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Vorlesung
Mathematik 1Prof. Dr. M. Herty
Diese Vorlesung:
Partialbruchzerlegung
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 1 / 1
Vorlesung
Mathematik 1Prof. Dr. M. Herty
Diese Vorlesung:
Partialbruchzerlegung
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 1 / 1
WICHTIGE GRUNDINTEGRALE:
∫ b
a
1x − d
dx = [log|x − d |]ba, a,b > d oder a,b < d
∫ b
a
1(x − d)n =
[1
1− n1
(x − d)n−1
]b
a, n 6= 1
∫ b
a
2x + px2 + px + q
dx =[log|x2 + px + q|
]ba , keine NS in [a,b]
∫ b
a
2x + p(x2 + px + q)n =
[1
1− n1
(x2 + px + q)n−1
]b
a, n 6= 1
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 2 / 1
WICHTIGE GRUNDINTEGRALE:
∫ b
a
1x − d
dx = [log|x − d |]ba, a,b > d oder a,b < d
∫ b
a
1(x − d)n =
[1
1− n1
(x − d)n−1
]b
a, n 6= 1
∫ b
a
2x + px2 + px + q
dx =[log|x2 + px + q|
]ba , keine NS in [a,b]
∫ b
a
2x + p(x2 + px + q)n =
[1
1− n1
(x2 + px + q)n−1
]b
a, n 6= 1
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 2 / 1
WICHTIGE GRUNDINTEGRALE:
∫ b
a
1x − d
dx = [log|x − d |]ba, a,b > d oder a,b < d
∫ b
a
1(x − d)n =
[1
1− n1
(x − d)n−1
]b
a, n 6= 1
∫ b
a
2x + px2 + px + q
dx =[log|x2 + px + q|
]ba , keine NS in [a,b]
∫ b
a
2x + p(x2 + px + q)n =
[1
1− n1
(x2 + px + q)n−1
]b
a, n 6= 1
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 2 / 1
WICHTIGE GRUNDINTEGRALE:
∫ b
a
1x − d
dx = [log|x − d |]ba, a,b > d oder a,b < d
∫ b
a
1(x − d)n =
[1
1− n1
(x − d)n−1
]b
a, n 6= 1
∫ b
a
2x + px2 + px + q
dx =[log|x2 + px + q|
]ba , keine NS in [a,b]
∫ b
a
2x + p(x2 + px + q)n =
[1
1− n1
(x2 + px + q)n−1
]b
a, n 6= 1
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 2 / 1
WICHTIGE GRUNDINTEGRALE:
∫ b
a
1x − d
dx = [log|x − d |]ba, a,b > d oder a,b < d
∫ b
a
1(x − d)n =
[1
1− n1
(x − d)n−1
]b
a, n 6= 1
∫ b
a
2x + px2 + px + q
dx =[log|x2 + px + q|
]ba , keine NS in [a,b]
∫ b
a
2x + p(x2 + px + q)n =
[1
1− n1
(x2 + px + q)n−1
]b
a, n 6= 1
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 2 / 1
WICHTIGE GRUNDINTEGRALE:
∫ b
a
1x2 + px + q
dx =
1√q − p2
4
arctan
x + p2√
q − p2
4
b
a
, q >p2
4
Was machen wir bei q < p2
4 ?
Dann hat das Polynom zwei verschiedene Nullstellen:
x1,2 = −p2±√
p2
4− q
x2 + px + q = (x − x1)(x − x2)
1x2 + px + q
=c
x − x1− c
x − x2auflosen nach c =
1x1 − x2
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 3 / 1
WICHTIGE GRUNDINTEGRALE:
∫ b
a
1x2 + px + q
dx =
1√q − p2
4
arctan
x + p2√
q − p2
4
b
a
, q >p2
4
Was machen wir bei q < p2
4 ?
Dann hat das Polynom zwei verschiedene Nullstellen:
x1,2 = −p2±√
p2
4− q
x2 + px + q = (x − x1)(x − x2)
1x2 + px + q
=c
x − x1− c
x − x2auflosen nach c =
1x1 − x2
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WICHTIGE GRUNDINTEGRALE:
∫ b
a
1x2 + px + q
dx =
1√q − p2
4
arctan
x + p2√
q − p2
4
b
a
, q >p2
4
Was machen wir bei q < p2
4 ?
