06 Schwingungen _Physik Der Musik_1

7/25/2019 06 Schwingungen _Physik Der Musik_1

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06 Schwingungen und Wellen (Physik der Musik), Zuletzt gedruckt 21.06.2015 11:18 - 1 -

6 Schwingungen und Wellen (Physik der Musik)

6.1 Einfhrung

Was sindSchwingungen bzw.Wellen und wo kommensie vor?

Wenn sich ein Vorgang zeitlich periodisch wiederholt, dann sprechen wirvon einer Schwingung. Wenn sich diese Schwingung irgendwie rumlichausbreitet, dann sprechen wir von einer Welle. Zunchst wollen wir unsSchwingungen genauer ansehen.Die meisten Beispiele, die wir kennen, stammen aus der Mechanik. Bei-spiele: Pendel, Feder, Trommelfell, Stimmbnder, bestimmte Teile beiMusikinstrumenten, Wassersule, Baum, Turm, Haus, Brcke, Erde alsGanzes, Atmosphre , Sterne, Atome, Elektronen in Atome oder Antennen Man merkt, die Frage ist eher, wo finde ich ein System, was gar keineSchwingung ausfhren kann. Immer dann, wenn sich bei einer mechani-schen Verformung Rckstellkrfte zeigen, dann wird es auch eineSchwingung geben. Wenn man etwas verformt oder irgendwie sonst ausseiner natrlichen Ruheposition herausbringt und hierbei Rckstellkrfteauftreten, dann muss man gegen diese Rckstellkrfte Arbeit verrichtet.Diese Arbeit wird in Form von potentieller Energie gespeichert (Bsp. Fe-der: WFeder=1/2Ds

2). Lsst man das System dann wieder los, dann ver-sucht das System mit Hilfe seiner gespeicherten Energie wieder in seineRuheposition zu gelangen. Es wirkt solange eine Rckstellkraft, bis eswieder in seiner Ruheposition ist. Solange diese Kraft wirkt, wird es be-schleunigt (F=ma) und somit immer schneller. Das System erreicht alsoseine Ruheposition (auch Gleichgewichtslage genannt), aber weil es jetztin Bewegung ist, bleibt es nicht dort, sondern bewegt sich ber die Gleich-gewichtslage hinaus (Trgheit!). Die ursprnglich vorhandene potentielleEnergie hat sich in kinetische Energie umgewandelt und diese kinetischeEnergie wandelt sich jetzt wieder in potentielle Energie um. Gbe es keineReibungsverluste, dann wrde sich dieser Vorgang immer weiter wieder-holen (ungedmpfte Schwingung). All das kann man sich an einer Kinder-schaukel oder einem Federpendel sehr gut veranschaulichen. Grundlagealler mechanischen Schwingungen ist also das Vorhandensein zweierEnergieformen (bei mechanischen Schwingungen Wpotund Wkin).Es gibt eine weiter bekannte und sehr groe Klasse von Naturerscheinun-gen, die auch mit Schwingungen und Wellen zu tun hat, bei denen es abernicht um mechanische Phnomene handelt. Dies sind die elektromagneti-schen Schwingungen und Wellen. Beispiele fr elektromagnetischeSchwingungen sind Licht, Wrmestrahlung, Rntgenstrahlung, Gamma-strahlung, Mikrowellenstrahlung und alle Arten von Funkwellen (Radio,Fernsehen, Handy, WLan ) Hier schwingen die elektrischen und magne-tischen Felder periodisch. Wie im mechanischen Fall gibt es 2 verschiede-

ne Energieformen, magnetische und elektrische Energie. Obwohl wir an-fangs von der in einer Spule bzw. in einem Kondensator gespeichertenEnergie sprachen, hatten wir doch auch gesehen, dass diese Energien inden entsprechenden Feldern (E- und B-Feld) lokalisiert sind. Diese Felderknnen sich im leeren Raum ausbreiten und so kommen die Energie derSonne und das Licht der Sterne zu uns.Neben diesen allgemein bekannten Erscheinungen, gibt es noch eine wei-tere Art der Schwingungen und Wellen. Die kleinsten Teilchen aus denenwir und alles um uns herum bestehen (Elektronen, Protonen, Neutronen), sind bei genauerer Untersuchung gar keine Teilchen. Sie zeigen auchWelleneigenschaften. Man spricht vom Wellenteilchendualismus. DasVerhalten kleinster Teilchen wird durch die Quantenmechanik korrekt be-schrieben und die Teilchen werden dort berwiegend als Wellen angese-

hen. Diese quantenmechanischen Schwingungen brauchen auch keine 2verschiedenen Energieformen mehr. Die Schwingung ist ihre Natur. Wennwir sagen, dass wir aus kleinsten Teilchen bestehen, wre es korrekter zu


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sagen, wir bestehen aus Objekten die eher Schwingungen sind bzw.Wellen und die sich nur manchmal so verhalten, wie wir das von Teilchenerwarten.

Ein bekanntes Beispiel

und etwas Allgemeinbil-dung:Was ist Schall?

Wird das Trommelfell durch Schwankungen des Luftdrucks regelmig

nach innen und auen gedrckt, dann werden diese Schwingungen bermehrere Zwischenstation bis zum Innenohr bertragen. Dort schwingenHaarzellen hin- und her. Der Hrnerv bertrgt diese Information an dasGehirn.

TypischeSchallfrequenzen

Die menschlichen Stimmbnder knnen zwischen 66-mal (Low C) und1050-mal (c, Sopran) pro Sekunde hin und her schwingen. Hren knnenwir allerdings hhere und tiefere Frequenzen.

Merke: Bei Schall handelt es sich um Luftdruckschwankungen mit Frequenzenzwischen 20 Hz und 20 000 Hz.

Was ist mitLuftdruckschwankungenmit anderer Frequenz?

Luftdruckschwankungen mit Frequenzen unterhalb von 20 Hz bezeichnetman manchmal als Infraschall. Wir registrieren sie mit unseren Tastorga-nen als Vibrationen. Luftdruckschwankungen hherer Frequenz, so ge-nannten Ultraschall knnen wir nicht wahrnehmen (bekannterweise einigeTiere schon).

Wie kommt der Schallans Ohr?

Auf der Webseitehttp://leifi.physik.uni-muenchen.de/findet ihr unter

Inhalt nach Gebieten /Schwingungen und Wellen /harmonische Schwingung(mechanisch)viel Interessantes bermechanische Schwingungenund auch viele Computer-animationen zum selberausprobieren

Wird ein Luftmolekl in der Nhe eines Stimmbandesz.B. nach rechts geschleudert, dann stt dieses ge-gen seinen Nachbarn, das wiederum seinen Nachbarnanstt usw. Auf diese Weise pflanzt sich die Informa-tion, dass das Stimmband nach rechts geschwungenist, durch die Luft fort. Schwingt das Stimmband kurze

Zeit spter nach links, so entsteht rechts neben demStimmband ein Unterdruck. Die Luftmolekle rechtsneben dem Stimmband werden zum Stimmband hingesogen. An deren ursprnglichem Platz entstehtnun Unterdruck, wodurch noch weiter rechts gelege-ne Molekle angesaugt werden, usw. Die InformationStimmband schwingt nach links pflanzt sich auf dieseWeise durch die Luft fort.Irgendwann erreicht der stndige Wechsel zwischenber- und Unterdruck auch das Ohr, so dass dasTrommelfell abwechselnd nach innen gedrckt undnach auen gesogen wird.

