Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-1
17.12.20
3. Erzwungene Schwingungen
● Bei erzwungenen Schwingungen greift am schwingenden System eine zeitlich veränderliche äußere Anregung an.
● Kraftanregung:
– Am schwingenden System greift eine zeitlich veränderliche äußere Kraft an.
● Weganregung:
– An einigen Punkten des schwingenden Systems ist eine zeitlich veränderliche Bewegung vorgeschrieben.
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-2
17.12.20
3. Erzwungene Schwingungen
3.1 Kraftanregung
3.2 Weganregung
3.3 Unwuchtanregung
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-3
17.12.20
3.1 Kraftanregung
● Aufgabenstellung:
– An der Masse greift eine zeitlich veränderliche Kraft F(t) an.
– Die Bewegungsgleichung lautet:
– Division durch die Masse m ergibt:
c
d
mx
Feder Masse
Dämpfer
F(t)
F(t)cx
dv
m x+d x+c x=F (t )
x+2 δ x+ω2 x=
F (t )m
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-4
17.12.20
3.1 Kraftanregung
● Harmonische Anregung:
– Ein wichtiger Spezialfall ist die Anregung durch eine harmo-nische Kraft:
– Dabei ist Ω die Erregerkreisfrequenz und Fa (Ω) die Amplitu-de der Kraft, die im Allgemeinen von der Erregerkreisfre-quenz abhängen kann.
– Jede periodische Kraft kann als Überlagerung von harmoni-schen Kräften dargestellt werden.
– Die Antwort des Systems auf eine periodische Kraft ist die Überlagerung der Antworten auf die harmonischen Kräfte.
F (t )=F a (Ω)cos(Ω t )
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-5
17.12.20
3.1 Kraftanregung
● Schwingungsgleichung:
– Mit m = c/ω2 und der statischen Lösung
lautet die Schwingungsgleichung:
– Ihre allgemeine Lösung setzt sich zusammen aus einer par-tikulären Lösung xp (t) der inhomogenen Gleichung und der allgemeinen Lösung xh (t) der homogenen Gleichung.
x S (Ω)=F a(Ω)
c
x+2 δ x+ω2 x=ω
2 x S cos(Ω t )
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-6
17.12.20
3.1 Kraftanregung
● Lösung der homogenen Gleichung:
– Die homogene Gleichung lautet:
– Ihre Lösung beschreibt eine freie gedämpfte Schwingung.
– Sie hängt von den Anfangsbedingungen ab und klingt ex-ponentiell mit der Zeit ab.
– Nach Beendigung des so genannten Einschwingvorgangs kann die Lösung der homogenen Gleichung gegenüber der partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung vernach-lässigt werden.
– Die partikuläre Lösung beschreibt den eingeschwungenen Zustand.
x+2 δ x+ω2 x=0
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-7
17.12.20
3.1 Kraftanregung
● Partikuläre Lösung:
– Einsetzen des Lösungsansatzes
in die Schwingungsgleichung ergibt:
x p(t )=As sin (Ω t )+Ac cos(Ω t )x p(t )=Ω ( As cos(Ω t )−Ac sin (Ω t ))
x p(t )=−Ω2
( As sin (Ω t )+Ac cos(Ω t ))
−Ω2
( As sin (Ω t )+Ac cos(Ω t ))+2δΩ ( As cos(Ω t )−Ac sin (Ω t ))
+ω2
( As sin(Ω t )+Ac cos(Ω t ))=ω2 x S cos(Ω t )
→ (−Ω2 Ac+2δΩAs+ω
2 Ac−ω2 x S ) cos(Ω t )
=(Ω2 As+2δΩAc−ω
2 As ) sin(Ω t )
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-8
17.12.20
3.1 Kraftanregung
– Damit diese Gleichung für jeden Zeitpunkt t erfüllt ist, müs-sen die Terme in den Klammern null sein:
– Mit dem Frequenzverhältnis η = Ω/ω und dem Lehrschen Dämpfungsmaß D = δ/ω folgt nach Division durch ω2 :
– Das Gleichungssystem hat die Lösung:
(ω2−Ω
2 ) Ac + 2δΩ A s = ω2 x S
−2δΩ Ac + (ω2−Ω
2 ) A s = 0
(1−η2 ) Ac + 2 D η As = x S
−2 D η Ac + (1−η2 ) As = 0
Ac=1−η
2
(1−η2 )
2+4 D2
η2
x S , As=2 D η
(1−η2 )
2+4 D2
η2
x S
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-9
17.12.20
3.1 Kraftanregung
– Die partikuläre Lösung beschreibt eine harmonische Schwingung
mit der Amplitude
und dem Phasenwinkel
x p(t )=As sin (Ω t )+Ac cos(Ω t )=x a cos(Ω t+ϕ)
x a=√Ac2+As
2=
√ (1−η2 )
2+4 D2
η2
(1−η2 )
2+4 D2
η2
x S=x S
√ (1−η2 )
2+4 D2
η2
tan (ϕ)=−As
Ac=−
2 D η
1−η2 .