Dann hat das Polynom zwei verschiedene Nullstellen:
x1,2 = −p2±√
p2
4− q
x2 + px + q = (x − x1)(x − x2)
1x2 + px + q
=c
x − x1− c
x − x2auflosen nach c =
1x1 − x2
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 3 / 1
WICHTIGE GRUNDINTEGRALE:
∫ b
a
1x2 + px + q
dx =
1√q − p2
4
arctan
x + p2√
q − p2
4
b
a
, q >p2
4
Was machen wir bei q < p2
4 ?
Dann hat das Polynom zwei verschiedene Nullstellen:
x1,2 = −p2±√
p2
4− q
x2 + px + q = (x − x1)(x − x2)
1x2 + px + q
=c
x − x1− c
x − x2auflosen nach c =
1x1 − x2
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 3 / 1
WICHTIGE GRUNDINTEGRALE:
∫ b
a
1x2 + px + q
dx =
1√q − p2
4
arctan
x + p2√
q − p2
4
b
a
, q >p2
4
Was machen wir bei q < p2
4 ?
Dann hat das Polynom zwei verschiedene Nullstellen:
x1,2 = −p2±√
p2
4− q
x2 + px + q = (x − x1)(x − x2)
1x2 + px + q
=c
x − x1− c
x − x2auflosen nach c =
1x1 − x2
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PARTIALBRUCHZERLEGUNGBeispiel: Berechnen Sie das Integral∫ 5
4
1x2 + 5x + 6
dx
Losung: 1. Nullstellen bestimmen:
x1 = −52−√
254− 6 = −3, x2 = −5
2+
√254− 6 = −2
2. Bruch umformen:1
x2 + 5x + 6=
cx + 2
− cx + 3
, c = 1/(−3− (−2)) = −1
3. Intergal umstellen:∫ 5
4
1x2 + 5x + 6
dx = −∫ 5
4
1x + 3
dx +
∫ 5
4
1x + 2
dx
4. Grundintegrale einsetzen:∫ 5
4
1x2 + 5x + 6
dx = − [log |x + 3|]54 + [log |x + 2|]54 = log(49/48).
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 4 / 1
PARTIALBRUCHZERLEGUNGBeispiel: Berechnen Sie das Integral∫ 5
4
1x2 + 5x + 6
dx
Losung:
1. Nullstellen bestimmen:
x1 = −52−√
254− 6 = −3, x2 = −5
2+
√254− 6 = −2
2. Bruch umformen:1
x2 + 5x + 6=
cx + 2
− cx + 3
, c = 1/(−3− (−2)) = −1
3. Intergal umstellen:∫ 5
4
1x2 + 5x + 6
dx = −∫ 5
4
1x + 3
dx +
∫ 5
4
1x + 2
dx
4. Grundintegrale einsetzen:∫ 5
4
1x2 + 5x + 6
dx = − [log |x + 3|]54 + [log |x + 2|]54 = log(49/48).
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PARTIALBRUCHZERLEGUNGBeispiel: Berechnen Sie das Integral∫ 5
4
1x2 + 5x + 6
dx
Losung: 1. Nullstellen bestimmen:
x1 = −52−√
254− 6 = −3, x2 = −5
2+
√254− 6 = −2
2. Bruch umformen:1
x2 + 5x + 6=
cx + 2
− cx + 3
, c = 1/(−3− (−2)) = −1
3. Intergal umstellen:∫ 5
4
1x2 + 5x + 6
dx = −∫ 5
4
1x + 3
dx +
∫ 5
4
1x + 2
dx
4. Grundintegrale einsetzen:∫ 5
4
1x2 + 5x + 6
dx = − [log |x + 3|]54 + [log |x + 2|]54 = log(49/48).