Ein paar Grundbegriffe(Definitionen)

Eine mechanische Schwingung ist eine zeitlich periodische Bewegungeines Krpers um eine Gleichgewichtslage.

Ein System, das Schwingungen ausfhren kann, nennt man Oszilla-tor: Beispiele: Pendel, Feder, Trommelfell, Stimmbnder, bestimmteTeile bei Musikinstrumenten

Oszillieren ist der Fachbegriff fr Schwingen. Eine mechanische Welle entsteht auf einem Wellentrger aus mit-

einander (irgendwie) gekoppelten Oszillatoren, indem jeder Oszillatorseinen Nachbarn anstt (irgendwie ber die Kopplung auf ihn ein-wirkt und Energie bertrgt).

Da bei einer Welle jeder Oszillator um seine Ruhelage hin und herschwingt, wird bei einer Welle keine Materie sondern nur Energie (und

Information) transportiert. Die momentane Auslenkung eines Oszillators nennt man Elongation.Sie ndert sich von Augenblick zu Augenblick und ist teils positiv und

nach 2 T = 0,02 s

nach T = 0,01 s

nach 1/2 T = 0,005 s

nach 3/2 T = 0,015 s

nach 0 T = 0 s

nach 4 T = 0,04 s


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teils negativ. Beim dem wichtigen Spezialfall einer sinusfrmigenSchwingung ist die Elongation der y-Wert, genauer gesagt, der zeit-abhngige y-Wert: y(t)

Der Betrag der maximalen Auslenkung eines Oszillators aus der Ru-helage heit Amplitude sm. Beim Beispiel der sinusfrmigen Schwin-

gung ist smder Streckungsfaktor vor dem Sinus: y(t)=smsin(

t). Die Zeitdauer eines Oszillators zwischen zwei gleichsinnigen Durch-gngen durch die Ruhelage heit Schwingungsdauer T.

Die Anzahl der gleichsinnigen Durchgnge pro Sekunde durch dieRuhelage heit Frequenz f.

[T] = 1 s [f] = 1 Hz=s-1 f = 1/T = 2f=T

2

Hausaufgabe 1. Versuch Periodendauer eines Fadenpendels (s. Anleitung auf dennchsten Seite).

2. Aufgabensammlung: 6.1.1-6.1.3

(einfache aber wichtige Wiederholung zu v = s und a = v = s)

3. Aufgabensammlung: 6.1.4-6.1.5(Wiederholung.: Hooksches Gesetz: F~s, d.h. F=Ds und

Federenergie/Spannarbeit: Wspann=WFeder=2

1 Ds2


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6.2 Schlerversuch Schwingungsdauer eines Fadenpendels

Aufgabe Untersuche die Abhngigkeit der Schwingungsdauer eines Fadenpendelsvon:

1. Der Amplitude der Schwingung

2. Der an den Faden angehngten Masse3. Der Lnge des Pendels.Fr ein Gelingen des Versuchs, ist es sinnvoll, die folgenden Hinweise zubeachten.

Drehe nie anmehreren Schraubengleichzeitig

Ganz wichtig bei allen Versuchen, nicht nur in der Physik, ist ein systema-tisches Vorgehen. D.h. es gilt insbesondere das eherne Gesetz: Immernur einen Parameter variieren.In unserem Versuch soll der Einfluss dreier Gren studiert werden. Umdie Einflsse der drei Parameter sauber voneinander trennen zu knnen,darf man nie mehrere gleichzeitig variieren, sondern es werden stets zweidavon konstant gehalten und nur der dritte systematisch verndert.

Pendellnge bis zumSchwerpunkt messenund mglichstpunktfrmige Ge-wichte benutzen.

Als Pendellnge gilt der Abstand des Pendelschwerpunkts vom Dreh-punkt. Da der Faden in sehr guter Nherung als masselos betrachtet wer-den kann, ist dies der Abstand des Schwerpunks der angehngten Masse(bei einer Kugel also der Kugelmittelpunkt) vom Aufhngepunkt. Da imAllgemeinen ein schwereres Gewicht auch grer ist, muss man, um beiunterschiedlichen Gewichten gleiche Pendellnge zu realisieren im Allge-meinen auch die Fadenlnge verndern.

3 kleine, 1 groeAmplitude

Bei der Variation der Amplitude sollte man auf jeden Fall drei sehr kleine,aber verschiedene Amplituden (z.B. 2, 4, 6 cm bei 50 cm Fadenlnge) unddann noch 1-2 deutlich grere Amplituden (z.B. 20, 40 cm) ausprobieren.

Zhlungen beginnenbei 0 Um eine mglichst groe Genauigkeit zu erzielen, ist es sinnvoll, die Dau-er fr 10 oder 20 Perioden zu bestimmen, indem man gleichsinnigeDurchgnge durch die Ruhelage zhlt. Ein hufiger Anfngerfehler ist es,beim Start der Stoppuhr Eins zu zhlen, anstatt Null.

Ordentlich Buchfhren

Das Dmmste, was einem bei einem Experiment passieren kann, ist, dassman am Ende nicht mehr wei, was man am Anfang gemacht hat und wiedie gemessenen Werte zustande kamen. Daher:Schreibe sorgfltig auf, was du machst, notiere alle Zahlenwerte, die evtl.von Belang sein knnten.

Entweder alleine oderhchstens zu zweit.

Fhrt dieselbe Person dasselbe Experiment mehrmals durch, wird man imAllgemeinen leicht unterschiedliche Ergebnisse erhalten. Dies gilt umsomehr, wenn zwei unterschiedliche Personen ohne konkrete Zahlenvorga-ben ein Experiment durchfhren!


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Vorschlag fr die Auswertung

Einfluss der Amplitude

feste Seillnge:

feste Masse:

sm/cmT/s

Einfluss der Masse

feste Seillnge:

feste Amplitude:

m/gT/s

Einfluss der Seillnge

feste Masse:

feste Amplitude:

L/cmT/s

Endergebnis Die Schwingungsdauer bei eine Fadnpendel hngt

l/cm

T/s

m/g

T/s

sm/cm

T/s

1. Teilergebnis:

2. Teilergebnis:

3. Teilergebnis:


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6.3 Differenzialgleichungen

6.3.1 Federpendel

Worum gehts? Ziel dieses Abschnitts ist es, eine Formel fr die Schwingungsdauer einesFederpendels herzuleiten, die dann mit experimentellen Ergebnissen ver-glichen werden kann. Dieser Vergleich ist Standard bei jeder naturwissen-schaftlichen Forschung, da eine neue Theorie nur dann akzeptiert wird,wenn sie den Ausgang von Experimenten korrekt erklrt. Man erhofft sichvon der Theorie ein vertieftes Verstndnis und Voraussagen neuer (expe-rimentell berprfbarer) Zusammenhnge (z.B. von welchen Gren hngtdie Schwingungsdauer ab?).