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-10
17.12.20
3.1 Kraftanregung
– Mit dem dynamischen Überhöhungsfaktor
gilt:
– Die Amplitude der Lösung im eingeschwungenen Zustand ergibt sich durch Multiplikation der statischen Lösung mit dem dynamischen Überhöhungsfaktor.
V F (η)=1
√ (1−η2 )
2+4 D2
η2
x a(η)=V F (η) x S
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-11
17.12.20
3.1 Kraftanregung
– Dynamischer Überhöhungsfaktor:
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-12
17.12.20
3.1 Kraftanregung
– Phasenwinkel:
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-13
17.12.20
3.1 Kraftanregung
● Diskussion der Lösung:
– Bereich 1: η < 0,8: unter-kritisch
● Bei schwacher Dämp-fung (D < 10 %) hat die Dämpfung praktisch kei-nen Einfluss.
● Die Antwort ist in Phase mit der Anregung.
● Es gilt in guter Nähe-rung:
● Für η < 1/3 folgt:
● Für η < 0,3 können Dämpfungs- und Träg-heitskräfte gegenüber der Federkraft vernach-lässigt werden: Die Ant-wort ist quasistatisch.
V F≈1
1−η2
V F <1
1−(1 /3)2 =
98=1,125
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-14
17.12.20
3.1 Kraftanregung
– Bereich 2: 0,8 < η < 1,2: kritisch● Dieser Bereich wird wesentlich von der Dämpfung beeinflusst.● Die Antwort hat eine Phasenverschiebung von 90° gegenüber
der Anregung.● Die Geschwindigkeit ist in Phase mit der Anregung.● Der Zustand bei η = 1 wird als Resonanz bezeichnet.● Bei Resonanz ist die Trägheitskraft im Gleichgewicht mit der
Federkraft. Die Anregung ist im Gleichgewicht mit der Dämp-fungskraft.
● Für den dynamischen Überhöhungsfaktor gilt:
V F (1)=1
2 D
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-15
17.12.20
3.1 Kraftanregung
– Bereich 3: η > 1,2: überkri-tisch
● Bei schwacher Dämp-fung (D < 10 %) hat die Dämpfung praktisch kei-nen Einfluss.
● Die Antwort hat eine Phasenverschiebung von 180° gegenüber der Anregung.
● Die Beschleunigung ist in Phase mit der Anre-gung.
● Es gilt in guter Nähe-rung:
● Für η > 3 gilt:
● Für η > 3 ist die Träg-heitskraft groß gegen-über der Federkraft und der Dämpferkraft.
V F≈1
η2−1
V F <1
9−1=
18=0,125
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-16
17.12.20
3.1 Kraftanregung
– Vernachlässigung der Dämpfung:● Außerhalb des kritischen Bereichs kann bei sehr schwacher
Dämpfung (D < 5 %) die Dämpfung in der Regel vernachläs-sigt werden.
