Post on 05-Apr-2015
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Gedämpfte harmonische SchwingungenGedämpfte harmonische Schwingungen
Gedämpfte harmonische SchwingungenGedämpfte harmonische Schwingungen
FR = -b dsdt b = Dämpfungskonstante
Gedämpfte harmonische SchwingungenGedämpfte harmonische Schwingungen
FR = -b dsdt
= vb = Dämpfungskonstante
Gedämpfte harmonische SchwingungenGedämpfte harmonische Schwingungen
FR = -b dsdt
= vb = Dämpfungskonstante
F = -Ds - bdsdt
Gedämpfte harmonische SchwingungenGedämpfte harmonische Schwingungen
FR = -b dsdt
= vb = Dämpfungskonstante
F = -Ds - bdsdt
Dm = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
Gedämpfte harmonische SchwingungenGedämpfte harmonische Schwingungen
FR = -b dsdt
= vb = Dämpfungskonstante
F = -Ds - bdsdt
Dm = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
= = Abklingkonstanteb
2m
Gedämpfte harmonische SchwingungenGedämpfte harmonische Schwingungen
FR = -b dsdt
= vb = Dämpfungskonstante
F = -Ds - bdsdt
Dm = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
= = Abklingkonstanteb
2m
d2sdt2
+ 2 + 02s = 0
dsdt
Gedämpfte harmonische SchwingungenGedämpfte harmonische Schwingungen
FR = -b dsdt
= vb = Dämpfungskonstante
F = -Ds - bdsdt
Dm = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
= = Abklingkonstanteb
2m
d2sdt2
+ 2 + 02s = 0
dsdt
s(t) = e-t s cos(dt-)
^
Gedämpfte harmonische SchwingungenGedämpfte harmonische Schwingungen
FR = -b dsdt
= vb = Dämpfungskonstante
F = -Ds - bdsdt
Dm = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
= = Abklingkonstanteb
2m
d2sdt2
+ 2 + 02s = 0
dsdt
s(t) = e-t s cos(dt-)
^
exponentiell abnehmende Amplitude
Gedämpfte harmonische SchwingungenGedämpfte harmonische Schwingungen
FR = -b dsdt
= vb = Dämpfungskonstante
F = -Ds - bdsdt
Dm = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
= = Abklingkonstanteb
2m
d2sdt2
+ 2 + 02s = 0
dsdt
s(t) = e-t s cos(dt-)
^
mit d = 02 - 2
Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung
Gedämpfte harmonische SchwingungenGedämpfte harmonische Schwingungen
FR = -b dsdt
= vb = Dämpfungskonstante
F = -Ds - bdsdt
Dm = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
= = Abklingkonstanteb
2m
d2sdt2
+ 2 + 02s = 0
dsdt
s(t) = e-t s cos(dt-)
^
02e-t s cosdt
^mit d = 0
2 - 2
Gedämpfte harmonische SchwingungenGedämpfte harmonische Schwingungen
FR = -b dsdt
= vb = Dämpfungskonstante
F = -Ds - bdsdt
Dm = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
= = Abklingkonstanteb
2m
d2sdt2
+ 2 + 02s = 0
dsdt
s(t) = e-t s cos(dt-)
^
02e-t s cosdt
^
-22e-t s cosdt - 2de-t s sindt ^ ^
mit d = 02 - 2
Gedämpfte harmonische SchwingungenGedämpfte harmonische Schwingungen
FR = -b dsdt
= vb = Dämpfungskonstante
F = -Ds - bdsdt
Dm = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
= = Abklingkonstanteb
2m
d2sdt2
+ 2 + 02s = 0
dsdt
s(t) = e-t s cos(dt-)
^
02e-t s cosdt
^
-22e-t s cosdt - 2de-t s sindt ^ ^
2e-t s cosdt + de-t s sindt + ^ ^
mit d = 02 - 2