Das Federpendel Um die Schwingungsdauer eines Federpendels herzuleiten, betrachten wirdas Experiment zunchst ohne Bercksichtigung der Schwerkraft. Dieslsst sich auf der Erde erreichen durch einen reibungsfreien Wagen derMasse m, der mit einer Feder an einer Wand befestigt ist. Die Feder sollsowohl auf Druck als auch auf Zug reagieren. Die Ruhelage stellt den Null-punkt des Koordinatensystems dar, das nach links positiv zhlt.Wird der Wagen in positiver Rich-tung (nach links) aus seiner Ruhe-lage ausgelenkt, so versucht ihndie Feder wieder in die Ruhelagezurckzubringen. Die Rckstell-kraft der Feder wirkt also in negati-ver Richtung (nach rechts). Befin-det sich der Wagen rechts von derRuhelage, so zieht in die Federnach links. Die Rckstellkraft wirktalso stets in entgegen gesetzterRichtung zur Auslenkung, was inder folgenden Gleichung durch das Minuszeichen ausgedrckt wird. Frdie Feder ist auerdem die Rckstellkraft proportional zur Auslenkung(Hookesches Gesetz, die Konstante D heit Federkonstante). Also gilt:

FR= - DsGenaugenommen msst man auch noch die Zeitabhngigkeit hinschrei-ben: FR (t)= - Ds(t). Aber dadurch werden die Formeln schlechter lesbar.Deshalb lsst man diese Zeitabhngigkeit oft weg, man darf aber nichtvergessen, welche Gren von der Zeit abhngen und welche nicht. ImFolgenden wird meist die verkrzte Schreibweise (ohne Zeitabhngigkeit)verwendet.

DieDifferenzialgleichung Die Rckstellkraft beschleunigt den Wagen. Nach dem 2. NewtonschenAxiom gilt daher:

FR= ma

-Ds = m

s

s =m

D s (*)

Gesucht ist also ein Weg-Zeit-Gesetz, d.h. eine Funktion s(t), deren zweiteAbleitung bis auf eine multiplikative Konstante mit der ursprnglichenFunktion identisch ist.

Der Lsungsansatz Setzt man versuchsweise den Ansatz s(t)=sin(t)

in die Differenzialgleichung (*) ein, so ergibt sich:s (t)= - 2sin(t)

m

m

s

F =-D.sR

F=D.s

Ruhelage


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m

D=

Auch der Ansatz m 0s(t) s sin( t )= +

mit den beiden frei whlbaren Konstanten smund 0lst die DGl (*),

falls die obige Bedingung erfllt (ist also nicht frei whlbar, son-dern hngt von der Masse und der Federhrte des Oszillators ab).Man kann zeigen, dass dies die allgemeine Lsung dieser DGL ist.

Die Konstanten smund 0haben eine anschauliche Bedeutung. Dader Sinus eine Zahl ist, deren Betrag zwischen 0 und 1 schwankt,muss sm(sowohl dem Betrag als auch der Einheit nach) die Ampli-tude sein und 0gibt die so genannte Phasenverschiebung an, inwelcher Phase der Schwingung die Zeitmessung beginnt. Da in derSchule aber ohnehin nur die einfachsten Flle behandelt werden,gengt fr uns der einfachere Ansatz (ohne allgemeine Phasenver-

schiebung 0) vollauf und es werden nur folgende vier einfachenFlle betrachtet:

s(t)=smsin(t) s(t)=-smsin(t)s(t)=smcos(t) s(t)=-smcos(t)

Da v(t)=s (t), gilt: v(t)=vmcos(t) mit vm= sm undda a(t)=s (t), gilt: a(t)=-amsin(t) mit am= sm2.

Auch der zeitliche Verlauf der Geschwindigkeit und der Beschleuni-gung entspricht einer harmonischen Schwingung.

Merke: Fr alle Arten von Schwingungen gilt:2

2 fT

= = und1

fT

=

heit Kreisfrequenz.

Beim Federpendel gilt:Dm

= =2f =2/T

Anmerkungen 1. Die Formel fr die Kreisfrequenz enthlt nichtdie Amplitude, d.h. dieFrequenz und die Schwingungsdauer des Federpendels hngen nicht vonder Amplitude ab.2. Obwohl das Federpendel nur ein einfacher Spezialfall ist (genau deshalb

behandeln wir ihn ja), erklrt das Ergebnis fr die Schwingungsdauer dochdas Verhalten vieler mechanischer Oszillatoren qualitativ (nicht quantitativ)recht gut. Bei einem Saiteninstrument (z.B. Gitarre) wird die Frequenz h-her, wenn ich die Saite mehr spanne (D vergrere) oder die Masse ver-kleinere (dnnere Saite) verwende. Die Tonhhe hngt nicht von der Amp-litude (Strke des Anschlags) ab!3. Schwingungen, bei denen ein lineares Kraft-Weg-Gesetz gilt (hier:F=-Ds) fhren immer zu einer sinusfrmgen Schwingung. Dies ist zwarein Spezialfall, und dennoch ist es der wichtigste Fall. Solche Schwingun-gen nennt man harmonisch und solche Oszillatoren nennt man harmoni-sche Oszillatoren. Die meisten Oszillatoren verhalten sich nherungsweiseharmonisch, insbesondere wenn die Auslenkungen klein sind.4. Wenn man eine Bewegung als sinusfrmig beschreibt, meint man damit

jede Form die man durch eine (auch in x-Richtung) verschobene Sinus-funktion ausdrcken kann, also auch Kosinusfrmig (oder eben beliebigverschoben).


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Merke Beginnt die Schwingung eines Federpendels in der Ruhelage mit einerBewegung in positiver / negativer Richtung, dann gilt:

ms(t) s sin( t)= Beginnt die Schwingung im positiven / negativen Maximum, dann gilt:

ms(t) s cos( t)=

Eine alternativeHerleitung der DGL ausdem Energiesatz

Die DGL

s =mD

s habe wir oben mit Hilfe der Kraft hergeleitet. Dabei

musste man sehr sorgfltig auf das Vorzeichen der Rckstellkraft achten(FR= -Ds und nicht FR= Ds). Bei der folgenden auch sehr einfachen Her-leitung aus dem Energieerhaltungssatz muss man nicht auf solche Dingeachten. Auch hier schreibe ich um die Formeln bersichtlicher zu halten

nur s anstatt s(t) und anlog v (=s ) statt v(t) (= s (t)) Da bei einer (ungedmpften) Schwingung die Gesamtenergie W ges erhal-ten bleibt und nur Energieumwandlungen zwischen BewegungsenergieWkinund potentieller Energie (hier Federenergie) Wpot(=WFeder) stattfinden,

kann man schreiben:Wkin+Wpot= Wges mv2 + Ds2 = Wges

m (s )2 + Ds2 = Wges (Ableiten auf beiden Seiten)

m s s +Dss = 0 (s Ausklammern)

s [m s + Ds] = 0 (Nullproduktsatz)

s = 0 oder m s + Ds = 0

s = 0 ist in der Tat eine mgliche Lsung. Das Federpendel hat immerdie Geschwindigkeit 0 und es findet gar keine Schwingung statt.Die rechte Seite ist wieder unsere gesuchte DGL, wenn man noch durch m(m0!) teilt.

Hausaufgabe 1. Aufgabensammlung 6.1.7 6.1.12

2. Die alternative Herleitung der DGL aus dem Energiesatz kann oh-ne Schwierigkeiten sofort auf den Fall elektromagnetischerSchwingungen bertragen werden. Zeige (Vorgehen genau wieoben), dass die DGL der ungedmpften elektromagnetischen

Schwingung lautet: Q +LC

1Q = 0

Vergleiche mit dem Federpendel und gib sofort an.

Anleitung: Starte mit Wmag+Wel= Wges

wobei Wmag=LI2 und Wel= C

1Q2

Vergiss beim Ableiten die Innere Ableitung nicht und beachte I=Q Auch hier wurde berall die Zeitabhngigkeit nicht explizit notiert.


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6.3.2 Das Fadenpendel

Worum gehts? Ziel dieses Abschnitts ist es, die Schwingung des Fadenpendels mathema-tisch zu beschreiben und so eine Formel fr die Schwingungsdauer herzu-

leiten.