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PARTIALBRUCHZERLEGUNGBeispiel: Berechnen Sie das Integral∫ 5
4
1x2 + 5x + 6
dx
Losung: 1. Nullstellen bestimmen:
x1 = −52−√
254− 6 = −3, x2 = −5
2+
√254− 6 = −2
2. Bruch umformen:1
x2 + 5x + 6=
cx + 2
− cx + 3
, c = 1/(−3− (−2)) = −1
3. Intergal umstellen:∫ 5
4
1x2 + 5x + 6
dx = −∫ 5
4
1x + 3
dx +
∫ 5
4
1x + 2
dx
4. Grundintegrale einsetzen:∫ 5
4
1x2 + 5x + 6
dx = − [log |x + 3|]54 + [log |x + 2|]54 = log(49/48).
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PARTIALBRUCHZERLEGUNGBeispiel: Berechnen Sie das Integral∫ 5
4
1x2 + 5x + 6
dx
Losung: 1. Nullstellen bestimmen:
x1 = −52−√
254− 6 = −3, x2 = −5
2+
√254− 6 = −2
2. Bruch umformen:1
x2 + 5x + 6=
cx + 2
− cx + 3
, c = 1/(−3− (−2)) = −1
3. Intergal umstellen:∫ 5
4
1x2 + 5x + 6
dx = −∫ 5
4
1x + 3
dx +
∫ 5
4
1x + 2
dx
4. Grundintegrale einsetzen:∫ 5
4
1x2 + 5x + 6
dx = − [log |x + 3|]54 + [log |x + 2|]54 = log(49/48).
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 4 / 1
PARTIALBRUCHZERLEGUNGBeispiel: Berechnen Sie das Integral∫ 5
4
1x2 + 5x + 6
dx
Losung: 1. Nullstellen bestimmen:
x1 = −52−√
254− 6 = −3, x2 = −5
2+
√254− 6 = −2
2. Bruch umformen:1
x2 + 5x + 6=
cx + 2
− cx + 3
, c = 1/(−3− (−2)) = −1
3. Intergal umstellen:∫ 5
4
1x2 + 5x + 6
dx = −∫ 5
4
1x + 3
dx +
∫ 5
4
1x + 2
dx
4. Grundintegrale einsetzen:∫ 5
4
1x2 + 5x + 6
dx = − [log |x + 3|]54 + [log |x + 2|]54 = log(49/48).
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 4 / 1
WICHTIGE GRUNDINTEGRALE:
∫ b
a
1x2 + px + q
dx =
1√q − p2
4
arctan
x + p2√
q − p2
4
b
a
, q >p2
4
Was machen wir bei q = p2
4 ?
Dann hat das Polynom eine doppelte Nullstelle:
x1 = −p2
x2 + px + q = (x − x1)2
∫ b
a
1x2 + px + q
dx =
[− 1
x − x1
]b
a
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 5 / 1
WICHTIGE GRUNDINTEGRALE:
∫ b
a
1x2 + px + q
dx =
1√q − p2
4
arctan
x + p2√
q − p2
4
b
a
, q >p2
4
Was machen wir bei q = p2
4 ?
Dann hat das Polynom eine doppelte Nullstelle:
x1 = −p2
x2 + px + q = (x − x1)2
∫ b
a
1x2 + px + q
dx =
[− 1
x − x1
]b
a
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 5 / 1
WICHTIGE GRUNDINTEGRALE:
∫ b
a
1x2 + px + q
dx =
1√q − p2
4
arctan
x + p2√
q − p2
4
b
a
, q >p2
4
Was machen wir bei q = p2
4 ?
Dann hat das Polynom eine doppelte Nullstelle:
x1 = −p2
x2 + px + q = (x − x1)2
∫ b
a
1x2 + px + q
dx =
[− 1
x − x1
]b
a
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 5 / 1
WICHTIGE GRUNDINTEGRALE:
∫ b
a
1x2 + px + q
dx =
1√q − p2
4
arctan
x + p2√
q − p2
4
b
a
, q >p2
4
Was machen wir bei q = p2
4 ?
Dann hat das Polynom eine doppelte Nullstelle:
x1 = −p2
x2 + px + q = (x − x1)2
∫ b
a
1x2 + px + q
dx =
[− 1
x − x1
]b
a
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 5 / 1
WICHTIGE GRUNDINTEGRALE:
∫ b
a
1x2 + px + q
dx =
1√q − p2
4
arctan
x + p2√
q − p2
4
b
a
, q >p2
4
Was machen wir bei q = p2
4 ?