● Für den Überhöhungsfaktor gilt die Näherung:
● Für den Phasenwinkel gilt die Näherung:
V F (η)=1
|1−η2|
ϕ(η)={ 0 ° für η<0,8−180 ° für η>1,2
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-17
17.12.20
3.1 Kraftanregung
● Beispiel: Motorlagerung
– Gegeben:● Masse m = 1000 kg● Lehrsches Dämpfungs-
maß D = 2 %● statische Einfederung
unter EigengewichtxG = 10 mm
● Drehzahlen: n1 = 150 1/min, n2 = 1000 1/min
m
c d
x
F(t) = Fa cos(Ωt)
Motorträger
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-18
17.12.20
3.1 Kraftanregung
● Lastamplituden: Fa (n1 ) = 500 N, Fa (n2 ) = 5000 N
– Für den eingeschwungenen Zustand sollen bestimmt wer-den:
● Amplitude der Motorverschiebung● Amplitude der Motorbeschleunigung● Amplitude der Kraft auf den Motorträger
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-19
17.12.20
3.1 Kraftanregung
– Systemparameter:● Statische Einfederung
unter Eigengewicht:
● Eigenkreisfrequenz:
– Lastparameter:● Statische Verschiebung:
● Erregerkreisfrequenz:
c xG=m g
ω=√ cm =√
gxG
=√9810 mm10 mm s2
=31,32 1s
x S=F a
c =F a
ω2 m
Ω=2π n
60 s/min
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-20
17.12.20
3.1 Kraftanregung
– Dynamische Überhöhungsfaktoren:
● exakt:
● bei Vernachlässigung der Dämpfung:
– Amplitude der Motorverschiebung:
– Amplitude der Motorbeschleunigung:
V F (η)=1
√ (1−η2 )
2+4⋅0,022
⋅η2
V F (η)≈1
|1−η2|
x a(η)=x S (η)V F (η)
aa (η)=Ω2 x a(η)
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-21
17.12.20
3.1 Kraftanregung
– Zahlenwerte:
n1 = 150 1/min n
2 = 1000 1/min
xS 0,5097 mm 5,097 mm
Ω 15,71 1/s 104,7 1/s
η = Ω/ω 0,5016 3,343
VF exakt 1,336 0,09827
VF genähert 1,336 0,09827
xa 0,6810 mm 0,5009 mm
aa 0,1681 m/s2 5,491 m/s2
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-22
17.12.20
3.1 Kraftanregung
– Kraft auf Motorträger: ● Auf den Motorträger wirkt die Federkraft und die Dämpferkraft:
● Für die einzelnen Amplitu-den gilt:
m
F(t)
Motorträger
FF
FF
FD
FD
F T ( t , η)=F F ( t , η)+F D ( t , η)
=c x S V F (η)cos (Ω t+ϕ)
−d xS V F (η)Ω sin(Ω t+ϕ)
c xS=F a
d xS=2 mδF a
c=
2 δ F a
ω2
=2 Dω F a
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-23
17.12.20
3.1 Kraftanregung
● Damit gilt:
● Daraus folgt für die Amplitude der Kraft:
● Zahlenwerte:
F T ( t , η)=F a V F (η) ( cos(Ω t +ϕ)−2 D ηsin(Ω t+ϕ))
F Ta=F a V F (η)√1+4 D2η
2
F Ta(η1)=500 N⋅1,336⋅√1+4⋅0,022⋅0,50162
=668,1 N
F Ta(η2)=5000 N⋅0,09827⋅√1+4⋅0,022⋅3,3432
=495,7 N
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-24
17.12.20
3.2 Weganregung
● Anregung:
– Das Fundament führt eine vorgeschriebene harmonische Bewegung durch:
– Beispiele:● Rütteltisch● fahrbahnerregte Fahr-
zeugschwingungen
m
c d
x
Fundamentx
F (t)
x F (t )=x Fa cos(Ω t )
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-25
17.12.20
3.2 Weganregung
● Schwingungsgleichung:
– Feder- und Dämpferkraft hängen von der Bewegung der Masse relativ zum Fundament ab:
– Der Schwerpunktsatz lautet:
– Mit folgt:
x r=x−xF → x=x F+ x r : F F=c x r , F D=d x r
mx
FF
FD
m x=−F D−F F
=−d x r−c xr
x= x F+ x r
m xr+d x r+c x r=−m xF
=m xFa Ω2 cos(Ω t )
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-26
17.12.20
3.2 Weganregung
– Division durch m führt auf die Schwingungsgleichung
● Lösung:
– Für die rechte Seite der Schwingungsgleichung gilt:
– Die Lösung entspricht also der Lösung der Schwingungs-gleichung bei Kraftanregung, wenn
eingesetzt wird.