Die Rckstellkraft Der schwierigste Punkt ist die formelmige Be-schreibung der Rckstellkraft. Dazu betrachten wirdie rechte Skizze.Beim Fadenpendel wirken 2 Krfte auf die Masse.Die Gewichtskraft(blau) der pendelnden Masse unddie Seilkraft(grn). Addiert man diese beiden Krftevektoriell, so ergibt sich die rcktreibende Kraft(rot).Diese Kraft treibt das Pendel zurck in die Ruhela-ge. Fr diese Kraft gilt:

FR= -FGsin() im Bogenma gilt: =

l

s

also: FR= -FGsin(l

s)

Dies ist wegen des Sinus kein lineares Kraft-Weg-Gesetz (FR ist nicht proportional zur Auslenkung s)und somit fhrt ein Fadenpendel im allgemeinenkeine harmonische Schwingung aus!

Fr kleine Elongation gilt allerdings nherungsweise): sin()=l

s

(siehe auch linke Skizze und. Anmerkung unten):Damit haben wir fr kleines sm(und damit natrlich s sm) wieder ein

lineares Kraft-Weg-Gesetz: Fr=- lmg

s

Vergleicht man dies mit dem Federpendel Fr=-Ds, so erkennt man:D ist bei eine bestimmten Federpendel eine Konstante. Ebenso ist hier der

Vorfaktorl

mgfr ein bestimmtes Fadenpendel eine Konstante. Indem am

beim Federpendel einfach D durchl

mgersetzt, kann man die DGL fr das

Fadenpendel (mit kleinen Auslenkungen) sofort hinschreiben. Besser noch,man kann sogar die Lsung direkt hinschreiben:

m 0s(t) s sin( t )= +

m

D= bei Federpendel und

l

g= beim Fadenpendel (kleines sm)

Anmerkung Der tatschliche Weg ist nicht geradlinig, sondern verluft auf einem Kreis-segment. Daher ist die Rckstellkraft nur nherungsweise proportional zurAuslenkung des Pendels aus der Ruhelage. Daher ist auch die Perioden-dauer, bzw. die Frequenz nur fr kleine Amplituden nherungsweise vonder Amplitude unabhngig. Fr sehr groe Amplituden nimmt die Perio-

dendauer sprbar zu.

FS

FG

FR

sm

m

l


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6.4 Harmonische Schwingungen

6.4.1 Saiten schwingen harmonisch

Gibt es weitereSchwingungen, beidenen die Frequenzunabhngig von derAmplitude ist?

Die Unabhngigkeit der Schwingungsdauer von der Amplitude lsst sichanschaulich dadurch erklren, dass fr eine grere Amplitude auch dieRckstellkraft und damit Beschleunigung des schwingenden Krpers gr-er ist, so dass die erzielten Geschwindigkeiten hher sind und daher inder gleichen Zeit auch die lngeren Wege bewltigt werden knnen.Mathematisch liegt dies daran, dass beim Federpendel und nherungs-weise auch beim Fadenpendel die Rckstellkraft proportional zur Elongati-on ist. Somit ist auch die Beschleunigung proportional zur Elongation unddie entstehende Differenzialgleichung wird linear. In der allgemeinen L-sung der homogenen DGL. fhrt dies dazu, dass sich der Vorfaktor vordem Sinus- oder Kosinusterm, d.h. die Amplitude, stets herauskrzt.

Merke Eine Schwingung, bei der die Rckstellkraft zur Elongation proportio-nal ist, heit harmonisch.

Bei einer harmonischen Schwingung ist die Frequenz unabhngig vonder Amplitude.

Fr eine harmonische Schwingung istf(t) = fmsin(t)

- Fr mechanische Schwingungen ist f die Elongation, die Geschwindigkeitoder die Beschleunigung. Bei anderen Arten von Schwingungen kann faber auch fr andere Gren stehen, wie z.B. Ladung, Stromstrke,Spannung, Luftdruck, E, B...

- Je nach Anfangsbedingung kann statt der Sinusfunktion auch eine Kosi-nusfunktion oder eine irgendwie in x-Richtung verschobene Sinusfunkti-on zur Beschreibung ntig sein.

Wozu braucht man das,bzw. wo spielt das eineRolle?

Fast alle Schwingungen, die im Alltag vorkommen, sind (zumindest nhe-rungsweise) harmonisch. Mechanische Uhren gehen immer gleich schnell, unabhngig davon,

wie weit sie noch aufgezogen sind. Die Frequenz des Schwingquarzes einer Quarzuhr hngt nicht vom

Ladezustand der Batterie ab, die fr eine periodische Energiezufuhrsorgt.

Eine Gitarrensaite liefert immer den gleichen Ton, egal wie stark sieangeschlagen wird.


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6.4.2 Warum klappern die Glser auf dem Klavier (s.u.)

Was ist eineerzwungeneSchwingung?

Mathematisch haben wir uns bisher nur mit der freien, ungedmpften,harmonischen Schwingung befasst.

Bei freien Schwingungen wird das schwingende System einmal angesto-en und dann sich selbst berlassen. Da Fadenpendel und Federpendelnur ganz schwach gedmpft sind, werden beide von unserm mathemati-schen Modell (trotz der dort fehlenden Dmpfung) gut beschrieben.Im Alltag kommen aber meistens erzwungene Schwingungen vor, bei de-nen das System sich nicht selbst berlassen wird. Vielmehr wirkt eineperiodische Kraft (eventuell auch nur annhernd periodisch) auf das Sys-tem und fhrt ihm so immer wieder Energie zu. Durch diese Energiezufuhrwerden die Dmpfungsverluste ausgeglichen und die Schwingung bleibttrotz Dmpfung bestehen. Dies kann Absicht sein, wie bei einer Uhr, beider man auf eine dauerhafte periodische Bewegung Wert legt. Es kannaber auch einfach so passieren und zu unerwnschten Effekten fhren. Esfolgenden weitere Beispiele.

Beispiele frerzwungeneSchwingungen

Die frei schwingenden Klaviersaiten bertragen diese Schwingungenauf das Gehuse. Glser, die auf dem Klavier stehen, erfahren da-durch eine periodische Kraft mit der Frequenz der schwingenden Kla-viersaite.

Soldaten, die im Gleichschritt ber eine Brcke marschieren, erzeugeneine periodische Kraft auf die Brcke.

Auch Windben knnen eine solche periodische Kraft auf Brckenhaben.

Erdbeben bringen Gebude zum Schwingen. Das periodische Auf und Ab der Kolben eines Automotors bewirkt eine

periodische Kraft auf die gesamte Karosserie. Regelmige Bodenwellen erzeugen eine periodische Kraft auf das

Fahrgestell eines Autos. Ein schaukelndes Kind erzeugt durch die Krperbewegung eine perio-

dische Kraft auf die Schaukel.

Warum klappern dieGlser auf dem Klaviernur bei einembestimmten Ton?

Der Klavierdeckel ist ebenfalls ein (zumindest halbwegs) schwingfhigesSystem. Die Frequenz, mit der der Klavierdeckel frei schwingt, wenn manihn anstt (z.B. durch darauf klopfen), heit seine Eigenfrequenz. DieAmplitude der Schwingung des Klavierdeckels lsst sich betrchtlich erh-hen, wenn man ihn nicht nur einmal, sondern immer wieder anstt. Die-ser Ansto muss allerdings im geeigneten Moment, d.h. in der richtigenPhase der Schwingung erfolgen. Dies ist ber viele Perioden hinweg nurdann mglich, wenn der periodische Ansto mglichst genau mit der Ei-

genfrequenz des Deckels erfolgt. Daher hpfen die Glser nur bei einerbestimmten Frequenz, d.h. einem bestimmten Ton.