Gedämpfte harmonische SchwingungenGedämpfte harmonische Schwingungen
FR = -b dsdt
= vb = Dämpfungskonstante
F = -Ds - bdsdt
Dm = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
= = Abklingkonstanteb
2m
d2sdt2
+ 2 + 02s = 0
dsdt
s(t) = e-t s cos(dt-)
^
02e-t s cosdt
^
-22e-t s cosdt - 2de-t s sindt ^ ^
2e-t s cosdt + de-t s sindt + de-t s sindt - d2e-t s cosdt ^ ^ ^ ^
mit d = 02 - 2
Gedämpfte harmonische SchwingungenGedämpfte harmonische Schwingungen
FR = -b dsdt
= vb = Dämpfungskonstante
F = -Ds - bdsdt
Dm = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
= = Abklingkonstanteb
2m
d2sdt2
+ 2 + 02s = 0
dsdt
s(t) = e-t s cos(dt-)
^
02e-t s cosdt
^
-22e-t s cosdt - 2de-t s sindt ^ ^
2e-t s cosdt + de-t s sindt + de-t s sindt - d2e-t s cosdt ^ ^ ^ ^
mit d = 02 - 2
Gedämpfte harmonische SchwingungenGedämpfte harmonische Schwingungen
FR = -b dsdt
= vb = Dämpfungskonstante
F = -Ds - bdsdt
Dm = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
= = Abklingkonstanteb
2m
d2sdt2
+ 2 + 02s = 0
dsdt
s(t) = e-t s cos(dt-)
^
02e-t s cosdt
^
-22e-t s cosdt ^
2e-t s cosdt - d2e-t s cosdt ^ ^
mit d = 02 - 2
Gedämpfte harmonische SchwingungenGedämpfte harmonische Schwingungen
FR = -b dsdt
= vb = Dämpfungskonstante
F = -Ds - bdsdt
Dm = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
= = Abklingkonstanteb
2m
d2sdt2
+ 2 + 02s = 0
dsdt
s(t) = e-t s cos(dt-)
^
02
-22
2 - d2
mit d = 02 - 2
< 0: schwache Dämpfung d reell
s(t) = e-t s cos dt
^
mit d = 02 - 2
< 0: schwache Dämpfung d reell
= 0: aperiodischer Grenzfall d = 0
s(t) = e-t s cos dt
^
mit d = 02 - 2
< 0: schwache Dämpfung d reell
= 0: aperiodischer Grenzfall d = 0
> 0: starke Dämpfung d imaginär
s(t) = e-t s cos dt
^
mit d = 02 - 2
< 0: schwache Dämpfung d reell d < 0
s(t) = e-t s cos dt
^
mit d = 02 - 2
< 0: schwache Dämpfung d reell d < 0
s(t) = e-t s cos dt
^
mit d = 02 - 2
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall.
< 0: schwache Dämpfung d reell d < 0
^
mit d = 02 - 2
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall.
s(t) = e-t s cos dt
< 0: schwache Dämpfung d reell d < 0
s(t) = e-t s cos dt
^
mit d = 02 - 2
s
t
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall.
< 0: schwache Dämpfung d reell d < 0
^
mit d = 02 - 2
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall.
Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-t
t
s
s(t) = e-t s cos dt
< 0: schwache Dämpfung d reell d < 0
s(t) = e-t s cos dt
^
mit d = 02 - 2
Für jeden Zeitpunkt (Td + t ) ist die momentane Auslenkung s(Td + t )
um den Faktor e-Td kleiner als eine Periodendauer Td = 2/d zuvor. t
s
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall.
Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-t
< 0: schwache Dämpfung d reell d < 0
s(t) = e-t s cos dt
^
mit d = 02 - 2
= Td: logarithmisches Dekrement
SW03.1 SchwingBerechnung.nb
t
sFür jeden Zeitpunkt (Td + t ) ist die momentane Auslenkung s(Td + t )
um den Faktor e-Td kleiner als eine Periodendauer Td = 2/d zuvor.