Dann hat das Polynom eine doppelte Nullstelle:
x1 = −p2
x2 + px + q = (x − x1)2
∫ b
a
1x2 + px + q
dx =
[− 1
x − x1
]b
a
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 5 / 1
Berechnen Sie∫ 0
−2
3x + 23x2 − 9x + 6
dx
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 6 / 1
Berechnen Sie∫ 0
−2
3x2 − 6x + 83x2 − 9x + 6
dx
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 7 / 1
PARTIALBRUCHZERLEGUNGBeispiel: Berechnen Sie das Integral∫ 5
3
x(x + 3)3 dx
Losung:Ziel:
x(x + 3)3 =
?
x + 3+
?
(x + 3)2 +?
(x + 3)3
Bruch rechts: =?(x + 3)2 + ?(x + 3) + ?
(x + 3)3
Alsox
(x + 3)2 =0
x + 3+
1(x + 3)2 +
−3(x + 3)3∫ 5
3
x(x + 3)3 dx =
[− 1
x + 3
]5
3− 3
[−1
21
(x + 3)2
]5
3
= −18+
16+
32(
164− 1
36) =
3128
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 8 / 1
PARTIALBRUCHZERLEGUNGBeispiel: Berechnen Sie das Integral∫ 5
3
x(x + 3)3 dx
Losung:Ziel:
x(x + 3)3 =
?
x + 3+
?
(x + 3)2 +?
(x + 3)3
Bruch rechts: =?(x + 3)2 + ?(x + 3) + ?
(x + 3)3
Alsox
(x + 3)2 =0
x + 3+
1(x + 3)2 +
−3(x + 3)3∫ 5
3
x(x + 3)3 dx =
[− 1
x + 3
]5
3− 3
[−1
21
(x + 3)2
]5
3
= −18+
16+
32(
164− 1
36) =
3128
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 8 / 1
PARTIALBRUCHZERLEGUNGBeispiel: Berechnen Sie das Integral∫ 5
3
x(x + 3)3 dx
Losung:Ziel:
x(x + 3)3 =
?
x + 3+
?
(x + 3)2 +?
(x + 3)3
Bruch rechts: =?(x + 3)2 + ?(x + 3) + ?
(x + 3)3
Alsox
(x + 3)2 =0
x + 3+
1(x + 3)2 +
−3(x + 3)3∫ 5
3
x(x + 3)3 dx =
[− 1
x + 3
]5
3− 3
[−1
21
(x + 3)2
]5
3
= −18+
16+
32(
164− 1
36) =
3128
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 8 / 1
PARTIALBRUCHZERLEGUNGBeispiel: Berechnen Sie das Integral∫ 5
3
x(x + 3)3 dx
Losung:Ziel:
x(x + 3)3 =
?
x + 3+
?
(x + 3)2 +?
(x + 3)3
Bruch rechts: =?(x + 3)2 + ?(x + 3) + ?
(x + 3)3
Alsox
(x + 3)2 =0
x + 3+
1(x + 3)2 +
−3(x + 3)3
∫ 5
3
x(x + 3)3 dx =
[− 1
x + 3
]5
3− 3
[−1
21
(x + 3)2
]5
3
= −18+
16+
32(
164− 1
36) =
3128
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 8 / 1
PARTIALBRUCHZERLEGUNGBeispiel: Berechnen Sie das Integral∫ 5
3
x(x + 3)3 dx
Losung:Ziel:
x(x + 3)3 =
?
x + 3+
?
(x + 3)2 +?
(x + 3)3
Bruch rechts: =?(x + 3)2 + ?(x + 3) + ?
(x + 3)3
Alsox
(x + 3)2 =0
x + 3+
1(x + 3)2 +
−3(x + 3)3∫ 5
3
x(x + 3)3 dx =
[− 1
x + 3
]5
3− 3
[−1
21
(x + 3)2
]5
3
= −18+
16+
32(
164− 1
36) =
3128
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 8 / 1
PARTIALBRUCHZERLEGUNGBeispiel: Berechnen Sie das Integral∫ 5
3
x(x + 3)3 dx
Losung:Ziel:
x(x + 3)3 =
?
x + 3+
?