Was geschieht beieinem anderen Ton?

Das lsst sich fr harmonische Schwingun-gen (und bei sinusfrmiger Erregung) ge-nau berechnen. Die Berechnung ist mit kom-plexen Zahlen sehr leicht, machen wir abernicht in der Schule. Das Bild rechts zeigt,wie sich die Amplitude eines Oszillators ver-ndert, je nachdem mit welcher Erregerfre-quenz er angestoen wird.

Man kann erkennen, dass die Reaktion des Oszillators (seine Amplitude)

am grten wird, wenn er mit seiner Eigenfrequenz angeregt wird. In die-sem Fall spricht man von Resonanz.

Erregerfrequenz

AmplitudedesOszillators

Eigenfrequenzdes Oszillators

Amplitudedes Erregers


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Bei einer Kraft mit sehr kleinen Anregungsfrequenzen (klein in Bezug zurEigenfrequenz) kommt der Oszillator nicht zum Schwingen, da er vomErreger "festgehalten" wird. Er bewegt sich daher genau mit der Amplitudedes Erregers.

Ist die Anregungsfrequenz sehr viel grer als die Eigenfrequenz des Os-zillators, dann kann der Oszillator der Anregung nicht folgen, er bleibt woer ist, die Amplitude ist Null.

Anmerkungen 1. Steht man bei laufendem Motor an einer Ampel, vibriert manchmal einTeil des Autos (z.B. die Sonnenblende). Der Motor erregt dann mit derEigenfrequenz des vibrierenden Teils (zumindest nherungsweise).Wir haben Resonanz. Gibt man etwas Gas, verschwindet der Effekt,weil die Erregerfrequenz verndert wurde.

2. Ein weiteres Beispiel ist die quietschende Kreide. Bricht man siedurch, verndert man ihre Eigenfrequenz und sie quietsch nicht mehr.

3. Man sendet elektromagnetische Wellen in Materie. Die Bausteine derMaterie sind geladen, werden zum Schwingen gebracht. Hieraus er-

geben sich zahlreiche Anwendungen: z.B. Kernspinresonanz und Mik-rowellenherd.4. Es gibt unzhlige weitere kleine und groe Beispiele. Resonanz

kommt wie schwingungsfhige Systeme fast berall vor. Sieht man ei-ne Messkurve (egal wo, nicht nur in der Physik) mit der gleichen Formwie oben, kann man fasst sicher sein, dass es sich um ein Resonanz-phnomen handelt.

5. Handelt es sich bei der periodischen Kraft hingegen um sehr kurzePulse, so gengt ein Sto bei jeder zweiten, dritten, vierten,... Periode.D.h. auch Ste mit der halben, drittel, viertel,... Eigenfrequenz desOszillators sorgen fr Energiezufuhr im rechten Moment und wir ha-ben auch hier Resonanz.

Merke Resonanz tritt auf, wenn ein schwingfhiges System mit der Eigenfre-quenz durch eine periodische Kraft mit der Frequenz angeregt wird.Dem schwingenden System wird so stndig Energie zugefhrt, die Ampli-tude wird stndig grer. Ohne hinreichend starke Dmpfung besteht dieGefahr, dass der Oszillator zerstrt wird. Resonanzkatastrophe.

Anwendung Konstrukteure von Bauwerken, Fahrzeugen oder Maschinenteilen legengrten Wert darauf, dass die Eigenfrequenz stets weit weg von mgli-chen Anregungsfrequenzen (z.B. Umdrehungszahl des Motors) liegt.

Tacoma-Bridge Ein beeindruckendes Beispiel fr eine solche Resonanzkatastrophe ist derEinsturz der Tacoma-Bridge. Windben brachten die neue Brcke zum

Schwingen undschlielich zumEinsturz. Es gibtim Internet dazuFilmaufnahmen,die man auf jedenFall sich ansehensollte. Man glaubtsonst niemals,dass eine Brckezu solchenBewegungenfhig ist.


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6.4.3 Synchronisation

Die Millenium-Bridge inLondon

Am 10.6.2000 wurde in London die Millenium-Bridge, eine neue Fugn-gerbrcke des Star-Architekten Norman Foster, erffnet. Nach zwei Tagenmusste sie aber bereits gesperrt werden, da die Brcke von den Fugn-gern in Schwingungen mit sehr groen Amplituden versetzt wurde. Eineanschlieende Untersuchung zeigte, dass ab einer Mindestzahl von ca.150 Fugngern durch zuflligen Gleichschritt einiger Fugnger kleinere

Schwingungen auftraten. Die anderen Fugnger versuchten (unbewusst)dem entgegenzuwirken und passten ihren Gang der Frequenz dieserSchwingung an. Dadurch wurden aber die Schwingungen noch grer,was eine strkere Gegenreaktion der Fugnger hervorrief usw. Nachdem Einbau von Dmpfungselementen konnte die Brcke am 22.2.2002wieder erffnet werden.

Weitere Beispiele frspontane Synchronisa-tion

Blinken von Glhwrmchen Menstruationszyklen von dicht zusammenlebenden Frauen (z.B. Heim,

Wohngemeinschaft, Gefngnis) Rhythmisches Klatschen nach einem Konzert


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6.5 Elektromagnetische Schwingungen

6.5.1 Grundlagen

Grundversuch D: Der Umschalter wird inPosition 1 gebracht, da-durch wird der Kondensatoraufgeladen.Nun bringt man den Schal-ter in Position 2. Der Kon-densator wird von derSpannungsquelle getrenntund mit der Spule verbun-den.

B:Strom und Spannung fhren Schwingungen mit einer Phasendifferenzvon 90 (/2) aus, d.h. die Stromstrke erreicht ihren betragsmig gr-ten Wert dann, wenn die Spannung 0 ist und umgekehrt. Die Zeigeraus-

schlge werden allmhlich kleiner.

Vorbemerkungen zurErklrung

Um diesen Effekt besser erklren zu knnen, sind dem Text Skizzen bei-gefgt, in denen, anders als sonst blich, die Anschlussbezeichnungen (+und -) sowie die Anzeige der Messgerte mit eingezeichnet sind.So bedeutet in senkrecht stehender Zeiger:

Anzeige 0 also 0 Volt, bzw. 0 Ampre.Ein Ausschlag nach rechts bedeutet:

Anzeige positiv, d.h. es fliet Strom vom +- Anschluss des Amp-remeters zum - Anschluss, bzw. das Potenzial am +- Anschlussdes Voltmeters ist hher als am - Anschluss,

Bei einem Zeigerausschlag nach links ist es umgekehrt.

Auerdem sind der Ladungszustand, sowie die Strke und Richtung desMagnetfeldes mit eingezeichnet. Da bei der Art, wie die Spule gewickelt ist,Magnetfeld-Richtung im Spuleninnern und Stromrichtung im Stromkreisgleich sind, kann der Pfeil neben der Spule auch als Pfeil interpretiert wer-den, dessen Richtung sowohl Feldrichtung als auch Stromrichtung unddessen Lnge Feldstrke und Stromstrke angibt.

