explEEEiEIni:3BEE ' Bcri-expf-EEE.FI#uirT as.us
Für r > R :
Schwarzschild-Lösung, Gl. (7.12)!Gl. (15.17):
Beachte: bei Schwarzschild-Lösung ergab sich M durch Vergleich mit Newton hier dagegen: Gl. (14.9)
f =P = O ,Mcr) = MCR) = M
⇒ Ber) = exp { - 2£ SITE M ( t - 397.5 ' }FIT
, dx=t2G÷zdr'1
= exp f -÷÷,
E) = exp {"
I÷d¥ }= exp en Ch
- 2¥14 ) = t - 2014C 2 r
Acri = ( t - 2%15'= Er, ⇒
M = UCR) = 4Th fRdr r2 gCr)
Sterngleichgewicht:
Gl. (15.22) ist Differentialgleichung:
Gl. (14.9) kann als Dgl. geschrieben werden:
Zustandsgleichung der Materie:
Glgen. (15.27), (15.28) sind zwei gewöhnliche Differentialgleichungen für Felder
Beispiel: polytrope Zustandsgleichung
nichtrelativistisch: , Gl. (14.17)
ultrarelativistisch: , Gl. (14.18)
Falls Temperatur eine Rolle spielt:
benötige zusätzliche Zustandsgleichung, z.B. kalorische Zustandsgleichung
Pcr) =p ( gcr) ) ⇒ P'or)=ddgI g'Cr) ( 15.25)
D= KGV ( 15.26)
⇒ DP
2=55DJ- Kygo
- y
y -_ Iz
⇒ g'Cr ) - dddp.FI -M, s ) (15.277
N'Cr) =4TLr2gCr) = Glf ) (15.28)
⇒ sinPbr ) =P (girl, Tlr))
⇒ -
E - Elgort, Tcr))