(x + 3)2 +?
(x + 3)3
Bruch rechts: =?(x + 3)2 + ?(x + 3) + ?
(x + 3)3
Alsox
(x + 3)2 =0
x + 3+
1(x + 3)2 +
−3(x + 3)3∫ 5
3
x(x + 3)3 dx =
[− 1
x + 3
]5
3− 3
[−1
21
(x + 3)2
]5
3
= −18+
16+
32(
164− 1
36) =
3128
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 8 / 1
PARTIALBRUCHZERLEGUNGBeispiel: Berechnen Sie das Integral∫ 5
3
x(x + 3)3 dx
Losung:Ziel:
x(x + 3)3 =
?
x + 3+
?
(x + 3)2 +?
(x + 3)3
Bruch rechts: =?(x + 3)2 + ?(x + 3) + ?
(x + 3)3
Alsox
(x + 3)2 =0
x + 3+
1(x + 3)2 +
−3(x + 3)3∫ 5
3
x(x + 3)3 dx =
[− 1
x + 3
]5
3− 3
[−1
21
(x + 3)2
]5
3
= −18+
16+
32(
164− 1
36) =
3128
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 8 / 1
Berechnen Sie∫ 5
3
3x2 + 1(x + 3)3 dx
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 9 / 1
PARTIALBRUCHZERLEGUNGBeispiel: Berechnen Sie das Integral∫ 5
3
x2
(x + 1)(x + 2)(x + 3)dx
Losung:
Ziel:x2
(x + 1)(x + 2)(x + 3)=
cx + 1
+d
x + 2+
ex + 3
rechte Seite: =c(x + 2)(x + 3) + d(x + 1)(x + 3) + e(x + 1)(x + 2)
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
=(c + d + e)x2 + (5c + 4d + 3e)x + (6c + 3d + 2e)
(x + 1)(x + 2)(x + 3)Gleichungssystem aus Koeffizientenvergleich:
c +d +e = 15c +4d +3e = 06c +3d +2e = 0
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 10 / 1
PARTIALBRUCHZERLEGUNGBeispiel: Berechnen Sie das Integral∫ 5
3
x2
(x + 1)(x + 2)(x + 3)dx
Losung:
Ziel:x2
(x + 1)(x + 2)(x + 3)=
cx + 1
+d
x + 2+
ex + 3
rechte Seite: =c(x + 2)(x + 3) + d(x + 1)(x + 3) + e(x + 1)(x + 2)
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
=(c + d + e)x2 + (5c + 4d + 3e)x + (6c + 3d + 2e)
(x + 1)(x + 2)(x + 3)Gleichungssystem aus Koeffizientenvergleich:
c +d +e = 15c +4d +3e = 06c +3d +2e = 0
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 10 / 1
PARTIALBRUCHZERLEGUNGBeispiel: Berechnen Sie das Integral∫ 5
3
x2
(x + 1)(x + 2)(x + 3)dx
Losung:
Ziel:x2
(x + 1)(x + 2)(x + 3)=
cx + 1
+d
x + 2+
ex + 3
rechte Seite: =c(x + 2)(x + 3) + d(x + 1)(x + 3) + e(x + 1)(x + 2)
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
=(c + d + e)x2 + (5c + 4d + 3e)x + (6c + 3d + 2e)
(x + 1)(x + 2)(x + 3)Gleichungssystem aus Koeffizientenvergleich:
c +d +e = 15c +4d +3e = 06c +3d +2e = 0
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 10 / 1
PARTIALBRUCHZERLEGUNGBeispiel: Berechnen Sie das Integral∫ 5
3
x2
(x + 1)(x + 2)(x + 3)dx
Losung:
Ziel:x2
(x + 1)(x + 2)(x + 3)=
cx + 1
+d
x + 2+
ex + 3
rechte Seite: =c(x + 2)(x + 3) + d(x + 1)(x + 3) + e(x + 1)(x + 2)
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
=(c + d + e)x2 + (5c + 4d + 3e)x + (6c + 3d + 2e)
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
Gleichungssystem aus Koeffizientenvergleich:c +d +e = 1
5c +4d +3e = 06c +3d +2e = 0
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 10 / 1
PARTIALBRUCHZERLEGUNGBeispiel: Berechnen Sie das Integral∫ 5
3
x2
(x + 1)(x + 2)(x + 3)dx
Losung:
Ziel:x2
(x + 1)(x + 2)(x + 3)=
cx + 1
+d
x + 2+
ex + 3
rechte Seite: =c(x + 2)(x + 3) + d(x + 1)(x + 3) + e(x + 1)(x + 2)
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
=(c + d + e)x2 + (5c + 4d + 3e)x + (6c + 3d + 2e)
(x + 1)(x + 2)(x + 3)Gleichungssystem aus Koeffizientenvergleich:
c +d +e = 15c +4d +3e = 06c +3d +2e = 0
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 10 / 1
Rezept
p(x)q(x)
, Zahlerpolynom p, Nennerpolynom q
Fuhre Polynomdivision mit Rest durch bis beim Rest der Grad des Zahlers echtkleiner als der Grad des Nenners ist. Nur fur den Rest braucht man diePartialbruchzerlegung, Polynome konnen wir integrieren. Wir gehen also jetztdavon aus, dass der Grad von p kleiner als der von q ist.