Erklrung t 0=

U

I

+-

+ -

++ ++- - - -

Der Kondensator ist aufgeladen, dieSpannung sowie die im Kondensatorgespeicherte elektrische Energie sindmaximal. Zunchst fliet kein Stromdurch die Spule, die magnetischeFlussdichte und damit die in der Spule

gespeicherte magnetische Energie ha-ben den Wert Null.

1t T

8=

U

I

+-

+ -

+ +- -

Der Kondensator beginnt sich zu entla-den. Die Spannung sowie die elektri-sche Energie nehmen ab, der Stromund die magnetische Energie nehmenzu.

1t T

4=

U

I

+ -

+-

Der Kondensator ist vollstndig entla-den, die Spannung und damit die elekt-rische Energie sind Null. Die Energie istvollstndig auf die Spule bergegan-gen, der Strom durch die Spule unddamit die magnetische Flussdichte ha-ben ihren maximalen Wert.

+- U

I

1

2


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3t T

8=

U

I

+ -

+-

- -

+ +

Beim Zusammenbrechen des Magnet-feldes versucht die Spule entspre-chend der Lenzschen Regel den Strom-fluss noch eine Weile in der gleichenRichtung weiter flieen zu lassen. Da-durch ldt sich der Kondensator in um-gekehrter Richtung wieder auf, bisschlielich...

1t T

2=

U

I

+ -

+-

- - - -

++ ++

... der Kondensator wieder vollstndiggeladen ist und kein Ladestrom mehrfliet. Die Energie ist wieder vollstndigauf den Kondensator bergegangen.Das Spiel beginnt mit umgekehrtemVorzeichen von vorne

5t T

8=

U

I+ -

+-

- -

+ +

3

t T4

= U

I

+ -

+-

Der Kondensator ist entladen, derStrom und die magnetische Feldenergiesind maximal.

7t T

8=

U

I

+ -

+-

+ +- -

t T=

U

I

+-

+ -

++ ++- - - -

s. bei t=0

Warum nimmt dieAmplitude derelektromagnetischenSchwingung ab?

Da jeder Stromkreis auch ohmsche Widerstnde enthlt (Kabel, Spulen,...)wird bei dem Hin- und Herpendeln der Energie zwischen Spule und Kon-densator auch Wrme produziert. Dadurch wird die elektromagnetischeEnergie allmhlich kleiner.

Bezeichnungen Ein Stromkreis, der nur eine Spule und einen Kondensator enthlt, heitSchwingkreis. Das Hin- und Herpendeln der Energie zwischen Spule undKondensator bezeichnet man als elektromagnetische Schwingung.


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6.5.2 Berechnung der Eigenfrequenz eines Schwingkreises

Herleitung der DGL ausdem Energie-erhaltungssatz

Sieht man von ohmschen Verlusten, d.h. der Umwandlung elektrischerEnergie in Wrme ab, so bleibt die Summe aus elektrischer- und magneti-

scher Energie stets erhalten. Sie ndert sich nicht, die zeitliche Ableitungdieser Summe ist daher Null:

Wmag(t)+Wel(t)= Wges => Wmag (t)+Wel

(t) = 0

Wobei:2

el

1 QW (t)

2 C= und 2mag

1W LI (t)

2=

Lassen wir wegen der besseren Lesbarkeit wieder die Zeitabhngigkeitweg und setzen ein, so ergibt sich:

0

1

2

1

2

1 22

=

+

QCLI (Nur I und Q sind zeitabhngig, innere Ableitung nicht vergessen)

01

=+ QQC

ILI

Ersetzt man I = Qund I = Q und klammert Q aus, ergibt sich:

01

01

=

+=+ QC

QLQQQC

QLQ

Mit dem Nullproduktsatz erhlt man:

Q = 0. Dies ist in der Tat eine mgliche Lsung. Es gibt keine zeitliche

nderung der Ladung und es findet gar keine Schwingung statt.In der eckigen Klammer ist unsere gesuchte DGL. Wenn man noch durchL (L0!) teilt, hat man fr die DGL der ungedmpften elektromagnetischenSchwingung:

Q +LC

1Q = 0 (*)

Leitet man (*) noch einmal ab, so ergibt sich:

01

=+ QLC

Q und das heit: 01

=+ ILC

I

Ersetzt man in (*) Q=CU und teilt durch C, so ergibt sich:

=+ 01 CULC

CU 01 =+ ULC

U

Fr die Ladung Q, die Stromstrke I und die Spannung U gelten also diegleichen DGLs.

Der Vergleich mit dem Federpendel: 0=+ sm

Ds

zeigt, dass nur Buchstaben getauscht wurden. Deshalb kann man aus derLsung beim Federpendel sofort auf die Lsungen hier schlieen:

Federpendel: elektromagnetische Schwingung:s(t)=smsin(t) Q(t)=Qmsin(t) I(t)=Imsin(t) U(t)=Umsin(t)

mitm

D= mit

LC

1=


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Zwischenbemerkungenber die Vorzeichen beiKrften undSpannungen

Hebt man einen Krper der Masse m hoch, so bentigt man die KraftFHub=mg, denn der Krper wird mit der Kraft Fg=mg von der Erde angezo-gen. Soweit alles klar, doch Moment: Fgwirkt nach unten und FHub wirktnach oben. Wir wirken mit FHubauf die Masse eine und die Masse wirkt mitFgauf uns ein. Hier ist wie auch bei allen sonstigen Krften Actio und Rea-ctio am Werk. Krfte treten also immer paarweise auf, einmal als die Actio,die von auen auf einen Krper wirkende Kraft, die treibende Kraft und dieReactio, die von dem Krper ausgeht. Meist haben wir diesen Unterschiedberhaupt nicht beachtet und uns nur fr den Betrag der Kraft interessiert.

Bei Spannungen gibt es auch die von auen treibende Spannung (durcheine Batterie oder einen Generator) und die Reaktion der Bauteile (ohm-scher Widerstand, Kondensator und Spule), an dem die uere (treiben-de) Spannung anliegt. Beide Spannungen sind betragsmig stets gleichgro, haben aber unterschiedliche Richtung (unterschiedliches Vorzei-chen). Die Reaktion des Bauteils ist die Spannung, die von dem Bauteilselbst kommt. Wie bei den Krftepaaren oben haben wir diesen Unter-

schied bisher kaum betrachtet (auer bei Ui=-LI).Wenn wir das Vorzeichen beachten gilt fr die Spannungen, mit denen dieBauteile auf den Stromkreis wirken folgende Vorzeichen:

Spule: Ui=-LIohmscher Widerstand: UR=-RI

Kondensator: Uc=-C

1Q

Durchluft man einen Stromkreis irgendwie, aber so dass man am Endewieder dort ist, wo man gestartet ist (also z.B. einfach in einem Kreis) undaddiert dabei alle Spannungen (mit dem richtigen Vorzeichen) dann mussdie Summe 0 sein. (Wenn man eine Ladung im Kreis bewegt, darf maninsgesamt keine Energie gewinnen und auch keine verlieren.) Mit diesenVorbetrachtungen spart man sich viele Probleme bei den Vorzeichen inStromkreisen. Wir werden das bei der folgenden Herleitung einmal an-wenden.

Alternative Herleitungder Differenzialglei-chung aus den Span-nungen

Der Kondensator und die Spule sind hier in Reihe ge-schaltet.Geht man im Kreis, begegnet man nur den beiden Bau-teilen Spule und Kondensator (der ohmsche Widerstandder Leitungen wird vernachlssigt) und die Summe ihrerSpannungen muss nach dem oben Gesagten 0 erge-ben.