x r+2 δ x r+ω2 x r=Ω
2 x Fa cos(Ω t )
Ω2 xFa cos(Ω t )=ω
2η
2 xFa cos(Ω t )
x S=η2 x Fa
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-27
17.12.20
3.2 Weganregung
– Damit gilt für die Relativverschiebung:
– Dynamischer Überhöhungsfaktor und Phasenwinkel sind gegeben durch
– Für die Amplitude der Relativverschiebung gilt:
x r (t , η)=V F (η)η2 xFa cos(Ω t+ϕ)=V B (η) xFa cos(Ω t+ϕ)
V B (η)=η2 V F (η)=
η2
√ (1−η2 )
2+4 D2
η2
, tan (ϕ)=−2 D η
1−η2
x ra(η)=V B(η) x Fa
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-28
17.12.20
3.2 Weganregung
– Dynamischer Überhöhungsfaktor:
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-29
17.12.20
3.2 Weganregung
– Für die Absolutverschiebung folgt:
– Ihre Amplitude berechnet sich zu
x (t ,η)=x F (t ,η)+ x r (t , η)
=x Fa cos(Ω t )+ x Fa V B (η)cos(Ω t+ϕ)
=x Fa [cos(Ω t )+V B (η) (cos(Ω t )cos(ϕ)−sin (Ω t )sin (ϕ)) ]=x Fa [ (1+V B (η)cos(ϕ) ) cos(Ω t )−V B (η)sin(ϕ)sin (Ω t ) ]
x a(η)=xFa √ (1+V B(η)cos(ϕ))2+V B
2(η)sin2
(ϕ)
=xFa √1+V B2(η)+2 V B(η)cos(ϕ)
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-30
17.12.20
3.2 Weganregung
● Diskussion der Lösung:
– Unterkritischer Bereich: η < 0,8● Bei schwacher Dämpfung (D < 10 %) hat die Dämpfung prak-
tisch keinen Einfluss.● Es gilt in guter Näherung:
– Tiefer unterkritischer Bereich: η < 0,3
● Die Relativverschiebung ist vernachlässigbar klein.● Die Masse folgt der Bewegung des Fundaments.
V B(η)≈η
2
1−η2
V B(η)<0,32
1−0,32 <0,1
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-31
17.12.20
3.2 Weganregung
– Kritischer Bereich: 0,8 < η < 1,2● Dieser Bereich wird wesentlich von der Dämpfung bestimmt.
● An der Resonanzstelle η = 1 gilt:
– Überkritischer Bereich: η > 1,2● Bei schwacher Dämpfung (D < 10 %) hat die Dämpfung prak-
tisch keinen Einfluss.● Es gilt in guter Näherung:
● Für große Werte von η strebt VB gegen eins.
V B(1)=1
2 D
V B(η)≈η
2
η2−1
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-32
17.12.20
3.2 Weganregung
– Hoher überkritischer Bereich: η > 4
● Der Überhöhungsfaktor ist nahezu eins.● Der Phasenwinkel ist nahezu -180°.● Die Relativverschiebung ist entgegengesetzt gleich groß wie
die Verschiebung des Fundaments.● Die Absolutverschiebung der Masse geht gegen null. Die
Masse steht nahezu still.
V B(η)<42
42−1
=1615
<1,1
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-33
17.12.20
3.2 Weganregung
– Vernachlässigung der Dämpfung:● Außerhalb des kritischen Bereichs kann bei sehr schwach
gedämpften Systemen (D < 5 %) die Dämpfung vernachlässigt werden.
● Für den Überhöhungsfaktor gilt die Näherung:
● Für den Phasenwinkel gilt die Näherung:
● Für die Absolutverschiebung gilt die Näherung:
V B(η)=η
2
|1−η2|
ϕ(η)={ 0 ° für η<0,8−180 ° für η>1,2
x ( t , η)={xFa (1+V B (η)) cos(Ω t ) für η<0,8
xFa (1−V B(η)) cos(Ω t ) für η>1,2
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-34
17.12.20
3.2 Weganregung
● Beispiel:
– Ein Fahrzeug der Masse m fährt mit der konstanten Geschwindigkeit v.
– Die Unebenheit der Fahr-bahn wird beschrieben durch
– Reale Unebenheiten werden durch Uneben-heitsspektren beschrie-ben.