Bestimme vom Nennerpolynom eine Faktorisierung von der Form
q(x) = (x − a)n · · · (x2 + cx + d)m · · ·
mit Linearfaktoren vom Typ x − a und quadratischen nicht reell auflosbarenFaktoren vom Typ x2 + cx + d .
Mache den folgenden Ansatz:
p(x)q(x)
Ziel=
u1
x − a+ · · ·+
un
(x − a)n+ · · ·+
v1
x2 + cx + d+ · · ·+
vm
(x2 + cx + d)m
Lose das entstehende Gleichungssystem fur die Unbekanntenu1, . . . , un, v1, . . . , vm auf (das Gleichungssystem entsteht, wenn man die Brucherechts addiert und beide Seiten gleichsetzt).
Berechne die Integrale fur die Summanden einzeln nach Formel.
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 11 / 1
Rezept
p(x)q(x)
, Zahlerpolynom p, Nennerpolynom q
Fuhre Polynomdivision mit Rest durch bis beim Rest der Grad des Zahlers echtkleiner als der Grad des Nenners ist. Nur fur den Rest braucht man diePartialbruchzerlegung, Polynome konnen wir integrieren. Wir gehen also jetztdavon aus, dass der Grad von p kleiner als der von q ist.
Bestimme vom Nennerpolynom eine Faktorisierung von der Form
q(x) = (x − a)n · · · (x2 + cx + d)m · · ·
mit Linearfaktoren vom Typ x − a und quadratischen nicht reell auflosbarenFaktoren vom Typ x2 + cx + d .
Mache den folgenden Ansatz:
p(x)q(x)
Ziel=
u1
x − a+ · · ·+
un
(x − a)n+ · · ·+
v1
x2 + cx + d+ · · ·+
vm
(x2 + cx + d)m
Lose das entstehende Gleichungssystem fur die Unbekanntenu1, . . . , un, v1, . . . , vm auf (das Gleichungssystem entsteht, wenn man die Brucherechts addiert und beide Seiten gleichsetzt).
Berechne die Integrale fur die Summanden einzeln nach Formel.
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Rezept
p(x)q(x)
, Zahlerpolynom p, Nennerpolynom q
Fuhre Polynomdivision mit Rest durch bis beim Rest der Grad des Zahlers echtkleiner als der Grad des Nenners ist. Nur fur den Rest braucht man diePartialbruchzerlegung, Polynome konnen wir integrieren. Wir gehen also jetztdavon aus, dass der Grad von p kleiner als der von q ist.
Bestimme vom Nennerpolynom eine Faktorisierung von der Form
q(x) = (x − a)n · · · (x2 + cx + d)m · · ·
mit Linearfaktoren vom Typ x − a und quadratischen nicht reell auflosbarenFaktoren vom Typ x2 + cx + d .