Uc+ Ui=0

-C

1Q+(-LI) = 0

C

1Q+LI= 0

C

1Q+LQ = 0

Und wir haben wieder unsere DGL.

Die rechnerischeLsung der DGl

(fr diejenigen, die dasBuchstabenersetzennicht akzeptieren.)

Man macht z.B. den Ansatz: )cos()( 0max = tQtQ

(Hier verwende ich einmal den allgemeinen Ansatz mit beliebiger Amplitu-de und beliebiger Phasenverschiebung und ich notiere die Zeitabhngig-keit. Man sieht, dass es nur mehr Schreibarbeit ist, das Vorgehen bleibtdas gleiche.)1. Bilde die zweite Ableitung:

)sin()(0max

= tQtQ )cos()(0

2

max = tQtQ


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2. Setze Q(t) und Q (t) in die DGL Q +LC

1Q = 0 ein:

0)cos(1

)cos(0max0

2

max =+ tQLC

tQ

3. Klammere gemeinsame Faktoren aus:

01

)cos( 0max =

+LC

tQ

4. Nullproduktsatz

Entweder ist der erste Faktor: )cos()( 0max = tQtQ immer gleich 0,

(das heit fr jedes tIn der Tat eine mgliche Lsung. Das System ist inRuhe und es fliet keine Ladung hin und her. Ein Fall, der uns wenigerinteressiert.)oder es bleibt die Mglichkeit, dass der zweite Faktor in der eckigenKlammer 0 ist. Umgeformt heit das:

LCTLC

fLC

22

11=== (Thomsonsche Gleichung)

Das bedeutet, dass bei der Verwendung eines Kondensators mit hoherKapazitt die Frequenz klein wird. Dies ist nicht erstaunlich, denn bei ei-nem dicken Kondensator dauert es auch lange, bis er geladen und entla-den ist. Fr die Spule gilt eine analoge Argumentation.

)cos()( 0max = tQtQ mit dem obigen Wert fr ist die allgemeine

Lsung. In der Schule betrachten wir nicht beliebige Phasenverschiebun-gen, sondern nur die Flle mit cos(t) und sin(t).

Die Stromstrke Ausgehend von der allgemeinen Lsung: )cos()(0max

= tQtQ

erhlt man fr I(t) die allgemeine Lsung:

)sin()sin()()(0max0max

=== tItQtQtI

wobei Imax= Qmax

Wie bereits mehrfach gesagt, wird in der Schule nicht eine beliebige Pha-senverschiebungen betracht, sondern nur die Flle mit cos(t) und sin(t). Allerdings muss man unter Umstnden darauf achten, dass I(t)

zu dem gegebenen Q(t) passt. Es muss immer gelten I(t) = Q (t) und somit

auch immer Imax= Qmax. Beispiele:

Falls )cos()(max

tQtQ = )sin()(max

tItI =

Falls )sin()( max tQtQ = )cos()( max tItI = usw.

Die Spannung Aus Q = CU

U(t) = max maxQ cos( t)Q(t)

U(t) U cos( t)C C

= = = mit maxmax

QU

C=

Hier wurde mit Q(t)=Qmaxcos(t) gearbeitet. Man knnte auch die andernSpezialflle (-cos(t) und sin(t)) betrachten oder eine beliebigen Pha-senverschiebung verwenden. U(t) muss aber zu Q(t) und auch I(t) passen.

Hausaufgabe Aufgabensammlung: 6.2.1 - 6.2.20


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6.5.3 Zwischenkapitel Rckkopplung

Ziel Es soll ein Blinklicht mit Hilfe einer Rckkopplungsschaltung konstruiertwerden.

Die Rhrendiode

Die Rhrentriode

Der Transistor

Funktionsweise einer Triode:Im Kapitel Freie Elektronen wurde der Aufbau einer Diode besprochen,d.h. einer Rhre mit zwei Anschlssen.Die Kathode wird geheizt und es werden Elektronen emittiert. Liegt dieAnode gegenber der Kathode auf positivem Potenzial, so werden dieElektronen von der Kathode zur Anode abgesaugt. Es fliet ein Strom.

Bringt man zwischen Kathode Kund Anode Aein Metallgitter Gan, dasgegenber der Kathode auf negativem Potenzial liegt, so werden dieElektronen abgeschirmt (zurckgedrngt) und knnen nicht, zur Anodegelangen. Es fliet trotz hoher Spannung zwischen Anode und Kathodepraktisch kein Strom. Der elektrische Widerstand der Rhre ist sehr gro.

Legt man dagegen das Gitter auf das gleiche elektrische Potenzial wie dieKathode oder auf leicht positives Potenzial, so werden die Elektronennicht abgeschirmt, sondern knnen durch das Gitter hindurch zur Anodegelangen. Es fliet ein Strom zwischen Anode und Kathode, der elektri-sche Widerstand der Rhre ist klein.Die Triode stellt somit einen steuerbaren Widerstand (bzw. Schalter) dar.Ist die Gitterspannung (d.h. die Spannung des Gitters gegenber der Ka-thode) negativ, so sperrt die Rhre, der Widerstand ist gro. Ihr Wider-stand nimmt mit wachsender Gitterspannung ab. Bei positiver Gitterspan-nung verhlt sich die Rhre fast wie ein Leiter

Ein Transistor ist zwar vllig anders aufgebaut als eine Elektronenrhre,

verhlt sich aber schaltungstechnisch sehr hnlich. Transistoren gibt es invielen Ausfhrungen. Ein gngiger npn-Transistor arbeitet in einer elekt-ronischen Schaltung hnlich wie eine Triode (Verstrkerrhre). Die An-schlsse heien Emitter (entspricht der Kathode), Basis (entspricht demGitter) und Kollektor (entspricht der Anode). Ist das Potenzial der Basisum 0,6 V hher als das Potenzial am Emitter, dann schaltet der Transis-tor durch, .d.h. es kann ein Strom vom Emitter zum Kollektor flieen. DerTransistor hat einen sehr kleinen Widerstand, er verhlt sich wie ein ge-schlossener Schalter. Ist die Emitter-Basis-Spannung kleiner als 0,6V,dann macht der Transistor dicht, d.h. Er wirkt wie ein sehr groer Wider-stand, bzw. ein offener Schalter zwischen Emitter und Kollektor.

Ein gewhnlicher Schal-ter

Ein Potentiometer(regelbarer Widerstand)als Schalter

Die beiden Widerstnde stellen einen Spannungsteiler dar. Da die Strom-strken durch die beiden Widerstnde gleich sind, verhalten sich die Span-nungen an den beiden Widerstnden wie ihre Widerstandswerte. Also z.B.

Runten= 1 k, Roben= 9k, U = 10VUunten= 1V, Uoben= 9V

+-

E

K

B

A

K

G

A

K


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Ist der Widerstand des Potentiometers sehr klein,dann auch die Emitter-Basis-Spannung UEB undder Transistor wirkt als geschlossener Schalter, dieLampe ist aus. Ist der Widerstand des Potentiome-ters gro, dann auch UEB, der Transistor schaltetdurch, die Lampe brennt.

Die Sonne als Schalter Verwendet man statt des Potentiometers ei-nen Fotowiderstand, der bei Helligkeit einenkleinen und bei Dunkelheit einen groen Wi-derstand hat, dann geht die Lampe tagsberaus und nachts an.

Die Lampe selbst alsSchalter

Stellt man nun einfach die Lampe vor den Foto-widerstand, dann blinkt die Lampe, da die leuch-tende Lampe den Stromkreis unterbricht und diedunkle Lampe ihn schliet.