– Daten finden sich in der Norm ISO 8608 und im VDI-Bericht 877.
x
z
m
L
zF (x)
v
zF (x )=zFa cos (2 πxλ )
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-35
17.12.20
3.2 Weganregung
– Gegeben:● Masse: m = 1500 kg, Federsteifigkeit: c = 1,5·105 N/m● Lehrsches Dämpfungsmaß: D = 20 %● Geschwindigkeit: v = 30 m/s● Wellenlänge: λ = 60 m, Amplitude: zFa = 0,1 m
● Radabstand: L = 2,5 m
– Gesucht:● Relative Verschiebungsamplitude der Hubschwingung● Absolute Beschleunigungsamplitude der Hubschwingung
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-36
17.12.20
3.2 Weganregung
– Berechnungsmodell:● Der Radabstand ist klein im
Vergleich zur Wellenlänge. Daher kann angenommen werden, dass die Vertikal-verschiebung an beiden Rä-dern ungefähr gleich groß ist.
● Das Fahrzeug wird als ein-faches Feder-Masse-Dämp-fer-System modelliert.
m
c d
z
zF
(t)
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-37
17.12.20
3.2 Weganregung
– Anregung:
– Frequenzverhältnis:
– Dynamischer Überhöhungsfaktor:
x (t )=v t → zF (t )=zFa cos(2 πv tλ )=zFa cos(Ω t ) mit Ω=2 π
vλ
Ω=2 π30 m /s60 m
=3,1421s
, ω=√ 1,5⋅105 N /m1500 kg
=101s
→ η=0,3142
V B (0,3142)=0,31422
√ (1−0,31422 )2+4⋅0,22
⋅0,31422=0,1085
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-38
17.12.20
3.2 Weganregung
– Amplitude der Relativverschiebung:
– Amplitude der Absolutbeschleunigung:
zra=zFa V B(0,3142)=0,1 m⋅0,1085=0,01085 m
tan (ϕ)=−2⋅0,2⋅0,31421−0,31422 =−0,1394
cos(ϕ)=1
√1+ tan2(ϕ)
=1
√1+0,13942=0,9904
za=0,1 m⋅√1+0,10852+2⋅0,1085⋅0,9904=0,1108 m
aa=Ω2 za=3,1422 s−2
⋅0,1108 m=1,094 m /s2
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-39
17.12.20
3.3 Unwuchtanregung
● Rotierende Unwucht:
– Die Masse m0 wird durch die Zentrifugalkraft der ro-tierenden Masse mu zu Schwingungen angeregt.
– Beispiele:● Motor● Rad● Rüttler
m0
mu
Ωt
c d
x
r
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-40
17.12.20
m0
mu
x
FF
FD
Sx
Sx
3.3 Unwuchtanregung
● Schwingungsgleichung:
– Kinematik:
– Unwuchtmasse:
– Schwinger:
– Kraftgesetze:
x u=x−r cos(Ω t )x u= x+r Ω
2 cos(Ω t )
∑ F x=mu xu : mu xu=S x
∑ F x=m0 x : m0 x=−F F−F D−S x
F F=c x , F D=d x
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-41
17.12.20
3.3 Unwuchtanregung
– Einsetzen der Kräfte in die Gleichung für den Schwinger er-gibt:
– Mit der Gesamtmasse m = m0 + mu folgt:
– Division durch die Gesamtmasse führt auf die Schwin-gungsgleichung:
m0 x=−c x−d x−mu ( x+r Ω2 cos(Ω t ))
→ ( m0+mu ) x+d x+c x=−mu r Ω2 cos(Ω t )
m x+d x+c x=−mu r Ω2 cos(Ω t )
x+2 δ x+ω2 x=−Ω
2 r m cos(Ω t ) mit r m=mu
m r
Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-42
17.12.20
3.3 Unwuchtanregung
● Lösung:
– Die Schwingungsgleichung bei Unwuchtanregung ist vom gleichen Typ wie die Schwingungsgleichung bei Weganre-gung.
– Sie hat die Lösung:
– Für die Amplitude gilt:
x (t ,η)=−r mV B (η)cos(Ω t+ϕ)
x a(η)=V B (η)rm