Mache den folgenden Ansatz:
p(x)q(x)
Ziel=
u1
x − a+ · · ·+
un
(x − a)n+ · · ·+
v1
x2 + cx + d+ · · ·+
vm
(x2 + cx + d)m
Lose das entstehende Gleichungssystem fur die Unbekanntenu1, . . . , un, v1, . . . , vm auf (das Gleichungssystem entsteht, wenn man die Brucherechts addiert und beide Seiten gleichsetzt).
Berechne die Integrale fur die Summanden einzeln nach Formel.
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Rezept
p(x)q(x)
, Zahlerpolynom p, Nennerpolynom q
Fuhre Polynomdivision mit Rest durch bis beim Rest der Grad des Zahlers echtkleiner als der Grad des Nenners ist. Nur fur den Rest braucht man diePartialbruchzerlegung, Polynome konnen wir integrieren. Wir gehen also jetztdavon aus, dass der Grad von p kleiner als der von q ist.
Bestimme vom Nennerpolynom eine Faktorisierung von der Form
q(x) = (x − a)n · · · (x2 + cx + d)m · · ·
mit Linearfaktoren vom Typ x − a und quadratischen nicht reell auflosbarenFaktoren vom Typ x2 + cx + d .
Mache den folgenden Ansatz:
p(x)q(x)
Ziel=
u1
x − a+ · · ·+
un
(x − a)n+ · · ·+
v1
x2 + cx + d+ · · ·+
vm
(x2 + cx + d)m
Lose das entstehende Gleichungssystem fur die Unbekanntenu1, . . . , un, v1, . . . , vm auf (das Gleichungssystem entsteht, wenn man die Brucherechts addiert und beide Seiten gleichsetzt).
Berechne die Integrale fur die Summanden einzeln nach Formel.
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Rezept
p(x)q(x)
, Zahlerpolynom p, Nennerpolynom q
Fuhre Polynomdivision mit Rest durch bis beim Rest der Grad des Zahlers echtkleiner als der Grad des Nenners ist. Nur fur den Rest braucht man diePartialbruchzerlegung, Polynome konnen wir integrieren. Wir gehen also jetztdavon aus, dass der Grad von p kleiner als der von q ist.
Bestimme vom Nennerpolynom eine Faktorisierung von der Form
q(x) = (x − a)n · · · (x2 + cx + d)m · · ·
mit Linearfaktoren vom Typ x − a und quadratischen nicht reell auflosbarenFaktoren vom Typ x2 + cx + d .
Mache den folgenden Ansatz:
p(x)q(x)
Ziel=
u1
x − a+ · · ·+
un
(x − a)n+ · · ·+
v1
x2 + cx + d+ · · ·+
vm
(x2 + cx + d)m
Lose das entstehende Gleichungssystem fur die Unbekanntenu1, . . . , un, v1, . . . , vm auf (das Gleichungssystem entsteht, wenn man die Brucherechts addiert und beide Seiten gleichsetzt).
Berechne die Integrale fur die Summanden einzeln nach Formel.
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Rezept
p(x)q(x)
, Zahlerpolynom p, Nennerpolynom q
Fuhre Polynomdivision mit Rest durch bis beim Rest der Grad des Zahlers echtkleiner als der Grad des Nenners ist. Nur fur den Rest braucht man diePartialbruchzerlegung, Polynome konnen wir integrieren. Wir gehen also jetztdavon aus, dass der Grad von p kleiner als der von q ist.
Bestimme vom Nennerpolynom eine Faktorisierung von der Form
q(x) = (x − a)n · · · (x2 + cx + d)m · · ·
mit Linearfaktoren vom Typ x − a und quadratischen nicht reell auflosbarenFaktoren vom Typ x2 + cx + d .
Mache den folgenden Ansatz:
p(x)q(x)
Ziel=
u1
x − a+ · · ·+
un
(x − a)n+ · · ·+
v1
x2 + cx + d+ · · ·+
vm
(x2 + cx + d)m
Lose das entstehende Gleichungssystem fur die Unbekanntenu1, . . . , un, v1, . . . , vm auf (das Gleichungssystem entsteht, wenn man die Brucherechts addiert und beide Seiten gleichsetzt).
Berechne die Integrale fur die Summanden einzeln nach Formel.
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Vielen Dank fur Ihre Aufmerksamkeit!
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