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall.
Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-t
< 0: schwache Dämpfung d reell d < 0
= Td: logarithmisches Dekrement
Aus der Messung des logarithmischen Dekrementes und der Schwingungsdauer Td lassen sich bei bekannter Masse die Parameter D und b des Systems bestimmen.
t
sFür jeden Zeitpunkt (Td + t ) ist die momentane Auslenkung s(Td + t )
um den Faktor e-Td kleiner als eine Periodendauer Td = 2/d zuvor.
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall.
Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-t
< 0: schwache Dämpfung d reell d < 0
= Td: logarithmisches Dekrement
Aus der Messung des logarithmischen Dekrementes und der Schwingungsdauer Td lassen sich bei bekannter Masse die Parameter D und b des Systems bestimmen.
t
sFür jeden Zeitpunkt (Td + t ) ist die momentane Auslenkung s(Td + t )
um den Faktor e-Td kleiner als eine Periodendauer Td = 2/d zuvor.
b = 2m = 2m/Td
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall.
Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-t
< 0: schwache Dämpfung d reell d < 0
= Td: logarithmisches Dekrement
Aus der Messung des logarithmischen Dekrementes und der Schwingungsdauer Td lassen sich bei bekannter Masse die Parameter D und b des Systems bestimmen.
t
sFür jeden Zeitpunkt (Td + t ) ist die momentane Auslenkung s(Td + t )
um den Faktor e-Td kleiner als eine Periodendauer Td = 2/d zuvor.
b = 2m = 2m/Td
0 = d2 + 2 = D/m
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall.
Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-t
< 0: schwache Dämpfung d reell d < 0
= Td: logarithmisches Dekrement
Aus der Messung des logarithmischen Dekrementes und der Schwingungsdauer Td lassen sich bei bekannter Masse die Parameter D und b des Systems bestimmen.
t
sFür jeden Zeitpunkt (Td + t ) ist die momentane Auslenkung s(Td + t )
um den Faktor e-Td kleiner als eine Periodendauer Td = 2/d zuvor.
b = 2m = 2m/Td
0 = d2 + 2 = D/m D = m
42 + 2
Td2
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall.
Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-t
= 0: aperiodischer Grenzfall d = 0
= 0: aperiodischer Grenzfall d = 0
einfachste Lösung
s(t) = e-t s ^
= 0: aperiodischer Grenzfall d = 0
einfachste Lösung
s(t) = e-t s ^
Anwendung: Vermeidung von Schwingungen
= 0: aperiodischer Grenzfall d = 0
einfachste Lösung
s(t) = e-t s ^
Anwendung: Vermeidung von Schwingungen
> 0: starke Dämpfung (Kriechfall) d imaginär
Wie beim aperiodischen Grenzfall fehlt auch bei der starken Dämpfung das wesentliche Kennzeichen einer Schwingung, nämlich die Reproduktion des vorhergehenden Zustands.
= 0: aperiodischer Grenzfall d = 0
einfachste Lösung
s(t) = e-t s ^
Anwendung: Vermeidung von Schwingungen
> 0: starke Dämpfung (Kriechfall) d imaginär
Wie beim aperiodischen Grenzfall fehlt auch bei der starken Dämpfung das wesentliche Kennzeichen einer Schwingung, nämlich die Reproduktion des vorhergehenden Zustands.
Wegen der formalen Analogie zur schwach gedämpften Schwingung spricht man jedoch auch hier von einer (stark) gedämpften Schwingung.
SW03.1 SchwingBerechnung.nb
[2.20] Ein gedämpft schwingendes Federpendel mit der Federkonstante D = 1 N/m erreicht nacheinander die Amplituden
1,000 Skalenteile; 0,368 Skt; 0,135 Skt; ? Skt.
Die Schwingungsdauer Td beträgt 1,00 s.
Wie groß ist die Dämpfungskonstante b?