6.5.4 Erzeugung ungedmpfter elektromagnetischer Schwingungen (Drei-punktschaltung)

Das Prinzip Ein realer Schwingkreis ist normalerweise gedmpft.Es gibt ohmsche Energieverluste. Ist der Kondensatorz.B. am Anfang maximal aufgeladen, so erreicht ernach Durchlaufen einer Periode diese maximale Auf-ladung nicht mehr aufgrund der Energieverluste durchdie Dmpfung. Ein Pendel erreicht auch nicht mehr diegleiche Hhe, aus der es gestartet ist.Um ungedmpfte elektromagnetische Schwingungenzu erzeugen, muss man (hnlich wie dem Pendel einerUhr) dem System im geeigneten Moment Energie zu-fhren um die Dmpfungsverluste auszugleichen. EineMglichkeit ist, dass man den Kondensator im Moment maximaler Aufla-dung (die kleiner ist als die maximale Ladung mit der gestartet wurde)mit der Spannungsquelle verbindet und die fehlende Ladung nachliefert.Dazu bentigt man einen Schalter, der den Kondensator bei berschrei-ten einer bestimmten, einstellbaren Spannung mit der Spannungsquelleverbindet und ihn so vollstndig aufldt. Diese Aufgabe bernimmt eineElektronenrhre oder ein Transistor. Die Steuerung, um den geeignetenMoment zu finden, lsst man mittels Rckkopplung von dem Schwing-kreis selbst vornehmen.

+-

+-


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... und seineRealisierung(Dreipunktschaltung)

Ist im Schwingkreis der obere Anschluss 3 positivgegenber dem unteren Anschluss 1, dann istwegen der Induktion auch Anschluss 2 positivgegenber Anschluss 3 und damit das Gitter posi-tiv gegenber der Kathode, die Rhre ffnet undder Kondensator wird geladen.

Hochfrequenzgenerator Fr Anwendungen in der Rundfunk- und Nach-richtentechnik (Handy) bentigt man meist sehrhohe Frequenzen. Um dies zu erreichen, mussman die Kapazitten und Induktivitten mg-lichst klein machen. Dazu reduziert man in

einem ersten Schritt die Windungszahl derSpule drastisch, bis nurnoch eine einzige Win-dung brig bleibt(rechts). Im zweitenSchritt reduziert man dieKapazitt des Konden-sators und lsst ihn schlielich ganz weg (links).Die Kapazitt der Leitungen sowie des Transis-tors, bzw. der Rhre gengen (bei einer Rhrebildet das Gitter zusammen mit der Kathode undzusammen mit der Anode zwei Kondensatoren).

1

2

3

+-

+-

+-


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6.5.5 Frequenzweichen in der Lautsprecherbox

Versuch A: Ein Schwingkreis wird induktiv

schwach an einen Sinusgenera-tor gekoppelt (s. Skizze). Da-durch wird in der Spule desSchwingkreises eine Spannungmit der Frequenz des Sinusgene-rators induziert. Diese Spannungwird mit dem Oszillographen gemessen. Ein Multimeter ist dazu unge-eignet, da es auf Wechselspannungen mit einer Frequenz von 50 Hzausgelegt ist.

D: Die Frequenz des Sinusgenerators wird von 0 aus allmhlich erhhtund die Spannung im Schwingkreis gemessen.

B:Entspricht die Frequenz des Generators gerade der Eigenfrequenz desSchwingkreises, so erreicht die Spannung im Schwingkreis riesige Werte

im Vergleich zur Ausgangsspannung des Sinusgenerators.E:Entspricht die Frequenz des Generators gerade der Eigenfrequenz desSchwingkreises, so entspricht das Verhalten des Schwingkreises einerSchaukel, die vom schaukelnden Kind in jeder Periode zum richtigenZeitpunkt angestoen wird. In die Schwingkreisspule wird in jeder Perio-de Energie eingespeist. Weicht die Frequenz des Sinusgenerators er-heblich von der Eigenfrequenz des Schwingkreises ab, so erfolgt dieSpannungsinduktion zum falschen Zeitpunkt, hnlich wie bei einem klei-nen Kind, das die Technik des Schaukelns noch nicht beherrscht und sodie Schaukel stets zum falschen Zeitpunkt anstt.

Gibt es dafr technischeAnwendungen?

Die enorme Bedeutung solcher Resonanzen fr die Rundfunktechnikwird noch eingehend behandelt werden.

Schwingkreise dienen als Frequenzfilter zur Klangregelung in Hifi- undPA-Anlagen sowie in elektronischen Musikinstrumenten.

In Lautsprecherboxen dienen Schwingkreise als Frequenzweichen, diedie tieffrequenten Signalanteile zum Tieftner oder Subwoofer und diehochfrequenten Anteile zur Hochtonkalotte leiten.

Sinus-

Generator

URes


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6.6 Das Wichtigste in Krze

Grundbegriffe Eine mechanische Schwingung ist eine zeitlich periodische Bewegungeines Krpers um eine Gleichgewichtslage.

Eine mechanische Welle entsteht auf einem Wellentrger aus mit-einander gekoppelten Oszillatoren (schwingfhigen Teilchen), indemjeder Oszillator seinen Nachbarn anstt. Da jeder Oszillator um sei-ne Ruhelage hin und her schwingt, wird keine Materie sondern nurEnergie (und Information) transportiert.

Die maximale Auslenkung eines Oszillators aus der Ruhelage heitAmplitude sm.

Die Zeitdauer eines Oszillators zwischen zwei gleichsinnigen Durch-gngen durch die Ruhelage heit Schwingungsdauer T.

Die Anzahl der gleichsinnigen Durchgnge pro Zeiteinheit durch dieRuhelage heit Frequenz f.

f = 1/T = 2f

HarmonischeSchwingung

Eine Schwingung, bei der die Rckstellkraft zur Elongation proportio-nal ist, heit harmonisch

Bei einer harmonischen Schwingung ist die Frequenz unabhngig vonder Amplitude

Fr nicht zu groe Amplituden sind die Schwingungen von Faden-und Federpendel harmonisch

s(t)-Gesetz einerharmonischenSchwingung

s(t) = smaxsin(t) oder s(t) = smaxcos(t)

max maxv s= 2

max maxa s= (Beweis durch Ableiten von s(t))

Wichtige

Schwingungsdauern Federpendel:D

m =

Fadenpendel:g

l =

Schwingkreis:1

LC =

Spannenergie einerFeder

2pot

1E Ds

2=

Resonanz Bei erzwungenen Schwingungen tritt Resonanz dann auf, wenn die Eigen-

frequenz des Oszillators mit der Erregerfrequenz bereinstimmt.

Anmerkung: Hufig liest man: Der Strom eilt der Spannung um eine viertel Periodevoraus. Gemeint ist folgendes:

maxQQ(t)U(t) cos( t)C C

= =

)sin()()(max

tQtQtI ==

Der Strom hat seinen Maximalwert schon bei kleineren (also frheren)Zeiten als die Spannung. Dies ist auch leicht zu erklren, denn die Stei-gung eilt den Funktionswerten immer voraus. Bevor ein Funktionswertgro ist, mssen die Werte zunchst eine Weile ansteigen.Aus dem gleichen Grund eilen bei mechanischen Schwingungen die Be-schleunigung der Geschwindigkeit und diese der Elongation voraus.

U(t)I(t)

t


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06 Schwingungen _Physik Der Musik_1

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